§5.3 目标规划模型1. 目标规划模型概述1)引例目标规划模型是有别于线性规划模型的一类多目标决策问题模型，通过下面的例子，我们可看出这两者的区别。
例1 某工厂的日生产能力为每天500小时，该厂生产A 、B 两种产品，每生产一件A 产品或B 产品均需一小时，由于市场需求有限，每天只有300件A 产品或400件B 产品可卖出去，每出售一件A 产品可获利10元，每出售一件B 产品可获利5元，厂长按重要性大小的顺序列出了下列目标，并要求按这样的目标进行相应的生产。
（1）尽量避免生产能力闲置；（2）尽可能多地卖出产品，但对于能否多卖出A 产品更感兴趣； （3）尽量减少加班时间。
显然，这样的多目标决策问题，是单目标决策的线性规划模型所难胜任的，对这类问题，须采用新的方法和手段来建立对应的模型。
2）相关的几个概念（1）正、负偏差变量+d 、-d 正偏差变量+d 表示决策值),,2,1(n i x i =超过目标值的部分；负偏差变量-d 表示决策值),,2,1(n i x i =未达到目标值的部分；一般而言，正负偏差变量+d 、-d 的相互关系如下：当决策值),,2,1(n i x i =超过规定的目标值时，0 ,0=>-+d d ；当决策值),,2,1(n i x i =未超过规定的目标值时，0 ,0>=-+d d ；当决策值),,2,1(n i x i =正好等于规定的目标值时，0 ,0==-+d d 。
（2）绝对约束和目标约束绝对约束是必须严格满足的等式约束或不等式约束，前述线性规划中的约束条件一般都是绝对约束；而目标约束是目标规划所特有的，在约束条件中允许目标值发生一定的正偏差或负偏差的一类约束，它通过在约束条件中引入正、负偏差变量+d 、-d 来实现。
（3）优先因子（优先级）与权系数目标规划问题常要求许多目标，在这些诸多目标中，凡决策者要求第一位达到的目标赋予优先因子1P ，要求第二位达到的目标赋予优先因子2P ，……，并规定1+>>k k P P ，即1+k P 级目标的讨论是在kP 级目标得以实现后才进行的（这里n k ,,2,1 =）。
若要考虑两个优先因子相同的目标的区别，则可通过赋予它们不同的权系数jw 来完成。
3）目标规划模型的目标函数目标规划的目标函数是根据各目标约束的正、负偏差变量+d 、-d 和其优先因子来构造的，一般而言，当每一目标值确定后，我们总要求尽可能地缩小与目标值的偏差，故目标规划的目标函数只能是) ,( min -+=d d f z 的形式。
我们可将其分为以下三种情形：（1）当决策值),,2,1(n i x i =要求恰好等于规定的目标值时，这时正、负偏差变量+d 、-d 都要尽可能小，即对应的目标函数为：)( m in -++=d d f z ； （2）当决策值),,2,1(n i x i =要求不超过规定的目标值时，这时正偏差变量+d 要尽可能小，即对应的目标函数为：)( min +=d f z ； （3）当决策值),,2,1(n i x i =要求超过规定的目标值时，这时负偏差变量-d 要尽可能小，即对应的目标函数为： )( min -=d f z 。
目标规划数学模型的一般形式为：∑∑=++--=+=Kk k lk k lk Ll l d w d w P z 11)( min⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥=≥=≥=≤==-++-==+∑∑),,2,1( ,0 ,),,2,1(,0),,2,1( ,) ,().,,,2,1( ,11K k d d n j x m i b x a g k k g d d x c k kj n j i j ij n j k k k j k j kj 为相应的目标值有了以上的讨论，在例1中，设21 ,x x 分别表示产品A 、B 的生产数量，-1d 表示生产能力闲置的时间，+1d 表示加班时间，-2d 表示产品A 没能达到销售目标的数目，-3d 表示产品B 没能达到销售目标的数目。
因要求尽量避免生产能力闲置及尽量减少加班时间，故有目标约束条件为：5001121=-+++-d d x x （-1d 、+1d 要尽可能小），又要求尽可能多地卖出产品，故有目标约束条件为：400,3003221=+=+--d x d x （-2d 、-3d 要尽可能小），多卖出A 产品的要求可体现在目标函数的权系数中，于是可得到例1的目标规划模型为：+---+++=133222112 min d P d P d P d P z满足的约束条件为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=+=+=-+++-----+-0,,,,,400 30050013212132211121d d d d x x d x d x d d x x2．应用实例例1. 职工的调资方案问题 1）问题的提出某单位领导在考虑本单位职工的升级调资方案时，要求相关部门遵守以下的规定：（1） 年工资总额不超过60000元； （2） 每级的人数不超过定编规定的人数；（3） П、Ш级的升级面尽可能达到现有人数的20%；（4） Ш级不足编制的人数可录用新职工，又I 级的职工中有10%的人要退休。
相关资料汇总于下表中，试为单位领导拟定一个满足要求的调资方案。
2）模型分析与变量假设显然这是一个多目标规划的决策问题，适于用目标规划模型求解，故需要确定该问题与之对应的决策变量、目标值、优先等级及权系数等。
