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椭圆的简单几何性质【知识概要】1．范围：由标准方程知，椭圆上点的坐标(,)x y 满足不等式22221,1x y a b≤≤， ∴22x a ≤，22y b ≤，∴||x a ≤，||y b ≤，说明椭圆位于直线x a =±，y b =±所围成的矩形里.2．对称性：在曲线方程里，若以y -代替y 方程不变，所以若点(,)x y 在曲线上时，点(,)x y -也在曲线上，所以曲线关于x 轴对称，同理，以x -代替x 方程不变，则曲线关于y 轴对称．若同时以x -代替x ，y -代替y 方程也不变，则曲线关于原点对称.所以，椭圆关于x 轴、y 轴和原点对称.这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心.3．顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x 轴、y 轴的交点坐标.在椭圆的标准方程中，令0x =，得y b =±，则1(0,)B b -，2(0,)B b 是椭圆与y 轴的两个交点．同理令0y =得x a =±，即1(,0)A a -，2(,0)A a 是椭圆与x 轴的两个交点. 所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点.同时，线段21A A 、21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a 和2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a ；在22Rt OB F ∆中，2||OB b =，2||OF c =，22||B F a =，且2222222||||||OF B F OB =-，即222c a c =-．4．离心率：椭圆的焦距与长轴的比ce a=叫椭圆的离心率. ∵0a c >>，∴01e <<，且e 越接近1，c 就越接近a ，从而b 就越小，对应的椭圆越扁；反之，e 越接近于0，c 就越接近于0，从而b 越接近于a ，这时椭圆越接近于圆．当且仅当a b =时，0c =，两焦点重合，图形变为圆，方程为222x y a +=．1A 2A 2B2AO x y2F5．椭圆的第二定义、准线：当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数)10(<<=e ace 时，这个点的轨迹是椭圆．定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率．对于椭圆12222=+by a x ，相应于焦点)0,(c F 的准线方程是c a x 2=．根据对称性，相应于焦点)0,(c F -'的准线方程是c a x 2-=．对于椭圆12222=+bx a y 的准线方程是c a y 2±=．可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几何意义．由椭圆的第二定义e dMF =∴||可得：右焦半径公式为exa ca x e ed MF -=-==||||2右；左焦半径公式为ex a ca x e ed MF +=--==|)(|||2左．【典例精讲】例1 求椭圆221625400x y +=的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出图形．解：把已知方程化为标准方程22221x y a b+=，5a =，4b =，∴25163c =-=，∴椭圆长轴和短轴长分别为210a =和28b =，离心率35c e a ==，焦点坐标1(3,0)F -，2(3,0)F ，顶点1(5,0)A -，2(5,0)A ，1(0,4)B -，2(0,4)B ．例2 过适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）经过点(3,0)P -、(0,2)Q -；（2）长轴长等于20，离心率等于35． 解：（1）由题意，3a =，2b =，又∵长轴在x 轴上，所以，椭圆的标准方程为22194x y +=． （2）由已知220a =，35c e a ==，∴10a =，6c =，∴22210664b =-=，所以，椭圆的标准方程为22110064x y +=或22110064y x +=． 例3 如图，我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道，是以地心（地球的中心）2F 为一个焦点的椭圆．