【BSD版春季课程初三数学】第13讲：圆及圆的对称性学案(教师版)

2024北师大版数学九年级下册3.2《圆的对称性》教学设计1一. 教材分析《圆的对称性》是北师大版数学九年级下册第3.2节的内容。

本节主要让学生了解圆的对称性质，包括圆是轴对称图形，圆有无数条对称轴，圆的对称轴是直径所在的直线。

教材通过生活中的实例，引导学生探究圆的对称性质，培养学生的观察能力、操作能力和推理能力。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了轴对称图形和中心对称图形，对对称性质有一定的了解。

但圆的对称性质较为抽象，需要学生通过实际操作、观察和推理来理解和掌握。

此外，学生可能对圆的直径和半径的概念有所混淆，需要在教学过程中进行澄清。

三. 教学目标1.了解圆的对称性质，知道圆是轴对称图形，有无数条对称轴，对称轴是直径所在的直线。

2.能运用圆的对称性质解决实际问题。

3.培养学生的观察能力、操作能力和推理能力。

四. 教学重难点1.圆的对称性质的理解和运用。

2.圆的直径和半径概念的区分。

五. 教学方法采用问题驱动法、实例分析法、合作学习法和引导发现法进行教学。

通过生活中的实例，引导学生观察和操作，发现圆的对称性质。

在教学过程中，注重学生的独立思考和合作交流，培养学生的推理能力和解决问题的能力。

六. 教学准备1.准备相关的实例图片和教学素材。

2.准备教学课件和板书设计。

3.准备练习题和作业题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些生活中的圆对称图形，如圆形的饼干、车轮等，引导学生观察和思考：这些图形有什么共同特点？它们有什么特殊性质？2.呈现（10分钟）呈现圆的对称性质，引导学生观察和操作：（1）圆是轴对称图形，有无数条对称轴。

