2019探究理数(北师大版)练习：第十章 第七节 离散型随机变量及其分布列含解析

第07讲离散型随机变量及其分布列和数字特征(精练）第07讲离散型随机变量及其分布列和数字特征(精练）A 夯实基础B 能力提升C 综合素养A 夯实基础一、单选题（2022·江苏·常州市第一中学高二期中）1．下表是离散型随机变量X 的概率分布，则常数a 的值是（）X 3456P2a 16a +1216A ．16B ．112C ．19D ．12（2022·内蒙古·阿拉善盟第一中学高二期末（理））2．已知随机变量X 的分布列为()24kP X k ==，2,4,5,6,7k =，则()15P X <≤等于（）A ．1124B ．712C ．23D ．1324（2022·江苏淮安·高二期末）3．已知随机变量X 满足()224E X -=，()224D X -=，下列说法正确的是（）A ．()()1,1E X D X =-=-B ．()()1,1E X D X ==C ．()()1,4E X D X =-=D ．()()1,1E X D X =-=（2022·辽宁·东北育才学校高二阶段练习）4．某实验测试的规则如下：每位学生最多可做3次实验，一旦实验成功，则停止实验，否则做完3次为止.设某学生每次实验成功的概率为()01p p <<，实验次数为随机变量X ，若X 的数学期望() 1.39E X >，则p 的取值范围是（）A ．()0,0.6B ．()0,0.7C ．()0.6,1D ．()0.7,1（2022·安徽滁州·高二期末）5．已知随机变量X 的分布列为：X12Pab则随机变量X 的方差()D X 的最大值为（）A ．14B ．12C ．1D ．2（2022·陕西·西北农林科技大学附中高二期末（理））6．某次国际象棋比赛规定，胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分，某参赛队员比赛一局胜的概率为a ，平局的概率为b ，负的概率为c （[,,0,1)a b c ∈），已知他比赛一局得分的数学期望为1，则ab 的最大值为（）A ．13B ．112C ．12D ．16（2022·山东东营·高二期末）7．设01m <<，随机变量的分布列为：ξ0m1P3a 13213a -则当m 在()0,1上增大时（）A ．()D ξ单调递增，最大值为12B ．()D ξ先增后减，最大值为13C ．()D ξ单调递减，最小值为29D ．()D ξ先减后增，最小值为16（2022·全国·高二课时练习）8．设0a >，若随机变量ζ的分布列如下表：ζ－102Pa2a3a则下列方差中最大的是（）A ．()D ζB ．()D ζC ．()21D ζ-D ．()21D ζ-二、多选题（2022·全国·高二课时练习）9．设离散型随机变量X 的概率分布列为X1-0123P110151101525则下列各式正确的是（）A ．()1.50P X ==B ．()11P X >-=C ．()2245P X <<=D ．()3010P X <=（2022·全国·高二课时练习）10．2022年冬奥会在北京举办，为了弘扬奥林匹克精神，某市多所中小学开展了冬奥会项目科普活动．为了调查学生对冰壶这个项目的了解情况，在该市中小学中随机抽取了10所学校，10所学校中了解这个项目的人数如图所示：若从这10所学校中随机选取2所学校进行这个项目的科普活动，记X 为被选中的学校中了解冰壶的人数在30以上的学校所数，则（）A ．X 的可能取值为0，1，2，3B ．()103P X ==C ．()35E X =D ．()3275D X =三、填空题（2022·安徽·歙县教研室高二期末）11．随机变量ξ的分布列如下表，则()5()D X E X +=___________.X012p0.40.2a（2022·广东佛山·二模）12．冬季两项起源于挪威，与冬季狩猎活动有关，是一种滑雪加射击的比赛，北京冬奥会上，冬季两项比赛场地设在张家口赛区的国家冬季两项中心，其中男女混合46⨯公里接力赛项目非常具有观赏性，最终挪威队惊险逆转夺冠，中国队获得第15名.该项目每队由4人组成（2男2女），每人随身携带枪支和16发子弹（其中6发是备用弹），如果备用弹用完后仍有未打中的残存目标，就按残存目标个数加罚滑行圈数（每圈150米），以接力队的最后一名队员到达终点的时间为该队接力的总成绩.根据赛前成绩统计分析某参赛队在一次比赛中，射击结束后，残存目标个数X的分布列如下：X0123456>6P0.150.10.250.20.150.10.050则在一次比赛中，该队射击环节的加罚距离平均为___________米.四、解答题（2022·山东·青岛二中高二阶段练习）13．某校为缓解学生压力，举办了一场趣味运动会，其中有一个项目为篮球定点投篮，比赛分为初赛和复赛．初赛规则为：每人最多投3次，每次投篮的结果相互独立．在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分，否则得0分．将学生得分逐次累加并用X表示，如果X的值不低于3分就判定为通过初赛，立即停止投篮，否则应继续投篮，直到投完三次为止．现甲先在A处投一球，以后都在B处投，已知甲同学在A处投篮的命中率为14，在B处投篮的命中率为45，求他初赛结束后所得总分X的分布列．（2022·福建省福州第二中学高二期末）14．甲､乙两名同学与同一台智能机器人进行象棋比赛，计分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得1分；如果甲输而乙赢，则甲得1 分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分.设甲赢机器人的概率为0.6，乙赢机器人的概率为0.5.求：(1)在一轮比赛中，甲的得分X的分布列；(2)在两轮比赛中，甲的得分Y的分布列及期望.B能力提升（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）15．某大型名胜度假区集旅游景点、酒店餐饮、休闲娱乐于一体，极大带动了当地的经济发展，为了完善度假区的服务工作，进一步提升景区品质，现从某天的游客中随机抽取了500人，按他们的消费金额（元）进行统计，得到如图所示的频率分布直方图.(1)求直方图中a的值；(2)估计该度假区2000名㵀客中，消费金额低于1000元的人数；(3)为了刺激消费，回馈游客，该度假区制定了两种抽奖赠送代金券（单位：元）的方案（如下表），方案A代金券金额50100概率1323方案B代金券金额0100概率1212抽奖规则如下：①消费金额低于1000元的游客按方案A抽奖一次；②消费金额不低于1000元的游客按方案B抽奖两次.记X为所有游客中的任意一人抽奖时获赠的代金券金额，用样本的频率代替概率，求X的分布列和数学期望()E X.（2022·甘肃酒泉·高二期末（理））16．2022年3月，全国大部分省份出现了新冠疫情，对于出现确诊病例的社区，受到了全社会的关注．为了把被感染的人筛查出来，防疫部门决定对全体社区人员筛查核酸检测，为了减少检验的工作量，我们把受检验者分组，假设每组有k个人，把这k个人的血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，这k个人的血液全为阴性，因而这k个人只要检验一次就够了；如果为阳性，为了明确这k个人中究竟是哪几个人为阳性，就要对这k个人再逐个进行检验．假设在接受检验的人群中，随机抽一人核酸检测呈阳性概率为0.003P =，每个人的检验结果是阳性还是阴性是相互独立的．核酸检测通常有两种分组方式可以选择：方案一：10人一组；方案二：8人一组．(1)分别求出采用方案一和方案二中每组的化验次数的分布列和数学期望；(2)若该社区约有2000人，请你为防疫部门选择一种方案，并说明理由．（参考数据：80.9970.976=，100.9970.970=）（参考数据：80.9970.976=，100.9970.970=）C 综合素养（2022·江苏·常熟市尚湖高级中学高二期中）17．第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬奥会，于2022年2月4日星期五开幕，2月20日星期日闭幕，北京冬季奥运会设7个大项，15个分项，109个小项.北京赛区承办所有的冰上项目；延庆赛区承办雪车、雪橇及高山滑雪项目；张家口赛区的崇礼区承办除雪车、雪橇及高山滑雪之外的所有雪上项目.某国运动队拟派出甲、乙、丙三人去参加自由式滑雪.比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛.已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为34；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为45和58，丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别是p 和32p -，其中304p <<.(1)甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性最大；(2)若甲、乙、三人中恰有两人进入决赛的概率为2972，求p 的值，在此基础上，设进入决赛的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望.参考答案：1．C【分析】由随机变量分布列中概率之和为1列出方程即可求出a .【详解】由11112626a a ++++=，解得19a =.故选：C.2．A【分析】根据分布列的概率求解方式即可得出答案.【详解】解：由题意得：()()()()24511152452424P X P X P X P X ++<≤==+=+===．故选:A 3．D【分析】根据方差和期望的性质即可求解.【详解】根据方差和期望的性质可得：()()()222241E X E X E X -=-+=⇒=-,()()()22441D X D X D X -==⇒=,故选：D 4．B【分析】先得到X 的所有可能取值为1,2,3，再求出相应概率，计算得到X 的数学期望，得到不等式后求解即可.【详解】由题意得，X 的所有可能取值为1,2,3，()()()()()()221,3111,1P p X p P P X p p p X p p ====---==-=-，所以()()()221213133E X p p p p p p =⨯+⨯-+⨯-=-+，令()233 1.39E X p p =-+>，解得0.7p <或 2.3p >，又因为01p <<，所以00.7p <<，即p 的取值范围是()0,0.7.故选：B 5．A【分析】由随机变量X 的分布列，求出()D X 的值，并根据二次函数的性质求出最大值．【详解】解：由题意可得1a b +=，()21E X a b b =+=+，则()()()22211]21]D X b a b b b b ⎡⎡=-+⨯+-+⨯=-+⎣⎣，当12b =，()D X 有最大值为14．故选：A ．6．B【分析】根据期望公式可得31a b +=，利用基本不等式求乘积的最大值即可.【详解】解：由题意，比赛一局得分的数学期望为3101a b c ⨯+⨯+⨯=，故31a b +=，又[,,0,1)a b c ∈，故3a b +≥，解得112ab ≤，当且仅当3a b =，即11,62a b ==时等号成立.故选：B.7．D【分析】根据方差公式，结合二次函数性质可得.