已知它的近地点A （离地面最近的点）距地面439km ，远地点B （离地面最远的点）距地面2384km ，并且2F 、A 、B 在同一直线上，地球半径约为6371km ，求卫星运行的轨道方程（精确到1km ）．解：如图，建立直角坐标系，使点2,,A B F 在x 轴上，2F 为椭圆右焦点（记1F 为左焦点），设椭圆标准方程为22221x y a b+=（1a b >>），则22||||||63714396810a c OA OF F A -=-==+=，22||||||637123848755a c OB OF F B +=+==+=，解得：7782.5a = 972.5c = ∴22()()875568107722b a c a c a c =-=+-=⨯≈，所以，卫星的轨道方程是2222177837722x y +=． x y O ∙∙ 1F 2F A x yO A2B 1B F 图①例4 已知椭圆()22550mx y m m +=>的离心率为105e =，求m 的值． 解：依题意，0,5m m >≠，但椭圆的焦点位置没有确定，应分类讨论：①当焦点在x 轴上，即05m <<时，有5,,5a b m c m ===-，∴5255m -=，得3m =；②当焦点在y 轴上，即5m >时，有,5,5a m b c m ===-，∴5102553m m m-=⇒=． 例5 （1）求椭圆1162522=+y x 的右焦点和右准线；左焦点和左准线． （2）求椭圆81922=+y x 方程的准线方程．解：（1）由题意可知右焦点)0,(c F 右准线c a x 2=；左焦点)0,(c F -和左准线ca x 2-=（2）椭圆可化为标准方程为：198122=+x y ，故其准线方程为42272±=±=c a y 小结：求椭圆的准线方程一定要化成标准形式，然后利用准线公式即可求出．例 6 椭圆1162522=+y x 上的点M 到左准线的距离是5.2，M 到左焦点的距离为 ，M 到右焦点的距离为 .解：记椭圆的左右焦点分别为21,F F 到左右准线的距离分别为21,d d 由椭圆的第二定义可知：e d MF =||53||11===a c e d MF 5.15.253||11=⨯==∴ed MF 5.1||1=∴MF 又由椭的第一定义可知：5.8||102||||221=∴==+MF a MF MF 另解：点M 到左准线的距离是2.5，所以点M 到右准线的距离为685253505.222=-=-c a 5.868553||||2222=⨯==∴=ed MF e d MF小结：椭圆第二定义的应用和第一定义的应用例7 点P 与定点A （2，0）的距离和它到定直线8=x 的距离的比是1：2，求点P 的轨迹．解法一：设),(y x P 为所求轨迹上的任一点，则21|8|)2(22=-+-x y x 由化简得1121622=+y x ，故所的轨迹是椭圆．解法二：因为定点A （2，0）所以2=c ，定直线8=x 所以82==c a x 解得4=a ，又因为21==a c e 故所求的轨迹方程为1121622=+y x例8 点P 与定点A （2，0）的距离和它到定直线5=x 的距离的比是1：2，求点P 的轨迹；解法一：设),(y x P 为所求轨迹上的任一点，则21|5|)2(22=-+-x y x 由化简得0946322=-+-y x x 配方得134)1(22=+-y x ，故所的轨迹是椭圆，其中心在（1，0）． 解法二：因为定点A （2，0）所以2=c ，定直线8=x 所以52==ca x 解得102=a ，故所求的轨迹方程为161022=+y x ． 例9 （1）求出椭圆方程13422=+y x 和134)1(22=+-y x 的长半轴长、短半轴长、半焦距、离心率；（2）求出椭圆方程13422=+y x 和134)1(22=+-y x 长轴顶点、焦点、准线方程． 解：因为把椭圆13422=+y x 向右平移一个单位即可以得到椭圆134)1(22=+-y x 所以问题1中的所有问题均不变，均为21,1,3,3=====a c e c b a ． 13422=+y x 长轴顶点、焦点、准线方程分别为：)0,2(±，)0,1(±4±=x ． 134)1(22=+-y x 长轴顶点、焦点、准线方程分别为：)0,12(+±，)0,11(+±14+±=x ．例10 椭圆13422=+y x 上位于y 轴左侧的部分是否存在一点P ，使点P 到左准线的距离是点P 到两焦点1F 、2F 的距离的比例中项. 若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.解：假设存在，设点()00,y x P ，左准线l ：4-=x ， 所以点P 到左准线的距离40+=x d ，又212PF PF d =，01212x PF +=、02212x PF -=，得()20204144x x -=+ 得 451200-=-=x x 或，与20-≥x 矛盾，所以点P 不存在.