数学同步优化指导(湘教选修23)练习：8.2.4 第1课时 离散型随机变量 Word含解析

§2.1.1 离散型随机变量【学习要求】1．理解随机变量及离散型随机变量的含义．2．了解随机变量与函数的区别与联系．【学法指导】引进随机变量的概念，就可以用数字描述随机现象，建立连接数和随机现象的桥梁，通过随机变量和函数类比，可以更好地理解随机变量的定义，随机变量是函数概念的推广.【知识要点】1．随机试验：一般地，一个试验如果满足下列条件：（1）试验可以在相同的情形下重复进行；（2）试验所有可能的结果是明确的，并且不只一个；（3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验的结果会出现哪一个．这种试验就是一个随机试验．2．随机变量：在随机试验中，随着变化而变化的变量称为随机变量．3．离散型随机变量：所有取值可以的随机变量，称为离散型随机变量.【问题探究】探究点一随机变量的概念问题1掷一枚骰子，出现的点数可以用数字1,2,3,4,5,6来表示，那么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示呢？问题2随机变量和函数有类似的地方吗？例1下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量？并说明理由．（1）上海国际机场候机室中2013年10月1日的旅客数量；（2）2013年某天济南至北京的D36次列车到北京站的时间；（3）2013年某天收看齐鲁电视台《拉呱》节目的人数；（4）体积为1 000 cm3的球的半径长．小结随机变量从本质上讲就是以随机试验的每一个可能结果为自变量的一个函数，即随机变量的取值实质上是试验结果对应的数，但这些数是预先知道所有可能的值，而不知道究竟是哪一个值．跟踪训练1指出下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．（1）某人射击一次命中的环数；（2）任意掷一枚均匀硬币5次，出现正面向上的次数；（3）投一颗质地均匀的骰子两次出现的点数(最上面的数字)中的最小值；（4）某个人的属相．探究点二离散型随机变量的判定问题1什么是离散型随机变量？问题2非离散型随机变量和离散型随机变量有什么区别？例2①某座大桥一天经过的中华牌轿车的辆数为ξ；②某网站中歌曲《爱我中华》一天内被点击的次数为ξ；③一天内的温度为ξ；④射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用ξ表示该射手在一次射击中的得分．上述问题中的ξ是离散型随机变量的是()A．①②③④B．①②④C．①③④D．②③④小结该题主要考查离散型随机变量的定义，判断时要紧扣定义，看是否能一一列出．跟踪训练2指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．（1）白炽灯的寿命ξ；（2）某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差ξ；（3）江西九江市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化，该水位站所测水位ξ；（4）一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数．探究点三离散型随机变量的应用例3（1）一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1,2,3,4,5.现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数ξ.写出随机变量ξ可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．（2）抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ，试问：“ξ>4”表示的试验结果是什么？小结解答此类问题的关键在于明确随机变量的所有可能的取值，以及其取每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果，解答过程中不要漏掉某些试验结果．跟踪训练3下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示？若能，请写出各随机变量可能的取值并说明这些值所表示的随机试验的结果．（1）盒中装有6支白粉笔和2支红粉笔，从中任意取出3支，其中所含白粉笔的支数ξ，所含红粉笔的支数η.（2）从4张已编有1～4的卡片中任意取出2张，被取出的卡片号数之和ξ.（3）离开天安门的距离η.（4）袋中有大小完全相同的红球5个，白球4个，从袋中任意取出一球，若取出的球是白球，则过程结束；若取出的球是红球，则将此红球放回袋中，然后重新从袋中任意取出一球，直至取出的球是白球，此规定下的取球次数ξ.【当堂检测】1．下列变量中，不是随机变量的是()A．一射击手射击一次命中的环数B．标准状态下，水沸腾时的温度C．抛掷两枚骰子，所得点数之和D．某电话总机在时间区间(0，T)内收到的呼叫次数2．10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是()A．取到产品的件数B．取到正品的概率C．取到次品的件数D．取到次品的概率3．抛掷2枚骰子，所得点数之和记为ξ，那么“ξ＝4”表示的随机试验的结果是()A．2枚都是4点B．1枚是1点，另1枚是3点C．2枚都是2点D．1枚是1点，另1枚是3点，或者2枚都是2点4．一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6.现从中随机取出2个球，以ξ表示取出的球的最大号码，则“ξ＝6”表示的试验结果是___________________．【课堂小结】1．所谓的随机变量就是试验结果和实数之间的一个对应关系，随机变量是将试验的结果数量化，变量的取值对应于随机试验的某一个随机事件．2．写随机变量表示的结果，要看三个特征：（1）可用数来表示；（2）试验之前可以判断其可能出现的所有值；（3）在试验之前不能确定取值.【课后作业】一、基础过关1．袋中有2个黑球6个红球，从中任取两个，可以作为随机变量的是() A．取到的球的个数B．取到红球的个数C．至少取到一个红球D．至少取到一个红球的概率2．①某电话亭内的一部电话1小时内使用的次数记为X；②某人射击2次，击中目标的环数之和记为X；③测量一批电阻，在950 Ω～1 200 Ω之间的阻值记为X；④一个在数轴上随机运动的质点，它在数轴上的位置记为X.其中是离散型随机变量的是()A．①②B．①③C．①④D．①②④3．袋中装有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，现在在有放回取出的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量ξ，则ξ所有可能取值的个数是()A．5 B．9C．10 D．254．某人射击的命中率为p(0<p<1)，他向一目标射击，当第一次射中目标则停止射击，射击次数的取值是()A．1,2,3，…，n B．1,2,3，…，n，…C．0,1,2，…，n D．0,1,2，…，n，…5．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则“ξ＝5”表示的试验结果是()A．第5次击中目标B．第5次未击中目标C．前4次均未击中目标D．第4次击中目标6．一木箱中装有8个同样大小的篮球，编号为1,2,3,4,5,6,7,8，现从中随机取出3个篮球，以ξ表示取出的篮球的最大号码，则ξ＝8表示的试验结果有________种．二、能力提升7．如果X是一个离散型随机变量且η＝aX＋b，其中a，b是常数且a≠0，那么η() A．不一定是随机变量B．一定是随机变量，不一定是离散型随机变量C．一定是连续型随机变量D．一定是离散型随机变量8．在8件产品中，有3件次品，5件正品，从中任取一件，取到次品就停止，抽取次数为ξ，则ξ＝3表示的试验结果是__________________9．在一次考试中，某位同学需回答三个问题，考试规则如下：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则这名同学回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值是________．10．一用户在打电话时忘记了最后3个号码，只记得最后3个数两两不同，且都大于5.于是他随机拨最后3个数(两两不同)，设他拨到正确号码的次数为X，随机变量X的可能值有________个．11．设一汽车在开往目的地的道路上需经过5盏信号灯，ξ表示汽车首次停下时已通过的信号灯的盏数，写出ξ所有可能取值并说明这些值所表示的试验结果．12．某车间两天内每天生产10件某产品，其中第一天、第二天分别生产了1件、2件次品，而质检部门每天要在生产的10件产品中随机抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过．若厂内对车间生产的产品采用记分制，两天全不通过检查得0分，通过一天、两天分别得1分、2分，设该车间在这两天内总得分为ξ，写出ξ的可能取值．三、探究与拓展13．小王钱夹中只剩有20元、10元、5元、2元和1元的人民币各一张．他决定随机抽出两张，用来买晚餐，用X表示这两张金额之和．写出X的可能取值，并说明所取值表示的随机试验结果§2.1.2离散型随机变量的分布列(一)【学习要求】1．在对具体问题的分析中，理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念．认识分布列对于刻画随机现象的重要性．2．掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质．【学法指导】离散型随机变量的分布列可以完全描述随机变量所刻画的随机现象，利用分布列可以计算随机变量所表示的事件的概率.【知识要点】1．定义：一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，x i，…，x n，X取每一个值x i (i＝1,2，…，n)的概率此表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的．2．离散型随机变量的分布列的性质：（1）p i 0，i ＝1,2,3，…，n ；（2）∑ni ＝1p i ＝ .【问题探究】探究点一 离散型随机变量的分布列的性质问题1 对于一个随机试验，仅知道试验的可能结果是不够的，还要能把握每一个结果发生的概率．请问抛掷一枚骰子，朝上的一面所得点数有哪些值？取每个值的概率是多少？问题2 离散型随机变量X 的分布列刻画的是一个函数关系吗？有哪些表示法？ 问题3 离散型随机变量的分布列有哪些性质？例1 设随机变量X 的分布列P ⎝⎛⎭⎫X ＝k5＝ak (k ＝1,2,3,4,5)． （1）求常数a 的值； （2）求P ⎝⎛⎭⎫X ≥35； （3）求P ⎝⎛⎭⎫110<X <710. 小结 离散型随机变量的分布列的性质可以帮助我们求题中参数a ，然后根据互斥事件的概率加法公式求得概率．跟踪训练1 （1试说明该同学的计算结果是否正确．（2）设ξ①求q 的值；②求P (ξ<0)，P (ξ≤0)．探究点二 求离散型随机变量的分布列例2 将一颗骰子掷两次，求两次掷出的最大点数ξ的分布列．小结 （1）求离散型随机变量的分布列关键是搞清离散型随机变量X 取每一个值时对应的随机事件，然后利用排列、组合知识求出X 取每个值的概率，最后列出分布列．（2）求离散型随机变量X 的分布列的步骤是：首先确定X 的所有可能的取值；其次，求相应的概率P (X ＝x i )＝p i ；最后列成表格的形式．跟踪训练2 将一颗骰子掷2次，求下列随机事件的分布列． （1）两次掷出的最小点数Y ；（2）第一次掷出的点数减去第二次掷出的点数之差ξ.【当堂检测】1．下列表中可以作为离散型随机变量的分布列的是( )ABCD2．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝i )＝a ⎝⎛⎭⎫13i，i ＝1,2,3，则a 的值为 ( ) A ．1B ．913C ．2713D ．11133．将一枚硬币扔三次，设X 为正面向上的次数，则P (0<X <3)＝________.4．一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，已知红球个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球个数的一半．现从该盒中随机取出一个球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得－1分，试写出从该盒中取出一球所得分数ξ的分布列．【课堂小结】1．离散型随机变量的分布列，不仅能清楚地反映其所取的一切可能的值，而且能清楚地看到每一个值的概率的大小，从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布情况．2．