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4 应力应变关系4.1弹性变形时应力和应变的关系当材料所受应力小于其线弹性极限时，材料应力应变间的关系服从广义Hooke 定律，即1()1()1()111222x x y z y yx zz z x yxy xy yz yz zx zxE E E G G G εσνσνσεσνσνσεσνσνσετετετ⎧=--⎪⎪⎪=--⎪⎨⎪=--⎪⎪⎪===⎩，， （4.1） 式中，E 为拉压弹性模量，G 为剪切模量，ν为泊松比，对于各向同性材料，三个常数之间满足()21E G ν=+关系。
由上式可得11212()()33m x y z x y z m E E ννεεεεσσσσ--=++=++= （4.2） 于是11()'2x m x m x E G νεεσσσ+-=-= 或1112''22x m x x m G G Eνεεσσσ-=+=+ 类似地可以得到1112''22y m y y m G G E νεεσσσ-=+=+ 1112''22z m z z m G G Eνεεσσσ-=+=+于是，方程（4.1）可写成如下形式1212'00'0000'x xy xz x xy xz m v yx y yz yx y yz m G E m zx zy z zx zy z εγγσττσγεγτστσσγγεττσ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即'1122ij ij m ij ij m G Eνεεεσδσ-'=+=+ （4.3）显然，弹性变形包括体积改变的变形和形状改变的变形。
前者与球应力分量成正比，即12m m E νεσ-= （4.4）后者与偏差应力分量成正比，即''12''12''12111222x x m x G y y m y G z z m z G xy xy yz yz zx zxG G G εεεσεεεσεεεσετετετ⎧=-=⎪=-=⎪⎨=-=⎪⎪===⎩，，或简写为2ij ij G σε''= （4.5）此即为广义Hooke 定律。
4 应力应变关系4.1弹性变形时应力和应变的关系当材料所受应力小于其线弹性极限时，材料应力应变间的关系服从广义Hooke 定律，即1()1()1()111222x x y z y y x zz z x yxy xy yz yz zx zxE E E G G G εσνσνσεσνσνσεσνσνσετετετ⎧=--⎪⎪⎪=--⎪⎨⎪=--⎪⎪⎪===⎩，， （4.1）式中，E 为拉压弹性模量，G 为剪切模量，ν为泊松比，对于各向同性材料，三个常数之间满足()21E G ν=+关系。
由上式可得11212()()33m x y z x y z m E E ννεεεεσσσσ--=++=++= （4.2） 于是11()'2x m x m x E G νεεσσσ+-=-= 或1112''22x m x x m G G Eνεεσσσ-=+=+ 类似地可以得到1112''22y m y y m G G E νεεσσσ-=+=+ 1112''22z m z z m G G Eνεεσσσ-=+=+于是，方程（4.1）可写成如下形式1212'00'0000'x xy xz x xy xz m v yx y yz yx y yz m G E m zxzy z zx zy z εγγσττσγεγτστσσγγεττσ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即'1122ij ij m ij ij m G Eνεεεσδσ-'=+=+ （4.3）显然，弹性变形包括体积改变的变形和形状改变的变形。
前者与球应力分量成正比，即12m m E νεσ-= （4.4）后者与偏差应力分量成正比，即''12''12''12111222x x m x G y y m y G z z m z G xy xy yz yz zx zxG G G εεεσεεεσεεεσετετετ⎧=-=⎪=-=⎪⎨=-=⎪⎪===⎩，，或简写为2ij ij G σε''= （4.5）此即为广义Hooke 定律。
4.2塑性变形时应力和应变的关系弹性力学是以应力与应变成线性关系的广义Hooke 定律为其基础的；而在塑性力学的范围内，一般来说，应力与应变间的关系是非线性的，同时这种非线性的特征，又与所研究的具体材料和塑性应变有关。
塑性变形过程中的应力应变关系十分复杂，相关的理论较多，但可将它们分为两大类，即增量理论和全量理论。
4.2.1增量理论在弹性极限范围内，弹性全量应变与当时的应力状态有确定的一一对应关系，而与加载的历程无关。
但由于塑性变形的不可恢复性，塑性全量应变与当时的应力状态不是单值关系，而与加载的历史有关。
图4.1所示低碳钢拉伸实验的结果表明：在应力超过弹性极限条件下卸载时，其应力应变基本呈平行于弹性线的线性关系，直到材料反向时的屈服极限's σ，这就是材料的卸载规律（图4.1a ）。
因此，当材料发生塑性图4.1 单向拉伸随加载历史变化的应力应变关系变形时，即使应力水平相同，不同加载历程所对应的应变值也会不同（图4.1b ）。
同样，对于同一应变值，不同加载历程所对应的应力值也会不同（图4.1c ）。
因此，只有明确了加载历程，才能得到应力应变间的对应关系。
既然塑性变形时的应变与加载历史有关，而且也不容易得到全量应变与应力状态间的对应关系，人们自然想到建立塑性变形每一瞬时应变增量与当时应力状态之间的关系，又因为金属塑性变形过程中体积的变化可以忽略，人们又会想到建立每一瞬时应变增量与当时应力偏量之间的关系，增量理论便建立了这样的关系，这里的“增量”指的是应变增量，是相对全量应变而言的。
增量理论又称流动理论，是历史上最早提出来的阐述塑性变形过程应力应变关系的理论，代表性的有Levy-Mises （列维－米赛斯）理论和Prandtl-Reuss （普朗特－劳斯）理论。
4.2.1.1 Levy-Mises 理论S.Venant （圣维南）首先提出了应变增量主轴与应力主轴相重合的假定。