（2）圆的对称轴是直径所在的直线。

通过实际操作和观察，让学生发现圆的对称性质。

3.操练（10分钟）让学生分组进行合作学习，每组选择一个圆，用彩笔标记出它的对称轴。

然后，让学生互相交流和分享，看看哪一组的发现与其他组有所不同。

4.巩固（10分钟）出示一些有关圆的对称性质的练习题，让学生独立完成。

北师大版初中数学九年级下册《圆的对称性》教案设计课题：第三章第2节圆的对称性（1）课型：新授课教学目标：1.理解圆的对称性（轴对称）及有关性质.（重点）2．理解垂径定理及推论，并会运用其解决有关问题．(难点)教法与学法指导：这节课主要通过“找圆心”等问题情境激发学生探究的兴趣和热情，经历“操作实践—大胆猜测---综合证明----灵活应用”的课堂模式，在探究垂径定理过程中，让学生领会数学的严谨性，并培养学生的数学应用意识，勇于探索的精神. 课前准备：制作课件，学生预习学案.教学过程：一、情景导入明确目标组织教学：准备，给每一位同学发放圆形纸片（用化学滤纸）；并提出问题，(问题1) 通过上节课《车轮为什么是圆形》的学习，认识了圆的基本概念,这是一张圆形纸片,你有什么办法找出它的圆心呢？学生活动：学生凭借经验很容易想到用两次折叠的方法，找到圆心.[师]：同学们上一节课,我们学习了圆的基本概念，知道，半径定圆的大小，圆心定圆的位置.下面，请一位同学到前面演示自己找圆心的过程.学生演示：[师]：（问题2）在折叠的过程中，你从中还知道圆具有什么性质?[生1]：老师，圆是对称图形，既是轴对称图形，又是中心对称图形.[师]：很好，同学们观察的很认真，这节课，我们重点研究圆的轴对称性，那么，圆的对称轴是怎样的直线，有多少条对称轴？[生2]：老师，圆的对称轴是直径，它有无数条对称轴. [师]：同学们，这位同学回答的对吗？[生3]：不正确，对称轴应该是直线，而直径是线段，应该说，对称轴是直径所在的直线，或者是过圆心的直线.教师活动：进行鼓励表扬并板书，3.2 圆的对称性（1）圆的对称性：圆是轴对称图形，对称轴是任意一条过圆心的直线.设计意图：问题可以激发学生学习数学的兴趣，而兴趣又是最好的老师.通过设计一连串的问题情境容易引发学生学习和探究的兴趣，在动手操作中既复习圆的意义，又探索到圆的对称性. 二、自主学习 合作探究：探究活动一：圆的基本概念 （让学生注意观察动画课件）学案(问题3)：（1）什么是弦？什么是弧？如何区别？怎么表示？ （2）弧与弦分别可以分成几类？它们如何区分？ 学情预设：可能出现的情形一：学生看书后能理解弦、弧、优弧、劣弧及半圆的意义，但是难以区别异同，如：弦是线段，弧是曲线段；直径是弦，但弦不一定是直径；半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧．情形二：学生写出的弧可能重复或遗漏，不能掌握“优弧与劣弧成对出现”的规律. 情形三：优弧的表示方法.以上若学生不能讨论总结得出，则需要老师引导得出结论.学生活动：学生在预习的前提下边观察图形演示边独立思考，再在四人小组间交流讨论. 教师活动：参与学生的讨论，注意收集信息，以便及时补充，然后提问.C[生1]：(1)连接圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫直径.圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧;直径的两个端点把圆分成两个部分，每一部分叫做半圆.大于半圆弧叫优弧，小于半圆的弧称为劣弧.[生2]：弦是线段，弧是曲线段.弧的表示方法是在两个端点上面添加“︵“符号. [生3]：弦分为过圆心的和不过圆心的弦；弧分为劣弧、半圆、优弧.[师] 同学们总结的很好，下面，结合图形加深认识，并思考，你还可以得出什么性质.教师活动：引导学生，能不能从它们之间的相互关系来比较说明.[生4]：直径是弦，但弦不一定是直径；半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧.[生5]：直径是圆中最大的弦. 学生活动:整理好笔记.设计意图：让学生带着问题探究，加强自主探究的针对性，激发思考与交流，从而真正掌握它们的本质与异同，学会辨证统一、分类讨论地解决问题，提高课堂效率.探究活动二：垂径定理 （问题4）（1）刚才折出的两条直径是怎样的位置关系？图中能得出哪些等量关系？（2）若把AB 向上平移到任意位置，成了不是直径的弦，折叠后猜想：还有与刚才类似的结论吗？有哪些方法证明你的猜想正确与否？（3）思考：上述探索过程利用了圆的什么性质？还运用了哪些知识？若只证明AM =BM ，还有什么方法？优弧AB 半圆CD劣弧AB C（4）把上述发现归纳成文字语言和几何语言.学生活动：拿出圆形纸片,将其对折，得到一条折痕CD,在CD 上取一点M ，作CD 的垂线AB,然后再将圆沿CD 对折，观察，得出结论.[生1]：垂直关系；相等的量有，AM =BM , 因为圆沿直线CD 对折后，点A 与B 重合. [生2]： 若只证明AM =BM ， 还可以用等腰三角形“三线合一”. 证明：连接OA ,OB 则OA =OB 又 ∵CD ⊥AB∴AM =BM ,CD 是线段AB 的垂直平分线 ∴点A 和点B 关于直线CD 对称 ∴教师活动:引导学生总结并板书 文字语言和几何语言：垂径定理： 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的（两条）弧． 如图，在⊙O 中，即①②→③④⑤① CD 是直径 ③AM =BM ，④ ② CD ⊥AB 于M ⑤ 设计意图：用运动变化的观点体会从特殊到一般研究问题的方法，在折叠中领会定理的证明思路，突出重点、突破难点，培养学生的逻辑思维能力，提高学生的概括、总结的语言表达能力.探究活动三：垂径定理的推论 议一议：(问题5)同学们，如果把“垂径定理”中的条件“垂直于弦”与结论“平分于弦”互换，= ,=MOAB= ,=M OABCAD=BDAC=BC即：①③→②④⑤，结论是否还成立？如果成立，请你说明理由；不成立，请举反例. 学情预设： 大多数学生会模仿定理画图、折叠、推理后认为是成立的，可能有个别学生会持反对意见，引起一番有意义的讨论，老师可以适时地引导.