【详解】由题知1211333a a -++=，解得1a =，所以11()0333m m E ξ+=++=所以()222111111()()(1)333333m m m D m ξ+++=⨯+-⨯+-⨯222213(1)[()]9924m m m =-+=-+由二次函数性质可知，()D ξ在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以当12m =时，()D ξ有最小值16.故选：D 8．C【分析】利用期望和方差的计算公式及其方差的性质分别求解即可.【详解】由题意，得231a a a ++=，则16a =，所以1115()1026326E ζ=-⨯+⨯+⨯=，()11171026326E ζ=⨯+⨯+⨯=，所以22215151553()10266362636D ζ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯--+⨯-+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()2221717172910266362636D ζ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-+⨯-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()5353214()4369D D ζζ-==⨯=，()()292149D D ζζ-==，即()21D ζ-最大，故选：C.9．AC【分析】由分布列中的概率逐一判断即可.【详解】由概率分布列可得()1.50P X ==，故A 正确；()19111010P X >-=-=，故B 错误；()()22435P X P X <<===，故C 正确；()()110P X P X <0==-1=，故D 错误．故选：AC 10．BD【分析】由题知X 的可能取值为0，1，2，且服从超几何分布，进而求分布列，计算期望方差即可判断.【详解】解：根据题意，X 的可能取值为0，1，2，其中了解冰壶的人数在30以上的学校有4所，了解冰壶的人数在30以下的学校有6所，所以，()0246210C C 10C 3P X ===，()1146210C C 2481C 4515P X ====，()2046210C C 622C 4515P X ====所以，X 的概率分布列为：X12P13815215所以，()8412415155E X +===，()222414842320125351551575D X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，BD 选项正确，AC 选项错误.故选：BD ．11．20【分析】由概率和为1求出a ，先求出()E X 和()D X ，进而求出()51D X +.【详解】由0.40.21,0.4a a ++==得，所以()10.220.41E X =⨯+⨯=，()210.240.4 1.8E X =⨯+⨯=，()22()()(())0.8,5125()250.820D XE X E X D X D X =-=+==⨯=故答案为：2012．390【分析】先求出()E X ，再用2.6150⨯，即可求出答案.【详解】()0.10.50.60.60.50.3 2.6E X =+++++=，则2.6150390⨯=故答案为：390.13．分布列见解析.【分析】判断随机变量的可能取值，根据题意求出分布列即可.【详解】设甲同学在A 处投中的事件为A ，投不中的事件为A ，在B 处投中为事件B ，投不中为事件B ，由已知得()14P A =，()45P B =，则()34P A =，()15P B =，X 的可能取值为：0，2，3，4.所以()31130455100P X ==⨯⨯=，()3413146245545525P X ==⨯⨯+⨯⨯=，()134P X ==，()34412445525P X ==⨯⨯=，所以X 的分布列为：X234P310062514122514．(1)分布列见解析(2)分布列见解析，()0.2E Y =【分析】（1）依题意可得X 的可能取值为1-，0，1，利用相互独立事件的概率公式求出所对应的概率，即可得到分布列；（2）依题意可得Y 的可能取值为2-，1-，0，1，2，利用相互独立事件的概率公式求出所对应的概率，即可得到分布列及数学期望；【详解】（1）解：依题意可得X 的可能取值为1-，0，1，所以(1)(10.6)0.50.2P X =-=-⨯=，(0)0.60.5(10.6)(10.5)0.5P X ==⨯+-⨯-=，(1)0.6(10.5)0.3P X ==⨯-=，所以X 的分布列为X1-01P0.20.50.3（2）解：依题意可得Y 的可能取值为2-，1-，0，1，2，所以2(2)(1)(1)0.20.04P Y P X P X =-==-⨯=-==，(1)(1)(0)220.20.50.2P Y P X P X =-==-⨯=⨯=⨯⨯=，2(0)(1)(1)2(0)(0)20.30.20.50.37P Y P X P X P X P X ===-⨯=⨯+=⨯==⨯⨯+=，(1)(0)(1)20.30.520.3P Y P X P X ===⨯=⨯=⨯⨯=，2(2)(1)(1)0.30.09P Y P X P X ===⨯===，所以Y 的分布列为Y2-1-012P0.040.20.370.30.09所以()20.0410.200.3710.320.090.2E Y =-⨯-⨯+⨯+⨯+⨯=．15．(1)0.00075a =(2)1200人(3)分布列答案见解析，()90E X =【分析】（1）利用频率分布直方图中所有矩形的面积之和为1可求得a 的值；（2）利用频率分布直方图计算出消费金额低于1000元的频率，再乘以2000可得结果；（3）分析可知随机变量X 的可能取值为0、50、100、200，计算出X 在不同取值下的概率，可得出随机变量X 的分布列，进一步可求得()E X 的值.【详解】（1）解：由题意可得()2000.0002520.00050.00120.001251a ⨯⨯++⨯++=，解得0.00075a =.（2）解：由频率分布直方图可知，消费金额低于1000元的频率为()2000.000250.00050.0010.001250.3⨯+++=，于是估计该度假区2000名游客中消费金额低于1000元的人数为20000.61200⨯=人.（3）解：由（2）可知，对于该度假区的任意一位游客，消费金额低于1000元的概率为35，不低于1000元的概率为25，获赠的代金券金额X 的可能取值为0、50、100、200，则()221105210P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，()31150535P X ==⨯=，()21232213100C =53525P X ⎛⎫==⨯+⋅ ⎪⎝⎭，()22112005210P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，所以，随机变量X 的分布列如下表所示：X50100200P1101535110所以，()113105010020090105510E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.16．(1)方案一：分布列见解析，数学期望为1.300；方案二：分布列见解析，数学期望为1.192；(2)选择方案一，理由见解析【分析】（1）方案一中每组的化验次数为1、11，则概率为100.997、1010.997-；方案二中每组的化验次数为1、9，则概率为80.997、810.997-.根据定义列分布列，求期望即可.（2）先求对应方案的组数，用“总化验次数=组数⨯期望”评估即可（1）设方案一中每组的化验次数为ξ，则ξ的取值为1，11，∴10(1)0.9970.970P ξ===，10(11)10.9970.030P ξ==-=，∴ξ的分布列为：ξ111P0.9700.030()10.970110.030 1.300E ξ=⨯+⨯=．设方案二中每组的化验次数为η，则η的取值为1，9，8(1)0.9970.976P η===，8(9)10.9970.024P η==-=，∴η的分布列为：η19P0.9760.024∴()10.97690.024 1.192E η=⨯+⨯=．（2）根据方案一，该社区化验分组数为200，方案一的化验总次数的期望值为：200()200 1.3260E X =⨯=次．根据方案二，该社区化验分组数为250，方案二的化验总次数的期望为250()250 1.192298E η=⨯=次．∵260298<，∴方案一工作量更少．故选择方案一．17．(1)甲；(2)23p =，ξ的分布列见解析，()233144E ξ=.【分析】（1）分别求出甲、乙、丙三人初赛的两轮均获胜的概率，然后比较概率的大小即可；（2）利用相互独立事件的概率的求法分别求出甲和乙进入决赛的概率、乙和丙进入决赛的概率、甲和丙进入决赛的概率，即可通过甲、乙、三人中恰有两人进入决赛的概率为2972，列方程求解；先确定进入决赛的人数ξ的取值，依次求出每个ξ值所对应的概率，列出分布列，进而利用数学期望公式求解.（1）甲在初赛的两轮中均获胜的概率为：13394416P =⨯=，乙在初赛的两轮中均获胜的概率为：2451582P =⨯=，丙在初赛的两轮中均获胜的概率为：233322P p p p p ⎛⎫=⨯-=-+ ⎪⎝⎭，3043012p p ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，1324p ∴<<，23139941616P p P ⎛⎫∴=--+<= ⎪⎝⎭，12P P >，∴甲进入决赛的可能性最大；（2）由（1）知，1916P =，212P =，2332P p p =-+，若甲、乙、三人中恰有两人进入决赛，则甲和乙、甲和丙、乙和丙进入决赛，()()()1231231232911172P P P P P P P P P P ∴=⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯=，2229139139132911116221622162272p p p p p p ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴⨯⨯--++⨯-⨯-++-⨯⨯-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，整理得21827100p p -+=，解得23p =或56p =，又1324p << ，∴23p =；则丙在初赛的两轮中均获胜的概率为2323253239P ⎛⎫=-+⨯= ⎪⎝⎭，设进入决赛的人数为ξ，则ξ可能的取值为0，1，2，3，()91570111162972P ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴==-⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()91591591511111111116291629162932P ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()29272P ξ==，()91553162932P ξ==⨯⨯=，∴ξ的分布列如下：ξ123P77211322972532()711295233012372327232144E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=.。

