2018-2019学年人教A版必修23.2习题课直线的方程作业

[A 基础达标]1．直线2x ＋5y －10＝0在x 轴，y 轴上的截距分别为a ，b ，则( )A ．a ＝2，b ＝5B ．a ＝5，b ＝2C ．a ＝－2，b ＝5D ．a ＝－5，b ＝2答案：B2．不论m 为何值，直线(m －1)x －y ＋2m ＋1＝0恒过定点( )A ．⎝⎛⎭⎫1，－12 B ．(－2，0) C ．(2，3) D ．(－2，3) 解析：选D ．直线化为点斜式为y －3＝(m －1)(x ＋2)，所以直线恒过定点(－2，3)，故选D ．3．已知过点A (－2，m )和B (m ，4)的直线与直线2x ＋y －1＝0平行，则m 的值为( )A ．0B ．－8C ．2D ．10解析：选B ．因为k AB ＝4－m m ＋2，又直线2x ＋y －1＝0的斜率为k ＝－2，所以4－m m ＋2＝－2，所以m ＝－8．4．已知直线l 1：(k －3)x ＋(3－k )y ＋1＝0与直线l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0垂直，则k 的值是( )A ．2B ．3C ．2或3D ．2或－3解析：选C ．因为l 1⊥l 2，所以2(k －3)2－2(3－k )＝0．即k 2－5k ＋6＝0，得k ＝2或k ＝3．5．若三条直线x ＋y ＝0，x －y ＝0，x ＋ay ＝3构成三角形，则a 的取值范围是( )A ．a ≠±1B ．a ≠1，a ≠2C ．a ≠－1D ．a ≠±1，a ≠2解析：选A ．因为直线x ＋ay ＝3恒过点(3，0)，所以此直线只需不和x ＋y ＝0，x －y ＝0两直线平行就能构成三角形．所以a ≠±1．6．直线(2a 2－7a ＋3)x ＋(a 2－9)y ＋3a 2＝0的倾斜角为45°，则实数a ＝__________．解析：由题意斜率存在，倾斜角为45°，即k ＝1．所以－2a 2－7a ＋3a 2－9＝1，解得a ＝－23或3． 当a ＝3时，2a 2－7a ＋3与a 2－9同时为0，所以应舍去，所以a ＝－23． 答案：－237．直线(2t －3)x ＋2y ＋t ＝0不经过第二象限，则t 的取值范围是________．解析：由题意得直线的斜率k ＝3－2t 2≥0，且在y 轴上的截距－t 2≤0，解得0≤t ≤32． 答案：⎣⎡⎦⎤0，32 8．垂直于直线3x －4y －7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x 轴上的截距是________．解析：设直线方程是4x ＋3y ＋d ＝0，分别令x ＝0和y ＝0，得直线在两坐标轴上的截距分别是－d 3、－d 4，所以6＝12×⎪⎪⎪⎪－d 3×⎪⎪⎪⎪－d 4＝d 224． 所以d ＝±12．则直线在x 轴上的截距为3或－3．答案：3或－39．求过点P (4，－1)且与直线3x －4y ＋6＝0垂直的直线方程．解：法一：因为所求直线与直线3x －4y ＋6＝0垂直，所以设其为4x ＋3y ＋m ＝0．又因为该直线过点P (4，－1)，所以4×4＋3×(－1)＋m ＝0，解得m ＝－13．故所求直线方程为4x ＋3y －13＝0．法二：设所求直线的斜率为k ．因为已知直线与所求直线垂直，所以34·k ＝－1，解得k ＝－43． 因为所求直线过点P (4，－1)，所以所求直线方程为y ＋1＝－43(x －4)， 即4x ＋3y －13＝0．10．已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0，l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0．求分别满足下列条件的a ，b 的值：(1)直线l 1过点(－3，－1)，并且直线l 1与l 2垂直；(2)直线l 1与直线l 2平行，并且直线l 2在y 轴上的截距为3．解：(1)因为l 1⊥l 2，所以a (a －1)＋(－b )·1＝0，即a 2－a －b ＝0．①又点(－3，－1)在l 1上，所以－3a ＋b ＋4＝0．②由①②得a ＝2，b ＝2．(2)因为直线l 2在y 轴上的截距为3，所以b ＝－3，又l 1∥l 2，k 1＝－a 3，k 2＝1－a ， 所以－a 3＝1－a ，所以a ＝32， 故a ＝32，b ＝－3． [B 能力提升]11．已知两直线的方程分别为l 1：x ＋ay ＋b ＝0，l 2：x ＋cy ＋d ＝0，它们在坐标系中的位置如图所示，则( )A ．b >0，d <0，a <cB ．b >0，d <0，a >cC ．b <0，d >0，a >cD ．b <0，d >0，a <c解析：选C ．由题图可知直线l 1、l 2的斜率都大于0，即k 1＝－1a >0，k 2＝－1c>0且k 1>k 2，所以a <0，c <0且a >c ．又l 1的纵截距－b a <0，l 2的纵截距－d c>0，所以b <0，d >0，故选C ． 12．已知A (0，1)，点B 在直线l 1：x ＋y ＝0上运动，当线段AB 最短时，直线AB 的一般式方程为____________．解析：AB ⊥l 1时AB 最短，所以线段AB 所在直线的斜率为k ＝1，方程为y －1＝x ，即x －y ＋1＝0．答案：x －y ＋1＝013．已知两条直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0和a 2x ＋b 2y ＋1＝0都过点A (2，1)，求过两点P 1(a 1，b 1)，P 2(a 2，b 2)的直线方程．解：因为点A (2，1)在直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0上，所以2a 1＋b 1＋1＝0．由此可知点P 1(a 1，b 1)的坐标满足2x ＋y ＋1＝0．因为点A (2，1)在直线a 2x ＋b 2y ＋1＝0上，所以2a 2＋b 2＋1＝0．由此可知点P 2(a 2，b 2)的坐标也满足2x ＋y ＋1＝0．所以过两点P 1(a 1，b 1)，P 2(a 2，b 2)的直线方程是2x ＋y ＋1＝0．14．(选做题)设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y －2－a ＝0(a ∈R )．(1)若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程；(2)若a ＞－1，直线l 与x 、y 轴分别交于M 、N 两点，O 为坐标原点，求△OMN 面积取最小值时，直线l 的方程．解：(1)当直线l 经过坐标原点时，由该直线在两坐标轴上的截距相等可得a ＋2＝0，解得a ＝－2，此时直线l 的方程为－x ＋y ＝0，即x －y ＝0；当直线l 不经过坐标原点，即a ≠－2且a ≠－1时，由直线在两坐标轴上的截距相等可得2＋a a ＋1＝2＋a ，解得a ＝0，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0．所以直线l 的方程为x －y ＝0或x ＋y －2＝0．(2)由直线l 的方程可得M ⎝⎛⎭⎪⎫2＋a a ＋1，0，N (0，2＋a )， 因为a ＞－1，所以S △OMN ＝12×2＋a a ＋1×(2＋a )＝12×[（a ＋1）＋1]2a ＋1 ＝12⎣⎡⎦⎤（a ＋1）＋1a ＋1＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1＋1a ＋12， 即当a ＝0时取得最小值．此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0．。

3.2.3 直线的一般式方程一、教学目标1、知能目标（1）明确直线方程一般式的形式特征；（2）会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；（3）会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式。

2、情感目标（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化；（2）用联系的观点看问题。

二、教学重点、难点：1、重点：直线方程的一般式。

2、难点：对直线方程一般式的理解与应用。

三、教学过程问题师生活动1、（1）平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于的二元一次方程表示吗？（2）每一个关于的二元一次方程（A，B不同时为0）都表示一条直线吗？使直线次方程的关系。

