【重点推荐】最新高中数学 第一章 三角函数 1.2 任意的三角函数 1.2.1 任意角的三角函数学案 新人教A版必修

高中数学第一章三角函数 1.2 任意角的三角函数 1.2.1 任意角的高中数学第一章三角函数1.2任意角的三角函数1.2.1任意角的1.2.1任意角度的三角函数互动课堂疏导1.任意角三角函数的定义设P（a，b）为角α，单位圆的最终边缘与单位圆的交点从P轴到X轴引出一条垂直线，垂直脚为m。

sin根据锐角三角函数α的定义得到=|mp||om||mp|b?.=b,cosα==a,tanα=|Op | om | a | Op |类似地，我们也可以使用单位圆定义任意角度的三角函数，如图1-2-2所示，集α为1个任意角,它的终边与单位圆交于点p(x,y),那么图1-2-2(1)y叫做α的正弦,记作sinα,即sinα=y.(2)x叫做α的余弦,记作cosα,即cosα=x.(3)YY被称为α，其切线被表示为tanα，tanα=。

三十二。

三角函数线设单位圆的圆心与坐标原点重合,则单位圆与x轴的交点分别为a(1,0)、a′(-1,0),与y轴的交点分别为b(0,1)、b′(0,-1).设角α的顶点在圆心o,始边与x轴的正半轴重合,终边与单位圆相交于点p(如图1-2-3(a)),过点p作pm垂直于x轴于m,则点m是点p 在x轴上的正射影(简称射影),由三角函数的定义可知点p的坐标为(cosα,sinα),即p(cosα,sinα).其中cosα=om，sinα=mp。

也就是说，角α的余弦和正弦分别等于最终边和单位圆相交的角度α横坐标和纵坐标，单位圆在点a和α处的切线，如果终端边或其反向延长线在点t（t’）处相交（图1-2-3（b）），则Ta nα=at（at’）。

我们把轴上向量om、mp、at(at')叫做α的余弦线、正弦线、正切线.图1-2-3三.三角函数在各象限的符号三角函数的符号可以通过三角函数的定义和每个象限点坐标的符号来确定sinα=y,于是sinα的符号与y的符号相同,即当α是第一、二象限的角时,sinα＞0;当α当它是第三和第四象限的角度时，sinα＜0cosα=x,于是cosα的符号与x的符号相同,即当α是第一、四象限角时,cosα＞0;当α是第二、三象限的角时,cosα＜0.tanα=y、当x和y有相同的符号时，它们的比率为正。

1.2 任意角的三角函数知识梳理一、任意角的三角函数1.定义:设α是一个任意角，α的终边上任意一点P 的坐标是(x,y)，它与原点的距离是r(r=22y x +>0)，那么sin α=r y ,cos α=r x ，tan α=xy .2.在直角坐标系中，以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆.以单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数、正切函数.如图1-2-1，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)，那么 (1)y 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α=y ； (2)x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α=x ； (3)x y 叫做α的正切，记作tan α，即tan α=xy(x≠0).图1-2-13.三角函数的定义:正弦、余弦、正切等以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称三角函数.由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，可以得知:1.正弦值r y第一、二象限为正(y>0,r>0)，第三、四象限为负(y<0,r>0)； 2.余弦值r x第一、四象限为正(x>0,r>0)，第二、三象限为负(x<0,r>0)；3.正切值xy第一、三象限为正(x 、y 同号)，第二、四象限为负(x 、y 异号).四、正弦线、余弦线、正切线1.有向线段:坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向.规定:与坐标轴方向一致时为正，与坐标轴方向相反时为负.2.三角函数线的定义:设任意角α的顶点在原点O 处，始边与x 轴正半轴重合，终边与单位圆相交于点P(x,y)，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点A(1,0)作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向延长线交于点T.下面是P 点分别在四个象限内的三角函数线： 由图1-2-2中四个图看出:图1-2-2当角α的终边不在坐标轴上时，有向线段OM=x,MP=y ， 于是有sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT.我们就分别称有向线段MP 、OM 、AT 为正弦线、余弦线、正切线. 五、同角的三角函数的基本关系1.平方关系:sin 2α+cos 2α=1; 2.商数关系:ααcos sin =tan α. 六、正弦、余弦、正切的诱导公式 诱导公式的内容知识导学要学好本节内容，可从复习初中学过的锐角三角函数入手.把这个定义推广到任意角,通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终得到任意角三角函数的定义.根据角终边所在位置不同,分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号.最后主要是借助有向线段进一步认识三角函数.由圆的几何性质出发,利用三角函数线,探究同一个角的不同三角函数之间的关系.借助单位圆，通过观察图形，发现公式一至四，然后概括四组公式，认识它们的作用.结合例题与练习，来熟悉公式，理解并熟练地将任意角的三角函数等价转化为0至2π内的角的三角函数.形象的诱导公式的记忆口诀: 奇变偶不变， 符号看象限. 疑难突破1.为何不论点P 在终边上的位置如何，只要终边确定下来，角的每一类三角函数值都是定值？剖析:如图1-2-3.图1-2-3在角α的终边上取点A ，使OA=1,设A 的坐标为(l,m),再任取一点P(x,y),设OP=r(r≠0).由相似三角形对应边成比例得||||||||,1||||,1||||l m x y m r y l r x ===. ∵A、P 在同一象限内,∴m 与y ，x 与l 的坐标符号相同. ∴1l r x ==cos α,r y =1m =sin α,x y =lm=tan α. ∴点P 在终边上的位置并不影响三角函数值大小，三角函数的值只取决于α的大小. 2.学习同角三角函数基本关系式时应当注意哪几点？剖析:(1)等式成立的条件:①正、余弦对一切α∈R 均成立；②正切仅在α≠k π+2π(k∈Z )时成立.(2)学习同角基本关系式时,首先要突出“同角”的含义.这里的“同角”应作广义的理解. 如:3π与3π,3α与3α,6β+7π与6β+7π都是同角. (3)注意公式变形及逆用.如：sin 2α=1-cos 2α,cos 2α=1-sin 2α,1=sin 2α+cos 2α,sin α=tan αcos α,cos α=ααtan sin 等等. 3.诱导公式的规律及作用.剖析:诱导公式可以将任意角的三角函数转化为0°—90°角的三角函数值. 诱导公式的规律为:(1)-α，π±α，2π-α，2k π+α(k∈Z )的三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，为了便于记忆，可以说成“函数名不变，符号看象限”.例如:sin(180°-300°)=sin300°，把300°看成一个锐角α，则180°-300°=180°-α为锐角，所以sin(180°-300°)的符号为正，即sin300°前面所带符号也为正. (2)2π-α，2π+α的三角函数值，等于α的余名三角函数值前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”.例如:cos(90°+100°)=-sin100°，把100°看成锐角α，则90°+100°=90°+α为钝角，所以cos(90°+100°)的符号为负，即sin100°前面所带符号为负. (3)这两套公式可以归纳为k ·2π+α(k ∈Z )的三角函数值，当k 为偶数时，得α的同名函数值，当k 为奇数时，得α的余名三角函数值，然后在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，概括为“奇变偶不变，符号看象限”，这里的奇偶指k 的奇偶.。