一．解答题（共8小题）1．（1）100件产品中有10件次品，从中有放回地任取5件，求其中次品数ξ的分布列；（2）某批数量较大的商品的次品率为10%，从中任意地连续抽取5件，求其中次品数η的分布列．2．为创建国家级文明城市，某城市号召出租车司机在高考期间至少进行一次“爱心送考”，该城市某出租车公司共200名司机，他们进行“爱心送考”的次数统计如图所示．（1）求该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数；（2）从这200名司机中任选2人，设这2人进行送考次数之差的绝对值为随机变量X，求X的概率分布．3．从6名男生和4名女生中随机选出3名同学参加一项竞技测试．（1）求选出的3名同学中至少有1名女生的概率；（2）设ξ表示选出的3名同学中男生的人数，求ξ的分布列．4．甲袋中有2个黑球，4个白球，乙袋中有3个黑球，3个白球，从两袋中各取一球．（Ⅰ）求“两球颜色相同”的概率；（Ⅱ）设ξ表示所取白球的个数，求ξ的概率分布列．5．设X是一个离散型随机变量，其分布列为：X−101P1﹣2q q2（1）求q的值；（2）求P（X＜0），P（X＜1）．6．某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为，且每次射击的结果互不影响．（1）求射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标的概率（用数字作答）；（2）求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率（用数字作答）；（3）设随机变量ξ表示射手第3次击中目标时已射击的次数，求ξ的分布列．7．袋中有3个红球，4个黑球，从袋中任取4个球．（1）求红球个数X的分布列；（2）若取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，求得分不小于6分的概率．8．从5名男生和3名女生中任选2人去参加学校组织的“低碳杯”知识抢答赛，用ξ表示选出的女生的人数．（1）求随机变量ξ的分布列；（2）求事件“选出的2学生至少有一女生”的概率．参考答案与试题解析一．解答题（共8小题）1．（1）100件产品中有10件次品，从中有放回地任取5件，求其中次品数ξ的分布列；（2）某批数量较大的商品的次品率为10%，从中任意地连续抽取5件，求其中次品数η的分布列．【解答】解：（1）由题意知ξ的可能取值为0，1，2，3，4，5，每次取出次品的概率为：，相当于5次独立重复实验，ξ～B（5，），P（ξ＝0）＝＝0.59059，P（ξ＝1）＝＝0.32805，P（ξ＝2）＝＝0.07329，P（ξ＝3）＝＝0.0081，P（ξ＝4）＝＝0.00045，P（ξ＝5）＝＝0.00001，∴ξ的分布列为：ξ012345P0.590590.328050.07290.00810.000450.00001（2）由题意知η的可能取值为0，1，2，3，4，5，且η～B（5，0.1），∴η的分布列为：η012345P0.590590.328050.07290.00810.000450.000012．为创建国家级文明城市，某城市号召出租车司机在高考期间至少进行一次“爱心送考”，该城市某出租车公司共200名司机，他们进行“爱心送考”的次数统计如图所示．（1）求该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数；（2）从这200名司机中任选2人，设这2人进行送考次数之差的绝对值为随机变量X，求X的概率分布．【解答】解：（1）由统计图得200名司机中送考1次的有20人，送考2次的有100人，送考3次的有80人，∴该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数为；（2）从该公司任选两名司机，记“这两人中﹣人送考1次，另一人送考2次”为事件A，“这两人中一人送考2次，另一人送考3次“为事件B，“这两人中﹣人送考1次，另一人送考3次”为事件C，“这两人送考次数相同”为事件D，由题意知X的所有可能取值为0，1，2，，，，所以X的分布列为：X012P3．从6名男生和4名女生中随机选出3名同学参加一项竞技测试．（1）求选出的3名同学中至少有1名女生的概率；（2）设ξ表示选出的3名同学中男生的人数，求ξ的分布列．【解答】解：（1）由意可知，选出的3名同学全是男生的概率为＝，∴选出的3名同学中至少有1名女生的概率为P＝1﹣＝．（2）根据题意，ξ的可能取值为0，1，2，3，P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝＝，∴ξ的分布列为：ξ0123P4．甲袋中有2个黑球，4个白球，乙袋中有3个黑球，3个白球，从两袋中各取一球．（Ⅰ）求“两球颜色相同”的概率；（Ⅱ）设ξ表示所取白球的个数，求ξ的概率分布列．【解答】解：（I）从甲中取出黑球的概率为，取出白球的概率为，从乙中取出黑球的概率为，取出白球的概率为，故“两球颜色相同”的概率P＝．（II）由题意可得，ξ所有可能取值为0，1，2，P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝，P（ξ＝2）＝，故ξ的分布列为：ξ012P5．设X是一个离散型随机变量，其分布列为：X−101P1﹣2q q2（1）求q的值；（2）求P（X＜0），P（X＜1）．【解答】解：（1）依题意，得，解得或（舍去），所以．（2）由（1）得，，所以，．6．某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为，且每次射击的结果互不影响．（1）求射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标的概率（用数字作答）；（2）求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率（用数字作答）；（3）设随机变量ξ表示射手第3次击中目标时已射击的次数，求ξ的分布列．【解答】解：（1）设事件该射手第i次射击，击中目标为A i，i＝1，2，3，则，所以，事件射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标可表示为，因为事件，，A1A2A3互斥，所以又事件A1，A2，A3相互独立，所以＝＝；（2）事件射手第3次击中目标时，恰好射击了4次等于事件前3次中恰好击中两次目标且第四次击中目标，又各次击中目标的概率为，所以前3次中恰有两次击中目标的概率为，第四次击中目标的概率为，所以事件射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率；（3）由已知ξ的取值有3，4，5，⋅⋅⋅，n，⋅⋅⋅，又，，，⋅⋅⋅，，所以随机变量ξ的分布列为：ξ345…n…P……7．袋中有3个红球，4个黑球，从袋中任取4个球．（1）求红球个数X的分布列；（2）若取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，求得分不小于6分的概率．【解答】解：（1）由题意可得，X可能取值为0，1，2，3，P（X＝0）＝，P（X＝1）＝，P（X＝2）＝，P（X＝3）＝，故X的分布列为：X0123P（2）设得分为Y，则得分Y可以取4，5，6，7，分别对应4个黑球，3黑1红，2黑2红，1黑3红四种情况，P（Y≥6）＝P（Y＝6）+P（Y＝7）＝，故得分不小于6分的概率为．8．从5名男生和3名女生中任选2人去参加学校组织的“低碳杯”知识抢答赛，用ξ表示选出的女生的人数．（1）求随机变量ξ的分布列；（2）求事件“选出的2学生至少有一女生”的概率．【解答】解：（1）由题意得ξ的可能取值为0，1，2，P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，∴随机变量ξ的分布列为：ξ012P（2）事件“选出的2学生至少有一女生”的概率为：P＝P（ξ＝1）+P（ξ＝2）＝＝．。

第七节离散型随机变量及其分布列[考纲传真](教师用书独具).理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用．(对应学生用书第页)[基础知识填充]．随机变量的有关概念()将随机现象中试验(或观测)的每一个可能的结果都对应于一个数，这种对应称为一个随机变量．()离散型随机变量：随机变量的取值能够一一列举出来，这样的随机变量称为离散型随机变量．．离散型随机变量分布列的概念及性质()概念：若离散型随机变量可能取的不同值为，，…，，…，，取每一个值(＝，…，)的概率(＝)＝，以表格的形式表示如下：(＝)＝，＝，…，表示的分布列．()分布列的性质①≥，＝，…，；②＝.．超几何分布一般地，设有件产品，其中有(≤)件次品．从中任取(∈)件产品，用表示取出的件产品中次品的件数，那么(＝)＝(其中为非负整数)．如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称服从参数为，，的超几何分布.[基本能力自测]．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) ()离散型随机变量的分布列中，各个概率之和可以小于.( )()离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．( )()如果随机变量的分布列由下表给出，则它服从两点分布．( )()．( )[答案]()×()√()×()√．袋中有个白球，个黑球，从中任取个，可以作为随机变量的是( ) ．至少取到个白球．至多取到个白球．取到白球的个数．取到的球的个数[选项、是随机事件，选项是确定的值，为，并不随机；选项是随机变量，可能取值为.]．(教材改编)设随机变量的分布列如下表所示，则的值是( )．．．[由分布列的性质，得＋＋＋＝，所以＝.]．设随机变量等可能取值，…，，如果(＜)＝，那么＝.[由于随机变量等可能取，…，，∴取到每个数的概率均为，∴(＜)＝(＝)＋(＝)＋(＝)＝＝，∴＝.]．在含有件次品的件产品中任取件，则取到次品数的分布列为．(＝)＝，＝[由题意知，服从超几何分布，其中＝，＝，＝，所以分布列为(＝)＝，＝.](对应学生用书第页)设离散型随机变量的分布列为。

