代数余子式练习题ppt课件

待求元素位置关系确定
1.利用代数余子式的性质来确定元素位置关系：代数余子式可以通过对矩阵的行列 式进行求解得到，而代数余子式的符号与元素位置有一定的关系。通过对已知元素 关系的分析，可以利用代数余子式的符号性质来确定未知元素的位置关系。
2.利用线性方程组求解：对于给定的已知元素关系，可以将其表示成线性方程组的 形式。通过对方程组的求解，可以得到未知元素的具体取值，从而确定位置关系。
行列式推导公式
在中，我们可以使用代数余子式来计算$n$阶行列式。对于三阶行列式，在计算过程中，我们首先计算出三个代数余子式，然后再按照公式进行求 和。而计算三阶代数余子式的方法，可以通过将矩阵中的对应行列去掉后得到的$2\times 2$矩阵的行列式乘上系数得到。具体的说，我们可以用 如下公式计算三阶代数余子式： A_{ij}=(-1)^{i+j} \begin{bmatrix} a_{( j-1)+(i-1)\times 2} & a_{( j-1)+(i-1)\times 2+1} \\ a_{( j-1)+i\times 2} & a_{( j-1)+(i+1)\times 2+1} \end{bmatrix}$$ 其中，$A_{ij}$表示第$i$行第$j$列的代数余子式，$a$为原矩阵。按照此方法计算出三个代数余子式后，我们就可以使用三个代数余子式按照公式 求和得到三阶行列式的值。此方法也可以扩展到更高阶行列式的计算中。
求解向量共面性：
三阶代数余子式 向量
共面性
计算三阶行列式：
三阶代数余子式 三阶行列式 几何问题
三阶代数余子式的应用和 计算方法
三阶代数余子式 线性方程组 逆矩阵 行列式

n
D ,当 i = j , ∑ aik Ajk = Dδ ij = 0 ,当 i ≠ j; k =1
n
1 ,当 i = j， 其中 δ ij = 0 ,当 i ≠ j .
思考题
设n阶行列式
1 1 Dn = 1 ⋮ 1 2 2 0 ⋮ 0 3 0 3 ⋮ 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ n 0 0 ⋮ n
a22 ⋯ a2 n ⋮ ⋮ an 2 ⋯ ann
1+1
即有 D = a11 M 11 . 又 从而
A11 = (− 1)
M 11 = M 11 ,
D = a11 A11 .
在证一般情形, 在证一般情形 此时
a11 ⋯ a1 j ⋯ a1n ⋮ D= 0 ⋮ ⋮ aij ⋯ aij ⋮ ⋮ ⋯ 0 ⋮
1 = ( x 2 − x1 )( x 3 − x1 )⋯( x n − x1 ) x2 ⋮
n x2 −2
1 x3 ⋮
⋯ ⋯
1 xn ⋮
n n x3 −2 ⋯ xn −2
n-1阶范德蒙德行列式 阶范德蒙德行列式
∴ Dn = ( x 2 − x1 )( x 3 − x1 )⋯( x n − x1 ) =
A12 = (− 1) M 12 = − M 12 . a11 a12 a13 M 44 = a21 a22 a23 , A44 = (− 1)4+ 4 M 44 = M 44 . a31 a32 a33
行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一个代数余子式.
阶行列式， 引理 一个 n 阶行列式，如果其中第 i 行所有 外都为零， 元素除 a ij外都为零，那末这行列式等于 a ij 与它的 代数余子式的乘积， 代数余子式的乘积，即 D = a ij Aij ． a11 a12 a13 a14 例如 D =

