离散型随机变量及其分布列复习总结计划练练习习题及答案.doc

22 ＝12 2 C3 离散型随机变量及其分布列课后练习题一、选择题1.解析：C 选项中，P (X ＝1)＜0 不符合 P (X ＝x i )≥0 的特点，也不符合 P (X ＝1)＋P (X ＝2) ＋P (X ＝3)＝1 的特点，故 C 选项不是分布列．答案：C2.解析：由 X ＜4 知 X ＝1,2,3，3所以 P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝0.3＝ ，解得 n ＝10.n答案：C⎛ 1⎫53.解析：∵P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝a 1－ ⎪＝1，∴a ＝ .⎛1 5⎫a a ⎛⎝ 5⎭ 4 1⎫5 2 5∴P ＜X ＜ ⎪＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝ ＋ ＝a 1－ ⎪＝ × ＝ .⎝22⎭ 1×2 2×3 ⎝ 3⎭ 4 3 6 4.解析：由分布列的性质得0．5＋1－2q＋q 2＝1，整理得 q 2－2q ＋0.5＝0，解得 q ＝1± ，又 0≤1－2q ≤1,0≤q 2≤1，所以 q 2答案：D12 2(a + b )215.解析：由分布列的性质可知a + b = ，而a + b 2≥= .故选 C.28答案：C二、填空题6.解析：由离散型随机变量的分布列的性质可求得 P (X ＝3)＝0.25，P (X ＝5)＝0.15，故 X 取奇数值时的概率为 P (X ＝1)＋P (X ＝3)＋P (X ＝5)＝0.20＋0.25＋0.15＝0.6. 答案：0.6C 2 C 1C 17.解析：当有 0 个红球时，P (X ＝0)＝ 2＝0.1；当有 1 个红球时，P (X ＝1)＝ 2 ＝0.6；当 C 5 C 5 23 有 2 个红球时，P (X ＝2)＝ 2＝0.3. C 5答案：78.解析：设二级品有 k 个，∴一级品有 2k 个，三级品有 个，总数为 k 个．2 2∴分布列为⎛1 5⎫ 4P ≤ξ ≤ ⎪＝P(ξ ＝1)＝.⎝3 3⎭74答案：7三、解答题19.解：(1)由a·1＋a·2＋a·3＋a·4＋a·5＝1 得a＝.15k 1(2)因为分布列为P(X＝ )＝k(k＝1、2、3、4、5)5 153 34 3 45 4解法一：P(X≥ )＝P(X＝ )＋P(X＝ )＋P(X＝1)＝＋＋＝ .5 5 5 15 15 15 53 1 2 1 2 4解法二：P(X≥ )＝1－[P(X＝ )＋P(X＝ )]＝1－[ ＋]＝ .5 5 5 15 15 51 7 123 1 7 1 2 3 (3)因为<X< ，只有X＝、、时满足，故P( <X< )＝P(X＝ )＋P(X＝ )＋P(X＝ )10 10 5 5 5 10 10 5 5 51 2 3 2＝＋＋＝ .15 15 15 510.解：依题意，η的可能取值是 5,6,7,8,9,10,11.1 1则有P(η＝5)＝＝，4×4162 1 3P(η＝6)＝＝，P(η＝7)＝，16 8 164 1 3P(η＝8)＝＝，P(η＝9)＝，16 4 162 1 1P(η＝10)＝＝，P(η＝11)＝.16 8 16所以η 的分布列为。