离散型随机变量及其分布列测试题一、选择题：1、如果X 是一个离散型随机变量，则假命题是( )A. X 取每一个可能值的概率都是非负数；B. X 取所有可能值的概率之和为1；C. X 取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和；D . X 在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和2、甲乙两名篮球运动员轮流投篮直至某人投中为止，设每次投篮甲投中的概率为0.4，乙投中的概率为0.6，而且不受其他投篮结果的影响.设甲投篮的次数为ξ，若甲先投，则==)(k P ξA.4.06.01⨯-k B.76.024.01⨯-k C.6.04.01⨯-k D.24.076.01⨯-k3、设随机变量X 等可能取1、2、3...n 值，如果(4)0.4p X ≤=,则n 值为（ ）A. 4B. 6 C . 10 D. 无法确定4、投掷两枚骰子，所得点数之和记为X ，那么4X =表示的随机实验结果是（ ）A. 一枚是3点，一枚是1点B. 两枚都是2点C. 两枚都是4点 D . 一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点5．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是310的事件为( )A ．恰有1只是坏的B ．4只全是好的C ．恰有2只是好的D ．至多有2只是坏的6. 如果nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-3223 的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为A.3 B .5 C.6 D.107.连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量a =(m,n)与向量b =(1,-1)的夹角为θ，则⎥⎦⎤ ⎝⎛π∈θ20，的概率是A.125 B.21 C .127 D.65 8.设随机变量ξ的分布列为)5,4,3,2,1(15)(===k k k P ξ，则)2521(<<ξP 等于（ ）A.21B.91C. 61D.51 9.一工厂生产的100个产品中有90个一等品，10个二等品，现从这批产品中抽取4个，则其中恰好有一个二等品的概率为: A.41004901C C -B.4100390110490010C C C C C + C.4100110C C D.4100390110C C C .10.位于坐标原点的一个质点P ，其移动规则是：质点每次移动一个单位，移动的方向向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是21．质点P 移动5次后位于点（2，3）的概率是： A.5)21( B .525)21(C C.335)21(C D.53525)21(C C11.甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜．根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0．6，则本次比赛甲获胜的概率是A. 0．216B.0．36C.0．432 D .0．648 5.把一枚质地不均匀．．．．．的硬币连掷5次，若恰有一次正面向上的概率和恰有两次正面向上的概率相同（均不为0也不为1），则恰有三次正面向上的概率是: A ．40243 B ．1027C ．516 D ．1024312.将三颗骰子各掷一次，设事件A=“三个点数都不相同”，B=“至少出现一个6点”，则概率)(B A P 等于: A9160 B 21 C 185 D 2169113.从1，2，……，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是:A ．95B ．94 C ．2111 D ．2110 14.从甲口袋摸出一个红球的概率是31，从乙口袋中摸出一个红球的概率是21，则32是A ．2个球不都是红球的概率 B. 2个球都是红球的概率C ．至少有一个个红球的概率 D. 2个球中恰好有1个红球的概率 15.通讯中常采取重复发送信号的办法来减少在接收中可能发生的错误，假定接收一个信号时发生错误的概率是101，为减少错误，采取每一个信号连发3次，接收时以“少数服从多数”的原则判断，则判错一个信号的概率为: A ．1001 B ．2507 C ．2501 D ．10001 16. .已知随机变量ξ的分布列为：若12)(2=<x P ξ，则实数x 的取值范围是（ ）A.94≤<xB.94<≤xC.94≥<x x 或D.94>≤x x 或17. 12.一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则==)12(ξP （ ）A.2101012)85()83(⋅C B .83)85()83(29911⨯C C.29911)83()85(⋅C D. 29911)85()83(⋅C18. 考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（ ）（A ）175 （B ） 275 （C ）375 （D ）475二、填空题：19.若1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为_____20. 如果在一次试验中，某事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，这件事A 发生偶数次的概率为________．解：由题，因为()p n B ,~ξ且ξ取不同值时事件互斥，所以，[][]n n n n n n n n n p p q p q q p C q p C q p C P P P P )21(121)()(21)4()2()0(44422200-+=-++=+++=+=+=+==-- ξξξ．（因为1=+q p ，所以p p q 21-=-）21.某射手射击1次，击中目标的概率是0.9 .她连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响.有下列结论：①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率是30.90.1⨯；③他至少击中目标1次的概率是410.1-.其中正确结论的序号是 ①③ __（写出所有正确结论的序号）. 22.对有n (n ≥4)个元素的总体{}1,2,,n 进行抽样，先将总体分成两个子总体{}1,2,,m 和{}1,2,,m m n ++ (m 是给定的正整数，且2≤m ≤n -2),再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本.用ij P 表示元素i 和j 同时出现在样本中的概率，则1n P = ;4()m n m -三、解答题：23、一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，已知红球个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球个数的一半．现从该盒中随机取出一个球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得－1分，试写出从该盒中取出一球所得分数X 的分布列．24.一个口袋中装有n 个红球（5n ≥且n N ∈）和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不同则为中奖．（Ⅰ）试用n 表示一次摸奖中奖的概率p ；（Ⅱ）若5n =，求三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率；（Ⅲ）记三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为P ．当n 取多少时，P 最大？24.（Ⅰ）一次摸奖从5n +个球中任选两个，有25n C +种，它们等可能，其中两球不同色有115n C C 种，一次摸奖中奖的概率10(5)(4)np n n =++．（Ⅱ）若5n =，一次摸奖中奖的概率59p =,三次摸奖是独立重复试验，三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率是:123380(1)(1)243P C p p =⋅⋅-=． （Ⅲ）设每次摸奖中奖的概率为p ，则三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为123233(1)(1)363P P C p p p p p ==⋅⋅-=-+，01p <<，2'91233(1)(31)P p p p p =-+=--，知在1(0,)3上P 为增函数，在1(,1)3上P 为减函数，当13p =时P 取得最大值．又101(5)(4)3n p n n ==++,解得20n =．25. 一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是31.(1)设ξ为这名学生在途中遇到红灯的次数，求ξ的分布列； (2)设η为这名学生在首次停车前经过的路口数，求η的分布列； (3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.•（1）X 的分布列为P （X=k ）=·，k=0，1，2，3，4，5，6.（2）Y 的概率分布为：Y 0 1 2 3P·· ·Y 4 5 6P··（3）0.912 解析:（1）将通过每个交通岗看做一次试验，则遇到红灯的概率为，且每次试验结果是相互独立的，故X～B（6，）， 2分所以X的分布列为P（X=k）=·，k=0，1，2，3，4，5，6. 5分（2）由于Y表示这名学生在首次停车时经过的路口数，显然Y是随机变量，其取值为0，1，2，3，4，5.其中：{Y=k}（k=0，1，2，3，4，5）表示前k个路口没有遇上红灯，但在第k+1个路口遇上红灯，故各概率应按独立事件同时发生计算.P（Y=k）=·（k=0，1，2，3，4，5），而{Y=6}表示一路没有遇上红灯，故其概率为P（Y=6）=.8分因此Y的概率分布为：Y 0 1 2 3P···Y 4 5 6P··12分（3）这名学生在途中至少遇到一次红灯的事件为 {X≥1}={X=1或X=2或…或X=6}， 14分 所以其概率为P （X≥1）==1-=≈0.912. 16分20．一个坛子里有编号为1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球. 若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率为多少21、一个类似于细胞分裂的物体，一次分裂为二，两次分裂为四，如此继续分裂有限多次，而随机终止．设分裂n 次终止的概率是n21(n =1,2,3,…)．记X 为原物体在分裂终止后所生成的子块数目，求(10)P X .22．甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A ，B ，C ，D 四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．(1)求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率； (2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；(3)设随机变量X 为这五名志愿者中参加A 岗位服务的人数，求X 的分布列．高中数学系列2—3单元测试题（2.1）参考答案一、选择题：1、D2、B3、C4、D5、C6、B7、C8、B二、填空题： 18、 20三、解答题：18、解：设黄球的个数为n ，由题意知 绿球个数为2n ，红球个数为4n ，盒中的总数为7n ．∴ 44(1)77n P X n ===，1(0)77n P X n ===，22(1)77n P X n =-==． 所以从该盒中随机取出一球所得分数X 的分布列为X 10 －1 P74 71 72 19、解从总数为10的门票中任取3张，总的基本事件数是C 310=120，而“至少有2张价格相同”则包括了“恰有2张价格相同”和“恰有3张价格相同”，即C 25+C 9033351822172315=++⋅+⋅⋅C C C C C C （种）.所以，所求概率为.4312090= 20解P （A ）=112211122232562122326=⨯⨯-⨯=-C C C .21、解：依题意，原物体在分裂终止后所生成的数目X 的分布列为X 24 8 16 ．．．n 2 ．．． P21 4181 161 ．．． n 21 ．．．∴ (10)(2)(4)(8)P X P X P X P X ≤==+=+==8842=++．22. [解析] (1)记甲、乙两人同时参加A 岗位服务为事件E A ，那么P (E A )＝A 33C 25A 44＝140.即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是140.(2)记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E ，那么P (E )＝A 44C 25A 44＝110.所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P (E )＝1－P (E )＝910.(3)随机变量X 可能取的值为1,2，事件“X ＝2”是指有两人同时参加A 岗位服务，则P (X ＝2)＝C 25A 33C 25A 44＝14.所以P (X ＝1)＝1－P (X ＝2)＝34，X 的分布列为： X 1 2 P3414。

