非线性薛定谔方程的孤子解和怪波解

两类非线性波动方程的精确解与怪波中期报告
本中期报告主要介绍两类非线性波动方程的精确解和怪波现象的研
究进展。

具体内容如下：
1. KdV方程和NLS方程的精确解
KdV方程和NLS方程都是重要的非线性波动方程，它们在物理学和
数学上都具有广泛的应用。

近年来，研究人员通过不同的方法，发现了
这两个方程的不同类型的精确解。

其中包括孤子、鬼波、无穷孤立子等。

我们在研究KdV方程的精确解时，主要关注的是孤子解。

通过借鉴Lax对点积算子的定义，将KdV方程的解表示为Lax对点积算子与一个特殊的向量的乘积形式，得到了其一维孤子解。

而对于NLS方程，研究人
员则从另一个角度出发，通过使用几何代数的方法，指出了其两维孤子
解和鬼波解。

2. 怪波现象的研究进展
在非线性波动方程中，怪波现象是极具挑战性的研究问题之一。

通
过对非线性波动方程中的如孤子解、无穷孤立子解等不同类型精确解的
研究，我们发现其中存在着怪波现象。

最近几年的研究表明，这些怪波
不仅仅是非线性波动方程中的“负面能量波”，而且它们还具有很多神
奇的性质，如变形、旋转、破碎等现象。

尽管近年来研究人员在怪波现象的研究中取得了不少进展，但仍有
很多问题需要解决，例如怎样才能预测和控制怪波的产生。

因此，我们
相信研究非线性波动方程和怪波现象的探索之路还有很长的路要走。

变系数非线性薛定谔方程的明暗孤子解付中华;耿青松【摘要】非线性薛定谔方程在光纤通讯、浅水波、量子力学和玻色-爱因斯坦凝聚等领域有重要的应用.在符号计算和几个特殊函数的帮助下,一个变系数非线性薛定谔方程是被列出.我们获得了方程明孤子解和暗孤子解,这些解含有丰富的物理结构,可以帮助我们更好的理解光孤子.【期刊名称】《南昌大学学报（理科版）》【年(卷),期】2018(042)006【总页数】4页(P532-535)【关键词】变系数非线性薛定谔方程;明孤子解;暗孤子解;孤子交互作用【作者】付中华;耿青松【作者单位】武汉城市职业学院,湖北武汉430064;武汉城市职业学院,湖北武汉430064【正文语种】中文由于群速度色散(GVD)和自相位调制(SPM)效应之间的平衡，光孤子能够在长距离传播过程中保持其形状和速度，由于它们在光通信系统和全光超高速开关设备中的潜在应用，已经成为一个有吸引力的研究领域。

而在光孤子领域有一类重要的非线性偏微分方程，那就是非线性薛定谔方程，具有非常重要的研究价值，吸引了大量的研究者。

非线性薛定谔方程可用于研究非线性光学中孤子相互作用的性质和特征在实际物理模型中，变系数非线性方程包含了更多的未知参数，能够代表一些更复杂的物理现象和模型。

借助符号计算的帮助[2-12]，考虑以下变系数非线性薛定谔方程[13]iut+iL1(t)ux+L2(t)uxx+L3(t)u|u|2=0(1)其中u=u(x,t)是一个复函数,表示光纤系统中电场的时空复杂包络线。

L1(t)，L2(t)表示不同的GVD系数，L3(t)表示非线性系数。

当L1(t)=0时，方程(1)变成标准的变系数非线性薛定谔方程。

最近Lin等人通过Hirota双线性方法获得了方程(1)的震荡孤子解[14]。

Li等人通过相似变换获得了方程(1)的怪波解。

此外，通过选择群速度色散系数作为特定函数分别讨论了一阶和二阶怪波解[15]。

怪波在形状，振幅，峰值数和伸展方面表现出丰富的特征，而且也可通过系统参数控制。

中文摘要由于群速度色散和自相位调制之间的相互平衡，光孤子可以在光纤中长距离传输且形状不发生改变，因为这一特性，孤子可以在光纤通信系统中实现远距离和大容量传输，并可以应用在很多领域当中，成为了很多学者研究的内容。

非线性薛定谔方程是描述光孤子传输的理想模型，是一类非常重要的非线性演化方程。

随着研究的进行，非线性薛定谔方程被推广到了变系数、复系数、多维、高阶、非局域和分数阶等包含各类物理效应的方程，通过对各种方程解的研究可以更好地理解各种非线性现象。

因此，基于非线性薛定谔方程研究孤子的传输特性以及潜在的一些应用是至关重要的，对孤子理论的发展和不同应用领域的发展具有一定的理论指导意义本文主要介绍了非线性薛定谔方程的研究背景和进展，孤子和呼吸子的由来和研究进展，在此基础上，采用Hirota双线性方法研究了孤子间的相互作用，具体的研究内容分为以下三个部分：（1）基于自聚焦广义耦合非线性薛定谔方程，其中包含自相位调制、交叉相位调制和四波混频效应，采用Hirota双线性方法得到了该方程的4-亮-亮孤子解，并对孤子的碰撞动力学进行了详细地研究。

研究结果表明：特征值的虚部影响孤子的速度和脉冲宽度，特征值的实部对孤子的振幅有影响。

（2）基于包含四波混频效应的自散焦广义耦合非线性薛定谔方程，采用Hirota 双线性方法得到了该方程的4-暗-暗孤子解，分析不同参数的取值范围，数值研究了其传输特性。