当AB 与CD 是⊙O 的直径时，互相平分，但不一定垂直！只有当弦AB 不是直径时，结论才会成立. [生1]： 成立. ∴OA =OB ,AM =BM , ∴ CD ⊥A B(三线合一) ∴[生2]：不一定成立，如图，当AB 是直径时，CD 平分AB ，但不垂直AB .只有AB 不是直径时，才成立.[师]： 同学们讨论的非常好，做数学就是要求我们思维要严谨，注意，条件与图形的统一及多样性，多画图，多分析，多总结.那么这个推论我们应该怎么说？ 在学生的归纳中，板书. 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.（问题6）如果我们继续交换条件是否能够②③→①④⑤、①④→②③⑤、④⑤→①②③？学生活动：采取折叠-重合-得出结论成立.师生共同归纳总结：由 “①直径、②垂直于弦、③平分弦、④平分优弧、⑤平分劣弧”，其中两个作条件推出另三个结论.设计意图：对教材知识进行适当的变式和拓展，让学生能举一反三，发散学生的思维，让不同层次的学生得到不同的发展，并体验数学的严谨性和探究的乐趣，感受合作交流的重要性. （问题7）例题分析例1：如右图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD ，点O 是弧CD 的圆心)，其中CD =600m ，E 为弧CD 上一点，且OE ⊥CD ，垂足为F ，EF =90 m ．求这M O ABC AC =BC , AD =BDM OABC段弯路的半径．学生活动：观察示意图，分析题目的已知和要求的结果，寻求相互关系，然后尝试独立解答，在与小组其他同学交流，确定解题思路.教师活动:与个别学生交流解题思想方法，让其上黑板板演过程，并说明为什么这样解答.[生]：解：连接OC，设弯路的半径是R，则OF=(R-90))m∵OE⊥CD∴CF=CD/2=300m（垂径定理）由勾股定理得OC2=CF2+OF2即R2=3002+(R-90)2解得R=545所以，弯路的半径是545m.设计意图:让学生在实践中理解垂径定理应用，在四个量半径R、弦CD的长、弦心距OF长、弓形高EF的长中，任已知两个量可以求出另两个量.一题多变，多题归一，探寻规律，构造直角三角形后通过勾股定理求解，从题海中解脱出来，并培养学生的数学应用意识，体会数学与生活的联系.三、归纳总结，拓展提高[师]：同学们，我们本节课学习了垂径定理及推论，理解了与圆有关的应用，你有收获，或者是疑虑问题，交流一下.学生活动：有独立思考，落笔组织语言的，也有相互讨论，交流总结的观点的，气氛相当热烈，各抒己见.[生]：老师，如图，OC⊥AB，可不可以使用垂径定理.[师]：可以，这条线（或线段）过圆心，就可以作为直径使用，同时，过圆心作弦的垂线是今后解答圆的问题的常用辅助线，在以后的学习中，注意体会和总结.设计意图: 用问题形式引导学生回顾总结学习过程，使知识系统化，学会提炼其中蕴含的数学思想方法，且能够灵活应用；学会自我反思，养成良好的数学学习习惯. 课堂检测:1.已知⊙O 的半径为5，弦AB 的长为6 ，则这条弦的中点到弦所对劣弧中点的距离为____.考察知识点：理解垂径定理的意义，会构造符合定理的基本图形，来解决问题. 答案提示：解：过O 点作AB 的垂线，垂足是D ，且与弧AB 交于点C ,连接OA , ∵OC ⊥AB∴D 是AB 的中点，C 是弧AB 的中点，∴OD =52-32=4 ∴DC =5-4=1所以，这条弦的中点到弦所对劣弧中点的距离为12.两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D ，若AB =4，CD =2，圆心到AB 的距离为l ，则大圆的与小圆的半径之比为____________.考察知识点：理解垂径定理的使用，加深认识辅助线“弦心距和半径”经常是成对构造的，以便构造直角三角形，解决问题. 答案提示：解：51222=+=OA21122=+=OC则大圆的与小圆的半径之比为21025=3. 储油罐的截面如图所示，装入一些油后，若油面宽AB=600mm ， 求油的最大深度．考察知识点：主要是检测垂径定理在生活中的应用，解决此类问题的关键是画出示意图，转化为数学问题解答.答案提示：由垂径定理知，mm oc 12530032522=-= 油最大深度=325-125=200（mm ）4．已知：如图，⊙O 中， AB 为 弦，C 为 AB 的中点，OC 交AB 于D ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求⊙O 的半径OA . 考察知识点：数学方法的综合应用，主要是方程知识与图形解答的结合. 答案提示：解：设⊙O 的半径为r 在直角三角形AOD 中，222OA OD AD =+所以，222)1(3r r =-+ ∴r =5cm ∴OA =5cm学情预设：部分同学可以当堂完成，教师，当堂批改，及时知道学生的解答情况；部分同学需要老师的引导，才能完成解答.教师活动：通过检查，关键看学生的图形构造，是否能够利用半径和弦心距构造出直角三角形，运用勾股定理解决问题.D OABD OAB设计意图：通过例题的分析学习，让学生体会数学学习要善于构造图形，解决问题;进一步理解，为了应用条件和已有的性质定理，需要添加辅助线来完善图形，从而培养学生良好的学习习惯.板书设计：教学反思：《圆的对称性》是一节操作性较强的课，所以，我在教学中首先创设“找圆心”情境，让学生感到新颖、有趣同时又注重了垂径定理及推论的发生、发展和应用过程的教学；再以连贯的问题串形式步步深入，层层推进学生思考，有效激活学生思维. 让学生真正体验了探索获取新知的成绩感和成功感，同时也达到了培养学生学习主动性和创造性的目的；最后，通过提供有层次的达标检测题让学生应用所学解决实际问题.孩子们在解决问题的同时享受到了成功的喜悦，个性得到了彰显，解决问题的能力也得到了充分的提升，更感受到数学的价值，从而更加热爱数学学习.感到课堂不足的地方是，本节课学生操作和自主学习的时间多，每个环节的衔接要流畅，才能在课堂上完成，所以本节课要提前发放导学案，才能顺利完成课堂教学任务.。

