下载文档原格式
一元二次方程的应用（3）-----传播问题
一、传播问题
例1、有一种传染性病毒，一个人感染后，经过两轮传染共有121人被感染，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
练习：
1、某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？
2、某种树木的主干长出若干支杆，每个支杆又长出同样数目的小分支，主干、支杆和小分支的总数为91，每个支杆长出多少小分支？
二、单循环、签合同、握手、对角线、数线段，互送礼物问题
例2:从盛满20升纯酒精的容器里倒出若干升，然后用水注满，再倒出同样升数的混合液后，这时容器里剩下纯酒精5升．问每次倒出溶液的升数？
例3、要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场，比赛组织者应邀请多少个队参赛？
练一练：
1、参加一次足球联赛的每两个球队之间都进行两次比赛，共赛了90场，共有多少队参加比赛？
2、要组织一擦很能够篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场），计划安排15场比赛。
应邀请多少球队参加比赛？
3、参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，共有多少家公司参加交易会？
4、毕业时每个同学都将自己的相片送给班上的其他同学作纪念，全班共送了2256张相片，问全班有多少名同学？
5、一个小组有若干个人，新年互送贺卡一张，已知全组共送贺卡72张，则这个小组有多少人？。
【精品】一元二次方程应用(传染问题)受新冠疫情的影响，今年全国多个地方的中考时间延迟了。
新型冠状病毒之所以可怕，其较强的传染性是一个主要原因。
这与我们中考中的“病毒传播”问题的知识点正好契合，所以这个类型的题目应该是各地中考题目中的热点题目。
“病毒传播”问题是初中一元二次方程中的典型题目。
我们看一下例题：
某种病毒传播非常快、如果一台电脑中毒、经两轮感染后就会有81台电脑被感染.
问：（1）每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？
解答这类问题，要注意“本体”是否还具有“传染性”的问题，此例题中“本体”是具有传染性的，所以可以利用计算“增长率（降低率）”的公式进行解答。
传播问题公式：
其中a表示传染之初携带病毒的个体数量，x表示每轮感染中每个个体可以传染的数量，n表示传播了几轮，b表示经过n轮传播后，已经感染病毒的个体的总数量。
所以这个例题的解答可以为：
从这个问题中，我们也不能看到病毒传播是多么可怕，如果不加以控制隔离，传染速度是多么快。
温馨提示：这个例题中，“本体”具有传播能力，要注意与题目“某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出相同数目的小分支，若小分支、枝干和主干的总数是73,则每个枝干长出小分支的个数是多少？”区分开。
一元二次方程的应用之流感传染问题（教学设计）教学目标知识目标：1、会列一元二次方程解应用题;2、进一步掌握解应用题的步骤和关键;情感目标：1、使学生体会到数学来源于生活，服务于生活的数学思想。
2、使学生通过解决实际问题的过程感知探究学习的乐趣！学情分析1、本节课是继解一元二次方程后的第一课时，因此学生对应用恰当的方法解一元二次方程还存在一定的问题，教学过程中要继续加强练习。
2、学生对列方程解应用题的一般步骤已经很熟悉，适合自主探究、合作交流的数学学习方式。
3、九年级学生具有丰富的想象力、好奇心和好胜心理。
容易开发他们的主观能动性。
适合由特殊到一般的探究方式。
重点难点•重点：列方程解应用题.•难点：会用含未知数的代数式表示题目里的中间量（简称关系式）；会根据所设的的未知数，列出相应的方程。
教学过程初步感知能用一元二次方程解决怎样的实际问题请同学们尝试探究完成这样一个问题：有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个？1、教师分析引导：开始有一人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了x个人，用代数式表示，第一轮后共有_______人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x个人，用代数式示，第二轮后共有_______人患了流感．2、学生合作交流解析过程。
3、教师检查学生探究情况。
针对探究与应用请同学们根据探究1的解析思路尝试解决这个实际问题：某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支?1、学生独立尝试（有问题可以合作交流）2、学生展示探究结果（个别同学板演）3、教师强调补充学生解析过程中的问题。
完成堂内作业。
实际问题与一元二次方程一、引入：同学们我们平时可能会经常遇到或听说传染病，你知道传染病是如何传播的吗？我们今天就来专题学习一下。
二、教学流程：在教学实际问题与一元二次方程中的“传染病”问题时，为了控究“传染病”问题的规律，我出示了这样一道题目：例：流感具有传染性，有一个人患流感，在每轮传染中平均一个人能传给5个人，那么经过两轮传染后共有多少人患流感？教师：“你会计算吗？”学生都争先恐后的回答。