设1x 、2x 、3x分别表示提升到I 、П级和录用到Ш级的新职工人数，由题设要求可确定各目标的优先因子为：1P ——年工资总额不超过60000元； 2P ——每级的人数不超过定编规定的人数；3P ——П、Ш级的升级面尽可能达到现有人数的20%；下面再确定目标约束，因要求年工资总额不超过60000元，所以有：2000（10-10×10%+1x ）+1500（12-1x +2x ）+1000（15-2x +3x ）+6000011=-+-d d 且正偏差变量+1d 要尽可能小，又第二目标要求每级的人数不超过定编规定的人数，所以，对I 级有：12)1.01(10221=-++-+-d d x ，且正偏差变量+2d 要尽可能小；对П级有：15123321=-++-+-d d x x ，且正偏差变量+3d 要尽可能小；对Ш级有：15154432=-++-+-d d x x ，且正偏差变量+4d 要尽可能小；对第三目标——П、Ш级的升级面尽可能达到现有人数的20%，我们有：%,2012551⨯=-++-d d x 且负偏差变量-5d 要尽可能小；%,2015662⨯=-++-d d x 且负偏差变量-6d 要尽可能小；3）模型的建立由此，我们可得到该问题的目标规划模型为：)()( min 653432211--+++++++++=d d P d d d P d P z满足约束条件⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≥=-+=-+=-++-=-++-=-+=-++-++-+++-+-+-+-+-+-+-)6,5,4,3,2,1 ;3,2,1( 0 , ,34.2 03 3 60000)15(1000)12(1500)9(2000662551443233212211132211j i d d x d d x d d x d d x x d d x x d d x d d x x x x x j j i求解后可得到该问题的一个多重解，并将这些解汇总于下表中，以供领导根据具体情况进行决策：例2.物资的调运安排问题 1）问题的提出有一供需不平衡（供应量<需求量）的物资调运问题如下表所示：请为其制订物资调运方案，使之满足以下的目标要求：1P ——尽量保证满足重点客户3B 的需求指标； 2P ——要求总运费不超过预算指标41066⨯元；3P ——至少满足客户321 , ,B B B 需求指标的80%；4P ——由3A 至1B 的运输量按合同规定不少于1万吨；5P ——1A 至3B 的道路危险，运量要减少到最低点。
2）模型分析与变量假设这仍然是一个多目标决策规划问题，虽然未给出给出仓库到客户之间的单位运价，但这并不影响我们的分析与建模。
设从仓库)3,2,1(=i A i 调拨到客户)3,2,1(=j B j 的货运量为ijx ，因该问题的供应量小于需求量，故从仓库)3,2,1(=i A i 调拨到客户jB 的货运量)3,2,1(321=++j x x x j j j 不可能超过所要求的需求量，因此，)3,2,1( 0 ,0=≥=-+i d d i i ，于是有：1068333231323222121312111=+++=+++=+++---d x x x d x x x d x x x又目标1P 为：尽量保证满足重点客户3B 的需求指标，故有：1044332313=-++++-d d x x x ，且+-44 ,d d 都要尽可能小；对目标2P ：因要求总运费不超过预算指标41066⨯元，故有：∑∑==+-⨯=-+31314551066i j ij ijd d x c，且+5d 应尽可能小；对目标3P ：因要求至少满足客户321 , ,B B B 需求指标的80%，故有：%8010%806%808883323137732221266312111⨯=-+++⨯=-+++⨯=-++++-+-+-d d x x x d d x x x d d x x x ，且)8,7,6(=-i d i 应尽可能小；对目标4P ——因要求由3A 至1B 的运输量按合同规定不少于1万吨，故有：19931=-++-d d x ，且-9d 应尽可能小；对目标5P ——因1A 至3B 的道路危险，而要求运量要减少到最低点，故有：1013=-+d x ，且+10d 应尽可能小；另外，从仓库iA 调拨到客户321 , ,B B B 的货运量)3,2,1(321=++i x x x i i i 不可能超过该仓库的供应量，所以有：785333231232221131211≤++≤++≤++x x x x x x x x x3）模型的建立与求解至此，我们得到该“物资调运安排问题”的目标规划模型为：+----++-+++++++=10594876352441)()( min d P d P d d d P d P d d P z满足约束条件1068333231323222121312111=+++=+++=+++---d x x x d x x x d x x x1044332313=-++++-d d x x x∑∑==+-⨯=-+31314551066i j ij ijd d x c88.44.6883323137732221266312111=-+++=-+++=-++++-+-+-d d x x x d d x x x d d x x x19931=-++-d d x1013=-+d x785333231232221131211≤++≤++≤++x x x x x x x x x这里,,≥+-k k ij d d x 。