离散型变量强化1．每次试验的成功率为(01)p p <<，重复进行10次试验，其中前7次都未成功后3次都成功的概率为（ ）()A 33710(1)C p p - ()B 33310(1)C p p - ()C 37(1)p p - ()D 73(1)p p - 2．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试，已知某同学每次投篮投中的概率为，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）3．甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为3:2，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲打完4局才胜的概率为（ ）()A 23332()55C ⋅ ()B 22332()()53C ()C 33432()()55C ()D 33421()()33C 4．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是154，刮三级以上风的概率为152，既刮风又下雨的概率为101，则在下雨天里，刮风的概率为（ ）A.2258 B.21 C.83 D.43 5．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，则P (ξ≤1)等于( )．6．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则==)12(ξP （ ） A.2101012)85()83(⋅C B.83)85()83(29911⨯C C.29911)83()85(⋅C D. 29911)85()83(⋅C 7．袋中有5个球，3个白球，2个黑球，现每次取一个，无放回地抽取两次，第二次抽到白球的概率为（ ） A.53 B.43 C.21 D. 1038．6位同学参加百米短跑初赛，赛场有6条跑道，已知甲同学排在第一跑道，则乙同学排在第二跑道的概率（ ） A 52 B.51 C.92 D. 73 9．一个袋中有9张标有1,2,3，…，9的票，从中依次取两张，则在第一张是奇数的条件下第二张也是奇数的概率（ ） A.52 B.51 C.21 D. 7310.位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上向右的概率都是21，质点P 移动5次后位于点（2,3）的概率是（ ）A.3)21( B.525)21(C C.335)21(C D.53525)21(C C 11.若样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，10x 的标准差为8，则数据121x -，221x -，⋅⋅⋅，1021x -的标准差为（ ）（A ）8 （B ）15 （C ）16 （D ）3212.设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述一次试验的成功次数，则)0(=ξP 等于（ ） B. 21 C. 31 D.32 解答题13．种植某种树苗，成活率为90%，现在种植这种树苗5棵，试求：⑴全部成活的概率； ⑵全部死亡的概率；⑶恰好成活3棵的概率； ⑷至少成活4棵的概率14．某高中共派出足球、排球、篮球三个球队参加市学校运动会，它们获得冠军的概率分别为12，13，23.(1)求该高中获得冠军个数X 的分布列；(2)若球队获得冠军，则给其所在学校加5分，否则加2分，求该高中得分η的分布列．15.实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛）． 试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率；（2）求按比赛规则甲获胜的概率．16.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列.。

第7讲 离散型随机变量及分布列基础知识整合1．离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为□01随机变量，常用字母X ，Y ，ξ，η，…表示．所有取值可以一一列出的随机变量，称为□02离散型随机变量． 2．离散型随机变量的分布列及性质(1)一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则下表称为离散型随机变量X 的□03概率分布列，简称为X 的□04分布列，有时为了表达简单，也用等式□05P (X ＝x i )＝p i ，i ＝1,2，…，n 表示X 的分布列．①□06p i ≥0(i ＝1,2，…，n )； ②□07 i ＝1np i ＝1. 3．常见的离散型随机变量的分布列X 01…mP □11C0M C n－0N－MC n N□12C1M C n－1N－MC n N…□13C m M C n－mN－MC n N1．随机变量的线性关系若X是随机变量，Y＝aX＋b，a，b是常数，则Y也是随机变量．2．分布列性质的两个作用(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值．(2)随机变量ξ所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率．1．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则“ξ＝5”表示的试验结果是()A．第5次击中目标B．第5次未击中目标C．前4次未击中目标D．第4次击中目标答案 C解析因为击中目标或子弹打完就停止射击，所以射击次数ξ＝5，则说明前4次均未击中目标，故选C.2．某人在打电话时忘了号码的最后四位数字，只记得最后四位数字两两不同，且都大于5，于是他随机拨最后四位数字(两两不同)，设他拨到所要号码时已拨的次数为ξ，则随机变量ξ的所有可能取值的种数为()A．24 B．20C．18 D．4答案 A解析由于后四位数字两两不同，且都大于5，因此只能是6,7,8,9四位数字的不同排列，故有A44＝24(种)．3．已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝12k，k＝1,2，…，则P(2<X≤4)等于()A.316B.14C.116D.516答案 A解析 P (2<X ≤4)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝123＋124＝316.4．(2019·山西联考)从一批含有13件正品，2件次品的产品中，不放回地任取3件，则取得次品数为1的概率是( )A.3235B.1235C.335D.235答案 B解析 设随机变量X 表示取出次品的个数，X 服从超几何分布，其中N ＝15，M ＝2，n ＝3，X 的可能的取值为0,1,2，相应的概率为P (X ＝1)＝C 12C 213C 315＝1235.5．随机变量ξ的所有可能的取值为1,2,3，…，10，且P (ξ＝k )＝ak (k ＝1,2，…，10)，则a 值为( )A.1110B.155 C ．110 D ．55答案 B解析 ∵随机变量ξ的所有可能的取值为1,2,3，…，10，且P (ξ＝k )＝ak (k ＝1,2，…，10)，∴a ＋2a ＋3a ＋…＋10a ＝1，∴55a ＝1，∴a ＝155.6．设随机变量X 的概率分布列为答案 512解析 由13＋m ＋14＋16＝1，解得m ＝14，P (|X －3|＝1)＝P (X ＝2)＋P (X ＝4)＝14＋16＝512.核心考向突破考向一 离散型随机变量分布列的性质例1 (1)(2020·河南南阳摸底)随机变量ξ的概率分布规律为P (X ＝n )＝a n (n ＋1)(n ＝1,2,3,4)，其中a 为常数，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫54<X <134的值为( )A.23 B.34 C.45 D.516答案 D解析 ∵P (X ＝n )＝a n (n ＋1)(n ＝1,2,3,4)，∴a 2＋a 6＋a 12＋a 20＝1，∴a ＝54.∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫54<X <134＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝54×16＋54×112＝516. (2)已知随机变量X 的概率分布如下：A.239B.2310C.139D.1310答案 C解析 由离散型随机变量分布列的性质，得23＋232＋233＋…＋239＋m ＝1，得m ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋232＋233＋…＋239＝1－2·13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1391－13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫139＝139.离散型随机变量分布列性质的应用(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．(2)求随机变量在某个范围内取值的概率时，根据分布列，将所求范围内随机变量的各个取值的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式．[即时训练] 1.