一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.【课后作业】一、基础过关1．若随机变量X( )A ．1B ．12C ．13D ．162．设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝m ⎝⎛⎭⎫23k，k ＝1,2,3，则m 的值为( )A ．1718B ．2738C ．1719D ．27193．抛掷2颗骰子，所得点数之和ξ是一个随机变量，则P (ξ≤4)等于( ) A ．16 B ．13 C ．12D ．234．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出1个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数为随机变量ξ，则ξ的可能取值为( )A ．1,2,3，…，6B ．1,2,3，…，7C ．0,1,2，…，5D ．1,2，…，5 5．随机变量ξ的所有可能取值为1,2，…，n ，若P (ξ<4)＝0.3，则 ( ) A ．n ＝3B ．n ＝4C ．n ＝10D ．不能确定6．抛掷两次骰子，两次点数的和不等于8的概率为 ( )A ．1112B ．3136C ．536D ．1127．设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝Ck (k ＋1)，k ＝1,2,3，C 为常数，则P (0.5<X <2.5)＝________.二、能力提升8．已知随机变量ξ只能取三个值x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则该等差数列公差的取值范围是( )A ．⎣⎡⎦⎤0，13B ．⎣⎡⎦⎤－13，13C ．[－3,3]D ．[0,1]9．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，其分布列为P (X )，则P (X ＝4)的值为( )A ．1220B ．2755C ．27220D ．212510．盒中装有大小相等的10个球，编号分别是0,1,2，…，9，从中任取1个，观察号码是“小于5”“等于5”“大于5”三类情况之一，求其概率分布列．11．已知随机变量ξ（1）求η1＝12ξ的分布列；（2）求η2＝ξ2的分布列．12．从4张已编号(1～4号)的卡片中任意取出2张，取出的卡片号码数之和为X .求随机变量X 的分布列．三、探究与拓展13．安排四名大学生到A ，B ，C 三所学校支教，设每名大学生去任何一所学校是等可能的．（1）求四名大学生中恰有两人去A 校支教的概率； （2）设有大学生去支教的学校的个数为ξ，求ξ的分布列．§2.1.2 离散型随机变量的分布列(二)【学习要求】1．进一步理解离散型随机变量的分布列的求法、作用.2．理解两点分布和超几何分布．【学法指导】两点分布是常见的离散型随机变量的概率分布，如某队员在比赛中能否胜出，某项科学试验是否成功，都可用两点分布来研究．在产品抽样检验中，一般采用不放回抽样，则抽到次品数服从超几何分布；在实际工作中，计算次品数为k 的概率，由于涉及产品总数，计算比较复杂，因而，当产品数较大时，可用后面即将学到的二项分布来代替．【知识要点】1则称离散型随机变量X 服从2．一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n －k N －MC nN，k ＝0,1,2，…，m ，其中*为 ．如果随机变量X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量X 服从【问题探究】探究点一 两点分布问题1 利用随机变量研究一类问题，如抽取的奖券是否中奖，买回的一件产品是否为正品，新生婴儿的性别，投篮是否命中等，这些有什么共同点？问题2 只取两个不同值的随机变量是否一定服从两点分布？例1 袋中有红球10个，白球5个，从中摸出2个球，如果只关心摸出两个红球的情形，问如何定义随机变量X ，才能使X 满足两点分布，并求分布列．小结 两点分布中只有两个对应的结果，因此在解答此类问题时，应先分析变量是否满足两点分布的条件，然后借助概率的知识，给予解决．跟踪训练1 设某项试验成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述1次试验的成功次数，则P (ξ＝0)等于 ( ) A ．0B ．12C ．13D ．23探究点二 超几何分布问题 超几何分布适合解决什么样的概率问题？例2 从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回任取3 件，求取得次品数为ξ的分布列．跟踪训练2 某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X 表示其中的男生人数． （1）求X 的分布列；（2）求至少有2名男生参加数学竞赛的概率． 探究点三 实际应用例3 在一次购物抽奖活动中，假设某10张奖券中有一等奖券1张，可获得价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖，某顾客从这10张中任抽2张，求： （1）该顾客中奖的概率；（2）该顾客获得的奖品总价值X (元)的分布列．小结 此类题目中涉及的背景多数是生活、生产实践中的问题，如产品中的正品和次品，盒中的白球和黑球，同学中的男生和女生等，分析题意，判断其中的随机变量是否服从超几何分布是解决此类题目的关键． 跟踪训练3 交5元钱，可以参加一次摸奖，一袋中有同样大小的球10个，其中8个标有1元钱，2个标有5元钱，摸奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽2球的钱数之和，求抽奖人所得钱数的分布列．【当堂检测】1．今有电子元件50个，其中一级品45个，二级品5个，从中任取3个，出现二级品的概率为 ( ) A ．C 35C 350B ．C 15＋C 25＋C 35C 350 C ．1－C 345C 350D ．C 15C 25＋C 25C 145C 3502．一个箱内有9张票，其号数分别为1,2,3，…，9，从中任取2张，其号数至少有一个为奇数的概率是 ( )A ．13B ．12C ．16D ．563．在掷一枚图钉的随机试验中，令X ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，针尖向上0，针尖向下，如果针尖向上的概率为0.8，试写出随机变量X 的分布列为___________4．袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P (ξ≤6)＝________【课堂小结】1．两点分布两点分布是很简单的一种概率分布，两点分布的试验结果只有两种可能，要注意成功概率的值指的是哪一个量．2．超几何分布超几何分布在实际生产中常用来检验产品的次品数，只要知道N 、M 和n 就可以根据公式：P (X ＝k )＝C k M C n －k N －MC nN求出X 取不同值k 时的概率．学习时，不能机械地去记忆公式，而要结合条件以及组合知识理解M 、N 、n 、k 的含义．【课后作业】一、基础过关1．在100张奖券中，有4张能中奖，从中任取2张，则2张都能中奖的概率是 ( )A ．150B ．125C ．1825D ．14 9502．从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张是A 的概率为( )A ．C 34C 248C 552B ．C 348C 24C 552 C ．1－C 148C 44C 552D ．C 34C 248＋C 44C 148C 5523．一个盒子里装有相同大小的10个黑球，12个红球，4个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为X ，则下列概率等于C 122C 14＋C 22C 226的是 ( )A ．P (0<X ≤2)B ．P (X ≤1)C ．P (X ＝1)D ．P (X ＝2) 4．在3双皮鞋中任意抽取两只，恰为一双鞋的概率为( )A ．15B ．16C ．115D ．135．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以710为概率的事件是( )A ．都不是一等品B ．恰有一件一等品C ．至少有一件一等品D ．至多有一件一等品 6．若离散型随机变量X 的分布列为：则c ＝________. 二、能力提升7．从只有3张中奖的10张彩票中不放回随机逐张抽取，设X 表示直至抽到中奖彩票时的次数，则P (X ＝3)等于( )A ．310B ．710C ．2140D ．7408．若随机变量X 服从两点分布，且P (X ＝0)＝0.8，P (X ＝1)＝0.2.令Y ＝3X －2，则P (Y ＝－2)＝____. 9．有同一型号的电视机100台，其中一级品97台，二级品3台，从中任取4台，则二级品不多于1台的概率为________．(用式子表示)10．老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：（1）抽到他能背诵的课文的数量的分布列； （2）他能及格的概率．11．已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和．求X的分布列．三、探究与拓展12．袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3个小球上的最大数字，求：（1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；（2）随机变量X的分布列；（3）计算介于20分到40分之间的概率．§2.2.1条件概率【学习要求】1．理解条件概率的定义．2．掌握条件概率的计算方法．3．利用条件概率公式解决一些简单的实际问题．【学法指导】理解条件概率可以以简单事例为载体，先从古典概型出发求条件概率，然后再进行推广；计算条件概率可利用公式P(B|A)＝P(AB)P(A)，也可以利用缩小样本空间的观点计算.【知识要点】1．条件概率的概念设A，B为两个事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率．P(B|A)读作发生的条件下发生的概率．2．条件概率的性质（1）P(B|A)∈．（2）如果B与C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝.【问题探究】探究点一条件概率问题13张奖券中只有1张能中奖，现分别由3名同学无放回地抽取，问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比其他同学小？问题2如果已知第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到中奖奖券的概率是多少？问题3怎样计算条件概率？问题4若事件A、B互斥，则P(B|A)是多少？例1在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2道题，求：（1）第1次抽到理科题的概率；（2）第1次和第2次都抽到理科题的概率；（3）在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．小结利用P(B|A)＝n ABn A解答问题的关键在于明确B中的基本事件空间已经发生了质的变化，即在A事件必然发生的前提下，B事件包含的样本点数即为事件AB包含的样本点数．跟踪训练1一个盒子中有6个白球、4个黑球，每次从中不放回地任取1个，连取两次，求第一次取到白球的条件下，第二次取到黑球的概率．探究点二条件概率的性质及应用问题条件概率满足哪些性质？例2一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从0～9中任选一个．某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：（1）任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率；（2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率．小结本题条件多，所设事件多，要分清楚事件之间的关系及谁是条件，同时利用公式P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)可使有些条件概率的计算较为简捷，但应注意这个性质在“B与C互斥”这一前提下才成立．跟踪训练2在某次考试中，从20道题中随机抽取6道题，若考生至少能答对其中的4道即可通过；若至少能答对其中5道就获得优秀．已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率．【当堂检测】1．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于()A．18B．14C．25D．122．