内蒙古乌兰察布市2016-2017学年高二下学期期中数学试卷(文科)Word版含解析

2016-2017学年内蒙古乌兰察布市集宁一中高二（下）第二次月考数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知全集U＝R，集合A＝{x|1＜x≤3}，B＝{x|x＞2}，则A∩（∁U B）＝（）A．{x|1≤x≤2}B．{x|1≤x＜2}C．{x|1＜x≤2}D．{x|1≤x≤3} 2．（5分）不等式＞0的解集为（）A．{x|x＜﹣2，或x＞3}B．{x|x＜﹣2，或1＜x＜3}C．{x|﹣2＜x＜1，或x＞3}D．{x|﹣2＜x＜1，或1＜x＜3}3．（5分）命题p：|x+2|＞2，命题q：＞1，则￢q是￢p成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）若不等式|x+2|﹣|x+3|＞m有解，则m的取值范围（）A．m＜1B．m＜﹣1C．m≥1D．﹣1≤m≤1 5．（5分）设x＞0，则的最小值为（）A．2B．C．3D．6．（5分）若不等式|8x+9|＜7和不等式ax2+bx＞2的解集相等，则实数a，b的值分别为（）A．a＝﹣8，b＝﹣10B．a＝﹣4，b＝﹣9C．a＝﹣1，b＝9D．a＝﹣1，b＝2 7．（5分）已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上是增函数，则f（﹣1）与f（a2﹣2a+3）的大小关系是（）A．f（﹣1）≥f（a2﹣2a+3）B．f（﹣1）≤f（a2﹣2a+3）C．f（﹣1）＞f（a2﹣2a+3）D．f（﹣1）＜f（a2﹣2a+3）8．（5分）函数y＝（x2﹣3x+2）的单调递增区间为是（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，1）C．（﹣∞，]D．（2，+∞）9．（5分）若函数f（x）为奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f（2）＝0，则＜0的解集为（）A．（﹣2，0）∪（0，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣2，0）∪（2，+∞）10．（5分）设函数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3）B．（1，+∞）C．（﹣3，1）D．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）11．（5分）已知函数f（x）＝丨x﹣2丨+1，g（x）＝kx．若方程f（x）＝g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，2）D．（2，+∞）12．（5分）已知定义在R上的函数f（x）＝2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，记a＝f（log0.53），b＝f（log25），c＝f（2m），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．）13．（5分）命题“零向量与任意向量共线”的否定为．14．（5分）已知实数x，y，z满足x+2y+z＝1，则x2+4y2+z2的最小值是．15．（5分）若f（x）是一次函数，且f[f（x）]＝4x﹣1，则f（x）＝．16．（5分）函数的最小值为多少？三.解答题（本大题共6个小题.共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知f（x）＝|3x+|+3|x﹣a|．（Ⅰ）若a＝1，求f（x）≥8的解集；（Ⅱ）对任意a∈（0，+∞），任意x∈R，f（x）≥m恒成立，求实数m的最大值．18．（12分）已知命题p：≤0，命题q：（x﹣m）（x﹣m+2）≤0．m∈R，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．19．（12分）设p：关于x的不等式a x＞1的解集是{x|x＜0}；q：函数y＝lg（ax2﹣x+a）的定义域为R，如果“p∨q”为真命题且“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．20．（12分）函数f（x）＝x2+ax+3在区间[﹣1，1]上的最小值为﹣4．求实数a的值．21．（12分）设y＝f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，且满足f（xy）＝f（x）+f（y），f（）＝1．（1）求f（1），f（），f（9）的值；（2）若f（x）﹣f（2﹣x）＜2，求x的取值范围．22．（12分）设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f（x+2）＝﹣f（x）．当x∈[0，2]时，f（x）＝2x﹣x2．（1）求证：f（x）是周期函数；（2）当x∈[2，4]时，求f（x）的解析式；（3）计算f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2017）．2016-2017学年内蒙古乌兰察布市集宁一中高二（下）第二次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知全集U＝R，集合A＝{x|1＜x≤3}，B＝{x|x＞2}，则A∩（∁U B）＝（）A．{x|1≤x≤2}B．{x|1≤x＜2}C．{x|1＜x≤2}D．{x|1≤x≤3}【解答】解：A＝{x|1＜x≤3}，B＝{x|x＞2}，∁U B＝{x|x≤2}则集合A∩∁U B＝{1＜x≤2}，故选：C．2．（5分）不等式＞0的解集为（）A．{x|x＜﹣2，或x＞3}B．{x|x＜﹣2，或1＜x＜3}C．{x|﹣2＜x＜1，或x＞3}D．{x|﹣2＜x＜1，或1＜x＜3}【解答】解：⇔⇔（x﹣3）（x+2）（x﹣1）＞0利用数轴穿根法解得﹣2＜x＜1或x＞3，故选：C．3．（5分）命题p：|x+2|＞2，命题q：＞1，则￢q是￢p成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：命题p：|x+2|＞2即为x＞0或x＜﹣4；命题p：＞1即为2＜x＜3；所以￢p：﹣4≤x≤0，￢q：x≤2或x≥3；所以￢p成立￢q成立，反之￢q成立￢p不一定成立；所以¬q是¬p成立的必要不充分条件，故选：B．4．（5分）若不等式|x+2|﹣|x+3|＞m有解，则m的取值范围（）A．m＜1B．m＜﹣1C．m≥1D．﹣1≤m≤1【解答】解：∵关于x的不等式|x+2|﹣|x+3|＞m有解，|x+2|﹣|x+3|表示数轴上的x到2的距离减去它到3的距离，∴最大值为﹣1，故m＜﹣1，故选：B．5．（5分）设x＞0，则的最小值为（）A．2B．C．3D．【解答】解：根据题意，＝++，又由x＞0，则y＝++≥3＝3，即函数的最小值为3；故选：C．6．（5分）若不等式|8x+9|＜7和不等式ax2+bx＞2的解集相等，则实数a，b的值分别为（）A．a＝﹣8，b＝﹣10B．a＝﹣4，b＝﹣9C．a＝﹣1，b＝9D．a＝﹣1，b＝2【解答】解：∵|8x+9|＜7，∴﹣7＜8x+9＜7，∴﹣2＜x＜﹣．依题意，不等式ax2+bx﹣2＞0的解集为{x|﹣2＜x＜﹣}，∴﹣2与﹣是方程ax2+bx﹣2＝0的两根，∴由韦达定理得：﹣2×（﹣）＝﹣，∴a＝﹣4．又﹣2﹣＝﹣，∴b＝﹣9．综上所述，a＝﹣4，b＝﹣9．故选：B．7．（5分）已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上是增函数，则f（﹣1）与f（a2﹣2a+3）的大小关系是（）A．f（﹣1）≥f（a2﹣2a+3）B．f（﹣1）≤f（a2﹣2a+3）C．f（﹣1）＞f（a2﹣2a+3）D．f（﹣1）＜f（a2﹣2a+3）【解答】解：a2﹣2a+3＝（a﹣1）2+2≥2，f（﹣1）＝f（1），偶函数f（x）在区间[0，+∞）上是增函数，可得：f（﹣1）＜f（a2﹣2a+3）．故选：D．8．（5分）函数y＝（x2﹣3x+2）的单调递增区间为是（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，1）C．（﹣∞，]D．（2，+∞）【解答】解：由x2﹣3x+2＞0，得x＜1或x＞2．∴函数y＝（x2﹣3x+2）的定义域为（﹣∞，1）∪（2，+∞）．当x∈（﹣∞，1）时，内函数为减函数，当x∈（2，+∞）时，内函数为增函数，而外函数t为减函数，∴函数y＝（x2﹣3x+2）的单调递增区间为（﹣∞，1），故选：B．9．（5分）若函数f（x）为奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f（2）＝0，则＜0的解集为（）A．（﹣2，0）∪（0，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣2，0）∪（2，+∞）【解答】解：因为函数f（x）为奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，f（2）＝0，所以x＞2或﹣2＜x＜0时，f（x）＞0；x＜﹣2或0＜x＜2时，f（x）＜0；＜0，即＜0，可知﹣2＜x＜0或0＜x＜2．故选：A．10．（5分）设函数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3）B．（1，+∞）C．（﹣3，1）D．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）【解答】解：a＜0时，f（a）＜1即，解得a＞﹣3，所以﹣3＜a＜0；a≥0时，，解得0≤a＜1综上可得：﹣3＜a＜1故选：C．11．（5分）已知函数f（x）＝丨x﹣2丨+1，g（x）＝kx．若方程f（x）＝g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，2）D．（2，+∞）【解答】解：由题意可得函数f（x）的图象（蓝线）和函数g（x）的图象（红线）有两个交点，如图所示：K OA＝，数形结合可得＜k＜1，故选：B．12．（5分）已知定义在R上的函数f（x）＝2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，记a＝f（log0.53），b＝f（log25），c＝f（2m），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a【解答】解：∵f（x）为偶函数；∴f（﹣x）＝f（x）；∴2|﹣x﹣m|﹣1＝2|x﹣m|﹣1；∴|﹣x﹣m|＝|x﹣m|；（﹣x﹣m）2＝（x﹣m）2；∴mx＝0；∴m＝0；∴f（x）＝2|x|﹣1；∴f（x）在[0，+∞）上单调递增，并且a＝f（|log0.53|）＝f（log23），b＝f（log25），c＝f（0）；∵0＜log23＜log25；∴c＜a＜b．故选：C．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．）13．（5分）命题“零向量与任意向量共线”的否定为有的向量与零向量不共线．【解答】解：命题“零向量与任意向量共线”即“任意向量与零向量共线”，是全称命题，其否定为特称命题：“有的向量与零向量不共线”．故答案为：“有的向量与零向量不共线”．14．（5分）已知实数x，y，z满足x+2y+z＝1，则x2+4y2+z2的最小值是．【解答】解：由柯西不等式，得（x+2y+z）2≤（12+12+12）•（x2+4y2+z2），∵x+2y+z＝1，∴x2+4y2+z2≥，∴x2+4y2+z2的最小值是，故答案为：．15．（5分）若f（x）是一次函数，且f[f（x）]＝4x﹣1，则f（x）＝f（x）＝2x﹣或﹣2x+1．【解答】解：设f（x）＝kx+b（k≠0），则f[f（x）]＝f（kx+b）＝k（kx+b）+b＝k2x+kb+b＝4x﹣1，根据多项式相等得出，解得或．因此所求的函数解析式为：f（x）＝2x﹣或﹣2x+1．故答案为：f（x）＝2x﹣或﹣2x+1．16．（5分）函数的最小值为多少？【解答】解：令，则t≥2，x2+4＝t2．∴函数＝＝t+．∴＝＞0，（t≥2）．∴函数y＝在区间[2，+∞）是单调递增．∴当t＝2时，函数y＝取得最小值．因此函数的最小值为．三.解答题（本大题共6个小题.共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知f（x）＝|3x+|+3|x﹣a|．（Ⅰ）若a＝1，求f（x）≥8的解集；（Ⅱ）对任意a∈（0，+∞），任意x∈R，f（x）≥m恒成立，求实数m的最大值．【解答】解：（Ⅰ）若a＝1，则f（x）＝|3x+1|+|3x﹣3|，则当x≥1时，f（x）＝3x+1+3x﹣3＝6x﹣2≥8，解得x≥，则为x≥；当﹣＜x＜1时，f（x）＝3x+1+3﹣3x＝4≥8，无解，则x∈∅；当x≤﹣时，f（x）＝﹣3x﹣1+3﹣3x＝2﹣6x≥8，解得x≤﹣1，则为x≤﹣1．综上可得x≤﹣1或x≥．则解集为（﹣∞，﹣1]∪[，+∞）；（Ⅱ）f（x）＝|3x+|+3|x﹣a|≥|（3x+）+（3a﹣3x）|＝|+3a|＝3a+≥2＝2，当且仅当3a＝即a＝时，取得最小值2．由于任意x∈R，f（x）≥m恒成立，则m≤2，即有m的最大值为2．18．（12分）已知命题p：≤0，命题q：（x﹣m）（x﹣m+2）≤0．m∈R，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．【解答】解：对于命题p：，解得：0＜x≤1，对于命题q：：（x﹣m）（x﹣m+2）≤0，得m﹣2≤x≤m，又因为p是q的充分不必要条件，∴p⇒q，∴，∴1≤m≤2．19．（12分）设p：关于x的不等式a x＞1的解集是{x|x＜0}；q：函数y＝lg（ax2﹣x+a）的定义域为R，如果“p∨q”为真命题且“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．【解答】解：若p真，则0＜a＜1，若p假，则a≥1或a≤0；若q真，显然a≠0，则，得；若q假，则．∵“p∨q”为真命题且“p∧q”为假命题，∴p和q有且仅有一个为真．∴当p真q假时，，当p假q真时，a≥1．综上：．20．（12分）函数f（x）＝x2+ax+3在区间[﹣1，1]上的最小值为﹣4．求实数a的值．【解答】解：∵f（x）＝x2+ax+3＝+3﹣，（1）当﹣＜﹣1时，即a＞2时，f（x）min＝f（﹣1）＝4﹣a＝﹣4，解得：a＝8；（2）当﹣1≤﹣≤1时，即﹣2≤a≤2时，f（x）min＝f（﹣）＝3﹣＝﹣4，解得a＝±2（舍去）；（3）当﹣＞1时，即a＜﹣2时，f（x）min＝f（1）＝4+a＝﹣4，解得：a＝﹣8，综上，a＝±8．21．（12分）设y＝f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，且满足f（xy）＝f（x）+f（y），f（）＝1．（1）求f（1），f（），f（9）的值；（2）若f（x）﹣f（2﹣x）＜2，求x的取值范围．【解答】解：（1）令x＝y＝1，则f（1）＝f（1）+f（1），即f（1）＝0，令x＝y＝，则f（×）＝f（）+f（），即f（）＝2f（）＝2，令x＝，y＝9得f（×9）＝f（）+f（9），即f（1）＝f（）+f（9），则f（9）＝f（1）﹣f（）＝0﹣2＝﹣2．（2）若f（x）﹣f（2﹣x）＜2，则f（x）＜f（2﹣x）+f（），即f（x）＜f（（2﹣x）），∵y＝f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，∴，即，即＜x＜2，解得＜x＜2，即不等式的解集为（，2）．22．（12分）设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f（x+2）＝﹣f（x）．当x∈[0，2]时，f（x）＝2x﹣x2．（1）求证：f（x）是周期函数；（2）当x∈[2，4]时，求f（x）的解析式；（3）计算f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2017）．【解答】解：（1）∵f（x+2）＝﹣f（x），∴f（x+4）＝﹣f（x+2），∴f（x+4）＝f（x），∴f（x）是周期为4的函数．（2）当x∈[2，4]，4﹣x∈[0，2]，∴f（4﹣x）＝2（4﹣x）﹣（4﹣x）2＝﹣x2+6x﹣8，∴f（x）＝f（x﹣4）＝﹣f（4﹣x）＝x2﹣6x+8（x∈[2，4]）．（3）∵f（0）＝0，f（1）＝1，f（2）＝0，f（3）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣1．∴f（0）+f（1）+f（2）+f（3）＝0，∴f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2017）＝[f（0）+f（1）+f（2）+f（3）]+f（2016）+f （2017）＝f（0）+f（1）＝1．。