教师引导学生用分类讨论的方法思考探究问题（1），即直线存在斜率和直线不存在斜率时求出的直线方程是否都为二元一次方程。

对于问题（2），教师引导学生理解要判断某一个方程是否表示一条直线，只需看这个方程是否可以转化为直线方程的某种形式。

为此要对B分类讨论，即当时和当B=0时两种情形进行变形。

然后由学生去变形判断，得出结论：关于的二元一次方程，它都表示一条直线。

教师概括指出：由于任何一条直线都可以用一个关于的二元一次方程表示；同时，任何一个关于的二元一次方程都表示一条直线。

我们把关于关于的二元一次方程（A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式（general form）.2、直线方程的一般式与其他几种使直学生通过对比、讨论，发现直线方程直线的一般式方程能够表示平面上的所有直线，而点斜式、斜截式、两点式方程，都不能表示与轴垂直的直线。

3、在方程中，A，B，C为何值时，方程表示的直线（1）平行于轴；（2）平行于轴；（3）与轴重合；（4）与重合。

使二元的系项对置的影响。

教师引导学生回顾前面所学过的与轴平行和重合、与轴平行和重合的直线方程的形式。

然后由学生自主探索得到问题的答案。

4、例5的教学已知直线经过点A（6，-4），斜率为，求直线的点斜式和一般式方程。

会把的点为一般式，把握直线式的特点。

3.2.3 直线的一般式方程一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分) 1．直线3x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是( )A. 30° B ．60° C ．120° D ．135°2．已知两条直线ax －y －2＝0和(a ＋2)x －y ＋1＝0互相垂直，则a 等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．23．已知直线l 1：(m －1)x ＋2y －1＝0，直线l 2：mx －y ＋3＝0.若l 1⊥l 2，则m 的值为( ) A ．2 B ．－1 C ．2或－1 D.134．若方程(6a 2－a －2)x ＋(3a 2－5a ＋2)y ＋a －1＝0表示平行于x 轴的直线，则a 的值是( ) A.23 B ．－12 C.23，－12D ．1 5．若一束光线沿直线2x －y ＋2＝0入射到直线x ＋y －5＝0上后反射，则反射光线所在的直线方程为( )A ．2x ＋y －6＝0B ．x －2y ＋7＝0C ．x －y ＋3＝0D ．x ＋2y －9＝06．已知直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，当A >0，B <0，C >0时，直线l 必经过( ) A ．第一、二、三象限 B ．第二、三、四象限 C ．第一、三、四象限 D ．第一、二、四象限7．已知过点M (2，1)的直线与x 轴，y 轴分别交于P ，Q 两点．若M 为线段PQ 的中点，则这条直线的方程为( )A ．2x －y －3＝0B ．2x ＋y －5＝0C ．x ＋2y －4＝0D ．x －2y ＋3＝0二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)8．若直线l 过点(－1，2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则直线l 的方程是______________________．9．与直线3x ＋4y ＋12＝0平行，且与两坐标轴围成的三角形的面积是24的直线l 的方程是________________________________________________________________________．10．若直线x＋ay－a＝0与直线ax－(2a－3)y＝0垂直，则a＝________．11．已知坐标平面内两点A(3，0)，B(0，4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是________．三、解答题(本大题共2题，共25分)12．(12分)已知在△ABC中，点A的坐标为(1，3)，AB，AC边上的中线所在直线的方程分别为x－2y＋1＝0和y－1＝0，求△ABC各边所在直线的方程．13．(13分)已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程．(1)过定点A(－3，4)；(2)与直线6x＋y－3＝0垂直．14．(5分)已知直线l1：(a2－1)x＋ay－1＝0，直线l2：(a－1)·x＋(a2＋a)y＋2＝0.若l1∥l2，则a ＝________．15．(15分)经过点A(1，2)并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线的方程．3．2.3 直线的一般式方程1．C [解析] 因为直线的斜率k ＝－33＝－3，所以倾斜角为120°. 2．A [解析] 因为直线ax －y －2＝0和(a ＋2)x －y ＋1＝0互相垂直，所以a (a ＋2)＝－1，解得a ＝－1.3．C [解析] ∵l 1⊥l 2，∴m －1－2×m ＝－1，解得m ＝2或m ＝－1.4．B [解析] 因为平行于x 轴的直线的斜率为零，所以由直线的一般式方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)得k ＝－AB＝0⇒A ＝0，B ≠0，即6a 2－a －2＝0，3a 2－5a ＋2≠0.本题易错在忽视B ≠0这一条件而导致多解．5．B [解析] 取直线2x －y ＋2＝0上一点A (0，2)，设点A (0，2)关于直线x ＋y －5＝0的对称点为B (a ，b )，则有⎩⎨⎧a 2＋b ＋22－5＝0，b －2a＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝5，所以B 点坐标为(3，5)．联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2＝0，x ＋y －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4，所以直线2x －y ＋2＝0与直线x ＋y －5＝0的交点为P (1，4)．所以反射光线在经过点B (3，5)和点P (1，4)的直线上，故其直线方程为y －4＝4－51－3(x －1)，整理得x －2y ＋7＝0.6．A [解析] 把直线l 的一般式方程Ax ＋By ＋C ＝0转化成斜截式方程为y ＝－A B x －CB，因为A >0，B <0，C >0，所以－A B >0，－CB>0，所以直线l 必经过第一、二、三象限．7．C [解析] 设所求直线的方程为y －1＝k (x －2)，令x ＝0得y ＝1－2k ，所以Q 点坐标为(0，1－2k )，又因为M 为线段PQ 的中点，P 点纵坐标为0，所以根据中点坐标公式有0＋（1－2k ）2＝1，解得k ＝－12，故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.8．3x ＋2y －1＝0 [解析] 由题意知，直线l 的斜率为－32，因此由直线的点斜式方程得直线l的方程为y －2＝－32(x ＋1)，即3x ＋2y －1＝0.9．3x ＋4y ＋24＝0或3x ＋4y －24＝0 [解析] 设所求直线的方程为3x ＋4y ＝a (a ≠0)，则直线与两坐标轴的交点分别为⎝⎛⎭⎫a 3，0，⎝⎛⎭⎫0，a 4，∴12×⎪⎪⎪⎪a 3×⎪⎪⎪⎪a 4＝24，解得a ＝±24， ∴直线l 的方程为3x ＋4y ＝±24，即3x ＋4y ±24＝0.10．0或2 [解析] 当a ＝0时，两直线为x ＝0，y ＝0，显然垂直．当a ≠0时，因为直线x ＋ay －a ＝0与直线ax －(2a －3)y ＝0垂直，所以1·a ＋a (3－2a )＝0，解得a ＝2.所以a ＝0或2.11．3 [解析] 由题可知直线AB 的方程为x 3＋y 4＝1，若P 点坐标为(x ，y )，则x ＝3－34y ，∴xy＝3y －34y 2＝34(－y 2＋4y )＝34[－(y －2)2＋4]≤3，故xy 的最大值为3.12．解：设AB ，AC 边上的中线分别为CD ，BE ， 其中D ，E 分别为AB ，AC 的中点，∵点B 在中线y －1＝0上，∴设B 点坐标为(x ，1)．又∵A 点坐标为(1，3)，D 为AB 的中点，∴由中点坐标公式得D 点坐标为⎝⎛⎭⎫x ＋12，2.又∵点D 在中线x －2y ＋1＝0上，∴x ＋12－2×2＋1＝0⇒x ＝5，∴B 点坐标为(5，1)．同理可求出C 点的坐标是(－3，－1)． 故可求出△ABC 三边AB ，BC ，AC 所在直线的方程分别为 x ＋2y －7＝0，x －4y －1＝0和x －y ＋2＝0.13．解：(1)由条件可知直线l 的斜率一定存在，又∵直线l 过点A (－3，4)，∴可设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)＋4.∴l 在x 轴，y 轴上的截距分别为－4k－3，3k ＋4，∴12－4k－3·|3k ＋4|＝3， 即9k 2＋30k ＋16＝0或9k 2＋18k ＋16＝0，∴k ＝－23或k ＝－83，∴直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0.(2)∵直线l 与直线6x ＋y －3＝0垂直，∴k l ＝16，∴可设直线l 的方程为y ＝16x ＋b ，∴直线l 在两坐标轴上的截距分别为－6b ，b ， ∴12·|－6b |·|b |＝3，∴b ＝±1， ∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.14．0或1或－2 [解析] 当a ＝0时，l 1：x ＝－1，l 2：x ＝2，此时l 1∥l 2，∴a ＝0满足题意． 当a 2＋a ＝0，即a ＝0(舍去)或a ＝－1时，l 1：y ＝－1，l 2：x ＝1，此时l 1⊥l 2， ∴a ＝－1不满足题意．当a ≠0且a ≠－1时，kl 1＝1－a 2a ，kl 2＝1－a a 2＋a ，∵l 1∥l 2，∴1－a 2a ＝1－aa 2＋a ，即1－a ＝(1－a )(1＋a )2，解得a ＝1或a ＝－2.当a ＝1时，l 1：y ＝1，l 2：y ＝－1，l 1，l 2不重合；当a ＝－2时，l 1：3x －2y －1＝0，l 2：－3x ＋2y ＋2＝0，l 1，l 2不重合． ∴a ＝1或a ＝－2满足题意．综上所述，a ＝0或a ＝1或a ＝－2.15．解：当截距为0时，设直线方程为y ＝kx ， 又直线过点A (1，2)，则得斜率k ＝2，即y ＝2x ；当截距不为0时，设直线方程为x a ＋y a ＝1或x a ＋y－a ＝1，∵直线过点A (1，2)，则得a ＝3或a ＝－1.即x ＋y －3＝0或x －y ＋1＝0.这样的直线有3条；y ＝2x ，x ＋y －3＝0或x －y ＋1＝0.。