某人一周晚上值班2次，在已知他周日一定值班的条件下，则他在周六晚上值班的概率为________ 3．设某种动物能活到20岁的概率为0.8，能活到25岁的概率为0.4，现有一只20岁的这种动物，问它能活到25岁的概率是_______4．考虑恰有两个小孩的家庭．若已知某家有男孩，求这家有两个男孩的概率；若已知某家第一个是男孩，求这家有两个男孩(相当于第二个也是男孩)的概率．(假定生男生女为等可能)【课堂小结】1．条件概率：P(B|A)＝P(AB)P(A)＝n(AB)n(A).2．概率P(B|A)与P(AB)的区别与联系：P(AB)表示在样本空间Ω中，计算AB发生的概率，而P(B|A)表示在缩小的样本空间ΩA中，计算B发生的概率．用古典概型公式，则P(B|A)＝AB中样本点数ΩA中样本点数，P(AB)＝AB中样本点数Ω中样本点数.【课后作业】一、基础过关1．若P (A )＝34，P (B |A )＝12，则P (AB )等于( )A ．23B ．38C ．13D ．582．盒中装有10只乒乓球，其中6只新球，4只旧球，不放回地依次取出2只球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为( ) A ．59 B ．110C ．35D ．253．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是415，刮风的概率为215，既刮风又下雨的概率为110，则在下雨天里，刮风的概率为( )A ．8225B ．12C ．38D ．344．某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好任意去试拨，他第一次失败、第二次成功的概率是 ( )A ．110B ．210C ．810D ．9105．某地一农业科技实验站，对一批新水稻种子进行试验，已知这批水稻种子的发芽率为0.8，出芽后的幼苗成活率为0.9，在这批水稻种子中，随机地抽取一粒，则这粒水稻种子能成长为幼苗的概率为 ( ) A ．0.02B ．0.08C ．0.18D ．0.726．有一匹叫Harry 的马，参加了100场赛马比赛，赢了20场，输了80场．在这100场比赛中，有30场是下雨天，70场是晴天．在30场下雨天的比赛中，Harry 赢了15场．如果明天下雨，Harry 参加赛马的赢率是 ( )A ．15B ．12C ．34D ．3107．从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张，将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞，则第2张也是假钞的概率为( )A ．119B ．1738C ．419D ．217二、能力提升8．一个袋中装有7个大小完全相同的球，其中4个白球，3个黄球，从中不放回地摸4次，一次摸一球，已知前两次摸得白球，则后两次也摸得白球的概率为________．9．以集合A ＝{2,4,6,7,8,11,12,13}中的任意两个元素分别为分子与分母构成分数，已知取出的一个数是12，则取出的数构成可约分数的概率是________．10．抛掷红、蓝两枚骰子，设事件A 为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B 为“两枚骰子的点数之和大于8”．（1）求P (A )，P (B )，P (AB )；（2）当已知蓝色骰子点数为3或6时，问两枚骰子的点数之和大于8的概率为多少？11．把外形相同的球分装三个盒子，每盒10个．其中，第一个盒子中有7个球标有字母A,3个球标有字母B ；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中则有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A 的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B 的球，则在第三个盒子中任取一个球．如果第二次取出的是红球，则称试验为成功．求试验成功的概率．三、探究与拓展12．某生在一次口试中，共有10题供选择，已知该生会答其中6题，随机从中抽5题供考生回答，答对3题及格，求该生在第一题不会答的情况下及格的概率．§2.2.2 事件的相互独立性【学习要求】1．在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念．2．能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题．【学法指导】相互独立事件同时发生的概率可以和条件概率对比理解，事件独立可以简化概率计算，学习中要结合实例理解.【知识要点】1．相互独立的概念设A ，B 为两个事件，若P (AB )＝ ，则称事件A 与事件B 相互独立． 2．相互独立的性质如果事件A 与B 相互独立，那么A 与 ， 与B ， 与 也都相互独立．【问题探究】探究点一 相互独立事件的概念问题1 3张奖券只有1张能中奖，3名同学有放回地抽取．事件A 为“第一名同学没有抽到中奖奖券”，事件B 为“第三名同学抽到中奖奖券”，事件A 的发生是否会影响B 发生的概率？问题2 在问题1中求P (A )、P (B )及P (AB )，观察它们有何关系？总结相互独立事件的定义． 问题3 互斥事件与相互独立事件有什么区别？问题4 若A 与B 是相互独立事件，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立，如何证明？例1 (1)甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A ：“甲击中目标”，事件B ：“乙击中目标”，则事件A 与事件B ( )A ．相互独立但不互斥B ．互斥但不相互独立C ．相互独立且互斥D ．既不相互独立也不互斥（2）掷一颗骰子一次，设事件A ：“出现偶数点”，事件B ：“出现3点或6点”，则事件A ，B 的关系是 ( )A ．互斥但不相互独立B ．相互独立但不互斥。

8．2.7 离散型随机变量的方差[读教材·填要点]1．离散型随机变量X 的方差与标准差(1)当离散型随机变量X 有概率分布，p j ＝P (X ＝x j )，j ＝0,1，…，n 和数学期望μ＝E (X )时，就称D (X )＝(x 1－μ)2p 1＋(x 2－μ)2p 2＋…＋(x n －μ)2p n 为X 的方差，称D (X )为X 的标准差．(2)X 的方差描述了随机变量X 向它的数学期望集中的程度，方差越小，X 向数学期望μ集中的越好．(3)如果X 是从某个总体中通过随机抽样得到的个体，X 的方差D (X )就是总体方差σ2，X 的数学期望E (X )就是总体均值μ.2．几个常见方差的计算公式(1)若Y ＝aX ＋b ，a ，b 为常数，即D (aX ＋b )＝a 2D (X )； (2)当X 服从二点分布(1，p )时，D (X )＝p (1－p )； (3)当X 服从二项分布B (n ，p )时，D (X )＝np (1－p )； (4)当X 服从超几何分布H (N，M ，n )时，D (X )[小问题·大思维]1．离散型随机变量的方差与样本的方差都是变量吗？提示：样本的方差随样本的不同而变化，是一个随机变量，而离散型随机变量的方差是通过大量试验得出的，刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度，因此它是一个常数而非变量．2．D (X )的取值范围是什么？若b 为常数，则D (b )为何值？ 提示：①因为D (X )＝∑i ＝1n(x i －E (X ))2p i ，其中(x i －E (X ))2≥0，p i ≥0， 所以D (X )的取值范围为[0，＋∞)．②因为b 为常数，所以x 1＝x 2＝…＝x n ＝E (X )＝b ， 故D (b )＝0.3．D (X )与X 的单位之间有什么关系？提示：D (X )的单位是X 的单位的平方．[例1] (1)则D (X )等于( )A.2912B.121144C.179144D.1712(2)一出租车司机从某饭店到火车站途中有6个交通岗， 假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的， 并且概率是13.①求这位司机遇到红灯数X 的期望与方差；②若遇上红灯， 则需等待30秒， 求司机总共等待时间Y 的期望与方差．[解析] (1)选C 由题意知，E (X )＝1×14＋2×13＋3×16＋4×14＝2912，故D (X )＝⎝⎛⎭⎫1－29122×14＋⎝⎛⎭⎫2－29122×13＋⎝⎛⎭⎫3－29122×16＋⎝⎛⎭⎫4－29122×14＝179144. (2)解：①易知司机遇上红灯次数X 服从二项分布， 且X ～B ⎝⎛⎭⎫6， 13， ∴E (X )＝6×13＝2，D (X )＝6×13×⎝⎛⎭⎫1－13＝43. ②由已知Y ＝30X ，∴E (Y )＝30E (X )＝60，D (Y )＝900D (X )＝1 200.由离散型随机变量的概率分布求其方差时，应首先计算数学期望，然后代入方差公式求解即可．但需要注意，如果能利用性质运算，先考虑性质运算，可避免繁琐的运算，提高解题效率．1．某运动员投篮命中率p ＝0.8，则该运动员在一次投篮中命中次数X 的方差为________．解析：依题意知X 服从两点分布， 所以D (X )＝0.8×(1－0.8)＝0.16. 答案：0.162．一个口袋中装有大小相同的2个白球和4个黑球．采取不放回抽样方式，从中摸出两个球，求摸得白球的个数的期望和方差．解：设摸得白球的个数为X ， 依题意得P (X ＝0)＝C 24C 26＝25，P (X ＝1)＝C 12C 14C 26＝815，P (X ＝2)＝C 22C 26＝115.所以E (X )＝0×25＋1×815＋2×115＝23，D (X )＝⎝⎛⎭⎫0－232×25＋⎝⎛⎭⎫1－232×815＋⎝⎛⎭⎫2－232×115＝1645⎝ ⎛⎭⎪⎫或D (X )＝2×26×⎝⎛⎭⎫1－26×6－26－1＝1645.[例2] (1)( ) A ．6,2.4 B ．2,2.4 C ．2,5.6D ．6,5.6(2)已知X 是离散型随机变量，P (X ＝1)＝23，P (X ＝a )＝13，E (X )＝43，则D (2X －1)＝( )A.13 B ．－19C.43D.89[解析] (1)∵X ～B (10,0.6)，∴E (X )＝10×0.6＝6，D (X )＝10×0.6×(1－0.6)＝2.4， ∴E (η)＝8－E (X )＝2，D (η)＝(－1)2D (X )＝2.4. (2)由题意，知1×23＋a ×13＝43，解得a ＝2，∴D (X )＝⎝⎛⎭⎫1－432×23＋⎝⎛⎭⎫2－432×13＝29，∴D (2X －1)＝22 D (X )＝4×29＝89.[答案] (1)B (2)D求随机变量函数Y ＝aX ＋b 方差的方法求随机变量函数Y ＝aX ＋b 的方差，一种是先求Y 的分布列，再求其均值，最后求方差；另一种是应用公式D (aX ＋b )＝a 2D (X )求解．3．已知η的分布列为(1)求η(2)设Y ＝2η－E (η)，求D (Y )．解：(1)∵E (η)＝0×13＋10×25＋20×115＋50×215＋60×115＝16，∴D (η)＝(0－16)2×13＋(10－16)2×25＋(20－16)2×115＋(50－16)2×215＋(60－16)2×115＝384，D (η)＝8 6.(2)∵Y ＝2η－E (η)，∴D (Y )＝D (2η－E (η))＝22D (η)＝4×384＝1 536.[例3] 别为X 、Y ，X 和Y 的概率分布如下表：试对这两名工人的技术水平进行比较．[解] 工人甲生产出次品数X 的期望和方差分别为：E(X)＝0×610＋1×110＋2×310＝0.7，D(X)＝(0－0.7)2×610＋(1－0.7)2×110＋(2－0.7)2×310＝0.81；工人乙生产出次品数Y的期望和方差分别为：E(Y)＝0×510＋1×310＋2×210＝0.7，D(Y)＝(0－0.7)2×510＋(1－0.7)2×310＋(2－0.7)2×210＝0.61.由E(X)＝E(Y)知，两人生产出次品的平均数相同，技术水平相当，但D(X)>D(Y)，可见乙的技术比较稳定．离散型随机变量的期望反映了随机变量取值的平均水平，而方差反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．因此在实际决策问题中，需先运算均值，看一下谁的平均水平高，然后再计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定，当然不同的模型要求不同，应视情况而定．4．甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等，而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为：甲保护区：乙保护区：解：甲保护区违规次数X的数学期望和方差为E(X)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3，D(X)＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21.