内蒙古乌兰察布2016-2017学年高二数学下学期期末考试试题 文注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上。

2. 将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3. 考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题：（本大题共12小题。

每小题5分，满分60分。

在每小题给出的四个选项中，只有1项是符合题意的。

） 1、已知集合{}{}1,1,124x A B x =-=≤<,则A B ⋂等于（ ） A ．{}1,0,1- B ．{}1 C ．{}1,1- D ．{}0,1）的共轭复数是（、复数iiz ++-=232A ．2＋iB ．2－iC ．－1＋iD ．－1－i 3、已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a 和 直线b 垂直”是“平面α和平面β垂直”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4、.如图所示的程序框图，运行后输出的结果为（ ） A.4 B. 8 C.16 D.325、函数f （x ）的定义域为R ，f （﹣1）=1，对任意x ∈R ，f ′（x ）＞3，则f （x ）＞3x+4的解集为（ ）A ．（﹣1，1）B ．（﹣1，+∞）C ．（﹣∞，﹣1）D ．（﹣∞，+∞）6、已知变量与正相关，且由观测数据算得样本平均数3x =， 3.5y =，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ）A ．ˆ0.4 2.3y x =+B ．ˆ2 2.4y x =-C ．ˆ29.5y x =-+ D ．ˆ0.3 4.4y x =-+ 7、设变量x ，y 满足约束条件，则（x -2）2+y 2的最小值为（ ）A.5B.C.D.8．已知简谐运动()sin(),(||)2f x A x πωϕϕ=+<的部分图象如右图示， 则该简谐运动的最小正周期和初相分别为 A.6,6T ππϕ==B.6,3T ππϕ==C.6,6T πϕ==D.6,3T πϕ==9．若)32lg(),12lg(,2lg +-xx成等差数列，则的值等于（ ） A B 或 C D 5log 210、已知F 1，F 2是双曲线E 22221x y a b -=的左，右焦点，点M 在E 上，M F 1与轴垂直，sin 2113MF F ∠= ,则E 的离心率为（ ）（A ） （B ）32（C ） （D ）2 {)(取值范围是的为是曲）（、设xy 上任意一点，则)2π＜θ≤0为参数，(：C 线 ,P 11cos 2sin θθθ+-==x y y x A. B. C. D.12、任意、R b ∈，定义运算⎪⎩⎪⎨⎧>-≤⋅=*.0 , ,0, ab b a ab b a b a ，则xe x xf *=)(的A.最小值为B.最大值为e 1-C. 最小值为e1- D.最大值为 二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13、 已知向量(1,2)=a ，(,2)λ=-b .若,90︒〈-〉=a b a ，a b)-(a ⊥则实数λ=_____. 14、用火柴棒按下图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数与所搭三角形的个数之间的关系式可以是． 15、抛物线28y x =的顶点为，()1,0A ，过焦点且倾斜角为4π的直线与抛物线交于 N ,M 两点，则AMN ∆的面积是．16.已知数列{b n }是等比数列，，a 1=1，a 3=3，c n =a n •b n ，那么数列{c n }的前n 项和S n = ______ ．三、解答题(22题10分，17—21每题12分，本大题一共70分)17、（12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c =）bcosA +acosB （2cosC ． （Ⅰ）求角C ； （Ⅱ）若c =，△ABC 的面积为323，求△ABC 的周长．18.已知函数)(x f =a+b+c 的图像经过点(0,1)，且在=1处的切线方程是y=－2. 求)(x f 的解析式；19、某校高一年级开设研究性学习课程，（）班和（）班报名参加的人数分别是和．现用分层抽样的方法，从中抽取若干名学生组成研究性学习小组，已知从（）班抽取了名同学． （Ⅰ）求研究性学习小组的人数；（Ⅱ）规划在研究性学习的中、后期各安排次交流活动，每次随机抽取小组中名同学发言．求次发言的学生恰好来自不同班级的概率． 20、（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221X y a b+= （a>b>0）的离心率为2 ，A （a,0）,B(0,b)，O （0，0），△OAB的面积为1.（I ）求椭圆C 的方程；(2)设P 的椭圆C 上一点，直线PA 与Y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N 。

内蒙古乌兰察布市高二下学期数学期中联考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）(2017·黑龙江模拟) 的虚部为（）A . iB . ﹣1C . ﹣iD . 12. （2分） (2019高二上·丽水期末) 椭圆焦点坐标是（）A .B .C .D .3. （2分） (2017高二下·龙海期中) 用数学归纳法证明1+ + +…+ ＜n（n∈N* ， n＞1），第一步应验证不等式（）A . 1+ ＜2B . 1+ + ＜3C . 1+ + + ＜3D . 1+ + ＜24. （2分） (2019高二下·佛山月考) 已知，则（）A .B .C .D .5. （2分）若在上是减函数，则b的取值范围是（）A .B .C .D .6. （2分） (2019高二下·四川月考) 曲线y=﹣x3+3x2在点（1，2）处的切线方程为（）A . y=3x﹣1B . y=﹣3x+5C . y=3x+5D . y=2x7. （2分）已知中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为（）A . y=B .C .D .8. （2分）若椭圆的左、右焦点分别为F1、F2 ，线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点分成5:3两段，则此椭圆的离心率为（）A .B .C .D .9. （2分） (2017高二下·咸阳期末) 已知方程x2﹣4x+1=0的两根是两圆锥曲线的离心率，则这两圆锥曲线是（）A . 双曲线、椭圆B . 椭圆、抛物线C . 双曲线、抛物线D . 无法确定10. （2分）已知f(x)＝aln x＋ x2(a＞0)，若对任意两个不等的正实数x1 ， x2都有恒成立，则实数a的取值范围是（）A . [1，＋∞)B . (1，＋∞)C . (0,1)D . (0,1]二、填空题 (共7题；共7分)11. （1分） (2017高三上·常州开学考) 在平面直角坐标系xOy中，双曲线 =1与抛物线y2=﹣12x 有相同的焦点，则双曲线的两条渐近线的方程为________．12. （1分） (2018高二下·辽源月考) 设x＝1与x＝2是函数f(x)＝alnx＋bx2＋x的两个极值点，则常数a ＝________.13. （1分） (2015高二下·射阳期中) 已知复数（i为虚数单位，a∈R）的实部与虚部互为相反数，则a=________．14. （1分） (2017高二上·黄山期末) 已知抛物线y2=2px（p＞0），F为其焦点，l为其准线，过F作一条直线交抛物线于A，B两点，A′，B′分别为A，B在l上的射线，M为A′B′的中点，给出下列命题：①A′F⊥B′F；②AM⊥BM；③A′F∥BM；④A′F与AM的交点在y轴上；⑤AB′与A′B交于原点．其中真命题的是________．（写出所有真命题的序号）15. （1分） (2018高二上·江苏月考) 方程表示椭圆，则实数的取值范围是________．16. （1分） (2015高二下·湖州期中) 若函数f（x）=log2（a﹣2x）+x﹣1存在零点，则实数a的取值范围是________．17. （1分）椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1 ， F2 ．若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为________三、解答题 (共5题；共25分)18. （5分）设复数z=a+i（i是虚数单位，a∈R，a＞0），且|z|=．（Ⅰ）求复数z；（Ⅱ）在复平面内，若复数+（m∈R）对应的点在第四象限，求实数m取值范围．19. （5分）(2017·漳州模拟) 已知函数f（x）=（x﹣3）ex+ax，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求曲线f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）当a∈[0，e）时，设函数f（x）在（1，+∞）上的最小值为g（a），求函数g（a）的值域．20. （5分） (2016高二上·福田期中) 已知动点P与双曲线﹣ =1的两个焦点F1 ， F2所连线段的和为6 ，（1）求动点P的轨迹方程；（2）若• =0，求点P的坐标；（3）求角∠F1PF2余弦值的最小值．21. （5分）已知函数f（x）=x﹣ln（x+a）的最小值为0，其中a＞0．（1）求a的值；（2）若对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≥kx2成立，求实数k的取值范围．22. （5分） (2019·天河模拟) 如图，在平面直角坐标系xOy中，焦点在x轴上的椭圆的右顶点和上顶点分别为A，B，M为线段AB的中点，且．（1）求椭圆的离心率；（2）四边形ABCD内接于椭圆，记直线AD，BC的斜率分别为、，求证：为定值．参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共7题；共7分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、三、解答题 (共5题；共25分) 18-1、19-1、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、22-2、。

内蒙古乌兰察布市2016-2017学年高二下学期期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．设函数y=f（x）可导，则等于（）A．f'（1）B．3f'（1） C．D．以上都不对2．椭圆的焦距等于2，则m的值为（）A．5或3 B．5 C．8 D．163．经过点M（3，﹣1），且对称轴在坐标轴上的等轴双曲线的方程是（）A．y2﹣x2=8 B．x2﹣y2=±8 C．x2﹣y2=4 D．x2﹣y2=84．双曲线的焦点到渐近线的距离为（）A．2 B．3 C．4 D．55．双曲线的渐进线为y=±x，则此双曲线的离心率是（）A．B．或C．2 D．或6．已知f（x）=x2+2xf′（1），则f′（0）等于（）A．0 B．﹣2 C．﹣4 D．27．已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围（）A．k＞10 B．k＜4 C．4＜k＜7 D．7＜k＜108．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（）A．B．C．D．9．抛物线y2=8x上一点P到顶点的距离等于它到准线的距离，则P的坐标是（）A．（±4，2）B．（2，±4）C．D．10．若抛物线y2=﹣16x上一点P到x轴的距离为12，则该点到焦点的距离为（）A．5 B．8 C．﹣5 D．1311．函数y=（3﹣x2）e x的单调递增区间是（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，﹣3）和（1，+∞） D．（﹣3，1）12．已知双曲线kx2﹣2ky2=4的一条准线是y=1，则实数k的值是（）A．B．﹣ C．1 D．﹣1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．在△ABC中，已知=（2，4，0），=（﹣1，3，0），则∠ABC=______．14．与椭圆=1有公共焦点，且离心率e=的双曲线的方程______．15．抛物线y2=2x与直线l相交于A，B两点，且，则直线恒过定点______．16．已知a＞0，函数f（x）=x3﹣ax在[1，+∞）上是单调递增函数，则a的取值范围是______．三、解答题（17小题10分，18-22每题12分，共70分）17．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N是棱A1B1，B1B的中点，求异面直线AM和CN所成角的余弦值．18．如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，AD=PA=2，CD=2，E、F分别是AB、PD的中点．（1）求证：AF∥平面PCE；（2）求证：平面PCE⊥平面PCD；（3）求四面体PEFC的体积．19．已知过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点的直线交抛物线于A、B两点，且|AB|=p，求AB所在的直线方程．20．已知双曲线=1，P为双曲线上一点，F1，F2是双曲线的两个焦点，且∠F1PF2=60°，求△F1PF2的面积．21．已知椭圆+=1和点P（4，2），直线l经过点P且与椭圆交于A，B两点．（1）当直线l的斜率为时，求线段AB的长度；（2）当P点恰好为线段AB的中点时，求l的方程．22．已知a是实数，函数f（x）=x2（x﹣a）．（Ⅰ）若f′（1）=3，求a的值及曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，2]上的最大值．内蒙古乌兰察布市2016-2017学年高二下学期期中试卷（理科数学）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．设函数y=f（x）可导，则等于（）A．f'（1）B．3f'（1） C．D．以上都不对【考点】极限及其运算．【分析】先有极限的运算性质变形得=，再由导数定义得到结果对比四个选项找出正确答案【解答】解：由题意函数y=f（x）可导∴==故选C2．椭圆的焦距等于2，则m的值为（）A．5或3 B．5 C．8 D．16【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可得：c=1，再分别讨论焦点的位置进而求出m的值．