时 点到直线的距离 配套练习 必修

解析几何部分（共：1—17课时及每章评价）参考答案：第1课时 直线的斜率（1）1．D 2．C 3．D 4．4- 5．1k ≤ 6．可以是(2,4)，不惟一． 7．由题意，()132212a -=++，∴2a =-．8．当1m =时，直线l 与x 轴垂直，此时直线斜率不存在； 当1m ≠时，直线斜率34111k m m-==--． 9．在直线斜率为0，OC 边所在直线斜率不存在，BC 边所在直线斜率为43-．10．由AB AC k k ≠，可得1112383k --≠---， ∴1k ≠．第2课时 直线的斜率（2）1．C 2．B 3．D 4．60o． 5．6 6． (0,2)7． 045α≤<o o 或135180α<<o o．8．倾斜角为45o时斜率为1，倾斜角为135o时斜率为1-．9．直线l 上任一点(,)M m n 经平移后得(3,1)N m n -+在l 上，由两点的斜率公式得(1)1(3)3l n n k m m +-==---．10．直线2l 的倾斜角为180(6015)135α=--=oooo， ∴2tan135tan 451k ==-=-oo．第3课时 直线的方程（1）1．C 2．D 3．A 4．D 5．（1）4y =-；（2）23y x =-- 6．1y +6y x =-+7．由直线1l 的方程2y =+可得1l 的倾斜角为60o ，∴直线l 的倾斜角为30o，斜率为tan 303=o，所以，直线l 的方程为12)y x -=-，即1y x =-+．8． 1:1:(2)-9．由直线1l的方程20x y -+=可求得1l 的斜率为1， ∴倾斜角为145α=o，由图可得2l 的倾斜角2115αα=+o∴直线2l 的斜率为tan 60=o， ∴直线2l 的方程为2)y x -=-0y -=．10．设直线方程为34y x b =+， 令0x =，得y b =；令0y =，得43x b =-， 由题意，14||||623b b ⨯-⨯=，29b =，∴3b =±， 所以，直线l 的方程为334y x =±．第4课时 直线的方程（2）1．D 2．D 3．B 4． 2y x =或1y x =+ 5．3 6． 10x y +-=或32120x y -+=7．设矩形的第四个顶点为C ，由图可得(8,5)C ， ∴对角线OC 所在直线方程为005080y x --=--，即580x y -=，AB 所在直线方程为185x y+=，即58400x y +-=． 8．当截距都为0时，直线经过原点，直线斜率为43-，方程为43y x =-；当截距都不为0时，设直线方程为1x ya a +=， 将点(3,4)-代入直线方程得341a a-+=，解得1a =-， 所以，直线方程为430x y +=或10x y ++=．9．当0t =时，20Q =；当50t =时，0Q =，故直线方程是15020t Q +=．图略． 10．直线AB 的方程为3x =，直线AC 的方程为123x y+=，直线x a =与,AB AC 的交点分别为(,3)a 、63(,)2a a -，又∵92ABC S ∆=，∴1639(3)224a a -⋅⋅-=，∴a =（舍负）．第5课时 直线的方程（3）1．B 2．D 3．B 4．D 5． 350x y -+= 6．24- 7．当2a =时，直线方程为2x =不过第二象限，满足题意；当20a -≠即2a ≠时，直线方程可化为1(4)2y x a a =+--， 由题意得2010240a a a -≠⎧⎪⎪>⎨-⎪-≤⎪⎩，解得24a <≤，综上可得，实数a 的取值范围是24a ≤≤． 8．（1）由题意得：22(23)(21)m m m m ---=+-， 即2340m m --=，解得43m =或1-（舍） （2）由题意得：22(23)(21)260m m m m m ----+--+=，即23100m m +-=，解得2m =-或53． 9．方法1：取1m =，得直线方程为4y =-， 取12m =，得直线方程为9x =， 显然，两直线交点坐标为(9,4)P -，将P 点坐标分别代入原方程得(1)9(21)(4)5m m m -⨯+-⨯-=-恒成立，所以，不论m 取什么实数，直线(1)m x -+(21)5m y m -=-总经过点(9,4)P -．方法2：原方程可整理得(21)(5)0x y m x y +--+-=，当21050x y x y +-=⎧⎨+-=⎩成立，即94x y =⎧⎨=-⎩时，原方程对任意实数m 都成立，∴不论m 取什么实数，直线过定点(9,4)-．10．方程0x y k +-=可变形为23)9k =-， 当90k -=即9k =时，方程表示一条直线90x y +-=； 当90k -<即9k >时，方程不能表示直线；当90k ->即9k <3= ∵方程仅表示一条直线，∴30+>且30-<，即0k <．综上可得，实数k 的取值范围为9k =或0k <．第6课 两直线的交点1．D 2．D 3．B 4．B 5．－3 6．6或-6 7．10，-12，-2 8．32190x y -+=9．4m =，或1m =-，或1m =．（提示：如果三条直线不能围成三角形，则有两种情形，一是其中有平行的直线，二是三条直线交于一点．） 10．(1)表示的图形是经过两直线210x y -+=和2390x y ++=的交点(3,1)--的直线（不包括直线2390x y ++=）．(2)30x y -=或40x y ++=．（提示：可设所求直线方程为21(239)0x y x y λ-++++=，即(21)(32)910x y λλλ++-++=．若截距为０，则910λ+=，即19λ=-，此时直线方程为30x y -=；若截距不为０，则21132λλ+-=--，即3λ=，此时直线方程为40x y ++=．） 11．直线l 的方程为60x y += 12．22b -≤≤（数形结合）第7课 两直线的平行与垂直（1） 1．D 2．B 3．C 4．平行, 不平行5．平行或重合 6．-2 ， 0或10 7．四边形ABCD 是平行四边形． 8．32A C =≠-且9．2,2m n == 10．20x y += 11. 3440x y +-=12.860860x y x y -+=--=或(提示：Q 所求直线与已知直线l ：8610x y -+=平行，∴设所求直线的方程为860x y λ-+=，与两坐标轴的交点为λ（-，0）8，λ（0，）6．又该直线与两坐标轴围成的三角形面积为８，∴1||||8286λλ⋅-⋅=，λ∴=±，故所求直线方程为860x y -+=或860x y --= 第8课 两直线的平行与垂直（2）1. B2. C3. C4. C5. B6. 垂直，不垂直7. 32y x =+8. 2，-2，09. 20x y -= 10. 310x y ++=和330x y -+= 11. 1a =-或92a =-12.270x y +-=,10x y -+=,250x y +-=(提示:由于点A 的坐标不满足所给的两条高所在的直线方程,所以所给的两条高线方程是过顶点B ,C 的,于是2AB k =-,1AC k =,即可求出边AB ,AC 所在的直线方程分别为270x y +-=,10x y -+=.再由直线AB 及过点B 的高,即可求出点B 的坐标(3,1),由直线AC 及过点C 的高,即可求出点C 的坐标(1,2).于是边BC 所在的直线方程为250x y +-=.)第9课 平面上两点间的距离１．C 2．C 3．C 4．A5．B 6．22y y =-=-或 7．47240x y +-= 8．23120x y +-=912|x x - 10．13410x x y =++=或 11．5150x y --=12．(1) (2,0)P -；(2) (13,0)P ，此时||PM PN -． 13．54x =（提示：y =数形结合，设(1,1),(2,3),(,0)A B P x ，则y PA PB =+）第10课时 点到直线的距离（1）１．()A ２．()C ３．()D ４．()A ５．()C ６．()A ７．5８．2a =或463９．设所求直线方程为340x y m -+=，=解得：14m =或12m =-（舍），所以，所求的直线方程为：34140x y -+=．１０．由题意第一、三象限角平分线的方程为y x =，设00(,)P x y ，则00x y =，即00(,)P x x ．= 解得：01x =或09x =-，所以点P 的坐标为：(1,1)或(9,9)--．11．由题意：当直线l 在两坐标轴上的截距为0时， 设l 的方程为y kx =（截距为0且斜率不存在时不符合题意）=k = 122-±，所以直线l 的方程为：122y x -±=． 当直线l 在两坐标轴上的截距不为0时，设l 的方程为1x ya a+=，即0x y a +-=，=a =13或1a =， 所以直线l 的方程为：130x y +-=或10x y +-=．综上所述：直线l 的方程为：122y x -±=或130x y +-=或10x y +-=． １２．设(,1)M t t -，则M 到两平行线段的距离相等，∴43t =，即41(,)33M ∵直线l 过(1,1)P -，41(,)33M 两点，所以，l 的方程为2750x y +-=．第11课时 点到直线的距离（2）１．()B ２．()C ３．()A ４．18 ５．(1,2)或(2,1)- ６．34210x y +-=７．320８．4310x y +-=９．设l ：320x y C -+=则1d =2d =1221d d =，所以|1|2|13|1C C +=+，解得：25C =-或9-， 所以l 的方程为：32250x y --=或3290x y --=．１０．证明：设(,)P a b ，则221a b -=P 到直线1l ，2l的距离分别为1d =，2d = ∴2212||122a b d d -==g． １１．设(,)M x y 为A ∠的平分线AD 上任意一点，由已知可求得,AC AB 边所在直线方程分别为5120x y -+=，5120x y --=，由角平分线的性质得：=∴512512x y x y -+=--或512(512)x y x y -+=---， 即6y x =-+或y x =，由图知：AC AD AB k k k <<，∴155AD k <<，∴6y x =-+不合题意，舍去，所以，A ∠的平分线AD 所在直线方程y x =． １２．设CD 所在直线方程为30x y m ++=，=，解得7m =或5m =-（舍）．所以CD 所在直线方程为370x y ++=．因为AB BC ⊥所以设BC 所在直线方程为30x y n -+=，=，解得9n =或3n =-．经检验BC 所在直线方程为390x y -+=，AD 所在直线方程为330x y --=．综上所述，其它三边所在直线方程为370x y ++=，390x y -+=，330x y --=．第12课时 圆的方程（1）１．()B ２．()C ３．()B ４．()C ５．()C ６．()B ７．（1）0a =；（2）||b r =；（3）310a b +-=． ８．22(6)36x y -+=９．C e 的圆心为(3,2)C -，C 'e 的圆心与(3,2)C -关于10x y -+=对称， ∴设C 'e 的圆心为(,)C a b '则3210222113a b b a +-⎧-+=⎪⎪⎨+⎪=-⎪-⎩g ，解得：34a b =-⎧⎨=⎩，C 'e 的标准方程为：22(3)(4)36x y ++-=．１０．由题意可设C e 的圆心为(,)C a b 半径为r ，则||2a =当2a =时，C e ：222(2)()x y b r -+-= 因为C e 与直线20x y +-=相切于点(1,1)P ， ∴222(12)(1)b r -+-= ①且1(1)112b--=--g ② 联立方程组，解得：2b =，r =所以C e 的方程为：22(2)(2)2x y -+-=同理，当2a =-时，C e 的方程为：22(2)(2)18x y +++=综上所述：C e 的方程为：22(2)(2)2x y -+-=或22(2)(2)18x y +++=１１．由题意设C e 的方程为222()()x a y b r -+-=，由C e 经过点(2,1)-，得：222(2)(1)a b r -+--=①由C e 与直线10x y --=r =② 由圆心在直线2y x =-上，得：2b a =-③联立方程组，解得：918a b r ⎧=⎪=-⎨⎪=⎩，或12a b r ⎧=⎪=-⎨⎪=⎩所以，C e 的方程为：22(9)(18)338x y -++=或22(1)(2)2x y -++=．１２．设⊙C 的方程为：222()()x a y b r -+-=，∵⊙C 与x 轴相切，所以22r b =①，又∵圆心(,)C a b 到直线0x y -=的距离为：d =∴222r +=，即 22()142a b r -+=②，又圆心在直线30x y -=上，所以30a b -=③联立方程组，解得133a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩或133a b r =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩所以C e 的方程为：22(1)(3)9x y -+-=或22(1)(3)9x y +++=．第13课时 圆的方程（2）１．()C ２．()D ３．()B ４．12k <-５．2 ６．2π７．5，5 ８．2或23-９．圆方程为220x y Dx Ey F ++++=，将(0,0)，(1,1)两点坐标代入方程分别得0F = ①20D E F +++= ②又∵圆心(,)22D E--在直线30x y --=上，∴60E D --= ③解由①②③组成的方程组得4,2,0D E F =-==，∴所求圆方程为22420x y x y +-+=，圆心(2,1)-１０．证明：将034222=+--+y x y x 化为22(1)(2)2x y -+-= 则点与圆心之间的距离的平方为222(41)(2)17125m m m m -+-=-+ 又∵圆的半径的平方为2，∴2171252m m -+-217123m m =-+ 令2()17123f x m m =-+0∆<，即2()17123f x m m =-+恒大于0，即点与圆心之间的距离恒大于圆的半径，所以无论实数m 如何变化，点(4,)m m 都在圆034222=+--+y x y x 之外．11．设所求圆的方程为： 022=++++F Ey Dx y x令0y =，得20x Dx F ++=．由韦达定理，得12x x D +=-，12x x F =由12||x x -=6=，∴2436D F -=． 将(1,2)A ，(3,4)B 分别代入022=++++F Ey Dx y x ，得25D E F ++=-，3425D E F ++=-．联立方程组，解得12D =，22E =-，27F =或8D =-，2E =-，7F =所以所求的圆的方程为221222270x y x y ++-+=或228270x y x y +--+=12．证明：由题意22210250x y ax ay a ++---=，∴2225()()102524a a x a y a ++-=++ 令25()10254a f a a =++，则0∆<， ∴()0f a >即22(25)(210)0x y a x y +-+--=，表示圆心为(,)2a a -若22(25)(210)0x y a x y +-+--=对任意a 成立，则222502100x y x y ⎧+-=⎨--=⎩，解得34x y =⎧⎨=-⎩或5x y =⎧⎨=⎩，即圆恒过定点(3,4)-，(5,0)．