【巩固提高】1．椭圆192522=+y x 上一点P 到左焦点的距离为8，那么点P 到右准线的距离是 （A ）25 （B ） 45 （C ） 35 （D ） 425 解：选A ．2．椭圆()012222>>=+b a by a x 上任意一点()00,y x P 到左焦点1F 、右焦点2F 的距离分别为1r 、2r ，椭圆的离心率为e ，则1r 、2r 分别等于（A ） a ex +0、a ex -0 （B ） a ex -0、a ex +0 （C ） 0ex a +、0ex a - （D ） 0ex a -、0ex a + 解：选C ．3．椭圆()012222>>=+b a by a x 的两个焦点 1F 、2F ，若椭圆上存在点P ，使得02190=∠PF F ，则椭圆的离心率的取值范围是（A ） ⎥⎦⎤ ⎝⎛22,0 （B ） ⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,22 （C ） ⎥⎦⎤⎝⎛23,0 （D ） ⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,23 解：选B ．4．设AB 是过椭圆右焦点的弦，那么以AB 为直径的圆必与椭圆的右准线（A ）相切 （B ）相离 （C ）相交 （D ）相交或相切解：选B ．设AB 的中点为M ，则M 即为圆心，直径是|AB|；记椭圆的右焦点为F ，右准线为l ；过点A 、B 、M 分别作出准线l 的垂线，分别记为d d d ,,21由梯形的中位线可知221d d d +=又由椭圆的第二定义可知e d AF =1||e d BF =2||即)(||||21d d e BF AF +=+ 又22||||2||21d d e BF AF AB +⋅=+= 且10<<e 2||AB d >∴故直线与圆相离．5．方程Ax 2+By 2=C 表示椭圆的条件是（A ）A , B 同号且A ≠B （B ）A , B 同号且C 与异号 （C ）A , B , C 同号且A ≠B （D ）不可能表示椭圆 解：选C ．6．已知椭圆方程为221499x y +=中，F 1, F 2分别为它的两个焦点，则下列说法正确的有 ①焦点在x 轴上，其坐标为(±7, 0)；② 若椭圆上有一点P 到F 1的距离为10，则P 到F 2的距离为4；③焦点在y 轴上，其坐标为(0, ±210)；④ a =49, b =9, c =40， （A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个 解：选B ．7．如果椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则其离心率为 （A ）53 （B ）312 （C ）43 （D ）910解：选A ．8．若点P 到两定点F 1(－2, 0), F 2(2, 0)的距离之和为4，则点P 的轨迹是 （A ）椭圆 （B ）直线 （C ）线段 （D ）两点 解：选C ．9．设椭圆的标准方程为22135x y k k+=--，若其焦点在x 轴上，则k 的取值范围是 （A ）k >3 （B ）3<k <5 （C ）4<k <5 （D ）3<k <4 解：选C ．10．若AB 为过椭圆12222=+by a x 中心的弦，F (c , 0)为椭圆的右焦点，则△AFB 面积的最大值是（A ）b 2 （B ）bc （C ）ab （D ）ac 解：选B ．11．已知椭圆11622=+m y x ，直线x y 22=，如果直线与椭圆的交点在x 轴上的射影恰为椭圆的焦点，则m 的值是（ ）（A ） 2 （B ） 22 （C ） 8 （D ） 32 解：选C ．12．直线l 经过点()2,0M 与椭圆2222=+y x 有两个不同的公共点，那么直线l 的倾斜角的范围是（A ） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-26arctan ,26arctan π （B ） ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ,26arctan 26arctan ,0 （C ） ⎪⎪⎭⎫⎝⎛26arctan ,0 （D ） ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-ππ,26arctan 解：选A.13．以椭圆的右焦点2F 为圆心做圆使这圆过椭圆的中心，且交椭圆于点M ，若直线1MF （1F 为椭圆的左焦点）是圆2F 的切线，则椭圆的离心率是（A ） 22 （B ） 23（C ） 13- （D ） 32-解：选C ．