人教A 版必修2第三章3.2.2《直线的两点式方程》精选课时练习（含答案)-1学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．直线2x a +2y b =1在y 轴上的截距是 ( ) A ．|b|B ．-b 2C ．b 2D ．±b 2． 直线2x －5y ＝1在x 轴、y 轴上的截距分别为 ( ) A ．2,5 B ．2，－5 C ．－2，－5 D ．－2,5 3． 如右图所示，直线l 的截距式方程是x y a b＝1，则有 ( )A ．a >0，b >0B ．a >0，b <0C ．a <0，b >0D ．a <0，b <0 4．直线l 过点A(-4，-6)，B(2，6)两点，点C(1006，b)在直线l 上，则b 的值为 ( ) A ．2012 B ．2013 C ．2014 D ．2016 5．已知△ABC 三顶点坐标A(1，2)，B(3，6)，C(5，2)，M 为AB 的中点，N 为AC 的中点，则中位线MN 所在直线的截距式方程为 ( )A ．x 4+y 8=1 B ．x 8+y 4=1 C ．x 6+y 4=1 D ．x 4+y 6=1 6．两直线x m -y n =1与x n -y m =1的图象可能是图中的哪一个 ( ) A ． B ．C ．D ．7．过M(3，2)与N(6，2)两点的直线方程为 ( )A ．x=2B ．y=2C ．x=3D ．x=68．过点P(1，4)且在x 轴，y 轴上的截距的绝对值相等的直线共有 ( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条 9．直线x p -y q=1在y 轴上的截距为-3，则q= ( )A ．3B ．-3C ．D 10．两直线1x y m n -=与1x y n m-=的图象可能是图中的( )A. B. C. D. 11．已知732M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，A(1,2)，B(3,1)，则过点M 和线段AB 的中点的直线方程为( )A ．4x ＋2y ＝5B ．4x －2y ＝5C ．x ＋2y ＝5D ．x －2y ＝512．直线1x y a b+=过一、二、三象限，则( ) A ．a ＞0，b ＞0 B ．a ＞0，b ＜0C ．a ＜0，b ＞0D ．a ＜0，b ＜013．在y 轴上的截距是－3，且经过A(2，－1)，B(6,1)中点的直线方程为( )A ．143x y += B ．143x y -= C ．134x y += D ．136x y -= 14．直线125x y -=在x 轴、y 轴上的截距分别为( ) A ．2,5 B ．2，－5C ．－2，－5D ．－2,515．下列命题中正确的是( )A ．经过点P 0(x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k(x －x 0)表示B ．经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 表示C ．经过任意两个不同点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可用方程(x 2－x 1)(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)表示D ．不经过原点的直线都可以用方程1x y a b +=表示 16．过点P(1，－2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有( )A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条17．已知(2,4)A 关于直线10x y -+=对称的点为B ，则B 满足的直线方程为（ ）A ．0x y +=B ．20x y -+=C ．50x y +-=D ．0x y -=18．已知()3,1A ，()1,2B -，若ACB ∠的平分线方程为1+=x y ，则AC 所在的直线方程为（）A ．42+=x yB ．321-=x y C ．012=--y x D ．013=++y x 19．已知直线2()41x m m y m +-=-与直线250x y --=垂直，则m 的值为（）A ．1-B ．2C ．1-或2D ．120．直线420mx y +-=与直线250x y n -+=垂直，垂足为()1,p ，则n 的值为（ ）A ．12-B ．2-C ．0D ．1021．直线330kx y k --+=经过点（）A ．(3，0)B ．(3，3)C ．(1，3)D ．(0，3)二、填空题22．直线123x y +=--在x 轴，y 轴上的截距分别为____ 23．已知直线l 的倾斜角为60°，在y 轴上的截距为－4，则直线l 的点斜式方程为________；截距式方程为________；斜截式方程为________；一般式方程为________． 24．已知直线16x y a +=与坐标轴围成的图形面积为6，则a 的值为_____ 25．经过点A(－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程为________ 26．直线Ax ＋By ＋C ＝0的斜率为5，且A －2B ＋3C ＝0，则直线的方程是______ 27．平面直角坐标系中，直线320x y ++=的斜率为________28．斜率与直线4x ＋3y ＝0相等，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x 轴上的截距是______29．已知直线l 的斜率是直线2x －3y ＋12＝0的斜率的，l 在y 轴上的截距是直线2x －3y ＋12＝0在y 轴上的截距的2倍，则直线l 的方程为_____30．过两点(－2,1)和(1,4)的直线方程为______31．光线从A(－3，4)点射出，到x 轴上的B 点后，被x 轴反射，这时反射光线恰好过点C(1，6)，则BC 所在直线的方程为_____32．直线221x y a b -=在y 轴上的截距是_____ 33．已知△ABC 三顶点A(1,2)、B(3,6)、C(5,2)，M 为AB 中点，N 为AC 中点，则中位线MN 所在直线方程为______34．过点(0，1)和(-2，4)的直线的两点式方程是____________.35．过点P(1，3)的直线l 分别与两坐标轴交于A ，B 两点，若P 为AB 的中点，则直线l 的截距式方程是________.36．若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)，(ab≠0)共线，则11a b+=______. 37．过点P(6，－2)，且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1的直线方程是_______________．38．过点(0,3)，且在两坐标轴上截距之和等于5的直线方程是_________.39．已知直线():1210l ax a y a +-+-=不通过第四象限，则a 的取值范围是________.40．以()1,3A ，()5,1B -为端点的线段的垂直平分线方程是 .三、解答题41．已知在△ABC 中，A ，B 的坐标分别为（－1，2），（4，3），AC 的中点M 在y 轴上，BC 的中点N 在x 轴上．（1）求点C 的坐标；（2）求直线MN 的方程．42．为了绿化城市，准备在如图所示的区域内修建一个矩形PQRC 的草坪，且PQ//BC,RQ BC ．另外的内部有一文物保护区不能占用，经测量AB="100m," BC="80m," AE="30m," AF=20m,应如何设计才能使草坪的占地面积最大？43． △ABC 的三个顶点分别为A (0,4)、B (－2,6)、C (－8,0).(1)分别求边AC 和AB 所在直线的方程；(2)求AC 边上的中线BD 所在直线的方程；(3)求AC 边的中垂线所在直线的方程；(4)求AC 边上的高所在直线的方程；(5)求经过两边AB 和AC 的中点的直线方程．44．求分别满足下列条件的直线l 的方程.(1)斜率是34,且与两坐标轴围成的三角形的面积是6; (2)经过两点(1,0)A ，(,1)B m ;(3)经过点(4,3)-，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等.45．已知直线l 在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1，且过点(6，-2)，求直线l 的方程.46．已知直线l ：x ＋2y －2＝0，试求：(1)点P(－2，－1)关于直线l 的对称点坐标；(2)直线12:l y x =-关于直线l 对称的直线l 2的方程；(3)直线l 关于点(1，1)对称的直线方程．47．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的斜率为2.（1）若直线l 过点()2,1A -，求直线l 的方程；（2）若直线l 在x 轴、y 轴上的截距之和为3，求直线l 的方程.参考答案1．C2．B3．B4．C5．A6．B7．B8．C9．A10．B11．B12．C13．B14．B15．C16．B17．D18．C19．C20．A21．B22．2,3--23．)40y x +=-14y=-4y =-40y --=24．2±25．210x y ++=或250x y +=26．15370x y --=27．28．3或3-29．3240x y -+=30．30x y -+=31．5270x y -+=32．2b -33．280x y +-=34．104120y x --=--- (或421402y x -+=-+ ) 35．126x y += 36．1237．132x y +=或12x y += 38．3x ＋2y －6＝0 39．]1,21[40．340x y ++=41．（1）(1,3)-；（2）21050x y --=．42．见解析43．（1）x －2y ＋8＝0. x ＋y －4＝0.（2）2x －y ＋10＝0.（3）2x ＋y ＋6＝0.（4）2x ＋y －2＝0.（5）x －y ＋6＝044．（1）y ＝43x ±3.（2）当m ≠1时，y ＝11m -(x －1)，当m ＝1时， x ＝1.（3）x ＋y ＝1或70x y --=或y ＝－34x . 45．y=-23x+2或y=-12x+1. 46．(1)219,55⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)l 2的方程为7x －y －14＝0(3)x ＋2y －4＝047．（1）052=+-y x （2）062=+-y x。