【解答】解：由题意可得：c=1．①当椭圆的焦点在x轴上时，m﹣4=1，解得m=5．②当椭圆的焦点在y轴上时，4﹣m﹣1，解得m=3．则m的值为：3或5．故选A．3．经过点M（3，﹣1），且对称轴在坐标轴上的等轴双曲线的方程是（）A．y2﹣x2=8 B．x2﹣y2=±8 C．x2﹣y2=4 D．x2﹣y2=8【考点】双曲线的标准方程．【分析】设对称轴在坐标轴上的等轴双曲线的方程为x2﹣y2=λ（λ≠0），代入M的坐标，可得双曲线的方程．【解答】解：设对称轴在坐标轴上的等轴双曲线的方程为x2﹣y2=λ（λ≠0），将点M（3，﹣l），代入可得9﹣1=λ，∴λ=8，∴方程为x2﹣y2=8，故选：D．4．双曲线的焦点到渐近线的距离为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】双曲线的简单性质．【分析】先由题中条件求出焦点坐标和渐近线方程，再代入点到直线的距离公式即可求出结论．【解答】解：由可知a=4，b=3，c=5，∴其中一个焦点为（5，0），一条渐近线方程为，所以．故选B．5．双曲线的渐进线为y=±x，则此双曲线的离心率是（）A．B．或C．2 D．或【考点】双曲线的简单性质．【分析】双曲线的渐近线为y=±x，可得=或，利用e==，可求双曲线的离心率．【解答】解：∵双曲线的渐近线为y=±x，∴=或，∴e===或．故选：B．6．已知f（x）=x2+2xf′（1），则f′（0）等于（）A．0 B．﹣2 C．﹣4 D．2【考点】导数的运算．【分析】把给出的函数求导得其导函数，在导函数解析式中取x=1可求2f′（1）的值．【解答】解：由f（x）=x2+2xf′（1），得：f′（x）=2x+2f′（1），取x=1得：f′（1）=2×1+2f′（1），所以，f′（1）=﹣2．所以f′（x）=2x﹣4故f′（0）=2f′（1）=﹣4，故选：C．7．已知方程表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围（ ）A ．k ＞10B ．k ＜4C ．4＜k ＜7D ．7＜k ＜10【考点】椭圆的简单性质．【分析】方程，化为： +=1，根据表示焦点在x 轴上的椭圆的标准方程即可得出关系式，解出即可得出．【解答】解：方程，化为： +=1，由于表示焦点在x 轴上的椭圆，∴k ﹣4＞10﹣k ＞0，解得7＜k ＜10，则实数k 的取值范围是7＜k ＜10，故选：D ．8．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】椭圆的应用；数列的应用．【分析】先设长轴为2a ，短轴为2b ，焦距为2c ，由题意可知：a+c=2b ，由此可以导出该椭圆的离心率．【解答】解：设长轴为2a ，短轴为2b ，焦距为2c ，则2a+2c=2×2b ，即a+c=2b ⇒（a+c ）2=4b 2=4（a 2﹣c 2），所以3a 2﹣5c 2=2ac ，同除a 2，整理得5e 2+2e ﹣3=0，∴或e=﹣1（舍去），故选B ．9．抛物线y 2=8x 上一点P 到顶点的距离等于它到准线的距离，则P 的坐标是（ ）A ．（±4，2）B ．（2，±4）C ．D ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线的定义与等腰三角形的性质即可求得P 的坐标．【解答】解：∵抛物线的方程为y 2=8x ，∴其焦点F （2，0），其准线方程为：x=﹣2；设点P （x 0，y 0）在它准线上的射影为P′，由抛物线的定义知，|PP′|=|PF|，∵|PP′|=|PO|，|PP′|=|PF|，∴|PO|=|PF|，即△POF 为等腰三角形，过P 向x 轴引垂线，垂足为M ，则M 为线段OF 的中点， ∴点M 的坐标为M （1，0），于是x 0=1，∴=8x 0=8，∴y 0=±2．∴点P的坐标为P（1，±2）．故选D．10．若抛物线y2=﹣16x上一点P到x轴的距离为12，则该点到焦点的距离为（）A．5 B．8 C．﹣5 D．13【考点】抛物线的简单性质．【分析】先把点P的纵坐标代入抛物线方程求得点P的横坐标，进而根据抛物线的定义求得答案．【解答】解：依题意可知点P的纵坐标|y|=12，代入抛物线方程求得x=﹣9抛物线的准线为x=4，根据抛物线的定义可知点P与焦点F间的距离4+9=13故选：D．．11．函数y=（3﹣x2）e x的单调递增区间是（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，﹣3）和（1，+∞） D．（﹣3，1）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求导函数，令其大于0，解不等式，即可得到函数的单调递增区间．【解答】解：求导函数得：y′=（﹣x2﹣2x+3）e x令y′=（﹣x2﹣2x+3）e x＞0，可得x2+2x﹣3＜0∴﹣3＜x＜1∴函数y=（3﹣x2）e x的单调递增区间是（﹣3，1）故选D．12．已知双曲线kx2﹣2ky2=4的一条准线是y=1，则实数k的值是（）A．B．﹣ C．1 D．﹣1【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意，双曲线kx2﹣2ky2=4可化为=1，可得a2=﹣，b2=﹣，c2=﹣，利用双曲线kx2﹣2ky2=4的一条准线是y=1，建立方程，即可得出结论．【解答】解：由题意，双曲线kx2﹣2ky2=4可化为=1，∴a2=﹣，b2=﹣，c2=﹣，∵双曲线kx2﹣2ky2=4的一条准线是y=1，∴=1，∴k=﹣，故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．在△ABC中，已知=（2，4，0），=（﹣1，3，0），则∠ABC= ．【考点】空间向量运算的坐标表示．【分析】利用向量夹角公式即可得出．【解答】解：∵cos∠ABC===，∠ABC∈（0，π），∴∠ABC=．故答案为：．14．与椭圆=1有公共焦点，且离心率e=的双曲线的方程﹣=1 ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出椭圆的焦点，可得c=5，由离心率公式可得a=4，由a，b，c的关系可得b=3，即可得到双曲线的方程．【解答】解：椭圆=1的焦点为（，0）即为（±5，0），则双曲线的c=5，由离心率e=，则=，则有a=4，b==3，则双曲线的方程为﹣=1，故答案为：﹣=1．15．抛物线y2=2x与直线l相交于A，B两点，且，则直线恒过定点（2，0）．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设直线l：x=my+b，代入抛物线y2=2x，利用韦达定理及向量数量积公式即可得到结论．【解答】解：设直线l：x=my+b，代入抛物线y2=2x，可得y2﹣2my﹣2b=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=2m，y1y2=﹣2b，∴x1x2=（my1+b）（my2+b）=b2，∵OA⊥OB，∴•=x1x2+y1y2=b2﹣2b=0，∵b≠0，∴b=2，∴直线l：x=my+2，∴直线l过定点（2，0）．故答案为：（2，0）．16．已知a＞0，函数f（x）=x3﹣ax在[1，+∞）上是单调递增函数，则a的取值范围是（0，3] ．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求函数的导数，利用函数单调性和导数的关系转化为f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立即可．【解答】解：∵函数f（x）=x3﹣ax在[1，+∞）上是单调递增函数，∴f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，即f′（x）=3x2﹣a≥0在[1，+∞）上恒成立，即a≤3x2在[1，+∞）上恒成立，∵3x2≥3，∴0＜a≤3，即实数a的取值范围是（0，3]，故答案为：（0，3]．三、解答题（17小题10分，18-22每题12分，共70分）17．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N是棱A1B1，B1B的中点，求异面直线AM和CN所成角的余弦值．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】如图所示，建立空间直角坐标系．利用向量的夹角公式即可得出．【解答】解：如图所示，建立空间直角坐标系．不妨取AB=2，则D（0，0，0），A（2，0，0），M（2，1，2），C（0，2，0），N（2，2，1），=（0，1，2），=（2，0，1），∴===．18．如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，AD=PA=2，CD=2，E、F分别是AB、PD的中点．（1）求证：AF∥平面PCE；（2）求证：平面PCE⊥平面PCD；（3）求四面体PEFC的体积．【考点】直线与平面平行的判定；棱锥的结构特征；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）设G为PC的中点，连接FG，EG，根据中位线定理得到FG CD，AE CD，进而可得到AF∥GE，再由线面平行的判定定理可证明AF∥平面PCE，得证．（2）根据PA=AD=2可得到AF⊥PD，再由线面垂直的性质定理可得到PA⊥CD，然后由AD⊥CD结合线面垂直的判定定理得到CD⊥平面PAD，同样得到GE⊥平面PCD，再由面面垂直的判定定理可得证．，根据棱锥的体积公式可得到答案．（3）先由（2）可得知EG为四面体PEFC的高，进而求出S△PCF【解答】解：（1）证明：设G为PC的中点，连接FG，EG，∵F为PD的中点，E为AB的中点，∴FG CD，AE CD∴FG AE，∴AF∥GE∵GE⊂平面PEC，∴AF∥平面PCE；（2）证明：∵PA=AD=2，∴AF⊥PD又∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，∵AD⊥CD，PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，∵AF⊂平面PAD，∴AF⊥CD．∵PD∩CD=D，∴AF⊥平面PCD，∴GE⊥平面PCD，∵GE⊂平面PEC，∴平面PCE⊥平面PCD；（3）由（2）知，GE⊥平面PCD，所以EG为四面体PEFC的高，又GF∥CD，所以GF⊥PD，EG=AF=，GF=CD=，=PD•GF=2．S△PCF•EG=．得四面体PEFC的体积V=S△PCF19．已知过抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，且|AB|=p ，求AB 所在的直线方程．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），若AB ⊥Ox ，则|AB|=2p ＜p ，不合题意．所以直线AB 的斜率存在，设为k ，则直线AB 的方程为y=k （x ﹣），k ≠0．联立抛物线方程，结合韦达定理和弦长公式，可得满足条件的k 值，进而得到答案．【解答】解：抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点F （，0），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），若AB ⊥Ox ，则|AB|=2p ＜p ，不合题意．所以直线AB 的斜率存在，设为k ，则直线AB 的方程为y=k （x ﹣），k ≠0．由消去x ，整理得ky 2﹣2py ﹣kp 2=0．由韦达定理得，y 1+y 2=，y 1y 2=﹣p 2．∴|AB|====2p（1+）=p ．解得k=±2．∴AB 所在的直线方程为y=2（x ﹣）或y=﹣2（x ﹣）．20．已知双曲线=1，P 为双曲线上一点，F 1，F 2是双曲线的两个焦点，且∠F 1PF 2=60°，求△F 1PF 2的面积．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可得F 2（2，0），F 1 （﹣2，0），由余弦定理可得 PF 1•PF 2=64，由△F 1PF 2的面积S=PF 1•PF 2sin60°，计算即可得到所求．【解答】解：由双曲线=1的a=，b=4，c=2，F 2（2，0），F 1 （﹣2，0），由余弦定理可得，F 1F 22=160=PF 12+PF 22﹣2PF 1•PF 2cos60°=（PF 1﹣PF 2）2+PF 1•PF 2=96+PF 1•PF 2，∴PF 1•PF 2=64．则△F 1PF 2的面积S=PF 1•PF 2sin60°=×64×=16．故答案为：16．21．已知椭圆+=1和点P （4，2），直线l 经过点P 且与椭圆交于A ，B 两点．（1）当直线l 的斜率为时，求线段AB 的长度；（2）当P 点恰好为线段AB 的中点时，求l 的方程．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】（1）设出直线方程，代入椭圆方程，解方程可得交点坐标，由两点 的距离公式即可得到弦长；（2）运用点差法，求得直线的斜率，即可得到直线方程．【解答】解：（1）直线l 的方程为y ﹣2=（x ﹣4），即为y=x ，代入椭圆方程x 2+4y 2=36，可得x=±3，y=±．即有|AB|==3；（2）由P 的坐标，可得+＜1，可得P 在椭圆内，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则+=1，①+=1，②由中点坐标公式可得x 1+x 2=8，y 1+y 2=4，③由①﹣②可得， +=0，④将③代入④，可得==﹣，kAB则所求直线的方程为y﹣2=﹣（x﹣4），即为x+2y﹣8=0．22．已知a是实数，函数f（x）=x2（x﹣a）．（Ⅰ）若f′（1）=3，求a的值及曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，2]上的最大值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（I）求出f'（x），利用f'（1）=3得到a的值，然后把a代入f（x）中求出f（1）得到切点，而切线的斜率等于f'（1）=3，写出切线方程即可；（II）令f'（x）=0求出x的值，利用x的值分三个区间讨论f'（x）的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性得到函数的最大值．【解答】解：（I）f'（x）=3x2﹣2ax．因为f'（1）=3﹣2a=3，所以a=0．又当a=0时，f（1）=1，f'（1）=3，则切点坐标（1，1），斜率为3所以曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y﹣1=3（x﹣1）化简得3x﹣y﹣2=0．（II）令f'（x）=0，解得．=f（2）=8﹣4a．当，即a≤0时，f（x）在[0，2]上单调递增，从而fmax=f（0）=0．当时，即a≥3时，f（x）在[0，2]上单调递减，从而fmax当，即0＜a＜3，f（x）在上单调递减，在上单调递增，从而=．综上所述，fmax。