离散型随机变量的均值与方差、正态分布（基础+复习+习题+练习）课题：离散型随机变量的均值与方差、正态分布考纲要求：① 理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题；② 利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线及曲线所表示的意义.教材复习1.离散型随机变量分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足:0≤()P A ≤1，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：()1i p ≥0，1,2,i =…；()212p p ++…1=对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和.即(P ξ≥1)()()k k k x P x P x ξξ+==+=+2.数学期望:则称=ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的数学期望，简称期望3.数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平4.平均数、均值:一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令=1p =2p …n p =，则有=1p =2p …1n n p ==，=ξE +1(x +2x …1)n n x +?，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值 .5.期望的一个性质:若b a +=ξη，则b aE b a E +=+ξξ)(6.方差: 对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，…，且取这些值的概率分别是1p ，2p ，…，n p ，…，那么,ξD ＝121)(p E x ?-ξ＋222)(p E x ?-ξ＋…＋n n p E x ?-2)(ξ＋…称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的ξE 是随机变量ξ的期望． 7.标准差:ξD 的算术平方根ξD 叫做随机变量ξ的标准差，记作σξ 8.方差的性质：()1 ξξD a b a D 2)(=+；()2 22)(ξξξE E D -= .9.方差的意义：()1随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的； ()2随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；()3标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛.10.二项分布的期望与方差：若(),B n p ξ，则E np ξ= ，()1D np p ξ=-11.几何分布的期望和方差：若(),g k p 1k qp -=，其中0,1,2k =，…， p q -=1．则1E p ξ=，21p D pξ-=. 12.正态分布密度函数：22()2(),(,)xf x xμσ--=∈-∞+∞，（0σ>）其中π是圆周率；e是自然对数的底；x是随机变量的取值；μ为正态分布的均值；σ是正态分布的标准差.正态分布一般记为) ,(2σμN。

2.1.2 离散型随机变量的分布列一、解答题。

1. 设离散型随机变量ξ可能取的值为x1，x2，x3，…，x n，…，ξ取每一个值x i(i=1，2，…）的概率为P(ξ=x i)=p i，则称表为随机变量ξ的________，简称ξ的分布列．2. 分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足：0≤P(A)≤1，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：①_________________________________________________________________________ _______________________________；②_________________________________________________________________________ _______________________________．3. 随机变量X的分布列如下，则m等于（）A.1 3B.12C.16D.144. 下列可以作为ξ的分布列的是（）A.B.C.D.5. 盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为2的球4个，标号为5的球3个．第一次从盒子中任取1个球，放回后第二次再任取1个球（假设取到每个球的可能性都相同）．记第一次与第二次取得球的标号之和为ξ．求随机变量ξ的可能取值及其分布列．6. （四川2017.18题第一问）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：∘C）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列．7. （2015⋅南京模拟题）已知随机变量的分布列为ξ+1的分布列．求随机变量η1=128. 已知随机变量X的分布列为X的分布列．求随机变量Y=sinπ29. 若离散型随机变量X的分布列是则常数c的值为________．10. 如图所示，A，B两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2，3，4，3，2．现记从中任取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量为ξ，则P(ξ≥8)=________．11. 小结与反思___________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________________________ __________________________________参考答案与试题解析2.1.2 离散型随机变量的分布列一、解答题。

离散型变量强化1．每次试验的成功率为(01)p p <<，重复进行10次试验，其中前7次都未成功后3次都成功的概率为（ ）()A 33710(1)C p p - ()B 33310(1)C p p - ()C 37(1)p p - ()D 73(1)p p - 2．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试，已知某同学每次投篮投中的概率为，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）3．甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为3:2，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲打完4局才胜的概率为（ ）()A 23332()55C ⋅ ()B 22332()()53C ()C 33432()()55C ()D 33421()()33C 4．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是154，刮三级以上风的概率为152，既刮风又下雨的概率为101，则在下雨天里，刮风的概率为（ ）A.2258 B.21 C.83 D.43 5．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，则P (ξ≤1)等于( )．6．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则==)12(ξP （ ） A.2101012)85()83(⋅C B.83)85()83(29911⨯C C.29911)83()85(⋅C D. 29911)85()83(⋅C 7．袋中有5个球，3个白球，2个黑球，现每次取一个，无放回地抽取两次，第二次抽到白球的概率为（ ） A.53 B.43 C.21 D. 1038．6位同学参加百米短跑初赛，赛场有6条跑道，已知甲同学排在第一跑道，则乙同学排在第二跑道的概率（ ） A 52 B.51 C.92 D. 73 9．一个袋中有9张标有1,2,3，…，9的票，从中依次取两张，则在第一张是奇数的条件下第二张也是奇数的概率（ ） A.52 B.51 C.21 D. 7310.位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上向右的概率都是21，质点P 移动5次后位于点（2,3）的概率是（ ）A.3)21( B.525)21(C C.335)21(C D.53525)21(C C 11.若样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，10x 的标准差为8，则数据121x -，221x -，⋅⋅⋅，1021x -的标准差为（ ）（A ）8 （B ）15 （C ）16 （D ）3212.设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述一次试验的成功次数，则)0(=ξP 等于（ ） B. 21 C. 31 D.32 解答题13．种植某种树苗，成活率为90%，现在种植这种树苗5棵，试求：⑴全部成活的概率； ⑵全部死亡的概率；⑶恰好成活3棵的概率； ⑷至少成活4棵的概率14．某高中共派出足球、排球、篮球三个球队参加市学校运动会，它们获得冠军的概率分别为12，13，23.(1)求该高中获得冠军个数X 的分布列；(2)若球队获得冠军，则给其所在学校加5分，否则加2分，求该高中得分η的分布列．15.实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛）． 试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率；（2）求按比赛规则甲获胜的概率．16.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列.。