第三章 3.2 3.2.1一、选择题1．直线y ＝－2x －7在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，则a 、b 的值是导学号 09024703( D )A ．a ＝－7，b ＝－7B ．a ＝－7，b ＝－72C ．a ＝－72，b ＝7D ．a ＝－72，b ＝－7[解析] 令x ＝0，得y ＝－7，即b ＝－7 令y ＝0，得x ＝－72，即a ＝－72．2．若直线y ＝－12ax －12与直线y ＝3x －2垂直，则a 的值为导学号 09024704( D )A ．－3B ．3C ．－23D ．23[解析] 由题意，得－12a ×3＝－1∴a ＝23．3．(2018·莆田高一检测)直线2x ＋y ＋3＝0在y 轴上的截距是导学号 09025168( D ) A ．32B ．－32C ．3D ．－3 [解析] 直线2x ＋y ＋3＝0整理为y ＝－2x －3． ∴直线在y 轴上的截距是－3．4．已知两条直线y ＝ax －2和y ＝(2－a )x ＋1互相平行，则a 等于导学号 09024706( B )A ．2B ．1C ．0D ．－1[解析] 根据两条直线的方程可以看出它们的斜率分别是k 1＝a ，k 2＝2－a .两直线平行，则有k 1＝k 2．所以a ＝2－a ，解得a ＝1．5．(2018·长春外国语高一检测)斜率为－3，在x 轴上截距为－2的直线方程的一般式为导学号 09025169( A )A ．3x ＋y ＋6＝0B ．3x －y ＋2＝0C ．3x ＋y －6＝0D ．3x －y －2＝0[解析] 由题意得直线方程为y ＝－3(x ＋2)，整理得一般式为3x ＋y ＋6＝0．6．(2018·诸城一中高一检测)经过点M (1,1)且在两轴上截距相等的直线是导学号 09025170( D )A ．x ＋y ＝2B ．x ＋y ＝1C ．x ＝1或y ＝1D ．x ＋y ＝2或x ＝y[解析] 当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，设该直线的方程为x ＋y ＝a ，把(1,1)代入所设的方程得a ＝2，则所求直线的方程为x ＋y ＝2；当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y ＝kx ，把(1,1)代入所设的方程得k ＝1，则所求直线的方程为y ＝x ，经过点M (1,1)且在两轴上截距相等的直线是x ＋y ＝2或x ＝y ，故选D ．7．(2018·长春外国语高一检测)y －ax －1a ＝0表示的直线可能是导学号 09025171( B )[解析] 当a >0时，y ＝ax ＋1a ，∵1a >0，排除A ；当a ＝0时不合题意，排除C ，当a <0时，y ＝ax ＋1a ，∵1a<0，故选B ．8．(2016～2017合肥高一检测)下列四个结论： ①方程k ＝y －2x ＋1与方程y －2＝k (x ＋1)可表示同一直线；②直线l 过点P (x 1，y 1)，倾斜角为π2，则其方程为x ＝x 1；③直线l 过点P (x 1，y 1)，斜率为0，则其方程为y ＝y 1； ④所有直线都有点斜式和斜截式方程． 其中正确的个数为导学号 09024711( B ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4[解析] ①④不正确，②③正确，故选B ． 二、填空题9．已知点(1，－4)和(－1,0)是直线y ＝kx ＋b 上的两点，则k ＝__－2__，b ＝__－2__. 导学号 09024712[解析] 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－4＝k ＋b0＝－k ＋b ，解得k ＝－2，b ＝－2．10．(2016·杭州高一检测)直线l 1与直线l 2：y ＝3x ＋1平行，又直线l 1过点(3,5)，则直线l 1的方程为__y ＝3x －4__.导学号 09024713[解析] ∵直线l 2的斜率k 2＝3，l 1与l 2平行． ∴直线l 1的斜率k 1＝3． 又直线l 1过点(3,5)∴l 1的方程为y －5＝3(x －3)，即y ＝3x －4． 三、解答题11．(2016～2017·福州高一检测)直线l 过点P (2，－3)且与过点M (－1,2)，N (5,2)的直线垂直，求直线l 的方程.导学号 09024714[解析] 过M ，N 两点的直线斜率k ＝0 ∴直线l 与直线MN 垂直 ∴直线l 的斜率不存在． 又直线l 过点P (2，－3) ∴直线l 的方程为x ＝2． 12．已知直线y ＝－33x ＋5的倾斜角是直线l 的倾斜角的大小的5倍，分别求满足下列条件的直线l 的方程.导学号 09024715(1)过点P (3，－4)； (2)在x 轴上截距为－2； (3)在y 轴上截距为3． [解析] 直线y ＝－33x ＋5的斜率k ＝tan α＝－33∴α＝150°故所求直线l 的倾斜角为30°，斜率k ′＝33． (1)过点P (3，－4)，由点斜式方程得： y ＋4＝33(x －3) ∴y ＝33x －3－4．(2)在x 轴截距为－2，即直线l 过点(－2,0) 由点斜式方程得：y －0＝33(x ＋2)，∴y ＝33x ＋233． (3)在y 轴上截距为3，由斜截式方程得y ＝33x ＋3． 13．(2018·武威一中高一期末)求斜率为34，且与坐标轴所围成的三角形的面积是6的直线方程.导学号 09025172[解析] 设所求直线的方程为y ＝34x ＋b ，令x ＝0，得y ＝b ；令y ＝0，得x ＝－43b ，由已知，得12|b ·(－43b )|＝6，即23b 2＝6，解得b ＝±3．故所求的直线方程是y ＝34x ±3，即3x －4y ±12＝0．。