某电话亭中装有一部公用电话，在观察使用这部电话的人数时，设在某一时刻，有n 个人正在使用电话或等待使用的概率为P (n )，P (n )与时刻t 无关，统计得到：P (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ·P (0)(0≤n ≤5)，0(n ≥6)，那么在某一时刻，这个电话亭一个人也没有的概率P (0)的值为( )A.3263B.3265C.3163D.3253答案 A 解析由P (0)＋P (1)＋P (2)＋P (3)＋P (4)＋P (5)＝1，得P (0)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋14＋18＋116＋132＝1，解得P (0)＝3263.2．若随机变量ξ的分布列如下表，则E (ξ)＝( )A ．q 2＋12B ．q 2－12 C ．1－ 2 D ．1＋ 2答案 C解析 由离散型随机变量分布列的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧0≤1－2q ≤1，q 2≤1，12＋1－2q ＋q 2＝1，解得q ＝1－22，所以E (ξ)＝－1×12＋0×(1－2q )＋1×q 2＝q 2－12＝1－ 2.精准设计考向，多角度探究突破 考向二 求离散型随机变量的分布列 角度1 与互斥事件有关的分布列例2 大型亲子真人秀《爸爸去哪儿》(第五季)暖心回归，节目组要求五位明星爸爸在72小时的户外体验中，单独照顾子女的饮食起居，共同完成节目组设置的一系列任务．经过一季13期的录制，六位萌娃Neinei 和Max 、嗯哼、Jasper 、小泡芙、小山竹收获了一大批的粉丝，同时也带动各自星爸的事业发展．在第五季第8期的节目录制中，节目组请来了萌娃的妈妈们，并让萌娃和妈妈们一起玩“选妈妈”游戏：有四位妈妈分别躲在四个外观一模一样的花轿里让萌娃们去猜哪一个花轿里是自己的妈妈．假设各位萌娃都是随机选择，选到每一位妈妈都是等可能的．(1)已知嗯哼的妈妈在某个花轿里，如果给嗯哼两次机会单独去玩“选妈妈”游戏，求他选到自己妈妈的概率；(2)如果四位妈妈所对应的四位萌娃一起选择，一人只选一个花轿，而且每个人选的花轿都不相同，记恰好选到自己妈妈的人数为X，求X的分布列．解(1)记“嗯哼选到自己妈妈”为事件A，则P(A)＝14＋34×13＝12.(2)由题意知X的所有可能取值为0,1,2,4，P(X＝4)＝1A44＝124，P(X＝2)＝C24A44＝14，P(X＝1)＝C14×2A44＝13，P(X＝0)＝1－P(X＝4)－P(X＝2)－P(X＝1)＝38.所以随机变量X的分布列为2例3(2020·正定摸底)某中学根据2006～2018年期间学生的兴趣爱好，分别创建了“摄影”“棋类”“国学”三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立.2019年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“摄影”“棋类”“国学”三个社团的概率依次为m、13、n，已知三个社团他都能进入的概率为124，至少进入一个社团的概率为34，且m>n.(1)求m与n的值；(2)该校根据三个社团活动安排情况，对进入“摄影”社的同学增加校本选修学分1分，对进入“棋类”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“国学”社的同学增加校本选修学分3分．求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数的分布列．解(1)依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧13mn ＝124，1－(1－m )⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13(1－n )＝34，m >n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝12，n ＝14.(2)令该新同学在社团方面获得校本选修课学分的分数为随机变量X ，则X 的值可以为0,1,2,3,4,5,6.而P (X ＝0)＝12×23×34＝14；P (X ＝1)＝12×23×34＝14；P (X ＝2)＝12×13×34＝18；P (X ＝3)＝12×23×14＋12×13×34＝524；P (X ＝4)＝12×23×14＝112；P (X ＝5)＝12×13×14＝124；P (X ＝6)＝12×13×14＝124.X 的分布列如下．离散型随机变量分布列的求解步骤(1)明取值：明确随机变量的可能取值有哪些？及每一个取值所表示的意义．(2)求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率．(3)画表格：按规范要求形式写出分布列．(4)做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确．[即时训练] 3.银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(2)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列．解(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”为事件A，则P(A)＝5×4×36×5×4＝1 2.(2)依题意，得X所有可能的取值是1,2,3，又P(X＝1)＝16，P(X＝2)＝5×16×5＝16，P(X＝3)＝5×4×46×5×4＝23.所以X的分布列如下．乙双方每局比赛均从5张扑克牌(3张红桃A,2张黑桃A)中轮流抽取1张，抽取到第2张黑桃A的人获胜，并结束该局比赛．每三局比赛为一轮．(1)若在第一局比赛中甲先抽牌，求甲获胜的概率；(2)若在一轮比赛中规定：第一局由甲先抽牌，并且上一局比赛输的人在下一局比赛先抽，每一局比赛先抽牌并获胜的人得1分，后抽牌并获胜的人得2分，未获胜的人得0分．求此轮比赛中甲得分X的概率分布列．解(1)设“在第一局比赛中甲先抽牌，甲获胜”为事件M，甲先抽牌，甲获胜等价于把这5张牌进行排序，第二张黑桃A排在3号位置或5号位置，共有2＋4＝6(种)，而2张黑桃A 的位置共有C25＝10(种)．所以P(M)＝610＝3 5.(2)甲得分X的所有可能取值为0,1,2,3,5.由(1)知在一局比赛中，先抽牌并获胜(后抽牌并输)的概率为35，则后抽牌并获胜(先抽牌并输)的概率为25.当X＝0时，即三局甲都输，P(X＝0)＝25×25×25＝8125；当X＝1时，即第一局甲胜，二、三局甲输或第二局甲胜，一、三局甲输或第三局甲胜，一、二局甲输，P(X＝1)＝35×35×25＋25×35×35＋25×25×35＝48125；当X＝2时，即第一局甲胜，第二局甲输，第三局甲胜，P(X＝2)＝35×35×35＝27125；当X＝3时，即第一局甲输，二、三两局甲都胜或者第一局甲胜，第二局甲胜，第三局甲输，P(X＝3)＝25×35×25＋35×25×35＝30125＝625；当X＝5时，即三局甲都胜，P(X＝5)＝35×25×25＝12125.所以此轮比赛中甲得分X的概率分布列如下．例4(2019·辽宁辽南协作体一模)从某校高三年级中随机抽取100名学生，对其眼视力情况进行统计(两眼视力不同，取较低者统计)，得到如图所示的频率分布直方图，已知从这100人中随机抽取1人，其视力在[4.1,4.3)的概率为110.(1)求a，b的值；(2)若高校A专业的报考资格为：任何一眼裸眼视力不低于4.9，高校B专业的报考资格为：任何一眼裸眼视力不低于5.0，已知在[4.9,5.1)中有13的学生裸眼视力不低于5.0.现用分层抽样的方法从[4.9,5.1)和[5.1,5.3)中抽取4名同学，4人中有资格(仅考虑视力)报考B专业的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列．解(1)由频率分布直方图的性质，得⎩⎨⎧b ×0.2＝110，(b ＋0.75＋1.75＋a ＋0.75＋0.25)×0.2＝1，解得b ＝0.5，a ＝1.(2)在[4.9,5.1)中，共有15人，其中5人裸眼视力不低于5.0，在这15人中，抽取3人，在[5.1,5.3)中，共有5人，抽取1人， 随机变量ξ的可能取值为1,2,3,4，P (ξ＝1)＝C 310C 05C 315＝2491，P (ξ＝2)＝C 210C 15C 315＝4591，P (ξ＝3)＝C 110C 25C 315＝2091，P (ξ＝4)＝C 010C 35C 315＝291，∴ξ的分布列如下．超几何分布的特点(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．(2)超几何分布的特征是：①考查对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X 的概率分布．(3)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．[即时训练] 5.(2020·天津河西新华中学月考)某中学用简单随机抽样方法抽取了100名同学，对其社会实践次数进行调查，结果如下：(1)将频率视为概率，估计该校1600名学生中“社会实践标兵”有多少人？(2)从已抽取的8名“社会实践标兵”中随机抽取4位同学参加社会实践表彰活动．①设A为事件“抽取的4位同学中既有男同学又有女同学”，求事件A发生的概率；②用X表示抽取的“社会实践标兵”中男生的人数，求随机变量X的分布列．解(1)样本中“社会实践标兵”有8人，∴该校学生中“社会实践标兵”估计有1600×8＝128人．100(2)8名“社会实践标兵”中有男同学3人，女同学5人．①记A－为“抽取的4位同学全是女同学”，则P(A－)＝C45C48＝114，∴P(A)＝1－P(A－)＝1－114＝1314.②由题意，得X所有可能的取值为0,1,2,3.P(X＝0)＝C45C48＝114，P(X＝1)＝C13C35C48＝37，P(X＝2)＝C23C25C48＝37，P(X＝3)＝C33C15C48＝114.则X的分布列如下．1．袋中装有10个红球，5个黑球，每次随机抽取一个球，若取得黑球，则另换一个红球放回袋中，直到取到红球为止，若抽取的次数为X，则表示“放回5个球”的事件为()A．X＝4 B．X＝5C．X＝6 D．X≤4答案 C解析第一次取到黑球，则放回1个球，第二次取到黑球，则放回2个球，…，共放了五回，第六次取到了红球，试验终止，故X＝6.2．一个人有5把钥匙，其中只有一把可以打开房门，他随意地进行试开，若试开过的钥匙放在一旁，试过的次数ξ为随机变量，则P(ξ＝3)＝()A.35 B.15C.25 D.3！5！答案 B解析 ξ＝3表示第3次恰好打开，前2次没有打开，所以P (ξ＝3)＝A 24A 35＝15.3．若随机变量X 的分布列为A ．(－∞，2]B ．[1,2]C ．(1,2]D ．(1,2)答案 C解析 由随机变量X 的分布列，得P (X ＜－1)＝0.1，P (X ＜0)＝0.3，P (X ＜1)＝0.5，P (X ＜2)＝0.8，则当P (X ＜a )＝0.8时，实数a 的取值范围是(1,2]．4．(2019·淄博一中模拟)设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述一次试验的成功次数，则P (ξ＝0)等于( )A ．