第六节离散型随机变量及其分布列1．随机变量的有关概念(1)随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示❶.(2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量．2．离散型随机变量分布列的概念及性质(1)概念：若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，x i，…，x n，X取每一个值x i(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝x i)＝p i，以表格的形式表示如下：X x1x2…x i…x nP p1p2…p i…p n❷.有时也用等式P(X＝x i)＝p i，i＝1，2，…，n表示X的分布列.(2)分布列的性质①p i ≥0，i ＝1,2,3，…，n ；②∑i ＝1np i ＝1.3．常见的离散型随机变量的分布列 (1)两点分布列若随机变量X 的分布列具有左表的形式，则称X 服从两点分布❸，并称p ＝P (X ＝1)为成功概率.(2)超几何分布列❹在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n －k N －MC n N，k ＝0,1,2，…，m ，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *❺..若X 是随机变量，则Y ＝aX ＋b (a ，b 为常数)也是随机变量．表中第一行表示随机变量的取值；第二行对应变量的概率．两点分布的试验结果只有两个可能性，其概率之和为1.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：(1)考察对象分两类；(2)已知各类对象的个数；(3)从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布．超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型.m＝min{M，n}的理解m为k的最大取值，当抽取的产品件数不大于总体中次品件数，即n≤M时，k(抽取的样本中次品的件数)的最大值为m＝n；当抽取的产品件数大于总体中次品件数，即n＞M时，k 的最大值为m＝M.[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)随机试验的结果与随机变量是一种映射关系，即每一个试验结果都有唯一的随机变量的值与之对应.()(2)离散型随机变量的分布列中，各个概率之和可以小于1.()(3)离散型随机变量的所有取值有时无法一一列出.()(4)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X 服从超几何分布.( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√ 二、选填题1.抛掷甲、乙两颗骰子，所得点数之和为X ，那么X ＝4表示的基本事件是( ) A.一颗是3点，一颗是1点 B.两颗都是2点C.一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点D.甲是3点，乙是1点或甲是1点，乙是3点或两颗都是2点解析：选D 甲是3点，乙是1点与甲是1点，乙是3点是试验的两个不同结果，故选D.2.设随机变量X 的分布列如下：则p 为( )A.16 B.13 C.14D.112解析：选C 由分布列的性质知，112＋16＋13＋16＋p ＝1，∴p ＝1－34＝14.3.某射手射击所得环数X 的分布列为则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为( ) A.0.28 B.0.88 C.0.79D.0.51解析：选C P (X ＞7)＝P (X ＝8)＋P (X ＝9)＋P (X ＝10)＝0.28＋0.29＋0.22＝0.79. 4.已知随机变量X 的分布规律为P (X ＝i )＝i2a (i ＝1,2,3)，则P (X ＝2)＝________.解析：由分布列的性质知12a ＋22a ＋32a ＝1，∴a ＝3，∴P (X ＝2)＝22a ＝13.答案：135.在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X 表示取到的次品数，则P (X ＝2)＝________.解析：由题意，X 服从超几何分布，其中N ＝10，M ＝3，n ＝4，故P (X ＝2)＝C 23C 27C 410＝310.答案：310考点一 离散型随机变量的分布列的性质[基础自学过关][题组练透]1.设X 是一个离散型随机变量，其分布列为则q 的值为( ) A.1 B.32±336 C.32－336D.32＋336解析：选C 由分布列的性质知 ⎩⎪⎨⎪⎧2－3q ≥0，q 2≥0，13＋2－3q ＋q 2＝1，解得q ＝32－336.2.离散型随机变量X 的概率分布规律为P (X ＝n )＝an (n ＋1)(n ＝1,2,3,4)，其中a 是常数，则P ⎝⎛⎭⎫12＜X ＜52的值为( ) A.23B.34C.45D.56解析：选D 由⎝⎛⎭⎫11×2＋12×3＋13×4＋14×5×a ＝1，知45a ＝1，得a ＝54.