m
x11 x22 xmm 0有非零解
线性方程组1,2 ,
,m
x1
0非零解
xm
R1,2, ,m m m是向量个数
判别法 1
n个n元1,2 ,
,
线性
n
相关
1,2 ,
,n
0
r1,2 , ,n n
n个n元1,2 ,
,
线性无关
n
1,2 ,
,n
0
r1,2 , ,n n
判别法 2
n阶方阵A可逆 A 0 A E
存在方阵B，使AB E,或BA E 秩 Ann n
A的行(列)向量组线性无关。 齐次线性方程组Ann X 0仅有零解 A的特征值全部 0
可逆矩阵的性质
设A,B都是n阶可逆矩阵，k是非零数，则
1
A1 1 A,
3 AB 1 B 1 A1
线性相关,则必可由1,2 ,
,
线性
m
表示，
并且表法惟一。
3、秩（A）= 列向量组的秩 = 行向量组的秩
定理
向量
可由1,2 ,
,
线性表示
m
x11 x22 xmm 有解
线性方程组1,2 ,
,m
x1
有解
xm
R1,2 , ,m R1,2 , ,m，
定理
向量组1,2 ,
,
线性相关
证明 设 x11 x22 x33 0
1.
即
x11 2 3 x21 2 x32 3 0
x1 x2 1 x1 x2 x3 2 x1 x3 3 0
因为1
,2
,3
线性无关,所以
x1 x1
x2 x2
x3

（1）一个两位的自然数，十位上的数与个位上的数的和
为9
①如果设十位上的数字为a，那么这个数可以表示为
9a+9
_____________.
②如果设个位上的数字为b，那么这个数可以表示为
90-9b
_____________.
1
（2）已知今年弟弟的年龄恰是哥哥年龄的
，设哥哥
（x+9）
今年 的年龄是x岁，则9年后哥哥的年龄是__________岁，
380x
套这种学生桌椅需要__________元．
知识讲解
x
(4)如果某期5年期国债的年利率是5.6％，小颖
的爷爷买了这期国债x元，那么到期后可得利
x+5×5.6%x
息__________元，本息共为＿____________.
5×5.6%x
(5)如果一项工程要求30天完成，那么x天后完成
1
x
30
了工程量的___________.
知识讲解
思考：
1.请用文字的形式概括上述数量关系.
行程问题：路程=速度×时间.
工程问题：工作量=工效×时间.
商品价格问题：总价=单价×数量
利息问题：利息=本金×利率×期数.
本息=本金+利息.
2.上面列出的这些代数式都有怎样的特点？
都有kx的形式
随堂训练
1.填空：
1
（ x+9）
2
弟弟的年龄是_________岁.
2
随堂练习
2.甲、乙两个口袋分别装有akg和bkg（a>b）的大豆，要想
使两个口袋装的大豆一样多，应从甲口袋向乙口袋倒入多少
千克大豆？
解：根据题意可得，应从甲口袋向乙口袋倒入

a nn
把 a jk 换成 a ik ( k 1,, n), 可得
a11 ai1 a i 1 A j 1 a in A jn ai1 a1 n a in , a in
第i 行 第 j行
相同
当 i j 时,
a n1
a nn
ai 1 A j1 ai 2 A j 2 ain A jn 0,
n
D ,当 i j , aik Ajk D ij 0 , 当 i j; k 1
n
1 ,当 i j， 其中 ij 0 ,当 i j .
思考题
设n阶行列式
1 2 3 n 1 2 0 0 Dn 1 0 3 0 1 0 0 n
n
1 ,当 i j， 其中 ij 0 ,当 i j .
3 5 3
例３ 计算行列式 D 0 7 解 按第一行展开，得
D 3 1 0 7 2 5 0 0 7 2
1 0 7 2
3
0 1 7 7
27.
5 1
例４ 计算行列式
3 7
1 2 0 2 5 2 3 3 1 0 5 0
(i j ).
同理 a1i A1 j a2i A2 j ani Anj 0, (i j ).
关于代数余子式的重要性质
D ,当 i j , aki Akj D ij 0 ,当 i j; k 1
n
D ,当 i j , aik Ajk D ij 0 , 当 i j; k 1
1 0 0 n
求第一行各元素的代数余子式之和
A11 A12 A1n .

