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生活中的优化问题举例 课件

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生活中的优化问题举例

生活中的优化问题举例

利用导数解决优化问题的基本思路：
建立数学模型
优化问题
用函数表示的数学问题
解决数学模型
作答
优化问题解决方案
用导数解决数学问题
这是一个典型的数学建模过程
解决优化问题的一般步骤：
（1）审题 （2）建模
（3）解模
（4）回归
温馨提示：用导数解决实际问题，要特
别注意在实际问题中变量的取值范围.
课堂小结
解决优化问题的步骤：
' 当x∈(0,16)时， S x > 0; 当x∈(16,+∞) 时， S' x < 0; .因此，x=16是函数S(x)的 极小值点，也是最小值点.所以，当版心 高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白 面积最小.
例2.饮料瓶大小对饮料公司利润的影响
某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.瓶子的 制造成本是 0.8πr 2 分，其中r（单位：cm）是瓶子的半 径.已知每售出1 mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制 造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm.那么瓶子半径多 大时，能使每瓶饮料的利润最大和最小？
解：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是
y =f
r = 0.2
4 πr 3 - 0.8πr 2 3
r3 2 = 0.8π - r , 0 < r ≤ 6. 3
令
f'
r
= 0.8π r 2 - 2r = 0
r 0.当r 0,2时, 当r 2,6时, f ' r 0.
0 < x < 2.5
令 V ' = 12x 2 - 52x + 40 = 0
4 x - 1 3x - 10 = 0 10 得： x1 = 1, x 2 = （舍去） 3 '

(新课标人教A版)选修1-1数学同步课件：3-4《生活中的优化问题举例》

(新课标人教A版)选修1-1数学同步课件：3-4《生活中的优化问题举例》

(1)写出该厂的日盈利额T(元)用日产量x(件)表示的函数
关系式； (2)为获最大日盈利，该厂的日产量应定为多少件？
[解析] (1)由意可知次品率 p＝日产次品数/日产量，
每天生产 x 件，次品数为 xp，正品数为 x(1－p)． 3x 因为次品率 p＝ ，当每天 x 件时， 4x＋32
3x 3x 有 x· 件次品，有 x1－4x＋32 件正品． 4x＋32
a 时， y ′≤ 0 ； v ∈ b
a 时，y′≥0.所以 ， c b
ab 当 v＝ b 时，全程运输成本 y 最小．
ab ②若 >c，v∈(0，c]，此时 y′<0，即 y 在(0，c] b 上为减函数． 所以当 v＝c 时，y 最小． 综上可知，为使全程运输成本 y 最小． ab ab ab 当 b ≤c 时，行驶速度 v＝ b ；当 b >c 时，行 驶速度 v＝c.
答：当箱子的高为10cm，底面边长为40cm时，箱子的
体积最大，最大容积为16000cm3.
[点评] 在解决实际应用问题中，如果函数在区间内 只有一个极值点，那么只需根据实际意义判定是最大值还 是最小值．不必再与端点的函数值进行比较．
已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物 线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，求这个矩形面积最大时的 长和宽． [解析] 如图所示，设出AD的长，进而求出AB，表示
[例3] 某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入
成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5000辆，
本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投 入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1)，则出 厂价相应提高的比例为0.7x，年销售量也相应增加．已知 年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售

生活中的优化问题举例

生活中的优化问题举例
(所说区间的也适用于开区间或无穷区间)
练习3:某种圆柱形的饮料罐的容积一定时,如何确定它 的高为R.
h
则表面积为 S(R)=2πRh+2πR2.
又V=πR2h(定值),
则h

V
R 2
.
R

S
(R)

2R

V
R 2
2R2

2V R
2R2.
当r (2,6) 时, f '(r) 0.
解： 由于瓶子的半径为r,所以每瓶饮料的利
润为： y
4r 3
f (r) 0.2
0.8r 2
(0 r 6)
3
令 f '(r) 0.8 (r 2 2r) 0
当r 2时, f '(r) 0. 当r (0,2)时, f '(r) 0;
3.4 生活中的优化问题举例
生活中经常遇到求利润最大、用 料最省、效率最高等问题，这些问题 通常称为优化问题，通过前面的学习， 知道，导数是求函数最大（小）值的 有力工具，本节我们运用导数，解决 一些生活中的优化问题。
问题1:海报版面尺寸的设计
学校或班级举行活动，通常需要张贴海报 进行宣传，现让你设计一张如图所示的竖向张 贴的海报，要求版心面积为128dm2,上下边各 空2dm,左右空1dm,如何设计海报的尺寸，才 能使四周空白面积最小？ 解：设版心的高为xdm,则宽为 128 dm
（１）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ （２）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？
解： 由于瓶子的半径为r,所以每瓶饮料的利
润为：y f (r) 0.2 4r 3
令
3
f '(r) 0.8 (r 2