故P ⎝⎛⎭⎫12＜X ＜52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝12×54＋16×54＝56. 3.设离散型随机变量X 的分布列为(1)求随机变量Y ＝2(2)求随机变量η＝|X －1|的分布列； (3)求随机变量ξ＝X 2的分布列. 解：(1)由分布列的性质知，0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m ＝1，得m ＝0.3. 首先列表为：从而Y ＝2X ＋1的分布列为(2)列表为∴P (η＝0)＝P (X ＝1)＝P (η＝1)＝P (X ＝0)＋P (X ＝2)＝0.2＋0.1＝0.3， P (η＝2)＝P (X ＝3)＝0.3， P (η＝3)＝P (X ＝4)＝0.3. 故η＝|X －1|的分布列为(3)首先列表为从而ξ＝X2的分布列为[名师微点]离散型随机变量的分布列的性质的应用(1)利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值；(2)利用“离散型随机变量在一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率；(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确.考点二超几何分布[师生共研过关][典例精析]在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列.[解](1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，则P(M ＝C48C510＝518.(2)由题意知X可取的值为0,1,2,3,4，则P(X＝0)＝C56C510＝142，P(X＝1)＝C46C14C510＝521，P(X＝2)＝C36C24C510＝1021，P(X＝3)＝C26C34C510＝521，P(X＝4)＝C16C44C510＝142.因此X的分布列为[解题技法] 1.随机变量是否服从超几何分布的判断若随机变量X服从超几何分布，则满足如下条件：(1)该试验是不放回地抽取n次；(2)随机变量X表示抽取到的次品件数(或类似事件)，反之亦然.2.求超几何分布的分布列的步骤第一步，验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n的值；第二步，根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率；第三步，用表格的形式列出分布列.[过关训练]某项大型赛事，需要从高校选拔青年志愿者，某大学学生实践中心积极参与，从8名学生会干部(其中男生5名，女生3名)中选3名参加志愿者服务活动.若所选3名学生中的女生人数为X，求X的分布列.解：因为8名学生会干部中有5名男生，3名女生，所以X的分布列服从参数N＝8，M ＝3，n＝3的超几何分布.X的所有可能取值为0,1,2,3，其中P(X＝i)＝C i3C3－i5C38(i＝0,1,2,3)，则P(X＝0)＝C03C35C38＝528，P(X＝1)＝C13C25C38＝1528，P(X＝2)＝C23C15C38＝1556，P(X＝3)＝C33C05C38＝156.所以X的分布列为考点三求离散型随机变量的分布列[师生共研过关][典例精析]已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列.[解](1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，则P(A)＝A12A13 A25＝3 10.(2)X的可能取值为200,300,400，则P(X＝200)＝A22A25＝110，P(X＝300)＝A33＋C12C13A22A35＝310，P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)＝1－110－310＝35.故X的分布列为X 200300400P 11031035 [解题技法]离散型随机变量分布列的求解步骤[过关训练]有编号为1,2,3，…，n的n个学生，入座编号为1,2,3，…，n的n个座位，每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X，已知X＝2时，共有6种坐法.(1)求n的值；(2)求随机变量X的分布列.解：(1)因为当X＝2时，有C2n种坐法，所以C2n＝6，即n(n－1)2＝6，n2－n－12＝0，解得n＝4或n＝－3(舍去)，所以n＝4. (2)因为学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X，由题意知X的可能取值是0,2,3,4，所以P(X＝0)＝1A44＝124，P(X＝2)＝C24×1A44＝624＝14，P(X＝3)＝C34×2A44＝824＝13，P(X＝4)＝9A44＝38，所以随机变量X的分布列为X 023 4P 124141338。