第三章 3.2 3.2.2一、选择题1．直线x 2－y5＝1在x 轴、y 轴上的截距分别为导学号 09024735( B )A ．2,5B ．2，－5C ．－2，－5D ．－2,5[解析] 将x 2－y 5＝1化成直线截距式的标准形式为x 2＋y －5＝1，故直线x 2－y5＝1在x 轴、y 轴上的截距分别为2、－5．2．已知点M (1，－2)、N (m,2)，若线段MN 的垂直平分线的方程是x2＋y ＝1，则实数m的值是导学号 09024736( C )A ．－2B ．－7C ．3D ．1[解析] 由中点坐标公式，得线段MN 的中点是(1＋m 2，0)．又点(1＋m2，0)在线段MN的垂直平分线上，所以1＋m4＋0＝1，所以m ＝3，选C ．3．如右图所示，直线l 的截距式方程是x a ＋yb＝1，则有导学号 09024737( B )A ．a >0，b >0B ．a >0，b <0C ．a <0，b >0D ．a <0，b <0[解析] 很明显M (a,0)、N (0，b )，由图知M 在x 轴正半轴上，N 在y 轴负半轴上，则a >0，b <0．4．已知△ABC 三顶点A (1,2)、B (3,6)、C (5,2)，M 为AB 中点，N 为AC 中点，则中位线MN 所在直线方程为导学号 09024738( A )A ．2x ＋y －8＝0B ．2x －y ＋8＝0C ．2x ＋y －12＝0D ．2x －y －12＝0[解析] 点M 的坐标为(2,4)，点N 的坐标为(3,2)，由两点式方程得y －24－2＝x －32－3，即2x＋y －8＝0．5．如果直线l 过(－1，－1)、(2,5)两点，点(1 008，b )在直线l 上，那么b 的值为导学号 09024739( D )A ．2 014B ．2 015C ．2 016D ．2 017[解析] 根据三点共线，得5－(－1)2－(－1)＝b －51 008－2，得b ＝2 017．6．两直线x m －y n ＝1与x n －ym＝1的图象可能是图中的哪一个导学号 09024740( B )[解析] 直线x m －yn ＝1化为y ＝n m x －n ，直线x n －ym＝1化为 y ＝mnx －m ，故两直线的斜率同号，故选B ．7．(2018·镇巴中学高一检测)直线l 与直线y ＝1和x －y －7＝0分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，那么直线l 的斜率是导学号 09025173( B )A ．23B ．－23C ．32D ．－32[解析] 因为直线l 与直线y ＝1和x －y －7＝0分别交于P ，Q 两点，所以可设P (a,1)，Q (b ，b －7)，∵线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，∴1＝a ＋b 2，－1＝1＋b －72，解得a ＝－2，b ＝4，∴P (－2,1)，Q (4，－3)，直线l 的斜率为－3－14＋2＝－23，故选B ．8．过P (4，－3)且在坐标轴上截距相等的直线有导学号 09024742( B ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条[解析] 解法一：设直线方程为y ＋3＝k (x －4)(k ≠0)． 令y ＝0得x ＝3＋4kk ，令x ＝0得y ＝－4k －3．由题意，3＋4k k ＝－4k －3，解得k ＝－34或k ＝－1．因而所求直线有两条，∴应选B ．解法二：当直线过原点时显然符合条件，当直线不过原点时，设直线在坐标轴上截距为(a,0)，(0，a )，a ≠0，则直线方程为x a ＋ya＝1，把点P (4，－3)的坐标代入方程得a ＝1．∴所求直线有两条，∴应选B ． 二、填空题9．已知点P (－1,2m －1)在经过M (2，－1)、N (－3,4)两点的直线上，则m ＝__32__.导学号 09024743[解析] 解法一：MN 的直线方程为：y ＋14＋1＝x －2－3－2，即x ＋y －1＝0代入P (－1,2m －1)得m ＝32．解法二：M 、N 、P 三点共线 ∴4－(2m －1)－3＋1＝4－(－1)－3－2，解得m ＝32．10．(2016～2017·衡水高一检测)已知直线l 的斜率为6，且在两坐标轴上的截距之和为10，则此直线l 的方程为__6x －y ＋12＝0__.导学号 09024744[解析] 设l ：y ＝6x ＋b ，令y ＝0得x ＝－b6．由条件知b ＋⎝⎛⎭⎫－b6＝10，∴b ＝12． ∴直线l 方程为y ＝6x ＋12．解法2：设直线l ：x a ＋y b ＝1，变形为y ＝－ba x ＋b ．由条件知⎩⎪⎨⎪⎧－b a ＝6，a ＋b ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝12，a ＝－2．∴直线l 方程为x －2＋y12＝1.即6x －y ＋12＝0．三、解答题11．求分别满足下列条件的直线l 的方程：导学号 09024745 (1)斜率是34，且与两坐标轴围成的三角形的面积是6；(2)经过两点A (1,0)、B (m,1)；(3)经过点(4，－3)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等． [解析](1)设直线l 的方程为y ＝34x ＋b ．令y ＝0，得x ＝－43b∴12|b ·(－43b )|＝6，b ＝±3． ∴直线l 的方程为y ＝43x ±3．(2)当m ≠1时，直线l 的方程是 y －01－0＝x －1m －1，即y ＝1m －1(x －1) 当m ＝1时，直线l 的方程是x ＝1． (3)设l 在x 轴、y 轴上的截距分别为a 、b ． 当a ≠0，b ≠0时，l 的方程为x a ＋yb ＝1；∵直线过P (4，－3)，∴4a －3b ＝1．又∵|a |＝|b |∴⎩⎪⎨⎪⎧4a －3b ＝1a ＝±b，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7b ＝－7． 当a ＝b ＝0时，直线过原点且过(4，－3) ∴l 的方程为y ＝－34x ．综上所述，直线l 的方程为x ＋y ＝1或x 7＋y －7＝1或y ＝－34x ．12．△ABC 的三个顶点分别为A (0,4)、B (－2,6)、C (－8,0).导学号 09024746 (1)分别求边AC 和AB 所在直线的方程； (2)求AC 边上的中线BD 所在直线的方程； (3)求AC 边的中垂线所在直线的方程； (4)求AC 边上的高所在直线的方程； (5)求经过两边AB 和AC 的中点的直线方程．[解析] (1)由A (0,4)，C (－8,0)可得直线AC 的截距式方程为x －8＋y4＝1，即x －2y ＋8＝0．由A (0,4)，B (－2,6)可得直线AB 的两点式方程为y －46－4＝x －0－2－0，即x ＋y －4＝0．(2)设AC 边的中点为D (x ，y )，由中点坐标公式可得x ＝－4，y ＝2，所以直线BD 的两点式方程为y －62－6＝x ＋2－4＋2，即2x －y ＋10＝0．(3)由直线AC 的斜率为k AC ＝4－00＋8＝12，故AC 边的中垂线的斜率为k ＝－2.又AC 的中点D (－4,2)所以AC 边的中垂线方程为y －2＝－2(x ＋4) 即2x ＋y ＋6＝0．(4)AC 边上的高线的斜率为－2，且过点B (－2,6)，所以其点斜式方程为y －6＝－2(x ＋2)，即2x ＋y －2＝0．(5)AB 的中点M (－1,5)，AC 的中点D (－4,2) ∴直线DM 方程为y －25－2＝x －(－4)－1－(－4)即x －y ＋6＝0．13．已知抛物线y ＝－x 2－2x ＋3与x 轴交于A 、B 两点，点M 在此抛物线上，点N 在y 轴上，以A 、B 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形，求点M 的坐标.导学号 09024747[解析] 容易求得抛物线与x 轴的交点分别为(－3,0)、(1,0)不妨设A (－3,0)、B (1,0)，由已知，设M (a ，b )、N (0，n )根据平行四边形两条对角线互相平分的性质，可得两条对角线的中点重合．按A 、B 、M 、N 两两连接的线段分别作为平行四边形的对角线进行分类，有以下三种情况：①若以AB 为对角线，可得a ＋0＝－3＋1，解得a ＝－2； ②若以AN 为对角线，可得a ＋1＝－3＋0，解得a ＝－4； ③若以BN 为对角线，可得a ＋(－3)＝1＋0，解得a ＝4．因为点M 在抛物线上，将其横坐标的值分别代入抛物线的解析式，可得M (－2,3)或M (－4，－5)或M (4，－21)．。