0 B.13 C.12 D.23答案 B解析 设P (ξ＝1)＝p ，则P (ξ＝0)＝1－p .依题意知，p ＝2(1－p )，解得p ＝23.故P (ξ＝0)＝1－p ＝13.5．(2019·新疆乌鲁木齐模拟)口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X 的期望为( )A.13B.23 C ．2 D.83答案 D解析 因为口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，所以取出的球的最大编号X 的可能取值为2,3，所以P (X ＝2)＝1C 23＝13，P (X ＝3)＝C 12C 11C 23＝23，所以E (X )＝2×13＋3×23＝83.6．已知离散型随机变量X 的分布列P (X ＝k )＝k15，k ＝1,2,3,4,5，令Y ＝2X －2，则P (Y >0)＝( )A.715B.815C.1115D.1415答案 D解析 由已知Y 取值为0,2,4,6,8，且P (Y ＝0)＝115，P (Y ＝2)＝215，P (Y ＝4)＝315＝15，P (Y ＝6)＝415，P (Y ＝8)＝515＝13.则P (Y >0)＝P (Y ＝2)＋P (Y ＝4)＋P (Y ＝6)＋P (Y ＝8)＝1415.7．箱子里有2个黑球，1个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为( )A.13B.881C.23D.3281 答案 B解析 由题意知，第4次取球后停止是当且仅当前3次取的球是黑球，第4次取的球是白球的情况，此事件发生的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫233×13＝881.8．一个坛子里装有编号为1,2,3，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球．若从中任取2个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率为( )A.122B.111C.322D.211答案 D解析 一类是取到2球号码均为偶数且是红球，有C 23种取法；另一类是取到2球号码为一奇一偶且2球为红球，有C 13C 13种取法．因此所求的概率P ＝C 23＋C 13C 13C 212＝211.故选D.9．(2020·江西赣州摸底)一袋中装有5个球，编号为1,2,3,4,5，在袋中同时取出3个，以ξ表示取出的三个球中的最小号码，则随机变量ξ的分布列为( )A.解析 随机变量ξ的可能取值为1,2,3，P (ξ＝1)＝C 24C 35＝35，P (ξ＝2)＝C 23C 35＝310，P (ξ＝3)＝C 22C 35＝110.故选C.10．如图所示，用K ，A 1，A 2三类不同的元件连接成一个系统．当K 正常工作且A 1，A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K ，A 1，A 2正常工作的概率依次是0.9,0.8,0.8，则系统正常工作的概率为( )A．0.960 B．0.864C．0.720 D．0.576答案 B解析A1，A2同时不能工作的概率为0.2×0.2＝0.04，所以A1，A2至少有一个正常工作的概率为1－0.04＝0.96，所以系统正常工作的概率为0.9×0.96＝0.864.故选B.11．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为()A．0.648 B．0.432C．0.36 D．0.312答案 A解析3次投篮投中2次的概率为P(k＝2)＝C23×0.62×(1－0.6)，投中3次的概率为P(k＝3)＝0.63，所以通过测试的概率为P(k＝2)＋P(k＝3)＝C23×0.62×(1－0.6)＋0.63＝0.648.故选A.12．袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为17，现在甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取…(取后不放回)，直到两人中有一人取到白球时停止，每个球每一次被取出的机会是等可能的，则甲取到白球的概率为()A.2235 B.2135C.37 D.1335答案 A解析设袋中原有n个白球，由题意，得17＝C2nC27＝n(n－1)27×62＝n(n－1)7×6，所以n(n－1)＝6，解得n＝3(舍去n＝－2)，即袋中原有3个白球．用ξ表示取球终止时所需要的取球次数．则ξ的可能取值为1,2,3,4,5.P(ξ＝1)＝37，P(ξ＝2)＝4×37×6＝27，P(ξ＝3)＝4×3×37×6×5＝635，P(ξ＝4)＝4×3×2×37×6×5×4＝335，P(ξ＝5)＝4×3×2×1×37×6×5×4×3＝135.因为甲先取，所以甲只有可能在第1次，第3次和第5次取球，记“甲取到白球”的事件为A，则P(A)＝P(“ξ＝1”“ξ＝3”或“ξ＝5”)．又事件“ξ＝1”“ξ＝3”“ξ＝5”两两互斥，所以P(A)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝5)＝37＋635＋1 35＝2235.13．已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球．设ξ为取出的4个球中红球的个数，则P(ξ＝2)＝________.答案310解析ξ的可能取值为0,1,2,3，所以P (ξ＝2)＝C 13C 12C 14＋C 23C 22C 24C 26＝2790＝310. 14．数字1,2,3,4任意排成一排，若数字K 恰好出现在第K 个位置上，则称为一个巧合，若巧合个数为ξ，则P (ξ＝0)＝________.答案 38解析 ξ＝0，表示没有巧合，有以下几种：所以P (ξ＝0)＝9A 44＝924＝38.15．(2019·大连模拟)一个袋子里有2个白球、3个黑球、4个红球，从中任取3个球恰好有2个球同色的概率为________．答案 5584解析 记A ＝{取出的3个球中恰好有2个白球}，B ＝{取出的3个球中恰好有2个黑球}，C ＝{取出的3个球中恰好有2个红球}，则P (A )＝C 22C 17C 39＝112，P (B )＝C 23C 16C 39＝314，P (C )＝C 24C 15C 39＝514.A ，B ，C 三个事件两两互斥，则P (取出的3个球中恰好有2个球同色)＝P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝112＋314＋514＝5584.16．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1,2,3,4,5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金(单位：元)；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金(单位：元)．若随机变量ξ1和ξ2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则P(ξ2≥3)－P(ξ1≥3)＝________.答案－310解析赌金的分布列如下，则P(ξ2≥3)－P(ξ1≥3)＝15＋110－15－15－15＝－310.17．(2019·济南模拟)某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语，2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问．(1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率；(2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的分布列．解(1)设事件A：选派的3人中恰有2人会法语，则P(A)＝C25C12C37＝4 7.(2)依题意知X的取值为0,1,2,3，P(X＝0)＝C34C37＝435，P(X＝1)＝C24C13C37＝1835，P(X＝2)＝C14C23C37＝1235，P(X＝3)＝C33C37＝135，∴X的分布列为则，甲先从6道备选题中一次性抽取3道题独立作答，然后由乙回答剩余3道题，每人答对其中2道题就停止答题，即闯关成功．已知在6道备选题中，甲能答对其中的4道题，乙答对每道题的概率都是23.(1)求甲、乙至少有一人闯关成功的概率； (2)设甲答对题目的个数为ξ，求ξ的分布列． 解 (1)设甲、乙闯关成功分别为事件A ，B ，则P (A )＝C 14C 22C 36＝420＝15，P (B )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－233＋C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232×⎝ ⎛⎭⎪⎫231 ＝127＋29＝727，则甲、乙至少有一人闯关成功的概率是 1－P (A B )＝1－P (A )P (B )＝1－15×727＝128135. (2)由题知ξ的可能取值是1,2.P (ξ＝1)＝C 14C 22C 36＝15，P (ξ＝2)＝C 24C 12＋C 34C 36＝45，则ξ的分布列为如下．A 组最小数为a 1，最大数为a 2；B 组最小数为b 1，最大数为b 2.记ξ＝a 2－a 1，η＝b 2－b 1.(1)求ξ的分布列；(2)令C 表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，求事件C 发生的概率P (C )． 解 (1)ξ的所有可能取值为2,3,4,5.将6个正整数平均分成A ，B 两组，不同的分组方法共有C 36＝20(种)，所以ξ的分布列如下．不同的分组方法有2种；ξ和η恰好相等且等于3时，不同的分组方法有2种； ξ和η恰好相等且等于4时，不同的分组方法有4种． 所以P (C )＝820＝25.20．某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球．根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率； (2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X 的分布列．解 设A i 表示摸到i 个红球，B j 表示摸到j 个蓝球，则A i (i ＝0,1,2,3)与B j (j ＝0,1)独立．(1)恰好摸到1个红球的概率为P (A 1)＝C 13C 24C 37＝1835.(2)X 的所有可能的值为：0,10,50,200，且P (X ＝200)＝P (A 3B 1)＝P (A 3)P (B 1)＝C 33C 37×13＝1105， P (X ＝50)＝P (A 3B 0)＝P (A 3)P (B 0)＝C 33C 37×23＝2105，P (X ＝10)＝P (A 2B 1)＝P (A 2)P (B 1)＝C 23C 14C 37×13＝12105＝435，P(X＝0)＝1－1105－2105－435＝67.综上知X的分布列如下．。

