...-1课件3.2.1几个常用函数的导数-_图文.ppt

画出函数y=1/x的图像。根据图像， 描述它的变化情况。并求出曲线在 点（1,1）处的切线方程。
这又说明什么?
这又说明什么?
x+y-2=0
3.2.2基本初等函数 的导数公式及导数 的运算法则
高二数学 选修1-1
第三章
导数及其应用
可以直接使用的基本初等函数的导数公式
公式1.若f ( x) c, 则f '( x) 0; 公式2.若f ( x) x n , 则f '( x) nx n 1 ; 公式3.若f ( x) sin x, 则f '( x) cos x; 公式4.若f ( x) cos x, 则f '( x) sin x; 公式5.若f ( x) a x , 则f '( x) a x ln a ( a 0); 公式6.若f ( x) e x , 则f '( x) e x ; 1 公式7.若f ( x) log a x, 则f '( x) ( a 0, 且a 1); x ln a 1 公式8.若f ( x) ln x, 则f '( x) ; x
(7) y 3 x; 2
例3 :日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水纯 净度的提高，所需净化费用不断增加。已知1吨水净化 到纯净度为x%时所需费用（单位:元）为： 5284 c(x)= (80 x 100). 100 x 求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率; (1)90%; (2)98%.
sin x＋xcos xcos x＋xsin x ＝ cos2x
2
sin xcos x＋x ＝ . cos2x
练习：求下列函数的导数 x＋ 3 1 1 2 x (1)y＝x(x ＋ ＋ 3)； (2)y＝e sin x； (3)y＝ 2 . x x x ＋3 1 1 1 2 3 解：(1)∵y＝x(x ＋ ＋ 3)＝x ＋1＋ 2，∴y′＝3x2－ 23. x x x x

求它们的导数。
(1)从图象上看，它们的导数分别表示什么？ (2)这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一 个增加得最慢？ (3)函数y=kx(k≠0)增（减）的快慢与什么有 关？
公式3:
公式4:
探 画出函数
的图象。根
究 据图象，描述它的变化情
？ 况，并求出曲线在点（1，
1）处的切线方程。
求切线方程的步骤：
4.函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y= f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率.
二、新课——几个常见函数的导数
根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式.
公式1:
求函数y f (x) C的导数
公式2:
探 在同一平面直角坐标系中， 究 画出y=2x,y=3x,y=4x的 ？ 图象，并根据导数定义，
（1）求出函数在点x0处的变化率 f ( x0 ) ，得到曲线 在点(x0,f(x0))的切线的斜率。
（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即
y f (x0 ) f (x0 )( x x0 ).
四、小结与作业
1.会求常用函数
y
C, yΒιβλιοθήκη x, yx2, y
1, x
的导数.其中: 公式1:
.
2.能结合其几何意义解决一些与切点、切线斜率 有关的较为综合性问题.
3.2.1 几个常用函数的导数与基本初等函数 的导数公式
忆一忆？
1、函数在一点处导数的定义； 2、导数的几何意义； 3、导函数的定义； 4、求函数的导数的步骤。
2.求函数的导数的方法是: （三步法）
步骤:
说明:上面的方法中把x换x0即为求函数在点x0处的导数.
3.函数f(x)在点x0处的导数 f ( x0 ) 就是导函数 f (x)在x= x0处的函数值,即f ( x0 ) f ( x) |xx0 .这也是求函数在点x0 处的导数的方法之一。

3.2几种常见函数的导数
公式1
公式2 公式3 公式4
C ' 0(C为常数)
x ' nx
n
n 1
(n Q).
sin x ' cos x.
cos x ' sin x.
练习巩固 1.若y sin , 则y' ( C ). 6 3 3 1 A. B. C.0 D. 2 2 2 1 1 2.曲线y 2 在点P 2, 处的切线方程为 ( B ). x 4 A.x 4 y 1 0 B.x 4 y 3 0 C.4 x y 1 0 D.4 x y 3 0
3.质点沿直线运动的路程 和时间的关系是 s 5 t ,则 质点在t 4时的速度为 ( B ). 2 2 10 23 4.求抛物线y x 2上的点到直线x y 2 0的最短距离 . 5.抛物线y x 2上点A的切线与直线 3 x y 1 0的夹角 为45 导数
练 习2 1.求 下 列 函 数 的 导 数 :
1 y x
2 y 1 sin x 1 2 x 2.已 知 函 数 f x x 2 x 1, 若f ' x0 f x0 , 求x0的 值.
2
2 cos x;