第三章　3.3　3.3.1、2A 级　基础巩固一、选择题1．点M (1,2)关于y 轴的对称点N 到原点的距离为(　C )导学号 09024804A ．2 B ．1C ．D ．55[解析]　N (－1,2)，|ON |＝＝.故选C ．(－1)2＋2252．已知A (2,1)、B (－1，b )，|AB |＝5，则b 等于(　C )导学号 09024805A ．－3B ．5C ．－3或5D ．－1或－3[解析]　由两点间的距离公式知|AB |＝＝(－1－2)2＋(b －1)2b 2－2b ＋10由5＝b 2－2b ＋10解得b ＝－3或b ＝5．3．经过两点A (－2,5)、B (1，－4)的直线l 与x 轴的交点的坐标是(　导学号 09024806A )A ．(－，0)B ．(－3,0)13C ．(，0) D ．(3,0)13[解析]　过点A (－2,5)和B (1，－4)的直线方程为3x ＋y ＋1＝0，故它与x 轴的交点的坐标为(－，0)．134．若三条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y ＝1，和x ＋ky ＝0相交于一点，则k 的值等于(　B )导学号 09024807A ．－2B ．－ 12C ．2D ．12[解析]　由Error!，得交点(－1，－2)代入x ＋ky ＝0得k ＝－，故选B ．125．一条平行于x 轴的线段长是5个单位，它的一个端点是A (2,1)，则它的另一个端点B 的坐标为(　A )导学号 09024808A ．(－3,1)或(7,1)B ．(2，－2)或(2,7)C ．(－3,1)或(5,1)D ．(2，－3)或(2,5)[解析]　∵AB ∥x 轴，∴设B (a,1)，又|AB |＝5，∴a ＝－3或7．6．设点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，AB 的中点是P (2，－1)，则|AB |等于(　C )导学号 09024809A ．5B ．42C ．2D ．2510[解析]　设A (x,0)、B (0，y )，由中点公式得x ＝4，y ＝－2，则由两点间的距离公式得|AB |＝＝＝2．(0－4)2＋(－2－0)2205二、填空题7．已知A (1，－1)、B (a,3)、C (4,5)，且|AB |＝|BC |，则a ＝____.12导学号 09024810[解析]　＝(a －1)2＋(3＋1)2(4－a )2＋(5－3)2解得a ＝．128．直线(a ＋2)x ＋(1－a )y －3＝0与直线(a ＋2)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0不相交，则实数a ＝__－2或－__.23导学号 09024811[解析]　由题意，得(a ＋2)(2a ＋3)－(1－a )(a ＋2)＝0，解得a ＝－2或－．239．(2016～2017·哈尔滨高一检测)求平行于直线2x －y ＋3＝0，且与两坐标轴围成的直角三角形面积为9的直线方程.导学号 09024812[解析]　设所求的直线方程为2x －y ＋c ＝0，令y ＝0，x ＝－，令x ＝0，y ＝c ，所以c 212＝9，解得c ＝±6，故所求直线方程为2x －y ±6＝0．|c ·(－c2)|解法2：设所求直线方程为＋＝1．x a yb 变形得bx ＋ay －ab ＝0．由条件知Error!由①得b ＝－2a 代入②得a 2＝9∴a ＝±3．当a ＝3时，b ＝－6，当a ＝－3时，b ＝6∴所求直线方程为2x －y ±6＝0．三、解答题10．已知直线x ＋y －3m ＝0和2x －y ＋2m －1＝0的交点M 在第四象限，求实数m 的取值范围.导学号 09024813[解析]　由Error!，得Error!．∴交点M 的坐标为(，)．m ＋138m －13∵交点M 在第四象限∴Error!，解得－1<m <．18∴m 的取值范围是(－1，)．18B 级　素养提升一、选择题1．已知点A (2,3)和B (－4,1)，则线段AB 的长及中点坐标分别是(　C)导学号 09024814A ．2，(1,2) B ．2，(－1，－2)1010C ．2，(－1,2) D ．2，(1，－2)1010[解析]　|AB |＝＝2，中点坐标为(，)，即(－1,2)，故(－4－2)2＋(1－3)2102－423＋12选C ．2．已知两点P (m,1)和Q (1,2m )之间的距离大于，则实数m 的范围是10(　B )导学号 09024815A ．－＜m ＜2 B ．m ＜－或m ＞24545C ．m ＜－2或m ＞ D ．－2＜m ＜4545[解析]　根据两点间的距离公式|PQ |＝＝＞，∴5m 2－6m －8＞0，∴m ＜－或(m －1)2＋(1－2m )25m 2－6m ＋21045m ＞2．3．(2016～2017·宿州高一检测)在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0有可能是(　B )导学号 09024816[解析]　l 1：y ＝－ax －b ，l 2：y ＝－bx －a由图A 中l 1知，－b >0，与l 2中－b <0矛盾，排除A ；同理排除D ．在图C 中，由l 1知－b <0，与l 2中，－b >0矛盾，排除C ．选B ．4．已知直线mx ＋4y －2＝0与2x －5y ＋n ＝0互相垂直，垂足为(1，p )，则m －n ＋p 为(　B )导学号 09024817A ．24B ．20C ．0D ．－4[解析]　∵两直线互相垂直，∴k 1·k 2＝－1∴－·＝－1，∴m ＝10.又∵垂足为(1，p )m 425∴代入直线10x ＋4y －2＝0得p ＝－2将(1，－2)代入直线2x －5y ＋n ＝0得n ＝－12∴m －n ＋p ＝20．二、填空题5．已知直线5x ＋4y ＝2a ＋1与直线2x ＋3y ＝a 的交点位于第四象限，则a 的取值范围是__－<a <2__.32导学号 09024818[解析]　解方程组Error!，得Error!.交点在第四象限，所以Error!，解得－<a <2．326．已知点A (5,2a －1)、B (a ＋1，a －4)，若|AB |取得最小值，则实数a 的值是____.12导学号 09024819[解析]　由题意得|AB |＝＝＝，所以当a ＝时，|AB |(5－a －1)2＋(2a －1－a ＋4)22a 2－2a ＋252(a －12)2＋49212取得最小值．C 级　能力拔高1．直线l 过定点P (0,1)，且与直线l 1：x －3y ＋10＝0，l 2：2x ＋y －8＝0分别交于A 、B 两点．若线段AB 的中点为P ，求直线l 的方程.导学号 09024820[解析]　解法一：设A (x 0，y 0)，由中点公式，有B (－x 0，2－y 0)，∵A 在l 1上，B 在l 2上∴Error!⇒Error!∴k AP ＝＝－1－20＋414故所求直线l 的方程为：y ＝－x ＋1，即x ＋4y －4＝0．14解法二：设所求直线l 方程为：y ＝kx ＋1，l 与l 1、l 2分别交于M 、N ．解方程组Error!，得N (，)．73k －110k －13k －1解方程组Error!，得M (，)．7k ＋28k ＋2k ＋2∵M 、N 的中点为P (0,1)则有：(＋)＝0，解得∴k ＝－．1273k －17k ＋214故所求直线l 的方程为x ＋4y －4＝0．2．如下图所示，一个矩形花园里需要铺设两条笔直的小路，已知矩形花园的长AD ＝5 m ，宽AB ＝3 m ，其中一条小路定为AC ，另一条小路过点D ，问是否在BC 上存在一点M ，使得两条小路AC 与DM 相互垂直？若存在，则求出小路DM 的长.导学号 09024821[解析]　以B 为坐标原点，BC 、BA 所在直线为x 、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系．因为AD ＝5 m ，AB ＝3 m所以C (5,0)、D (5,3)、A (0,3)．设点M 的坐标为(x,0)，因为AC ⊥DM所以k AC ·k DM ＝－1即·＝－1．3－00－53－05－x 所以x ＝3.2，即|BM |＝3.2即点M 的坐标为(3.2,0)时，两条小路AC 与DM 相互垂直．故在BC 上存在一点M (3.2,0)满足题意．由两点间距离公式得|DM |＝＝．(5－3.2)2＋(3－0)23345。