生活中的优化问题举例图文

生活中的优化问题举例图文

安排休息时间
总结词
合理安排休息时间是优化健康管理的重要环节，有助于 恢复身体机能和缓解压力。
详细描述
保证充足的睡眠时间，合理安排工作和休息时间，采用 适当的放松方式，如冥想、瑜伽等，有助于恢复身体机 能和缓解压力。
总结词
创造良好的睡眠环境，保持规律的睡眠习惯，有助于提 高睡眠质量。
详细描述
保持安静、黑暗、舒适的睡眠环境，避免睡前过度兴奋 或刺激，保持规律的睡眠习惯，有助于提高睡眠质量。
自身能力范围。
制定工作计划
01
分解任务
将工作目标分解为具体的任务， 明确任务的责任人、完成时间和 所需资源。
安排时间
02
Байду номын сангаас
03
调整计划
根据任务的紧急性和重要性，合 理安排工作时间，确保任务按时 完成。
在执行过程中，根据实际情况及 时调整工作计划，以适应变化和 应对突发情况。
安排工作时间
避免过度劳累
总结词
结合日常生活和工作，灵活安排运动时间和场地，有助于 提高运动计划的可行性和持久性。
详细描述
根据个人生活和工作情况，灵活安排运动时间和场地，将 运动融入日常生活和工作中，有助于提高运动计划的可行 性和持久性。
总结词
注意运动安全，遵循正确的运动姿势和技巧，预防运动损 伤。
详细描述
在运动前进行适当的热身活动，遵循正确的运动姿势和技 巧，避免过度运动和损伤，注意运动安全。
总结词
学会放松自己，缓解压力和焦虑情绪。
详细描述
通过冥想、瑜伽、深呼吸等放松技巧来缓解压力和焦虑 情绪，学会放松自己。
THANKS
感谢观看
生活中的优化问题举例
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生活中的优化举例

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05
工作办公优化
任务管理优化
总结词
高效、条理、计划
详细描述
通过制定明确的任务目标和计划，将工作任务分解为可执行的小任务，并按 优先级进行排序，可以帮助我们更高效地完成任务，同时避免任务遗漏或任 务完成不及时。
时间
详细描述
合理规划时间，将时间分配到不同的任务和活动中，可以最大限度地减少时间浪 费和提高工作效率。同时，学会合理调整工作节奏和时间安排，能够更好地适应 高强度的工作压力。
01
运用大数据技术，智能调度共享单车，提高单车可用性和效率
。
共享汽车服务
02
提供便捷的共享汽车服务，满足短途出行需求，减少汽车使用
频率。
电动汽车推广
03
鼓励使用电动汽车等环保出行方式，降低排放，改善空气质量
。
02
日常生活优化
购物优化
计划性购物：列出需要购买的物 品清单，尽量避免在无计划的情 况下进行购物，减少不必要
比较购物：在购买之前，通过线 上或线下的方式比较不同商家的 价格和质量，以便选择最合适
批量购买：一次性购买大量的日 用品，可以降低单位价格，同时 减少购物次数，提高购物效率。
的支出。
的商品。
饮食优化
均衡饮食：合理搭配 蛋白质、碳水化合物 、脂肪、维生素、矿 物质等营养素，以满 足身体
的基本需求。
简单化烹饪：减少烹 饪的复杂程度，使用 简单的烹饪技巧和食 材，可以降低食物中 脂肪和糖
游戏娱乐优化
流畅体验
通过优化游戏算法、降低游戏内延迟等技术手段，提高游戏的流畅度和稳定 性。
个性化设置
为玩家提供多种个性化设置，如自定义角色、场景等，让玩家更具自由度和 沉浸感。