随机变量及其分布方法总结经典习题及解答一、离散型随机变量及其分布列1、离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。

常用大写英文字母X、Y等或希腊字母ξ、η等表示。

2、分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为：x1，x2，…，x3，…，ξ取每一个值xi（i=1，2，…）的概率为，则称表ξx1x2…xi…PP1P2…Pi…为随机变量ξ的分布列3、分布列的两个性质：⑴Pi≥0，i＝1，2，… ⑵P1+P2+…=1、常用性质来判断所求随机变量的分布列是否正确！二、热点考点题型考点一: 离散型随机变量分布列的性质1、随机变量ξ的概率分布规律为P(ξ＝n)＝(n＝1，2，3，4)，其中a是常数，则P(＜ξ＜)的值为A、B、C、D、答案：D考点二：离散型随机变量及其分布列的计算2、有六节电池，其中有2只没电，4只有电，每次随机抽取一个测试，不放回，直至分清楚有电没电为止，所要测试的次数为随机变量，求的分布列。

解：由题知2，3，4，5∵ 表示前2只测试均为没电，∴ ∵ 表示前两次中一好一坏，第三次为坏，∴ ∵ 表示前四只均为好，或前三只中一坏二好，第四个为坏，∴ ∵ 表示前四只三好一坏，第五只为坏或前四只三好一坏第五只为好∴ ∴ 分布列为2345P三、条件概率、事件的独立性、独立重复试验、二项分布与超几何分布1、条件概率：称为在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。

2、相互独立事件：如果事件A（或B）是否发生对事件B （或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。

①如果事件A、B是相互独立事件，那么，A与、与B、与都是相互独立事件②两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。

我们把两个事件A、B同时发生记作AB，则有P（AB）= P（A）P（B）推广：如果事件A1，A2，…An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。