内蒙古包头市2016-2017学年高二下学期期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1．复数的共轭复数是（）A．3﹣4i B．C．3+4i D．2．若a，b是实数，且a＞b，则下列结论成立的是（）A．（）a＜（）b B．＜1 C．lg（a﹣b）＞0 D．a2＞b23．函数f（x）=x3﹣3x2+1的单调递减区间是（）A．（2，+∞）B．（﹣∞，2）C．（﹣∞，0）D．（0，2）4．观察式子：1+，1+，…，则可归纳出式子为（）A．（n≥2）B．1+（n≥2）C．1+（n≥2）D．1+（n≥2）5．与参数方程为（t为参数）等价的普通方程为（）A．x2+=1 B．x2+=1（0≤x≤1）C．x2+=1（0≤y≤2）D．x2+=1（0≤x≤1，0≤y≤2）6．关于x的不等式|x﹣1|+|x+2|≥m在R上恒成立，则实数m的取值范围为（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，1]C．（3，+∞）D．（﹣∞，3]7．表中提供了某厂节能降耗技术改造后生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据．根据下表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，那么表中t的值为（）A．3 B．3.15 C．3.5 D．4.58．曲线f（x）=x3+x﹣2在p0处的切线平行于直线y=4x﹣1，则p0的坐标为（）A．（1，0） B．（2，8） C．（1，0）或（﹣1，﹣4） D．（2，8）或（﹣1，﹣4）9．已知定义在R上的函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．[﹣1，0）∪（0，1]C．（﹣1，1）D．（﹣1，0）∪（0，1）10．对于在R上可导的任意函数f（x），若其导函数为f′（x），且满足（x﹣1）f′（x）≥0，则必有（）A．f（0）+f（2）≤2f（1） B．f（0）+f（2）＜2f（1） C．f（0）+f（2）≥2f（1） D．f（0）+f（2）＞2f（1）11．设曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的方程为x﹣3y+2=0，则曲线C上到直线l距离为的点的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．412．f（x），g（x）（g（x）≠0）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0，f′（x）g（x）﹣f（x）g′（x）＜0且的解集为（）A．（﹣2，0）∪（2，+∞） B．（﹣2，0）∪（0，2）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．求曲线y=在点（3，2）处的切线的斜率．14．已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，则曲线C上的点到直线（t为参数）的距离的最小值为．15．已知x与y 之间的一组数据：则y与x的线性回归方程．16．已知函数y=x3﹣ax2+x﹣5若函数在[2，+∞）上是增函数，则a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，17题10分，18～22题每小题10分，共70分）17．已知a＞0，b＞0，判断a3+b3与a2b+ab2的大小，并证明你的结论．18．已知直线l经过点P（1，1），倾斜角α=，（1）写出直线l的参数方程；（2）设l与圆x2+y2=4相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积．19．甲乙两班进行数学考试，按照大于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到下列联表．已知在100人中随机抽取1人为优秀的概率为．（1）请完成上面的列联表；（2）根据列联表的数据，若按95%的可能性要求，能否认为“成绩与班级有关系”？参考公式：k2=．20．已知函数f（x）=﹣x+xlnx（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若y=f（x）﹣m﹣1在定义域内有两个不同的零点，求实数m的取值范围．21．在直角坐标系xOy中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．22．已知f （x ）=lnx ，g （x ）=ax 2+bx （a ≠0），h （x ）=f （x ）﹣g （x ），f （x ）=lnx ，g （x ）=ax 2+bx （a ≠0），h （x ）=f （x ）﹣g （x ）， （1）若a=3，b=2，求h （x ）的极值点；（2）若b=2且h （x ）存在单调递减区间，求a 的取值范围．内蒙古包头市2016-2017学年高二下学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1．复数的共轭复数是（）A．3﹣4i B．C．3+4i D．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的除法运算把给出的复数化简为a+bi（a，b∈R）的形式，则其共轭复数可求．【解答】解：=．所以，数的共轭复数是．故选：B．2．若a，b是实数，且a＞b，则下列结论成立的是（）A．（）a＜（）b B．＜1 C．lg（a﹣b）＞0 D．a2＞b2【考点】71：不等关系与不等式．【分析】利用函数的单调性、不等式的基本性质即可判断出结论．【解答】解：∵a＞b，∴，与1的大小关系不确定，lg（a﹣b）与0的大小关系不确定，a2与b2的大小关系不确定．因此只有A正确．故选：A．3．函数f（x）=x3﹣3x2+1的单调递减区间是（）A．（2，+∞）B．（﹣∞，2）C．（﹣∞，0）D．（0，2）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数的导数，令f′（x）＜0，解出即可．【解答】解：f′（x）=3x2﹣6x，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2，故函数的递减区间是（0，2），故选：D．4．观察式子：1+，1+，…，则可归纳出式子为（）A．（n≥2）B．1+（n≥2）C．1+（n≥2）D．1+（n≥2）【考点】F1：归纳推理．【分析】根据题意，由每个不等式的不等号左边的最后一项的分母和右边的分母以及不等号左边的最后一项的分母的底和指数的乘积减1等于右边分母分析可得答案．【解答】解：根据题意，由每个不等式的不等号左边的最后一项的分母和右边的分母以及不等号左边的最后一项的分母的底和指数的乘积减1等于右边分母可知，C正确；故选C．5．与参数方程为（t为参数）等价的普通方程为（）A．x2+=1 B．x2+=1（0≤x≤1）C．x2+=1（0≤y≤2）D．x2+=1（0≤x≤1，0≤y≤2）【考点】QH：参数方程化成普通方程．【分析】先由参数方程求出参数t得取值范围，进而求出x、y的取值范围，再通过变形平方即可消去参数t．【解答】解：由参数方程为，∴，解得0≤t≤1，从而得0≤x≤1，0≤y≤2；将参数方程中参数消去得x2+=1．因此与参数方程为等价的普通方程为．故选D．6．关于x的不等式|x﹣1|+|x+2|≥m在R上恒成立，则实数m的取值范围为（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，1]C．（3，+∞）D．（﹣∞，3]【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】由题意可得|x﹣1|+|x+2|的最小值大于或等于m，而由绝对值三角不等式求得|x﹣1|+|x+2|的最小值为3，从而求得m的范围．【解答】解：∵关于x的不等式|x﹣1|+|x+2|≥m在R上恒成立，故|x﹣1|+|x+2|的最小值大于或等于m．而由|x﹣1|+|x+2|≥|（x﹣1）﹣（x+2）|=3，可得|x﹣1|+|x+2|的最小值为3，故有m≤3，故选：D7．表中提供了某厂节能降耗技术改造后生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据．根据下表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，那么表中t的值为（）A．3 B．3.15 C．3.5 D．4.5【考点】BQ：回归分析的初步应用．【分析】先求出这组数据的样本中心点，样本中心点是用含有t的代数式表示的，把样本中心点代入变形的线性回归方程，得到关于t的一次方程，解方程，得到结果．【解答】解：∵由回归方程知=，解得t=3，故选A．8．曲线f（x）=x3+x﹣2在p0处的切线平行于直线y=4x﹣1，则p0的坐标为（）A．（1，0） B．（2，8） C．（1，0）或（﹣1，﹣4） D．（2，8）或（﹣1，﹣4）【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】利用直线平行的性质，结合导数的几何意义求出切线的斜率，即可求出切点的坐标．【解答】解：因为直线y=4x﹣1的斜率为4，且切线平行于直线y=4x﹣1，所以函数在p0处的切线斜率k=4，即f'（x）=4．因为函数的导数为f'（x）=3x2+1，由f'（x）=3x2+1=4，解得x=1或﹣1．当x=1时，f（1）=0，当x=﹣1时，f（﹣1）=﹣4．所以p0的坐标为（1，0）或（﹣1，﹣4）．故选C．9．已知定义在R上的函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．[﹣1，0）∪（0，1]C．（﹣1，1）D．（﹣1，0）∪（0，1）【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，根据函数极值的意义得到关于a的不等式组，解出即可．【解答】解：f′（x）=ax2+2x+a，由题意得，解得：a∈（﹣1，0）∪（0，1），故选：D．10．对于在R上可导的任意函数f（x），若其导函数为f′（x），且满足（x﹣1）f′（x）≥0，则必有（）A．f（0）+f（2）≤2f（1） B．f（0）+f（2）＜2f（1） C．f（0）+f（2）≥2f（1） D．f（0）+f（2）＞2f（1）【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】函数f（x）满足（x﹣1）f′（x）≥0，对x与1的大小关系分类讨论即可得出函数f （x）的单调性．【解答】解：∵函数f（x）满足（x﹣1）f′（x）≥0，∴x＞1时，f′（x）≥0，此时函数f（x）单调递增；x＜1时，f′（x）≤0，此时函数f（x）单调递减，因此x=1函数f（x）取得极小值．∴f（0）≥f（1），f（2）≥f（1），∴f（0）+f（2）≥2 f（1），故选：C．11．设曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的方程为x﹣3y+2=0，则曲线C上到直线l距离为的点的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】QH：参数方程化成普通方程．【分析】将参数方程化为普通方程，求出圆心和半径，再求圆心到直线的距离，判断直线与圆的位置关系，观察即可得到点的个数．【解答】解：曲线C的参数方程为（θ为参数），化为普通方程为圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2=9，圆心为（2，1），半径为3．则圆心到直线的距离d==．则直线与圆相交，则由3﹣＞，故在直线x﹣3y+2=0的上方和下方各有两个，共4个．故选D．12．f（x），g（x）（g（x）≠0）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0，f′（x）g（x）﹣f（x）g′（x）＜0且的解集为（）A．（﹣2，0）∪（2，+∞） B．（﹣2，0）∪（0，2）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）【考点】6A：函数的单调性与导数的关系；3N：奇偶性与单调性的综合．【分析】构造函数h（x）=，由已知可得x＜0时，h′（x）＜0，从而可得函数h（x）在（﹣∞，0）单调递减，又由已知可得函数h（x）为奇函数，故可得h（0）=g（﹣2）=g（2）=0，且在（0，+∞）单调递减，可求得答案．【解答】解：∵f（x）和g（x）（g（x）≠0）分别是定义在R上的奇函数和偶函数∴f（﹣x）=﹣f（x）g（﹣x）=g（x）∵当x＜0时，f′（x）g（x）﹣f（x）g′（x）＜0当x＜0时，，令h（x）=，则h（x）在（﹣∞，0）上单调递减∵h（﹣x）=f（﹣x）g（﹣x）=﹣f（x）g（x）=﹣h（x）∴h（x）为奇函数，根据奇函数的性质可得函数h（x）在（0，+∞）单调递减，且h（0）=0∵f（﹣2）=﹣f（2）=0，∴h（﹣2）=﹣h（2）=0h（x）＜0的解集为（﹣2，0）∪（2，+∞）故选A．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．求曲线y=在点（3，2）处的切线的斜率．【考点】62：导数的几何意义．【分析】求出函数的导数，求出切点的导函数值即可【解答】解：y==1+，∴y′=﹣，∴k=y′|x=3=﹣=﹣，故答案为：﹣14．已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，则曲线C上的点到直线（t为参数）的距离的最小值为﹣1．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，即ρ2=2ρcosθ，可得直角坐标方程：x2+y2=2x．配方可得圆心C，r．由曲线C上的点到直线（t为参数），消去参数t可得普通方程：2x﹣y+2=0，利用点到直线的距离可得圆心C到直线的距离d．即可得出曲线C上的点到直线（t为参数）的距离的最小值为d﹣r．【解答】解：曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，即ρ2=2ρcosθ，可得直角坐标方程：x2+y2=2x．配方为（x﹣1）2+y2=1．可得圆心C（1，0），r=1．由曲线C上的点到直线（t为参数），消去参数t可得普通方程：2x﹣y+2=0，∴圆心C到直线的距离d==．∴曲线C上的点到直线（t为参数）的距离的最小值为﹣1．故答案为：﹣1．15．已知x与y 之间的一组数据：则y与x的线性回归方程y=2x+1．【考点】BK：线性回归方程．【分析】根据表格中的数据确定出，，x i y i，4•，x i2，42的值，进而求出a与b 的值，即可确定出y与x的线性回归方程．【解答】解：∵=1.5，=4，x i y i=34，4•=24，x i2=14，42=9，∴b==2，a=4﹣2×1.5=1，则y与x的线性回归方程为y=2x+1，故答案为：y=2x+1．16．已知函数y=x3﹣ax2+x﹣5若函数在[2，+∞）上是增函数，则a的取值范围是a≤．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】求导数得到f′（x）=x2﹣2ax+1，根据条件可得到f′（x）≥0在x∈[2，+∞）上恒成立，得到关于a的不等式组，这样即可解出a的范围，即得出实数a的取值范围．【解答】解：∵y=f（x）=x3﹣ax2+x﹣5，∴f′（x）=x2﹣2ax+1；∵f（x）在[2，+∞）上是增函数；∴f′（x）≥0在x∈[2，+∞）上恒成立；∴△=4a2﹣4≤0，或；解得﹣1≤a≤1，或a≤；∴a≤；故答案为：a≤．三、解答题（本大题共6小题，17题10分，18～22题每小题10分，共70分）17．已知a＞0，b＞0，判断a3+b3与a2b+ab2的大小，并证明你的结论．【考点】R6：不等式的证明．【分析】法一，分析法：证明使a3+b3＞a2b+ab2成立的充分条件成立，即要证a3+b3≥a2b+ab2成立，只需证（a+b）（a2﹣ab+b2）≥ab（a+b）成立，只需证a2﹣ab+b2≥ab成立，（a﹣b）2≥0显然成立，从而得到证明；法二，综合法：a2﹣2ab+b2≥0，通过变形，应用不等式的性质可证出结论．法三，比较法：将两个式子作差变形，通过提取公因式化为完全平方与一个常数的积的形式，判断符号，得出大小关系．【解答】证明：法一：（分析法）要证a3+b3≥a2b+ab2成立，只需证（a+b）（a2﹣ab+b2）≥ab（a+b）成立又因为a＞0，只需证a2﹣ab+b2≥ab成立，（a﹣b）2≥0显然成立，由此命题得证．