学生甲：一轮后：（1+5）=6人二轮后：6+5×6=36人你能说说依据吗？学生说“原来的一个是传染源，经过一轮后一个人就传给了5个人，所以一轮后就有6个人患了流感，在第二轮时，第一轮被传染的6个人，都变成了传染源，所以第二轮就有6+5×6=36人。
教师：“你真聪明！”如果经过三轮传染呢？学生乙：三轮后：36+5×36=216人。
教师：你发现其中的规律吗？学生表示困难。
教师：我们将等式变形：一轮后：（1+5）人。
二轮后：（1+5）+5（1+5）三轮后：（1+5）2+5（1+5）学生丙：我发现了规律，第几轮就是（1+5）的几次方。
教师：你太棒了！大家给他鼓掌！你能总结一个计算公式吗？学生丁：（1+x）n（ x代表每轮传染的人数，n 代表传染的轮数）然后，我出示了例题：流感具有传染性，有一个人患流感，经过两轮传染后共有121人患流感，平均每轮传染中一个人传给了几个人？学生类比前面的问题很快列出方程：解：设每轮传染中平均一个人传给了x个人（1+x）n=121学生集体完成了这道题的解答过程。
然后，我又出示了同种类型题，进行强化，本节课教学效果很好。
我本节课，我改变了教材中例题的呈现方式，遵循了由“特殊到一般”的数学思想，由浅入深，层层递进，符合学生的认知规律，真正达到了深入浅出的目的，事实证明，这种对课程的处理方式很成功，达到了预期的教学效果。
一元二次方程的应用-循环、传播与增长率问题1．有一个人患了流感，经过两轮传染后得知第二次被传染的有420人，如果每轮传染率都相同，那么每轮传染中平均一个人传染了 个人．【答案】20【解析】解：设每轮传染中平均每个人传染了x 人．依题意得(1)420x x +=，24200x x ∴+-=，(21)(20)0x x ∴+-=120x ∴=，21x =-（不合题意，舍去）． 所以，每轮传染中平均一个人传染给20个人．2．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，根据以上信息可列方程为_________________．【答案】2(1)121x +=【解析】解：设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，根据题意得：2(1)121x +=．3．某种植物的主干长出若干个数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分枝，主干、枝干和小分枝的总数是111，则每个枝干长出的小分枝的数目是 ．【答案】10【解析】解：设主干长出x 个枝干，由题意得1111x x x ++=g ，即21100x x +-=，(10)(11)0x x ∴-+=，解得110x =，211x =-（舍去）4．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，问应邀请多少个球队参加比赛？【答案】解：设邀请x 个球队参加比赛，依题意得：()1212x x -=解得7x =答：应邀请7个球队参加比赛．5．生物兴趣小组有若干人，他们将自己收集的标本向本组其他成员各赠送1件，已知全组共互赠标本72件，求生物兴趣小组有多少位同学？【答案】解：设生物兴趣小组有x名同学，则每名同学所赠的标本为：(1)x-件，那么x名同学共赠：(1)x x-件，所以，(1)72x x-=．解得：18x=-（不合题意舍去），29x=，答：生物兴趣小组有9名同学．6．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，求：（1）每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）两轮后，人们觉察到此病，采取预防，这样平均一个人一轮以少传染3人的速度递减，第四轮后共有多少人得此病？【答案】解：（1）设每轮一人传染了x人，由题意得：2(1)121x+=，10x+>Q，111x∴+=，10x=．答：每轮一人传染了10人；（2）121121(103)[121121(103)](1033)+⨯-++⨯-⨯--121847[121847]4=+++⨯9689684=+⨯4840=（人)．答：第四轮后共有4840人得此病．7．九三班张老师自编了一套健美操，他先教会一些同学，然后让学会健美操的同学每人教会相同的人数，每人每轮教会的人数相同，经过两轮，全班57人都能做这套健美操，请问每轮中每人必须教会几人？【答案】解：设每轮中每人必须教会人数为x ，由题意得2157x x ++=(8)(7)0x x +-=．解得17x =，28x =-（不合题意舍去）．故每轮中每人必须教会7人．8．某渔船出海捕鱼，2010年平均每次捕鱼量为10吨，2012年平均每次捕鱼量为6.4吨，求2010年2012-年每年平均每次捕鱼量的年平均下降率．【答案】解：设2010年2012-年每年平均每次捕鱼量的年平均下降率x ，根据题意列方程得，210(1) 6.4x ⨯-=，解得10.2x =，2 1.8x =-（不合题意，舍去）．0.220%x ∴==答：2010年2012-年每年平均每次捕鱼量的年平均下降率为20%．9．某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出150件．