第14课时 直线与圆的位置关系1．C 2．C 3．D 4．B 5．34250x y +-= 6．40x y +±=7 8． 247200x y --=和2x =；7 9．22(3)(1)9x y -+-=或22(3)(1)9x y +++=． 10．16m =-．11． 4330x y ++=或3430x y +-=．第15课时 圆与圆的位置关系 ⒈B ⒉B 3．D 4．A5．20x y -+= 6．260x y -+= ，6 7．(1,1) 8．22(3)(1)5x y -+-= 9．224(1)(2)5x y ++-=10．（1）240x y -+=； （2）22(2)(1)5x y ++-=； （3）22(3)(3)10x y ++-=． 11． 3r =±．第16课时 空间直角坐标系1．B ⒉C 3．C 4．D5．(2,0,0)、(0,3,0)- 6．(0,4,2)7．442110x y z ++-=8．略 9．略10．提示（1）只要写出的三点的纵坐标和竖坐标分别相等即可；（2）只要写出的三点的竖坐标相等即可．11．111212121x x y y z z x x y y z z ---==---21(x x ≠且21y y ≠且21)z z ≠．第17课时 空间两点间的距离1．D 2．D 3．A 4．A 5．(0,2,0) 6．222(1)(2)(4)9x y z -+++-=7．7 8．(1,0,0)P ± 9．[提示]建立空间直角坐标系，由中点坐标公式求出,P Q 两点坐标，用两点间距离公式即可求得线段PQ2．10．（1）(1,2,1)[提示]设重心G 的坐标为(,,)x y z ，则222GA GB GC ++2233x y =+22236126643(1)3(2)z x y z x y +---+=-+-23(1)46z +-+．当1,2,1x y z ===时，点G 到,,A B C 三点的距离的平方和最小，所以重心的坐标为(1,2,1)．（2）1,8,9x y z ===．第二章《解析几何初步》评价与检测参考答案：1．C 2．D 3．B 4．B 526．0d ≤≤ 7．4个 8．60 9．67250x y +-= 10．2750x y +-= 11．22(2)(2)25x y -++= 12．(1,0)A -，C (5,6)- 13．B14．C 15．A 16．D 17．11(,)102- 18．4a =±19．20,x y y x ++==，y x = 20．10 21．解：设与51270x y ++=平行的边所在直线方程为5120x y m ++=(7)m ≠，则=解得19m =-， ∴直线方程为512190x y +-=，又可设与51270x y ++=垂直的边所在直线方程为1250x y n -+=()n R ∈，则=解得100n=或74，∴另两边所在直线方程为1251000x y-+=，125740x y-+=22．解：设()2,1B-，()4,2C，()2,3D第四个顶点的坐标为(),A m n.则有BC所在直线的斜率为32BCk=；CD所在直线的斜率为12CDk=-；BD所在直线的斜率不存在.①若BD∥AC，BC∥AD，则AC所在直线的斜率不存在.4m∴=.又BC ADk k=，即33242n-=-，6n∴=.∴平行四边形第四个顶点的坐标为()4,6.②若BD∥AC，CD∥BA，则AC所在直线的斜率不存在.4m∴=.又CD BAk k=，即()11242n---=-，2n∴=-.∴平行四边形第四个顶点的坐标为()4,2-.③若CD∥BA，BC∥AD，则,CD BABC ADk kk k=⎧⎨=⎩()11223322nmmnnm--⎧-=⎪=⎧⎪-⇒⇒⎨⎨=-⎩⎪=⎪-⎩∴平行四边形第四个顶点的坐标为()0,0.综上所述，平行四边形第四个顶点的坐标可为()4,6或()4,2-或()0,0.23．解：设1122(,),(,)P x y Q x y，由2223060x yx y x y c+-=⎧⎨++-+=⎩消去x得2520120y y c-++=，∴由韦达定理知：12124125y y c y y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩Q OP OQ ⊥，12121y y x x ∴⋅=-， 即12120x x y y +=，又12121212(32)(32)96()4x x y y y y y y =--=-++∴121296()50y y y y -++=， 也就是12964505c +-⨯+⨯=解之，得3c =． 从而所求圆的方程为22630x y x y ++-+=24．解：设1122(,),(,)P x y Q x y ，则1|OP x ==，2|OQ x ==．,P Q Q 为直线与圆的交点，∴ 12,x x 是方程22(1)(86)210x m m x ++-+=的两根， ∴12221,1x x m=+ ∴ 2221(1)211OP OQ m m ⋅=+=+。

2.3.3 点到直线的距离公式基础练习一、单选题1．已知平面上一点()5,0M ，若直线上存在点P 这使4PM =，则称该直线为“切割型直线”.给出直线：①1y x =+；②2y =；③43y x =，其中是“切割型直线”的是（ ） A ．②③ B ．① C ．①② D ．①③2．在平面直角坐标系中，原点到直线的距离等于（ ）A ．1BCD ．3鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的13，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份.如图，假设三庭中一庭的高度为2cm ，五眼中一眼的宽度为1cm ，若图中提供的直线AB 近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为（ ）AB．4C．4 DA ．2B ．92C ．2或8-D ．2或92【答案】D5．（多选）已知直线l 经过点(3,4)，且点(2,2),(4,2)A B --到直线l 的距离相等，则直线l 的方程可能为（ ） A ．23180x y +-= B ．220x y --= C ．220x y ++= D ．2360x y -+=列直线是“切割型直线”的是（ ） A ．1y x =+ B ．2y = C ．43y x =D ．210y x =+7．已知直线l 过点，点，到l 的距离相等，则l 的方程可能是( )A ．220x y -+=B ．220x y --=C ．23180x y +-=D ．2360x y -+=8．已知点(),6A a 到直线3440x y --=的距离等于4，则实数a 的值为___________. 【详解】点9．关于方程2020xy x y +=所表示的曲线，下列说法正确的是__________． ①关于x 轴对称；②关于y 轴对称；③关于原点对称；④关于直线y x =对称． 【答案】④【分析】将方程中的x 换为y ，y 换为x 方程变为222020xy x y +=与原方程相同，故曲线关于直线y x =对称．【详解】()2220202020xy x y x y xy +=⇒+=，将点(x ，－y )代入曲线方程得222020x y xy -+=，与原方程不同，故曲线不关于x 轴对称； 将(－x ，y )代入曲线方程得222020x y xy -=，与原方程不同，故曲线不关于y 轴对称； 将(－x ，－y )代入曲线方程得222020x y xy --=，与原方程不同，故曲线不关于原点对称； 将(y ，x )代入曲线方程得222020x y xy +=，与原方程相同，故曲线关于直线y x =对称；10．若直线l 经过点()1,2P ，且点()2,3A ，()0,5B -到直线l 的距离相等，则直线l 的方程为______．11．将一张坐标纸折叠一次，使点3,2与点1,4重合，则折痕所在直线的一般式方程为___________. 【详解】点12．如图已知，若光线L 从点射出，直线AB 反射后到直线OB 上，在经直线OB 反射回原点P ，则光线L 所在的直线方程为________．【答案】36y x =-【分析】反射问题的本质还是对称问题，分别求点P 关于AB 和OB 的对称点，即可求得直线MN 的方程，利用直线方程联立，求得点M 的坐标，再求直线L 的方程.OA OB =2P A OA ∴⊥由对称性可知()42P ∴，13．若点()2,m -到直线51260x y ++=的距离是4，求m 的值. 14．已知点，求点P 分别关于原点、轴和轴的对称点的坐标． 【分析】根据点关于原点、x 轴和y 轴的对称点坐标之间的关系可得出结果.【详解】解：点P 关于原点的对称点的坐标为()1,2-，点P 关于x 轴的对称点的坐标为()1,2--， 点P 关于y 轴的对称点的坐标为()1,2.15．已知数轴上(1),(2)A B -，且A 关于B的对称点为C ，求C 的坐标． 16．一束光线从点,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭发出，射向点()0,1B 后被y 轴反射，分别求入射光线和反射光线所在直线的方程．17．已知平行四边形ABCD 的两条对角线AC ，BD 交于点1,1E -，其中，1,1B ．求： (1)点D 的坐标及AD 所在直线的方程； (2)平行四边形ABCD 的面积．。

点到直线的距离 同步练习一、选择题：1.点P(0,5)到直线y=2x 的距离是（ ）A ．25B ．5C ．23D ．25 2.点P （2，m ）到直线 ：5x-12y+6=0的距离为4，则m= ( )A ．1B ．-3C ．1或35 D ．-3或317 3.动点P 在直线x+y-4=0上，O 为原点，则|OP|的最小值为（ ）A ．10B ．22C ．6D ．24.若点P （4，a ）到直线4x-3y-1=0的距离不大于3，则a 的取值范围是（ ）A ．[)100，B ．(]100，C ．[0,10]D ．[1,10]5.过点（1，3）且与原点的距离为1的直线共有（ ）A ．3条B ．2条C ．1条D ．0条6.过点P （1，2）的直线 与两点A （2，3）、B （4，-5）的距离相等，则直线 的方程为（ ）A ．4x+y-6=0B ．x+4y-6=0C ．3x+2y=7或4x+y=6D ．2x+3y=7或x+4y=67. 直线l 1过点A （3，0），直线l 2过点B （0，4），21|| ，用d 表示21 和的距离，则（ ）A ．d ≥5B ．35≤≤dC ．05≤≤dD ．0<d 5≤8.已知两点A （1，63）、B （0，53）到直线 的距离等于a, 且这样的直线 可作4条，则a 的取值范围为（ ）A ．a ≥1B ．0<a<1C ．0<a ≤1D ．0<a<21二、填空题：9． 若点P （3，t ）到直线x+3y-4=0的距离等于1，则t=__________.10．分别过点A （-2，1）和点B （3，-5）的两条直线均垂直于x 轴，则这两条直线间的距离为 ____________. 11． ∆ABC 的三个顶点坐标为A （2，3）、B （-2，1）、C （3，2），则∆ABC 的面积为________.12． 已知P 为直线4x-y-1=0上一点，P 点到直线2x+y+5=0的距离与原点到这条直线的距离相等，则P 点的坐标为___________.三、解答题：13.在直线x+3y=0上求一点P ，使它到原点的距离与到直线x+3y-2=0的距离相等.14. 求经过直线7x+7y-24=0和x-y=0的交点，且与原点距离为512的直线方程.15.求经过点P （2，-1），且过点A （-3，-1）和点B （7，-3）距离相等的直线方程.16．直线 经过点A （2，4），且被平行直线x-y+1=0与x-y-1=0所截得的线段的中点在直线x+y-3=0上，求直线 的方程.一、选择题：1. B (直接利用公式.)2. D(直接利用公式.)3. B(|OP|即为点O 到直线 x+y-4=0的距离.)4. C(直接利用公式, 再解不等式.)5. B (设所求直线方程为y=k(x-1)+3, 再由点(0,0)到该直线的距离为1, 解得34=k ,则所求直线直线方程为3)1(34+-=x y ,由图象可知直线0=x 也符合条件.)6. C(设直线 的方程为2)1(+-=x k y , 由点到直线的距离公式可解得.423-=-=k k 或) 7. D (由于点A 、B 间的距离为5, 则两平行线之间的最大距离为5.) 8. B(由于|AB|=2, 则当0<a<1时,存在和直线AB 平行、过线段AB 的中点的直线各两条符合题意.)二、填空题: 9. 3或-33(直接利用公式. ) 10. 5 ( 由图象可知. ) 11. 3 (先求A 、B 两点间的距离, 再求点C 到直线AB 的距离, 即为∆ABC 的高.) 12. (），）或（，7233161---(设点P(a , 4a-1), 由点到直线的距离公式列方程求解. ) 一、 解答题:13．解：设点P 的坐标为（-3t, t ），则222231|233|)3+-+-=+-t t t t （,解之得t=.51535153,51），）或（，的坐标为（点--∴±P 14．解：设所求直线方程为7x+7y-24+λ(x-y)=0, 即(7+λ)x+(7-λ)y-24=0,由点到直线的距离公式得λ=∴±，1所求直线方程为4x+3y-12=0或3x+4y-12=0.15．解：若过P 点的直线垂直于x 轴，点A 与点B 到此直线的距离均为5，∴所求直线为x=2; 若过P 点的直线不垂直于x 轴时，设 的方程为y+1=k(x-2), 即kx-y+(-1-2k)=0. 由1|2137|1|2113|22+--+=+--+-k k k k k k ,即|5k|=|5k+2|, 解得k=-,51 ∴所求直线方程为x+5y+3=0； 综上，经过P 点的直线方程为x=2或x+5y+3=0.16. 解：中点在x+y-3=0上，同时它在到两平行直线距离相等的直线x-y=0上， 从而求得中点坐标为（23，23），由直线 过点（2，4）和点（23，23），得直线 的方程为5x-y-6=0.。