课题：3.2圆的对称性教学目标：1．圆的轴对称性、圆的中心对称性和圆的旋转不变性． 2．圆心角、弧、弦之间相等关系定理． 教学重点和难点：重点:圆心角、弧、弦之间关系定理．难点：“圆心角、弧、弦之间关系定理”中的“在同圆或等圆"条件的理解及定理的应用． 教学准备：教师准备:多媒体课件学生准备：制作两张大小相同的圆形纸片 教学过程:一、创设情境，引入新课前面，我们认识了圆以及它的有关概念,对于圆，他还有哪些特殊的性质？让我们从圆的对称性开始一起探究.【教师板书课题：3。

2圆的对称性】处理方式:回顾上节课学习的圆的有关概念，进而引入到圆的性质的探究,教师直接出示本课课题．设计意图：因为学生在七、八年级已经学习了图形的对称性，所以直接揭示本课要研究的主题,让学生尽快进入学习状态.二、探究学习，获取新知活动内容1：圆的对称性（多媒体出示）1。

在七、八年级我们认识了图形的哪几种对称性? 2．圆是轴对称图形吗?如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴?. O处理方式：让学生根据轴对称图形的定义，利用自己手中的圆形纸片进行折叠,找一名学生展示并回答问题．教师特别要指出“直径是圆的对称轴”的错误说法,并让学生说明错误的原因.设计意图：让学生自己根据轴对称图形的定义动手操作，培养学生独立探究问题和解决问题的能力。

教师强调：想一想：一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,还能与原来的图形重合吗?所以,圆是中心对称图形吗？对称中心是什么?处理方式：让学生利用自己手中的圆形纸片将圆绕着圆心旋转，找一名学生展示并回答问题．特别要体会圆的中心对称性是圆的旋转对称性的特例.设计意图：让学生在动手操作中体会研究问题的过程，创设良好的探究氛围。

活动内容2:圆心角、弧、弦之间的关系 教师强调：在等圆⊙O 和⊙O ′中,分别作相等的圆心角∠AOB 和∠A ′O ′B ′,将两圆重叠，并固定圆心，然后把其中的一个圆旋转一个角度,使OA 和O ′A ′重合.你能发现哪些等量关系？说一说你的理由。