法二：（综合法）a2﹣2ab+b2≥0∴a2﹣ab+b2≥ab（*）而a，b均为正数，∴a+b＞0，∴（a+b）（a2﹣ab+b2）≥ab（a+b）∴a3+b3≥a2b+ab2．法三：比较法（作差）（a3+b3）﹣（a2b+ab2）=（a3﹣a2b）+（b3﹣ab2）…又∵a＞0，b＞0，∴a+b＞0，而（a﹣b）2≥0．∴（a+b）（a﹣b）2≥0．…故（a3+b3）﹣（a2b+ab2）≥0即a3+b3≥a2b+ab2…18．已知直线l经过点P（1，1），倾斜角α=，（1）写出直线l的参数方程；（2）设l与圆x2+y2=4相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积．【考点】QJ：直线的参数方程；J9：直线与圆的位置关系；QK：圆的参数方程．【分析】（1）利用公式和已知条件直线l经过点P（1，1），倾斜角，写出其极坐标再化为一般参数方程；（2）由题意将直线代入x2+y2=4，从而求解．【解答】解：（1）直线的参数方程为，即．（2）把直线代入x2+y2=4，得，t1t2=﹣2，则点P到A，B两点的距离之积为2．19．甲乙两班进行数学考试，按照大于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到下列联表．已知在100人中随机抽取1人为优秀的概率为．（1）请完成上面的列联表；（2）根据列联表的数据，若按95%的可能性要求，能否认为“成绩与班级有关系”？参考公式：k2=．【考点】BO：独立性检验的应用．【分析】（1）由100人中随机抽取1人为优秀的概率为，我们可以计算出优秀人数为30，我们易得到表中各项数据的值．（2）我们可以根据列联表中的数据，代入公式K2，计算出K2值，然后代入离散系数表，比较即可得到答案．【解答】解：（1）（2），按95%的可能性要求，能认为“成绩与班级有关系”20．已知函数f（x）=﹣x+xlnx（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若y=f（x）﹣m﹣1在定义域内有两个不同的零点，求实数m的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；54：根的存在性及根的个数判断．【分析】（1）求出导函数，利用导函数的符号，求解函数的单调区间．（2）y=f（x）﹣m﹣1在（0，+∞）内有两个不同的零点，可转化为f（x）=m+1在（0，+∞）内有两个不同的根，可转化为y=f（x）与y=m+1图象上有两个不同的交点，画出函数的图图象，判断求解即可．【解答】解：（1）f'（x）=lnx，令f'（x）＞0，解得x＞1；令f'（x）＜0，解得0＜x＜1；∴f（x）的增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）（2）y=f（x）﹣m﹣1在（0，+∞）内有两个不同的零点，可转化为f（x）=m+1在（0，+∞）内有两个不同的根，也可转化为y=f（x）与y=m+1图象上有两个不同的交点，由（Ⅰ）知，f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，f（x）min=f（1）=﹣1，由题意得，m+1＞﹣1即m＞﹣2①，由图象可知，m+1＜0，即m＜﹣1②，由①②可得﹣2＜m＜﹣1．21．在直角坐标系xOy中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）由条件根据x=ρcosθ，y=ρsinθ求得C1，C2的极坐标方程．（Ⅱ）把直线C3的极坐标方程代入ρ2﹣3ρ+4=0，求得ρ1和ρ2的值，结合圆的半径可得C2M⊥C2N，从而求得△C2MN的面积•C2M•C2N的值．【解答】解：（Ⅰ）由于x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴C1：x=﹣2 的极坐标方程为ρcosθ=﹣2，故C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1的极坐标方程为：（ρcosθ﹣1）2+（ρsinθ﹣2）2=1，化简可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0．（Ⅱ）把直线C3的极坐标方程θ=（ρ∈R）代入圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0，求得ρ1=2，ρ2=，∴|MN|=|ρ1﹣ρ2|=，由于圆C2的半径为1，∴C2M⊥C2N，△C2MN的面积为•C2M•C2N=•1•1=．22．已知f（x）=lnx，g（x）=ax2+bx（a≠0），h（x）=f（x）﹣g（x），f（x）=lnx，g（x）=ax2+bx （a≠0），h（x）=f（x）﹣g（x），（1）若a=3，b=2，求h（x）的极值点；（2）若b=2且h（x）存在单调递减区间，求a的取值范围．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）利用导数求单调性，在确定极值（2），，函数h（x））存在单调递减区间，只需h′（x）＜0有解，即当x ＞0时，则ax2+2x﹣1＞0在（0，+∞）上有解，分以下：（1）当a＞0，（2）当a＜0情况讨论即可【解答】解：（1）∵a=3，b=2，∴，∴，令h′（x）=0，则3x2+2x﹣1=0，x1=﹣1，x，则当0时，h′（x）＞0，则h（x）在（0，）上为增函数，当x时，h′（x）＜0，则h（x）在（上为减函数，则h（x）的极大值点为；（2）∵b=2，∴，∴，∵函数h（x））存在单调递减区间，∴h′（x）＜0有解．即当x＞0时，则ax2+2x﹣1＞0在（0，+∞）上有解．（1）当a＞0时，y=ax2+2x﹣1为开口向上的抛物线，y=ax2+2x﹣1＞0在（0，+∞）总有解．故a＞0符合题意；（2）当a＜0时，y=ax2+2x﹣1为开口向下的抛物线，要y=ax2+2x﹣1＞0在（0，+∞）总有解，则△=4+4a＞0，且方程ax2+2x﹣1=0至少有一个正根，此时，﹣1＜a＜0'综上所述，a的取值范围为（﹣1，0）∪（0，+∞）．。

内蒙古乌兰察布2016-2017学年高二数学下学期期中试题 文（分值：150 时间：120分钟）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上。

2.将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后将答题卡交回第Ⅰ卷（选择题共60分）一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题卡上用2B 铅笔将正确选项的代号涂黑.1.已知集合{}|15P x N x =∈≤≤，集合{}2|60Q x R x x =∈--<，则Q P ⋂等于( ) A. {}1,2,3 B.{}1,2 C.[]1,2 D.[)1,32．命题“2,210x R x x ∀∈+-≤”的否定为( )A ．2,210x R x x ∀∈+-≥B ．2000,210x R x x ∃∈+->C ．2210x R x x ∀∈+-≠，D ．2000210x R x x ∃∈+-≤，3．已知x 与y 之间的一组数据：则y 与x 的线性回归方程a x b yˆˆ+=过点( ) A ．()2,2 B ．()1.5,0 C ．()1,2 D ．()1.5,44．“12x -<”是“3x <”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．若函数⎩⎨⎧>-≤+=0,420,22)(x x x x f x，则))1((f f 的值为（ ） A ．10- B ．10 C ．2- D ． 2 7．已知向量)1,2(-=a ，)7,1(=b ，则下列结论正确的是（ ）A ．b a ⊥B ．b a //C ．)(b a a +⊥D ．)(b a a -⊥8．正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是（ ）． A ．π34B ．π38C ．π332D ．π349.设焦点在x 轴上的双曲线虚轴长为2，焦距为 ( )A ．y =B ．2y x =±C ．y x =D ．12y x =± 10．已知321(2)33y x bx b x =++++是R 上的单调增函数，则b 的取值范围是( ) A ．1b <-或2b > B ．1b ≤-或2b ≥ C ．12b -<< D ．12b -≤≤11．曲线xy e =在点2(2,)e 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A ．22eB ．22eC ．2eD ．294e12.已知函数()()()2ln f x x x x x a a R =+-∈，若存在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21x ，使得 ()()f x xf x '>成立，则实数a 的取值范围是( )A. 9,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B. 3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C. )+∞ D.()3,+∞第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在题中横线上) 13．设i 是虚数单位，则复数11ii-+= .14．圆sin )ρθθ=+的圆心的极坐标是 . [)()πθρ2,0,0∈>15. 已知点()3cos ,sin P θθ在直线31x y +=上，则sin 2θ= . 16．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作倾斜角为045的直线交抛物线于A 、B 两 点，若线段AB 的长为8，则p =三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（本小题满分10分）已知{}n a 是等差数列，满足31=a ,124=a ,数列{}n b 满足41=b ,204=b ， 且{}n n a b -为等比数列．(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (2)求数列{b n }的前n 项和．18.（本小题满分12分）已知()32f x ax bx cx =++在区间[0,1]上是增函数，在区间(,0),(1,)-∞+∞上是减函数，又13()22f =. （1）求()f x 的解析式；（2）若在区间[0,](0)m m >上恒有()f x x ≤成立，求m 的取值范围.19． (本小题满分12分)某校数学老师这学期分别用A 、B 两种不同的教学方式试验高一甲、乙两个班(人数均为60人，入学时数学平均分数和优秀率都相同，勤奋程度和自觉性都一样)．现随机收取甲、乙两班各20名学生的数学期末考试成绩，得到茎叶图：(Ⅰ)依茎叶图判断哪个班的平均分高？(Ⅱ)现从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学，求成绩为86分的同学至少有一个被抽中的概率；(Ⅲ)学校规定：成绩不低于85分的为优秀，性填写下面的2×2列联表，并判断“能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为成绩优秀与教学方式有关？”(参考公式：K2＝n（ad－bc）（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d），其中n＝a＋b＋c＋d）20.（本小题满分12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率3e =，过点(0,)A b -和(,0)B a 的直线与原（1）求椭圆的方程；（2）已知定点(1,0)E -，若直线2(0)y kx k =+≠与椭圆交于C 、D 两点，问：是否存在k 的值，使以CD 为直径的圆过E 点？请说明理由.21.（本题满分12分） 设函数()()()1ln ,30.a f x x g x ax a x-=+=-> （1）求函数()()()x f x g x ϕ=+的单调递增区间；（2）当1a =时，记()()()h x f x g x =⋅，是否存在整数λ，使得关于x 的不等式()2h x λ≥有解？若存在，请求出λ的最小值；若不存在，请说明理由.22．(本小题满分12分)已知曲线C 的参数方程为2cos 12sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），直线l 的参 数方程为1cos 45sin 45x t y t =+︒⎧⎨=︒⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立 极坐标系．（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程； （Ⅱ）求直线l 截曲线C 所得的弦长．17．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得d ＝a 4－a 13＝12－33＝3.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3n (n ∈N *)． 设等比数列{b n －a n }的公比为q ，由题意得q 3＝b 4－a 4b 1－a 1＝20－124－3＝8，解得q ＝2.所以b n －a n ＝(b 1－a 1)q n －1＝2n －1.从而b n ＝3n ＋2n －1(n ∈N *)．(2)由(1)知b n ＝3n ＋2n －1(n ∈N *)．数列{3n }的前n 项和为32n (n ＋1)，数列{2n －1}的前n 项和为1×1－2n1－2＝2n－1.所以数列{b n }的前n 项和为32n (n ＋1)＋2n－1.18.解：（1）2()32f x ax bx c '=++，由已知(0)(1)0f f ''==，即0320c a b c =⎧⎨++=⎩，，解得032c b a=⎧⎪⎨=-⎪⎩，，∴2()33f x ax ax '=-， ∴13332422a a f ⎛⎫'=-=⎪⎝⎭，∴2a =-，∴32()23f x x x =-+． （2）令()f x x ≤，即32230x x x -+-≤，∴(21)(1)0x x x --≥， ∴102x ≤≤或1x ≥．又()f x x ≤在区间[]0m ，上恒成立，∴102m <≤． 20 解析：（1）直线AB 方程为：bx-ay-ab ＝0．依题意⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=233622ba ab ac ， 解得 ⎩⎨⎧==13b a ，∴ 椭圆方程是1322=+y x ． （2）假若存在这样的k 值，由⎩⎨⎧=-++=033222y x kx y ，得)31(2k +09122=++kx x ．∴ 0)31(36)12(22>+-=∆k k ①设1(x C ，)1y 、2(x D ，)2y ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=+⋅2212213193112k x x k k x x ， ②而4)(2)2)(2(212122121+++=++=⋅x x k x x k kx kx y y ．要使以CD 为直径的圆过点E （-1，0），当且仅当CE ⊥DE 时，则1112211-=++⋅x y x y ，即0)1)(1(2121=+++x x y y ∴05))(1(2)1(21212=+++++x x k x x k ③将②式代入③整理解得67=k ．经验证，67=k ，使①成立． 综上可知，存在67=k ，使得以CD 为直径的圆过点E ． 22．