离散型随机变量及其分布列测试题一、选择题：1、如果X 是一个离散型随机变量，则假命题是( )A.X 取每一个可能值的概率都是非负数；B.X 取所有可能值的概率之和为1；C.X 取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和；D.X 在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和2①某寻呼台一小时内收到的寻呼次数X ；②在(0,1)区间内随机的取一个数X ；③某超市一天中的顾客量X 其中的X 是离散型随机变量的是（ ） A ．①； B ．②； C ．③； D ．①③3、设离散型随机变量ξ的概率分布如下，则a 的值为（ ）X1 2 3 4P16 13 16aA ．12 B ．16 C ．13 D ．144、设随机变量X 的分布列为()()1,2,3,,,k P X k k n λ===⋯⋯，则λ的值为（ ）A ．1；B ．12； C ．13； D ．145．给出下列四个命题：①15秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量； ②在一段时间内，某侯车室内侯车的旅客人数是随机变量； ③一条河流每年的最大流量是随机变量；④一个剧场共有三个出口，散场后某一出口退场的人数是随机变量． 其中正确的个数是（ D ）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．46、设随机变量X 等可能取1、2、3...n 值，如果(4)0.4p X ≤=,则n 值为（ ）A. 4B. 6C. 10D. 无法确定7、投掷两枚骰子，所得点数之和记为X ，那么4X =表示的随机实验结果是（ ）A. 一枚是3点，一枚是1点B. 两枚都是2点C. 两枚都是4点D. 一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点8．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是310的事件为( )A ．恰有1只是坏的B ．4只全是好的C ．恰有2只是好的D ．至多有2只是坏的9.(2007年湖北卷第1题)如果nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-3223 的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为A.3B.5C.6D.1010.（2007年湖北卷第9题）连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量a =(m,n)与向量b =(1,-1)的夹角为θ，则⎥⎦⎤ ⎝⎛π∈θ20，的概率是A.125 B.21 C.127 D.65 11.（2007年北京卷第5题）记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一行，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有A ．1440种 B.960种 C ．720种 D.480种12.(2007年全国卷Ⅱ第10题)从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有 (A)40种 (B) 60种 (C) 100种 (D) 120种 二、填空题：13、下列表中能成为随机变量X 的分布列的是（把全部正确的答案序号填上）()2,1,2,3,,21n P X k k n ===-14、已知2Y X =为离散型随机变量，Y 的取值为1,2,3,,10，则X 的取值为15、一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数X 可能取值为16.(2007年重庆卷第4题)若1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为_____三、解答题：17、某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km ，则按10元的标准收租车费若行驶路程超出4km ，则按每超出lkm 加收2元计费(超出不足1km 的部分按lkm 计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km．某司机常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按lkm 路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量，他收旅客的租车费可也是一个随机变量 (1)求租车费η关于行车路程ξ的关系式； (2)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km ，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?18、一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，已知红球个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球个数的一半．现从该盒中随机取出一个球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得－1分，试写出从该盒中取出一球所得分数X 的分布列．分析：欲写出ξ的分布列，要先求出ξ的所有取值，以及ξ取每一值时的概率． 19.(2007年重庆卷第6题)从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，则所取3张中至少有2张价格相同的概率20.(2007年辽宁卷)一个坛子里有编号为1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球. 若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率为多少21、一个类似于细胞分裂的物体，一次分裂为二，两次分裂为四，如此继续分裂有限多次，而随机终止．设分裂n 次终止的概率是n21(n =1,2,3,…)．记X 为原物体在分裂终止后所生成的子块数目，求(10)P X ≤.22．(本题满分12分)(2010·浙江杭州高二检测)甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A ，B ，C ，D 四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．(1)求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率；X -1 0 1 p0.3 0.4 0.4X 1 2 3 p0.4 0.7 -0.1X 5 0 -5 p0.3 0.6 0.1②()1,2,3,4,5,P X k k k===④ ⑤(2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；(3)设随机变量X 为这五名志愿者中参加A 岗位服务的人数，求X 的分布列．高中数学系列2—3单元测试题（2.1）参考答案一、选择题：1、D2、D3、C4、B5、D6、C7、D8、C9、B 10、C 11、B 12、B 二、填空题： 13、 ③④14、13579,1,,2,,3,,4,,52222215、 3,4,5 16、 20三、解答题：17、解：(1)依题意得η=2(ξ-4)+10，即η=2ξ+2 (2)由38=2ξ+2，得ξ=18，5×（18-15）=15． 所以，出租车在途中因故停车累计最多15分钟． 18、解：设黄球的个数为n ，由题意知绿球个数为2n ，红球个数为4n ，盒中的总数为7n ．∴44(1)77n P X n ===，1(0)77n P X n ===，22(1)77n P X n =-==． 所以从该盒中随机取出一球所得分数X 的分布列为X 10 －1 P74 71 72 19、解从总数为10的门票中任取3张，总的基本事件数是C 310=120，而“至少有2张价格相同”则包括了“恰有2张价格相同”和“恰有3张价格相同”，即C 25+C 9033351822172315=++⋅+⋅⋅C C C C C C （种）.所以，所求概率为.4312090= 20解P （A ）=112211122232562122326=⨯⨯-⨯=-C C C .21、解：依题意，原物体在分裂终止后所生成的数目X 的分布列为X2 4 8 16 ．．．n 2 ．．． P21 41 81 161 ．．． n21 ．．．∴(10)(2)(4)(8)P X P X P X P X ≤==+=+==8842=++．22.[解析] (1)记甲、乙两人同时参加A 岗位服务为事件E A ，那么P (E A )＝A 33C 25A 44＝140.即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是140.(2)记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E ，那么P (E )＝A 44C 25A 44＝110.所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P (E )＝1－P (E )＝910.(3)随机变量X 可能取的值为1,2，事件“X ＝2”是指有两人同时参加A 岗位服务，则P (X ＝2)＝C 25A 33C 25A 44＝14.所以P (X ＝1)＝1－P (X ＝2)＝34，X 的分布列为：。