3.2 圆的对称性教学目标1．知识与技能（1）理解圆的轴对称性和中心对称性，会画出圆的对称轴，会找圆的对称中心；（2）掌握圆心角、弧和弦之间的关系，并会用它们之间的关系解题．2．过程与方法（1）通过对圆的对称性的理解，培养学生的观察、分析、发现问题和概括问题的能力，促进学生创造性思维水平的发展和提高；（2）通过对圆心角、弧和弦之间的关系的探究，掌握解题的方法和技巧．3．情感、态度与价值观经过观察、总结和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性与创造性，体验发现的乐趣．教学重难点重点：对圆心角、弧和弦之间的关系的理解．难点：能灵活运用圆的对称性解决有关实际问题，会用圆心角、弧和弦之间的关系解题．教学过程一、创设情境，导入新课问：前面我们已探讨过轴对称图形，哪位同学能叙述一下轴对称图形的定义？（如果一个图形沿着某一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴）．问：我们是用什么方法来研究轴对称图形？生：折叠．今天我们继续来探究圆的对称性．问题1：前面我们已经认识了圆，你还记得确定圆的两个元素吗？生：圆心和半径．问题2：你还记得学习圆中的哪些概念吗？忆一忆：1．圆：平面上到____________等于______的所有点组成的图形叫做圆，其中______为圆心，定长为________．2．弧：圆上_____叫做圆弧，简称弧，圆的任意一条____的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做圆的半径．__________称为优弧，_____________称为劣弧．3．___________叫做等圆，_________叫做等弧．4．圆心角：顶点在_____的角叫做圆心角．二、探究交流，获取新知知识点一：圆的对称性1．圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？2．大家交流一下：你是用什么方法来解决这个问题的呢？动手操作：请同学们用自己准备好的圆形纸张折叠：看折痕经不经过圆心？学生讨论得出结论：我们通过折叠的方法得到圆是轴对称图形，经过圆心的一条直线是圆的对称轴，圆的对称轴有无数条．知识点二：圆的中心对称性．问：一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，还能与原来的图形重合吗？让学生得出结论：一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合，我们把圆的这个特性称之为圆的旋转不变性．圆是中心对称图形，对称中心为圆心．做一做：在等圆⊙O 和⊙O ' 中，分别作相等的圆心角∠AOB 和A O B '''∠（如图3-8），将两圆重叠，并固定圆心，然后把其中的一个圆旋转一个角度，得OA 与OA '重合．你能发现哪些等量关系吗？说一说你的理由．小红认为»¼AB A B ''=，''=AB A B ，她是这样想的： ∵半径OA 重合，'''∠∠=AOB A O B ，∴半径OB 与OB '重合，∵点A 与点A '重合，点B 与点B '重合，∴»AB 与¼A B ''重合，弦AB 与弦A B ''重合， ∴»AB =¼A B ''，AB =A B ''． 生：小红的想法正确吗？同学们交流自己想法，然后得出结论，教师点拨．结论：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．知识点三：圆心角、弧、弦之间的关系．问：在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，那么它们所对的弦相等吗？这两个圆心角相等吗？你是怎么想的？学生之间交流，谈谈各自想法，教师点拨．结论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．三、例题讲解例：如图3-9，AB ，DE 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，且»»AD CE =，BE 与CE 的大小有什么关系？为什么？解：BE =CE ，理由是：∵∠AOD =∠BOE ，∴»»AD BE =，又∵»»AD =，∴»»BE CE=，∴BE=CE．议一议在得出本结论的过程中，你用到了哪些方法？与同伴进行交流．四、随堂练习1．日常生活中的许多图案或现象都与圆的对称性有关，试举几例．2．利用一个圆及其若干条弦分别设计出符合下列条件的图案：（1）是轴对称图形但不是中心对称图形；（2）是中心对称图形但不是轴对称图形；（3）既是轴对称图形又是中心对称图形．3．已知，A，B是⊙O上的两点，∠AOB=120°，C是»AB的中点，试确定四边形OACB的形状，并说明理由．五、知识拓展如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=25°，以点C为圆心，AC为半径的圆交AB于点D，求»AD所对的圆心角的度数．六、自我小结，获取感悟1．对自己说，你在本节课中学习了哪些知识点？有何收获？2．对同学说，你有哪些学习感悟和温馨提示？3．对老师说，你还有哪些困惑？。

北师大版九年级数学下册：第三章 3.3《圆的对称性》精品教案一. 教材分析北师大版九年级数学下册第三章 3.3《圆的对称性》主要介绍了圆的对称性质。

通过本节课的学习，学生能够理解圆的对称性，掌握圆的对称性质，并能够运用这些性质解决实际问题。

本节课的内容是学生对圆的性质的进一步理解，为后续学习圆的方程和应用打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基本知识，对图形的对称性有一定的了解。

但是，对于圆的对称性质的理解还需要进一步的引导和启发。

因此，在教学过程中，需要通过实例和问题引导学生主动探索和发现圆的对称性质，培养学生的观察能力和思维能力。

三. 教学目标1.理解圆的对称性质，能够运用圆的对称性质解决实际问题。

2.培养学生的观察能力、思维能力和解决问题的能力。

3.激发学生对数学的兴趣，培养学生的数学思维。

四. 教学重难点1.圆的对称性质的理解和运用。

2.圆的对称性质在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.引导发现法：通过实例和问题引导学生主动探索和发现圆的对称性质。

2.问题驱动法：通过问题的提出和解决，激发学生的思维，引导学生深入理解圆的对称性质。

3.合作交流法：鼓励学生之间进行合作交流，共同探讨问题的解决方法。

六. 教学准备1.教学课件：制作精美的教学课件，帮助学生直观地理解圆的对称性质。

2.实例和问题：准备一些与圆的对称性相关的实例和问题，引导学生进行思考和探索。

3.练习题：准备一些有关圆的对称性的练习题，帮助学生巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些具有对称性的图形，如正方形、矩形等，引导学生回顾图形的对称性质。