3.2.3 直线的一般式方程【课时目标】 1．了解二元一次方程与直线的对应关系．2．掌握直线方程的一般式．3．根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式之间的关系．1．关于x ，y 的二元一次方程________________(其中A ，B ________________)叫做直线的一般式方程，简称一般式．2．比较直线方程的五种形式(填空)形式 方程 局限各常数的几何意义点斜式 不能表示k 不存在的直线 (x 0，y 0)是直线上一定点，k 是斜率 斜截式 不能表示k 不存在的直线 k 是斜率，b 是y 轴上的截距 两点式 x 1≠x 2，y 1≠y 2 (x 1，y 1)、(x 2，y 2)是直线上两个定点截距式不能表示与坐标轴平行及过原点的直线 a 是x 轴上的非零截距，b 是y 轴上的非零截距 一般式无当B ≠0时，－AB 是斜率，－C B是y 轴上的截距一、选择题1．若方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，则A 、B 应满足的条件为( ) A ．A ≠0 B ．B ≠0C ．A ·B ≠0D ．A 2＋B 2≠02．直线(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5m ＝0的倾斜角为45°，则m 的值为( ) A ．－2 B ．2 C ．－3 D ．33．直线x ＋2ay －1＝0与(a －1)x ＋ay ＋1＝0平行，则a 的值为( ) A ．32 B ．32或0 C ．0 D ．－2或04．直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是( ) A ．3x ＋2y －1＝0 B ．3x ＋2y ＋7＝0 C ．2x －3y ＋5＝0 D ．2x －3y ＋8＝05．直线l 1：ax －y ＋b ＝0，l 2：bx －y ＋a ＝0(a ≠0，b ≠0，a ≠b )在同一坐标系中的图形大致是( )6．直线ax ＋by ＋c ＝0 (ab ≠0)在两坐标轴上的截距相等，则a ，b ，c 满足( ) A ．a ＝b B ．|a |＝|b |且c ≠0 C ．a ＝b 且c ≠0 D ．a ＝b 或c ＝0二、填空题7．直线x ＋2y ＋6＝0化为斜截式为________，化为截距式为________．8．已知方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示直线，则m 的取值范围是______________．9．已知A (0,1)，点B 在直线l 1：x ＋y ＝0上运动，当线段AB 最短时，直线AB 的一般式方程为________．三、解答题10．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： (1)斜率为3，且经过点A (5,3)； (2)过点B (－3,0)，且垂直于x 轴； (3)斜率为4，在y 轴上的截距为－2； (4)在y 轴上的截距为3，且平行于x 轴； (5)经过C (－1,5)，D (2，－1)两点； (6)在x 轴，y 轴上截距分别是－3，－1．11．已知直线l 1：(m ＋3)x ＋y －3m ＋4＝0，l 2：7x ＋(5－m )y －8＝0，问当m 为何值时，直线l 1与l 2平行．能力提升12．将一张坐标纸折叠一次，使点(0,2)与点(4,0)重合，且点(7,3)与点(m ，n )重合，则m ＋n 的值为( )A ．8B ．345C ．4D ．1113．已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0．(1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限； (2)为使直线不经过第二象限，求a 的取值范围．1．在求解直线的方程时，要由问题的条件、结论，灵活地选用公式，使问题的解答变得简捷．2．直线方程的各种形式之间存在着内在的联系，它是直线在不同条件下的不同的表现形式，要掌握好各种形式的适用范围和它们之间的互化，如把一般式Ax ＋By ＋C ＝0化为截距式有两种方法：一是令x ＝0，y ＝0，求得直线在y 轴上的截距B 和在x 轴上的截距A ；二是移常项，得Ax ＋By ＝－C ，两边除以－C (C ≠0)，再整理即可．3．根据两直线的一般式方程判定两直线垂直的方法：①若一个斜率为零，另一个不存在则垂直．若两个都存在斜率，化成斜截式后则k 1k 2＝－1．②一般地，设l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0， l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0，第二种方法可避免讨论，减小失误．3．2．3 直线的一般式方程 答案知识梳理1．Ax ＋By ＋C ＝0 不同时为02．y －y 0＝k(x －x 0) y ＝kx ＋b y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1x a ＋yb＝1 Ax ＋By ＋C ＝0 作业设计 1．D2．D [由已知得m 2－4≠0，且2m 2－5m ＋2m 2－4＝1， 解得：m ＝3或m ＝2(舍去)．] 3．A4．A [由题意知，直线l 的斜率为－32，因此直线l 的方程为y －2＝－32(x ＋1)，即3x ＋2y －1＝0．]5．C [将l 1与l 2的方程化为斜截式得： y ＝ax ＋b ，y ＝bx ＋a ，根据斜率和截距的符号可得C ．]6．D [直线在两坐标轴上的截距相等可分为两种情形： (1)截距等于0，此时只要c ＝0即可；(2)截距不等于0，此时c≠0，直线在两坐标轴上的截距分别为－c a 、－cb．若相等，则有－c a ＝－cb，即a ＝b ．综合(1)(2)可知，若ax ＋by ＋c ＝0 (ab≠0)表示的直线在两坐标轴上的截距相等，则a ＝b 或c ＝0．]7．y ＝－12x －3 x －6＋y－3＝18．m ∈R 且m ≠1解析 由题意知，2m 2＋m －3与m 2－m 不能同时为0，由2m 2＋m －3≠0得m ≠1且m ≠－32；由m 2－m ≠0，得m ≠0且m ≠1，故m ≠1．9．x －y ＋1＝0解析 AB ⊥l 1时，AB 最短，所以AB 斜率为k ＝1， 方程为y －1＝x ，即x －y ＋1＝0．10．解 (1)由点斜式方程得y －3＝3(x －5)， 即3x －y ＋3－53＝0． (2)x ＝－3，即x ＋3＝0．(3)y ＝4x －2，即4x －y －2＝0． (4)y ＝3，即y －3＝0．(5)由两点式方程得y －5－1－5＝x －－12－－1，即2x ＋y －3＝0．(6)由截距式方程得x －3＋y－1＝1，即x ＋3y ＋3＝0．11．解 当m ＝5时，l 1：8x ＋y －11＝0，l 2：7x －8＝0． 显然l 1与l 2不平行，同理，当m ＝－3时，l 1与l 2也不平行． 当m ≠5且m ≠－3时，l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋3＝7m －53m －4≠85－m，∴m ＝－2．∴m 为－2时，直线l 1与l 2平行．12．B [点(0,2)与点(4,0)关于直线y －1＝2(x －2)对称，则点(7,3)与点(m ，n )也关于直线y －1＝2(x －2)对称，则⎩⎪⎨⎪⎧n ＋32－1＝2⎝⎛⎭⎪⎫m ＋72－2n －3m －7＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝35n ＝315，故m ＋n ＝345．]13．(1)证明 将直线l 的方程整理为y －35＝a (x －15)，∴l 的斜率为a ，且过定点A (15，35)．而点A (15，35)在第一象限，故l 过第一象限．∴不论a 为何值，直线l 总经过第一象限．(2)解 直线OA 的斜率为k ＝35－015－0＝3．∵l 不经过第二象限，∴a ≥3．。