市场调查发现：如果每件的售价每涨1元（售价每件不能高于45元），那么每星期少卖10件，设每件涨价x 元(x 为非负整数），每星期的销量为y 件．（1）写出y 与x 的关系式；（2）要使每星期的利润为1560元，从有利于消费者的角度出发，售价应定为多少？【答案】解：（1）15010(05y x x =-剟且x 为整数）． （2）根据题意得：(4030)(15010)1560x x +--=，整理得：2560x x -+=，解得：12x =，23x =，4042x ∴+=或43．答：从有利于消费者的角度出发，售价应定为42元．10．我们知道，“传销”能扰乱一个地区正常的经济秩序，是国家法律明令禁止的，你了解传销吗？某非法传销组织头目一人可发展若干数目的下线成员，每个下线成员再发展同样数目的下线成员，一个传销组织头目经过两轮发展后，非法传销组织成员共有421人，问在每轮发展中平均一个成员发展下线多少人？【答案】解：设在每轮发展中平均一个成员发展下线x人，根据题意得：21421x x++=，解得：20x=或21x=-（舍去）．答：在每轮发展中平均一个成员发展下线20人．11．某传销组织现有两名头目，他们计划每人发展若干数目的下线，每个下线成员再发展同样数目的下线成员，经过两轮发展后共有成员114人，每个人计划发展下线多少人？【答案】解：设每个人计划发展下线x人，根据题意得：2222114x x++=，整理，得：2560x x+-=，解得：17x=，28x=-（不合题意舍去），答：每个人计划发展下线7人．。
一元二次方程的应用（传播问题）教学设计22.3实际问题与一元二次方程（传播问题）教学内容：人教版九年级上册21章第3节第一课时，实际问题与一元二次方程中的传播问题。
教学目标：掌握用倍数关系建立数学模型，并用它解决一些实际问题。
教学重点：列一元二次方程解有关传播问题的应用题。
教学难点：发现传播问题中的等量关系。
教学用具：多媒体课件教学过程：一、导入课题1.列方程解应用题的步骤有:（1）.审:审清题意:已知什么,求什么?已,未知之间有什么关系?（2）. 设:设未知数,语句要完整,有单位(同一)的要注明单位;（3）.列:列代数式,列方程;（4）.解:解所列的方程;（5）.验:是否是所列方程的根;是否符合题意;（6）.答:答案也必需是完事的语句,注明单位且要贴近生活.列方程解应用题的关键是: 找出相等关系.设计意图：规范学生解题步骤，使学生更好的适应中考要求。
2.有一句广告语“得了灰指甲，一个传染俩.问我怎么办?马上用亮甲”假定一个人一个指甲得了灰指甲,（在不作任何防控措施前提下）一天一个灰指甲传染两个,几天后这个人满手指甲都患灰指甲.在我们生活中这样的传播性问题很常见，今天我们就来研究一下如何列一元二次方程解有关传播问题。
板书课题“实际问题与一元二次方程（传播问题）”设计意图：让学生切实的感受到数学源于生活服务于生活，进而激发学生的求知欲。
二、探究新知据调查，初春是流感盛行的季节，1经研究,流感在每轮传染中平均一个人传染5人，开始有1人患了流感,第一轮的传染源就是1个人,他传染了5个人,用代数式表示,第一轮中有_____人被感染;第二轮中,传染源是______人，这些人中的每个人又传染了5个人,用代数式表示,第二轮中有____________人被感染.2、你发现这个传染有什么规律？按这样方式传染下去5轮后有多少人患传染病？3、若在上面的传染中每人每轮传染x人，那n轮后有多少人患传染病？设计意图：让学生感受从特殊到一般的思维过程。
一元二次方程应用题传染问题公式嘿，朋友们！今天咱们来唠唠一元二次方程应用题里的传染问题公式，那可超级有趣呢，就像一场病菌开的疯狂派对。
首先呢，咱们假设最开始有一个“病菌老大”，这个老大就是传染源，设为a个人（这里的a就是最初的传染源数量啦）。
然后呢，每个被感染的人又会去感染x个新的人。
第一轮传染后，就像病菌在开小型聚会，新感染的人数就是ax个啦，那总共被感染的人数就变成了a + ax，这就像是病菌的小队伍开始慢慢壮大。
到了第二轮传染，第一轮被感染的那些人（也就是ax个）又每人去感染x个新的人，那第二轮新感染的人数就是ax * x = ax²个。
这时候，总共被感染的人数就像是滚雪球一样变成了a + ax + ax²。
这个式子其实就是一元二次方程在传染问题里的表达式啦，就像一个神奇的魔法公式。
如果我们知道总共感染的人数是b（比如说一个小镇最终有b个人被感染了），那方程就变成了a + ax + ax² = b。
你可以把这个过程想象成病菌在跳传染舞，最初的a个病菌先拉了ax 个新舞伴，然后这些新舞伴又各自拉了x个新舞伴，最后凑成了b个舞者。
再比如说，有一个超级搞笑的场景，最初只有1只病鸡（a = 1），每只病鸡一天能传染3只健康鸡（x = 3）。
那第一天过后就有1 + 1×3 = 4只病鸡了，这就像病菌小部队初步成型。
第二天呢，这3只新病鸡又各自去传染3只鸡，就新感染了3×3 = 9只鸡，总共就有1 + 3 + 9 = 13只病鸡了，这个过程用方程表示就是1+1×3+1×3² = 13。
要是把这个传染过程想象成一场病菌马拉松，最初的传染源就是起跑线上的选手，每一轮传染就是选手们跑过的一段路程，新感染的人数就是在这段路程中被拉进来一起跑的新选手。
又比如，有一种病毒在一个办公室里传播，最开始有2个感冒的人（a = 2），每个感冒的人一天会传染给2个人（x = 2）。