乙保护区的违规次数Y的数学期望和方差为：E(Y)＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3，D(Y)＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41.因为E (X )＝E (Y )，D (X )＞D (Y )，所以两个保护区内每个季度发生的违规事件的平均次数相同，但甲保护区的违规事件次数相对分散和波动，乙保护区内的违规事件次数更加集中和稳定.第一种方案：李师傅的儿子认为：根据股市收益大的特点，应该将10万元全部用来买股票．据分析预测：投资股市一年可能获利40%，也可能亏损20%(只有这两种可能)，且获利的概率为12.第二种方案：李师傅认为：现在股市风险大，基金风险较小，应将10万元全部用来买基金．据分析预测：投资基金一年后可能获利20%，可能损失10%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35，15，15.第三种方案：李师傅的妻子认为：投资股市、基金均有风险，应该将10万元全部存入银行一年，现在存款年利率为4%，存款利息税率为5%.针对以上三种投资方案，请你为李师傅家选择一种合理的理财方案，并说明理由． [尝试] [巧思] 合理的理财方案应满足两个条件：①获利高；②稳妥性强．因此可从数学期望和方差两个方面考虑．优先选择期望值较大的方案，若期望值相同应考虑选择方差较小的方案．[妙解] 若按方案一执行，设收益为X 万元，则其概率分布为E (X )＝4×12＋(－2)×12＝1万元．若按方案二执行，设收益为Y 万元，则其概率分布为：∴E (Y )＝2×35＋0×15＋(－1)×15＝1万元．若按方案三执行，收益y ＝10×4%×(1－5%)＝0.38万元． 又E (X )＝E (Y )>y .D (X )＝(4－1)2×12＋(－2－1)2×12＝9，D (Y )＝(2－1)2×35＋(0－1)2×15＋(－1－1)2×15＝85.由上知D (X )>D (Y )．这说明虽然方案一、方案二收益相等，但方案二更稳定．所以建议李师傅家选择方案二投资较为合理．1．下列说法中，正确的是( )A ．随机变量的期望E (X )反映了X 取值的概率平均值B ．随机变量的方差D (X )反映了X 取值的平均水平C ．随机变量的期望E (X )反映了X 取值的平均水平D ．随机变量的方差D (X )反映了X 取值的概率平均值解析：选C 离散型随机变量X 的期望反映了随机变量取值的平均水平，随机变量的方差反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．2．已知X ～B (n ，p )，E (X )＝8，D (X )＝1.6，则n 与p 的值分别是( ) A ．n ＝100，p ＝0.08 B ．n ＝20，p ＝0.4 C ．n ＝10，p ＝0.2D ．n ＝10，p ＝0.8解析：选D 由于X ～B (n ，p )，E (X )＝8，D (X )＝1.6. 所以np ＝8，np (1－p )＝1.6，解之得n ＝10，p ＝0.8.3．已知离散型随机变量X 的概率分布为：P (X ＝k )＝13，k ＝1,2,3，则D (3X ＋5)等于( )A ．3B ．6C ．9D ．4解析：选B ∵E (X )＝(1＋2＋3)×13＝2，D (X )＝[(1－2)2＋(2－2)2＋(3－2)2]×13＝23，∴D (3X ＋5)＝9D (X )＝6.4．同时抛掷两枚均匀的硬币10次，若两枚硬币同时出现反面的次数为X ，则D (X )＝________.解析：因为两枚硬币同时出现反面的概率为12×12＝14，故X ～B ⎝⎛⎭⎫10，14，因此D (X )＝10×14×⎝⎛⎭⎫1－14＝158. 答案：1585．已知离散型随机变量X 的概率分布如下表所示，则X 的方差为________.解析：由条件知，x ＝0.5.E (X )＝1×0.4＋3×0.1＋5×0.5＝3.2，∴D (X )＝(1－3.2)2×0.4＋(3－3.2)2×0.1＋(5－3.2)2×0.5＝3.56. 答案：3.566．设X 是随机变量，P (X ＝a )＝23，P (X ＝b )＝13，且a <b .又E (X )＝43，D (X )＝29，求a ＋b 的值．解：由题意知，⎩⎨⎧23a ＋13b ＝43，23×⎝⎛⎭⎫a －432＋13×⎝⎛⎭⎫b －432＝29，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2或⎩⎨⎧a ＝53，b ＝23.又a <b ，所以a ＝1，b ＝2，a ＋b ＝3.一、选择题1．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本方差分别为D (X甲)＝11，D (X 乙)＝3.4.由此可以估计( ) A ．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐 B ．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐 C ．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同 D ．甲、乙两种水稻分蘖整齐不能比较 解析：选B ∵D (X 甲)>D (X 乙) ∴乙种水稻比甲种水稻整齐．2．随机变量X 的概率分布为P (X ＝k )＝p k q 1－k (k ＝0,1，p ＋q ＝1)，则E (X )与D (X )依次为( )A ．0和1B ．p 和p 2C ．p 和1－pD ．p 和p (1－p )解析：选D 根据题意，E (X )＝0×q ＋1×p ＝p ，D (X )＝(0－p )2q ＋(1－p )2p ＝p (1－p )，或可以判断随机变量X 满足两点分布，所以E (X )与D (X )依次为p 和p (1－p )．3．已知X 服从二项分布B (n ，p )，且E (3X ＋2)＝9.2，D (3X ＋2)＝12.96，则二项分布的参数n ，p 的值为( )A ．n ＝4，p ＝0.6B ．n ＝6，p ＝0.4C ．n ＝8，p ＝0.3D ．n ＝24，p ＝0.1解析：选B 由E (3X ＋2)＝3E (X )＋2，D (3X ＋2)＝9D (X )，当X ～B (n ，p )时，E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )可知⎩⎪⎨⎪⎧ 3np ＋2＝9.2，9np (1－p )＝12.96，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＝6，p ＝0.4.4．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝C k n ⎝⎛⎭⎫23k ·⎝⎛⎭⎫13n －k ，k ＝0,1,2，…，n ，且E (ξ)＝24，则D (ξ)的值为( )A ．8B ．12 C.29D ．16解析：选A 由题意可知ξ～B ⎝⎛⎭⎫n ，23，∴23n ＝E (ξ)＝24，∴n ＝36，∴D (ξ)＝n ×23×⎝⎛⎭⎫1－23＝29×36＝8. 二、填空题5．随机变量X 的概率分布为：其中a ，b ，c 成等差数列，若E (X )＝13，则D (X )的值是________．解析：E (X )＝－1×a ＋0×b ＋1×c ＝c －a ＝13，又a ＋b ＋c ＝1，且2b ＝a ＋c ， ∴a ＝16，b ＝13，c ＝12.∴D (X )＝⎝⎛⎭⎫－1－132×16＋⎝⎛⎭⎫0－132×13＋⎝⎛⎭⎫1－132×12＝59.答案：596．一次数学测验由25道选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每个答案选择正确得4分，不作出选择或选错不得分，满分100分，某学生选对任一题的概率为0.6，则此学生在这一次测验中的成绩的均值与方差分别为________．解析：设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为X ，所得的分数(成绩)为Y ，则Y ＝4X .由题知X ～B (25,0.6)，所以E (X )＝25×0.6＝15，D (X )＝25×0.6×0.4＝6，E (Y )＝E (4X )＝4E (X )＝60，D (Y )＝D (4X )＝42×D (X )＝16×6＝96，所以该学生在这次测验中的成绩的均值与方差分别是60与96.答案：60,967．若X 是离散型随机变量，P (X ＝x 1)＝23，P (X ＝x 2)＝13，且x 1<x 2，又知E (X )＝49，D (X )＝2，则x 1＋x 2＝________.解析：由题意可得：E (X )＝23x 1＋13x 2，D (X )＝⎝⎛⎭⎫x 1－492×23＋⎝⎛⎭⎫x 2－492×13， ∴⎩⎨⎧23x 1＋13x 2＝49，⎝⎛⎭⎫x 1－492×23＋⎝⎛⎭⎫x 2－492×13＝2.解得x 1＋x 2＝179. 答案：1798．随机变量X 的概率分布如下表，若E (X )＝0，D (X )＝1，则a ＝________，b ＝________.解析：由题意⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＋112＝1，－a ＋c ＋16＝0，a ×1＋c ×1＋4×112＝1.解得a ＝512，b ＝c ＝14.答案：512 14三、解答题9．编号1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是X .(1)求随机变量X 的概率分布； (2)求随机变量X 的数学期望和方差． 解：(1)P (X ＝0)＝2A 33＝13；P (X ＝1)＝C 13A 33＝12；P (X ＝3)＝1A 33＝16. ∴概率分布为：(2)E (X )＝1×12＋3×16＝1.D (X )＝(1－0)2×13＋(1－1)2×12＋(3－1)2×16＝1.10．甲、乙两名射手各打了10发子弹，其中甲击中环数与次数如表：(1)(2)比较甲、乙射击水平的优劣． 解：(1)p ＝0.4.设甲、乙击中的环数分别为X1、X2，则P(X1＝8)＝110＝0.1，P(X1＝9)＝210＝0.2，P(X1＝10)＝410＝0.4，P(X2＝8)＝0.3，P(X2＝9)＝0.4，P(X2＝10)＝0.1，所以甲、乙各打一枪击中18环的概率为：P＝0.1×0.1＋0.3×0.4＋0.2×0.4＝0.21.(2)甲的期望为E(X1)＝5×0.1＋6×0.1＋7×0.1＋8×0.1＋9×0.2＋10×0.4＝8.4，乙的期望为E(X2)＝7×0.2＋8×0.3＋9×0.4＋10×0.1＝8.4.甲的方差为D(X1)＝(5－8.4)2×0.1＋(6－8.4)2×0.1＋(7－8.4)2×0.1＋(8－8.4)2×0.1＋(9－8.4)2×0.2＋(10－8.4)2×0.4＝3.04，乙的方差为D(X2)＝(7－8.4)2×0.2＋(8－8.4)2×0.3＋(9－8.4)2×0.4＋(10－8.4)2×0.1＝0.84.所以D(X1)>D(X2)，乙比甲技术稳定.。