14．一条直线l ：022=+-y x 过椭圆12222=+by a x 的左焦点1F 和一个顶点B ，该椭圆的离心率为 （A ）51 （B ） 52 （C ） 55 （D ） 552 解：选D ．15．已知椭圆13422=+y x 内一点()1,1-P ，2F 为椭圆的右焦点，M 为椭圆上的一个动点，则2MF MP +的最大值为（A ） 54- （B ） 54+ （C ） 53- （D ） 53+ 解：选B ．16．椭圆14922=+y x 的两个焦点 1F 、2F ，点P 是椭圆上的动点，当21PF F ∠为钝角时，则点P 的横坐标的范围是 解：填⎪⎪⎭⎫⎝⎛-553,553．17．椭圆的两个焦点为()0,41-F 、 ()0,42F ，椭圆上一点P ，若21F PF ∆的最大面积是12，则椭圆的方程是解：192522=+y x ． 18．已知椭圆822=+y mx 与椭圆10025922=+y x 的焦距相等，则m 的值等于 解：179． 19．椭圆81922=+y x 的长轴长为 ，短轴长为 ，半焦距为 ，离心率为 ，焦点坐标为 ，顶点坐标为 ，准线方程为 解：18，6，26，322，)26,0(±，)9,0(±)0,3(±，4227±=y ． 20．短轴长为8，离心率为53的椭圆两焦点分别为1F 、2F ，过点1F 作直线l 交椭圆于A 、B 两点，则2ABF ∆的周长为 解：20．21．椭圆12222=+by a x (a >b >0)的半焦距为c ，若直线y =2x 与椭圆的一个交点的横坐标为c ，则椭圆的离心率为 解：21-．22．把椭圆的长轴AB 分成8等分，过每个等分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于721,P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点，则||||||721F P F P F P +++ =解法一：53==a c e ，设i P 的横坐标为i x ，则i x i 455+-=不妨设其焦点为左焦点 由53||===a c e d F P i 得i i ex a c a x e F P i i i 432)455(535)(||2+=+-⋅+=+=+= 35)721(4372||||||721=++++⨯=+++ F P F P F P ． 解法二：由题意可知1P 和7P 关于y 轴对称，又由椭圆的对称性及其第一定义可知a F P F P 2||||71=+，同理可知a F P F P 2||||62=+，a F P F P 2||||53=+，a F P =||4故357||||||721==+++a F P F P F P ．23．直线062=+-y x 过椭圆12522=+my x 的左焦点，则椭圆的右准线方程 是 . 解：填325=x ． 24．过椭圆192522=+y x 的右焦点F ，做倾斜角为4π的直线，交椭圆于A 、 B 两点，则弦AB 的长是 .解：填1790． 25．已知椭圆193622=+y x ，过点()2,4P 做直线交椭圆于A 、B 两点，若P 为 线段AB 的中点，则直线AB 的方程是 . 填：082=-+y x ．26．若方程x 2cosα－y 2sinα+2=0表示一个椭圆，则圆(x +cosα)2+(y +sinα)2=1的圆心在第 象限． 解：四．27．椭圆221123x y +=的两个焦点为F 1，F 2, 点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 1|是|PF 2|的 倍． 解：7．28．线段|AB |=4，|P A |+|PB |=6, M 是AB 的中点，当点P 在同一平面内运动时，PM 长度的最大值、最小值分别为 解：3，5．29．方程|2|)1()1(222++=-+-y x y x 表示什么曲线？解：222|2|)1()1(22=++-+-y x y x 122< ；即方程表示到定点的距离与到定直线的距离的比常数（且该常数小于1）．所以，方程表示椭圆．30．求过点P (3, 0)且与圆x 2+6x +y 2－91=0相内切的动圆圆心的轨迹方程．解：2212516x y +=．31．椭圆()012222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为1F 、2F ，短轴的下端点A 长轴的右端点B ，点M 在椭圆上，且x MF ⊥2轴，原点为O ，若AB OM // （1） 求椭圆的离心率；（2） 若点N 为椭圆上不同于长轴端点的任意一点，求21NF F ∠的范围； （3） 过2F 与OM 垂直的弦CD ，若CD F 1∆的面积为320，求椭圆方程.