点到直线的距离、两平行线间的距离层级一 学业水平达标1．点P (1，－1)到直线l ：3y ＝2的距离是( ) A ．3B.53C ．1D.22解析：选B 点P (1，－1)到直线l 的距离d ＝|3×－1－2|02＋32＝53，选B. 2．已知点M (1,4)到直线l ：mx ＋y －1＝0的距离为3，则实数m ＝( ) A ．0 B.34 C ．3D ．0或34解析：选D 点M 到直线l 的距离d ＝|m ＋4－1|m 2＋1＝|m ＋3|m 2＋1，所以|m ＋3|m 2＋1＝3，解得m ＝0或m ＝34，选D.3．已知点A (1,3)，B (3,1)，C (－1,0)，则△ABC 的面积等于( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6解析：选C 设AB 边上的高为h ，则S △ABC ＝12|AB |·h .|AB |＝3－12＋1－32＝22，AB 边上的高h 就是点C 到直线AB 的距离．AB 边所在的直线方程为y －31－3＝x －13－1，即x＋y －4＝0.点C 到直线x ＋y －4＝0的距离为|－1＋0－4|2＝52，因此，S △ABC ＝12×22×52＝5.4．已知点P (1＋t,1＋3t )到直线l ：y ＝2x －1的距离为55，则点P 的坐标为( ) A ．(0，－2) B ．(2,4) C ．(0，－2)或(2,4)D ．(1,1)解析：选C 直线l ：y ＝2x －1可化为2x －y －1＝0，依题意得|21＋t －1＋3t －1|22＋－12＝55，整理得|t |＝1，所以t ＝1或－1.当t ＝1时，点P 的坐标为(2,4)；当t ＝－1时，点P 的坐标为(0，－2)，故选C.5．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1，l 2间的距离是( ) A.423B.823C ．4 2D ．2 2解析：选B ∵l 1∥l 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a a －2－3＝0，2a －6a －2≠0，解得a ＝－1.∴l 1的方程为x －y ＋6＝0，l 2的方程为－3x ＋3y －2＝0，即x －y ＋23＝0，∴l 1，l 2间的距离是⎪⎪⎪⎪⎪⎪6－2312＋－12＝823. 6．若点(2，k )到直线5x －12y ＋6＝0的距离是4，则k 的值是________． 解析：∵|5×2－12k ＋6|52＋122＝4，∴|16－12k |＝52， ∴k ＝－3，或k ＝173.答案：－3或1737．直线4x －3y ＋5＝0与直线8x －6y ＋5＝0的距离为________．解析：直线8x －6y ＋5＝0化简为4x －3y ＋52＝0，则由两平行线间的距离公式得⎪⎪⎪⎪⎪⎪5－5242＋32＝12. 答案：128．已知直线l 与直线l 1：2x －y ＋3＝0和l 2：2x －y －1＝0间的距离相等，则直线l 的方程是________．解析：由题意可设直线l 的方程为2x －y ＋c ＝0，于是有|c －3|22＋－12＝|c ＋1|22＋－12，即|c －3|＝|c ＋1|.∴c ＝1，∴直线l 的方程为2x －y ＋1＝0.答案：2x －y ＋1＝09．求过点P (0,2)且与点A (1,1)，B (－3,1)等距离的直线l 的方程．解：法一：∵点A (1,1)与B (－3,1)到y 轴的距离不相等，∴直线l 的斜率存在，设为k .又直线l 在y 轴上的截距为2，则直线l 的方程为y ＝kx ＋2，即kx －y ＋2＝0.由点A (1,1)与B (－3,1)到直线l 的距离相等， 得|k －1＋2|k 2＋1＝|－3k －1＋2|k 2＋1，解得k ＝0或k ＝1. ∴直线l 的方程是y ＝2或x －y ＋2＝0.法二：当直线l 过线段AB 的中点时，直线l 与点A ，B 的距离相等． ∵AB 的中点是(－1,1)，又直线l 过点P (0,2)， ∴直线l 的方程是x －y ＋2＝0；当直线l ∥AB 时，直线l 与点A ，B 的距离相等． ∵直线AB 的斜率为0，∴直线l 的斜率为0，∴直线l 的方程为y ＝2.综上所述，满意条件的直线l 的方程是x －y ＋2＝0或y ＝2. 10.如图，已知直线l 1：x ＋y －1＝0，现将直线l 1向上平移到直线l 2的位置，若l 2，l 1和坐标轴围成的梯形的面积为4，求直线l 2的方程．解：设l 2的方程为y ＝－x ＋b (b >1)，则A (1,0)，D (0,1)，B (b,0)，C (0，b )．∴|AD |＝2，|BC |＝2b .梯形的高h 就是A 点到直线l 2的距离， 故h ＝|1＋0－b |2＝|b －1|2＝b －12(b >1)，由梯形的面积公式得2＋2b 2×b －12＝4， ∴b 2＝9，b ＝±3.又b >1，∴b ＝3.从而得直线l 2的方程是x ＋y －3＝0.层级二 应试实力达标1．已知直线3x ＋y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0相互平行，则它们之间的距离是( ) A ．4B.1020C.104D.71020解析：选D ∵3x ＋2y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0相互平行，∴m ＝2.直线6x ＋2y ＋1＝0可以化为3x ＋y ＋12＝0，由两条平行直线间的距离公式，得d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＋332＋12＝71020，选D.2．两平行线分别经过点A (3,0)，B (0,4)，它们之间的距离d 满意的条件是( ) A ．0＜d ≤3 B ．0＜d ≤5 C ．0＜d ＜4D ．3≤d ≤5解析：选B 当两平行线与AB 垂直时，两平行线间的距离最大为|AB |＝5，所以0＜d ≤5. 3．假如点P 到点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3及直线x ＝－12的距离都相等，那么满意条件的点P有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．多数个解析：选B 因为点P 到点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3的距离相等，所以点P 在线段AB 的垂直平分线y ＝32上．直线AB 与直线x ＝－12平行，且两平行线间的距离为1.又1<|AB |2＝32，所以满意条件的点P 有1个．4．已知定点P (－2,0)和直线l ：(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y ＝2＋5λ(λ∈R)，则点P 到直线l 的距离的最大值为( )A ．2 3 B.10 C.14D ．215解析：选 B 将(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y ＝2＋5λ变形，得(x ＋y －2)＋λ(3x ＋2y －5)＝0，所以l 是经过两直线x ＋y －2＝0和3x ＋2y －5＝0的交点的直线系．设两直线的交点为Q ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，3x ＋2y －5＝0，得交点Q (1,1)，所以直线l 恒过定点Q (1,1)，于是点P 到直线l 的距离d ≤|PQ |＝10，即点P 到直线l 的距离的最大值为10.5．已知5x ＋12y ＝60，则 x 2＋y 2的最小值是________．解析： x 2＋y 2表示直线5x ＋12y ＝60上的点到原点的距离，在全部这些点到原点距离中，过原点且垂直于直线5x ＋12y ＝60的垂线段的长最小，故最小值为d ＝6052＋122＝6013. 答案：60136．在坐标平面内，与点A (1,2)距离为1，且与点B (3,1)距离为2的直线共有________条．解析：由题可知所求直线明显不与y 轴平行， ∴可设直线为y ＝kx ＋b ，即kx －y ＋b ＝0.∴d 1＝|k －2＋b |k 2＋1＝1，d 2＝|3k －1＋b |k 2＋1＝2，两式联立，解得b 1＝3，b 2＝53，∴k 1＝0，k 2＝－43.故所求直线共有两条．答案：27．已知直线l 在两坐标轴上的截距相等，且点P (4,3)到直线l 的距离为32，求直线l 的方程．解：由题意知，若截距为0， 可设直线l 的方程为y ＝kx .由题意知|4k －3|k 2＋1＝32，解得k ＝－12±3142.若截距不为0，设所求直线l 的方程为x ＋y －a ＝0. 由题意知|4＋3－a |2＝32，解得a ＝1或a ＝13.故所求直线l 的方程为y ＝－12＋3142x ，y ＝－12－3142x ，x ＋y －1＝0或x ＋y －13 ＝0.8．已知点P (a ，b )在线段AB 上运动，其中A (1,0)，B (0,1)．试求(a ＋2)2＋(b ＋2)2的取值范围．解：由(a ＋2)2＋(b ＋2)2联想两点间的距离公式，设Q (－2，－2)，又P (a ，b )，则|PQ |＝a ＋22＋b ＋22，于是问题转化为求|PQ |2的最大值、最小值．如图所示，当P 与A 或B 重合时，|PQ |取得最大值，即－2－12＋－2－02＝13.当PQ ⊥AB 时，|PQ |取得最小值，此时|PQ |为Q 点到直线AB 的距离，由A ，B 两点坐标可得直线AB 的方程为x ＋y －1＝0.则Q 点到直线AB 的距离d ＝|－2－2－1|12＋12＝52＝522， ∴252≤(a ＋2)2＋(b ＋2)2≤13.。

（二十） 点到直线的距离公式层级一 学业水平达标1．若点(2，k )到直线5x －12y ＋6＝0的距离是4，则k 的值是( ) A ．1 B ．－3 C ．1或53D ．－3或173解析：选D 由题意得|10－12k ＋6|52＋122＝4，解得k ＝－3或173.2．点P (－3,4)关于直线x ＋y －2＝0的对称点Q 的坐标是( ) A ．(－2,1) B ．(－2,5) C ．(2，－5)D ．(4，－3)解析：选B 设对称点坐标为(a ，b )， ⎩⎪⎨⎪⎧a －32＋b ＋42－2＝0，b －4a ＋3＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝5，即Q (－2,5)．3．已知点P (a ，b )是第二象限的点，那么它到直线x －y ＝0的距离是( ) A.22(a －b ) B ．b －a C.22(b －a ) D.a 2＋b 2解析：选C ∵P (a ，b )是第二象限的点， ∴a ＜0，b ＞0.∴a －b ＜0. ∴点P 到直线x －y ＝0的距离 d ＝|a －b |2＝22(b －a )． 4．点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，O 是坐标原点，则|OP |的最小值是( ) A.7 B. 6 C ．2 2D. 5解析：选C |OP |最小即OP ⊥l 时，∴|OP |min ＝|0＋0－4|2＝2 2. 5．已知两直线2x ＋3y －3＝0与mx ＋6y ＋1＝0平行，则它们间的距离等于( ) A.21313B.51326C.71326D ．4解析：选C ∵直线2x ＋3y －3＝0的斜率k 1＝－23，直线mx ＋6y ＋1＝0的斜率k 2＝－m 6，∴－23＝－m 6，得m ＝4. ∴它们间的距离d ＝|－6－1|42＋62＝71326.6．直线2x －y －1＝0与直线6x －3y ＋10＝0的距离是________． 解析：法一：在方程2x －y －1＝0中令x ＝0，则y ＝－1，即(0，－1)为直线上的一点．由点到直线的距离公式，得所求距离为|6×0－3×(－1)＋10|62＋32＝13515.法二：直线2x －y －1＝0可化为6x －3y －3＝0，则所求距离为|－3－10|62＋32＝1335＝13515.答案：135157．若直线l 到直线x －2y ＋4＝0的距离和原点到直线l 的距离相等，则直线l 的方程是________．解析：由题意设所求l 的方程为x －2y ＋C ＝0，则|C －4|12＋(－2)2＝|C |12＋(－2)2，解得C＝2，故直线l 的方程为x －2y ＋2＝0.答案：x －2y ＋2＝08．过点M (－2,1)且与A (－1,2)，B (3,0)两点距离相等的直线的方程为________． 解析：由题意直线存在斜率．设直线的方程为y －1＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋1＝0. 由|－k －2＋2k ＋1|k 2＋1＝|3k ＋2k ＋1|k 2＋1，解得k ＝0，或k ＝－12.故直线的方程为y ＝1，或x ＋2y ＝0. 答案：y ＝1或x ＋2y ＝09．已知直线l ：(2a ＋b )x ＋(a ＋b )y ＋a －b ＝0及点P (3,4)． (1)证明直线l 过某定点，并求该定点的坐标． (2)当点P 到直线l 的距离最大时，求直线l 的方程．解：(1)证明：直线l 的方程可化为a (2x ＋y ＋1)＋b (x ＋y －1)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3，∴直线l 恒过定点(－2,3)．(2)因为直线l 恒过定点A (－2,3)，当直线l 垂直于直线PA 时，点P 到直线l 的距离最大．又直线PA 的斜率k PA ＝4－33＋2＝15， ∴直线l 的斜率k l ＝－5.故直线l 的方程为y －3＝－5(x ＋2)，即5x ＋y ＋7＝0.10．已知△ABC 三个顶点坐标A (－1,3)，B (－3,0)，C (1,2)，求△ABC 的面积S . 解：由直线方程的两点式得直线BC 的方程为y －02－0＝x ＋31＋3，即x －2y ＋3＝0. 由两点间距离公式得|BC |＝(－3－1)2＋(0－2)2＝25，点A 到BC 的距离为d ，即为BC 边上的高， d ＝|－1－2×3＋3|12＋(－2)2＝455，所以S ＝12|BC |·d ＝12×25×455＝4，即△ABC 的面积为4.层级二 应试能力达标1．两平行线分别经过点A (5,0)，B (0,12)，它们之间的距离d 满足的条件是( ) A ．0＜d ≤5 B ．0＜d ≤13 C ．0＜d ＜12D ．5≤d ≤12解析：选B 当两平行线与AB 垂直时，两平行线间的距离最大，为|AB |＝13，所以0＜d ≤13.2．若动点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点距离的最小值是( )A ．32B ．2 3C ．3 3D ．4 2解析：选A 由题意，结合图形可知点M 必然在直线x ＋y －6＝0上，故M 到原点的最小距离为|－6|2＝3 2.3．到直线3x －4y －11＝0的距离为2的直线方程为( ) A ．3x －4y －1＝0B ．3x －4y －1＝0或3x －4y －21＝0C ．3x －4y ＋1＝0D ．3x －4y －21＝0解析：选B 设所求的直线方程为3x －4y ＋c ＝0.由题意|c －(－11)|32＋(－4)2＝2，解得c ＝－1或c ＝－21.故选B.4．直线2x ＋3y －6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是( ) A ．3x －2y －6＝0 B ．2x ＋3y ＋7＝0 C ．3x －2y －12＝0D ．2x ＋3y ＋8＝0解析：选D 法一：设所求直线的方程为2x ＋3y ＋c ＝0，由题意可知|2－3－6|22＋32＝|2－3＋c |22＋32.∴c ＝－6(舍)或c ＝8.故所求直线的方程为2x ＋3y ＋8＝0.法二：令(x 0，y 0)为所求直线上任意一点，则点(x 0，y 0)关于(1，－1)的对称点为(2－x 0，－2－y 0)，此点在直线2x ＋3y －6＝0上，代入可得所求直线方程为2x ＋3y ＋8＝0.5．直线l 过点A (3,4)且与点B (－3,2)的距离最远，那么l 的方程为________． 