S的余子式:
在A中划去S所在的k行、k列，余下的元按原来的 相对位置组成的n-k阶行列式M, 称为S的余子式.
S的代数余子式: 设S的各行位于A中第i1,…,ik, S的各列位于A中第 j1,…, jk列，称
A (1)(i1 ik )( j1 M jk )
为S的代数余子式.
§2.3 拉普拉斯展开定理
[结]
20 1 02 1 0 1 0 1
01 S1 1 1
A 0 1 1 2 1 0 2 2 1 2 0 1 1 1 1
101 M1 0 1 2
011
012 S2 1 1 1
2 2 2
A1 1 1 3 2 3 M1 M1 ,
10 M2 0 1
第二章 行列式
§2.3 拉普拉斯展开定理
一. k阶子式、余子式、代数余子式 二. 拉普拉斯定理
电子科技大学 黄廷祝
§2.3 拉普拉斯展开定理
一. k阶子式、余子式、代数余子式
k阶子式： 矩阵A中任取k行、k列，位于这k行、k列交点上的k2 个元按原来的相对位置组成的k阶行列式S, 称为A的 一个k阶子式.
A2 1 1 34 2 35 M 2 M 2 .
§2.3 拉普拉斯展开定理
例如，5阶行列式detA中，取子式
S a22 a52
a24 a54
则其代数余子式为
a11 a13 a15
(1)(25)(24) a31 a33 a35
a41 a43 a45
§2.3 拉普拉斯展开定理

an1 anj ann
aiij 0 0



于是有 ai1, j ai1, j1 ai1,n aij Mij ,



故得
anj aaiijj
an, j1 0
ann 0

D 1 i j ai1, j ai1, j1 ai1,n 1 i j aijMij .
x1n1 x2n1 xnn1
证 用数学归纳法
11
D2 x1
x2
x2 x1
( xi x j ),
2i j1
当 n 2 时（1）式成立．
假设（1）对于 n 1 阶范德蒙德行列式成立，
Dn
1
1
0
x2 x1
0 x2 ( x2 x1 )


1．李鸿章1872年在上海创办轮船招商局，“前10年盈和，成
为长江上重要商局，招商局和英商太古、怡和三家呈鼎立
之势”。这说明该企业的创办
()
A．打破了外商对中国航运业的垄断
B．阻止了外国对中国的经济侵略
C．标志着中国近代化的起步
2．特点 (1)近代中国交通业逐渐开始近代化的进程，铁路、水运和 航空都获得了一定程度的发展。 (2)近代中国交通业受到西方列强的控制和操纵。 (3)地域之间的发展不平衡。 3．影响 (1)积极影响：促进了经济发展，改变了人们的出行方式， 一定程度上转变了人们的思想观念；加强了中国与世界各地的 联系，丰富了人们的生活。 (2)消极影响：有利于西方列强的政治侵略和经济掠夺。
5 5 0
r2 r1
5 11 6 2 0 5 5 0

例如
a a a a 11
12
13
14
D a21 a22 a23 a24
a a a a 31
32
33
34
a a a a 41
42
43
44
a11 a12 a14 M 23 a31 a32 a34
a41 a42 a44
A23 123 M 23 M 23 .
a11 a12 a13 a14 D a21 a22 a23 a24 ,
同理 a1i A1 j a2i A2 j ani Anj 0, (i j).
关于代数余子式的重要性质
n aki Akj
k 1
D ij
D ,当 i
0
,当
i
j, j;
n aik Ajk
k 1
D ij
D ,当 i
0
,当
i
j, j;
其中
1 ,当 i j， ij 0 ,当 i j.
ij例如44434241343332312423222114131211444241343231141211234443424134333231242322211413121144434134333124232112333231232221131211444444个代数余子式对应着一个余子式和一行列式的每个元素分别定理3行列式等于它的任一行列的各元素与其对应的代数余子式乘积之和即1211121112111211推论行列式任一行列的元素与另一行列的对应元素的代数余子式乘积之和等于零即jnjn可得换成ikjknjni相同关于代数余子式的重要性质kjkijkik1080124220降阶法
行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一
个代数余子式.