A.
1
5 3
B.
1
5
25 3 C. 2 5
1 5 3 D. 2 10
3.3函数的和、差、积、商的导数
1、和（或差）的导数 法则1 两个函数的和（或差）的导数，等于这两 个函数的导数的和（或差），即
u v ' u 'v'.
例2 求下列函数的导数:
1y x

为什么导数很重要？
导数可以帮助我们寻找函 数的最大值、最小值和拐 点，从而更好地理解函数 的行为。
常见函数的导数公式
多项式函数导数
对于多项式函数，我们可以逐项求导，多项式 函数的导数公式为常数倍和加法规则。
指数函数导数
指数函数的导数等于其自身的常数倍。
对数函数导数
对数函数的导数等于其自身的导数与自变量的 导数的商。
cos(x)的导数是-sin(x)。
正弦函数导数
sin(x)的导数是cos(x)。
正切函数导数
tan(x)的导数是sec^2(x)。
余切函数导数
cot(x)的导数是-csc^2(x)。
其他常见函数的导数
1
双曲正弦函数
双曲正弦函数的导数的导数等于双曲正弦函数。
3
反正弦函数
反正弦函数的导数等于1/sqrt(1-x^2)。
三角函数导数
三角函数的导数分别为余弦、正弦、正切和余切。
多项式函数的导数
1 常数函数的导数
常数函数的导数恒为0。
2 一次函数的导数
一次函数的导数是它的斜率，即常数。
3 二次函数的导数
4 更高次函数的导数
二次函数的导数是线性函数，它的零点称 为二次函数的极值点。
更高次函数的导数可以使用逐项求导和迭 代求导的方法。
几种常见函数的导数ppt 课件
欢迎大家来到本次ppt课件，今天我们将研究一些常见的函数导数。无论是初 学者还是高手，我们都可以从这里找到新的知识。让我们开始吧！
函数和导数的概念
函数是什么？
函数是一个有输入和输出 的规则，它可以描述两个 量之间的关系。
什么是导数？
导数表示函数在任意一个 点处的变化率，即它的斜 率。

答 函数y＝2x，y＝3x，y＝4x的图 象如图所示，导数分别为y′＝2， y′＝3，y′＝4.
(1)从图象上看，函数y＝2x，y＝3x，y＝4x的导数分别表示 这三条直线的斜率． (2)在这三个函数中，y＝4x增加得最快，y＝2x增加得最慢．
(3)函数y＝kx(k>0)增加的快慢与k有关系，即与函数的导数 有关系，k越大，函数增加得越快，k越小，函数增加得越 慢． 函数y＝kx(k<0)减少的快慢与|k|有关系，即与函数导数的绝 对值有关系，|k|越大，函数减少得越快，|k|越小，函数减少 得越慢．
原函数
导函数
f(x)＝c f(x)＝xα(α∈Q*)
f′(x)＝___0___ f′(x)＝__α_x_α_－_1
f(x)＝sin x
f′(x)＝__c_o_s_x___
f(x)＝cos x f(x)＝ax f(x)＝ex
f(x)＝logax f(x)＝ln x
f′(x)＝___－__s_in__x__
因此点P是抛物线上平行于直线AB的切线的切点，
由图知点P在x轴上方，y＝
x，y′＝21
， x
由题意知kAB＝12.
∴kl＝2 1x0＝12，即x0＝1，
∴y0＝1.∴P(1,1)．
小结 利用基本初等函数的求导公式，结合导数的几何意义 可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题．解题时 可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何 意义准确计算．
探究点三 导数公式的综合应用 例3 已知直线x－2y－4＝0与抛物线y2＝x相交于A、B两
点，O是坐标原点，试在抛物线的弧 上求一点P，使 △ABP的面积最大． 解 设P(x0，y0)，过点P与AB平行的直 线为l，如图． 由于直线x－2y－4＝0与抛物线y2＝x相交 于A、B两点， 所以|AB|为定值，要使△ABP的面积最大， 只要P到AB的距离最大，而P点是抛物线的弧 上的一 点，

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