活页作业（十九）列联表独立性分析案例農础巩固、选择题1 . 对于因素X 与Y 的随机变量X 的值，下列说法正确的是 ( ) A. X 越大，“X 与Y 有关系的可信程度越小B. X 越小，“X 与Y 有关系的可信程度越小C. X 越接近于0,“ X 与Y 没有关系”的可信程度越小D. X 越大，“X 与Y 没有关系”的可信程度越大解析：X 越大， “ X 与Y 没有关系”的可信程度越小，则 “X 与Y 有关系”的可信程度越大，即X 越小，“X 与Y 有关系”的可信程度越小.答案：B 2.两个分类变量 X 和Y ,值域分别为｛X i , X 2｝和｛Y i , 丫2｝，其样本频数分别是 a = 10, b = 21, c + d = 35•若X 与Y 有关系的可信程度为 90%，则c 等于（）A . 4B . 5C . 6••• c = 5时，X 与Y 有关系的可信程度为 90%，而其余的值c = 4, c = 6, c = 7皆不满足. 答案：B3.关于两个分类变量 A , B的下列说法中，正确的个数为 （）① A 与B 相关性越大，则 X 的值就越大； ② A 与B 无关，即A 与B 互不影响；③ X 的大小是判定A 与B 是否相关的唯一依据.C . 3D . 0解析：①正确，X 的值的大小是用来检验 A 与B 的相关性的,解析：当c = 5时,15X 51 X 31 X 353.023 6 > 2.706.X 的值越大，A 与B 的相关性越大•②正确,答案：BA 与B 无关即A 与B 相互独立.③不正确.4•为了探究学生的学习成绩是否与学习时间长短有关，在调查的 500名学习时间较长 的学生中有39名学习成绩比较好，500名学习时间较短的学生中有 6名学习成绩比较好,那么你认为学生的学习成绩与学习时间长短有关的把握为（ ）B . 95%C . 99%解析：计算出X 与两个临界值比较,D .都不正确1 000 X 39 X 494 — 6 X46145 X 955 X 500 X 500 25.340 3 > 6.635.66X 10X 30— 5X 21所以有99%的把握说学生的学习成绩与学习时间长短有关.故选答案：C 二、填空题25. _____________________ 独立性检验中，两个分类变量“ X 和Y 有关系”的可信程度是 97.5% ,则随机变量x 的取值范围是 .解析：当X >5.024时，有97.5%的把握判断 X 与Y 有关系；当 ；>6.635时，有99%的 把握判断X 与Y 有关系.••• 5.024<6.635.答案：（5.024,6.635]6. ____________ 有两个分类变量 X 与Y ,有一组观测的2 X 2列联表如下，其中，a,15-a 均为大于 5的整数，贝U a = 时，有90%以上的把握认为“ X 与Y 之间有关系”.解析：要使有90%以上的X 与Y 之间有关系，贝U —X 2.706,2 2即 X=西回30土切二（20-a I15 -a L =貨（伽-6°）〉2 706 20X 45X 15X 50 60X 90 ''解得 a > 7.19 或 a v 2.04.又因为 a >5，且 15- a >5, a € Z ,所以当a 取8或9时，有90%以上的把握认为 “X 与Y 之间有关系”. 答案：8或9 三、解答题7. 考察小麦种子经过灭菌与否跟发生黑穗病的关系.经试验观察，得到数据如下表所 示：试根据上述数据判断种子灭菌与发生黑穗病是否有关.22460 X 26 X 200 - 184 X 50.一.解：x=疋 4.804.210X 250X 76 X 384由于4.804 > 3.841，所以有95%的把握认为种子灭菌与发生黑穗病是有关系的. &有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于或等于 85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表.已知在全部105人中随机抽取1人为优秀的概率为-. ⑴请完成上面的列联表. (2)根据列联表的数据，若按95%的可靠性要求，能否认为“成绩优秀与否和班级有关n (ad — be fa +bc +d a +e b + d系”？ 参考公式: 附表: 或10号的概率.解：⑴ (3)若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班优秀的 10名学生从2进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号•试求抽到 到116(2)根据列联表中的数据，得到2105X (10X 30— 20X 45 )_ 55X 50X 30X 75 〜 6.109> 3.841 因此有95%的把握认为“成绩优秀与否和班级有关系 ⑶设“抽到6或10号”为事件A ，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为 (x .y). 所有的基本事件有(1,1), (1,2), (1,3),…，(6,6)，共36个. 事件 A 包含的基本事件有：(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1), (4,6), (5,5), (6,4), 个」P(A )=36=2 払触提升、选择题 1 .硕士学位与博士学位的一个随机样本给出了关于所获取学位类别与学生性别的分类 数据如表所示：根据以上数据，则()A •性别与获取学位类别有关B •性别与获取学位类别无关C.性别决定获取学位的类别D•以上都是错误的解析：由列联表可得x= 340彳16“ 8- 143X 272疋7.34 > 6.635，所以有305 X 35X 189X 151 认为性别与获取学位的类别有关.答案：A2•某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系, 52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是表199%的把握随机抽查( )A •成绩C.智商 D .阅读量2 2的疋中斗 2 52X(6X 22 - 14X 10 252 X 8解析：因为X==16X 36 X 32X 20 16X 36X 32X 202 22_ 52X(4 X 20—16X 12)_ 52X 11216X 36 X 32X 20 -"16X 36X 32X20，2 52X(8 X 24 —12X 8$52 X 962X16X 36X 32X 2016X 36 X 32X20，252X 14X 30 —6X 2 252X 408216X 36X 32X 20 16X 36 X 32X 20则有X> X> X> X,所以阅读量与性别关联的可能性最大.答案：D二、填空题3. 在吸烟与患肺病是否相关的判断中，有下列的说法：①若统计量X>6.635，则在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；②从独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，若某人吸烟，则他有99%的可能患有肺病；③从独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，是指有5%的可能性使得推断错误.其中说法正确的是______________ （填序号）.解析：统计量X是检验吸烟与患肺病相关程度的量，是相关关系，而不是确定关系，是反映有关和无关的概率，故说法①错误；说法②中对“确定容许推断犯错误概率的上界”理解错误；说法③正确.答案：③4. 某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：（填“是”或“否”）.解析：因为在20至40岁的58名观众中有18名观众收看新闻节目，而大于 40岁的42名观众中有27名观众收看新闻节目，即 —=一匚=刍，两者相差较大，所以，经直a +b 58c +d 42 观分析，收看新闻节目的观众与年龄是有关的.答案：是 三、解答题5.现对某市工薪阶层关于“楼市限购政策”的态度进行调查，随机抽查了 50人，他们月收入（单位：百元）的频数分布及对“楼市限购政策”的赞成人数如下表：（1）根据以上统计数据填写下面 22列联表，并回答是否有99%的把握认为当月收入以5 500元为分界点时，该市的工薪阶层对“楼市限购政策”的态度有差异；（2 “楼市限购政策”的概率.解：（1）由题意得2 X 2列联表:异，根据列联表中的数据，得到2_ 50X (3X 11— 7X 29：10X 40X 32X 18所以没有99%的把握认为当月收入以 5 500元为分界点时，该市的工薪阶层对 “楼市限 购政策”的态度有差异.（2）已知在收入［55,65）中共有5人，2人赞成，3人不赞成•设至少有一个不赞成 “楼市限购政策”为事件A ,则P （A ）= 1 —密=羌.故所求概率为T 9..C 5 10 106.272 V 6.635,6•为了研究“教学方式”对教学质量的影响，某高中数学老师分别用两种不同的教学方式对入学数学平均分数和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班进行教学（勤奋程度和自觉性都一样）•以下茎叶图为甲、乙两班（每班均为20人）学生的数学期末考试成绩.(1) 87分的同学至少有一名被抽中的概率.(2)学校规定：成绩不低于75分的为优秀•请填写下面的2 X 2列联表，并判断有多大把握认为"成绩优秀与教学方式有关”2 参考公式：x=nad二也—I(a + b ]c + d j[a + c[b + d )丿解：⑴记成绩为87分的同学为A , B ,其他不低于80分的同学为C , D , E. “从甲班 数学成绩不低于 80分的同学中随机抽取两名同学”的一切可能结果组成的基本事件有(A ,B), (A , C), (A , D), (A , E), (B , C), (B , D), (B , E) , (C , D) , (C , E) , (D , E),共 10个.“至少有一名87分的同学被抽中”所组成的基本事件有(A , B) , (A , C) , (A , D) , (A , E) , (B , C) , (B , D) , (B , E),共 7 个，所以 P =洽.& 归6 X 6 — 14X 14 = 6.4 > 5.024,20 X 20 X 20 X 20因此，我们有97.5%的把握认为成绩优秀与教学方式有关.F 面临界表仅供参。

第8章 8.2 8.2.31．设A 与B 是相互独立事件，则下列命题中正确的是( ) A ．A 与B 是对立事件 B ．A 与B 是互斥事件 C ．A －与B －不相互独立 D ．A 与B －是相互独立事件解析：相互独立与互斥、对立没有必然联系． 答案：D2．一个电路上装有甲、乙两根保险丝，甲熔断的概率为0.85，乙熔断的概率为0.74，甲、乙两根保险丝熔断与否相互独立，则两根保险丝都熔断的概率为( )A ．1B ．0.629C ．0D ．0.74或0.85解析：事件“两根保险丝都熔断”即事件“甲保险丝熔断”“乙保险丝熔断”同时发生．依题意得事件“两根保险丝都熔断”的概率为0.85×0.74＝0.629.答案：B3．甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为( )A ．0.12B ．0. 42C ．0.46D ．0.88解析：由题意知，甲、乙都不被录取的概率为(1－0.6)×(1－0.7)＝0.12，故至少有一人被录取的概率为1－0.12＝0.88.答案：D4．甲、乙、丙三名射击手命中目标的概率分别为12，13，14.现在三人同时射击，目标被击中的概率等于________．解析：目标没有被击中的概率就是甲、乙、丙三名射手都没有击中的概率，为⎝⎛⎭⎫1－12⎝⎛⎭⎫1－13⎝⎛⎭⎫1－14＝14. 故目标被击中的概率是1－14＝34.答案：345．在社会主义新农村建设中，某市决定在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植三个项目．据预测，三个项目成功的概率分别为45，56，23，且三个项目是否成功互相独立．(1)求恰有两个项目成功的概率； (2)求至少有一个项目成功的概率．解：(1)只有农产品加工和绿色蔬菜种植两个项目成功的概率为45×56×⎝⎛⎭⎫1－23＝29， 只有农产品加工和水果种植两个项目成功的概率为45×⎝⎛⎭⎫1－56×23＝445， 只有绿色蔬菜种植和水果种植两个项目成功的概率为⎝⎛⎭⎫1－45×56×23＝19. ∴恰有两个项目成功的概率为29＋445＋19＝1945.(2)三个项目全部失败的概率为⎝⎛⎭⎫1－45×⎝⎛⎭⎫1－56×⎝⎛⎭⎫1－23＝190. ∴至少有一个项目成功的概率为1－190＝8990.。

8．2.4离散型随机变量及其分布[读教材·填要点]1．随机变量(1)定义：在一个对应关系下，随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．(2)表示：随机变量常用字母X，Y，ξ，η等表示．2．离散型随机变量所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．3．随机变量X的概率分布如果随机变量X的取值是x1，x2，…，x n，则{X＝x i}是事件，用p i＝P(X＝i)表示事件{X＝x i}的概率，则p i＝P(X＝x i)，i＝1,2，…，n是离散型随机变量X的概率分布．当X的概率分布{p i}规律性不明显时，可用下面的表格表示X的分布.4.随机变量X①p i≥0，i＝1,2，…，n；②p1＋p2＋…＋p n＝1.[小问题·大思维]1．任何随机试验的所有结果都可以用数字表示吗？提示：可以．实际上我们可以建立一个随机试验的所有结果同实数间的对应关系，根据问题的需要选择相应数字．2．是不是所有试验的离散型随机变量？并举例说明．提示：不是．如在东北森林中任取一棵树木的高度．[例1](1)湖南矮寨大桥桥面一侧每隔30米有一路灯，将所有路灯进行编号，其中某一路灯的编号X；(2)在一次数学竞赛中，设一、二、三等奖，小明同学参加竞赛获得的奖次X；(3)丁俊晖在2017年世锦赛中每局所得的分数．[解](1)桥面上的路灯是可数的，编号X可以一一列出，是离散型随机变量．(2)小明获奖等次X可以一一列出，是离散型随机变量．(3)每局所得的分数X可以一一列举出来，是离散型随机变量．判断一个随机变量是否是离散型随机变量的关键是判断随机变量的所有取值是否可以一一列出，具体方法如下：(1)明确随机试验的所有可能结果；(2)将随机试验的结果数量化；(3)确定试验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出，如能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是．1．写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．