解：（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a b c M 2,，a b k ac b k AB OM ===2，得22=⇒=e c b ； （2）因为221π=∠AF F ，所以21NF F ∠的范围是⎥⎦⎤⎝⎛2,0π； （3）22c b =，222c a =，则椭圆22222c y x =+…①、直线CD ：()c x y --=2…②，②代入① 得0222522=--c cy y得 c y y 53421=-，3205342212121211=⨯⨯=-=∆c c y y F F S CD F ， 得 2522==b c 、502=a ，所求椭圆方程是1255022=+y x ． 32．已知点M 为椭圆1162522=+y x 的上任意一点，1F 、2F 分别为左右焦点；且)2,1(A 求||35||1MF MA +的最小值．分析：应如何把||351MF 表示出来解：左准线1l ：3252-=-=c a x ，作1l MD ⊥于点D ，记||MD d = 由第二定义可知：53||1===a c e d MF ⇒ d MF 53||1= ⇒ ||351MF d =故有||||||||35||1MD MA d MA MF MA +=+=+所以有当A 、M 、D 三点共线时，|MA|+|MD|有最小值：3251+即||35||1MF MA +的最小值是328变式1：||5||31MF MA +的最小值； 解：283283)||35||(3||5||311=⨯=+=+MF MA MF MA 变式2：||||531MF MA +的最小值； 解：52832853|)|35|(|53||||5311=⨯=+=+MF MA MF MA33．已知,A B 为椭圆2222519x y a +=上的两点，2F 是椭圆的右焦点．若228||||,5a AF BF AB +=的中点到椭圆左准线的距离是32，试确定椭圆的方程． 解：由椭圆方程可知、两准线间距离为．设，到右准线距离分别为，，由椭圆定义有，所以，则，中点到右准线距离为，于是到左准线距离为，，所求椭圆方程为．FAMD34．已知椭圆的中心在原点，长轴在x 轴上，，直线1=+y x 被椭圆截得的弦AB 的长为22，且弦AB 的中点M 与椭圆的中心O 的连线的斜率为22，求这个椭圆的方程. 解：设椭圆方程)0(222222>>=+b a b a y a x b ，()11,y x A 、()22,y x B ， 弦AB 的中点()00,y x M ，则22212212b a y a x b =+，22222222b a y a x b =+，得 ()()()()021********=-++-+y y y y a x x x x b . ()2121x x y y --=-、0212x x x =+、0212y y y =+、2200=x y ，得222b a =. ()()0122212.1,22222222=-+-+⇒⎩⎨⎧+-==+b x x x y b a y a x b ，由弦长公式得 232=b ，则32=a ，所以椭圆方程为132322=+y x ．35．椭圆)0(222222>>=+b a b a y a x b 的离心率32=e ，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，A 、B 是椭圆上不同的两个点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点()0,1Q . （1） 求线段AB 的中点()00,y x M 的横坐标0x ；（2） 若322=+BF AF ，且椭圆上一点P 满足02160=∠PF F ，求椭圆的方程及21PF F ∆的面积解：（1）设()11,y x A 、()22,y x B 弦AB 的中点()00,y x M ，则22212212b a y a x b =+，22222222b a y a x b =+，得 ()()()()02121221212=-++-+y y y y ax x x x b .0212x x x =+、0212y y y =+、11002121-=-∙--x y x x y y ，得2259b a =，得 490=x .（2）1232x a AF -=、2232x a BF -=、292021==+x x x ， 322=+BF AF ，得 53=⇒=b a ，所以椭圆方程是15922=+y x . 设 11r PF =、22r PF =，则()⎩⎨⎧==-+=+16260cos 2,62021222121c r r r r r r . 