解析：由已知可知，l 是过点A 且与AB 垂直的直线， ∵k AB ＝2－4－3－3＝13，∴k l ＝－3，由点斜式得， y －4＝－3(x －3)，即3x ＋y －13＝0. 答案：3x ＋y －13＝06．若直线l 经过点A (5,10)，且坐标原点到直线l 的距离为10，则直线l 的方程是________． 解析：①k 存在时，设直线方程为y －10＝k (x －5)， ∴10＝|10－5k |1＋k 2. ∴k ＝－43或k ＝0.∴y －10＝－43(x －5)或y ＝10.②k 不存在时，x ＝5不符合题意．综上所述，4x ＋3y －50＝0或y ＝10为所求． 答案：4x ＋3y －50＝0或y ＝107．直线l 经过A (2,4)，且被平行直线x －y ＋1＝0与x －y －1＝0所截得的线段的中点在直线x ＋y －3＝0上，求直线l 的方程．解：法一：设所求的直线的斜率为k ，直线l 和平行直线x －y ＋1＝0、x －y －1＝0的交点分别为P ，B .则所求直线l 的方程为y －4＝k (x －2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y －4＝k (x －2)，x －y ＋1＝0，可解得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －3k －1，3k －4k －1；由⎩⎪⎨⎪⎧y －4＝k (x －2)，x －y －1＝0，可解得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －5k －1，k －4k －1. ∴P ，B 的中点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －4k －1，2k －4k －1.又∵D 在直线x ＋y －3＝0上， ∴2k －4k －1＋2k －4k －1－3＝0，解得k ＝5. 所以，所求直线的方程为y －4＝5(x －2)，即5x －y －6＝0.法二：与x －y －1＝0及x －y ＋1＝0等距离的直线必定与它们是平行的，所以设x －y ＋c ＝0，从而|c ＋1|1＋1＝|c －1|1＋1， 解之得，c ＝0，∴x －y ＝0，又截得的线段的中点在x ＋y －3＝0上，∴由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋y －3＝0，可解得中点坐标为⎝⎛⎭⎫32，32， 所以直线l 过点(2,4)和⎝⎛⎭⎫32，32， 从而得l 的方程为5x －y －6＝0.8．已知直线l ：x －2y ＋8＝0和两点A (2,0)，B (－2，－4)． (1)在直线l 上求一点P ，使|PA |＋|PB |最小； (2)在直线l 上求一点P ，使||PB |－|PA ||最大． 解：(1)设A 关于直线l 的对称点为A ′(m ，n )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n －0m －2＝－2，m ＋22－2·n ＋02＋8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝8，故A ′(－2,8)．因为P 为直线l 上的一点，则|PA |＋|PB |＝|PA ′|＋|PB |≥|A ′B |，当且仅当B ，P ，A ′三点共线时，|PA |＋|PB |取得最小值，为|A ′B |，点P 即是直线A ′B 与直线l 的交点，解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，x －2y ＋8＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3，故所求的点P 的坐标为(－2,3)．(2)A ，B 两点在直线l 的同侧，P 是直线l 上的一点， 则||PB |－|PA ||≤|AB |，当且仅当A ，B ，P 三点共线时， ||PB |－|PA ||取得最大值，为|AB |， 点P 即是直线AB 与直线l 的交点， 又直线AB 的方程为y ＝x －2，解⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x －2，x －2y ＋8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝10， 故所求的点P 的坐标为(12,10)．。

数学必修二点到直线的距离公式试题学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 点P(x, y)在直线x+y−4=0上，O是原点，则|OP|的最小值是()A.√10B.2√2C.√6D.22. 已知实数x、y满足2x+y+5=0，那么√x2+y2的最小值为（）A.√5B.5C.2√5D.√553. 已知A(1, 0)．B(7, 8)，若点A和点B到直线l的距离都为5，且满足上述条件的直线l 共有n条，则n的值是（）A.1B.2C.3D.44. 若直线y=kx−1与圆x2+y2=1相交于P、Q两点，且∠POQ=120∘（其中Q为原点），则K的值为（）A.√3，−√3B.4，−√3C.√3，−1D.1，−15. 点P0(−1, 2)到直线l:3x=2的距离为（）A.1B.43C.53D.26. 点P(2m, m2)到直线x+y+7＝0的距离的最小值为（）A.4B.2√3C.4√2D.3√27. 直线x3+y2=1与4x+y−4=0相交于P，这两直线与x轴分别相交于A1、A2，与y轴分别相交于B1、B2，若△PA1A2、△PB1B2的面积分别为S1、S2，则（）A.S1<S2 B.S1=S2 C.S1>S2 D.以上皆有可能8. 点(0, −1)到直线x+2y=3的距离为（）A.√55B.√5 C.5 D.159. 过点P(1, 2)作直线l，使直线l与点M(2, 3)和点N(4, −5)距离相等，则直线l的方程为（）A.y+2=−4(x+1)B.3x+2y−7=0或4x+y−6=0C.y−2=−4(x−1)D.3x+2y−7=0或4x+y+6=010. 在坐标平面内，与点A(1, 2)距离为1，且与点B(3, 1)距离为2的直线共有（）A.1条B.2条C.3条D.4条11. 点P(−1, 3)到直线l:y=k(x−2)的距离的最大值等于（）A.2B.3C.3√2D.2√312. 圆(x+1)2+(y−2)2=1上的动点P到直线3x−4y−9=0的最短距离为（）A.3B.4C.5D.6对应的点到直线y=x+1的距离是________．13. 在复平面内，复数21−i14. 直线3x+my−1=0与4x+3y−n=0的交点为(2,−1)，则坐标原点到直线mx+ ny=5的距离为________．15. 点(1, 2)到直线x+2y+5=0的距离为________．，则a=________.16. 已知点P(3,1)到直线l：x+ay−3=0的距离为1217. 过点P(1, 1)引直线使A(2, 3)，B(4, 5)到直线的距离相等，求这条直线方程________．18. 已知两点A(3, 2)和B(−1, 4)到直线x+ay+1＝0的距离相等，则实数a＝________．19. 在平面直角坐标系xOy中，点P(1, 2)到直线y−5=0的距离为________．20. 已知直线m的方程为(a+1)x+ay−3a−1=0(a∈R)，求坐标原点O到m的距离的最大值________.21. 圆x2+(y−1)2=1的圆心到直线x=2的距离是________．22. 已知点A(a, 6)到直线3x −4y −4=0的距离等于4，则a 的值为________．23. 已知圆C:x 2+y 2+ax =0过点(3√22,−√62). (1)求圆C 的标准方程及其圆心、半径；(2)若直线x +y +√2=0分别与x 轴，y 轴交于M ，N 两点，点P 为圆C 上任意一点，求△MNP 面积的取值范围．24. 在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的极坐标方程为 ρ2+12ρcos θ+11=0． （1）求圆心C 的直角坐标．（2）若直线l 的参数方程是{x =t cos αy =t sin α（t 为参数），l 与C 交于A ，B 两点， |AB|=√10，求l 的斜率．25. 已知点A (3,3),B (5,1),C (1,0). (1)求直线AB 的一般式方程；(2)求△ABC 的面积．26. 已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是{x =√2⋅t sin π6，y =t cos7π4−6√2，（t 是参数），以原点O 为极点，Ox 为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ=4cos (θ+π4)． (1)求直线l 的普通方程和圆心C 的直角坐标；(2)求圆C 上的点到直线l 距离的最小值．27. 在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，建立极坐标系.设曲线C 的参数方程为{x =√3cos θ，y =sin θ（θ为参数），直线l 的极坐标方程为ρcos (θ−π4)=2√2． (1)写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)求曲线C上的点到直线l的最大距离．28. 已知三条直线2x−y−3=0，4x−3y−5=0和ax+y−3a+1=0相交于同一点P．（1）求点P的坐标和a的值；（2）求过点(−2, 3)且与点P的距离为2√5的直线方程．29. 一条直线被一个半径为5的球截得的线段长为8，求球心到直线的距离．30. 已知两点A(2, 3)，B(−4, 8)，直线l经过原点且A，B两点到直线1距离相等，求直线l的方程．，求直线l的方程，并求出坐标31. 已知直线l过点(0, −1)，且点(1, −3)到l的距离为3√22原点到直线l的距离．32. 已知点P为直线3x−4y+2=0上的任意一个动点，求点P到点(3, −1)的距离的最小值．33. 直线l过点A(0, 1)，且点B(2, −1)到l的距离是点C(1, 2)到l的距离的2倍，求直线l 的方程．34. 已知直线l:kx−y+1+2k=0，求原点O到直线l距离的最大值．35. 已知A(4, −3)，B(2, −1)和直线l:4x+3y−2=0．（1）求一点P使|PA|=|PB|，且点P到l的距离等于2；（2）在直线l上找一点M，使得点M到A(4, −3)，B(2, −1)距离之和最小．36. 在平面直角坐标系中，已知定点P(x0, y0)，定直线l:Ax+By+C=0（1）请写出点P到直线l的距离公式；（2）试证明这个公式．37. 已知定点P(−2, −1)和直线l：(1+3λ)x+(1+2λ)y−(2+5λ)=0(λ∈R)，求点P到直线l的距离的最大值．38. 设x−y+1=0，求d=√x2+y2+6x−10y+34+√x2+y2−4x−30y+229的最小值．39. 求过点M(2, 2)且与两点A(2, 3)、B(6, −9)等距离的直线l的方程．40. 一直线过点P(−5, −4)，求：（1）与两坐标轴围成的三角形面积为5，求此直线方程．（2）过点P，且与原点的距离等于5的直线方程．参考答案与试题解析数学必修二点到直线的距离公式试题一、选择题（本题共计 12 小题，每题 3 分，共计36分）1.【答案】B【考点】点到直线的距离公式【解析】过O作已知直线的垂线，垂足为P，此时|OP|最小，所以|OP|最小即为原点到直线的距离，利用点到直线的距离公式求出即可．【解答】解：由题意可知：过O作已知直线的垂线，垂足为P，此时|OP|最小，=2√2，则原点(0, 0)到直线x+y−4=0的距离d=√2即|OP|的最小值为2√2．故选B．2.【答案】A【考点】点到直线的距离公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】C【考点】点到直线的距离公式【解析】与直线AB平行的且到直线l的距离都为5的直线共有两条，由线段AB的长度等于10知，还有一条直线是线段AB的中垂线，也满足条件．【解答】解：与直线AB 平行且到直线l 的距离都为5的直线共有两条，分别位于直线AB 的两侧，由线段AB 的长度等于10，还有一条直线是线段AB 的中垂线，故满足上述条件的直线l 共有3条， 故选C ． 4. 【答案】 A【考点】点到直线的距离公式 【解析】过点O 作OE ⊥PQ ，垂足为E ．利用∠POQ =120∘，可得∠OPE =30∘．因此OE =12OP =12．再利用点到直线的距离公式可得12=√1+k 2，解得即可．【解答】解：过点O 作OE ⊥PQ ，垂足为E ．∵ ∠POQ =120∘，∴ ∠POE =60∘，∴ ∠OPE =30∘． ∴ OE =12OP =12．∴ 圆心到直线的距离为12，∴ 12=√1+k 2，解得k =±√3．故选：A ． 5. 【答案】 C【考点】点到直线的距离公式 【解析】利用点到直线的距离公式即可求解即可． 【解答】解：直线l:3x =2即3x −2=0 则点P 0到直线的距离是：√32+02=53．故选C ． 6.【答案】 D【考点】点到直线的距离公式 【解析】利用点到直线的距离公式可得：点P(2m, m 2)到直线x +y +7＝0的距离d =2√2=2√2，再利用二次函数的单调性即可得出．【解答】点P(2m, m 2)到直线x +y +7＝0的距离d =2√2=2√2≥√2=3√2．7.C【考点】点到直线的距离公式【解析】由已知条件分别求出P(35, 85)，A1(3, 0)，B1(0, 2)，A2(1, 0)，B2(0, 4)，由此求出△PA1A2、△PB1B2的面积，从而能求出结果．【解答】解：由{x3+y2=14x+y−4=0，得P(35, 85)，∵直线x3+y2=1的横截距为3，纵截距为2，∴A1(3, 0)，B1(0, 2)，∵4x+y−4=0中，x=0时，y=4，y=0时，x=1，∴A2(1, 0)，B2(0, 4)，∴S1=12(3−1)×85=85，S2=12(4−2)×35=35．∴S1>S2．故选：C．8.【答案】B【考点】点到直线的距离公式【解析】利用点到直线的距离公式求解．【解答】解：点(0, −1)到直线x+2y=3的距离为：d=√12+22=√5，故选：B．9.【答案】B【解析】设出直线l的斜率表示出直线l的方程，然后利用点到直线的距离公式表示出M与N到直线l的距离，让其相等得到关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，根据P的坐标和求出的斜率k写出直线的方程即可．【解答】解：设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y−2=k(x−1)即kx−y+2−k=0由题意可得：√1+k2=√1+k2，化简得k−1=3k+7或k−1=−3k−7，解得k=−4或k=−32则直线l的方程为：y−2=−4(x−1)或y−2=−32(x−1)即3x+2y−7=0或4x+ y−6=0．故选B10.【答案】B【考点】点到直线的距离公式【解析】由题意，A、B到直线距离是1和2，则以A、B为圆心，以1、2为半径作圆，两圆的公切线的条数即可．