(本小题满分12分)解：（Ⅰ）曲线C 的参数方程化为直角坐标方程为22(1)4x y +-= （*） 令cos ,sin x y ρθρθ==代入（*）式化简得曲线C 的极坐标方程为：22sin 30ρρθ--=．………………………6分 （Ⅱ）将 1cos 45sin 45x t y t =+︒⎧⎨=︒⎩代入（*）式化简得22t =，12t t ∴==，所以所求弦长为21t t -=． ………………………………………………12分19．(本小题满分12分)解：(Ⅰ)甲班数学成绩集中于60～90分之间，而乙班数学成绩集中于80～100分之间，所以乙班的平均分更高． ………………………………………3分(Ⅱ)记成绩为86分的同学为A ，B ，其他不低于80分的同学为C ，D ，E ，F ，“从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学”的一切可能结果组成的基本事件有：(A ，B)，(A ，C)，(A ，D)，(A ，E)，(A ，F)，(B ，C)，(B ，D)，(B ，E)，(B ，F)，(C ，D)，(C ，E)，(C ，F)，(D ，E)，(D ，F)，(E ，F)共15个．“抽到至少有一个86分的同学”所组成的基本事件有：(A ，B)，(A ，C)，(A ，D)，(A ，E)，(A ，E)，(A ，F)，(B ，C)，(B ，D)，(B ，E)，(B ，F)共9个．故P ＝915＝35. ………………………………………8分(Ⅲ)由茎叶图可得2×2列联表如下：所以K 2＝4013×27×20×20≈5.584＞5.024，因此在犯错的概率不超过0.025的前提下可以认为成绩优秀与教学方式有关．……………………12分12、给出命题：①x R ∈，使31x <；②x Q ∃∈，使22x =；③x N ∀∈，有32x x >；④x R ∀∈，有210x +>，其中的真命题是：A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④ 10.设()ln f x x x =，若()02f x '=，则0x =A ．2eB ．ln 2C ．ln 22D ．e 16．若不等式210x ax ++≥对一切10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，则a 的最小值为 .20.（本题满分12分）已知平面内一动点M 到两定点()()120,1,0,1B B -和连线的斜率之积为12- （1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）设直线:l y x m =+与轨迹E 交于A,B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴点P ，当m 变化时，求PAB ∆面积的最大值.5．设,l m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥B ．若l α⊥，//l m ，则m α⊥C ．若//l α，m α⊂，则//l mD ．若//l α，//m α，则//m l7．一位母亲记录了儿子3～9岁的身高，由此建立的身高与年龄的回归方程为7.1973.93y x =+$，用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是( ) A ．身高在145.83 cm 左右 B ．身高在145.83 cm 以上 C ．身高在145.83 cm 以下 D ．身高一定是145.83 cm9．若P =0)Q a =≥，则P ，Q 的大小关系为( ▲ )A ．P Q >B ．P Q <C ．P Q =D ．P 与Q 大小不确定 10．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四个面( ▲ )A ．各正三角形内一点B ．各正三角形的某高线上的点C ．各正三角形的中心D ．各正三角形外的某点 11．下列推理正确的是( ▲ )A ．如果不买彩票，那么就不能中奖，因为你买了彩票，所以你一定中奖B ．因为,a b a c >>，所以a b a c ->-C ．若,a b 均为正实数，则lg lg a b +≥D ．若0ab <，则()()2a b ab b a ba ⎡⎤+=--+-≤-≤-⎢⎥⎣⎦ 12．已知数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤a n<12，2a n－1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤a n<1.若a 1＝67，则a 2 011的值为 ( ▲ )A.67B.57C.37D.17。

内蒙古乌兰察布市2016-2017学年高一下学期期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1．与角﹣终边相同的角是（）A． B．C．D．2．高二某班共有学生56人，座号分别为1，2，3，…，56现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本．已知4号、18号、46号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是（）A．30 B．31 C．32 D．333．已知sinα=﹣，且α是第三象限的角，则tanα的值为（）A．B．﹣C．D．﹣4．如图，给出的是的值的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（）A．i＜99 B．i≤99 C．i＞99 D．i≥995．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．“至少有一个红球”与“都是黑球”B．“至少有一个黑球”与“都是黑球”C．“至少有一个黑球”与“至少有1个红球”D．“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”6．已知，则cos （π﹣2α）=（ ）A ．B ．C ．D ．7．己知函数f （x ）=，则f=f=cos =0．故选：C ．8．下列关系式中正确的是（ ）A ．sin11°＜cos10°＜sin168°B ．sin168°＜sin11°＜cos10°C ．sin11°＜sin168°＜cos10°D ．sin168°＜cos10°＜sin11° 【考点】H5：正弦函数的单调性．【分析】先根据诱导公式得到sin168°=sin12°和cos10°=sin80°，再结合正弦函数的单调性可得到sin11°＜sin12°＜sin80°从而可确定答案． 【解答】解：∵sin168°=sin=sin12°， cos10°=sin（90°﹣10°）=sin80°． 又∵y=sinx 在x ∈上是增函数，∴sin11°＜sin12°＜sin80°，即sin11°＜sin168°＜cos10°． 故选：C ．9．函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（其中）的图象如图所示，为了得到g （x ）=sin2x 的图象，则只需将f （x ）的图象（ ）A ．向右平移个长度单位B ．向右平移个长度单位C ．向左平移个长度单位 D ．向左平移个长度单位【考点】HK ：由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由已知中函数f （x ）=Asin （ωx+φ）的图象，我们易分析出函数的周期、最值，进而求出函数f （x ）=Asin （ωx+φ）的解析式，设出平移量a 后，根据平移法则，我们可以构造一个关于平移量a 的方程，解方程即可得到结论．【解答】解：由已知中函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（其中）的图象，过（，0）点，（）点，易得：A=1，T=4（）=π，即ω=2即f （x ）=sin （2x+φ），将（）点代入得：+φ=+2k π，k ∈Z 又由∴φ=∴f （x ）=sin （2x+），设将函数f （x ）的图象向左平移a 个单位得到函数g （x ）=sin2x 的图象，则2（x+a ）+=2x解得a=﹣故将函数f （x ）的图象向右平移个长度单位得到函数g （x ）=sin2x 的图象，故选A10．函数的图象的一条对称轴方程为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】H6：正弦函数的对称性．【分析】利用两角和差的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解：函数=2（sin2x ﹣cos2x ）=2sin （2x ﹣），令2x ﹣=k π+，求得x=+，k ∈Z ，可得函数的图象的对称轴方程为x=+，k ∈Z ，结合所给的选项， 故选：B ．11．若，则的值为（）A．B．C．D．【考点】GQ：两角和与差的正弦函数．【分析】由互为余角的两个角的诱导公式，算出=cos（）=．再根据互为补角的两角的诱导公式加以计算，可得=﹣cos（）=﹣．【解答】解：∵，∴，即cos（）=又∵（）+（）=π，∴==﹣cos（）=﹣．故选：B12．在区间上任取一个数x，则函数的值不小于0的概率为（）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【分析】本题是几何概型的考查，利用区间长度的比即可求概率．【解答】解：∵函数，当时，，当，即时，f（x）≥0，则所求概率为P=．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上）13．若角α的终边过点（sin30°，﹣cos30°），则sinα= ．【考点】G9：任意角的三角函数的定义．【分析】利用三角函数的定义，结合角α的终边过点（sin30°，﹣cos30°），可求sinα．【解答】解：∵角α的终边过点（sin30°，﹣cos30°），∴sinα=﹣cos30°=﹣．故答案为：﹣．14．已知=﹣1，则tanα= ．【考点】GI：三角函数的化简求值；GG：同角三角函数间的基本关系．【分析】利用同角三角函数基本关系式，化简表达式为正切函数的形式，然后求解即可．【解答】解： =﹣1，可得：，解得tanα=．故答案为：；15．已知tanα、tanβ是方程x2+6x+7=0的两根，则tan（α+β）= 1 ．【考点】GR：两角和与差的正切函数；&R：根与系数的关系．【分析】由一元二次方程根与系数的关系，可得tanα+tanβ=﹣6且tanα•tanβ=7．由此利用两角和的正切公式加以计算，可得tan（α+β）的值．【解答】解：∵tanα、tanβ是方程x2+6x+7=0的两根，∴由一元二次方程根与系数的关系，得tanα+tanβ=﹣6，tanα•tanβ=7．由此可得tan（α+β）===1．故答案为：116．函数f（x）=3sin（2x﹣）的图象为C，如下结论中正确的是①②③①图象C关于直线x=π对称；②图象C关于点（，0）对称；③函数即f（x）在区间（﹣，）内是增函数；④由y=3sin2x的图角向右平移个单位长度可以得到图象C．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；H5：正弦函数的单调性；H6：正弦函数的对称性．【分析】把代入求值，只要是的奇数倍，则①正确，把横坐标代入求值，只要是π的倍数，则②对；同理由x的范围求出的范围，根据正弦函数的单调区间判断③是否对，因为向右平移故把x=x﹣代入进行化简，再比较判断④是否正确．【解答】解：①、把代入得，，故①正确；②、把x=代入得，，故②正确；③、当时，求得，故③正确；④、有条件得，，故④不正确．故答案为：①②③．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．已知cosα=﹣，α为第三象限角．（1）求sinα，tanα的值；（2）求sin（α+），tan2α的值．【考点】GU：二倍角的正切；GH：同角三角函数基本关系的运用．【分析】（1）由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinα的值，从而求得tanα的值．（2）由（1）利用两角和的正弦公式求得sin（α+）的值，再利用二倍角的正切公式求得tan2α的值．【解答】解：（1）∵，α为第三象限角，∴，∴．（2）由（1）得，．18．某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数的统计数据的茎叶图如图所示．已知两组技工在单位时间内加工的合格零件平均数都为9．（1）分别求出m，n的值；（2）分别求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件的方差s和s，并由此分析两组技工的加工水平；（3）质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检测，若两人加工的合格零件个数之和大于17，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；BA：茎叶图．【分析】（1）由两组技工在单位时间内加工的合格零件平均数都为9．利用茎叶图能求出m，n．（2）先分别求出，，由两组技工在单位时间内加工的合格零件平均数都为9，，得到乙组技工加工水平高．（3）质监部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检测，设两人加工的合格零件数分别为（a，b），利用列举法能求出该车间“质量合格”的概率．【解答】解：（1）∵两组技工在单位时间内加工的合格零件平均数都为9．∴由茎叶图得：，解得m=6，n=8．（2）= =．= =2．∵两组技工在单位时间内加工的合格零件平均数都为9，，∴两组技工平均数相等，但乙组技工较稳定，故乙组技工加工水平高．（3）质监部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检测，设两人加工的合格零件数分别为（a，b），则所有的（a，b）有：（6，7），（6，8），（6，9），（6，10），（6，11），（7，7），（7，8），（7，9），（7，10），（7，11），（9，7），（9，8），（9，9），（9，10），（9，11），（11，7），（11，8），（11，9），（11，10），（11，11），（12，7），（12，8），（12，9），（12，10），（12，11），共计25个，而a+b≤17的基本事件有：（6，7），（6，8），（6，9），（6，10），（6，11），（7，7），（7，8），（7，9），（7，10），（9，7），（9，8），共计11个，∴满足a+b＞17的基本事件共有14个，∴该车间“质量合格”的基本事件有14个，∴该车间“质量合格”的概率p=．19．已知f（α）=+cos（2π﹣α）．（1）化简f（α）；（2）若f（α）=，求+的值．【考点】GH：同角三角函数基本关系的运用．【分析】（1）利用诱导公式即可化简求值得解．（2）将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式可求sinαcosα的值，即可化简所求计算得解．【解答】解：（1）f（α）=+cosα=sinα+cosα．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）∵f（α）=sinα+cosα=，∴1+2sinαcosα=，∴sinαcosα=﹣，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴+==﹣．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣20．“奶茶妹妹”对某时间段的奶茶销售量及其价格进行调查，统计出售价x元和销售量y杯之间的一组数据如下表所示：通过分析，发现销售量y对奶茶的价格x具有线性相关关系．（Ⅰ）求销售量y对奶茶的价格x的回归直线方程；（Ⅱ）欲使销售量为13杯，则价格应定为多少？