得 32021=r r ，所以 33560sin 2102121==∆r r S F PF ．36．已知椭圆C 的两个焦点()0,221-F 、()0,222F ，（1） 当直线l 过1F 与椭圆交于M 、N 两点，且MN F 2∆的周长为12时，求椭圆C 的方程；（2）是否存在直线m 过点()2,0P 与椭圆C 交于A 、B 两点，且以A B 为直径的圆过原点，若存在求直线m 的方程；若不存在，说明理由.解：解：（1）1922=+y x （过程略） （2） 设直线m ：()存在且k k kx y ,02≠+=代人椭圆方程得()027369122=+++kx x k ，0>∆得 3333>-<k k 或. 以A B 为直径的圆过原点，则 OB OA ⊥，设()11,y x A 、()22,y x B得()()()()0421********21212121=++++⇒+++⇒=+x x k x x k kx kx x x y y x x由韦达定理得 ()049172911272222=++-++kk k k ，解得 331±=k 使得 0>∆ 所以满足条件的直线m 的方程是06331=+-y x 或06331=-+y x ．。
§2.1.1椭圆的简单几何性质(第 3课时)[自学目标]:掌握直线与椭圆的位置关系，并能利用椭圆的有关性质解决实际问题. [重点]: 直线与椭圆实际问题[难点]: 直线和椭圆的位置关系，相关弦长、中点等问题． [教材助读]:1、若设直线与椭圆的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入椭圆的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式 子，可以大大减少运算量。
我们称这种代点作差的方法为“点差法”。
2、若直线b kx y l +=:与椭圆相交与A 、B 两点，),(),,2211y x B y x A （则 弦长221221)()(y y x x AB -+-= 221221)()(kx kx x x -+-= 2121x x k -+=2122124)(1x x x x k -++=[预习自测]1、过椭圆141622=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。
2、已知椭圆方程为1222=+y x 与直线方程21:+=x y l 相交于A 、B 两点，求AB 的弦长请你将预习中未能解决的问题和有疑惑的问题写下来，待课堂上与老师和同学探究解决。
[合作探究 展示点评] 探究一：点差法例1、已知椭圆1257522=+x y 的一条弦的斜率为3，它与直线21=x 的交点恰为这条弦的中点M ，求点M 的坐标。
探究二：弦长问题例2、已知斜率为2的直线l 被椭圆22132x y +=截得的弦长为307，求直线l 的方程。
[当堂检测]1．过椭圆x225＋y29＝1的右焦点且倾斜角为45°的弦AB 的长为( )A ．5B ．6 C.9017D ．72、过椭圆 2224x y += 的左焦点作倾斜角为030的直线， 则弦长 |AB|= _______3、求以椭圆x 216＋y 24＝1内的点M (1,1)为中点的弦所在的直线方程。
2.2.3 直线与椭圆的位置关系教材分析《直线与椭圆的位置关系》是解析几何中的重要内容之一，又是代数和几何衔接的枢纽，在直线椭圆的位置关系中渗透了数形结合的思想.在新课程数学教学中起着不可代替的作用.本节要求学生通过数形结合能够判断直线和椭圆的位置的关系，引导学生联系直线与圆的位置关系，采用代数的方法研究直线与椭圆的位置关系.课时分配本节内容用1课时的时间完成，主要讲解直线与椭圆的三种位置关系.教学目标重点: 利用方程根的判别式来研究直线与椭圆的各种位置关系.难点：利用方程根的判别式来研究直线与椭圆的各种位置关系.知识点：理解直线与椭圆的各种位置关系，能利用方程根的判别式来研究直线与椭圆的各种位置关系. 能力点：进一步树立数形结合、函数方程、等价转化、分类讨论等重要数学思想.教育点：通过研究直线与椭圆的位置关系，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，体会探究的乐趣，激发学生的学习热情.自主探究点：如何由直线与圆的位置关系联系到直线与椭圆的位置关系.考试点：掌握与椭圆有关的弦长、中点、垂直等问题的一些重要解题技巧.易错易混点：两种类型的弦长公式的引用及“点差法”学生容易出错.拓展点：如何由直线与椭圆的位置关系联系到直线与其他圆锥曲线的位置关系.教具准备多媒体课件课堂模式学案导学一、引入新课在初中已经研究过直线与圆的各种位置关系，通常用圆心到直线的距离与半径的大小来判断直线与圆的各种不同的位置关系.