1871年Levy 进一步提出塑性变形过程中应变增量的各分量与相应的应力偏量分量成比例；1913年Mises 独立地提出了同样假设，并考虑到材料达到塑性状态后的塑性变形较大，因此建议忽略变形中的弹性部分（假定为刚塑性材料），即假定塑性应变增量与应力偏量主轴或应力的主方向重合，即λτετετεσεσεσεd zxzx yzyz xyxy z zyyxxd d d d d d ======''' （4.6a ）或λσεd d ij ij '= （4.6b ）该式称为Levy-Mises 流动法则，它说明：塑性变形时，应变增量主轴与应力偏量主轴重合，即与应力主轴重合；应变增量的各分量与应力偏量的各相应分量成正比。
显然，上式在主轴的情况下为λσεσεσεd d d d ==='33'22'11（4.7）或表达为应变增量张量与应力张量之间的关系，即()()()213221322132()()()x x y z y y z x z z x y xy xy yz yz zx zxd d d d d d d d d d d d ελσσσελσσσελσσσελτελτελτ⎧=-+⎪⎪=-+⎪⎨=-+⎪⎪===⎪⎩，， （4.8） 式中，λd 为瞬时的非负比例系数，它在塑性变形过程中是变化的。
将式（4.7）代入式（3.40），得e d ε==参照等效应力式（3.30a ），可得等效应变增量和等效应力之间的函数关系32eed d ελσ=（4.9） 于是，式（4.6）可写为'''33,2233,2233,22e e x x xyxy e e e e y y yzyz e ee e z z zxzx e e d d d d d d d d d d d d εεεσετσσεεεσετσσεεεσετσσ⎧==⎪⎪⎪==⎨⎪⎪==⎪⎩（4.10） 或写作张量形式'32e ij ij ed d εεσσ=（4.11） 于是，通过等效应力和等效应变增量式，Levy-Mises 塑性应力应变关系式中的比例系数d λ便可计算出来，从而通过应力状态可以求出应变增量的具体值。
式（4.11）与广义Hooke 定律的结构极为相似，只不过等式左边为应变增量，比例系数为瞬时变化值，这正好体现了塑性变形与弹性变形的不同。
若某平面应变状态的z 向没有应变，即z d ε＝0，则按照式（4.6）有'z σ＝0，此时03x y zz z σσσσσ++'=-=，1()2z x y σσσ=+ 在主轴坐标系下则有2131()2σσσ=+，此即平面应变条件下应力间应满足的关系。
4.2.1.2 Prandtl-Reuss 理论当变形较小，如应变的弹性部分和塑性部分属于同一量级时，忽略弹性变形将会带来较大误差，此时总应变增量应由弹性应变增量和塑性应变增量两部分组成，即e ijp ij ij d d d εεε+= 前者为塑性部分，由（4.6）式确定，即λσεd d ij p ij '=后者为弹性部分，由（4.3）式确定，即'1212'e vij ij m ij ij m GE d d d d d εεεσδσ-=+=+ 于是''1212vij ij ij ij m GE d d d d εσλσδσ-=+＋ （4.12） 上式即为Prandtl-Reuss 理论。
Prandtl-Reuss 理论与Levy-Mises 理论的差别在于前者考虑了塑性区的弹性应变部分，因而得出了不同的本构方程式。
增量理论建立了各瞬时应变增量和应力偏量之间的关系，考虑了加载过程对变形的影响，能反映复杂的加载情况，并不受加载条件的限制。
但变形终了的应变需由各瞬时的应变增量积分得出，因此实际应用较为复杂。
需要说明的是，Levy-Mises 理论和Prandtl-Reuss 理论都只能在加载的情况下使用，卸载时须按Hooke 定律计算。
4.2.2全量理论全量理论又称形变理论，它所建立的是应力与应变全量之间的关系，这一点和弹性理论极为相似，但全量理论要求变形体受简单加载，即要求各应力分量在加载过程中按同一比例增加，因而变形体内各点的应力主轴方向不发生变化，显然，这一要求限定了全量理论的应用范围。
4.2.2.1 Hencky （汉基）理论Hencky 小塑性变形理论描述了偏差塑性应变分量与相应的偏差应力分量间的函数关系，即偏差塑性应变分量与相应的偏差应力分量及切应力分量成正比，即λτετετεσεσεσε======zxp zx yzp yz xyp xy zp z ypy xp x '''''')()()( （4.13a ）或'p ij ij εσλ'= （4.13b ）式中，λ—瞬时的正值比例常数，在整个加载过程中可能为变量。
因为p x p m p x p xεεεε=-=)('，所以，式（4.13）也可改写为 λτετετεσεσεσε======zxp zx yzp yz xyp xy zp z yp yxpx ''' （4.14a ）即'p ij ij εσλ= （4.14b ）或p p p p p px y y z z x x y y z z xεεεεεελσσσσσσ---===--- （4.14c ） 4.2.2.2 A.Ильющин（依留辛）简单加载定理在Hencky 和Nadai （纳代依）工作的基础上，A.Ильющин于1943年将形变理论的形式和所必须满足的条件进行了整理，提出了物体内每个单元都处于简单加载的具体条件，并认为物体处于简单加载状态，即当外荷载从一开始即按同一比例系数增加时，由形变理论计算的结果是正确的。
满足简单加载的四个具体条件是：(1) 小变形，即塑性变形和弹性变形属于同一量级； (2) 12ν=，即材料为不可压缩体；(3) 荷载（包括体力）按比例单调增长，变形体处于主动变形过程，即应力强度不断增加，在变形过程中不出现中间卸载的情况，如有位移边界条件，只能是零位移边界条件；(4) 材料的应力——应变曲线具有n e e A σε=的幂函数形式。
4.2.3全量理论和增量理论的关系既然全量理论和增量理论都适用于简单加载（比例加载），那么，这两种理论在比例加载条件下的结果应该是一致的。