然后提出问题：“圆有哪些对称性质？”让学生思考和讨论。

2.呈现（10分钟）展示圆的对称性质的课件，包括圆的轴对称性和中心对称性。

通过实例和动画演示，让学生直观地理解圆的对称性质。

3.操练（10分钟）让学生分组进行合作交流，每组选择一个与圆的对称性相关的问题进行思考和解决。

3.2 圆的对称性1．理解圆的旋转不变性；(重点)2．掌握圆心角、弧、弦之间相等关系的定理；(重点)3．能应用圆心角、弧、弦之间的关系解决问题．(难点)一、情境导入我们知道圆是一个旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度，它都能与自身重合，对称中心即为其圆心．将图中的扇形AOB(阴影部分)绕点O逆时针旋转某个角度，画出旋转之后的图形，比较前后两个图形，你能发现什么？二、合作探究探究点：圆心角、弧、弦之间的关系【类型一】利用圆心角、弧、弦之间的关系证明线段相等如图，M为⊙O上一点，MA︵＝MB︵，MD⊥OA于D，ME⊥OB于E，求证：MD＝ME.解析：连接MO，根据等弧对等圆心角，则∠MOD＝∠MOE，再由角平分线的性质，得出MD＝ME.证明：连接MO，∵MA︵＝MB︵，∴∠MOD＝∠MOE，又∵MD⊥OA于D，ME⊥OB于E，∴MD＝ME.方法总结：圆心角、弧、弦之间相等关系的定理可以用来证明线段相等．本题考查了等弧对等圆心角，以及角平分线的性质．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题【类型二】利用圆心角、弧、弦之间的关系证明弧相等如图，在⊙O中，AB、CD是直径，CE∥AB且交圆于E，求证：BD︵＝BE︵.解析：首先连接OE，由CE∥AB，可证得∠DOB＝∠C，∠BOE＝∠E，然后由OC＝OE，可得∠C＝∠E，继而证得∠DOB＝∠BOE，则可证得BD︵＝BE︵.证明：连接OE，∵CE∥AB，∴∠DOB＝∠C，∠BOE＝∠E.∵OC＝OE，∴∠C＝∠E，∴∠DOB＝∠BOE，∴BD︵＝BE︵.方法总结：此类题主要运用了圆心角与弧的关系以及平行线的性质．注意掌握辅助线的作法及数形结合思想的应用．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题【类型三】综合运用圆心角、弧、弦之间的关系进行计算如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝36°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，交BC于点E.求AD︵、DE︵的度数．解析：连接CD，由直角三角形的性质求出∠A的度数，再根据等腰三角形及三角形内角和定理分别求出∠ACD及∠DCE的度数，由圆心角、弧、弦的关系即可得出AD︵、DE︵的度数．解：连接CD，∵△ABC是直角三角形，∠B＝36°，∴∠A＝90°－36°＝54°.∵AC＝DC，∴∠ADC＝∠A＝54°，∴∠ACD＝180°－∠A－∠ADC＝180°－54°－54°＝72°，∴∠BCD＝∠ACB－∠ACD＝90°－72°＝18°.∵∠ACD、∠BCD分别是AD︵，DE︵所对的圆心角，∴AD︵的度数为72°，DE︵的度数为18°.方法总结：解决本题的关键是根据题意作出辅助线，构造出等腰三角形．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题【类型四】有关圆心角、弧、弦之间关系的探究性问题如图，直线l经过⊙O的圆心O，且与⊙O交于A、B两点，点C在⊙O上，且∠AOC＝30°，点P是直线l上的一个动点(与圆心O不重合)，直线CP与⊙O相交于点Q.是否存在点P，使得QP＝QO？若存在，求出相应的∠OCP的大小；若不存在，请简要说明理由．解析：点P是直线l上的一个动点，因而点P与线段OA有三种位置关系：点P在线段OA上，点P在OA的延长线上，点P在OA的反向延长线上．分这三种情况进行讨论即可．解：当点P在线段OA上(如图①)，在△QOC中，OC＝OQ，∴∠OQC＝∠OCP.在△OPQ中，QP＝QO，∴∠QOP＝∠QPO.又∵∠AOC＝30°.∴∠QPO＝∠OCP＋∠AOC＝∠OCP＋30°.在△OPQ中，∠QOP＋∠QPO＋∠OQC＝180°，即(∠OCP＋30°)＋(∠OCP＋30°)＋∠OCP＝180°，整理得3∠OCP＝120°，∴∠OCP＝40°；当P在线段OA的延长线上(如图②)，∵OC＝OQ，∴∠OQP＝(180°－∠QOC)×12＝90°－12∠QOC.∵OQ＝PQ，∴∠OPQ＝(180°－∠OQP)×12＝45°＋14∠QOC.在△OQP中，30°＋∠QOC＋∠OQP＋∠OPQ＝180°，∴30°＋∠QOC＋90°－12∠QOC＋45°＋14∠QOC＝180°，∴∠QOC ＝20°，则∠OQP ＝80°，∴∠OCP ＝100°；当P 在线段OA 的反向延长线上(如图③)，∵OC ＝OQ ，∴∠OCP ＝∠OQC ＝(180°－∠COQ )×12＝90°－12∠COQ .∵OQ ＝PQ ，∴∠OPQ ＝∠POQ ＝12∠OQC ＝45°－14∠COQ .∵∠AOC ＝30°，∴∠COQ＋∠POQ ＝150°，∴∠COQ ＋45°－14∠COQ ＝150°，∴∠COQ ＝140°，∴∠OCP ＝(180°－140°)×12＝20°.方法总结：本题通过同圆的半径相等，将圆的问题转化为等腰三角形的问题，是一种常见的解题方法，还要注意分类讨论思想的运用．三、板书设计圆的对称性1．圆心角、弧、弦之间的关系2．应用圆心角、弧、弦之间的关系解决问题本节课的教学策略是通过学生自己动手画图叠合、观察思考等操作活动，让学生亲身经历知识的发生、发展及其探求过程，再通过教师演示动态教具引导，让学生感受圆的旋转不变性，并得出圆心角、弧、弦三者之间的关系，能用这一关系定理，解决圆的计算证明问题，同时注重培养学生的探索能力和逻辑推理能力，力求体验数学的生活性、趣味性.。