生活中的优化举例

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线上购物的优势
可以节省时间和交通费用，方便快捷地购买商品，还可以享受 送货上门的服务。
线上购物的注意事项
需要注意商品的质量和真实性，以及商家的信誉度和售后服务 ，避免遇到假货或欺诈行为。
03
健康优化
饮食优化
平衡饮食
保持饮食平衡，摄入足够的蔬菜、水果、全谷类和蛋白质来源 ，减少过度摄入高热量、高脂肪和高糖分的食物。
主动思考
不仅仅被动地接受知识，而是要主动思考和解决 问题，培养批判性思维。
复习与巩固
定期回顾和复习所学内容，加强记忆和理解，形 成长期记忆。
学习资源选择优化
精选资源
选择高质量、权威的学习资源，如教材、参考书、在线课程等。
适应资源
根据个人学习风格和需求，选择适合自己的学习资源，如视觉型 、听觉型、动手实践型学习者分别选择图表、讲解或实践操作等 资源。
3
适度强度
在运动过程中保持适度的强度和节奏，避免过 度疲劳和受伤。
睡眠优化
规律作息
保持规律的作息习惯，每天尽量在同一时间入睡和起床，以维持 正常的生物钟。
创造良好的睡眠环境
创造安静、黑暗和舒适的睡眠环境，避免使用电子设备如手机和 电视等在睡前一小时内。
控制睡眠时间
合理控制睡眠时间，成年人每晚通常需要7-9小时的睡眠，以保持精 力充沛和高效工作。
拓展资源
寻找与学习主题相关的其他资源，如相关论文、研究报告、案例工作流程优化
确定工作优先级
将任务按照优先级排序 ，先完成重要且紧急的 任务，再处理次要的任 务。
避免任务拖延
及时开始并完成每一项 任务，避免任务积压和 拖延。
建立工作流程图
制定详细的工作流程图 ，以便更好地了解任务 之间的依赖关系和执行 顺序。

生活中的优化问题举例课件

生活中的优化问题举例课件
Page 12
实例探究二：利润最大问题
换一个角度: 如果我们不用导数工具,直接
从函数的图象(图1.4-2)上观察,你 有什么发现?
f (r) 0.8 ( r3 r 2 )
3
y
从图象上容易看出, 1.当r=3时,f(3)=0,即瓶子半径是 3cm时,饮料的利润与饮料瓶的 成本恰好相等; 2.当r>3时,利润才为正值.
h
2 R
R
V(R)= S 2 R2 R2 = 1 (S 2 R2 )R 1 SR R3
2 R
2
2
令V '(R) =0 S 6 R2
6 R2 2 Rh 2 R2 h 2R ．
Page 17
作业:在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去边长相 等的正方形,再把它的边沿虚线折起(如图),做成一个无 盖的方底铁皮箱.箱底边长为多少时,箱子容积最大?最 大容积是多少?
n
f (r) R r • 2r 2 r(R r)
m n mn
(1) 它是一个关于r的二次函数，从函数的解 析式可以判断，不是r越小，磁盘的存储量 越大。
Page 23
解：存储量=磁道数×每磁道的比特数
f (r) R r 2r 2 r(R r)
m n mn
(2) 为求f(r)的最大值，先计算 f (r) 0
Page 13
2
0
3r
(图1.4-2)
方法小结
解决优化问题的方法之一：通过搜集大量的
统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过
研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题
得到解决．在这个过程中，导数往往是一个有
利的工具，其基本思路如以下流程图所示:
建立数学模型

1.4生活中的优化问题举例课件人教新课标

1.4生活中的优化问题举例课件人教新课标
2.利用导数解决生活中优化问题的一般步骤是什么? 剖析:利用导数解决生活中优化问题的一般步骤如下:
重难聚焦
名师点拨1.在求实际问题的最大(小)值时,一定要考虑实际问题的 意义,不符合实际意义的值应舍去. 2.在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'(x)=0的 情形,如果函数在这点有极大(小)值,那么不与端点值比较,也可以知 道这就是最大(小)值. 3.在解决实际优化问题时,不仅要注意将问题中涉及的变量关系用 函数关系表示,还应确定出函数关系中自变量的定义区间.
题型一
题型二
题型三
题型四
典例透析
利润最大问题 【例3】 某分公司经销某品牌产品,每件产品的成本为3元,并且每 件产品需向总公司交a(3≤a≤5)元的管理费,估计当每件产品的售 价为x(9≤x≤11)元时,一年的销售量为(12-x)2万件. (1)求分公司一年的利润L(单位:万元)与每件产品的售价x的函数关 系式; (2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润L最大?并求出 L的最大值Q(a). 分析:(1)利用题中等量关系找出L与x的函数关系式;(2)求出(1)中函 数关系式的导函数,再利用导数求最值.
当x=140时,y=175,即当x=140,y=175时,S取得最小值24 500. 故当广告的高为140 cm,宽为175 cm时,可使矩形广告的面积最小.
题型一
题型二
题型三
题型四
典例透析
典例透析
题型一
题型二
题型三
题型四
解:(1)隔热层厚度为 x cm,
由题意知每年能源消耗费用为 C(x)= 3xk+5, 再由 C(0)=8,得 k=40,因此 C(x)= 3x4+05. 而建造费用为 C1(x)=6x.