另外在《必修2》时我们也学会了用代数的方法去研究直线与圆的位置关系，通过联立直线与圆的方程，转化为一个关于x(有时也可以转化为关于y)的一元二次方程来研究、讨论.而我们对一元二次方程是比较熟悉的，可以由一元二次方程根的情况去研究直线与圆的交点情况，进而得到直线与圆的位置关系.（如下图所示）【师生活动】教师提问：直线与椭圆的这三种位置关系也能够分别应用几何法和代数法去研究吗？为什么？学生分析：不能应用几何法研究，因为椭圆没有像圆一样统一的半径，只能采用代数的方法去研究. 教师引导：代数的方法是研究直线与二次曲线有关问题的通法.【设计意图】通过多媒体课件给学生展示出直线与圆的三种位置关系，以及研究这三种位置关系的几何法和代数法，让学生从回顾所熟悉的问题入手，进而得出研究直线与椭圆的位置关系方法---代数法.消除新内容学习上的恐惧心理.二、探究新知 （一）位置问题（1）联立直线与椭圆的方程；（2）将直线方程代入到椭圆方程，消去x 或y 得一元二次方程； （3）由一元二次方程的根的情况得出直线与椭圆的位置关系. 0∆<时，相离；0∆=时相切；0∆>时，相交.例1、判断直线03=+-y kx 与椭圆141622=+y x 的位置关系. 解：由⎪⎩⎪⎨⎧=++=1416322y x kx y 可得02024)14(22=+++kx x k )516(162-=∆∴k （1）当45450)516(162-<>>-=∆k k k 或即时，直线03=+-y kx 与椭圆141622=+y x 相交； （2）当45450)516(162-===-=∆k k k 或即时，直线03=+-y kx 与椭圆141622=+y x 相切； （3）当45450)516(162<<-<-=∆k k 即时，直线03=+-y kx 与椭圆141622=+y x 相离. 【设计意图】通过本例让学生初步体会代数法来判断直线与椭圆的位置关系的解题思路，为接下来分别去研究相离、相切和相交作必要的准备.（二）最值问题例2、已知椭圆195222=+y x , 直线:45400l x y -+=,椭圆上是否存在一点,它到直线l 的距离最小?最小距离是多少?【分析】：作出直线l 及椭圆（如图）.观察图形，可以发现，利用平行于直线l 且与椭圆只有一个交点的直线，可以求得相应的最小距离.解: 由直线l 的方程与椭圆的方程可以知道，直线l 与椭圆不相交（为什么？）.设直线m 平行于直线l ，则直线m 的方程可写成：450x y k -+=.由方程组 224501259x y k x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消y 得： 222582250x kx k ++-=当0∆=时,得: 2264100(225)0k k --= 得: 125k = 225k =-当25k =时,直线与椭圆的交点到直线l 的距离最小,此时直线m 的方程为45250x y -+=，最小距离为：d =. 【变式训练】已知椭圆2288x y +=，在椭圆上求一点P ，使P 到直线:40l x y -+=的距离最小，并求出最小值.【设计意图】本例主要是研究直线与椭圆相离时的最值问题，例题和变式训练都可以再问距离最大时的点及最大距离，相离的位置关系还是转化为相切来解决的，另外就是通过此例让学生复习了两条平行线之间的距离公式.（三）弦长问题直线与椭圆相交弦长的求法： （1）联立方程组；（2）消去一个未知数，得一元二次方程；（3）利用弦长公式: A B AB x =-=（或者=. 例3、已知椭圆2212x y +=的左右焦点分别为12,F F ，若过点P （0，-2）及1F 的直线交椭圆于A,B 两点，求|AB|.解:由题意可得1(1,0)F - ，所以线段AB 所在直线方程为：22y x =--，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=1122222y x x y 消去y 可得：061692=++x x ，则有：1212162,93x x x x +=-⋅=，又12AB x =-= 【设计意图】通过本例让学生掌握直线与椭圆相交弦的弦长公式，利用韦达定理求出弦长.（四）中点问题例4、已知中心在原点，长轴在x 轴上的椭圆,c a 32=，若椭圆被直线10x y ++=截得的弦的中点的横坐标是32-，求椭圆的方程. 