【解答】解：分别以A、B为圆心，以1、2为半径作圆，两圆的公切线有两条，即为所求．故选B．11.【答案】C【考点】点到直线的距离公式【解析】此题暂无解析【解答】解：直线l:y=k(x−2)的方程化为kx−y−2k=0，所以点P(−1, 3)到直线l的距离d=2=3√k2+2k+1k+1=3√1+2kk+1．因为2kk+1≤1，所以d≤3√2，即点P到直线l的距离的最大值等于3√2．故选C．12.【答案】A【解析】根据题意画出图形，过圆心A作AB垂直于已知直线，垂足为B，与圆交于点C，根据图形可知当动点P运动到C位置时，到已知直线的距离最短，最短距离为|CB|，所以利用点到直线的距离公式求出圆心A到已知直线的距离，即为|AB|的长，由|AB|减去圆的半径|AC|的长即可求出|CB|的长，即为最短距离．【解答】解：根据题意画出图形，如图所示：由圆的方程，得到圆心A的坐标为(−1, 2)，半径r=1，圆心到直线3x−4y−9=0的距离|AB|=|−3−8−9|5=4，则当动点P运动到点C位置时，到已知直线的距离最短，所以最短距离为|CB|=|AB|−|AC|=4−1=3．故选A．二、填空题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）13.【答案】√22【考点】点到直线的距离公式【解析】复数21−i化为a+bi的形式，得到(a, b)，然后求它到直线的距离．【解答】解：复数21−i =2(1+i)(1−i)(1+i)=1+i，在复平面内，复数21−i对应的点是(1, 1)，此点到直线y=x+1的距离是√2=√22故答案为：√22．14.【答案】√22【考点】点到直线的距离公式【解析】先求出直线方程，再根据点到直线距离公式求解【解答】解：将交点坐标待入直线方程可得：m=5,n=5.所以目标直线方程为：x+y=1.根据点到直线距离公式得：d=√12+12=√22.15.【答案】2√5【考点】点到直线的距离公式【解析】直接利用点到直线的距离公式求解．【解答】解：点(1, 2)到直线x+2y+5=0的距离为d=√12+22=2√5故答案为：2√516.【答案】±√3 3【考点】点到直线的距离公式【解析】利用点到直线的距离公式求解即可.【解答】解：∵点P(3,1)到直线l：x+ay−3=0的距离为12，∴√12+a2=12，解得a=±√33.故答案为：±√33.17.【答案】2x−y−1=0或3x−2y−1=0【考点】点到直线的距离公式【解析】可知当直线平行于直线AB时，或过AB的中点时满足题意，分别求其斜率可得方程．【解答】解：当直线平行于直线AB时，或过AB的中点时满足题意，当直线平行于直线AB时，所求直线的斜率为k=5−34−2=1，故直线方程为y−1=2(x−1)，即2x−y−1=0；当直线过AB的中点(3, 4)时，斜率为k=4−13−1=32，故直线方程为y−1=32(x−1)，即3x−2y−1=0；故答案为：2x−y−1=0或3x−2y−1=018.【答案】2或−23【考点】点到直线的距离公式【解析】利用点到直线的距离公式即可得出．【解答】∵两点A(−3, −2)，B(−1, 4)到直线l:x+ay+1＝0的距离相等，∴√a2+1=√a2+1，化为|2a+2|＝|4a|．∴2a+2＝±4a，解得a＝2或−23．19.【答案】3【考点】点到直线的距离公式【解析】由于y=5与y轴垂直，直接得出点P(1, 2)到直线y−5=0的距离．【解答】解：点P(1, 2)到直线y−5=0的距离d=5−2=3．故答案为：3．20.【答案】√5【考点】点到直线的距离公式【解析】此题暂无解析【解答】解：易求得直线m恒过点B(1,2),故原点O到直线m的距离d≤|OB|=√5，∴ O 到直线m 的距离的最大值为√5. 故答案为：√5. 21.【答案】 2【考点】点到直线的距离公式 【解析】求出圆心与半径，利用点到直线的距离公式，即可得到结果． 【解答】解：圆x 2+(y −1)2=1的圆心(0, 1)，半径为1，所以圆x 2+(y −1)2=1的圆心到直线x =2的距离是：|2−0|=2； 故答案为：2． 22. 【答案】 16或83【考点】点到直线的距离公式 【解析】应用点到直线的距离公式，直接解答即可． 【解答】解：∵ 点A(a, 6)到直线3x −4y −4=0的距离等于4， 根据点到直线的距离公式，得22=4；|3a −28|=20， 3a −28=±20， ∴ a =16或83． 故答案为：16或83．三、 解答题 （本题共计 18 小题 ，每题 10 分 ，共计180分 ） 23. 【答案】解：(1)由题意可得，(3√22)2+(−√62)2+3√22a =0，解得a =−2√2，所以圆C 的方程为x 2+y 2−2√2x =0， 即圆C 的标准方程为(x −√2)2+y 2=2， 其圆心为(√2,0)，半径为√2．(2)由题意可得，M(−√2,0)，N(0,−√2)， 所以|MN|=2，所以圆心到直线MN 的距离为√2+0+√2|√12+12=2，所以点P 到直线MN 的最小距离为2−√2，最大距离为2+√2， 所以△MNP 的面积的最小值为12×2×(2−√2)=2−√2，最大值为12×2×(2+√2)=2+√2，所以△MNP 的面积的取值范围为[2−√2,2+√2]． 【考点】圆的标准方程与一般方程的转化 点与圆的位置关系 点到直线的距离公式 【解析】 【解答】解：(1)由题意可得，(3√22)2+(−√62)2+3√22a =0，解得a =−2√2，所以圆C 的方程为x 2+y 2−2√2x =0， 即圆C 的标准方程为(x −√2)2+y 2=2， 其圆心为(√2,0)，半径为√2．(2)由题意可得，M(−√2,0)，N(0,−√2)， 所以|MN|=2，所以圆心到直线MN 的距离为√2+0+√2|√12+12=2，所以点P 到直线MN 的最小距离为2−√2，最大距离为2+√2， 所以△MNP 的面积的最小值为12×2×(2−√2)=2−√2，最大值为12×2×(2+√2)=2+√2，所以△MNP 的面积的取值范围为[2−√2,2+√2]． 24.【答案】解:(1)由 ρ2+12ρcos θ+11=0 得： x 2+y 2+12x +11=0, 即： (x +6)2+y 2=25，综上所述，圆C 的圆心坐标为： (−6,0).(2)由 {x =t cos αy =t sin α （t 为参数），得： x cos α−y sin α=0， 圆心 C (−6,0) 到直线的距离为2=6|cosα|，则 36cos 2α+104=25 ,所以cos 2α=58，所以sin 2α=38，所以tan 2α=35, 所以k =tan α=±√155综上所述，l 的斜率为±√155. 【考点】直线的参数方程 圆的极坐标方程同角三角函数基本关系的运用 直线与圆的位置关系 圆的标准方程 点到直线的距离公式【解析】本题考查圆的极坐标方程和直角坐标方程的转化，将圆 C 的极坐标方程ρ2+12ρcos θ+11=0转化为 (x +6)2+y 2=25，即可求解圆心C 的直角坐标.本题考查直线斜率的求法，考直线参数方程的应用，点到直线的距离公式的，同角三角函数的基本关系.根据直线l 的参数方程得到 x cos α−y sin α=0，即可求出圆心 C (−6,0) 到直线的距离为6|cosα|，再根据 |AB|=√10求出cos 2α的值，进而得到sin 2α的值，根据同角三角函数的基本关系求出tan 2α的值,即可得到l 的斜率为±√155. 【解答】解:(1)由 ρ2+12ρcos θ+11=0 得： x 2+y 2+12x +11=0,即： (x +6)2+y 2=25，综上所述，圆C 的圆心坐标为： (−6,0).(2)由 {x =t cos αy =t sin α （t 为参数），得： x cos α−y sin α=0， 圆心 C (−6,0) 到直线的距离为2=6|cosα|，则 36cos 2α+104=25 ,所以cos 2α=58， 所以sin 2α=38， 所以tan 2α=35,所以k=tanα=±√155综上所述，l的斜率为±√155.25.【答案】解：(1)∵A(3,3)，B(5,1)，∴直线AB的方程为y−31−3=x−35−3⇒x+y−6=0．(2)|AB|=√(3−5)2+(3−1)2=2√2；点C(1,0)到直线AB的距离d=√12+12=52√2，∴△ABC的面积S=12|AB|⋅d=5．【考点】直线的两点式方程两点间的距离公式点到直线的距离公式【解析】无无【解答】解：(1)∵A(3,3)，B(5,1)，∴直线AB的方程为y−31−3=x−35−3⇒x+y−6=0．(2)|AB|=√(3−5)2+(3−1)2=2√2；点C(1,0)到直线AB的距离d=√12+12=52√2，∴△ABC的面积S=12|AB|⋅d=5．26.【答案】解：(1)直线l的参数方程是{x=√2⋅t sinπ6，y=t cos7π4−6√2，（t是参数），可得：{x=√22t，y=√22t−6√2，消去可得：y=x−6√2，∴直线l的普通方程为y=x−6√2.又∵ρ=4cos(θ+π4)，开展可得：ρ=2√2cosθ−2√2sinθ，得：ρ2=2√2xρcosθ−2√2ρsinθ，根据ρsinθ=y，ρcosθ=x，∴圆C的普通方程为x2+y2=2√2x−2√2y，即x2+y2−2√2x+2√2y=0，即：圆心C的直角坐标为(√2，−√2)，半径r=2．(2)圆C上的点到直线l距离的最小值．即是圆心到直线的距离减去半径．由(1)可得圆心C的直角坐标为(√2，−√2)，半径r=2，∴圆心到直线的距离d=√2+√2−6√2|√2=4.又d−r=2，∴圆C上的点到直线l距离最小值为2．【考点】参数方程与普通方程的互化圆的极坐标方程点到直线的距离公式【解析】（1）利用同角三角函数关系式和诱导公式，两角和与差的公式，ρsinθ=y，ρcosθ= x消去参数即可得直线l的普通方程和圆心C的直角坐标（2）利用圆心到直线的距离减去半径即可是最小值．【解答】解：(1)直线l的参数方程是{x=√2⋅t sinπ6，y=t cos7π4−6√2，（t是参数），可得：{x=√22t，y=√22t−6√2，消去可得：y=x−6√2，∴直线l的普通方程为y=x−6√2.又∵ρ=4cos(θ+π4)，开展可得：ρ=2√2cosθ−2√2sinθ，得：ρ2=2√2xρcosθ−2√2ρsinθ，根据ρsinθ=y，ρcosθ=x，∴圆C的普通方程为x2+y2=2√2x−2√2y，即x2+y2−2√2x+2√2y=0，即：圆心C的直角坐标为(√2，−√2)，半径r=2．(2)圆C上的点到直线l距离的最小值．即是圆心到直线的距离减去半径．由(1)可得圆心C的直角坐标为(√2，−√2)，半径r=2，∴圆心到直线的距离d=√2+√2−6√2|√2=4.又d−r=2，∴圆C上的点到直线l距离最小值为2．27.【答案】解：(1)由ρcos(θ−π4)=2√2得：ρ(cosθ+sinθ)=4，∴直线l:x+y−4=0．由{x =√3cos θ，y =sin θ得：C:x 23+y 2=1．(2)在C:x 23+y 2=1上任取一点P(√3cos θ，sin θ)，则点P 到直线l 的距离d =√3cos √2=|2sin (θ+π3)−4|√2≤√2=3√2，∴ 当sin (θ+π3)=−1，即θ=−56π+2kπ，k ∈Z 时，d max =3√2． 【考点】直线的极坐标方程 三角函数的最值 椭圆的参数方程 点到直线的距离公式【解析】（1）利用两角差的余弦公式及极坐标与直角坐标的互化公式可得直线l 的普通方程；利用同角三角函数的基本关系，消去θ可得曲线C 的普通方程．（2）由点到直线的距离公式、两角和的正弦公式，及正弦函数的有界性求得点P 到直线l 的距离的最大值． 【解答】解：(1)由ρcos (θ−π4)=2√2得：ρ(cos θ+sin θ)=4， ∴ 直线l:x +y −4=0．由{x =√3cos θ，y =sin θ得：C:x 23+y 2=1．(2)在C:x 23+y 2=1上任取一点P(√3cos θ，sin θ)，则点P 到直线l 的距离d =√3cos √2=|2sin (θ+π3)−4|√2≤√2=3√2，∴ 当sin (θ+π3)=−1，即θ=−56π+2kπ，k ∈Z 时，d max =3√2．28. 【答案】解：（1）联立{2x −y −3=04x −3y −5=0，解得{x =2y =1，∴ 点P(2, 1)．将P 的坐标(2, 1)代入直线ax +y −3a +1=0中，可得2a +1−3a +1=0，解得a =2．（2）设所求直线为l ，当直线l 的斜率不存在时，则l 的方程为x =−2， 此时点P 与直线l 的距离为4，不合题意． 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y −3=k(x +2)，即kx −y +2k +3=0， 因此点P 到直线l 的距离d =√k 2+1=2√5，解方程可得k =2．所以直线l 的方程为2x −y +7=0． 【考点】点到直线的距离公式 两条直线的交点坐标 【解析】（1）联立{2x −y −3=04x −3y −5=0，解得点P(2, 1)．将P 的坐标(2, 1)代入直线ax +y −3a +1=0中，解得a 即可．（2）设所求直线为l ，当直线l 的斜率不存在时，则l 的方程为x =−2；不合题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y −3=k(x +2)，利用点到直线的距离公式即可得出． 【解答】解：（1）联立{2x −y −3=04x −3y −5=0，解得{x =2y =1，∴ 点P(2, 1)．将P 的坐标(2, 1)代入直线ax +y −3a +1=0中，可得2a +1−3a +1=0，解得a =2．（2）设所求直线为l ，当直线l 的斜率不存在时，则l 的方程为x =−2， 此时点P 与直线l 的距离为4，不合题意． 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y −3=k(x +2)，即kx −y +2k +3=0， 因此点P 到直线l 的距离d =√k 2+1=2√5，解方程可得k =2．所以直线l 的方程为2x −y +7=0． 29.【答案】设球心到直线的距离为d ， 则d =√52−(12×8)2=3，∴ 球心到直线的距离为3． 【考点】点到直线的距离公式 【解析】构造直角三角形，利用勾股定理即可求解． 【解答】设球心到直线的距离为d ， 则d =√52−(12×8)2=3，∴ 球心到直线的距离为3． 30.【答案】解：由已知可知直线的斜率存在，设直线的方程为y =kx ，化为kx −y =0， ∵ A(2, 3)、B(−4, 8)两点到直线的距离相等， ∴√1+k 2=√1+k 2，解得k =−112或k =−56． ∴ 直线的方程为：y =−112x 或y =−56x ．即：11x +2y =0或5x +6y =0． 【考点】点到直线的距离公式 【解析】由已知可知直线的斜率存在，设直线的方程为y =kx ，利用点到直线的距离公式即可得出 【解答】解：由已知可知直线的斜率存在，设直线的方程为y =kx ，化为kx −y =0， ∵ A(2, 3)、B(−4, 8)两点到直线的距离相等， ∴2=2，解得k =−112或k =−56． ∴ 直线的方程为：y =−112x 或y =−56x ．