高中数学《1.4生活中的优化问题举例》课件 新人教A版选修2-2

高中数学《1.4生活中的优化问题举例》课件 新人教A版选修2-2

5ax ∴y′＝－3a＋ 2 2.令 y′＝0，解得 x＝30. x ＋40 在(0,50)上，y 只有一个极值点，根据问题的实际意义，函数在 x ＝30 km 处取得最小值，此时 AC＝50－x＝20 (km)． ∴供水站建在 A、D 之间距甲厂 20 km 处，可使水管费用最省． 用料最省问题是日常生活中常见的问题之一， 解决 这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象，正确 书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．
方法技巧 转化与化归思想在生活中优化
问题的应用 生活中的利润最大、用料最省、效率最高等问题，通过认真 阅读理解关于实际问题的材料，建立相关数学模型，转化为利用 导数这一工具能够解决的一般数学问题．其解决问题的过程就体
现了转化与化归的思想，基本思路如图：
【示例】 某生产饮料的企业拟投入适当的广告费对产品进行促 销，在一年内，预计年销量 Q(万件)与广告费 x(万元)之间的 3x＋1 函数关系为 Q＝ (x≥0)，已知生产此产品的年固定投入 x＋1 为 3 万元， 每生产 1 万件此产品需再投入 32 万元． 若每件产 品售价为“年平均每件成本的 150%”与“年平均每件所占 广告费的 50%”之和． (1)试将年利润 y(万元)表示为年广告费 x(万元)的函数．如果 年广告费投入 100 万元，企业是亏损还是盈利？ (2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？
18 000 18 000x S＝xy＝x x－20 ＋25＝ ＋25x， x－20
18 000[x－20－x] －360 000 ∴S′＝ ＋25＝ ＋25. x－202 x－202
令 S′>0 得 x>140，令 S′<0 得 20<x<140. ∴函数在(140，＋∞)上单调递增，在(20,140)上单调递减，∴S(x) 的最小值为 S(140)． 当 x＝140 时， y＝175.即当 x＝140， y＝175 时， 取得最小值 24 500， S 故当广告的高为 140 cm，宽为 175 cm 时，可使广告的面积最小．

生活中的优化问题举例课件

生活中的优化问题举例课件

跨部门协作
加强部门间的沟通和协作 ，打破信息孤岛，提高整 体工作效率。
合理分配工作任务
任务分配原则
根据员工的能力、经验和专长， 合理分配工作任务，确保工作量
均衡和高效。
优先级排序
根据任务的重要性和紧急性，指导 员工对工作任务进行优先级排序， 确保高优先级任务得到优先处理。
激励与考核机制
建立有效的激励和考核机制，鼓励 员工积极承担工作任务，提高工作 积极性和满意度。
在此添加您的文本16字
优先处理重要和紧急的任务，避免拖延和浪费时间。
在此添加您的文本16字
学习一些时间管理技巧，如番茄工作法等。
在此添加您的文本16字
避免多任务处理，尽量专注于单一任务，以提高工作效率 。
04
工作中的优化问题
பைடு நூலகம்
提高工作效率
制定合理的工作计划
减少干扰因素
根据工作优先级和任务量，制定每日 、每周和每月的工作计划，确保工作 有序进行。
生活中的优化问题举例课件
• 购物中的优化问题 • 旅行中的优化问题 • 日常生活中的优化问题 • 工作中的优化问题 • 学习中的优化问题
01
购物中的优化问题
寻找最优惠的价格
01
在购物时，消费者通常会寻找最 优惠的价格，以节省开支。
02
比较不同商家的价格，考虑商品 的质量、品牌、售后服务等因素 ，权衡性价比，选择最优惠的价 格。
02
旅行中的优化问题
选择最佳的旅行路线
总结词
选择最佳的旅行路线是旅行中的重要优化问题，可以减少时间和金钱的浪费。
详细描述
在旅行前，我们需要根据目的地、交通工具、时间等因素，选择一条最佳的旅行 路线。这需要考虑路线的长度、所需时间、交通工具的舒适度、费用等因素，以 便在有限的时间内尽可能多地游览景点，并减少不必要的花费。

