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非线性薛定谔方程 runge-kutta
非线性薛定谔方程 runge-kutta
非线性薛定谔方程，即非线性常微分方程，是用于描述物理系统的状
态变化的重要方程，可用于描述各种物理系统的动力学和稳定性问题。
Runge-Kutta方法是一种常用的数值解决非线性薛定谔方程的方法。
Runge-Kutta方法可以求解一阶非线性薛定谔方程，也可以求解多阶非线性薛定谔方程，不需要求解方程的精确解，而是对方程的近似解。
它的基本思想是：将时间区间[t0,t1]划分为若干小的时间步长，将每
次步长的解看作是一个函数，再用多项式拟合这个函数，从而得到方
程的近似解。
Runge-Kutta方法的特点是求解精度高，计算量少，但它也有一定的局限性，即要求解的方程必须是可以求导的，对于非线性或不可导的方程，Runge-Kutta方法就不能使用了。
另外，Runge-Kutta方法只能求
解单变量的非线性薛定谔方程，而多变量的非线性薛定谔方程则无能
为力。
总之，Runge-Kutta方法是一种有效的解决非线性薛定谔方程的方法，它的优点是求解精度高，计算量少，但也有一定的限制，不能解决某
些复杂的问题。
收稿日期：2020-09-13作者简介：杨程程（1996-），女，辽宁铁岭人，硕士研究生。
极坐标下二维非线性薛定谔方程的有限差分方法杨程程，张荣培（沈阳师范大学数学与系统科学学院，辽宁沈阳110034）摘要：对圆形区域上的二维非线性薛定谔方程进行了研究。
首先，用极坐标方式表示拉普拉斯算子，将计算区域分别沿r 和θ方向进行网格划分，运用中心差分的方法进行空间离散，离散格式用Kronecker 积表示，并写成非线性常微分方程组的形式。
然后，应用积分因子方法进行时间离散，在实现过程中采用Kroylov 子空间的方法求解指数矩阵与向量的乘积。
最后，在数值试验中给出爆破解的数值算例，证明了该方法可以有效地捕捉爆破现象。
关键词：二维非线性薛定谔方程；极坐标；中心差分；Kroylov 子空间中图分类号：TP273文献标识码：A文章编号：1673-1603（2021）01-0092-05DOI ：10.13888/ki.jsie （ns ）.2021.01.018第17卷第1期2021年1月Vol.17No.1Jan.2021沈阳工程学院学报（自然科学版）Journal of Shenyang Institute of Engineering （Natural Science ）非线性薛定谔方程是量子力学中最重要的方程之一，在等离子物理、非线性光学、激光晶体中的自聚焦、晶体中热脉冲的传播以及在极低温度下的Bose -Einstein 凝聚体的动力学等领域内有着重要的应用［1-4］。
近年来，许多学者在求解非线性薛定谔方程时应用了许多数值方法，例如有限差分方法［5］、有限元法［6］、谱方法［7］和紧致积分因子法［8］等等。
但这些方法均在直角坐标系下求解，而在极坐标下求解的非线性薛定谔方程的文章比较少［9］，本文考虑在圆形区域上求解极坐标下的二维非线性薛定谔方程。
考虑计算区域为Ω={}()x ,y :x 2+y 2<1的二维非线性薛定谔方程：iu t +Δu +||u 2u =0（1）式中，u ()x ,y 为复函数；i 2=-1为虚数单位；Δu =u xx +u yy 为拉普拉斯算子。
Riesz空间分数阶非线性薛定谔方程的一种高效解法唐娇;王晚生【摘要】现实生活中的很多物理现象只有将分数阶微积分同量子力学结合起来才能得到准确的表述,因此对薛定谔方程的研究也从整数阶扩充到了分数阶.本文利用时间分裂谱方法离散求解半经典体系中的Riesz空间分数阶非线性薛定谔方程.对该数值方法进行了稳定性分析和色散分析,并将不同网格下求得的数值解进行了对比.结果表明时间分裂谱方法具有高精度近似和无条件稳定性.【期刊名称】《湖南理工学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2019(032)001【总页数】7页(P13-19)【关键词】Riesz空间分数阶薛定谔方程;傅里叶积分算子;时间分裂傅里叶谱方法;Riesz分数阶;色散分析【作者】唐娇;王晚生【作者单位】长沙理工大学数学与统计学院,湖南长沙 410114;长沙理工大学数学与统计学院,湖南长沙 410114【正文语种】中文【中图分类】O241.80 引言分数阶薛定谔方程是在引入分数阶微积分概念后建立的，分数阶微分方程在物理学、工程学、生物学、控制和分子动力学等领域的应用解释了为何这个方向成为了当今世界热点研究课题之一.它主要根据Riemann-Liouville、Caputo 分数导数和Riesz分数导数制定，现实生活中的很多物理现象也只有将分数阶微积分同量子力学结合起来才能得到准确的表述.Laskin首先将Feynman路径积分拓展到了Levy 路径积分，并且建立了分数阶量子力学[1]，推导出了一种空间分数阶薛定谔方程；E.Ahmed等人研究了分数薛定谔方程[2]的阶数；Antoine X和Jiwei Zhang等人对空间分数阶薛定谔方程的分数阶量子动力学和时间分数阶薛定谔方程也有了初步的研究[3]；Wang D等人提出用Crank-Nicolson方法求解Riesz空间分数阶耦合非线性Schrodinger方程[7]；Bao W和Jin S等人提出了半经典体系中Schrödinger方程的时间分裂谱方法[8，9，15，16，17].