即：11x +2y =0或5x +6y =0．31.【答案】解：点(0, −1)是直线在y 轴截距，∴ 设直线y =kx −1即kx −y −1=0，点(1, −3)到直线距离为3√22， 则2=3√22，解得：k =17或k =1．∴ 直线l 的方程为x −7y −7=0或x −y −1=0． 坐标原点到直线x −7y −7=0的距离为d =22=7√210， 坐标原点到直线x −y −1=0的距离为d =√2=√22． ∴ 坐标原点到直线l 的距离为：7√210或√22．【考点】点到直线的距离公式 【解析】由点(0, −1)是直线在y 轴截距，设直线y =kx −1即kx −y −1=0，由点到直线的距离公式求出k 的值，则直线l 的方程可求，把原点的坐标直接代入点到直线的距离公式进行运算，则答案可求． 【解答】解：点(0, −1)是直线在y 轴截距，∴ 设直线y =kx −1即kx −y −1=0，点(1, −3)到直线距离为3√22， 则√k 2+1=3√22，解得：k =17或k =1．∴ 直线l 的方程为x −7y −7=0或x −y −1=0． 坐标原点到直线x −7y −7=0的距离为d =22=7√210， 坐标原点到直线x −y −1=0的距离为d =2=√22． ∴ 坐标原点到直线l 的距离为：7√210或√22． 32.【答案】解：∵ 点(3, −1)到直线3x −4y +2=0的距离： d =√9+16=3，点P 为直线3x −4y +2=0上的任意一个动点， ∴ 点P 到点(3, −1)的距离的最小值为3． 【考点】点到直线的距离公式 【解析】由点(3, −1)到直线3x −4y +2=0的距离d =√9+16=3，能求出点P 到点(3, −1)的距离的最小值为3． 【解答】解：∵ 点(3, −1)到直线3x −4y +2=0的距离： d =√9+16=3，点P 为直线3x −4y +2=0上的任意一个动点， ∴ 点P 到点(3, −1)的距离的最小值为3． 33.【答案】解：设直线的斜率为k ．若k 不存在时，l:x =0（符合题意） 若k 存在时，l:y =kx +1 则√1+k 2=2×√k 2+1∴ k =0∴ 所求l:x =0或y =1 【考点】点到直线的距离公式 【解析】设直线的斜率为k ．对k 的存在与否进行讨论：若k 不存在时，l:x =0（符合题意）；若k 存在时，l:y =kx +1，由该直线过A 点，写出该直线的方程，然后利用点到直线的距离公式列出关于k 的方程，求出方程的解即可得到k 的值，然后根据求出的斜率和A 的坐标写出直线的方程即可． 【解答】解：设直线的斜率为k ．若k 不存在时，l:x =0（符合题意） 若k 存在时，l:y =kx +1 则2=2×2∴ k =0∴ 所求l:x =0或y =1 34.【答案】解：直线l:kx −y +1+2k =0，恒过定点(−2, 1)，原点(0, 0)到直线距离的最大值，即为原点(0, 0)到点(−2, 1)的距离d ．d =√(−2)2+12=√5．原点O 到直线l 距离的最大值：√5． 【考点】点到直线的距离公式 【解析】写出原点的坐标，由题意可知原点到已知直线的距离的最大值即为原点到直线恒过的定点间的距离，所以利用两点间的距离公式求出原点到定点间的距离即为距离的最大值． 【解答】解：直线l:kx −y +1+2k =0，恒过定点(−2, 1)，原点(0, 0)到直线距离的最大值，即为原点(0, 0)到点(−2, 1)的距离d ． d =√(−2)2+12=√5．原点O 到直线l 距离的最大值：√5． 35.【答案】 解：（1）设P(x, y)，∵ A(4, −3)，B(2, −1)，直线l:4x +3y −2=0． |PA|=|PB|，且点P 到l 的距离等于2， ∴ {√(x −4)2+(y +3)2=√(x −2)2+(y +1)216+9=2，整理，得{3x +2y −5=04x +3y −12=0，或{3x +2y −5=04x +3y +8=0，解得{x =−9y =16或{x =31y =−44．∴ P(−9, 16)或P(31, −44)．（2）∵ A(4, −3)，B(2, −1)，直线l:4x +3y −2=0， 设B(2, −1)关于直线l:4x +3y −2=0的对称点为B′(a, b)， 则{4×a+22+3×b−12−2=0b+1a−2=34，解得a =2625，b =−4325，∴ 点M 到A(4, −3)，B(2, −1)距离之和最小值为： |AB′|=√(4−2625)2+(−3+4325)2=2√655． 【考点】点到直线的距离公式 【解析】（1）设P(x, y)，由两点间距离公式和点到直线距离公式列出方程组，由此能求出P 点坐标．（2）求出B(2, −1)关于直线l:4x +3y −2=0的对称点为B′(a, b)，点M 到A(4, −3)，B(2, −1)距离之和最小值为|AB′|．【解答】 解：（1）设P(x, y)，∵ A(4, −3)，B(2, −1)，直线l:4x +3y −2=0． |PA|=|PB|，且点P 到l 的距离等于2， ∴ {√(x −4)2+(y +3)2=√(x −2)2+(y +1)2√16+9=2，整理，得{3x +2y −5=04x +3y −12=0，或{3x +2y −5=04x +3y +8=0，解得{x =−9y =16或{x =31y =−44．∴ P(−9, 16)或P(31, −44)．（2）∵ A(4, −3)，B(2, −1)，直线l:4x +3y −2=0， 设B(2, −1)关于直线l:4x +3y −2=0的对称点为B′(a, b)， 则{4×a+22+3×b−12−2=0b+1a−2=34，解得a =2625，b =−4325，∴ 点M 到A(4, −3)，B(2, −1)距离之和最小值为： |AB′|=√(4−2625)2+(−3+4325)2=2√655． 36.【答案】 解：（1）平面直角坐标系中，点P(x 0, y 0)到直线Ax +By +C =0的距离为 d =0022（2）证明：设PQ 垂直直线l 于Q ，当B =0时，直线l 为：x =−CA ，所以d =|x 0−(−CA )|=0√A 2，满足公式； 当A =0时，直线l 为：y =−CB ，所以d =|y 0−(−CB )|=02，满足公式；当A ≠0，且B ≠0时，直线l 与x 轴、y 轴都相交，过点P 作x 轴的平行线，交l 与点R(x 1, y 0)，作y 轴的平行线交l 于点S(x 0, y 2)，如图所示：把点R的坐标代入l的方程，求出x1=−By0+CA，把点S的坐标代入l的方程，求出y2=−Ax0+CB，所以|PR|=|x0−x1|=|Ax0+By0+CA|，|PS|=|y0−y2|=|Ax0+By0+CB|，|RS|=√|PR|2+|PS|2=√A2+B2|A⋅B|⋅|Ax0+By0+C|；由三角形的面积公式，得d⋅|RS|=|PR|⋅|PS|，所以d=|PQ|=|Ax0+By0+C|√A2+B2；综上，点P(x0, y0)到直线Ax+By+C=0的距离为d=|Ax0+By0+C|√A2+B2．【考点】点到直线的距离公式【解析】（1）写出平面直角坐标系中，点到直线的距离公式即可；（2）证明公式时应讨论B=0或A=0以及A≠0，且B≠0时，点到直线l的距离公式是什么，分别求出即可．【解答】解：（1）平面直角坐标系中，点P(x0, y0)到直线Ax+By+C=0的距离为d=00√A2+B2（2）证明：设PQ垂直直线l于Q，当B=0时，直线l为：x=−CA ，所以d=|x0−(−CA)|=02，满足公式；当A=0时，直线l为：y=−CB ，所以d=|y0−(−CB)|=0√B2，满足公式；当A≠0，且B≠0时，直线l与x轴、y轴都相交，过点P作x轴的平行线，交l与点R(x1, y0)，作y轴的平行线交l于点S(x0, y2)，如图所示：把点R 的坐标代入l 的方程，求出x 1=−By 0+CA ，把点S 的坐标代入l 的方程，求出y 2=−Ax 0+C B，所以|PR|=|x 0−x 1|=|Ax 0+By 0+CA|，|PS|=|y 0−y 2|=|Ax 0+By 0+CB|，|RS|=√|PR|2+|PS|2=√A 2+B 2|A⋅B|⋅|Ax 0+By 0+C|；由三角形的面积公式，得d ⋅|RS|=|PR|⋅|PS|， 所以d =|PQ|=|Ax 0+By 0+C|√A 2+B 2；综上，点P(x 0, y 0)到直线Ax +By +C =0的距离为 d =|Ax 0+By 0+C|√A 2+B 2．37.【答案】解：直线l ：(1+3λ)x +(1+2λ)y −(2+5λ)=0(λ∈R)，化为(x +y −2)+λ(3x +2y −5)=0，令{x +y −2=03x +2y −5=0，解得{x =1y =1．∴ 直线l 过定点M(1, 1)．∴ 点P 到直线l 的距离的最大值为|PM|=√32+22=√13．【考点】点到直线的距离公式 【解析】直线l ：(1+3λ)x +(1+2λ)y −(2+5λ)=0(λ∈R)，化为(x +y −2)+λ(3x +2y −5)=0，可得直线l 过定点M ．即可得出点P 到直线l 的距离的最大值=|PM|． 【解答】解：直线l ：(1+3λ)x +(1+2λ)y −(2+5λ)=0(λ∈R)，化为(x +y −2)+λ(3x +2y −5)=0，令{x +y −2=03x +2y −5=0，解得{x =1y =1．∴ 直线l 过定点M(1, 1)．∴ 点P 到直线l 的距离的最大值为|PM|=√32+22=√13．38.【答案】解：d=√x2+y2+6x−10y+34+√x2+y2−4x−30y+229=√(x+3)2+(y−5)2+√(x−2)2+(y−15)2可看作点A(−3, 5)和B(2, 15)到直线x−y+1=0，上的点的距离之和，作A(−3, 5)关于直线x−y+1=0，对称的点A′(4, −2)，则d min=|A′B|=√293【考点】点到直线的距离公式【解析】由题设条件知，p=√(x+3)2+(y−5)2+√(x−2)2+(y−15)2可看作点A(−3, 5)和B(2, 15)到直线x−y+1=0，上的点的距离之和，作A(−3, 5)关于直线x−y+1= 0，对称的点A′(4, −2)，则d min=|A′B|=√293【解答】解：d=√x2+y2+6x−10y+34+√x2+y2−4x−30y+229=√(x+3)2+(y−5)2+√(x−2)2+(y−15)2可看作点A(−3, 5)和B(2, 15)到直线x−y+1=0，上的点的距离之和，作A(−3, 5)关于直线x−y+1=0，对称的点A′(4, −2)，则d min=|A′B|=√29339.【答案】解：设过点M(2, 2)的直线l的方程为y=k(x−2)+2，即kx−y−2k+2=0，∵直线l与两点A(2, 3)、B(6, −9)等距离，∴√k2+1=√k2+1，解得k=−52或k=−3，∴直线方程为：y=−52(x−2)+2或y=−3(x−2)+2．整理，得：5x+2y−14=0或3x+y−8=0．【考点】点到直线的距离公式【解析】设过点M(2, 2)的直线l的方程为y=k(x−2)+2，由直线l与两点A(2, 3)、B(6, −9)等距离，得到√k2+1=√k2+1，由此能求出直线方程．【解答】解：设过点M(2, 2)的直线l的方程为y=k(x−2)+2，即kx−y−2k+2=0，∵直线l与两点A(2, 3)、B(6, −9)等距离，∴√k2+1=√k2+1，解得k=−52或k=−3，∴直线方程为：y=−52(x−2)+2或y=−3(x−2)+2．整理，得：5x+2y−14=0或3x+y−8=0．40.【答案】解：（1）由题意，得直线l不垂直于坐标轴，设l的方程为y+4=k(x+5)．令x=0，得y=5k−4；令y=0，得x=4k−5，即直线在两坐标轴上的截距分别为4k−5和5k−4．由题意，得12|(4k−5)(5k−4)|=5，所以(4k−5)(5k−4)=±10．若(4k−5)(5k−4)=10时，k无解；若(4k −5)(5k−4)=−10时，解得k=85或25．故所求直线方程为y+4=85(x+5)或y+4=25(x+5)．即为8x−5y+20=0或2x−5y−10=0．（2）①当过点P(−5, −4)的直线与x轴垂直时，则点P(−5, −4)到原点的距离为5，所以x=−5为所求直线方程．②当过点P(−5, −4)且与x轴不垂直时，可设所求直线方程为y+4=k(x+5)，即：kx−y+5k−4=0，由题意有√k2+1=5，解得k=−940，故所求的直线方程为y+4=−940(x+5)，即9x+40y+205=0．综上，所求直线方程为x=−5或9x+40y+205=0．【考点】点到直线的距离公式【解析】（1）由题意得直线l不垂直于坐标轴，设l的方程为y+4=k(x+5)．分别令x=0，y=0，得到坐标轴上的截距，再由面积公式，解方程得到斜率k，即可得到直线方程；（2）分别设出斜率不存在和存在的直线方程，再由点到直线的距离公式，求出斜率k即可得到直线方程．【解答】解：（1）由题意，得直线l不垂直于坐标轴，设l的方程为y+4=k(x+5)．令x=0，得y=5k−4；令y=0，得x=4k−5，即直线在两坐标轴上的截距分别为4k−5和5k−4．由题意，得12|(4k−5)(5k−4)|=5，所以(4k−5)(5k−4)=±10．若(4k−5)(5k−4)=10时，k无解；若(4k −5)(5k−4)=−10时，解得k=85或25．故所求直线方程为y+4=85(x+5)或y+4=25(x+5)．即为8x−5y+20=0或2x−5y−10=0．（2）①当过点P(−5, −4)的直线与x轴垂直时，则点P(−5, −4)到原点的距离为5，所以x=−5为所求直线方程．②当过点P(−5, −4)且与x轴不垂直时，可设所求直线方程为y+4=k(x+5)，即：kx−y+5k−4=0，由题意有√k2+1=5，解得k=−940，故所求的直线方程为y+4=−940(x+5)，即9x+40y+205=0．综上，所求直线方程为x=−5或9x+40y+205=0．。