高中数学人教课标版选修2-2《生活中的优化问题举例》课件

高中数学人教课标版选修2-2《生活中的优化问题举例》课件

3x (x∈N＋)． 4 x 32
（1）写出该厂的日盈利额T(元)用日产量x(件)表示的函数关系式； （2）为获最大日盈利，该厂的日产量应定为多少件？
思路点拨：利润最大问题包括销售利润问题，生产产品利润问题等，一般根
据“利润=收入-成本”，将利润表示成其它指标的函数关系式，然后再利用导 数求最值.
3x 3x 解：（1）由于次品率p＝ 4 x 32 ，当每天生产x件时，有x· 4 x 32 件次品，有 2 3x 3x 64 x x 3 x ) －100x· x (1 4 x 32 ) 件正品．所以T＝200x (1 ＝25· 4 x 32 x 8 4 x 32
1 1 a a 1＝ 6 ，x2＝ 2 (舍
知识回顾

问题探究
课堂小结
随堂检测
探究二： 提炼生活优化问题的一般方案
活动二：学以致用，付诸实践 思路点拨： 1.解决生活中的优化问题应注意以下几点： ①当问题涉及多个变量时，应根据题意分析它们的关系，列出变量间的关系式，
从而得出需要的函数关系式；
②在建立函数模型时，应根据实际问题确定出函数的定义域，且所求题目结论一 定要从实际意义去考察，不符合实际意义的应舍去；
1.4生活中的优化问题举例
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
函数的单调性：
（1）若在(a，b)上，f′(x)≥0，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒等于零 ⇔f(x)在(a，b)上为单调递增函数；
若在(a，b)上，f′(x)≤0，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒等于零
⇔f(x)在(a，b)上为单调递减函数．
(x∈N＋)． （2） ，由T′＝0得x＝16或x＝－32(舍去)．

2014年人教A版选修1-1课件 3.4 生活中的优化问题举例

2014年人教A版选修1-1课件 3.4 生活中的优化问题举例
本章内容
3.1 变化率与导数
3.2 导数的计算
3.3 导数在研究函数中的应用 3.4 生活中的优化问题举例 第三章 小结
3.4
生活中的优化问题举例
3.4 生活中的优化问题举例 复习与提高
Hale Waihona Puke 3.4返回目录1. 课本中的三个例题是用导数解决函数中 的什么问题? 2. 什么是优化问题? 解决这类问题的思路 是怎样的?
例2. 饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料, 瓶子 的制造成本是 0.8pr2 分, 其中 r 是瓶子的半径, 单位 是厘米. 已知每出售 1 ml 的饮料, 制造商可获利 0.2 分, 且制造商能制作瓶子的最大半径为 6 cm. (1) 瓶子半径多大时, 能使每瓶饮料的利润最大? (2) 瓶子半径多大时, 每瓶饮料的利润最小? 解: 由题设得每瓶的利润函数为 f (r ) = 0.2 4 pr 3 0.8pr 2 (0 r 6). 3 f(r) = 0.8pr21.6pr, 解 0.8pr21.6pr>0 得 r>2, 即 2<r≤6 时, f(r)>0, 函数是增函数; 0<r<2 时, f(r)<0, 函数是减函数.
例2. 饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料, 瓶子 的制造成本是 0.8pr2 分, 其中 r 是瓶子的半径, 单位 是厘米. 已知每出售 1 ml 的饮料, 制造商可获利 0.2 分, 且制造商能制作瓶子的最大半径为 6 cm. 也是最小值点, r=2 是极小值点 (1) 瓶子半径多大时 ,, 能使每瓶饮料的利润最大 ? r=6是最大值点, . 每瓶饮料的利润最小? (2) 瓶子半径多大时 (1) 当半径为 6 cm 时, 每瓶饮料的利润最大, 解 : 由题设得每瓶的利润函数为 f最大利润为 (r ) = 0.2 4 pr 3 0.8pr 2 (0 r 6). 3 4 p 63 0.8p 62≈90 (分). f ( 6 ) = 0 . 2 21.6pr, f(r) = 0.8pr3 (2) 解 当半径为 2 cm 时,得每瓶饮料的利润最小 , r>2, 0.8pr21.6 pr>0 最小利润为 即 2<r≤6 时, f(r)>0, 函数是增函数; 4 p 23 0.8p 22≈3 (分). f ( 2 ) = 0 . 2 0<r<2 时, f3 (r)<0, 函数是减函数.

选修2-2课件1.4生活中应用问题举例

选修2-2课件1.4生活中应用问题举例
用导数解决数学问题
上述解决优化问题的过 程是一个典型的数学 建模过程 .
当r 2时, f ' r 0.
解 由于瓶子的半径为r, 所以每瓶饮料的利润是 4 3 r3 2 2 y f r 0.2 πr 0.8πr 0.8π r , 3 3 ' 2 0 r 6. 令f r 0.8π r 2r 0.
30 50 60 90 120
图1.4 1
汽车行驶的平均速度 v 之间关系的问题,然后利用 图象中的数据信息, 解决汽油使用效率最高的问题.
如图1.4 1函数 g f v 最小值的意义是什么 它是 , ? 否表示在此点处汽油的 使用效率最高?
W W/t 解 因为G . 15 S S/t g g 10 斜率 v L / km 这样,问题就转化为求 的 v g 5 g 最小值.从图象上看, 表示 vkm / h v 30 50 60 90 120 o v 什么 ? 图1.4 2 g 从图1.4 2可以看出, 表示经过原点与曲线上点 v v, g的直线的斜率. 继续观察图象,我们可以发现,
gL / h
那么 我们如何根据这个图象 , 中的数据信息解决汽 , 油使用效率最高的问题 ? 呢
从图象中我们不能直接 解决汽油使用效率最高 将问题转化为汽 油平均 消耗率 g (即每小时的汽 油消耗量 , 单位 : L / h) 与
o
15
gL / h
问题.因此, 我们首先需要 10
5
vk, R R 它的存储区是半径介于 与R 的 r 环形区域. r 1 是不是 r越小, 磁经盘的存储 量越大? 图1.4 3 2 r为多少时, 磁盘具有最大的 存储量(最外面的磁道不存储任 何信息) ? 解 存储量 磁道数 每磁道的比特数.

(完整)生活中的优化问题举例

(完整)生活中的优化问题举例

§1.4生活中的优化问题举例（一)教材分析本节内容是数学选修2-2 第一章导数及其应用1。

4生活中的优化问题举例，是在学习了导数概念、导数的计算及导数在研究函数中的应用后体会导数在解决实际问题中的作用。

生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习可知,导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节利用导数，解决一些生活中的优化问题。

教材首先给出背景性的问题，在生活经验的基础上,逐步引入到数学问题中，按照学生的思维过程,逐步展开问题,解决问题，让学生体会数学建模的过程.培养学生主动发现问题、分析问题、解决问题的能力，进一步培养学生应用数学的意识。

课时分配本节内容用1课时的时间完成，通过两个例题的教学，培养学生主动发现问题、分析问题、解决问题的能力，进一步培养学生应用数学的意识。

教学目标：重点: 通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，让学生体会数学建模的过程，体会导数在解决实际问题中的作用。

难点:让学生发现问题、分析问题、解决问题,数学建模。

知识点：利用导数求函数最大(小）值，解决一些生活中的优化问题。

能力点：主动发现问题、分析问题、解决问题，曾强数学的应用意识。

教育点：利用导数,解决一些生活中的优化问题。

自主探究点：分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域,再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决.考试点：利用导数求函数最大（小）值，解决一些生活中的优化问题。

易错易混点:建立适当的函数关系,并确定函数的定义域.拓展点：利用导数解决优化问题的基本思路：教具准备多媒体课件和三角板课堂模式学案导学一、引入新课生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大(小）值的有力工具．这一节，我们利用导数,解决一些生活中的优化问题。

二、探究新知探究(一）:海报版面尺寸的设计【背景材料】学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传.现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2，上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm。

生活中的优化问题举例(含过程)

生活中的优化问题举例(含过程)
(1)求 k 的值及 f(x)的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小，并求最小值．
▪ [思路分析] 代入数据求k的值，建造费用加上20年能源消耗综合得出总费用f(x)，利用导数求 最值．
[解析] (1)设隔热层厚度 xcm，由题意建筑物每年的能源消耗费用为 C(x)＝ 3x＋k 5(0≤x≤10)，再由 C(0)＝8 得 k＝40，
上述解决优化问题的过程是一个典型的 数学建模 过程.
体积面积最值问题
例1 请你设计一个包装盒，如图所示， ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片， 切去阴影部分所示的四个全等的等腰 直角三角形，再沿虚线折起，使得A， B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒. 点E，F在边AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点.设AE ＝FB＝x(cm). 某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒 的高与底面边长的比值.
自主练习巩固2
某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量 x(吨)与每吨产品的价格 P(元/吨) 之间的关系为 P＝24200－15x2，且生产 x 吨的成本为 R＝50000＋200x 元．问 每月生产多少吨该产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？(利润＝收 入－成本)．
[思路分析] 根据题意，月收入＝月产量×单价＝Px，月利润＝月收入－成本 ＝Px－(50000＋200x)(x≥0)，列出函数关系式建立数学模型后再利用导数求最大值．
自主练习巩固1
▪ 有一块边长为a的正方形铁板，现从铁板的四个角各截去一个相同 的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器．为使其容积最大，截 下的小正方形边长应为多少？
▪ [思路分析] 设截下的小正方形边长为x，用x表示出长方体的边长， 根据题意列出关系式，然后利用导数求最值．
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解析：过点A(0,16)作曲线y＝f(x)的切线， 设切点为(u, u3－3u)， 则 k＝3u2－3，又k＝u3－u3－u－0 16， ∴u3－u3－u－0 16＝3u2－3， 解得u＝－2，∴k＝9，切线方程为9x－y＋16＝0.
跟踪训练
3．设函数f(x)＝ax3＋bx＋c(a≠0)为奇函数，其图象在点(1， f(1))处的切线与直线x－6y－7＝0垂直，导函数f′(x)的最小值 为－12.
解析：(1)∵a·b＝(x2＋6x,5x)·31x，1－x ＝13 x3－3x2＋5x， ∴f(x)＝13 x3－3x2＋5x，x∈[0,9]. (2)f′(x)＝x2－6x＋5，令f′(x)＝0得x＝1或x＝5.
∴当x∈[0,1)或x∈(5,9]时，f′(x)＞0.
∴f(x)的单调递增区间为[0,1)和(5,9]. (3)∵f(0)＝0，f(1)＝73 ，f(5)＝－235，f(9)＝45， ∴最大值为45，最小值为－235 .
在点M π4，0处的切线的斜率为
()
A．－12
C．－
2 2
B.12
D.
2 2
解析：y′＝
cos xsin x＋cos x－sin xcos x－sin x sin x＋cos x2
＝
sin
1 x＋cos
x2，所以y′|x＝π4＝sinπ4＋1cosπ42＝12.
答案：B
1．函数在x0处取得极值，则f′(x0)＝0. 2．曲线f(x)在x0处的切线的斜率为f′(x0)． 3．在定义域内，解f′(x)＞0，解集为增区间，解f′(x)＜0， 解集为减区间．
1 6
，
因此，f′(1)＝3a＋b＝－6.
∴a＝2，b＝－12，c＝0.
(2)f(x)＝2x3－12x.
f′(x)＝6x2－12＝6(x＋ 2)(x－ 2)，列表如下：
x f′(x) f(x)
(－∞，－ 2 ) － 2
＋
0
↗
极大
(－ 2，2 ) － ↘
2 ( 2，＋∞)
0
＋
极小
↗
所以函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－ 2 )和( 2，＋∞)． ∵f(－1)＝10，f( 2 )＝－8 2，f(3)＝18， ∴f(x)在[－1,3]上的最大值是f(3)＝18，最小值是f( 2 )＝ －8 2 .
f1＝a＋c＝－32. 解得 a＝13，c＝－1. ∴a＝13 ，b＝0，c＝－1，d＝0.
(2)由(1)得，f′(x)＝x2－1. ∴过点(3,6)的切线的斜率k＝f′(3)＝8. ∴切线方程为y－6＝8(x－3)， 即8x－y－18＝0.
导数在函数中的综合应用
已知函数f(x)＝x3－3x.过点A(0,16)作曲线y＝f(x)的切 线，求此切线方程．
跟踪训练
2．设函数f(x)＝ax3－2bx2＋cx＋4d(a，b，c，d∈R)的图
象关于原点对称，且x＝1时，f(x)取极小值－
2 3
.
(1)求a，b，c，d的值；
(2)求以点(3,6)为切点的曲线的切线方程．
解析：(1)∵f(x)的图象关于原点对称， ∴f(－x)＝－f(x)． ∴－ax3－2bx2－cx＋4d＝－ax3＋2bx－cx－4d， 即－2bx2＋4d＝2bx2－4d. ∴b＝0，d＝0. ∴f(x)＝ax3＋cx. ∴f′(x)＝3ax2＋c. ∴ f′1＝3a＋c＝0，
4．常用求导或函数单调性求最值.
A．2
B．3
C．4
D．5
3．垂直于直线2x－6y＋1＝0且与曲线y＝x3＋3x2－5相切 的直线方程是__y_＝__－__3_x－__6__．
利用导数运算巧求导数值
设f(x)＝(x－1)(x－2)…(x－6)，求f′(1)．
解析：f(x)＝(x－1)[(x－2)(x－3)…(x－6)] ∴f′(x)＝(x－1)′[(x－2)(x－3)…(x－6)]＋(x－1)·[(x－2)(x －3)…(x－6)]′ ＝(x－2)(x－3)…(x－6)＋(x－1)[(x－2)(x－3)…(x－6)]′. 令x＝1，得f′(1)＝(1－2)(1－3)…(1－6)＋0 ＝(－1)(－2)…(－5) ＝－120.
3．求函数解析式与导数相关的题，要有列方程意识，有 几个参数要待定就设法列出几个方程．
4．设y＝2x＋5，那么y在区间[－3，－1]上的最小值是 ____－__1__．
5．设y＝|x|3，那么y在区间[－3，－1]上的最小值是( D )
A．27
B．－3
C．－1
D．1
6．函数f(x)＝x2－2x－9，则当x＝___1_____时， 函数取得 最____小____值，最值为__－__1_0___．
生活中的优化问题举例
基础梳理
1．导数在几何中的应用：如求切线问题，要正确求出相 应函数的导数，看清题意，如果求过某点的函数的曲线的切 线，首先要判断该点是否在曲线上，再确定切线条数，最后 再应用导数求出切线．
2．导数与向量的综合题，一般首先是用向量相关概念将 之转化为纯函数问题，再利用导数研究函数．
(1)求a，b，c的值； (2)求函数f(x)的单调递增区间，并求函数f(x)在[－1，3] 上 的最大值和最小值．
解析：(1)∵f(x)为奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
即－ax3－bx＋c＝－ax3－bx－c，∴c＝0.
∵f′(x)＝3ax2＋b的最小值为－12，
∴b＝－12.又直线x－6y－7＝0的斜率为
跟踪训练
1．函数f(x)＝x3－3x2＋1的单调递减区间为( D )
A．(2，＋∞)
B．(－∞，2)
C．(－∞，0)
D．(0,2)
导数与向量的综合应用
设a＝(x2＋6x,5x)，b＝3x，1－x，x∈[0,9]． (1)求f(x)＝a·b的表达式； (2)求f(x)的单调递增区间； (3)求f(x)的最大值和最小值．
1．函数y＝cos 2x在点π4，0处的切线方程是(
)
A．4x＋2y＋π＝0
B．4x－2y＋π＝0
C．4x－2y－π＝0
D．4x＋2y－π＝0
答案：D
2．已知曲线y＝f(x)在x＝－2处的切线的倾斜角为34π ，则 f′(－2)＝__－__1__.3．曲线y＝sin
sin x x＋cos
x－12
自测自评
1．已知f(x)＝x2＋3xf′(1)，则f′(2)＝(
A．1
B．2
C．4
) D．8
解析：依题意，f′(x)＝2x＋3f′(1)，则f′(1)＝－1，所 以f′(2)＝4－3＝1，选择A.
答案：A
2．函数f(x)＝x3－ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝1时取得极值， 则a＝( ) B