x 2 n 2 an 1 x an x n 11 a2 x n 2 an 1 x an .
n 1
但 1 x a1 x a1 ,所以
n x a1 x
n

an .
例6 计算行列式
1 a1 Dn a12 1 a2 2 a2 1 an 2 an
作业
P88-89
3，4，5
an1 an 2
an1 an 2
an1 an 2
在这n个行列式的每一个中，除了第i行外，其余 的行都与D的相应行相同. 因此，每一行列式的 第i行的元素的代数余子式与D的第i行的对应元 素的代数余子式相同. 这样，由定理3.4.1，
D ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 ain Ain (i 1,2,, n)
a 21 a31 a 41
中,取定第二行和第三行,第一列和第四列.那么位于 这些行列的相交处的元素就构成D的一个二阶子式
a 21 a 24 M . a31 a34
定义2
n (n>1)阶行列式
a11 D ai1 an1 a1 j aij anj a1n ain ann
的某一元素 a ij 的余子式 M ij 指的是在D中划去 a ij 所在行和列后所余下的n－1阶子式. 例2 例1的四阶行列式的元素 a 23 的余子式是
D1 ai1 Aj1 ai 2 Aj 2 ain Ajn , ai1 Aj1 ai 2 Aj 2 ain Ajn 0. 因而
例4 计算四阶行列式 3 1 1 2 5 1 3 4 D 2 0 1 1 1 5 3 3 在这个行列式里，第三行已有一个元素是零，由 第一列减去第三列的二倍，再把第三列加到第四 列上，得：

a11

a1j

a1n
an1 an j ann
j – 1次
其中
a11 a1j a1n



0 aij 0



an1 an j ann
aij Aij
aij
(1)ij 2
a1j
an j
00 a11 a1n Mij an1 ann
a11 a12 a14 M 23 a31 a32 a34
a41 a42 a44
(2, 3) 元的代数余子式 A23
A23 (1)23 M23
• 在 n 阶行列式中, 划去第 i 行, 第 j 列, 余下的元素按原次序排成的 n - 1 阶 行列式称为 ( i , j ) 元的余子式, 记为 M i j .
行列式值不变.
作业：
§2.3 1 (2) (3), 2 (2), 3 (2), 4 (2) §2.4 1 (2) (4), 2, 4, 6, 9
补充题: 求 M12 3M22 2M32
1842 3425 A 2462 0706
Matlab 求简化阶梯矩阵
>> B = [ 2,4,1,5; 3,2,6,9; 3,7,1,8 ] B=


| A | ai1 ai2 ain


an1 an2 ann
a11 a12 a1n


a11 a12 a1n


ai1 0 0 0 ai2 ain




an1 an2 ann an1 an2 ann
证明:
a11 a12 a1n

( i ≠ j ).
同理 a1i A1 j + a 2 i A2 j + L + a ni Anj = 0, ( i ≠ j ).
关于代数余子式的重要性质
D ,当 i = j , ∑ aki Akj = Dδ ij = 0 ,当 i ≠ j; k =1
n
D ,当 i = j , ∑ aik Ajk = Dδ ij = 0 ,当 i ≠ j; k =1
得
aij L 0 L 0 ij M M M i −1 j −1 D = ( − 1) ⋅ ( − 1) a i − 1 , j L a i − 1 , j − 1 L a i − 1 , n M M M anj L an , j −1 L ann
aij aij M M anj aij M = ( − 1)
A12 = (− 1) M 12 = − M 12 . a11 a12 a13 M 44 = a21 a22 a23 , A44 = (− 1)4+ 4 M 44 = M 44 . a31 a32 a33
行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一个代数余子式.
阶行列式， 引理 一个 n 阶行列式，如果其中第 i 行所有 外都为零， 元素除 a ij外都为零，那末这行列式等于 a ij 与它的 代数余子式的乘积， 代数余子式的乘积，即 D = a ij Aij ． a11 a12 a13 a14 例如 D =
中的余子式 M ij .
an1 L anj
aij aij
M M anj
故得 aij aij M
L
0 M M
L
0 M M
于是有 ai −1, j L ai −1, j −1 L ai −1,n = aij M ij ,