一、单选题1. 抛物线上的点P到直线距离的最小值为（）D．A．B．C．2. 已知则直线与圆的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不能确定3. 在唐诗“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即认为回到军营，则当“将军饮马”的总路程最短时，将军去往河边饮马的行走路线所在的直线方程为（）A．B．C．D．4. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（）A．4 B．5D．C．5. 若点到直线的距离为4，且在不等式表示的平面区域内，则点的横坐标是（）A．7或-3 B．7 C．-3 D．-7或36. 若对一个角，存在角满足，则称为的“伴随角”.有以下两个命题：①若，则必存在两个“伴随角”；②若，则必不存在“伴随角”；则下列判断正确的是（）A．①正确②正确；B．①正确②错误；C．①错误②正确；D．①错误②错误.二、多选题7. 已知直线l的一个方向向量为，且l经过点，则下列结论中正确的是（）A．l的倾斜角等于150°B．l在x轴上的截距等于C．l与直线平行D．l上存在与原点距离等于2的点8. 已知直线，则下列结论正确的是（）A．直线的倾斜角是B．过与直线平行的直线方程是C．若直线，则D．点到直线的距离是2三、填空题9. 如图，已知为等腰直角三角形，其中，且，光线从边上的中点出发，经，反射后又回到点（反射点分别为，），则光线经过的路径总长_______．10. 已知平面上一点，若直线l上存在点P，使，则称该直线为点M的“相关直线”，下列直线中是点M的“相关直线”的是___________.（填序号）①；②；③；④.11. 对于任意实数，直线与直线外一点的距离为，则的取值范围为__________12. 设动直线经过定点，则当点与直线的距离最大时，直线的斜率为___________.四、解答题13. （1）已知点和，点在轴上，且为直角，求点的坐标.（2）已知直线与两平行直线和的距离相等，求直线的方程；14. 已知点，.（1）若点在轴上，且，求的重心到的距离；（2）若，两点到直线的距离相等，求的值.15. 在平面直角坐标系中，点，，直线.(1)在直线上找一点使得最小，并求这个最小值和点的坐标；(2)在直线上找一点使得最大，并求这个最大值和点的坐标.16. 已知点.(1)求过点P且与原点的距离为1的直线的方程；(2)是否存在过点P且与原点的距离为4的直线？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由.。

2.2.4 点到直线的距离一、选择题1．在直线3x－4y－27＝0上到点P(2,1)距离最近的点的坐标是() A．(5，－3)B．(9,0)C．(－3,5) D．(－5,3)2．过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程是()A．x＋2y－5＝0 B．2x＋y－4＝0C．x＋3y－7＝0 D．3x＋y－5＝03．与直线2x＋y＋1＝0的距离为55的直线的方程是()A．2x＋y＝0B．2x＋y－2＝0C．2x＋y＝0或2x＋y－2＝0D．2x＋y＝0或2x＋y＋2＝04．过点P(1,2)引直线，使A(2,3)，B(4，－5)到它的距离相等，则这条直线的方程是()A．4x＋y－6＝0B．x＋4y－6＝0C．2x＋3y－7＝0或x＋4y－6＝0D．3x＋2y－7＝0或4x＋y－6＝05．已知平行四边形相邻两边所在的直线方程是l1：x－2y＋1＝0和l2：3x－y－2＝0，此四边形两条对角线的交点是(2,3)，则平行四边形另外两边所在直线的方程是()A．2x－y＋7＝0和x－3y－4＝0B．x－2y＋7＝0和3x－y－4＝0C．x－2y＋7＝0和x－3y－4＝0D．2x－y＋7＝0和3x－y－4＝06．到直线3x－4y－1＝0距离为2的点的轨迹方程是()A．3x－4y－11＝0B．3x－4y＋11＝0C．3x－4y－11＝0或3x－4y＋9＝0D．3x－4y＋11＝0或3x－4y－9＝07．顺次连结A(－4,3)、B(2,5)、C(6,3)、D(－3,0)所组成的图形是()A．平行四边形B．直角梯形C．等腰梯形 D．以上都不对8．直线ax＋3y－9＝0与直线x－3y＋b＝0关于原点对称，则a、b的值分别为()A．1,9 B．－1，－9C．1，－9 D．－1,9二、填空题9．过点A(－3,1)的直线中，与原点距离最远的直线方程为________________．10．与直线3x＋4y－3＝0平行，并且距离为3的直线方程为________________．11．已知a、b、c为某一直角三角形的三边长，c为斜边，若点P(m，n)在直线ax＋by＋2c＝0上，则m2＋n2的最小值为__________．12．与三条直线l1：x－y＋2＝0，l2：x－y－3＝0，l3：x＋y－5＝0，可围成正方形的直线方程为__________．三、解答题13．(2010·曲师大附中高一期末检测)已知正方形中心G(－1,0)，一边所在直线方程为x＋3y－5＝0，求其它三边所在直线方程．14．(2010·山东聊城高一期末检测)已知点A(2,4)，B(1，－2)，C(－2,3)，求△ABC 的面积．15．求经过点A(2，－1)且与点B(－1,1)的距离为3的直线方程．16．已知直线l经过点A(2,4)，且被平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y－1＝0所截得的线段的中点M在直线x＋y－3＝0上．求直线l的方程．17．已知直线l过点P(3,1)，且被两平行直线l1：x＋y＋1＝0和l2：x＋y＋6＝0 截得的线段的长为5，求直线l的方程．1. [答案] A[解析] 当PQ 与已知直线垂直，垂足为Q 时，点Q (5，－3)即为所求．2. [答案] A[解析] 所求直线与两点A (1,2)，O (0,0)连线垂直时与原点距离最大．3. [答案] D[解析] 验证法：直线2x ＋y ＝0与2x ＋y ＋1＝0的距离为122＋12＝55， 直线2x ＋y ＋2＝0与2x ＋y ＋1＝0的距离为|2－1|22＋12＝55，故选D. 4. [答案] D[解析] 设直线方程为Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)，∵直线过(1,2)且与A 、B 两点距离相等， 则⎩⎨⎧ A ＋2B ＋C ＝0 ①|2A ＋3B ＋C |A 2＋B 2＝|4A －5B ＋C |A 2＋B 2 ②由②得：A ＝4B 或3A －B ＋C ＝0. 当A ＝4B 时，C ＝－6B ，直线方程4Bx ＋By －6B ＝0即4x ＋y －6＝0.当3A －B ＋C ＝0时，2A ＝3B ，－7A ＝3C ，∴直线方程3Ax ＋2Ay －7A ＝0，即3x ＋2y －7＝0.点评：本题实际解答比较麻烦，作为选择题可用检验淘汰法，由P (1,2)在所求直线上，排除B ，C.故只须检验A 、B 两点到直线3x ＋2y －7＝0的距离是否相等即可，选D.5. [答案] B[解析] 解法一：l 1关于P (2,3)的对称直线l 3，l 2关于P (2,3)的对称直线l 4，就是另两边所在直线．解法二：因为另两边分别与l 1、l 3平行且到P (2,3)距离分别相等，∴设l 3：x －2y ＋c 1＝0，l 4：3x －y ＋c 2＝0，由点到直线距离公式得出． 解法三：l 1的对边与l 1平行应为x －2y ＋c ＝0形式排除A 、D ；l 2对边也与l 2平行，应为3x －y ＋c 1＝0形式排除C ，∴选B.[解析] 设所求轨迹上任意点P (x ，y )， 由题意，得|3x －4y －1|32＋42＝2， 化简得3x －4y －11＝0或3x －4y ＋9＝0.7. [答案] B[解析] ∵k AB ＝k CD ＝13，k BC ＝－12，k AD ＝－3，∴AB ∥CD ，AB ⊥AD .8. [答案] B[解析] 设直线ax ＋3y －9＝0关于原点对称的直线方程为－ax －3y －9＝0，又∵直线ax ＋3y －9＝0与直线x －3y ＋b ＝0关于原点对称，∴－a ＝1，b ＝－9，即a ＝－1，b ＝－9.9. [答案] 3x －y ＋10＝0[解析] 设原点为O ，则所求直线过点A (－3,1)且与OA 垂直，又k OA ＝－13，∴所求直线的斜率为3，故其方程为y －1＝3(x ＋3)．即3x －y ＋10＝0.10. [答案] 3x ＋4y －18＝0或3x ＋4y ＋12＝0[解析] 设所求直线上任意一点P (x ，y ) 由题意，得|3x ＋4y －3|32＋42＝3， ∴|3x ＋4y －3|＝15，∴3x ＋4y －3＝±15，即3x ＋4y －18＝0或3x ＋4y ＋12＝0.11. [答案] 4[解析] 由题设a 2＋b 2＝c 2，m 2＋n 2表示直线l ：ax ＋by ＋2c ＝0上的点P (m ，n )到原点O 的距离的平方，故当PO ⊥l 时，m 2＋n 2取最小值d ，∴d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2c a 2＋b 22＝4c 2a 2＋b 2＝4. 12. [答案] x ＋y －10＝0或x ＋y ＝0[解析] ∵l 1∥l 2其距离d ＝|2－(－3)|2＝52 2.所求直线l 4∥l 3，设l 4：x ＋y ＋c ＝0，则|c ＋5|2＝522， ∴c ＝0或－10， ∴所求直线方程为x ＋y ＝0或x ＋y －10＝0.13. [解析] 正方形中心G (－1,0)到四边距离相等，均为|－1－5|12＋32＝610 . 设与已知直线平行的一边所在直线方程为x ＋3y ＋c 1＝0，由|－1＋c 1|10＝610，∴c 1＝－5(舍去)或c 1＝7. 故与已知直线平行的一边所在直线方程为x ＋3y ＋7＝0.设另两边所在直线方程为3x －y ＋c 2＝0.由|3×(－1)＋c 2|10＝610，得c 2＝9或c 2＝－3. ∴另两边所在直线方程为3x －y ＋9＝0或3x －y －3＝0.综上可知另三边所在直线方程分别为：x ＋3y ＋7＝0,3x －y ＋9＝0或3x －y －3＝0.14. [解析] 设AB 边上的高为h ，则S △ABC ＝12|AB |·h .|AB |＝(1－2)2＋(－2－4)2＝37，AB 边上的高h 就是点C 到AB 的距离．AB 边所在的直线方程为y －4－2－4＝x －21－2. 即6x －y －8＝0.点C (－2,3)到6x －y －8＝0的距离h ＝|－12－3－8|62＋(－1)2＝233737， 因此，S △ABC ＝12×37×233737＝232.15. [解析] 若所求直线斜率不存在，则它的方程为x ＝2满足要求；若所求直线的斜率存在．设方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0，由题设B (－1,1)到该直线距离为3， ∴|－k －1－2k －1|k 2＋1＝3，∴k ＝512，∴直线方程为：y ＋1＝512(x －2)即：5x －12y －22＝0，∴所求直线的方程为：x ＝2或5x －12y －22＝0.16. [解析] 解法一：∵点M 在直线x ＋y －3＝0上，∴设点M 坐标为(t,3－t )，则点M 到l 1、l 2的距离相等， 即|t －(3－t )＋1|2＝|t －(3－t )－1|2， 解得t ＝32，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32. 又l 过点A (2,4)，由两点式得y －324－32＝x －322－32，即5x －y －6＝0，故直线l 的方程为5x －y －6＝0.解法二：设与l 1、l 2平行且距离相等的直线l 3：x －y ＋c ＝0，由两平行直线间的距离公式得|c －1|2＝|c ＋1|2，解得c ＝0，即l 3：x －y ＝0.由题意得中点M 在l 3上，又点M 在x ＋y －3＝0上．解方程组⎩⎨⎧ y －y ＝0x ＋y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝32y ＝32.∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.又l 过点A (2,4)， 故由两点式得直线l 的方程为5x －y －6＝0.解法三：由题意知直线l 的斜率必存在，设l ：y －4＝k (x －2)，由⎩⎨⎧ y －4＝k (x －2)x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2k －5k －1y ＝k －4k －1.∴直线l 与l 1、l 2的交点分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －3k －1，3k －4k －1， ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －5k －1，k －4k －1. ∵M 为中点，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －4k －1，2k －4k －1. 又点M 在直线x ＋y －3＝0上，∴2k －4k －1＋2k －4k －1－3＝0，解得k ＝5. 故所求直线l 的方程为y －4＝5(x －2)，即5x －y －6＝0.17. [解析] 若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x ＝3，此时与l 1、l 2的交点分别为A ′(3，－4)和B ′(3，－9)，截得线段A ′B ′的长为|A ′B ′|＝|－4＋9|＝5，符合题意．若直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为y ＝k (x －3)＋1，解方程组⎩⎨⎧ y ＝k (x －3)＋1x ＋y ＋1＝0， 得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －2k ＋1，－4k －1k ＋1，解方程组⎩⎨⎧y ＝k (x －3)＋1x ＋y ＋6＝0， 得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －7k ＋1，－9k －1k ＋1. ∵|AB |＝5，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －2k ＋1－3k －7k ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k ＋1k ＋1＋9k －1k ＋12＝25， 解得k ＝0，即所求直线方程为y ＝1.综上可知，所求直线的方程为x ＝3或y ＝1.。