然而求解含非常小的普朗克常数的半经典体系的空间分数阶薛定谔方程仍然是一个艰巨的数学挑战，标准的非线性薛定谔方程为该方程的一种特殊情况，分数阶微分方程的数值方法成为了解方程性质的重要工具，空间分数阶线性薛定谔方程(SFLSE)已进行了详细分析，本文考虑利用时间分裂傅里叶谱方法离散求解Riesz空间分数阶非线性薛定谔方程.1 时间分裂傅里叶谱方法考虑d 维SFNLS 方程：其中 1 0-8≤ε≤1 0-2表示一个缩放的普朗克常数，i是虚数单位，uε表示关于时间变量t和空间变量x的量子力学波函数，实值函数V(x)表示代表势能，实值参数s＞0是空间分数阶数.α，β为已经给定的实常数，方程(1)又称为空间分数阶Gross-Pitaevskii 方程.(-Δ) suε可通过Riesz分数阶导数计算[3]：其中 ka是u的傅里叶系数，这里的傅里叶变换为利用Riesz分数阶导数还可定义其中和是左右Riemann-Liouville分数导数[4]：当 1s=时，方程(2)可以化成半经典体系中的标准非线性薛定谔方程[5].其中对于方程(1)中的位置密度nε和电流密度Jε可由波函数了计算：nε (x，t)=，上的横线代表它的共扼复数.还可定义分数阶能量函数为了便于问题(1)的数值计算和数值分析，选择空间网孔大小0xhΔ=＞，且M 为正整数，与ε无关的时长Δt=k＞0，其初值条件为对于x ∈[a，b]，0＜a＜b＜+∞，配有周期性边界条件，然后时间与空间网格点为x j ：=a+jh，j=1，2，…，M，tn=n k，n ∈ℕ.记作为的近似值，u ε，n作为在时间 t=t n=n k的解向量(其分向量为U εj，n). 半经典Riesz空间分数阶非线性薛定谔方程是由时间分裂傅里叶谱方法求解[7，14]，基于以下两个步骤：步骤1 从时间t=tn到时间t=tn+1，先求解自由薛定谔方程步骤2 在相同的时间间隔，即T ∈ [ tn，tn+1]，求解常微分方程(ODE)，则方程(1)可化为首先在空间上通过傅里叶谱方法离散线性方程(4)，并且可以在傅立叶空间中精确地进行时间积分.在这里令可以得到在时刻t=tn+1的一阶傅里叶时间分裂格式：Strang二阶分裂法(SP2)：构造如下半经典体系中时间方向上二阶的空间分数阶分裂傅里叶谱格式，即在时间间隔 [t n， tn+1]有：其中，lε*是，Uε*的傅里叶系数，其方程为2 色散关系和数值格式的稳定性分析2.1 色散关系定理1 假设势函数 V (x)=0，分数阶阶数 s ＞0，则一阶时间分裂谱方法(7)，(8)和strang二阶分裂法(9)保留了分数阶NLS平面波解的色散关系证明假设当 ntt=，分数阶NLS的解为所以当 1n n=+时，有又根据式(1)和可知将式(9)中第二式代入式(11)并化简可得再将式(14)代入式(9)中第三式，则有比较式(12)和式(15)，即得2.2 数值格式的稳定性分析引理假设任意整数0n≥，且在时间 nt的 Riesz空间分数阶非线性薛定谔方程的数值解 nu是由一阶时间分裂谱方法(7)，(8)和strang二阶分裂法(9)获得的，则有离散质量保持守恒定理2 设代表三角多项式内插值则在任何网格尺寸h和时间步长k下，可以证明一阶时间分裂谱方法和SP2 是无条件稳定的[9] ：证明根据数值方法SP1(7)、(8)可以得到再根据数值方法SP2(9)和离散范数定义，有因此，式(18)的第一个等式可以通过数值方法SP1的式(19)和SP2的式(20)归纳得到.又因为对于每个周期函数 f，有等式所以式(18)的第二个等式成立.定理2得证.3 数值实验为了说明该方法的有效性，这里给出Riesz空间分数阶非线性薛定谔方程的数值实验.在实际的数值计算中[15，16，17]，往往会选择在经典 WKB 形式下的初始条件其中 n0和 S0是与ε无关的正则的实值函数，当|x|→∞时，n0足够快地衰减到0. 我们在这里基于势函数 V (x)的情况建立SP2的误差估计.假设u ε=u ε(x，t)为(1)的精确解且式(1)中的势函数V (x)为C ∞ ℝ和(b-a)周期的.选择适当长的间隔[-2，2]，使得周期性边界条件不引入相对于整个空间问题的显著误差.算法采用软件matlab7.11.0实现.数值例子：半经典空间分数阶非线性薛定谔方程：令 V (x)=0 .5x2，它是谐振子算子.其中取α=1，β=-1，这是与空间分数阶BEC有关的空间分数阶GPE：选取初始条件为其中 n (x)和 s (x)为独立于ε的实值函数. 这0o个初始条件可以分析地得到位置密度ρε和电流密度Jε的弱极限.总是选取间隔[-2，2]上用SP2计算半经典Riesz空间分数阶非线性薛定谔方程.这里同样使用了不同网格划分下的傅里叶分裂谱方法求半经典空间分数阶非线性薛定谔方程的数值结果.为了测试数值方法，对于每个固定ε，使用具有非常细网格的分裂谱方法和非常小的时间步长(例如 k=0 .0001)来计算近似解，作为“精确”解.表 1～3给出了时间网格和空间网格上空间分数阶非线性薛定谔方程由傅里叶分裂谱方法的计算公式(9)计算出的结果，显示了对于ε，h，k，s的不同组合，当t=0.64时，ε=0 .04，ε=0 .01，ε=0 .0025，分别取不同时间步长和空间步长，分数阶s分别取s=0 .2、s=0 .6，和 s=0 .9时的误差(Error) 结果，表中第一列表示空间网格节点的个数，第二列表示时间网格节点的个数.从这些数值结果可以看出，我们的数值方法对于具有ε独立时间步长k和网格大小h=O(ε)的半经典体系的空间分数阶非线性薛定谔方程的可观察性给出了非常好的结果.