(1)在含有10件次品的100件产品中，任意抽取4件，可能含有的次品的件数X是随机变量；(2)一袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数ξ是一个随机变量．解：(1)随机变量X可能的取值为：0,1,2,3,4.{X＝0}，表示抽出0件次品；{X＝1}，表示抽出1件次品；{X＝2}，表示抽出2件次品；{X＝3}，表示抽出3件次品；{X＝4}，表示抽出的全是次品．(2)随机变量ξ可能的取值为：0,1,2,3.{ξ＝0}，表示取出0个白球，3个黑球；{ξ＝1}，表示取出1个白球，2个黑球；{ξ＝2}，表示取出2个白球，1个黑球；{ξ＝3}，表示取出3个白球，0个黑球．[例2]个球，设X表示取出3个球中的最大号码，求X的概率分布．[解]根据题意，随机变量X的所有可能取值为3,4,5,6.X＝3，即取出的3个球中最大号码为3，其他2个球的号码为1,2.所以，P(X＝3)＝C22 C36＝120；X＝4，即取出的3个球中最大号码为4，其他2个球只能在号码为1,2,3的3个球中取．所以，P(X＝4)＝C23C36＝320；X＝5，即取出的3个球中最大号码为5，其他2个球只能在号码为1,2,3,4的4个球中取．所以，P(X＝5)＝C24C36＝310；X＝6，即取出的3个球中最大号码为6，其他2个球只能在号码为1,2,3,4,5的5个球中取．所以，P＝(X＝6)＝C25C36＝12.所以，随机变量X的概率分布为：求随机变量的概率分布的关键是搞清离散型随机变量X取每一个值时对应的随机事件，然后利用排列组合的知识求出X取每个值时的概率，最后列出表格即可．2．袋中有4个黑球，3个白球，2个红球，从中任取1个球，每取到一个黑球得0分，每取到一个白球得1分，每取到一个红球则得2分，用X表示所得分数，求X的概率分布列．解：由题意知X的可能取值为0,1,2，则P(X＝0)＝C14C19＝49，P(X＝1)＝C13C19＝13，P(X＝2)＝C12C19＝29.故X的概率分布列为：[例3] 设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝k10，k ＝1,2,3,4.求： (1)P (X ＝1或X ＝2)； (2)P ⎝⎛⎭⎫12<X <72. [解] ∵P (X ＝k )＝k10，k ＝1,2,3,4， (1)P (X ＝1或X ＝2)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2) ＝110＋210＝310. (2)P ⎝⎛⎭⎫12<X <72 ＝P (X ＝1或X ＝2或X ＝3) ＝1－P (X ＝4)＝1－410＝610＝35.利用离散型随机变量概率分布的性质可以求随机变量在某个范围内取值的概率，此时只需根据随机变量的取值范围确定随机变量可取哪几个值，再利用分布表即可得到它的概率，注意分布表中随机变量取不同值时所表示的随机事件彼此互斥，因此利用概率的加法公式即可求出其概率．3．某离散型随机变量的概率分布列如下：(1)求常数a ，k ； (2)求概率P (X ≤5)．解：(1)因为随机变量X 的取值及其概率的值都是按等差数列变化的，因此只要确定项数n 就可以求出常数a .所以n ＝23－(－4)(－1)－(－4)＋1＝273＋1＝10，a ＝1＋(10－1)(3－1)＝19.即k ＋3k ＋5k ＋…＋19k ＝1，求得k ＝0.01. (2)由加法公式，可以得到P(X≤5)＝P(X＝－4)＋P(X＝－1)＋P(X＝2)＋P(X＝5)＝k＋3k＋5k＋7k＝16k＝0.16.在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇(此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇)，只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔．若以X表示笼内还剩下的果蝇的只数，求X的概率分布．[尝试][巧思]若以A k表示事件“剩下k只果蝇”(k＝0,1，…，6)，则当A k发生时，第(8－k)只飞出的蝇子是苍蝇，且在前(7－k)只飞出的蝇子中恰有1只是苍蝇，因此P(A k)＝C17－k C28＝7－k 28.[妙解]设A k表示事件“剩下k只果蝇”(k＝0,1,2，…，6)，则P(A k)＝C17－kC28＝7－k28.∴P(X＝0)＝P(A0)＝728；P(X＝1)＝P(A1)＝628；P(X＝2)＝P(A2)＝528；P(X＝3)＝P(A3)＝428；P(X＝4)＝P(A4)＝3 28；P(X＝5)＝P(A5)＝228；P(X＝6)＝P(A6)＝128.即X的概率分布列为1．一个袋中装有除颜色外完全相同的2个黑球和6个红球，从中任取两个，可以作为随机变量的是()A．取到的球的个数B．取到红球的个数C．至少取到一个红球D．至少取到一个红球或一个黑球解析：选B A中叙述的结果是确定的，不是随机变量，B中叙述的结果可能是0,1,2，所以是随机变量．C 和D 叙述的结果也是确定的，而且不能包含所有可能出现的结果，故不是随机变量．2．袋中有大小相同的5个钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码．在有放回地抽取条件下依次取出2个球，设两个球号码之和为随机变量X ，则X 所有可能值的个数是( )A ．25B ．10C ．9D ．5解析：选C 第一次可取1,2,3,4,5中的任意一个，由于是有放回抽取，第二次也可取1,2,3,4,5中的任何一个，两次的号码和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10.3．已知随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝a (11－2k )，k ＝1,2,3,4,5，其中a 为常数，则P ⎝⎛⎭⎫52<ξ<235＝( ) A.35 B.1325 C.45D.825解析：选D 由a (9＋7＋5＋3＋1)＝1，可得a ＝125，所以P ⎝⎛⎭⎫52<ξ<235＝P (ξ＝3)＋P (ξ＝4)＝525＋325＝825，故选D.4．甲进行3次射击，甲击中目标的概率为12，记甲击中目标的次数为X ，则X 的可能取值为________．解析：甲可能在3次射击中，一次也未中，也可能中1次，2次，3次． 答案：0,1,2,35．随机变量X 的概率分布列如图所示：(1)x ＝________(2)P (X >3)＝________； (3)P (1<X ≤4)＝________.解析：(1)由X 概率分布的性质得0.2＋x ＋0.35＋0.1＋0.15＋0.2＝1，解得x ＝0； (2)P (X >3)＝P (X ＝4)＋P (X ＝5)＋P (X ＝6) ＝0.1＋0.15＋0.2＝0.45；(3)P (1<X ≤4)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4) ＝0＋0.35＋0.1＝0.45. 答案：(1)0 (2)0.45 (3)0.456．某商店试销某种商品20天，获得如下数据：试销结束后(3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．(1)求当天商店不进货的概率；(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列．解：(1)设“当天商店不进货”为事件A，“当天商品的销售量为0件”为事件B，“当天商品的销售量为1件”为事件C，则P(A)＝P(B)＋P(C)＝120＋520＝310.(2)由题意，知X的可能取值为2,3.P(X＝2)＝P(C)＝520＝1 4，P(X＝3)＝1－P(X＝2)＝1－14＝34.故X的分布列为一、选择题1．有下列四个命题：①某立交桥一天经过的车辆X；②某人射击2次，击中目标的环数之和记为X；③测量一批电阻，阻值在950 Ω～1 200 Ω之间；④一个在数轴上随机运动的质点，它在数轴上的位置记为X.其中是离散型随机变量的是()A．①②B．①③C．①④D．①②④解析：选A①②中变量X所有可能取值是可以一一列出，是离散型随机变量，而③④中的结果不能一一列出，故不是离散型随机变量．2．袋中装有10个红球，5个黑球，每次随机抽取一个球，若取得黑球，则另换一个红球放回袋中，直到取到红球为止，若抽取的次数为X，则表示“放回5个球”的事件为() A．X＝4 B．X＝5C．X＝6 D．X≤4解析：选C第一次取到黑球，则放回1个球，第二次取到黑球，则共放回2个球…，共放了五回，第六次取到了红球，试验终止，故X＝6.3．设随机变量X等可能取值1,2,3，…，n，若P(X<4)＝0.3，则n的值为()A．3 B．4C．10 D．不确定解析：选C X的概率分布表为：P(X<4)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝3n＝0.3＝310.∴n＝10.4．从含有2名女生的10名大学毕业生中任选3人进行调研，记女生入选的人数为X，则X的概率分布列为()A.C.解析：选A X的所有可能取值为0,1,2，“X＝0”表示入选3人全是男生，则P(X＝0)＝C38C310＝7 15，“X＝1”表示入选3人中恰有1名女生，则P(X＝1)＝C12C28C310＝715，“X ＝2”表示入选3人中有2名女生，则P (X ＝2)＝C 22C 18C 310＝115.因此X 的概率分布列为：二、填空题5．在8件产品中，有3 件次品，5 件正品，从中任取一件，取到次品就停止，抽取次数为X ，则“X ＝3”表示的试验结果是________．解析：X ＝3表示前2次均是正品，第3次是次品． 答案：共抽取3次，前2次均是正品，第3次是次品6．在考试中，需回答三个问题，考试规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则这名同学回答这三个问题的总得分X 的所有可能取值是__________．解析：可能回答全对，两对一错，两错一对，全错四种结果，相应得分为300分，100分，－100分，－300分．答案：300,100，－100，－3007．已知随机变量X 只能取三个值x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则公差d 的取值范围为________．解析：设X 的概率分布为：⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＋a ＋a ＋d ＝1，0≤a －d ≤1，0≤a ＋d ≤1.解得－13≤d ≤13.答案：⎣⎡⎦⎤－13，13 8．设随机变量X 的概率分布为P (X ＝k )＝ak (k ＝1,2，…，n )，则常数a ＝________. 解析：由分布列的性质可得， a (1＋2＋…＋n )＝1， 所以a ＝2n (n ＋1).答案：2n (n ＋1)三、解答题9．写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果． (1)一个袋中装有2个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数X ； (2)一袋中装有5只同样大小的球，编号为1,2,3,4,5.现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数X .解：(1)X 可取0,1,2.X ＝i ，表示取出的3个球中有i 个白球，3－i 个黑球，其中i ＝0,1,2. (2)X 可取3,4,5.X ＝3，表示取出的3个球的编号为1,2,3；X ＝4，表示取出的3个球的编号为1,2,4或1,3,4或2,3,4；X ＝5，表示取出的3个球的编号为1,2,5或1,3,5或1,4,5或2,3,5或2,4,5或3,4,5. 10．某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示：已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%. (1)求x ，y 的值；(2)将频率视为概率，求顾客一次购物的结算时间X 的分布列． 解:(1)由已知得25＋y ＋10＝55，x ＋30＝45，所以x ＝15，y ＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，将频率视为概率得P (X ＝1)＝15100＝320，P (X ＝1.5)＝30100＝310，P (X ＝2)＝25100＝14，P (X ＝2.5)＝20100＝15，P (X ＝3)＝10100＝110.X 的分布列为高中数学。