经典例题：已知过点A（1，1）且斜率为－m(m>0)的直线与x，y轴分别交于P、Q，过P、Q 作直线的垂直平分线，垂足为R、S，求四边形PRSQ的面积的最小值．练习：1．方程y=k(x-2)表示（）A．过点（-2，0）的所有直线B．通过点（2，0）的所有直线C．通过点（2，0）且不垂直于x轴的直线D．通过点（2，0）且除去x轴的直线2．在等腰AOB中，|AO|=|AB|，点O(0,0), A(1,3), 而点B在x轴的正半轴上，则此直线AB的方程为（）A．y-1=3(x-3) B．y-1=-3(x-3) C．y-3=3(x-1) D．y-3=-3(x-1)3．如果AC<0，且BC<0，那么直线Ax+By+C=0不通过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．直线沿y轴负方向平移a(a≠0)个单位，再沿轴正方向平移a＋1个单位，若此时所得直线与直线重合，则直线l的斜率是（）A． B．－ C． D．－5．下列四个命题中的真命题是（）A．经过定点P0（x0，y0）的直线都可以用方程y-y0=k(x-x0)表示B．经过任意两个不同的点P1（x1，y1）和P2（x2，y2）的直线都可以用方程（y-y1）（x2-x1）=（x-x1）（y2-y1）表示C．不经过原点的直线都可以用方程+=1表示D．经过定点A（0，b）的直线都可以用方程y=kx+b表示6．过点A（1，2）作直线使它在两坐标轴上的截距的绝对值相等，满足条件的直线的条数是（） A．1 B．2 C．3 D．47．若直线(m+2)x+(m2-2m-3)y=2m在x轴上的截距是3，则m的值是（）A． B．6 C．- D．-68．过点(5,2),且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍的直线方程是（）A．2x+y-12=0 B．2x+y-12=0 或2x-5y=0 C．x-2y-1=0 D．x+2y-9=0或2x-5y=0 9．二元一次方程Ax+By+C=0表示为直线方程,下列不正确叙述是（）A.实数A、B必须不全为零 B．A2+B20 C．所有的直线均可用Ax+By+C=0 (A2+B20)表示 D．确定直线方程Ax+By+C=0须要三个点坐标待定A,B,C三个变量10．过点M（2，1）的直线与x轴，y轴分别相交于P，Q两点，且|MP|=|MQ|,则直线的方程是（） A．x-2y+3=0 B．2x-y-3=0 C．2x+y-5=0 D．x+2y-4=011．若(m2-4)x+(m2-4m+3)y+1=0表示直线，则（）A．m2且m1, m 3 B．m 2 C．m1,且m 3 D．m可取任意实数12．若直线ax+by+c=0在第一、二、三象限，则（）A．ab>0，bc>0 B．ab>0，bc<0 C． ab<0，bc>0 D． ab<0，bc<013.直线ax+by=1 (ab0)与两坐标轴围成的面积是（）A．ab B．|ab| C． D．14．直线l过点A(0, 1)和B(－2, －1)，如果直线l绕点A逆时针旋转450得直线l1，那么l1的方程是．如果直线l绕点B逆时针旋转450得直线l2，那么l2的方程是．15．以下四个命题: (1)所有直线总可以用直线的点斜式、斜截式表示; (2) 直线的点斜式和斜截式是可以等价转换的; (3)一次函数的图象是一条直线,直线方程总可以用一个一次函数去表示; (4) 斜截式y=kx+b 中的b表示直线与y轴交点到原点的距离.其中正确命题的题号是________．16．直线过点（3，4），且在第一象限和两坐标轴围成的三角形的面积是24，则的截距式方程是_______________．17．若方程Ax+By+C=0表示与两条坐标轴都相交的直线，则A,B,C应满足条件___________．18．求与两坐标轴围成三角形周长为9且斜率为-的直线方程．19．在直角坐标系中，过点A（1，2）且斜率小于0的直线中，当在两坐标轴上的截距之和最小时，求该直线的斜率．、20．光线从点A（-3，4）射出，经x轴上的点B反射后交y轴于C点，再经C点从y轴上反射恰好经过点D（-1，6），求直线AB，BC，CD的方程．21．已知直线1：y=4x与点P（6，4），在1上求一点Q，使直线PQ与直线1，以及x轴在第一象限围成的三角形面积最小．参考答案：经典例题：解：设方程为，则从而可得直线PR和QS的方程分别为：和又PR∥Q S∴又|PR| ,四边形PRSQ为梯形∴∴四边形PRSQ的面积的最小值为3.6.当堂练习：1.C;2.D;3.C;4.B;5.B;6.C;7.D;8.D;9.D; 10.D; 11.D; 12.D; 13.D; 14. x=0,y= -1; 15. (2); 16.; 17. A且B,C R;18.解：设直线的斜截式方程为y=-x+b, 令x=0, y=b; 令y=0, x=b, 由|b|+|b|+, 即（1++）|b|=9，得|b|=3，即b=3,所求直线的方程为y=-x 3.19.解:设直线方程为y-2=k(x-1) (k<0),令y=0, x=1-; 令x=0, y=2-k ,则截距和b=(1-)+(2-k)=3+(-)+(-k), 当且仅当-=-k, 即k= -(k<0).另解: b= (1-)+(2-k),整理成关于k的一元二次方程:k2+(b-3)k+2=0有实数解,因此=(b-3)2-80,即b,此时k= -.20. 解：作点A关于x轴的对称点A1（-3，-4），D点关于y轴的对称点D1(1，6)，直线A1D1（即直线BC）的方程为5x-2y+7=0, 令y=0，得x= -，即B(-,0),同理可求得C（0，），于是可求得直线AB的方程为5x+2y+7=0, 直线CD的方程为5x+2y-7=0.21. 解：设Q(x1,4x1), x1>1, 过两点P、Q的直线方程为, 若QP交x轴于点M（x2,0）,得x2=, M(,0). ,由S=,得10x12-Sx1+S=0,据0，得S40，当S=40时，x1=2, 点Q(2,8).经典例题：已知三角形的两个顶点是B (2,1)、C (-6, 3), 垂心是H (-3, 2), 求第三个顶A的坐标．当堂练习：1．下列命题中正确的是（）A．平行的两条直线的斜率一定相等B．平行的两条直线的倾斜角相等C．斜率相等的两直线一定平行D．两直线平行则它们在y轴上截距不相等2．已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0,且在y轴上的截距为，则m,n的值分别为（）A．4和3 B．-4和3 C．-4和-3 D．4和-33．直线:kx+y+2=0和:x-2y-3=0, 若,则在两坐标轴上的截距的和（）A．-1 B．-2 C．2 D．64．两条直线mx+y-n=0和x+my+1=0互相平行的条件是（）A. m=1 B．m= 1 C． D．或5．如果直线ax+(1-b)y+5=0和(1+a)x-y-b=0同时平行于直线x-2y+3=0,则a、b的值为（）A．a=, b=0 B．a=2, b=0 C．a=-, b=0 D． a=-, b=26．若直线ax+2y+6=0与直线x+(a-1)y+(a2-1)=0平行但不重合，则a等于（）A．-1或2 B．-1 C．2 D．7．已知两点A（-2，0），B（0，4），则线段AB的垂直平分线方程是（）A．2x+y=0 B．2x-y+4=0 C．x+2y-3=0 D．x-2y+5=08．原点在直线上的射影是P（-2，1），则直线的方程为（）A．x+2y=0 B．x+2y-4=0 C．2x-y+5=0 D．2x+y+3=09．两条直线x+3y+m=0和3x-y+n=0的位置关系是（）A．平行 B．垂直C．相交但不垂直 D．与m,n的取值有关10．方程x2-y2=1表示的图形是（）A．两条相交而不垂直的直线B．一个点C．两条垂直的直线D．两条平行直线11．已知直线ax－y＋2a＝0与直线(2a－1)x＋ay＋a＝0互相垂直，则a等于（）A．1 B．0 C．1或0 D．1或－112．点（4，0）关于直线5x+4y+21=0对称的点是（）A．（-6，8） B．（-8，-6）C．（6，8） D．（-6，-8）13．已知点P（a,b）和点Q(b-1,a+1)是关于直线对称的两点，则直线的方程为（）A．x+y=0 B．x-y=0 C．x+y-1=0 D．x-y+1=014．过点M（3，-4）且与A（-1，3）、B（2，2）两点等距离的直线方程是__________________．15．若两直线ax＋by＋4＝0与(a－1)x＋y＋b＝0垂直相交于点(0, m)，则a＋b＋m的值是_____________________．16．若直线1：2x-5y+20=0和直线2：mx-2y-10=0与坐标轴围成的四边形有一个外接圆，则实数m的值等于 ________．17．已知点P是直线上一点，若直线绕点P沿逆时针方向旋转角（00<<900）所得的直线方程是x-y-2=0, 若将它继续旋转900-，所得的直线方程是2x+y-1=0, 则直线的方程是___________．18．平行于直线2x+5y-1=0的直线与坐标轴围成的三角形面积为5，求直线的方程．19．若直线ax+y+1=0和直线4x+2y+b=0关于点（2，-1）对称，求a、b的值．20．已知三点A(1,0),B(-1,0),C(1,2),求经过点A并且与直线BC垂直的直线的方程．21．已知定点A（-1，3），B（4，2），在x轴上求点C，使AC BC．参考答案：经典例题：解：AC BH，, 直线AB的方程为y=3x-5 (1)AB CH，, 直线AC的方程为y=5x+33 (2)。

人教版高二上学期数学(选择性必修1)《2.3.3 点到直线的距离公式》同步练习题-带答案一、选择题1．已知(2,4)A --，(1,5)B 两点到直线: 10l a x y ++=的距离相等，则实数a 的值为( ) A.-3B.3C.-1D.-3或32．已知实数x ，y 满足250x y ++=，那么22x y +的最小值为( ) A.5B.10C.25D.103．点(,)P x y 到直线512130x y -+=和直线3450x y -+=的距离相等，则点P 的坐标应满足的是( )A.3256650x y -+=或740x y +=B.440x y -+=或4890x y -+=C.740x y +=D.440x y -+=4．点(1,2)M 到直线3460x y +-=的距离为( ) A.2-B.2C.1-D.15．已知点P 为x 轴上的点，(1,2)A -，B 以A ，B ，P 为顶点的三角形的面积为72，则点P 的坐标为( ) A.(4,0)或(10,0) B.(4,0)或(10,0)- C.(4,0)-或(10,0)D.(4,0)-或(11,0)二、多项选择题6．直线l 的一个方向向量为()3,3μ=- 且l 经过点()1,2- 则下列结论中正确的是( ) A.l 的倾斜角等于120 B.l 在x 轴上的截距等于233C.l 与直线332x y -+=垂直D.l 上的点与原点的距离最小值为187．点()1,0到直线()342220x y x y λ+-+++=，()λ∈R 的距离可能是( ) A.7 B.22 C.13 D.15三、填空题8．以()3,2A ，()4,2B 和()8,5C 为顶点的三角形的重心到AB 边的距离等于___________. 9．若直线l 经过点()1,2P ，且点()2,3A ，()0,5B -到直线l 的距离相等，则直线l 的方程为______.10．已知点(),6A a 到直线3440x y --=的距离等于4，则实数a 的值为___________.四、解答题11．已知ABC ∆中 ()()(2,1),4,3,3,2A B C --(2)求BC 边上的高所在直线方程的一般式 (2)求ABC ∆的面积12．已知直线310mx y m +--=恒过定点A .(1)若直线l 经过点A 且与直线250x y +-=垂直 求直线l 的方程; (2)若直线l 经过点A 且坐标原点到直线l 的距离等于3 求直线l 的方程.参考答案1．答案：D解析：方法一：由题意得22|241||51|11a a a a --+++=++，即23||6|a a +=+，所以236a a +=+或2360a a +++=，解得3a =或3-.方法二：因为A ，B 两点到直线l 的距离相等，则直线//AB l 或AB 的中点在直线l 上，则5412a +=-+或111022a -++=，得3a =-或3. 故选：D. 2．答案：A解析：()()222200x y x y +=-+-可以看作直线250x y ++=上的动点(),x y 与原点的距离的平方，又原点与该直线上的点的最短距离为原点到该直线的距离则22x y +的最小值为222552+1= 故选：A. 3．答案：A解析：因为点(,)P x y 到直线512130x y -+=和直线3450x y -+=的距离相等所以51213133455x y x y +=-+-化简得：3256650x y -+=或740x y += 故选：A. 4．答案：D解析：点(1,2)M 到直线346x y +-=的距离为:22|31426|134⨯+⨯-=+.故选:D. 5．答案：B解析：根据题意，设点P 的坐标为(,0)x ，3210(1)AB k -==--故直线AB 的方程为3y x -=，即30x y -+=，故P 到直线AB 的距离22|3|21(1)x d +==+-，又22(10)(23)2AB =--+-=，所以由11|3|7222222ABP x AB d +=⋅===△，得|3|7x +=，解得4x =或10x =-，即P 的坐标为(4,0)或(10,0)-.6．答案：AC解析：直线l 的方向向量为()3,3μ=- 则斜率33k ==-- 故直线l 为)231y x +=-- 即332y x =- 对Atan 3k α==- ()0,180︒︒ 故120α=︒ A 对;对B 由3320y x =+=得2313x =- B 错; 对C 直线3320x y -+=斜率133k = 由1=-得l 与直线3320x y -+=垂直 C 对;对D l 上的点与原点的距离最小值为原点到直线l 的距离 即3231213-+=+ D 错; 故选:AC 7．答案：ABC解析：对于直线()342220x y x y λ+-+++=，()λ∈R 令3420220x y x y +-=⎧⎨++=⎩，解得22x y =-⎧⎨=⎩，故直线的必过点为(2,2)-，设点()1,0到直线()342220x y x y λ+-+++=，()λ∈R 的距离为d ，则22max (12)(02)13d =++-=，所以，13d <≤，而1315<，所以，ABC 正确，D 错误. 故选：ABC. 8．答案：1解析：因为三角形的顶点为()3,2A ，()4,2B 和()8,5C所以三角形的重心坐标为348225,33++++⎛⎫⎪⎝⎭，即()5,3 又直线AB 的方程为2y =所以重心()5,3到直线AB ：2y =的距离为321d =-=，即三角形ABC 的重心到AB 边的距离等于1 故答案为：1.9．答案：420x y --=或1x =解析：当直线l 的斜率不存在时，方程为1x =，显然点()2,3A ，()0,5B -到直线l 的距离相等，符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()21y k x -=-，即20kx y k -+-= 根据题意，得221711k k kk--=++，即17-=-，可得()17k -=±-，解得4k =∴直线l 的方程为420x y --=.综上，直线l 的方程为420x y --=或1x =. 故答案为：420x y --=或1x =.10．答案：或83解析：点(),6A a 到直线3440x y --=的距离22328434a d -==+，解得：a =或83.故答案为：或83.11．解析：(1)因为5BC k = 所以BC 边上的高AD 所在直线斜率15k =-. 所以AD 所在直线方程为()1125y x +=-.即530x y ++=. (2)BC 的直线方程为: ()()322343y x --+=--. 点A 到直线BC ()()22251172651⨯---=+-()()22342326BC =-+--=ABC ∴∆的面积1263226S == 12．解析：(1) 直线310mx y m +--=可化为()310m x y -+-= 由3010x y -=⎧⎨-=⎩可得3{1x y == 所以点A 的坐标为()3,1设直线l 的方程为20x y n -+= 将点()3,1A 代入方程可得1n =- 所以直线l 的方程为210x y --=(2)①当直线l 斜率不存在时 因为直线过点A 所以直线方程为3x = 符合原点到直线l 的距离等于3.②当直线l 斜率不存在时 设直线l 方程为31y kx k =-+ 即310kx y k --+= 因为原点到直线的距离为3 23131k k -+=+ 解得43k =-所以直线l 的方程为43150x y +-=综上所以直线l 的方程为3x =或43150x y +-=。