表1 当 t=0 .64 及 s=0 .2的误差‖uε( t)-u ε，h，△t‖t2ε=0.04h=14h=116h=164h=order 256 1 Δ=3t 0.162.0740 10-⋅ 45.9230 10-⋅ 4 5.9154 10-⋅ 4 5.9149 10-⋅-Δ=3t 0.041.7752 10-⋅ 6 8.4765 10-⋅6 8.4385 10-⋅ 6 8.4414 10-⋅ 3.065367 Δ=3t 0.011.7749 10-⋅ 7 6.1724 10-⋅ 7 5.0203 10-⋅ 7 5.0080 10-⋅ 2.037592 Δ=3t 0.00251.7748 10-⋅ 7 4.3455 10-⋅ 8 9.9997 10-⋅ 8 3.7173 10-⋅ 1.875940表2 当 t=0 .64 及 s=0 .6的误差‖uε(t)-u ε ，h，△t‖t2ε=0.01h=1h=orderh=11 1664256 Δ=2t0.162.5787 10-⋅ 4 1.7486 10-⋅4 1.7484 10-⋅-Δ=2t0.042.4906 10-⋅5 1.4785 10-⋅ 5 1.4213 10-⋅ 1.810376 Δ=2t0.012.4815 10-⋅ 6 4.5481 10-⋅ 6 1.5618 10-⋅ 1.592968 Δ=2t0.00252.4815 10-⋅ 6 4.4970 10-⋅ 6 1.4214 10-⋅ 0.067936表3 当 t=0 .64 及 s=0 .9的误差‖uε( t)-u ε，h，△t‖t2ε=0.0025h=1 64h=256 1h=order 1024 1 Δ=1 978t 0.164.9 10-⋅ 3 1.8282 10-⋅ 3 1.8112 10-⋅-Δ=1 975t0.044.9 10-⋅ 4 1.1423 10-⋅ 4 1.1423 10-⋅ 1.993466 Δ=1 975t0.014.9 10-⋅ 6 7.1396 10-⋅ 6 7.1397 10-⋅ 1.999966 Δ=1 975t 0.00254.9 10-⋅ 7 4.4633 10-⋅ 7 4.4636 10-⋅ 1.999788图1、图2分别给出了当0.64t=时，不同s、ε取值得到的位置密度ερ和电流密度Jε的数值结果.且图 1给出了当时的位置密度和电流密度图像；图2给出了当0.6，s=时的位置密度和电流密度图像；图3和图4则分别给出了当固定Δt=0.01，分数阶取不同值 s=0 .6，s=0 .9时的波函数实部图像.显然，本文所使用的时间分裂谱方法是高效、可靠的.图1图2图3图4现在分析一下当0.64t=时时间分裂谱方法的性能.在图5～7中，固定了时间步长0.01tΔ=和分数阶阶数s，其中图5选取了 0.9s=，图6选取了 0.6s=，图7选取了 0.2s=，当空间步长h改变时，显示不同的ε下可观察的波函数uε的误差变化情况.可以发现，当0tΔ→时，时间分裂谱方法非常稳定的.图5图6图7图 8～10显示了在固定网格划分和分数阶阶数 0.9s=条件下，对于三个不同时间长度t=0 .5，t=1，t=1 .5，当ε=0 .04，ε=0 .01，ε=0 .0025时位置密度nε和电流密度Jε的曲线图，这里测试傅里叶分裂谱方法(9)的网格划分. 图7显示了t=0 .5(断裂前)，固定且不依赖于ε的数值结果，以及三个不同的网格尺寸，其对应于网格划分h=O(ε)和k独立于ε.还可以用图9中t→1时以及图10中在t=1.5(断开后)输出数值解.图8图9图104 结论本文提出了一种高效而强大的数值方法来计算半经典体系的Riesz空间分数阶非线性薛定谔方程，基本的思路就是利用时间分裂谱方法将半经典体系的空间分数阶非线性薛定谔方程分裂成两个容易解析求解的方程，通过某种组合方式来构造出原方程的数值算法，发现空间分数阶阶数以显著的方式影响方程数值解及误差.时间分裂谱方法对半经典体系的 Riesz空间分数阶线性薛定谔方程的数值求解具备显格式、高精度和保结构时间方向稳定的的优势.参考文献【相关文献】[1]Laskin N.Fractional quantum mec hanics and Lévy path integrals[J].Physics Letters A，2009，268(4)：298～305[2]E.Ahmed et al.On Fractional Order Quantum Mechanics[J].International Journal of Non Linear Science，2009，8(4)：469～472[3]Antoine X，Tang Q，Zhang J.On the ground states and dynamics of space fractionalnonlinear Schrodinger/Gross-Pitaevskii equations with rotation term and nonlocal nonlinear interactions [M].Academic Press Professional，Inc.2016[4]Kilbas A A A，Srivastava H M，Trujillo J J.Theory and applications Of Fractinal Differential Equations [J].North-Holland Mathemtics Studies，2006，204(49-52)：2453～2461[5]Jin S，Markowich P，Sparber C.Mathematical and computational methods 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第３８卷第１期２０２４年１月兰州文理学院学报(自然科学版)J o u r n a l o fL a n z h o uU n i v e r s i t y ofA r t s a n dS c i e n c e (N a t u r a l S c i e n c e s )V o l ．