研究结果表明：通过调控参数，可以分别获得4-暗孤子、3-暗孤子及暗孤子-反暗孤子组合，但孤子间的相互作用依然是弹性碰撞。

（3）基于变系数耦合非线性薛定谔方程，利用Hirota双线性方法得到了该方程的2-孤子解，该解包括三个亮孤子分量和一个暗孤子分量。

孤子特征值取复数时，通过计算给出满足弹性碰撞的两种条件，一种为常规的弹性碰撞，另一种为一个亮孤子消失的弹性碰撞。

当弹性碰撞条件不满足时，三个亮孤子分量中的两个孤子相互作用为非弹性碰撞，参数取值不同，孤子间的能量交换不同，而暗孤子分量中的两个孤子依然保持弹性碰撞。

湖南师范大学硕士学位论文非线性薛定谔方程的孤子微扰理论及应用姓名：俞慧友申请学位级别：硕士专业：理论物理指导教师：颜家壬20050301摘要孤子理论是非线性科学中的一个十分重要的分支，它在物理学的许多领域中有着日益广泛的应用。

而孤子的微扰又是孤子理论中最有实用价值的重要内容之一．它大体可以分为两大类．一是建立在逆散射变换基础上的孤子微扰理论。

它在理论上有着重要的学术价值，但其思路较迂回曲折，数学计算较繁．另一种直接微扰论较为系统的方法是将孤子方程线性化后再按Ｊｏｓｔ函数的平方作微扰展开。

这两种方法均只适用于可积系统。

颜家壬教授近年来发展了一种基于分离变量法的孤子微扰理论法，它适用于可积和非可积系统，而且思路和计算较为简便．本人首先用此方法处理了自散焦非线性薛定谔方程的孤子微扰问题．一方面是由于问题的重要性，另一方面也是为丰富颜教授所发展的孤子微扰理论的内容，为它提供一个重要的实例．其次我们还用此方法处理了玻色一爱因斯坦凝聚中的亮孤子稳定性问题．全文共分为五章ｔ第一章简要介绍孤子的发展史以及孤子微扰问题的几种常用的方法，并指出这些方法存在的～些缺点，同时也叙述了我们方法的大致思路和主要特征．第二章给出了关于非线性薛定谔方程的微扰理论，并通过具体工作来说明我们的基于直接微扰理论的两种不同的思路方法．第三章简单的介绍和回顾ＢＥＣ理论的产生发展及实验研究过程，推导出了凝聚体宏观波函数满足的ＧＰ方程．然后讨论了ＢＥＣ中暗孤子和亮孤子的实验情况和理论研究现状．第四章本人基于直接微扰理论研究了ＢＥＣ中亮孤子的稳定性问题。

第五章为总结和展望．关键词：非线性薛定谔方程，孤子，微扰，玻色一爱因斯坦凝聚ＡＢＳＴＲＡＣＴＳｏｌｉｔｏｎｔｈｅｏｒｙｉＳｏｎｅｏｆｔｈｅｉｍｐｏｒｔａｎｔｂｒａｎｃｈｅｓｏｆｎＯｎｌｉｎｅａｒｓｃｉｅｎｅｅＩｔｈａｓｃｒｅｓｃｅｎｔａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｉｎｍａｎｙｆｉｅｌｄｓ．Ｔｉｌｅｓｏｆｔｅｎｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎｐｒｏｂｌｅｍｉｓａｎｉｍｐｏｒｔａｎｔｐａｒｔｏｆｔｈｅｓｏｌｉｔｏｎｔｈｅｏｒｙ．Ｉｔｅｘｉｓｔｓｉｎａｌａｒｇｅｎｕｍｂｅｒｏｆｒｅａｌｎｏｎｌｉｎｅａｒｓｙｓｔｅｍｓａｎｄｃａｌｌｂｅｒｏｕｇｈｌｙｄｉｖｉｄｅｄｔｏｔｗｏｋｉｎｄｓ．Ｏｎｅｉｓｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｉｎｖｅｒｓｅｓｃａｔｔｅｒｉｎｇｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ（ＩＳＴ）ｗｈｉｃｈｈａｓｉｍｐｏｒｔａｎｔｌｅａｒｎｉｎｇｖａｌｕｅ．ＢｕｔｔｈｉｓｔｅｃｈｎｉｑｕｅｉＳｉｎｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔｔｏｔｈｏｓｅｗｈｏａｒｅｎｏｔｆａｍｉｌｉａｒｗｉｔｈＩＳＴ．ＡｎｏｔｈｅｒｉｓｔｈｅｄｉｒｅｃｔｍｅｔｈｏｄｗｈｅｒｅｔｈｅｓｑｕａｒｅｄＪｅｓｔｓｏｌｕｔｉｏｎｓ＆ｒｅｅｍｐｌｏｙｅｄａｓｔｈｅｂａｓｉｓｆｏｒｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎｅｘｐａｎｓｉｏｎａｆｔｅｒｓｏｌｉｔｏｎｅｑａｔｉｏｎｂｅｅｎｌｉｎｅａｒｅｄ．Ｔｈｅｙａｒｅｊｕｓｔａｐｐｌｉｃａｂｌｅｔｏｉｎｔｅｇｒａｌｓｙｓｔｅｍｓ．ＰