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牛顿迭代法李保洋数学科学学院信息与计算科学学号：060424067指导老师：苏孟龙摘要：牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法，即牛顿迭代法.迭代法是一种不断用变量的旧值递推新值的过程•跟迭代法相对应的是直接法或者称为一次解法，即一次性解决问题•迭代法又分为精确迭代和近似迭代“牛顿迭代法”属于近似迭代法，本文主要讨论的是牛顿迭代法，方法本身的发现和演变和修正过程，避免二阶导数计算的Newton迭代法的一个改进，并与中国古代的算法，即盈不足术，与牛顿迭代算法的比较•关键词：Newton迭代算法；近似求解；收敛阶；数值试验；中国古代数学;九章算术；Duffing方程；非线性方程；收敛速度；渐进性0引言：迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程，跟迭代法相对应的是直接法或者称为一次解法，即一次性解决问题•迭代法又分为精确迭代和近似迭代•“二分法”和“牛顿迭代法”属于近似迭代法•迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法•它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令（或一定步骤）进行重复执行，在每次执行这组指令（或这些步骤）时，都从变量的原值推出它的一个新值•具体使用迭代法求根时应注意以下两种可能发生的情况：（1）如果方程无解，算法求出的近似根序列就不会收敛，迭代过程会变成死循环，因此在使用迭代算法前应先考察方程是否有解，并在程序中对迭代的次数给予限制•（2）方程虽然有解，但迭代公式选择不当，或迭代的初始近似根选择不合理，也会导致迭代失败•所以利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作：1、确定迭代变量•在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量2、建立迭代关系式.所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式（或关系）.迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成.3、对迭代过程进行控制，在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题.不能让迭代过程无休止地重复执行下去.迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是所需的迭代次数无法确定.对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制；对于后一种情况，需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件.1牛顿迭代法：洛阳师范学院本科毕业论文X 0 牛顿迭代有十分明显的几何意义，如图所示:牛顿 迭代法(Newton method)又称为牛顿-拉夫逊方法(Newto n-Rapfsonmethod)，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方 法.多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要•方法使用函数f x 的泰勒级数的前面几项来寻找方程f x =0的根•牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f x =0的单根附近具有平方收敛性，而且该法还可以用来求方程的重根、复根. 另外该方法广泛用于计算机编程中：解非线性方程f x ]=0的牛顿(Newton)法是把非线性的方程线性化的一种近似方法•把f x 的x 点附近展开泰勒(Taylor )级' 2 f x = f x 0 f X - X 0 f x 0 ］亠 ix - X 0取其线性部分作为非线性方程f x =0的近似方程，则有:f X 。
分析论述牛顿迭代法
牛顿迭代法（Newton's Iteration Method）是一种常用的数
值计算方法，它是由英国数学家牛顿发明的。
它的最大优点是收敛速度快，可以快速地求解方程的根，有效地减少计算时间，是解决方程组和非线性方程的有效方法。
牛顿迭代法是一种基于牛顿插值多项式的数值计算方法。
它把待求解函数f（x）看做一个多项式，然后按照牛顿插值
多项式的算法，从x0出发，反复求解f（x）的极值点，直至
收敛，从而找到函数f（x）的根。
牛顿迭代法的具体步骤如下：（1）给定函数f（x）的初
值x0；（2）计算f（x）的极值点x1；（3）根据误差e = |x1 - x0|，选定迭代次数或者误差界限；（4）更新x0 = x
1，重复（2）（3）步骤，直至误差小于指定界限；（5）得到函数f（x）的根。
牛顿迭代法的收敛速度很快，只需要几次迭代就可以求得函数f（x）的根，而且这种方法也比较简单易行，只要给出
初值，就可以用它来求解一般的非线性方程。
牛顿迭代法的主要缺点是只能求解单根问题，即一元函数的根。
另外，牛顿迭代法的初值必须比较接近函数f（x）的根，如果初值比较远，迭代收敛的速度就会变慢，甚至不收敛。
总之，牛顿迭代法是一种有效的求解一元函数的根的方法，它的收敛速度快，可以有效地减少计算时间。
但是，它只能求解单根问题，而且初值也必须比较接近函数f（x）的根，否
则它的收敛速度就会变慢。
牛顿迭代法解动力学方程不收敛摘要：1.引言2.牛顿迭代法简介3.动力学方程及其收敛性问题4.牛顿迭代法在解动力学方程中的应用5.牛顿迭代法在解动力学方程中的不收敛问题6.结论正文：1.引言在物理学中，动力学方程是描述物体运动状态的数学模型，广泛应用于各种实际问题中。
然而，在求解动力学方程时，常常会遇到收敛性问题。
牛顿迭代法作为一种求解非线性方程的数值方法，被广泛应用于解动力学方程。
本文将探讨牛顿迭代法在解动力学方程中的不收敛问题。
2.牛顿迭代法简介牛顿迭代法是一种求解非线性方程的数值方法，其基本思想是通过迭代使得函数值逐步逼近零。
对于非线性方程F(x) = 0，牛顿迭代法的迭代公式为：x[n+1] = x[n] - F(x[n])/F"(x[n])，其中F"(x) 表示F(x) 的导数。
牛顿迭代法具有二阶收敛性，即当迭代步长足够小，且初始值足够接近真实解时，可以通过有限次迭代得到精确解。
3.动力学方程及其收敛性问题动力学方程描述了物体在给定力的作用下的运动状态，通常包括质量、速度、加速度等物理量。
求解动力学方程时，通常需要采用数值方法，因为解析解往往难以求得。
然而，在数值求解过程中，可能会遇到收敛性问题。
例如，在迭代过程中，如果迭代步长过大或者初始值与真实解差距过大，可能导致迭代结果发散，无法得到精确解。
4.牛顿迭代法在解动力学方程中的应用由于牛顿迭代法具有二阶收敛性，因此在求解动力学方程时，可以得到较好的数值解。
在实际应用中，可以根据动力学方程的特点，选择合适的牛顿迭代法求解。
例如，对于具有显式解的动力学方程，可以直接使用牛顿迭代法求解；对于具有隐式解的动力学方程，可以通过拟合等方法得到显式解，然后使用牛顿迭代法求解。
5.牛顿迭代法在解动力学方程中的不收敛问题尽管牛顿迭代法具有二阶收敛性，但在求解动力学方程时，仍然可能出现不收敛的情况。
这主要是因为动力学方程的非线性特性和迭代过程中的误差累积。
牛顿迭代法的收敛性和稳定性牛顿迭代法是一种高效的求解非线性方程组的方法。
它的基本思想是通过不断逼近目标函数的零点来求解方程，其中每次迭代通过求解目标函数的一阶导数和二阶导数来更新逼近值。
与其他求解非线性方程组的方法相比，牛顿迭代法具有更快的收敛速度和更高的精度。
然而，牛顿迭代法在实际应用中也存在一些问题，例如收敛性和稳定性。
本文将就牛顿迭代法的收敛性和稳定性进行探讨。
一、牛顿迭代法的收敛性牛顿迭代法的收敛性与初始迭代值的选择有关。
如果选择的初始迭代值与目标函数的零点较接近，则牛顿迭代法的收敛速度越快，精度越高。
反之，如果初始迭代值与目标函数的零点较远，则可能会导致收敛速度缓慢甚至无法收敛。
因此，通常使用牛顿迭代法进行求解时，需要通过试探法或其他方法寻找较接近目标函数零点的初始迭代值。
另外，牛顿迭代法的收敛性还与目标函数的性质有关。
具体来说，如果目标函数在初始迭代值处的二阶导数为正且在目标函数的零点处存在且连续，则牛顿迭代法一般会收敛到目标函数的零点。
而如果目标函数在某些点处的二阶导数为零或不存在，则可能会出现收敛速度缓慢或收敛不足的情况。
二、牛顿迭代法的稳定性牛顿迭代法的稳定性是指对于具有微小扰动的初始迭代值，迭代结果能否保持不变或只有微小的差异。
在实际应用中，由于存在数值误差或输入数据的不确定性，牛顿迭代法可能会受到微小扰动的影响而产生不稳定的结果。
因此，需要采取措施来提高牛顿迭代法的稳定性。
一种提高牛顿迭代法稳定性的方法是采用牛顿-拉夫逊迭代法。
牛顿-拉夫逊迭代法是在牛顿迭代法的基础上加入阻尼因子来实现的。
具体来说，牛顿-拉夫逊迭代法使用目标函数的一阶导数和二阶导数来更新逼近值，并在迭代过程中加入一个阻尼因子，使迭代结果在微小扰动下不会产生过大的变化。
此外，还可以采用增量式牛顿迭代法来提高牛顿迭代法的稳定性。
增量式牛顿迭代法是一种递推算法，它的基本思想是将目标函数的二阶导数逐步逼近到实际的值，并在每次迭代中只更新部分二阶导数，以减小更新过程中的数值误差。
牛顿迭代法在优化问题中的应用牛顿迭代法是一种基于泰勒级数的优化算法，可以有效地解决优化问题。
它的基本思想是从一个初始点出发，利用一阶导数和二阶导数信息，逐步找到函数的极值点。
在这篇文章中，我们将介绍牛顿迭代法在优化问题中的应用，并且通过实际例子来演示如何使用该方法求解问题。
一、牛顿迭代法的基本思想牛顿迭代法可以解决那些需要找到函数最值点的问题。
它的基本思想是从一个初始点 $x_0$ 出发，利用函数的一阶导数和二阶导数信息，逐步逼近函数的最值点。
具体的实现方式是通过求解下列方程来确定下一个迭代点 $x_k$：$$f(x_{k+1})=f(x_k)+f'(x_k)(x_{k+1}-x_k) +\frac{1}{2}f''(x_k)(x_{k+1}-x_k)^2 = 0$$其中，$f'(x_k)$ 和 $f''(x_k)$ 分别是函数 $f(x)$ 在点 $x_k$ 处的一阶导数和二阶导数。
这个方程可以通过牛顿迭代法一步一步地求解，直到达到预定的收敛条件。
二、例子说明现在我们通过一个例子来说明牛顿迭代法的运用。
假设我们要求解函数 $f(x)$ 的最小值，其中$$f(x)=x^3-2x^2+4$$首先我们需要求解 $f(x)$ 的一阶导数和二阶导数：$$f'(x) = 3x^2-4x$$$$f''(x) = 6x-4$$接下来设置初始点 $x_0=0$，然后运用牛顿迭代法求解下一个迭代点 $x_1$：$$f(x_1) = f(x_0) + f'(x_0)(x_1-x_0) + \frac{1}{2}f''(x_0)(x_1-x_0)^2=0$$化简得：$$x_1= \frac{4}{3}$$接下来我们将 $x_1$ 作为下一个初始点，并重复上述的操作，得到：$$x_2= 1.33333333...$$这个迭代过程是连续迭代的，当$x_k$ 的值趋近于最小值点时，函数值逐渐接近于 0。
牛顿迭代法在求解物料平衡式中的应用1. 绪论- 物料平衡式的重要性及应用- 牛顿迭代法的基本原理及优势2. 物料平衡式的数学表达- 质量平衡式和能量平衡式的表达及推导- 物料平衡方程组的形式化表示3. 牛顿迭代法的具体应用- 牛顿迭代法在求解非线性方程组中的应用- 牛顿迭代法在求解物料平衡式中的应用原理- 牛顿迭代法求解物料平衡式的具体步骤4. 案例分析- 对比常规求解方法和牛顿迭代法在求解物料平衡式中的效果- 以化工过程生产过程为例，使用牛顿迭代法求解物料平衡式的实践操作5. 结论和展望- 牛顿迭代法在求解物料平衡式中的应用效果- 牛顿迭代法在工业生产中的应用前景及未来发展趋势1. 绪论在工业生产过程中，物料平衡式是一项十分重要的技术。
物料平衡式可以帮助工程师了解工艺流程中各物料之间的关系，在工艺设计、质量控制、能源管理等方面都具有重要的作用。
而牛顿迭代法则是一种常用的求解非线性方程组的方法，其具有收敛速度快、精度高等优势，因此被广泛应用于求解物料平衡式中。
本论文将主要讲述牛顿迭代法在求解物料平衡式中的应用。
具体地，我们将从物料平衡式的数学表达、牛顿迭代法的基本原理及优势、牛顿迭代法在求解非线性方程组中的应用以及牛顿迭代法在求解物料平衡式中的具体步骤等方面展开论述。
最后，我们以化工过程生产过程为例，介绍牛顿迭代法在实际工业生产中的应用效果，并探讨其未来发展趋势。
为了深入理解物料平衡式的重要性及应用，我们需要先了解一些基本概念。
物料平衡式是指以特定时间段和空间区域内的物料为研究对象，通过质量平衡式和能量平衡式来描述有关物料在空间和时间上的流动状态。
在工业生产中，物料平衡式经常被应用于流程设计、流程改进、能源管理和污染控制等方面，能够帮助工程师更好地理解和控制生产过程。
与此同时，牛顿迭代法也是一项非常重要的数值计算方法。
它可以通过迭代的方式来不断逼近非线性方程组的解，并最终求出方程组的解。
牛顿迭代法的优势在于收敛速度快、精度高等方面，在求解非线性方程组方面具有广泛的应用。
牛顿迭代的埃特金加摘要：牛顿迭代法是求解非线性方程的一种有效的方法，在通常情况下至少有平方收敛。
运用牛顿迭代法不仅关心它的收敛与否，同时还要关心它的收敛速度。
现存的关于牛顿迭代加速收敛的文献有很多。
参阅本文试图通过用埃特金算法，来加速牛顿迭代的收敛速度。
关键词：牛顿迭代、加速收敛 、特金加速相关知识1. 埃特金算法对于一般的方程()0f x =,将它改写成：()x x ϕ=的形式，式中()x ϕ称为迭代函数。
由此得到的迭代公式：1()k k x x ϕ+=埃特金算法是将迭代1()k x x ϕ+=值再一次进行迭代，即 11()k k x x ϕ++=。
最后得到的公式：2111111()2k k k k k k kx x x x x x x ++++++-=--+。
2. 牛顿迭代法对于一般的方程f(x)=0,在近似根k x 附近用一阶泰勒多项式'()()()()k k k p x f x f x x x =+-来近似代替()f x ;取()0p x =的根作为()0f x =的新的近似根，记着1k x +；可以得到：1'()()k k k k f x x x f x +=-；这就是牛顿迭代公式。
牛顿迭代的埃特金加速 在这里用'()()()k k k f x x x f x ϕ=-来代替埃特金算法中的()x ϕ，即可得到 1'()()k k k k f x x x f x +=- （1）'1'''()()()()()()()()k k k k k k k k k k f x f x f x f x x x f x f x f x f x +-=--- （2）2111111()2k k k k k k kx x x x x x x ++++++-=--+（3）分别把（1）、（2）式代入（3）式中，这样就得到了牛顿迭代的埃特金加速格式：'1'''()()()()()()()()k k k k k k k k k k f x f x f x f x x x f x f x f x f x +-=----2''''''''''()()()()()()()()()()()()()()()2()()()()()k k k k k k k k k k k k k k k k k k k kk k k k k f x f x f x f x f x x x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x x x x f x f x f x f x f x ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫- ⎪⎛⎫⎪----+ ⎪ ⎪⎝⎭- ⎪⎝⎭ 数值验证求方程3270x -=我们知道此方程的精确解为3。
目录第一章：绪论 (2)第二章 Newton迭代原理 (3)2.1 一般迭代思想的设计 (3)2.2 Newton迭代法的原理 (3)2.3小结： (5)第三章 Newton迭代法的收敛性 (6)3.1 Newton迭代法中不收敛的情况 (6)3.2 定理证明 (7)3.3 Newton迭代法的收敛性分析 (10)3.4小结： (12)第四章两种改进的Newton迭代法 (14)4.1 改进初值x的Newton下山法 (14)4.2 一种新的Newton迭代法加速设计 (15)4.3小结： (16)第五章 Newton迭代法的应用 (17)5.1 Newton迭代法的Matlab实现 (17)5.2 数值举例 (17)5.3小结： (20)总论 (21)参考文献 (22)致谢 (23)第一章绪论在自然科学和工程技术中很多问题的解决常常归结为解非线性方程（组）或者线性方程（组)代数方程组，例如电学中的网络问题，船体数学放样中建立三次样条函数问题，用最小而乘求是实验数据的曲线拟合问题，用差分或者有限元方法解常微分方程等。
关于非线性方程（组）的求解，一般有两类解法：直接法和迭代法。
我们知道，只有一次、二次和三次方程有规范的求根公式，而高于三次的方程0)xf是不存在求根公式的。
因此求根变得一异常的困难。
而科学计算却(很好解决了这一问题，其中最基本的算迭代法了，它对于解决非线性方程（组）的根变得异常方面。
就迭代法而言，Newton迭代法可算是其经典之作。
Newton迭代法又称为Newton-Raphson迭代法，它是Newton在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。
牛顿迭代法是求非线性方程（组）根的重要方法之一，其迭代格式简单，且在单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根。
关于Newton迭代法，许多学者为之做了相当多的研究，并且留下了很多经典的文献([2-6])。
Newton迭代法在解决Banach空间中非线性方程或方程组的应用更为重要，如梯形Newton迭代法。
. 1 / 6'. “牛顿迭代法”最新进展文献综述 牛顿法是一种重要的迭代法，它是逐步线性化的方法的典型代表。牛顿迭代法又称为牛顿-拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根。另外该方法广泛用于计算机编程中。 介绍一下牛顿迭代法研究的前沿进展，1992年南京邮电学院基础课部的夏又生写的一篇题名一类代数方程组反问题的牛顿迭代法，对一类代数方程组反问题提出了一个可行的迭代解法。从算法上看,它是一种解正问题—迭代—解正问题迭代改善的求解过程。湖南师范大学的吴专保;徐大发表的题名堆浸工艺中浸润面的非线性问题牛顿迭代方法，为了研究堆浸工艺的机理,用牛顿迭代公式寻求浸润面的非线性方程的数值解,经过14次迭代的误差达到了,说明此算法收敛有效。浙江大学电机系的林友仰发表的牛顿迭代法在非线性电磁场解算中的限制对非线性电磁场解算中的限制做了分析，求解非线性方程组时迭代法是不可避免的。牛顿—拉斐森迭代法由于它的收敛速度快常被优先考虑。应用这个方法的主要问题是求雅可比矩阵。因为雅可比矩阵元素的计算非常费时。然而,本文要说明的是当利用以三角形为单元的有限元法求解非线性方程组时,应用牛顿法其雅可比矩阵容易求得,并且它保持了原系数的对称性和稀疏性,因而节省了时间。与此相反,若在差分法中应用牛顿迭代,并且按习惯用矩形网格进行剖分,则雅可比阵的计算很费时,而且不再保持原有对称性,这就使得存贮量和计算时间大为增加。南株洲工学院信息与计算科学系的吕勇;刘兴国发表的题名为牛顿迭代法加速收敛的一种修正格式，主要内容牛顿迭代法是求解非线性方程的一种重要的数值计算方法,在通常情况下,它具有至少平方收敛。本文利用文献[4]所建立的迭代格式xn+1=xn-αf(xfn)(x+n)f′(xn),对迭代格式中的参数α的讨论,实现了牛顿迭代法加速收敛的一种修正格式。 . 2 / 6'. O5年江南大学理学院张荣和他的伙伴薛国民发表了一篇名为修正的三次收敛的牛顿迭代法的论文，给出了牛顿迭代法的两种修正形式,证明了它们都是三阶收敛的,给出的相互比较的数值例子有力地说明了这一点。哈尔滨工程大学水声工程学院的王大成和雷亚辉一块和丁士圻在07年做了一篇题名基于牛顿迭代法的频不变响应阵设计的文献，为了避免空间指向性随频率变化造成发射或接收信号失真,目标检测与分类用主动声呐常采用频不变响应阵。频域加权矢量的计算是设计频不变响应阵的关键技术。首先根据基阵对空间信号的接收模型给出频不变响应阵的定义,接着从描述基阵实际空间响应和预成空间响应之间差异的数学表达式出发,提出了频不变指数的概念,进而结合所研究问题的目标函数特性给出了利用牛顿迭代法获得实现频不变响应阵所需频域加权矢量的新算法。针对均匀线阵和圆弧阵所作的计算机仿真结果表明,新算法不但收敛速度快、计算精度高,而且不受基阵类型和阵元指向性的限制。 张子贤河北工程技术高等专科学校在93年发表一篇题名牛顿迭代法在内部回收率推求中的应用主要内容是 在水利工程经济分析和财务分析中,内部回收率是《水利经济计算规范》中规定的方法之一。所谓内部回收率是指工程内在的回收投资的能力或内在的取得报酬的能力。也就是要计算出什么利率下,该工程在整个经济计算期内的效益现值与该工程的全部投资、年运行费用现值相等。湖南师范大学的吴专保，徐大为了研究堆浸工艺的机理,用牛顿迭代公式寻求浸润面的非线性方程的数值解,经过14次迭代的误差达到了,说明此算法收敛有效，发表了堆浸工艺中浸润面的非线性问题牛顿迭代方法。85年浙江大学电机系的林悠扬发表题名牛顿迭代法在非线性电磁场解算中的限制，在文献中讨论了求解非线性方程组时迭代法是不可避免的。牛顿—拉斐森迭代法由于它的收敛速度快常被优先考虑。应用这个方法的主要问题是求雅可比矩阵。因为雅可比矩阵元素的计算非常费时。然而,本文要说明的是当利用以三角形为单元的有限元法求解非线性方程组时,应用牛顿法其雅可比矩阵容易求得,并且它保持了原系数的对称性和稀疏性,因而节省了时间。与此相反,若在差分法中应用牛顿迭代,并且按习惯用矩形网格进行剖分,则雅可比阵的计算很费时,而且不再保持原有对称性,这就使. 3 / 6'. 得存贮量和计算时间大为增加。 08年奥运会中北京化工大学数学系的余明明和吴开谡，张妍发表牛顿迭代法与几种改进格式的效率指数，主要研究牛顿迭代、牛顿弦截法以及它们的六种改进格式的计算效率,计算了它们的效率指数,得到牛顿迭代、改进牛顿法、弦截法和改进弦截法(即所谓牛顿迭代的P.C格式)、二次插值迭代格式、推广的牛顿迭代法、调和平均牛顿法和中点牛顿法的效率指数分别为0.347/n、0.3662/n、0.4812/n、0.4812/n、0.347/n、0.3662/n、0.3662/n、0.3662/n.我们的结果显示,利用抛物插值多项式推出的迭代格式和改进弦截法并没有真正提高迭代的计算效率。他们还改进弦截法与牛顿弦截法等价。牛顿迭代法在日常生活中应用非常广泛，许多论文介绍了这种方法，利用这种方法解决了很多实际问题，多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。为此我们在学习中要体会这种方法的重要性。 牛顿迭代法是以微分为基础的，微分就是用直线来代替曲线，由于曲线不规则，那么我们来研究直线代替曲线后，剩下的差值是不是高阶无穷小，如果是高阶无穷小，那么这个差值就可以扔到不管了，只用直线就可以了，这就是微分的意义。牛顿法是牛顿在17世纪提出的一种求解方程f(x)=0.多数方程不存在求根公式，从而求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。牛顿迭代法是取x0之后，在这个基础上，找到比x0更接近的方程的跟，一步一步迭代，从而找到更接近方程根的近似跟。方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根。另外该方法广泛用于计算机编程中。 罗佑新，李晓峰，罗烈雷，廖德岗组成小组在07年发表一篇题名混沌映射牛顿迭代法与平面并联机构正解研究，主要研究了自然科学与工程中的许多问题都可以转化为非线性方程组的求解问题,牛顿迭代法是重要的一维及多维的迭代技术,其迭代本身对初始点非常敏感。运用混沌映射xn+1=cos(2/xn)产生初始点,首次提出了基于混沌映射的牛顿迭代法求解非. 4 / 6'. 线性方程组的新方法。对3-RPR平面并联机构正解问题进行了研究,给出了算例。该方法简单、实用,为实际机构的设计提供了多种选择方案,为机构学设计提供了全新的方法。北京联合大学应用文理学院的廖章钜写了牛顿迭代法与剖分相结合的一种多项式求根算法，主要解决了牛顿迭代法是多项式求根的一种效率很高的算法，但是它有两个缺点：第一每次只能求出一个ε－根，求其它根时若采用降次处理又会产生精度降低的问题。第二有时会遇到由于初始点选择不当而使算法失效。如果将牛顿迭代法与剖分相结合，可以产生一个新的多项式求根算法。经过对１１０个１０次到２０次多项式的求根检验发现：１）一次求根率（求出根数与应有根数之比）达到８８％以上；２）已经求出的每一个根的平均迭代次数Ｋ（ｄ）＝ｃ（ｄ）·ｄ，其中ｄ为多项式的次数，ｃ（ｄ）＜１４；３）在复数域内求一个根的计算量为Ｏ（ｄ３）次实数乘法。中国科学院地理信息产业发展中心的张立立发表对牛顿迭代法进行普通多圆锥投影的逆变换算法的改进，研究普通多圆锥投影坐标逆变换可以使用牛顿迭代法来求解超越方程。但是使用杨启和设计的牛顿迭代法只能对多圆锥投影坐标的部分区域内的数据进行逆变换,不能求解全球范围内的经纬度。本文对杨启和设计的牛顿迭代法的初值确定进行了改进,可以对全球范围内的数据进行逆变换,利于程序设计和实现。周新年,罗仙仙,罗桂生,郑丽凤,官印生从悬链线的标准线形出发 ,推导悬索无荷线形及拉力的计算式 ;通过建立状态协调方程 ,导出有荷水平拉力与有荷挠度的关系 ,运用牛顿迭代的数值解法求解悬索有荷线形与拉力。题名为牛顿迭代法悬索线形与拉力的研究。 廖章钜发表题名与剖分相结合的牛顿迭代法使牛顿迭代法与剖分相结合所产生的新算法显示出: l.几乎可以求出一元复n次多项式的所有根。2.可以求出二元n次多项式的等位线。南京师范大学李贤成发表题名3000m障碍跑场地设计的一种新方案——牛顿迭代法在场地设计中的应用，本文用牛顿迭代法求得3000m障碍跑第二弯道所需设计线应对圆心角的弧度和圆的半径,给障碍跑场地的设计和测画提供了理论依据。兰州工业高等专科学校机械工程系,兰石总厂石化公司的罗文翠,王玉虎写了一篇基于牛顿迭代法计算圆弧齿轮传动公法线长度的文献，这篇文献主要讲述了以圆弧齿轮传动及. 5 / 6'. 其测量尺寸公法线长度的计算原理和公式为依据 ,以6 7型单圆弧齿轮为例 ,提出利用牛顿迭代法计算圆弧齿轮公法线的原理、求解方程流程图、迭代方程及编程 ,比手工计算大大降低了工作量 ,而且精度也得到了很好保证。宁波高等专科学校电子系洪立给出了牛顿迭代的广义收敛条件，并在Ｂａｎａｃｈ空间中建立了相应的收敛定理．用自己题名为牛顿迭代的收敛条件的文章说明了此收敛条件比ＳｍａｌｅＳ在１９８６年的结果更佳。武汉化工学院自动化系杨帆,郭德文用题名为“牛顿迭代法”构造高阶 M -J分形图阐述了用“牛顿迭代法”构造高阶 M J分形图的原理、方法及分形图特征 ;并用 VB编制了分形演示程序软件包 ;用计算机模拟了大量分形图。 沈阳化工学院邵国万,刘玉芹发表基于牛顿迭代法的移动机器人编队算法，该文借鉴滚动规划的思想,探究了全局环境未知,障碍物分散条件下移动机器人系统的编队问题。文中提出的基于牛顿迭代法的移动机器人编队算法,将机器人系统的编队问题分解为各个机器人自主移向预定目标的过程,利用实时探得的局部环境信息,不断修整预定目标而完成编队。该算法计算量小,实时性强,不受编队形状所限。仿真结果表明了该算法的有效性。 兰州工业高等专科学校机械系,兰州兰石国民油井工程公司,兰州工业高等专科学校机械系,电源车辆研究所的罗文翠,王玉虎,刘哲,于海滨共同发表题名利用牛顿迭代法计算双圆弧齿轮传动公法线长度，以双圆弧齿轮传动及其测量尺寸公法线长度的计算原理和公式为依据,以 81型双圆弧齿轮为例,提出利用牛顿迭代法计算双圆弧齿轮公法线长度的原理、流程及迭代方程,与手工计算相比大大降低了工作量,而且精度也得到了很好的保证。燕山大学机械工程学院秦泗吉,李洪波,朱清香,杨煜生发表刚塑性有限元牛顿迭代解法收敛性分析及改进方法说明了刚度阵迭代算式中非线性项含有应变速率倒数，易使刚度阵产生畸变，迭代难以收敛对此，提出了在使迭代算式仍满足牛顿法的要求的情况下，逐步增加非线性项对刚度阵贡献的方法经编程计算验证，该方法可放宽对初始近似的要求，较易得到收敛解。 牛顿迭代法具有平方收敛的速度，所以在迭代过程中只要迭代几次就会得到很精确的解。这是牛顿迭代法比简单迭代法优越的地方。选定的初值要接近方程的解，否则有可能的不到收敛的结果。再者，牛顿迭代法计算量比