３８N o ．１J a n ．２０２４收稿日期:２０２３Ｇ０５Ｇ１５基金项目:国家自然科学基金项目(１１７６１０４４)作者简介:仁世杰(１９９５Ｇ),男,甘肃庄浪人,助教,硕士,研究方向为孤立子理论及其应用．E Ｇm a i l :４８７４５０３９５＠q q．c o m．㊀㊀文章编号:２０９５Ｇ６９９１(２０２４)０１Ｇ００３９Ｇ０５一类耦合非线性薛定谔方程组的求解仁世杰１,李永军２,张㊀娟３(１．兰州城市学院信息工程学院,甘肃兰州７３００７０;２．兰州城市学院电子工程学院,甘肃兰州７３００７０;３．宁夏师范学院数学与计算机科学学院,宁夏固原７５６０００)摘要:在可积条件c (t )＝(γ２(t ))２＝１(C １t ＋C ２)２,γ１(t )＝γ２(t )＝１C １t ＋C ２ìîíïïïï下,利用特殊变换法和S i n e Ｇc o s i n e 方法,得到了双芯光纤变系数线性耦合薛定谔方程组i ∂∂t u (x ,t )＋i ∂∂x u (x ,t )－∂２∂t ２u (x ,t )＋γ１(t )u (x ,t )２u (x ,t )＋㊀㊀c (t )v (x ,t )＝０,i ∂∂t v (x ,t )＋i ∂∂x v (x ,t )－∂２∂t ２v (x ,t )＋γ２(t )v (x ,t )２v (x ,t )＋㊀㊀c (t )u (x ,t )＝０ìîíïïïïïï的精确解．其中:C i (i ＝１,２)是常数;γi (t )(i ＝１,２)是第i 个纤芯的非线性参数;c (t )是两个纤芯之间的线性耦合参数．关键词:双芯光纤;线性耦合;薛定谔方程;可积;S i n e Ｇc o s i n e 方法中图分类号:O １７５．２９㊀㊀㊀文献标志码:AS o l v i n g aC l a s s o fC o u p l e dN o n l i n e a r S c h r öd i n g e rE qu a t i o n s R E N S h i Ｇj i e １,L IY o n g Ｇju n ２,Z HA N GJ u a n ３(１．S c h o o l o f I n f o r m a t i o nE n g i n e e r i n g ,L a n z h o uC i t y U n i v e r s i t y,L a n z h o u７３００７０,C h i n a ;２．S c h o o l o fE l e c t r o n i cE n g i n e e r i n g ,L a n z h o uC i t y U n i v e r s i t y,L a n z h o u７３００７０,C h i n a ;３．S c h o o l o fM a t h e m a t i c s a n dC o m p u t e r S c i e n c e ,N i n g x i aN o r m a lU n i v e r s i t y,G u y u a n７５６０００,N i n gx i a ,C h i n a )A b s t r a c t :I n t h i s p a p e r ,t h e e x a c t s o l u t i o n s o f t h e l i n e a r l y c o u p l e d n o n l i n e a r S c h r öd i n g e r E qu a Ｇt i o n G r o u p i ∂∂t u (x ,t )＋i ∂∂x u (x ,t )－∂２∂t ２u (x ,t )＋γ１(t )u (x ,t )２u (x ,t )＋㊀㊀c (t )v (x ,t )＝０i ∂∂t v (x ,t )＋i ∂∂x v (x ,t )－∂２∂t ２v (x ,t )＋γ２(t )v (x ,t )２v (x ,t )＋㊀㊀c (t )u (x ,t )＝０ìîíïïïïïïïïw i t h v a r i a b l e c o e f f i c i e n t s o f t w o Ｇc o r e f i b e r a r e c a l c u l a t e db y s p e c i a l t r a n s f o r m a t i o nm e t h o d a n dm e t h o du n Ｇd e r i n t e g r a b l e c o n d i t i o n c (t )＝(γ２(t ))２＝１(C １t ＋C ２)２γ１(t )＝γ２(t )＝１C １t ＋C ２ìîíïïïïa m o n g wh i c h C i (i ＝１,２)i s t h e c o n Ｇs t a n t ,γi (t )i s t h e n o n l i n e a r p a r a m e t e r s o f t h e i Ｇt h c o r e a n d c (t )i s t h e l i n e a r c o u p l i n g p a r a m e Ｇt e r sb e t w e e n t h e t w o c o r e s ．K e y wo r d s :t w o Ｇc o r e f i b e r ;l i n e a r c o u p l i n g ;S c h r öd i n g e r e q u a t i o n ;i n t e g r a b l e ;S i n e Ｇc o s i n em e t h o d 0㊀引言双芯光纤耦合方程是一类数学与物理领域研究的热点方程,它描述了光纤中光孤子是光波在传播过程中色散效应与非线性压缩效应相平衡的结果．因为光孤立子通信具有高码率㊁长距离和大容量的优点,可以构成超高速传输系统,所以光孤立子及其在通信中的应用研究具有重要的研究价值．文献[１]研究了变系数线性耦合的非线性薛定谔方程组:i ∂∂t u (x ,t )＋i ∂∂x β１１u (x ,t )－㊀β１２２∂２∂t ２u (x ,t )＋γ１(t )u (x ,t )２㊀u (x ,t )＋c v (x ,t )＋δa u (x ,t )＝０,i ∂∂t v (x ,t )＋i ∂∂x β２１v (x ,t )－㊀β２２２(t )∂２∂t２v (x ,t )＋γ２(t )v (x ,t )２㊀v (x ,t )＋c (t )u (x ,t )－δav (x ,t )＝０．ìîíïïïïïïïïïïïïïï(１)其中:βj １(j ＝１,２)是第j 个纤芯的群速度参数;βj ２(j ＝１,２)是第j 个纤芯的色散参数;γi (i ＝１,２)是非线性参数;c 是两个纤芯之间的线性耦合参数;δa 是两个纤芯的相速度参数．对于方程组(１),文献[１]针对非线性定向耦合器中光学明孤子的相互作用动力学进行了广泛的数值研究,考虑群速度失配,相速度失配,以及群速度色散和有效模面积的差异等因素的影响,主要使用数值方法研究了在均匀白躁声形式下的谐波无穷小扰动作用下亮孤子的稳定性．求解此类方程学有以下方法:I S T 方法[２Ｇ３],齐次平衡法[４Ｇ５],B äc k l u n d 变换方法[６Ｇ７],S i n e Ｇc o s i n e 方法[８Ｇ９]等．本文研究的是变系数的线性耦合非线性薛定谔方程组,方程组为i ∂∂t u (x ,t )＋i ∂∂x u (x ,t )－∂２∂t ２u (x ,t )＋㊀γ１(t )u (x ,t )２u (x ,t )＋㊀c (t )v (x ,t )＝０,i ∂∂t v (x ,t )＋i ∂∂x v (x ,t )－∂２∂t ２v (x ,t )＋㊀γ２(t )v (x ,t )２v (x ,t )＋㊀c (t )u (x ,t )＝０．ìîíïïïïïïïïïïïï(２)通过P a i n l e v é检验,得到当非线性参数和耦合参数满足:c (t )＝(γ２(t ))２＝１(C １t ＋C ２)２,γ１(t )＝γ２(t )＝１C １t ＋C ２ìîíïïïï(３)时,方程组(２)是P a i n l e v é可积的．本文在条件(３)基础上,首先利用S i n e Ｇc o s i n e 方法求解方程组的特殊精确解,然后选取满足方程的特定参数,并给出图像,所涉及的计算均由M a pl e 完成．1㊀预备知识S i n e Ｇc o s i n e 方法是求解非线性数学物理方程的有效方法,主要用于可积系统的求解．本节简单地介绍S i n e Ｇc o s i n e 方法．考虑非线性偏微分方程组i ∂∂T U (X ,T )－α∂２∂X ２U (X ,T )＋㊀㊀βU (X ,T )２U (X ,T )＋㊀㊀μV (X ,T )＝０,i ∂∂T V (X ,T )－α∂２∂X ２V (X ,T )＋㊀㊀βV (X ,T )２V (X ,T )＋㊀㊀μU (X ,T )＝０．ìîíïïïïïïïïïïïï(４)假设方程组(４)的解具有如下形式:U (X ,T )＝r １(X ,T )e i (ωT ＋k X ),V (X ,T )＝r ２(X ,T )e i (ωT ＋k X )．{(５)将(５)代入方程组(４),得－α∂２∂X２r １(X ,T )＋i ∂∂T r １(X ,T )－㊀㊀２i αk ∂２∂X２r １(X ,T )＋β(r １(X ,T ))３＋㊀㊀(αk ２－ω)r １(X ,T )＋μr ２(X ,T )＝０,－α∂２∂X ２r ２(X ,T )＋i ∂∂T r ２(X ,T )－㊀㊀２i αk ∂２∂X ２r ２(X ,T )＋β(r ２(X ,T ))３＋㊀㊀(αk ２－ω)r ２(X ,T )＋μr １(X ,T )＝０．ìîíïïïïïïïïïïïïïï(６)分离(６)中实部和虚部,则式(６)等价于虚部为０:式(７),实部为０:式(８)．０４㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀兰州文理学院学报(自然科学版)㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３８卷∂∂T r １(X ,T )－２αk ∂２∂X２r １(X ,T )＝０,∂∂T r ２(X ,T )－２αk ∂２∂X ２r ２(X ,T )＝０．ìîíïïïï(７)－α∂２∂X ２r １(X ,T )＋β(r １(X ,T ))３＋㊀㊀(αk ２－ω)r １(X ,T )＋μr ２(X ,T )＝０,－α∂２∂X２r ２(X ,T )＋β(r ２(X ,T ))３＋㊀㊀(αk ２－ω)r ２(X ,T )＋μr １(X ,T )＝０．ìîíïïïïïïïï(８)求解(７)可得r １(X ,T )＝F １(ξ),r ２(X ,T )＝F ２(ξ)．{(９)其中ξ＝２T αk ＋X２αk,F i (ξ)(i ＝１,２)为任意函数,其具体形式根据F i (ξ)(i ＝１,２)满足的条件确定．将(９)代入(８)得－１４αk ２∂２∂ξ２F １(ξ)＋β(F １(ξ))３＋㊀㊀(αk ２－ω)F １(ξ)＋μF ２(ξ)＝０,－１４αk ２∂２∂ξ２F ２(ξ)＋β(F ２(ξ))３＋㊀㊀(αk ２－ω)F ２(ξ)＋μF １(ξ)＝０．ìîíïïïïïïïï(１０)在方程组(１０)中,假设F i (ξ)(i ＝１,２)有如下形式:F i (ξ)＝E i s i n (h (ξ))＋G i c o s (h (ξ))＋H i (i ＝１,２),(１１)其中E i ,G i 和H i (i ＝１,２)是待定常数,同时h (ξ)满足常微分方程:d h (ξ)d ξ＝A s i n (h (ξ))＋B c o s (h (ξ))＋E ,(１２)其中A ,B 和E 是待定常数．再将(１１),(１２)代入(１０)中,整理得到关于s i n (h (ξ)),c o s (h (ξ))的多项式,令其系数为零,得到关于E １,E ２,G １,G ２,H １,H ２,A ,B ,E ,k 和ω的代数方程组．将得到的解带回(１２)中,再利用文献[１０]中介绍的S i n e ＧG o r d o n 方程(１２)的解,可以得到方程组(４)的解．2㊀方程组的求解本节使用S i n e Ｇc o s i n e 方法和特殊变换求方程组(２)的一组精确解．定义下列函数:T (t )＝－１t ,b (x ,t )＝－１２ln (２t ),a (x ,t )＝－(t －x )２４t,X (x ,t )＝x ２t ．ìîíïïïïïïïïïï(１３)方程(２)可经过变换:㊀u (x ,t )＝U (X (x ,t ),T (t ))e i a (x ,t )＋b (t ),v (x ,t )＝V (X (x ,t ),T (t ))e i a (x ,t )＋b (t ){(１４)转化为方程(４)．故先求解方程(４)得到方程的解U (X ,T ),V (X ,T ),然后再通过变换(１４)就可以得到原方程组(２)的解．由第一节求解方程组(４)可以得到E １,E ２,G １,G ２,H １,H ２,A ,B ,E ,k ,ω的代数方程组,令D １＝４H １α２k ４－４H １αk ２ω＋４H ２αk ２μ＋２A E E １－B E G １,D ２＝４H ２α２k ４＋４H １αk ２μ－４H ２αk ２ω＋２A E E ２－B E G ２,D ３＝４E ２α２k ４＋４E １αk ２μ－４E ２αk ２ω＋A ２E ２－A B G ２＋E ２E ２,D ４＝４G １αk ２μ－４G ２αk ２ω＋２A ２G ２＋３A B E ２－B ２G ２＋E ２G ２,则代数方程组有如下表示,－２４Ε１G １H １αβk ２＋３A E G １＋３B E E １＝０,(１５)１２E １２H １αβk ２－１２G １２H １αβk ２－３A E E １＋３B E G １＝０,(１６)１２E １２G １αβk ２－４G １３αβk ２－２A ２G １－４A B E １＋２B ２G １＝０,(１７)４E １３αβk ２－１２E １G １２αβk ２－２A ２E １＋４A B G １＋２B ２E １＝０,(１８)㊀－１２E １２H １αβk ２－４H １３αβk ２＋D １＝０,(１９)－４G １αk ２ω＋４G ２αk ２μ＋２A ２G １＋３AB E １－B ２G １＋E ２G １＋４＝０,(２０)－２４E ２G ２H ２αβk ２＋３A E G ２＋３B E E ２＝０,(２１)１２E ２２H ２αβk ２－１２G ２２H ２αβk ２－３A E E ２＋３B E G ２＝０,(２２)１２E ２２G ２αβk ２－４G ２２αβk ２－２A ２G ２－４A B E ２＋２B ２G ２＝０,(２３)４E ２３αβk ２－１２E ２G ２２αβk ２－１４第１期仁世杰等:一类耦合非线性薛定谔方程组的求解２A ２E ２＋４A B G ２＋２B ２E ２＝０,(２４)－１２E ２２H ２αβk ２－４H ２３αβk ２＋D ２＝０,(２５)－４E ２３αβk ２－１２E ２H ２２αβk ２＋D ３＝０,(２６)－１２E ２２G ２αβk ２－１２G ２H ２２αβk ２＋４G ２α２k ４＋D ４＝０．(２７)求解方程组(１５)－(２７),选取其中一组非平凡解:A ＝３３B ,B ＝B ,E ＝０,E １＝E ２,E ２＝E ２,H １＝０,H ２＝０,G １＝－３３E ２,G ２＝－３３E ２,k ＝－B ２E ２２αβ,ω＝－８E ４２β２－６E ２２βμ＋３B ２６E ２２β．ìîíïïïïïïïï(２８)将(２８)代入方程(１２),得d h (ξ)d ξ＝３３B s i n (h (ξ))＋B c o s (h (ξ))．(２９)求解微分方程(２９),得h (ξ)＝２a r c t a n ３(１＋e ２３３B ξ)－３＋e ２３３B ξéëêêùûúú．(３０)取特定例子如下:取定常数μ＝１０,β＝－１,α＝１,B ＝－１,E ２＝３,将(３０)代入方程组(１１),得F １(ξ)＝F ２(ξ)＝３s i n２a r c t a n ３(１＋e ２３３B ξ)－３＋e ２３３B ξéëêêùûúú{}－３c o s２a r c t a n ３(１＋e ２３３B ξ)－３＋e ２３３B ξéëêêùûúú{}．