活页作业(十六) 离散型随机变量的数学期望一、选择题1．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝14，k ＝1,2,3,4，则E (ξ)的值为( )A ．2.5B ．3.5C ．0.25D ．2解析：E (ξ)＝1×14＋2×14＋3×14＋4×14＝14×10＝52. 答案：A2．已知一随机变量的分布列如下，且E (ξ)＝6.3，则a 的值为( )A ．5 C ．7D ．8解析：由分布列的性质知0.5＋0.1＋b ＝1，所以b ＝0.4.所以E (ξ)＝4×0.5＋a ×0.1＋9×0.4＝6.3.所以a ＝7.故选C ．答案：C3．把两封信投入A ，B ，C 三个空邮箱中，则A 邮箱的信的件数ξ的数学期望E (X )＝( ) A ．29B ．49C ．23D ．89解析：由题意知，ξ的可能取值为0,1,2. 两封信放入三个邮箱中共有3×3＝9种方法． P (ξ＝0)＝229＝49，P (ξ＝1)＝2C 129＝49，P (ξ＝2)＝19.故E (X )＝0×49＋1×49＋2×19＝23.答案：C4．已知离散型随机变量X 的概率分布如下：随机变量Y ＝2X ＋1，则Y 的数学期望为( ) A ．1.1 B ．3.2 C ．11kD ．33k ＋1解析：由题意知，0.3＋3k ＋4k ＝1，∴k ＝0.1. ∴E (X )＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.4＝1.1. ∴E (Y )＝E (2X ＋1)＝2E (X )＋1＝2. 2＋1＝3.2. 答案：B 二、填空题5．某项游戏活动的奖励分成一、二、三等奖且相应获奖概率是以a 1为首项，2为公比的等比数列，相应奖金是以700元为首项，－140元为公差的等差数列，则参与游戏获得奖金的期望为________元．解析：由题意得a 1＋2a 1＋4a 1＝1，∴a 1＝17.参与该游戏获得奖金的期望为17×700＋27×560＋47×420＝500 元．答案：5006．设有m L 水，其中含有n 个大肠杆菌．今任取1 L 水检验．设其中含大肠杆菌的个数为X .则E (X )＝________.解析：设A ＝{}任一大肠杆菌在所取的1 L 水中，则 P (A )＝1m.∴P (X ＝k )＝C k n ⎝⎛⎭⎫1m k ⎝⎛⎭⎫1－1m n －k (k ＝0,1,2,3，…，n )． ∴X ～B ⎝⎛⎭⎫n ，1m . ∴E (X )＝n ·1m ＝nm .答案：nm三、解答题7．已知ξ的分布列为且E (ξ)＝7.5. (1)求x 和y ；(2)设η＝2ξ＋4，求E (η)．解：(1)由0.3＋0.1＋x ＋0.2＝1，得x ＝0.4. 由4×0.3＋0.1×y ＋9×0.4＋10×0.2＝E (ξ)， E (ξ)＝7.5，得y ＝7.(2)由η＝2ξ＋4，E (ξ)＝7.5，得 E (η)＝2E (ξ)＋4＝2×7.5＋4＝19.8．在一次购物抽奖活动中，假设某10张奖券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从此10张奖券中任抽2张，求：(1)该顾客中奖的概率；(2)该顾客获得的奖品总价值ξ的概率分布列和均值E (ξ)． 解：(1)该顾客中奖的概率为1－C 26C 210＝1－1545＝23.(2)ξ的所有可能值为0,10,20,50,60，且P (ξ＝0)＝C 26C 210＝13，P (ξ＝10)＝C 13C 16C 210＝25，P (ξ＝20)＝C 23C 210＝115，P (ξ＝50)＝C 11C 16C 210＝215，P (ξ＝60)＝C 11C 13C 210＝115.故ξ的分布列为所以均值E (ξ)＝0×13＋10×25＋20×115＋50×215＋60×115＝16.一、选择题1．一名篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c (a ，b ，c ∈(0,1))．已知他投篮一次得分的数学期望为1(不计其他得分情况)，则ab 的最大值为( )A ．148B ．124C ．112D ．16解析：由已知得3a ＋2b ＋0×c ＝1，即3a ＋2b ＝1. ∴ab ＝16·3a ·2b ≤16⎝⎛⎭⎫3b ＋2b 22＝16⎝⎛⎭⎫122＝124.当且仅当3a ＝2b ＝12时取等号，即ab 的最大值为124.答案：B2．如图，将一个各面都涂了油漆的正方体切割为125个同样大小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值E (X )＝( )A ．126125B ．65C ．168125D ．75解析：由题意知X 可能为0,1,2,3，P (X ＝0)＝33125＝27125，P (X ＝1)＝9×6125＝54125，P (X ＝2)＝3×12125＝36125，P (X ＝3)＝8125，E (X )＝0×P (X ＝0)＋1×P (X ＝1)＋2×P (X ＝2)＋3×P (X ＝3)＝0×27125＋1×54125＋2×36125＋3×8125＝150125＝65，故选B ．答案：B 二、填空题3．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数．若P (X ＝0)＝112，则随机变量X 的均值E (X )＝________.解析：∵P (X ＝0)＝112＝(1－p )2×13，∴p ＝12.随机变量X 的可能值为0,1,2,3，因此P (X＝0)＝112，P (X ＝1)＝23×⎝⎛⎭⎫122＋23×⎝⎛⎭⎫122＝13，P (X ＝2)＝23×⎝⎛⎭⎫122×2＋13×⎝⎛⎭⎫122＝512，P (X ＝3)＝23×⎝⎛⎭⎫122＝16，因此E (X )＝1×13＋2×512＋3×16＝53. 答案：534．设l 为平面上过点(0,1)的直线，l 的斜率等可能地取－22，－3，－52，0，52，3，2 2.用X 表示坐标原点到l 的距离，则随机变量X 的数学期望E (X )＝____________. 解析：l 的方程为y ＝kx ＋1，原点到直线l 的距离为1k 2＋1，故X 的取值分别为13，12，23，1，23，12，13.又P (X )＝17，∴E (X )＝⎝⎛⎭⎫13＋12＋23＋1＋23＋12＋13×17＝47 答案：47三、解答题5．某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一道和第二道工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A ，B 两个等级．对每种产品，两道工序的加工结果都为A 级时，产品为一等品，其余均为二等品．表一表二(1)出的甲、乙产品为一等品的概率P 甲，P 乙；(2)已知一件产品的利润如表二所示，用X ，Y 分别表示一件甲、乙产品的利润，在(1)的条件下，分别求甲、乙两种产品利润的分布列及均值．解：(1)P 甲＝0.8×0.85＝0.68， P 乙＝0.75×0.8＝0.6. (2)随机变量X ，Y 的分布列是E (X )＝5×0.68＋2.5×0.32＝4.2， E (Y )＝2.5×0.6＋1.5×0.4＝2.1.所以甲、乙两种产品利润的均值分别为4.2万元、2.1万元．6．现有长分别为1 m 、2 m 、3 m 的钢管各3根(每根钢管质地均匀、粗细相同且附有不同的编号)．从中随机抽取n 根(假设各钢管被抽取的可能性是均等的，1≤n ≤9)，再将抽取的钢管相接焊成笔直的一根．(1)当n ＝3时，记事件A ＝{抽取的3根钢管中恰有2根长度相等}，求P (A )． (2)当n ＝2时，若用ξ表示新焊成的钢管的长度(焊接误差不计)． ①求ξ的概率分布；②令η＝－λ2ξ＋λ＋1，E (η) >1，求实数λ的取值范围．解：(1)事件A 为随机事件，P (A )＝C 13C 23C 16C 39＝914. (2)①ξ可能的取值为2,3,4,5,6.P (ξ＝2)＝C 23C 29＝112，P (ξ＝3)＝C 13C 13C 29＝14，P (ξ＝4)＝C 23＋C 13C 13C 29＝13， P (ξ＝5)＝C 13C 13C 29＝14，P (ξ＝6)＝C 23C 29＝112.∴ξ的分布列为②由①得E (ξ)＝2×112＋3×14＋4×13＋5×14＋6×112＝4.∵η＝－λ2ξ＋λ＋1，∴E (η)＝－λ2E (ξ)＋λ＋1＝－4λ2＋λ＋1. ∵E (η)＞1，∴－4λ2＋λ＋1＞1. 解得0＜λ＜14.∴实数λ的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，14.。

活页作业(九) 随机对照试验 概率的加法公式一、选择题1．把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是( )A ．对立事件B ．不可能事件C ．互斥但不对立事件D ．以上答案都不对解析：由互斥事件的定义可知，甲、乙不能同时得到红牌，由对立事件的定义可知，甲、乙可能都得不到红牌，即“甲、乙分得红牌”的事件可能不发生．答案：C2．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽验一只产品是正品(甲级品)的概率为( )A ．0.95B ．0.97C ．0.92D ．0.08解析：记抽验一只产品是甲级品为事件A ，是乙级品为事件B ，是丙级品为事件C ，这三个事件彼此互斥，因而抽验一只产品是正品(甲级品)的概率为P (A )＝1－P (B )－P (C )＝1－5%－3%＝92%＝0.92.故选C ．答案：C3．从5张100元，3张200元，2张300元的2017年某市大学生运动会闭幕式门票中任取3张．则所取3张中至少有2张价格相同的概率为( )A ．14B ．79120C ．34D ．2324解析：3张中没有价格相同的取法有C 15C 13C 12＝30种，则3张中至少有2张价格相同的概率为1－30C 310＝34.答案：C4．一箱产品中有正品4件、次品3件，从中任取2件，有下列事件： ①恰有1件次品和恰有2件次品； ②至少有1件次品和全是次品； ③至少有1件正品和至少有1件次品； ④至少有1件次品和全是正品． 上述4组事件中，互斥事件有( )A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组解析：对于①，恰有1件次品就是1件正品1件次品，与恰有2件次品显然互斥；对于②，至少有1件次品包括恰有1件次品和2件全是次品，与全是次品显然不互斥；对于③，至少有1件正品包括恰有1件正品和1件次品以及2件都是正品，与至少有1件次品显然不互斥；对于④，至少有1件次品包括恰有1件次品和2件全是次品，与全是正品显然互斥．故互斥事件是①、④.答案：B 二、填空题5．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A ，B ，C ，D 的概率分别是0.2,0. 2,0.3,0.3，则下列说法正确的命题序号是________．①A ∪B 与C 是互斥事件，也是对立事件； ②B ∪C 与D 是互斥事件，也是对立事件； ③A ∪C 与B ∪D 是互斥事件，但不是对立事件； ④A 与B ∪C ∪D 是互斥事件，也是对立事件．解析：由于A ，B ，C ，D 彼此互斥，且A ∪B ∪C ∪D 是一个必然事件，故其事件的关系可由如图所示的韦恩图表示，由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件．答案：④6．同时抛掷2枚骰子，则至少有1个5点或6点的概率为________．解析：至少有1个5点或6点的对立事件是既没有5点也没有6点，所以至少有1个5点或6点的概率为1－4×46×6＝59.答案：59三、解答题7．据统计，某食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为0,1,2的概率分别为0.4,0.5,0.1.求该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次的概率．解：方法一 记“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为0”为事件A ，“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为1”为事件B ，“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为2”为事件C ，“该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次”为事件D .由题意知事件A ，B ，C 彼此互斥，而事件D 包括基本事件A 与B ，所以P (D )＝P (A )＋P (B )＝0.4＋0.5＝0.9，即该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次的概率为0.9.方法二 设事件C 表示“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为2”，“该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次”为事件D .由题意知事件C 与D 是对立事件，所以P (D )＝1－P (C )＝1－0.1＝0.9，即该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次的概率为0.9.8．