《圆的对称性》精品教案讲授新课【探究1】圆的轴对称性(多媒体出示)一条过圆心的直线．【探究2】一个圆绕它的圆心旋转任意一个角度，还能与原来的图形重合吗？圆是中心对称图形吗？对称中心是什么？教师强调：圆是中心对称图形，对称中心是圆心．圆具有旋转不变性【探究3】圆心角、弧、弦之间的关系我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.判别下列各图中的角是不是圆心角思考：如图，在等圆⊙O 和⊙O′中，分别作相等的圆心角∠AOB 和∠A′O′B′，将两圆重叠，并固定圆心，然后把其中的一个圆旋转一个角度，使OA 和O′A′重合．你能发现哪些等量关系？说一说你的理由．教师多媒体展示旋转的说理过程：解：AB ︵＝A′B′︵，AB＝A′B′.理由：∵半径OA 与O′A′重合，∠AOB＝∠A′O′B′，∴半径OB 与O′B′重合．∵点A 和点A′重合，点B 和点B′重合，根据轴对称图形和中心对称图形的定义，利用手中的圆形纸片进行折叠，并小组内进行交流让学生在自己手中的两张圆形纸片上分别画出两个相等的圆心角，然后按照要求将两圆重合，并旋转，观察并总结结论．同位间交流并达成共识．对于理由的阐述让学生自己根据轴对称图形的定义动手操作，培养学生独立探究问题和解决问题的能力.让学生动手操作，发现结论，并在小组中交流．∴AB ︵和A′B′︵重合，弦AB 与弦A′B′重合.∴AB ︵＝A′B′︵，AB＝A′B′.教师强调：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．想一想：在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，那么它们所对的弦相等吗？这两个圆心角相等吗？你是怎么想的？在同圆或等圆中，如果两条弦相等，你能得出什么结论？教师强调：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．想一想：定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？教师强调前提：在同圆或等圆中例题.如图，AB ，DE 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，且弧AD =弧CE .BE 和CE 的大小有什么关系？为什么？学生还可以利用三角形全等说明弦相等．思考：去掉同圆或等圆，结论是否会发生变化？梳理：同圆或等圆中的“等对等关系”定理在发现结论和说理的过程中，训练学生的总结归纳能力和推理论证能力．教师多媒体展示并规范学生说理过程.课堂练习 1.如图，在⊙O 中，,学生先独立完九年级的学生已∠ACB=60°，求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC.成，再同伴交流思路和方法经具有独立思考的能力，因此，只要相信学生，给学生足够的时间去分析、思考，一定能够顺利解决问题．拓展提高 1.如图，点O 是∠EPF 的平分线上的一点，以O 为圆心的圆和角的两边分别交于点A ，B 和C ，D ，求证：AB=CD.2.如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上的两点，且AC ＝CD ．（1）求证：OC ∥BD ；（2）若BC 将四边形OBDC 分成面积相等的两个三角形，试确定四边形OBDC 的形状．3.利用一个圆及其若干条弦分别设计出符合下列条件的图案：（1）是轴对称图形但不是中心对称图形；（2）是中心对称图形但不是轴对称图形；（3）既是轴对称图形又是中心对称图形.先自己思考，理清思路，再完成过程的书写小组内互相评价自己所设置的图形此部分试题相对应用举例而言，难度有所上升，教师可以解决问题后揭示“等对等”定理的第四组量——弦心距，从而拓展学生的知识面.课堂小结通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？先想一想，再分享给大家．教师强调：1.圆的对称性①轴对称图形；②中心对称图形．小组内交流本节课的知识和方法课堂小结是培养好学生反思总结习惯的最好环节，只有学生养成良好的反思总结习惯，才能不断地取得进步，让学生在每堂课中体会小结的意义.板书1.圆的对称性（1）圆是轴对称图形（2）圆是中心对称图形（3）圆具有旋转不变性2.弧、弦、圆心角之间的关系（1）定理（2）等对等关系例题学生展示区。