`课题：离散型随机变量及其分布列考纲要求：① 理解取有限个的离散型随机量及其分布列的概念，了解分布列于刻画随机象的重要性；②理解超几何分布及其推程，并能行的用.教材复习1.随机量：如果随机的果可以用一个量来表示，那么的量叫做随机量随机量常用希腊字母、等表示2.离散型随机量 : 于随机量可能取的，可以按一定次序一一列出，的随机量叫做离散型随机量若是随机量，a b ，其中 a 、b是常数，也是随机量3.型随机量:于随机量可能取的，可以取某一区的一切，的量就叫做型随机量4. 离散型随机量与型随机量的区与系: 离散型随机量与型随机量都是用量表示随机的果；但是离散型随机量的果可以按一定次序一一列出，而性随机量的果不可以一一列出5.离散型随机量的分布列:离散型随机量可能取的x1、 x2、⋯、 x i、⋯取每一个x i i 1,2,的概率P(x i ) p i，称表x1x2⋯x i⋯P p1p2⋯p i⋯随机量的概率分布，称的分布列6.离散型随机量分布列的两个性：任何随机事件生的概率都足: 0≤P( A)≤1，并且不可能事件的概率0 ，必然事件的概率 1．由此你可以得出离散型随机量的分布列都具有下面两个性：1p i≥0， i 1,2, ⋯；2 p1p2⋯1于离散型随机量在某一取的概率等于它取个各个的概率的和. 即P( ≥ x k ) P(x k ) P(x k 1 )7.两点分布：若随机量服从两点分布，即其分布列：X01其中 P P( X1) 称成功概率(表中 0 p 1 ).P 1 p p 8.几何分布：在独立重复中，某事件第一次生，所作的次数也是一个正整数的离散型随机量．“k”表示在第 k 次独立重复事件第一次生. 如果把k次事件 A 生A k、事件 A 不生A k，p( A k)p ，p( A k) q( q 1 p) ，那么P(k ) P( A1 A2 A3 L A k 1A k )P( A1 )P( A2 ) P( A3 ) L P( A k 1 )P(A k ) q k 1 p(k0,1,2, ⋯， q1p )于是得到随机量的概率分布如下：13k2⋯⋯`Ppqq 2 p q k 1 pp⋯⋯称 的随机 量服从几何分布，作 g( k, p)q k 1 p ，其中 k0,1,2, ⋯， q 1 p9.超几何分布： 一般地， 有 N 件 品， 其中有 M （ M ≤ N ）件次品， 从中任取 n （ n≤ N ）件 品，用 X 表示取出的 n 件 品中次品的件数，那么 P Xk（其中 k 非 整数）. 如果一个随机 量的分布列由上式确定，那么称X 服从参数N , M , n 的超几何分布 .m12⋯C M 0 C N n 0MC M 1 C N n 1MC M 2 C N n 2MC M m C N n m MC N n C N nC N n ⋯C N n10. 求离散型随机变量分布列的步骤： 1 要确定随机 量 的可能取 有哪些 . 明确取每个 所表示的意 ； 2 分清概率 型， 算 取得每一个 的概率（取球、抽取品等 要注意是放回抽 是不放回抽 ； 3 列表 ， 出分布列，并用分布列的性.11.几种常见的分布列的求法：1 取球、投骰子、抽取 品等 的概率分布，关是概率的 算 . 所用方法主要有化 法、数形 合法、 法等， 于取球、抽取 品等， 要注意是放回抽 是不放回抽.2 射 ：若是一人 射 ，且限制在n次射 中 生k 次， 往往与二 分布 系起来；若是首次命中所需射 的次数， 它服从几何分布，若是多人射 ，一般利用相互独立事件同 生的概率 行 算.3 于有些 ，它的随机 量的 取与所 的关系不是很清楚，此 要仔 ，明确 中的含 ，恰当地 取随机 量，构造模型， 行求解.典例分析：考点一 由古典概型求离散型随机变量的分布列问题 1．（ 2013天津）一个盒子里装有 7 卡片 , 其中有 色卡片 4 , 号分1,2,3,4 ；白色卡片 3 ,号分 2,3, 4 . 从盒子中任取 4 卡片 ( 假 取到任何一卡片的可能性相同 ). (Ⅰ ) 求取出的 4 卡片中 ,含有 号3 的卡片的概率 . ( Ⅱ ) 在取出的 4 卡片中 , 色卡片 号的最大X , 求随机 量 X 的分布列和数学期望 .`考点二由统计数据求离散型随机变量的分布列问题 2．