(３１)相应F ２i (ξ)(i ＝１,２)的图像如图１所示,特别地,当待定系数αβ＜０时,发现F ２i (ξ)(i ＝１,２)的能量凹陷,即为暗孤立子解．根据(５)和(２８)可知U (X ,T )＝V (X ,T )．当常数确定后,则k ＝－２６,ω＝３９７１８,ξ＝T ＋２６X ．(３２)由此U (X ,T ),V (X ,T )表示为U (X ,T )＝V (X ,T )＝{３s i n２a r c t a n ３１＋e －２３３(T ＋２６X )()－３＋e－２３３(T ＋２６X )éëêêùûúú{}－３c o s２a r c t a n ３１＋e －２３３(T ＋２６X )()－３＋e－２３３(T ＋２６X )éëêêùûúú{}}e I (３９７１８T －２６X )．(３３)图１㊀F ２i (ξ)的图像㊀㊀限制自变量的范围,得到U (X ,T )２图像,如图２所示．图２㊀U (X ,T )２的图像从图２发现U (X ,T )２的能量凹陷,即为暗孤立子解．将(１３)代入(３３)中,令D (x ,t )＝e －I (９x ２＋９t ２＋３２x －１８t x ＋７９４)＋１８t l n (２t )３６t,u (x ,t ),v (x ,t )表示为u (x ,t )＝v (x ,t )＝{３s i n２a r c t a n ３(１＋e －３２x －４３６t )－３＋e －３２x －４３６t éëêêùûúú{}－２４㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀兰州文理学院学报(自然科学版)㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３８卷３c o s２a r c t a n ３１＋e －３２x －４３６t ()－３＋e－３２x －４３６t éëêêùûúú{}}D (x ,t)．(３４)限制自变量的范围,得到u (x ,t )２图像如图３所示．图３㊀u (x ,t )２的图像㊀㊀从图３可以发现u (x ,t )２的部分能量突起,即为亮孤立子解．3㊀结语本文主要研究的是一类薛定谔方程组在可积条件下,通过特殊变换法和S i n e Ｇc o s i n e 求解其精确解,然后给定待定的常数,确定方程组精确解的图像．本文的目标方程可进行适当地调整,若将部分常系数改为变量系数,那么可积条件将会发生变化,同时可使用上述方法求方程的精确解．参考文献:[１]G O V I N D A R A J A N A ,A R UMU G AM M ,U T HA Y A ＧK UMA R A．I n t e r a c t i o nd y n a m i c so fb r i gh ts o l i t i o n s i n L i n e a r l y c o u p l e d a s y mm e t r i c s y s t e m s [J ]．O p t Q u a n tE l e c t r o n ,２０１６,４８(１２):５６３．[２]G A R D N E R C S ,G R E E N EJ M ,K R U S K A L M D ,e ta l ．M e t h o d f o r s o l v i n g t h eK o r t e w e g Ｇd eV r i e s e q u a t i o n [J ]．P h y sR e v ,１９６７,１９:１０９５Ｇ１０９７．[３]郭玉翠．非线性偏微分方程引论[M ]．北京:清华大学出版社,２００８．[４]F A N E G ,Z HA N G H Q．N e we x c e pt s o l u t i o n s t oa s y s t e mo fc o u p l e de q u a t i o n s [J ]．P h y Le t t A ,１９９８,２４５:３８９Ｇ３９２．[５]WA N G M L ．E x a c ts o l u t i o n sf o rac o m po u n d K d v ＧB u r g e r s e q u a t i o n [J ]．P h ys L e t t A ,１９９６,２１３:２７９Ｇ２８７．[６]M I U R A M R．B a c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n [M ]．B e r l i n :S p r i n g e r ＧV e r l a g,１９７８．[７]C A O X F ．B äc k l u n 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数值级数法求解薛定谔方程孙建英;蹇玲玲;高发玲【摘要】A new numerical series method for solving Schrodinger equationis introduced , and the difference scheme is stable and convergent with the method . Numerical example shows that the method is effective to solve the Schrodinger equations .%对一类薛定谔方程给出一种新的求解方法数值级数法。
利用该方法得到的差分格式是稳定的、收敛的。
数值算例验证该方法求解此类方程的有效性。