解法一：设椭圆方程为221(0)mx ny m n +=<<，),(),,(2211y x B y x A 由题意可得：32221-=+x x ，31221-=+y y 由⎩⎨⎧=+--=1122ny mx x y 可得012)(2=-+++n nx x n m ，m n n m n x x 234221=-=+-=+即 又c a 32=即2221131nm m -= 34,32==∴n m 椭圆方程为1343222=+y x 解法二：（点差法）令椭圆方程为)(122n m ny mx <=+，),(),,(2211y x B y x A 由题得：32221-=+x x ，31221-=+y y 由⎩⎨⎧=+=+1122222121ny m x ny m x 作差得)()(21212121y y x x y y x x n m+--=+-，12121y y k x x -==-- m n 2=∴又c a 32=即2221131nm m -= 34,32==∴n m 椭圆方程为1343222=+y x . 【变式训练】1、椭圆221369x y +=的一条弦被(4,2)A 平分,那么这条弦所在的直线方程是____________.2、如果椭圆2212x y +=的弦被点1122⎛⎫ ⎪⎝⎭，平分，求这条弦所在的直线方程.【设计意图】通过本例及变式训练让学生掌握当直线与椭圆相交时，利用“点差法”可以求出相应的直线的斜率，进而得到直线的方程.三、理解新知以上几类问题基本上是按照直线与椭圆的相离、相切、相交的三种位置关系展开的，相离时是借助于相切时来研究的最值问题；相交时的弦长问题和中点问题是直线与椭圆的位置关系中比较重要的两类问题，同学们要加强理解，主要一个思路就是借助于一元二次方程的根与系数关系研究的.四、运用新知例5已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 与椭圆C 交于A B 、两点，坐标原点O 到直线lAOB ∆面积的最大值. 解：（1）由题意可得：a =c e a ==，则c =21b ∴=，所以椭圆方程为： 2213x y +=； （2）①直线l 斜率不存在时，直线l的方程为x =，代入2213x y +=得：234y AB =∴=所以13224∆=⋅=AOB S AB ②直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为y kx b =+，又原点O 到直线l2= 得 ()22314b k =+，由2213x y y kx b⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得：()222136330k x kbx b +++-=，由韦达定理得：2121222633,1313kb b x x x x k k -+=-⋅=++12AB x x ∴=-==27(1k===令23t k =，则0k=时AB =0k ≠时，0t >222221244411(13)(1)122k t t k t t t t t ∴===≤=++++++当且仅当，1t t =即k =时等号成立，此时，250,06b =≠∆=>成立，max 2AB ∴= 122AOB S AB ∆∴=⋅为所求.【设计意图】本例为直线与椭圆的位置关系的综合题，主要考察学生对此类问题的理解力，对学生的要求较高.五、课堂小结教师提问：本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学思想方法？学生作答：本节课主要学习了直线与椭圆的位置关系，用代数的方法，借助于一元二次方程根的情况研究直线与椭圆的位置关系.教师总结:要注意理解直线与椭圆的各种位置关系，能利用方程根的判别式来研究直线与椭圆的各种位置关系.【设计意图】加强对学生学习方法的指导，做到“授人以渔”．六、布置作业1、必做题：47,7KP T 《自主学习丛书》A 组，11T ,B 组5T2、选做题：已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点(2,1)M ，平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为(0)m m ≠，l 交椭圆于,A B 两个不同点. （1）求椭圆的方程； （2）求m 的取值范围；（3）求证：直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形.【设计意图】必做题为本节课所研究的几类问题的变式，使学生巩固所学内容，加强对直线与圆锥曲线位置关系问题的理解，选做题为直线与圆锥曲线的综合题，对学生的计算能力要求较高.七、教后反思1.本教案的亮点是变式训练.在例4的教学中，给学生介绍了两种方法、说明思路的由来过程，一题多解开阔思路．例4后的变式，既注重了与原问题的联系，又在不知不觉中提高了难度，提高了学生的解题能力．2.由于各校的情况不同，建议教师在使用本教案时灵活掌握，但必须要把握直线与椭圆位置关系的三种情况的讨论这一主线.3.本节课的弱项是由于整堂课课堂容量较大，在课堂上没有充分暴露学生的思维过程，并给予针对性地诊断与分析.八、板书设计。