2010（）某食品厂了一条自包装流水的生情况，随机抽取流水上的40 件品作本称出它的重量（位：克），重量的分区490,495 ，495,500 ，⋯，510,515 ，由此得到本的率分布直方，如所示.1根据率分布直方，求重量超505 克的品数量.2 在上述抽取的40 件品中任取2 件， Y 重量超 505 克的品数量，求 Y 的分布列.3 从流水上任取 5 件品，求恰有 2 件品合格的重量超 505克的概率.考点二两点分布问题 3．一个盒子中装有5个白色玻璃球和6红色玻璃球，从中摸出两球. 当两球全为红色玻璃球时，记X 0 ；当两球不全为红色玻璃球时，记为X 1 .试求 X 的分布列.考点三超几何分布452问题 4．2012（）已知箱中装有个白球和个黑球，且规定：取出一个白球的分，取出一个黑球的1分．现从该箱中任取( 无放回，且每球取到的机会均等) 3个球，记随机变量 X 为取出 3 球所得分数之和．1求 X 的分布列； 2 求 X 的数学期望 EX ．走向高考：1.（ 2012 ）设为随机变量，从棱长为 1的正方体的 12 条棱中任取两条，当两条棱相交时，0 ；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，1．1 求概率P(0) ；2 求的分布列，并求其数学期望E( ) ．2.（ 2013）设袋子中装有a个红球， b 个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得 1分，取出一个黄球 2 分，取出蓝球得 3 分.1 当a3, b 2, c 1时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2 个球，记随机变量为取出此 2 球所得分数之和，. 求分布列； 2 略3.（ 2011）某饮料公司招聘一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别. 公司准备了两种不同的饮料共 8 杯，其颜色完全相同，并且其中 4 杯为 A 饮料，另外 4 杯为 B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8 杯饮料中选出 4 杯 A 饮料.若 4 杯都选对，则月工资定为 3500元；若 4 杯选对 3 杯，则月工资定为 2800 元；否则月工资定为2100 元.令 X`1 求 B 的分布列；2 求此员工月工资的期望.4.（ 2011）为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和 5 件，测量产品中微量元素x, y 的含量（单位：毫克）. 下表是乙厂的 5 件产品的测量数据：编号12345x169178166175180y7580777081`12已知甲厂生产的产品共 98 件，求乙厂生产的产品数量；当产品中的微量元素 x, y 满足 x ≥ 175 且 y ≥ 75时，该产品为优等品， 用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；3 从乙厂抽出的上述 5 件产品中，随即抽取 2 件，求抽取的 2 件产品中优等品数的分布列及其均值（即数学期望）.5.（ 2013）某商 场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有 3 个红球与 4 个白球的袋中任意摸出 3 个球，再从装有 1 个蓝球与 2 个白球的袋中任意摸出 1个球，根据摸出4 个球中红球与蓝球的个数，设一．二．三等奖如下：奖级 摸出红、蓝球个数获奖金额一等奖 3红1200元蓝二等奖 3 红 0 蓝 50 元 三等奖2 红 1蓝10 元其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级 .`1 求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；2 求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X 的分布列与期望 E X.。