已知8支球队中有3支弱队，以抽签方式将这8支球队分为甲、乙两组，每组4支．求： (1)3支弱队同在一组的概率； (2)甲组中至少有2支弱队的概率．解：(1)设事件A 表示3支弱队同在一组，则P (A )＝C 33C 15C 48＋C 33C 15C 48＝17.(2)设事件B 表示甲组中至少有2支弱队，则P (B )＝C 23C 25C 48＋C 33C 15C 48＝12.一、选择题1．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，都是白子的概率为1235.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )A ．17B ．1235C ．1735D ．1解析：设“从中取出2粒都是黑子”为事件A ，“从中取出2粒都是白子”为事件B ，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C ，则C ＝A ∪B ，且事件A 与B 互斥，所以P (C )＝P (A )＋P (B )＝17＋1235＝1735，即任意取出2粒恰好是同一色的概率为1735.答案：C2．从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为( )A ．929B ．1029C ．1929D ．2029解析：既有男同学又有女同学的对立事件为全是男同学或全是女同学，全为男同学的概率为C 320C 330，全为女同学的概率为C 310C 330.∴所求事件的概率为1－C 320C 330－C 310C 330＝2029.答案：D 二、填空题3.某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39,32,33名成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示．现随机选取一名成员，他至少参加2个小组的概率为______，他至多参加2个小组的概率为________．解析：随机选一名成员，恰好参加2个组的概率P (A )＝1160＋760＋1060＝715，恰好参加3个组的概率P (B )＝860＝215，则他至少参加2个组的概率为P (A )＋P (B )＝715＋215＝35，至多参加2个组的概率为1－P (B )＝1－215＝1315.答案：35 13154．有10个外表相同的圆球，其中8个各重a g,2个各重b g(a ≠b )．从这10个圆球中任取3个放在天平一端的盘中，再从剩余的7个中任取3个放到天平另一盘中，则天平平衡的概率为________．解析：天平平衡的条件有两种可能，一是两边都放3个重a g 的球；二是两边各放两个重a g 的球，再各放一个重b g 的球．这两类事件是互斥事件，分别记作事件A ，B .故所求的概率P ＝P (A ∪B ) ＝P (A )＋P (B )＝C 38·C 35C 310·C 37＋C 28·C 12·C 26·C 11C 310·C 37＝13， ∴天平平衡的概率为13.答案：13三、解答题5．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是13，得到黑球或黄球的概率是512，得到黄球或绿球的概率也是512.试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少．解：从袋中任取一球，记事件A ＝{摸得红球}，事件B ＝{摸得黑球}，事件C ＝{摸得黄球}，事件D ＝{摸得绿球}．则有⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧P (A )＝13，P (B ∪C )＝P (B )＋P (C )＝512，P (C ∪D )＝P (C )＋P (D )＝512，P (B ∪C ∪D )＝P (B )＋P (C )＋P (D )＝1－P (A )＝23.解得P (B )＝14，P (C )＝16，P (D )＝14.所以得到黑球的概率为14，得到黄球的概率为16，得到绿球的概率为14.6．今有标号为1,2,3,4,5的5封信，另有同样标号的5个信封．现将5封信任意地装入5个信封，每个信封装入1封信，求至少有2封信配对的概率．解：至少有2封信配对包含恰有2封配对、恰有3封配对、恰有4封配对(也即5封配对)三个互斥事件，故至少有2封信配对的概率为C 25·2A 55＋C 35A 55＋1A 55＝31120.。

第8章 8.2 8.2.5 第1课时1．下列随机变量X 不服从二项分布的是( )A ．投掷一个骰子5次，X 表示点数6出现的次数B ．某射手射中目标的概率为p ，设每次射击是相互独立的，X 为从开始射击到击中目标所需要的射击次数C ．实力相等的甲、乙两选手进行了5局乒乓球比赛，X 表示甲获胜的局数D ．某星期内，每次下载某网站数据后被病毒感染的概率均为0.3，X 表示下载n 次数据后电脑被病毒感染的次数解析：选项A 中试验出现的结果只有两个——点数为6和点数不为6，且点数为6的概率在每一次试验中都为16，每一次试验都是独立的，故随机变量X 服从二项分布；选项B 中虽然每一次试验中的结果只有两个，且每一次试验中各事件相互独立，且概率不发生变化，但随机变量X 的取值不确定，故随机变量X 不服从二项分布；选项C 中甲、乙获胜的概率相等，进行5次比赛，相当于做了5次独立重复试验，故X 服从二项分布；选项D 中由二项分布的定义可知，X ～B (n,0.3)．答案：B2．设随机变量X ～B ⎝⎛⎭⎫6，12，则P (X ＝3)的值是( ) A ．316B ．58C ．516D ．716解析：P (X ＝3)＝C 36⎝⎛⎭⎫123·⎝⎛⎭⎫1－126－3＝516.答案：C3．甲、乙两人各进行1次射击．若两人击中目标的概率都是0.7，则其中恰有一人击中目标的概率是( )A ．0.49B ．0.42C ．0.7D ．0.91 解析：两人中恰有一人击中的概率p ＝C 12×0.7×0.3＝0.42.答案：B4．有n 名同学参加某项选拔测试，每名同学能通过测试的概率都是p (0＜p ＜1)，假设每名同学能否通过测试是相互独立的，则至少有一名同学通过测试的概率为__________________．解析：所有同学都不通过测试的概率为(1－p )n ，故至少有一名同学通过测试的概率为1－(1－p )n .答案：1－(1－p )n5．某中学生心理咨询中心服务电话的接通率为34，某班3名同学商定某天分别就同一问题询问该中心，且每人只拨打一次，求他们三人中成功咨询的人数ξ的概率分布．解：由题意可知ξ～B ⎝⎛⎭⎫3，34， 所以P (ξ＝k )＝C k 3×⎝⎛⎭⎫34k ×⎝⎛⎭⎫143－k ，k ＝0,1,2,3.所以ξ的概率分布为。

活页作业(十二)离散型随机变量一、选择题1．一个袋子中有质量相等的红、黄、绿、白四种小球各若干个，一次倒出3个小球．下列变量是离散型随机变量的是()A．小球滚出的最大距离B．倒出小球所需的时间C．倒出的3个小球的质量之和D．倒出的3个小球的颜色种数解析：A，B不能一一列举，不是离散型随机变量，而C是常量，是个确定值，D可能取1,2,3，是离散型随机变量．答案：D2．袋中装有大小和颜色均相同的5个乒乓球，分别标有数字1,2,3,4,5.现从中任意抽取2个，设2个球上的数字之积为X，则X可能取值的个数是()A．6B．7C．10 D．25解析：X的所有可能值有1×2,1×3,1×4,1×5,2×3，2×4,2×5,3×4,3×5,4×5，共10个．答案：C3．抛掷两枚骰子，所得点数之和记为X，那么“X＝4”表示的随机试验结果是() A．两枚都是4点B．两枚都是2点C．一枚是1点，一枚是3点D．一枚是1点，另一枚是3点或者两枚都是2点解析：“X＝4”表示抛掷两枚骰子，所得点数之和为4的所有结果，可能是一枚1点，另一枚3点，也可能是两枚均为2点，故选D．答案：D4．袋中有大小相同的5个钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码．在有放回地抽取条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量X，则X所有可能值的个数是() A．25 B．10C．9 D．5解析：第一次可取1,2,3,4,5中的任意一个，由于是有放回抽取，第二次也可取1,2,3,4,5中的任何一个，两次的号码和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10.答案：C二、填空题5．从标有1～10的10支竹签中任取2支，设所得2支竹签上的数字之和为X，那么随机变量X可能取得的值有________个．解析：X可能取得的值有3,4,5，…，19，共17个．答案：176．在8件产品中，有3件次品，5件正品．从中任取一件，取到次品就停止．设抽取次数为X，则“X＝3”表示的试验结果是_______________________．解析：“X＝3”表示前2次均是正品，第3次是次品．答案：共抽取3次，前2次均是正品，第3次是次品三、解答题7．小王钱夹中只剩有20元、10元、5元和1元的人民币各一张．他决定随机抽出两张，用来买晚餐，用X表示这两张金额之和．写出X的可能取值，并说明这些取值表示的随机试验结果．解：X的可能取值为6,11,15,21,25,30.其中，“X＝6”，表示抽到的是1元和5元；“X＝11”表示抽到的是1元和10元；“X＝15”表示抽到的是5元和10元；“X＝21”表示抽到的是1元和20元；“X＝25”表示抽到的是5元和20元；“X＝30”表示抽到的是10元和20元．8．抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为X.试求X的集合，并说明“X＞4”表示的试验结果．解：设第一枚骰子掷出的点数为x，第二枚骰子掷出的点数为y，其中x，y＝1,2,3,4,5,6.依题意得X＝x－y.则－5≤X≤5，即X的集合为{－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5}．则“X＞4”⇔“X＝5”，表示x＝6，y＝1，即第一枚骰子掷出6点，第二枚骰子掷出1点．一、选择题1．将一枚均匀骰子掷两次，不能作为随机变量的是()A．两次掷得的点数B．两次掷得的点数之和C．两次掷得的最大点数D．第一次掷得的点数减去第二次掷得的点数差解析：两次掷得的点数的取值是一个数对，不是一个数．答案：A2．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则“ξ＝5”表示的试验结果是()A．第5次击中目标B．第5次未击中目标C．前4次均未击中目标D．前4次击中目标解析：“ξ＝5”表示射击5次，即前4次均未击中，否则不可能射击第5次，但第5次是否击中，就不一定，因为他只有5发子弹．答案：C二、填空题3．某地上网的费用为月租费10元，上网每分钟0.04元．某学生在一个月内上网的时间(min)为随机变量X(不足1 min的按1 min计算)，该学生在一个月内上网的费用为Y，则Y ＝________________.解析：由于上网时间不足1 min按1 min计算，因此，随机变量X的取值范围为1,2,3，…，Y＝0.04X＋10.答案：0.04X＋10(X取1,2,3，…)4．在一次考试中，某名同学需回答三个问题，考试规则如下：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则这名同学回答这三个问题总得分ξ的所有可能取值是________________________________________________________________________.解析：回答全对，ξ＝300；两对一错，ξ＝100；两错一对，ξ＝－100；全错，ξ＝－300.答案：300,100，－100，－300三、解答题5．同时掷两枚质地均匀的硬币．(1)用X表示掷出正面的个数，要表示试验的全部可能结果，X应取哪些值？(2)“X＜2”和“X＞0”各表示什么？解：(1)掷两枚硬币时，掷出正面的个数可能是0,1,2中的一个，但事先不能确定，结果是随机产生的．用X表示掷出正面的个数，X的值应随机地取0,1,2中的某个．(2)“X＜2”表示事件“正面个数小于2”，即事件“正面个数为0或1”；“X＞0”表示事件“正面个数大于0”，即事件“正面个数为1或2”．6．写出下列各随机变量可能的取值，并说明随机变量取值所表示的随机试验的结果．(1)从一个装有编号为1号到10号的10个球的袋中，任取1球，被取出的球的编号为X；(2)一个袋中装有10个红球，5个白球，从中任取4个球，其中所含红球的个数为X；(3)投掷两枚骰子，所得点数之和为X.解：(1)X的可能取值为1,2,3，…，10.“X＝k(k＝1,2，…，10)”表示取出第k号球．(2)X的可能取值为0,1,2, 3,4.“X＝k”表示取出k个红球，(4－k)个白球，其中k＝0,1,2,3,4.(3)X的可能取值为2,3,4，…，12.若以(i，j)表示投掷甲、乙两枚骰子后，骰子甲得i点，且骰子乙得j点，则“X＝2”表示(1,1)；“X＝3”表示(1,2)，(2,1)；“X＝4”表示(1,3)，(2,2)，(3,1)；…；“X＝12”表示(6,6)．。