线 性 代 数 部 分 第八章 行列式
14
(1)
2 3 (2) 4 5

1
2 0 5 1

1 3 3 2
2
(3)
0 2 0 1 4 1 8 1
2 0 3
1 1 2
3 4 5
a
b a 0
0 b b
(4) 0
a
2.设
D
请分别按第1行和第3列展开该行列式,并比较哪一 种计算简单些,最后按简单的方式算出其值.
a b c d
(1.1.2)
为了便于表示上式,我们引入记号
规定:
a c b ad bc d
,
(1.1.3)
并称其为二阶行列式.且在这样的记号中,横向排 的称为行,纵向排的称为列,从左上角到右下角的 线称为主对角线 . 每一个数均称为一个元素 . 如 (1.1.3) 中有四个元素 , 排为两行两列 , 分别称为 第一行、第二行和第一列、第二列 , 而主对角线 上有两个元素.(1.1.3)式称为二阶行列式的定义 式.
称其为方程组(1.1.1)
的系数行列式 注1:从以上易见,行列式 D1恰好是将系数行 列式 D 中的两个 x1 的系数分别换为常数项后得 到的行列式,而D2 恰好是将系数行列式 D 中的两 个 x2 的系数分别换成常数项后所得到的行列式 .
线 性 代 数 部 分 第八章 行列式
4
例1解方程组
2 x 3 y 1 4x 5 y 6
线 性 代 数 部 分 第八章 行列式
3
1 3 例如 4 2 1 (2) 3 4 14
于是(1.1.2)式便可以表示为:
b1 a12 b2 a22 x1 , x2 a11 a12 a21 a22 a11 a12 a a a a 0 其中 11 22 12 21 a21 a22 a11 b1 a21 b2 a11 a12 a21 a22

... ai1, j1 ... ai1, j1 ... ...
ai1, j1 ai1, j1
...
... ai1,n ... ai1,n ... ...
anj an1 ... an, j1 an, j1 ... ann
所得由,于由D命1是题经3过.3.3(i(交1)换+(行j1列)次式换两行行换或列两的列步, 骤行 列式变号), 有: D = (1)(i1)+(j1) D1 = (1)i+j D1 .
aij的代数余子式 = bij的代数余子式. 上述结论显然也适合于列的情形.
§3.4 子式与代数余子式
证: (只证行的情形, 即公式⑶) 先将行列式D写成:
a11
a12
...
a1n
...
...
...
...
D ai1 0 ... 0 0 ai2 0 ... 0 ... 0 ... 0 ain
§3.4 子式与代数余子式
定理3.4.1 若在一个行列式
a11 ... a1 j ... a1n ... ... ... ... ...
D = ai1 ... aij ... ain
... ... ... ... ... an1 ... anj ... ann
中, 第i行(或第j列)的元素除aij外全为零, 则: D = aijAij
§3.4 子式与代数余子式
反之, 由于行列式D的每项都含有第1 行的一个元素, 而第1行元素除a11外全为 零, ∴ D的每项都可写成⑵的形式.
就是说, D的每项都是a11与其子式M11 的某项的乘积, ∴ D与a11M11有相同的项. 乘积⑵在D中的符号是:
(1) (1) (1 j2 j3... jn )

2021数一代数余子式
2021年数一真题代数余子式部分，主要考察了考生对代数余子式概念和性质的理解和运用。

在题目中，要求考生求出一个多项式中某一项的代数余子式，并利用代数余子式的性质进行化简。

代数余子式是线性代数中的一个重要概念，它表示一个多项式中某个项的系数与该项中所有幂的乘积之和。

对于一个n阶矩阵A，其元素为aij(i=1,2,...,n;j=1,2,...,n)，那么该矩阵A对应于行i和列j的代数余子式Aij定义为：
Aij=(-1)^i+jMij
其中Mij表示将矩阵A中第i行和第j列元素去掉后得到的子矩阵。

在题目中，要求考生求出多项式f(x)=x5-10x3-5x2+6的某个项的代数余子式。

首先，将多项式f(x)展开，得到：f(x)=x5-10x3-5x2+6=x5-10(x3+5x)-5(x2+6)
然后，根据代数余子式的定义，可以求出该多项式中每个项的代数余子式：
f(x)的代数余子式分别为：
A12=(-1)1+2M12=(x4-10x2-5)
A21=(-1)2+1M21=(x4-5x2-6)
A30=(-1)3+0M30=(x3-5)
A43=(-1)4+3M43=(x4-10x2-5)
A52=(-1)5+2M52=(x4-5x2-6)
通过以上步骤，我们可以求出多项式f(x)中每个项的代数余子式，并利用代数余子式的性质进行化简。