注：在回归直线y=中，， =﹣． =146.5．【考点】BK：线性回归方程．【分析】（1）根据回归系数公式计算回归系数；（2）把y=13代入回归方程计算x．【解答】解：（Ⅰ） ==6， ==8．=5×12+5.5×10+6.5×6+7×4=182，=52+5.52+6.52+72=146.5，==﹣4， =8+4×6=32．∴销售量y对奶茶的价格x的回归直线方程为=﹣4x+32．（Ⅱ）令﹣4x+32=13，解得x=4.75．答：商品的价格定为4.75元．21．已知方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0，（1）若方程C表示圆，求实数m的范围；（2）在方程表示圆时，该圆与直线l：x+2y﹣4=0相交于M、N两点，且|MN|=，求m的值．【考点】J2：圆的一般方程．【分析】（1）由圆的一般方程的定义知4+16﹣4m＞0，由此能法语出实数m的取值范围．（2）求出圆心到直线x+2y﹣4=0的距离，由此利用已知条件能求出m的值．【解答】解：（1）∵方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0表示圆，∴D2+E2﹣4F＞0，即4+16﹣4m＞0解得m＜5，∴实数m的取值范围是（﹣∞，5）．（2）∵方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0，∴（x﹣1）2+（y﹣2）2=5﹣m，圆心（1，2）到直线x+2y﹣4=0的距离d==，∵圆与直线l：x+2y﹣4=0相交于M、N两点，且|MN|=，∴，解得m=4．22．已知函数f（x）=4cosωxsin（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期是π．（1）求函数f（x）在区间x∈（0，π）的单调递增区间；（2）求f（x）在上的最大值和最小值．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象．【分析】（1）利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，根据周期公式求出ω，将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；即可得x∈（0，π）的单调递增区间；（2）x∈上时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的最大值和最小值即可．【解答】解：（1）函数f（x）=4cosωxsin（ωx﹣）化简可得：f（x）=4cosωxsinωxcos﹣4cos2ωxsin=sin2ωx﹣2cos2ωx=sin2ωx﹣cos2ωx﹣1=2sin（2ωx）﹣1∵函数f（x）的最小正周期是π，即，∴ω=1，那么f（x）=2sin（2x）﹣1．由2x，k∈Z，得：≤x≤，∵x∈（0，π）∴函数f（x）在区间x∈（0，π）的单调递增区间为（0，）和（）．（2）x∈上时，2x∈[，]当2x=时，f（x）的最大值为2sin；当2x=时，f（x）的最小值为2sin=﹣2；∴f（x）在上的最大值为1，最小值为﹣2．。

内蒙古乌兰察布市集宁区2016-2017学年高二数学下学期期末考试试题
试题(东校区)文（扫描版）
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2015-2016学年内蒙古乌兰察布市集宁一中高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）函数f（x）＝的定义域为（）A．（0，2）B．（0，2]C．（2，+∞）D．[2，+∞）2．（5分）设i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n 4．（5分）用独立性检验来考察两个分类变量x与y是否有关系，当统计量K2的观测值（）A．越大，“x与y有关系”成立的可能性越小B．越大，“x与y有关系”成立的可能性越大C．越小，“x与y没有关系”成立的可能性越小D．与“x与y有关系”成立的可能性无关5．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的k值为（）A．3B．4C．5D．66．（5分）根据如下样本数据：得到了回归方程＝x+，则（）A．＞0，＜0B．＞0，＞0C．＜0，＜0D．＜0，＞0 7．（5分）观察图示图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为（）A．B．C．D．8．（5分）若直线的参数方程为（t为参数），则直线的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°9．（5分）设集合A＝{x||x﹣a|＜1，x∈R}，B＝{x||x﹣b|＞2，x∈R}．若A⊆B，则实数a，b必满足（）A．|a+b|≤3B．|a+b|≥3C．|a﹣b|≤3D．|a﹣b|≥3 10．（5分）函数y＝3x+（x＞0）的最小值是（）A．6B．6C．9D．1211．（5分）极坐标方程ρcos2θ＝0表示的曲线为（）A．极点B．极轴C．一条直线D．两条相交直线12．（5分）在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且有99%以上的把握认为这个结论是成立的，则下列说法中正确的是（）A．100个吸烟者中至少有99人患有肺癌B．1个人吸烟，那么这人有99%的概率患有肺癌C．在100个吸烟者中一定有患肺癌的人D．在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．）13．（5分）圆的参数方程为（θ为参数），则此圆的半径为．14．（5分）已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}＝{a2，b2}，则a+b ＝．15．（5分）设x，y，z∈R，且满足x2+y2+z2＝5，则x+2y+3z之最大值为．16．（5分）给出下面类比推理命题（Q为有理数集，R为实数集，C为复数集）：①“若a，b∈R，则a﹣b＝0⇒a＝b”类比推出“若a，b∈C，则a﹣b＝0⇒a＝b”；②“若a，b，c，d∈R，则复数a+bi＝c+di⇒a＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则⇒a＝c，b＝d”；③“若a，b∈R，则a﹣b＞0⇒a＞b”类比推出“若a，b∈C，则a﹣b＞0⇒a＞b”；④“若x∈R，则|x|＜1⇒﹣1＜x＜1”类比推出“若z∈C，则|z|＜1⇒﹣1＜z＜1”．其中类比结论正确的命题是．三.解答题（本大题共6个小题.共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知直线l经过点P（1，1），倾斜角α＝，（1）写出直线l的参数方程．（2）设l与圆x2+y2＝4相交于点A、B，求点P到A、B两点的距离之积．18．（12分）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：（1）求回归直线方程＝bx+a，其中b取整数；公式b＝（2）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（1）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润＝销售收入﹣成本）．19．（12分）从某学校的1600名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155，160），第二组[160，165），…，第八组[190，195]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，第六组的人数为4人．（1）求第七组的频率；（2）估计该校1600名男生中身高在180cm以上（含180cm）的人数；（3）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，设他们的身高分别为x，y，记事件E＝{（x，y）||x﹣y|≤5}，求事件E的概率．20．（12分）某企业为考察生产同一种产品的甲、乙两条生产线的产品合格率，同时各抽取100件产品，检验后得到如下列联表：生产线与产品合格数列联表请问甲、乙两线生产的产品合格率在犯错误不超过0.10的前提下是否有关？21．（12分）已知函数f（x）＝|x+a|+|x﹣2|①当a＝﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；②f（x）≤|x﹣4|若的解集包含[1，2]，求a的取值范围．22．（12分）已知a，b是不相等的正实数，求证：（a2b+a+b2）（ab2+a2+b）＞9a2b2．2015-2016学年内蒙古乌兰察布市集宁一中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）函数f（x）＝的定义域为（）A．（0，2）B．（0，2]C．（2，+∞）D．[2，+∞）【解答】解：由题意可得，，解得，即x＞2．∴所求定义域为（2，+∞）．故选：C．2．（5分）设i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：＝i（1+i）＝﹣1+i，对应复平面上的点为（﹣1，1），在第二象限，故选：B．3．（5分）设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n 【解答】解：命题的否定是：∀n∈N，n2≤2n，故选：C．4．（5分）用独立性检验来考察两个分类变量x与y是否有关系，当统计量K2的观测值（）A．越大，“x与y有关系”成立的可能性越小B．越大，“x与y有关系”成立的可能性越大C．越小，“x与y没有关系”成立的可能性越小D．与“x与y有关系”成立的可能性无关【解答】解：根据相关指数K2的观测值越大，“两个分类变量x与y是否有关系”，成立的可能性越大，判定B正确．故选：B．5．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的k值为（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：模拟执行程序框图，可得k＝0，a＝3，q＝a＝，k＝1不满足条件a＜，a＝，k＝2不满足条件a＜，a＝，k＝3不满足条件a＜，a＝，k＝4满足条件a＜，退出循环，输出k的值为4．故选：B．6．（5分）根据如下样本数据：得到了回归方程＝x+，则（）A．＞0，＜0B．＞0，＞0C．＜0，＜0D．＜0，＞0【解答】解：样本平均数＝5.5，＝0.25，∴＝﹣24.5，＝17.5，∴b＝﹣＝﹣1.4，∴a＝0.25﹣（﹣1.4）•5.5＝7.95，故选：A．7．（5分）观察图示图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为（）A．B．C．D．【解答】解：观察已知的8个图象，每一行每一列变化都得有两个阴影的、三个不同形状的，根据这些规律观察四个答案，发现A符合要求．故选：A．8．（5分）若直线的参数方程为（t为参数），则直线的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°【解答】解：设直线的倾斜角为α，α∈[0°，180°）．由直线的参数方程为（t为参数），消去参数t可得．∴直线的斜率，则直线的倾斜角α＝150°．故选：D．9．（5分）设集合A＝{x||x﹣a|＜1，x∈R}，B＝{x||x﹣b|＞2，x∈R}．若A⊆B，则实数a，b必满足（）A．|a+b|≤3B．|a+b|≥3C．|a﹣b|≤3D．|a﹣b|≥3【解答】解：∵A＝{x|a﹣1＜x＜a+1}，B＝{x|x＜b﹣2或x＞b+2}，因为A⊆B，所以b﹣2≥a+1或b+2≤a﹣1，即a﹣b≤﹣3或a﹣b≥3，即|a﹣b|≥3．故选：D．10．（5分）函数y＝3x+（x＞0）的最小值是（）A．6B．6C．9D．12【解答】解：∵x＞0，∴y＝3x+＝x+x+≥3＝9，当且仅当x＝即x＝2时，原式取最小值9，故选：C．11．（5分）极坐标方程ρcos2θ＝0表示的曲线为（）A．极点B．极轴C．一条直线D．两条相交直线【解答】解：∵p cos2θ＝0⇒cos2θ＝0，⇒θ＝kπ±，k∈Z，它表示的曲线为两条相交直线．故选：D．12．（5分）在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且有99%以上的把握认为这个结论是成立的，则下列说法中正确的是（）A．100个吸烟者中至少有99人患有肺癌B．1个人吸烟，那么这人有99%的概率患有肺癌C．在100个吸烟者中一定有患肺癌的人D．在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有【解答】解：∵“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为这个结论是成立的，表示有99%的把握认为这个结论成立，与多少个人患肺癌没有关系，只有D选项正确，故选：D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．）13．（5分）圆的参数方程为（θ为参数），则此圆的半径为5．【解答】解：由，①2+②2得，x2+y2＝9sin2θ+16cos2θ+24sinθcosθ+16sin2θ+9cos2θ﹣24sinθcosθ＝16（sin2θ+cos2θ）+9（sin2θ+cos2θ）＝25．∴圆的半径为5．故答案为：5．14．（5分）已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}＝{a2，b2}，则a+b ＝﹣1．【解答】解：根据集合相等的条件可知，若{a，b}＝{a2，b2}，则①或②，由①得，∵ab≠0，∴a≠0且b≠0，即a＝1，b＝1，此时集合{1，1}不满足条件．若b＝a2，a＝b2，则两式相减得a2﹣b2＝b﹣a，∵互异的复数a，b，∴b﹣a≠0，即a+b＝﹣1，故答案为：﹣1．15．（5分）设x，y，z∈R，且满足x2+y2+z2＝5，则x+2y+3z之最大值为．【解答】解：∵x2+y2+z2＝5，12+22+32＝14，利用柯西不等式可得14（x2+y2+z2）≥（x+2y+3z）2，即14×5）≥（x+2y+3z）2，∴x+2y+3z≤，当且仅当＝＝时，取等号，故x+2y+3z之最大值为，故答案为：．16．（5分）给出下面类比推理命题（Q为有理数集，R为实数集，C为复数集）：①“若a，b∈R，则a﹣b＝0⇒a＝b”类比推出“若a，b∈C，则a﹣b＝0⇒a＝b”；②“若a，b，c，d∈R，则复数a+bi＝c+di⇒a＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则⇒a＝c，b＝d”；③“若a，b∈R，则a﹣b＞0⇒a＞b”类比推出“若a，b∈C，则a﹣b＞0⇒a＞b”；④“若x∈R，则|x|＜1⇒﹣1＜x＜1”类比推出“若z∈C，则|z|＜1⇒﹣1＜z＜1”．其中类比结论正确的命题是①②．【解答】解：①在复数集C中，若两个复数满足a﹣b＝0，则它们的实部和虚部均相等，则a，b相等．故①正确；②在有理数集Q中，若，则（a﹣c）+（b﹣d）＝0，易得：a＝c，b＝d．故②正确；③若a，b∈C，当a＝1+i，b＝i时，a﹣b＝1＞0，但a，b是两个虚数，不能比较大小．故③错误④“若x∈R，则|x|＜1⇒﹣1＜x＜1”类比推出“若x∈C，|z|＜1表示复数模小于1，不能⇒﹣1＜z＜1，故④错．故4个结论中，①②是正确的．故答案为：①②．三.解答题（本大题共6个小题.共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知直线l经过点P（1，1），倾斜角α＝，（1）写出直线l的参数方程．