3.2.3　直线的一般式方程【选题明细表】知识点、方法题号直线的一般式方程1,2,3,8平行与垂直4,5,6,9一般式方程的综合应用7,10,11,12,131.已知直线l的方程为x-y+2=0,则直线l的倾斜角为(　A　)(A)30°(B)45°(C)60°(D)150°解析:设直线l的倾斜角为θ,则tan θ=,则θ=30°.2.(2018·陕西延安期末)如果AB<0,且BC<0,那么直线Ax+By+C=0不通过(　D　)(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限解析:因为直线Ax+By+C=0可化为y=-x-,又AB<0,BC<0,所以->0,->0,所以直线过第一、二、三象限,不过第四象限.故选D.3.已知m≠0,则过点(1,-1)的直线ax+3my+2a=0的斜率为(　D　)(A)3(B)-3(C)(D)-解析:由题意,得a-3m+2a=0,所以a=m,又因为m≠0,所以直线ax+3my+2a=0的斜率k=-=-.故选D.4.(2018·郑州调研)直线2x+(m+1)y+4=0与直线mx+3y-2=0平行,则m 等于(　C　)(A)2 (B)-3(C)2或-3(D)-2或-3解析:直线2x+(m+1)y+4=0与直线mx+3y-2=0平行,则有=≠,故m=2或-3.故选C.5.(2018·河南南阳期末)两条直线l1:ax+(1+a)y=3,l2:(a+1)x+(3-2a)y=2互相垂直,则a的值是(　C　)(A)3 (B)-1(C)-1或3(D)0或3解析:因为两条直线l1:ax+(1+a)y=3,l2:(a+1)x+(3-2a)y=2互相垂直,所以a(a+1)+(1+a)(3-2a)=0,解得a=-1或a=3.所以a的值是-1或3.故选C.6.(2018·辽宁大连期末)已知直线l经过点P(-2,5),且与直线4x+3y+2=0平行,则直线l的方程为 .解析:设直线l的方程为:4x+3y+m=0,把点P(-2,5)代入可得:-8+15+m =0,解得m=-7.所以直线l的方程为4x+3y-7=0.答案:4x+3y-7=07.若直线(2t-3)x+y+6=0不经过第一象限,则t的取值范围为 .解析:方程可化为y=(3-2t)x-6,因为直线不经过第一象限,所以3-2t ≤0,得t≥.答案:8.分别求符合条件的直线方程,并化为一般式.(1)经过点(-1,3),且斜率为-3;(2)经过两点A(0,4)和B(4,0);(3)经过点(2,-4)且与直线3x-4y+5=0平行;(4)经过点(3,2),且垂直于直线6x-8y+3=0.解:(1)根据条件,写出该直线的点斜式方程为y-3=-3(x+1),即y-3=-3x-3,整理得其一般式为3x+y=0.(2)根据条件,写出该直线的截距式为+=1,整理得其一般式为x+y-4=0.(3)设与直线3x-4y+5=0平行的直线为3x-4y+c=0,将点(2,-4)代入得6+16+c=0,所以c=-22.故所求直线的一般式为3x-4y-22=0.(4)设与直线6x-8y+3=0垂直的直线为8x+6y+c=0,代入点(3,2)得24+12+c=0,c=-36.从而得8x+6y-36=0,即所求直线的一般式为4x+3y-18=0.9.若直线l1:ax+(1-a)y=3与l2:(a-1)x+(2a+3)y=2互相垂直,则a的值为(　D　)(A)-3 (B)1(C)0或-(D)1或-3解析:因为l1⊥l2,所以a(a-1)+(1-a)(2a+3)=0,即a2+2a-3=0,故a=1或-3.选D.10.(2018·辽宁沈阳期末)光线沿着直线y=-3x+b射到直线x+y=0上,经反射后沿着直线y=ax+2射出,则有(　B　)(A)a=,b=6(B)a=-,b=-6(C)a=3,b=-(D)a=-3,b=解析:在直线y=-3x+b上任意取一点A(1,b-3),则点A关于直线x+y=0的对称点B(-b+3,-1)在直线y=ax+2上,故有-1=a(-b+3)+2,即-1=-ab+3a+2,所以ab=3a+3,结合所给的选项,故选B.11.已知两条直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0都通过A(2,1),则过两点P1(a1,b1),P2(a2,b2)的直线方程的一般式为 .解析:由题意得所以(a1,b1),(a2,b2)都在直线2x+y+1=0上,又两点确定一条直线,所以所求直线的方程为2x+y+1=0.答案:2x+y+1=012.已知直线l1的方程为3x+4y-12=0,分别求满足下列条件的直线l2的方程.(1)l1与l2平行且l2过点(-1,3);(2)l1与l2垂直,且l2与两坐标轴围成的三角形面积为4.解:(1)设l2的方程为3x+4y+m=0(m≠-12),又直线l2过点(-1,3),故3×(-1)+4×3+m=0,解得m=-9,故直线l2的方程为3x+4y-9=0.(2)因为l1⊥l2,所以直线l2的斜率k2=.设l2的方程为y=x+b,则直线l2与两坐标轴的交点是(0,b),(-b,0),所以S=|b|·|-b|=4,所以b=±,所以直线l2的方程是y=x+或y=x-.13.直线过点P(,2),且与x轴的正半轴和y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点,是否存在这样的直线能同时满足下列条件:①△AOB的周长为12;②△AOB的面积为6.若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.解:设所求的直线方程为+=1(a>0,b>0).由已知,得由①②解得或经验证,只有满足③式.所以存在直线满足题意,其方程为+=1,即3x+4y-12=0.。