【期刊名称】《长春工业大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(000)004【总页数】4页(P461-464)【关键词】薛定谔方程;数值级数法;稳定性;收敛性【作者】孙建英;蹇玲玲;高发玲【作者单位】青岛理工大学琴岛学院，山东青岛266106;青岛理工大学琴岛学院，山东青岛 266106;青岛理工大学琴岛学院，山东青岛 266106【正文语种】中文【中图分类】O241.820 引言在工程领域和物理科学中，大量的现象可以用薛定谔偏微分方程来刻画，也产生一些求解薛定谔偏微分方程的数值解法［1－7］，文中将结合非标准有限差分格式的特点，给出一种计算此类方程的新方法——数值级数法，该方法简洁、有效、精度高。
其特点是可以将每个网格点（xm，tn）处的数值解unm以级数的形式给出文中考虑如下初边值一维薛定谔方程：式中：T，L——非负常数；φ（x），g0（t），g1（t）——连续函数。
将区域［0，L］×［0，T］分割，取空间步长h＝时间步长τ＝其中M，N 为正整数，xm＝mh，tn＝nτ，每个结点表示为（xm，tn），m＝0，1，2，…，M，n ＝0，1，2，…，N，记u（xm，t）＝um（t），数值解为unm，精确解为u （xm，tn）。
非线性薛定谔方程形式
非线性薛定谔方程形式
非线性薛定谔方程形式，简称NLSE，是一类众多物理模型和理论框架
的基础之一，它提供了连续的描述与研究特定物理系统的方法。
它的
发展源于19世纪末罗素以及拉普拉斯的探究，主要用来研究电子在复
杂结构中的行为。
NLSE的几何形式如下：i*（∂/∂z）ψ（z，t）+ (1/2)*(∂^2/∂t^2)ψ（z，t） + f（|ψ（z，t）|^2）ψ（z，t）= 0。
其中，ψ（z，t）
是时间和空间变量之和，z是空间变量，t是时间变量，f（|ψ（z，t）|^2）表示非线性因素，它使得研究者无法解决NLSE，即找到其固定的解决方案。
因此，研究者只能求出NLSE的近似解决方案。
NLSE可以应用于许多研究领域，如电磁场理论、光子学、激光技术、
量子力学、量子电动力学以及凝聚态物理学等。
许多物理学家认为，NLSE提供了一种统一的研究框架，可以帮助我们理解许多复杂的物理
系统。
NLSE也可以用于解决量子物理学中许多热力学问题，如量子热力学、
量子统计力学、量子热力学、量子流体力学等。
它可以用来解释由原
子和分子的行为引起的复杂的热力学行为，也可以用来研究量子系统
中的质量和能量的流动。
NLSE的最新发展，如超几何光学，还提供了一种新的模型来描述复杂
的光学系统，能够准确预测复杂的介质中的光学响应，并提供新的计
算技术。
总之，NLSE是一种综合框架，它提供了一种可以描述物理系统和量子
热力学行为的方法，并可以用来解决许多复杂的物理问题。
它是许多
研究领域的基础，有助于我们更加深入地理解物理系统和量子热力学。
非线性薛定谔方程的推导
薛定谔方程是20世纪德国物理学家薛定谔所创造的，它可以用来求解量子力学中任意两电子系统的状态。
从基本原理出发，薛定谔方程可以分为线性和非线性两种，线性薛定谔方程是求解简单多电子系统的方法，而非线性薛定谔方程则能够处理复杂的多电子系统。
具体来讲，非线性薛定谔方程就是在线性薛定谔方程的基础上添加了非线性项，使其可以求解复杂的多电子系统的状态变化。
非线性薛定谔方程的推导主要可以分为三个步骤：
第一步，假设我们有一个在量子力学层面上非线性分析可能性的多电子系统，该系程可以用矩阵表示。
第二步，为了从矩阵形式得出方程，我们对这两个矩阵使用广义贝尔更新原理。
通过本质矩阵，我们可以求解相关的状态方程，从而求出包含非线性项的方程。
第三步，最后，我们用了拉普拉斯变换，将能量的上下限化为一样的拉普拉斯因子，从而求解出模拟这多电子系统的完整的状态方程。
至此，我们就可以得出非线性薛定谔方程了，它可以用来求解量子力学中任意多电子系统的状态。
后续，我们可以使用这个方程来进一步分析复杂的多电子系统，深入探讨量子相关性的各种规律。
非线性薛定谔方程的五种差分格式非线性薛定谔方程（NLSE）是一类非常重要的和高度发达的信息传输研究的重要模型。
它的出现为很多无线通信的技术发展提供了重要的基础和参照。
目前，非线性薛定谔方程的差分格式已有五种。
它们是恒定折回差分格式（CFD），动态折回差分格式（DRFD），步进步函数差分格式（SDF），连续步函数差分格式（CDF）和多阶进步函数差分格式（MSDF）。
恒定折回差分格式（CFD）是用于解决非线性薛定谔方程的最简单的一种差分格式。
它最初由Lyons发明，是一种非标准的三点迭代形式，但比一般三点迭代形式更有效。
它的优点在于最大限度地减少了计算量，但它的准确性不高，偏离正确的解。
动态折回差分格式（DRFD）是用于解决非线性薛定谔方程的一种改进的差分格式。
它使用了非标准的五点迭代形式，比三点迭代形式更高效，可以很好地跟踪参数变化并准确地加以反映。
它在计算量上比CFD稍大，但其计算结果更加准确，离正确解更近。
步进函数差分格式（SDF）是用于解决非线性薛定谔方程的一种改进的五点迭代格式。
它在数值处理上有更低的计算量，而且能够比动态折回差分格式更准确地产生数值解。
连续步函数差分格式（CDF）是用于解决非线性薛定谔方程的一种七点迭代格式，它可以更准确地模拟无线信号传输状况。
它有较低的运算量，可以获得较高精度的解。
多阶步函数差分格式（MSDF）是用于解决非线性薛定谔方程的一种变阶函数形式，它可以更准确地模拟信号的非线性传输过程，同时具有低的运行复杂性和高的计算精度，减小了计算时间。
总之，非线性薛定谔方程的不同差分格式均有不同的特征，决定了它们之间的特点和性能差异，旨在满足不同信号处理需求。