课时作业 A 组一一基础对点练1. 某班有14名学生数学成绩优秀，若从该班随机找出5名学生，其中数学成绩 1优秀的学生数X 〜B(5, 4)，则E(2X + 1)=( )A.| C . 3f 1 \ 5 5 7解析：因为 X 〜B 5, 4，所以 E(X) = 4,所以 E(2X + 1) = 2E(X) + 1 = 2X4+ 1=㊁ 答案：D2. 已知某离散型随机变量X 服从的分布列如图，则随机变量X 的方差D(X)等于()1 A. 9 12 C.3D.31 12 2解析：由 m + 2m = 1 得 m = 3,二 E(X)= O X 3+ 1 x 3= 3, D(X) =2x 2=9，故选 B.答案：B3.若随机变量n 的分布列如下：n —2 —10 1 2 3 P0.10.20.20.3 0.10.1则当P( n <x) = 0.8时，实数x 的取值范围是( )A . x <2B . 1<x<2C . 1<x <2D . 1<x <2解析：由题中给出的分布列，可读出相应的概率值，贝U P(n= — 2)+ P(n=— 1)+ P(n= 0)+ P( n= 1) = 0.8.X 0 1 Pm2m D.# B.2 2- 3+1- 32- 31又P(n<x) = 0.8，则1<x w 2.答案：D4 •把三个不同的小球，随机放入三个不同的盒子中，设随机变量E为三个盒子中含球最多的盒子里的球数，则E的数学期望E(3为()17A.g7D.7解析：由题意知3的所有可能取值为1,2,3,C1 3P(E 3)=丈二27，6 18 3 17••• E( 3 = 1 X 27+ 2X 27+ 3X 27=©.故选A.答案：A5•—批产品共50件，次品率为4%,从中任取10件，则抽到1件次品的概率是解析：50件产品中，次品有50X4% = 2件，设抽到的次品数为X,则抽到1件1 9次品的概率是P(X= 1) = CCC8选A.答案：A6. —盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒子中任取3个球来用，用完即为旧，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X =4)的值为 _________________1 i 解析：“事件X = 4”表示取出的3个球有1个新球，2个旧球，故P(X = 4)=CC27220.7. 若离散型随机变量3的分布列为C. 2P(E 1)=33£A一3627,P(E 2)=c i A!C3 18_ 27,答案:2722019则随机变量E的期望E(3为 ________________ .解析：由题意，x —1—0.15 —0.4—0.35 —0.1,数学期望E(B—0X 0.15+ 1 X 0.4 + 2X 0.35+ 3X 0.1 — 1.4.答案：1.48. (2018沈阳质量监测)某中学根据2005〜2017年期间学生的兴趣爱好，分别创建了“摄影”“棋类” “国学”三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立.2017年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校1的“摄影” “棋类”“国学”三个社团的概率依次为m、1 n已知三个社团他1 3都能进入的概率为24，至少进入一个社团的概率为4，且m>n.(1) 求m与n的值；⑵该校根据三个社团活动安排情况，对进入“摄影”社的同学增加校本选修学分1分，对进入“棋类”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“国学”社的同学增加校本选修学分3分.求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数的分布列及期望.1 _13mn—24解析：⑴依题意得‘ C ，1 3J- 1-m 1-3 1-n — 41m—2解得‘.n—1(2) 设该新同学在社团方面获得校本选修课学分的分数为随机变量X,则X的值可以为0,1,2,3,4,5,6.12 3 1而P(X—0)—产^x 4—4；12 3 1P(X—1)—2X3X4—4；113 1 p(x-2)—2X3X4—1；12 1113 5P(X 二 3戶2X 2X 4+ 2X 3X 旷 24；1 1 1 P(X = 6) = 2X 3X 4 = X 的分布列为:111 23于是，E (X )= 0X 4+1X 1+2X 8+ 3X 24+ 4X 5 X 24+ 6 X 24=139. 一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件做检验， 这4件产品中优质品的件数记为n.如果n = 3,再从这批产品中任取4件检验， 若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n = 4,再从这批产品中任取1件做检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检 验.1假设这批产品的优质品率为50%,即取出的每件产品是优质品的概率都为 £且 各件产品是否为优质品相互独立. (1) 求这批产品通过检验的概率；(2) 已知每件产品的检验费用为 100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批 产品作质量检验所需的费用记为 X(单位：元)，求X 的分布列及数学期望.解析：(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A 1，第一次取出的4 件产品全是优质品为事件 A 2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件 B 1，第 二次取出的1件产品是优质品为事件B 2,这批产品通过检验为事件 A ,依题意有 A = (A 1B 1) U (A 2B 2),且 A 1B 1 与 A 2B 2 互斥，4 111所以 P(A)= P(A 1 B 1) + P(A 2B 2)= P(A 1)P(B 1 A 1) + P(A 2)P(B 2&)=届X 亦 + ^X ?= _3 64.⑵X 可能的取值为400,500,800,并且p (x = 4)=2X 3X 4= 112；P(X = 5) = *x 3X 1 1 4一24'124.4 1 11 11P(X = 400)= 1-仍—仍二祀，P(X = 500) =厉，P(X = 800) = / 所以X 的分布列为11 1 1 E(X) = 4= 506.25.1 .若随机变量E 的分布列为其中m € (0,1),贝U 下列结果中正确的是() 3A . E( 3 = m , D( 3 = nB. E( 3 = m , D( 3 = n 22C. E( 3 = 1 — m , D( 3 = m — mD. E( 3 = 1 — m , D( 3 = m 2解析：由分布列可知，随机变量 3服从两点分布，故E( 3 = n = 1 — m , D( 3 = n(1 —n) = (1 — m)m = m — m 2,故选 C. 答案：C2. 设X 为随机变量，X 〜B n , 1，若随机变量X 的数学期望E(X) = 2,则P(X =2)等于() A 80 B 13 A .243 B.243 C 4 D 13 C.243 D.16解析：因为X 〜B(n , p)所以E(X)= np.由殳=2,得n = 6,即X 〜B 6, £，所以2^ 1 2 ▽彳 1 6— 2 80P(X= 2) = C 6X3 X 1 — 3 = 243-答案：A 3.50个乒乓球中， 合格品为45个，次品为5个，从这50个乒B 组一一能力提升练乓球中任取3 个，出现次品的概率是()C 3 A^3- C 50 C 45c . 1 —疋C 50解析：出现次品，可以是一个，两个或是三个，与其对立的是：都是合格品，都答案：c2 1 44. 已知X 是离散型随机变量，P(X = 1) = 3, P (X = a)二3,且E(X)二3,贝U D(2X —1)等于 ________________ .2 1 4 解析：由已知及离散型随机变量分布列的性质，得1 x 3+ a x - = 3，解得a = 2,••• D(2X — 1) = 4D(X) = 9. 8 答案：9 5. 近年来空气污染是一个生活中重要的话题，PM2.5就是其中一个指标.PM2.5指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.PM2.5日均 值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35〜75微克/立方米之间空气质量 为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标.某市 2017年10月1日至10 日每天的PM2.5监测数据如茎叶图所示. 的天数，求E 的分布列及期望.解析：⑴记“当天PM2.5日均监测数据未超标”为事件A , 2 + 4 3P(A)二 io = 5.(2)记“这2天此地PM2.5监测数据均未超标且空气质量恰好有一天为一级 ”为事件B , C 1C 4 8P(B)二 c i 二1 求某两人选择同一套餐的概率；c 1 2 3+ c i + c 3 B. C O（4^2 2 D （X ）= 1 — 4x 2+⑶E的可能值为0,1,2,3,~ c、 C6 1 八C e C4 1P&0)= CV6, P& 1) =CCT二2，- c6 C2 3 〜c、C3 1P(E2)=贡二10, P(E3)=C10二30.其分布列为：1 , 1 c 3 c 1 6E(B 二o x 1+ 1x 2+ 2X10+ 3X 30二5.6. (2018长春模拟)每年5月17日为国际电信日，某市电信公司每年在电信日当天对办理应用套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选择套餐1的客户可获得优惠200元，选择套餐2的客户可获得优惠500元，选择套餐3的客户可获得优惠300元.根据以往的统计结果绘出电信日当天参与活动的统计图，现将频率视为概率.2 若用随机变量X表示某两人所获优惠金额的总和，求X的分布列和数学期望.解析：(1)由题意可得某两人选择同一套餐的概率为⑵由题意知某两人可获得优惠金额 X 的可能取值为400,500,600,700,800,1 000.1 1 1 p (x 二 400)=1X 沪 64，1 1 3 6 P(X = 500)= C 2X 8X 8=64，3 3 9 P (x = 600)=3X 8=64，1118P(X = 700)=C 2X 8X 2=64，1 1 3 24P(X = 800)=C 2X 2X 8=64， 1 1 16 P(X = 1 000)=2X 2=64.综上可得X 的分布列为：故 E (X )=400X 64 + 500X 64+600X 64+700X 64 + 800X 建+ 1 000X £=775(元).(1) 在此期间的某天，一外地游客来张掖市旅游，求当天PM2.5日均监测数据未超标的概率； (2) 某游客在此期间有2天在该市旅游，这2天该市的PM2.5监测数据均未超标， 请计算出这2天空气质量恰好有一天为一级的概率；(3) 从所给10天的数据中任意抽取3天数据，记E 表示抽到PM2.5监测数据超标 P 二41+占1+注注 8 8 2 2 8 813 32.。