（2）设l与圆x2+y2＝4相交于点A、B，求点P到A、B两点的距离之积．（1）因为过点（x0，y0），且倾斜角为α的直线的参数方程，【解答】解：由题意，将x0＝1，y0＝1，α＝代入上式得直线l的参数方程为（t为参数）．（2）因为A，B都在直线l上，故可设它们对应的参数分别为t1，t2，则点A，B的坐标分别为A，B，将直线l的参数方程代入圆的方程x2+y2＝4中，整理得，则t1，t2是此方程的两根，由韦达定理得t1t2＝﹣2，所以|P A|•|PB|＝|t1t2|＝2．即点P到A、B两点的距离之积为2．18．（12分）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：（1）求回归直线方程＝bx+a，其中b取整数；公式b＝（2）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（1）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润＝销售收入﹣成本）．【解答】解：（1）＝＝8.5，＝＝80，∵b＝＝＝﹣20，∴a＝80+20×8.5＝250，∴回归直线方程＝﹣20x+250；（2）设工厂获得的利润为L元，则L＝x（﹣20x+250）﹣4（﹣20x+250）＝﹣20（x﹣）2+361.25∴该产品的单价应定为元，工厂获得的利润最大．19．（12分）从某学校的1600名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155，160），第二组[160，165），…，第八组[190，195]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，第六组的人数为4人．（1）求第七组的频率；（2）估计该校1600名男生中身高在180cm以上（含180cm）的人数；（3）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，设他们的身高分别为x，y，记事件E＝{（x，y）||x﹣y|≤5}，求事件E的概率．【解答】解：（1）第六组的频率为＝0.08．所以第七组的频率为：1﹣0.08﹣5×（0.008×2+0.016+0.04×2+0.06）＝0.06．（2）由直方图得后三组频率为0.06+0.08+0.008×5＝0.18，所以估计该校1600名男生中身高在180 cm以上（含180 cm）的人数为0.18×1600＝288人．（3）第六组[180，185）的人数为4人，设为a，b，c，d，第八组[190，195]的人数为2人，设为A，B，则有ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，bA，cA，dA，aB，bB，cB，dB，AB，共15种情况．因为事件E＝{（x，y）||x﹣y|≤5}发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，所以事件E 包含的基本事件为ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，cd ，AB 共7种情况， 故P （E ）＝．20．（12分）某企业为考察生产同一种产品的甲、乙两条生产线的产品合格率，同时各抽取100件产品，检验后得到如下列联表： 生产线与产品合格数列联表请问甲、乙两线生产的产品合格率在犯错误不超过0.10的前提下是否有关？ 【解答】解：K 2的观测值，因此没有充分的证据显示甲、乙两线生产的产品合格率有关系． 21．（12分）已知函数f （x ）＝|x +a |+|x ﹣2| ①当a ＝﹣3时，求不等式f （x ）≥3的解集；②f （x ）≤|x ﹣4|若的解集包含[1，2]，求a 的取值范围．【解答】解：（1）当a ＝﹣3时，f （x ）≥3 即|x ﹣3|+|x ﹣2|≥3，即，可得x ≤1； ，可得x ∈∅； ，可得x ≥4．取并集可得不等式的解集为 {x |x ≤1或x ≥4}．（2）原命题即f （x ）≤|x ﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x +a |+2﹣x ≤4﹣x 在[1，2]上恒成立，等价于|x +a |≤2，等价于﹣2≤x +a ≤2，﹣2﹣x ≤a ≤2﹣x 在[1，2]上恒成立．故当1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1＝﹣3，2﹣x的最小值为0，故a的取值范围为[﹣3，0]．22．（12分）已知a，b是不相等的正实数，求证：（a2b+a+b2）（ab2+a2+b）＞9a2b2．【解答】证明：∵a，b是正实数，∴（当且仅当a2b＝a＝b2即a＝b＝1时，等号成立）同理：（当且仅当ab2＝a2＝b即a＝b＝1时，等号成立）∴（a2b+a+b2）（ab2+a2+b）≥9a2b2．（当且仅当ab2＝a2＝b即a＝b＝1时，等号成立）∵a≠b，∴（a2b+a+b2）（ab2+a2+b）＞9a2b2．。

2016-2017学年内蒙古乌兰察布市集宁一中高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设集合M={x|x2=x}，N={x|lgx≤0}，则M∪N=（）A． B．（0，10，1）D．（﹣∞，1 B．﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣3﹣1，1﹣1，1 B．﹣3，0）D．10．如图所示，函数y=f（x）的图象在点P处的切线方程是y=﹣x+8，则f（5）+f′（5）=（）A．2 B．12 C．8 D．411．已知f（x）=ln（x2+1），g（x）=（）x﹣m，若∀x1∈，∃x2∈，使得f（x1）≥g（x2），则实数m的取值范围是（）A．hslx3y3h，+∞）B．（﹣∞，，+∞）D．（﹣∞，﹣0，1 C．【考点】1D：并集及其运算．【分析】求解一元二次方程化简M，求解对数不等式化简N，然后利用并集运算得答案．【解答】解：由M={x|x2=x}={0，1}，N={x|lgx≤0}=（0，1=．故选：A．2．原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|=|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（）A．真，假，真B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假【考点】25：四种命题间的逆否关系．【分析】根据共轭复数的定义判断命题的真假，根据逆命题的定义写出逆命题并判断真假，再利用四种命题的真假关系判断否命题与逆否命题的真假．【解答】解：根据共轭复数的定义，原命题“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|=|z2|”是真命题；其逆命题是：“若|z1|=|z2|，则z1，z2互为共轭复数”，例|1|=|﹣1|，而1与﹣1不是互为共轭复数，∴原命题的逆命题是假命题；根据原命题与其逆否命题同真同假，否命题与逆命题互为逆否命题，同真同假，∴命题的否命题是假命题，逆否命题是真命题．故选：B．3．函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x m是幂函数，且在x∈（0，+∞）上为增函数，则实数m的值是（）A．﹣1 B．2 C．3 D．﹣1或2【考点】4U：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】因为只有y=xα型的函数才是幂函数，所以只有m2﹣m﹣1=1函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x m才是幂函数，又函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x m在x∈（0，+∞）上为增函数，所以幂指数应大于0．【解答】解：要使函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x m是幂函数，且在x∈（0，+∞）上为增函数，则，解得：m=2．故选：B．4．二次函数y=﹣x2+4x+t的顶点在x轴上，则t的值是（）A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2【分析】先对解析式配方得到抛物线的顶点式，求出顶点坐标，再令纵坐标为零求出t的值．【解答】解：∵y=﹣x2+4x+t=y=﹣（x﹣2）2+4+t，∴二次函数y=﹣x2+4x+t的顶点坐标是（2，4+t），∵顶点在x轴上，∴4+t=0，解得t=﹣4，故选A．5．已知命题p：x2+2x﹣3＞0；命题q：x＞a，且￢q的一个充分不必要条件是￢p，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，11，+∞）C．【考点】2J：命题的否定；2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由p转化到¬p，求出¬q，然后解出a．【解答】解：由p：x2+2x﹣3＞0，知x＜﹣3或x＞1，则¬p为﹣3≤x≤1，¬q为x≤a，又¬p是¬q的充分不必要条件，所以a≥1．故选：B．6．已知f（x）=2x+3，g（x+2）=f（x），则g（x）等于（）A．2x+1 B．2x﹣1 C．2x﹣3 D．2x+7【考点】36：函数解析式的求解及常用方法．【分析】先根据f（x）的解析式求出g（x+2）的解析式，再用x代替g（x+2）中的x+2，即可得到g（x）的解析式．【解答】解：∵f（x）=2x+3，g（x+2）=f（x），∴g（x+2）=2x+3=2（x+2）﹣1，∴g（x）=2x+3=2x﹣1故选B7．已知a=4，b=log，c=log3，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．b＞a＞c【分析】利用指数函数、对数函数的单调性求解．【解答】解：因为a=4＞40=1，0=＜b=log＜=1，c=log3＜log31=0，所以a＞b＞c．故选：A．8．设f（x）=x3+bx+c是上的增函数，且f（﹣）f（）＜0，则方程f（x）=0在内（）A．可能有3个实数根B．可能有2个实数根C．有唯一的实数根 D．没有实数根【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】根据函数f（x）=x3+bx+c是上的增函数，判断b的取值范围，进而得到函数f（x）在R时是单调递增函数，结合f（﹣）f（）＜0得结论．【解答】解：由f（x）=x3+bx+c，得f′（x）=3x2+b，∵f（x）=x3+bx+c是上的增函数，∴f′（x）=3x2+b≥0对任意x∈恒成立，即b≥﹣3x2，∴b≥0．∴f′（x）=3x2+b≥0．则f（x）在上为增函数，又f（﹣）f（）＜0，∴f（x）在（）上有唯一零点，则方程f（x）=0在内有唯一的实数根．故选：C．9．已知函数f（x）=在（﹣∞，+∞）上是增函数，则a 的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2﹣2，0）C．﹣3，﹣2﹣3，﹣20，31，2，+∞）B．（﹣∞，，+∞）D．（﹣∞，﹣0，30，ln101，2﹣m，﹣m﹣（x2+2x）﹣（x2+2x）lna，+∞）．（2）由f′（x）=e x﹣a≤0在（﹣2，3）上恒成立．∴a≥e x在x∈（﹣2，3）上恒成立．又∵﹣2＜x＜3，∴e﹣2＜e x＜e3，只需a≥e3．当a=e3时f′（x）=e x﹣e3在x∈（﹣2，3）上，f′（x）＜0，即f（x）在（﹣2，3）上为减函数，∴a≥e3．故存在实数a≥e3，使f（x）在（﹣2，3）上单调递减．20．函数f（x）的定义域为（0，+∞），且对一切x＞0，y＞0，都有f（）=f （x）﹣f（y），当x＞1时，有f（x）＞0．（1）求f（1）的值；（2）判断f（x）的单调性并证明；（3）若f（6）=1，解不等式f（x+3）﹣f（）＜2．【考点】3P：抽象函数及其应用；3F：函数单调性的性质．【分析】（1）令x=y=1，即可求得f（1）的值；（2）利用单调性的定义，任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，作差f（x2）﹣f （x1）后，判断符号即可；（3）依题意，由f（6）=1⇒f（36）=2，于是f（x+3）﹣f （）＜2⇔f（x2+3x）＜f（36）⇔，解之即可．【解答】解：（1）令x=y=1，则f（1）=f（1）﹣f（1）=0，所以f（1）=0．（2）任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则f（x2）﹣f（x1）=f（），∵x2＞x1＞0，∴＞1，故f（）＞0，∴f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），所以f（x）在（0，+∞）上是增函数．（3）因为f（6）=1，所以f（36）﹣f（6）=f（6），所以f（36）=2f（6）=2．由f（x+3）﹣f （）＜2，得f（x2+3x）＜f（36），所以即解得：0＜x＜．所以原不等式的解集为（0，）．21．设函数f（x）=lnx+a（1﹣x）．（Ⅰ）讨论：f（x）的单调性；（Ⅱ）当f（x）有最大值，且最大值大于2a﹣2时，求a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）先求导，再分类讨论，根据导数即可判断函数的单调性；（2）先求出函数的最大值，再构造函数（a）=lna+a﹣1，根据函数的单调性即可求出a的范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=lnx+a（1﹣x）的定义域为（0，+∞），∴f′（x）=﹣a=，若a≤0，则f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，若a＞0，则当x∈（0，）时，f′（x）＞0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，（Ⅱ），由（Ⅰ）知，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上无最大值；当a＞0时，f（x）在x=取得最大值，最大值为f（）=﹣lna+a﹣1，∵f（）＞2a﹣2，∴lna+a﹣1＜0，令g（a）=lna+a﹣1，∵g（a）在（0，+∞）单调递增，g（1）=0，∴当0＜a＜1时，g（a）＜0，当a＞1时，g（a）＞0，∴a的取值范围为（0，1）．22．已知函数f（x）=|x﹣|+|x+|，M为不等式f（x）＜2的解集．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）证明：当a，b∈M时，|a+b|＜|1+ab|．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】（I）分当x＜时，当≤x≤时，当x＞时三种情况，分别求解不等式，综合可得答案；（Ⅱ）当a，b∈M时，（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，即a2b2+1＞a2+b2，配方后，可证得结论．【解答】解：（I）当x＜时，不等式f（x）＜2可化为：﹣x﹣x﹣＜2，解得：x＞﹣1，∴﹣1＜x＜，当≤x≤时，不等式f（x）＜2可化为：﹣x+x+=1＜2，此时不等式恒成立，∴≤x≤，当x＞时，不等式f（x）＜2可化为：﹣+x+x+＜2，解得：x＜1，∴＜x＜1，综上可得：M=（﹣1，1）；证明：（Ⅱ）当a，b∈M时，（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，即a2b2+1＞a2+b2，即a2b2+1+2ab＞a2+b2+2ab，即（ab+1）2＞（a+b）2，即|a+b|＜|1+ab|．2017年6月19日。