北师大版九年级数学下册：3.2《圆的对称性》教案一. 教材分析北师大版九年级数学下册3.2《圆的对称性》是一节概念性较强的课程。

本节课主要让学生了解圆的对称性，掌握圆是轴对称图形，以及圆有无数条对称轴等特点。

通过学习，使学生能运用圆的对称性解决一些实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了八年级数学中关于对称轴、对称图形等基本知识，他们对轴对称图形有了一定的认识。

但圆的对称性较为抽象，学生需要通过实例来更好地理解和掌握。

三. 教学目标1.知识与技能：让学生理解圆的对称性，掌握圆是轴对称图形，以及圆有无数条对称轴等特点。

2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的空间想象能力和思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养他们勇于探索、积极思考的精神。

四. 教学重难点1.重点：圆的对称性，圆是轴对称图形，圆有无数条对称轴。

2.难点：理解圆的对称性与轴对称图形的关系。

五. 教学方法1.情境教学法：通过实例和问题情境，引发学生的思考和探索。

2.引导发现法：教师引导学生发现圆的对称性，培养学生独立思考的能力。

3.合作交流法：学生在小组内进行讨论和交流，分享学习心得和解决问题的方法。

六. 教学准备1.教具准备：多媒体课件、圆规、直尺、练习题等。

2.教学环境：教室布置成有利于学生思考和交流的环境。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示生活中的圆对称现象，如圆形的钱币、圆桌、圆形的图案等，引导学生关注圆的对称性。

提问：这些圆形的物品有什么共同特点？学生回答后，教师总结：圆的对称性。

2.呈现（10分钟）教师利用多媒体课件展示圆的对称性，让学生观察和思考。

呈现圆的轴对称图形，引导学生发现圆有无数条对称轴。

同时，让学生尝试画出圆的对称轴，并观察圆的对称轴的特点。

3.操练（10分钟）教师提出问题：如何判断一个图形是否是圆的对称图形？让学生在小组内进行讨论和交流，总结出判断方法。

北师大版数学九年级下册3.2《圆的对称性》教案一. 教材分析北师大版数学九年级下册3.2《圆的对称性》是本册教材中的重要内容，主要让学生了解圆的对称性质，掌握圆的对称性的应用。

本节课的内容对于学生来说比较抽象，但与生活实际息息相关，有利于激发学生的学习兴趣，培养学生的抽象思维能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本概念，如圆的半径、直径等，并了解了一些基本的平面几何知识。

但是，对于圆的对称性的理解和应用，还需要进一步的引导和培养。

因此，在教学过程中，要注重启发学生思考，引导学生发现圆的对称性，并学会运用圆的对称性解决实际问题。

三. 教学目标1.知识与技能：让学生理解圆的对称性质，学会运用圆的对称性解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等过程，培养学生的抽象思维能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和克服困难的决心。

四. 教学重难点1.重点：圆的对称性质的理解和应用。

2.难点：圆的对称性质在实际问题中的灵活运用。

五. 教学方法采用问题驱动法、合作学习法、案例教学法等，充分调动学生的积极性，引导学生主动探究，合作交流，提高学生的抽象思维能力和解决问题的能力。

六. 教学准备1.教具：黑板、粉笔、多媒体教学设备等。

2.学具：学生每人一本教材，一份练习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些生活中的圆对称现象，如圆形的挂钟、圆形的脸谱等，引导学生发现圆的对称性质，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）教师通过讲解和演示，向学生介绍圆的对称性质，如圆的任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，圆的任何一点关于圆心都有对称点等。

同时，引导学生发现圆的对称性质与生活的密切关系。

3.操练（10分钟）学生分组讨论，每组设计一个具有圆对称性质的图案，并利用圆规和直尺进行绘制。

通过实践活动，加深学生对圆的对称性质的理解。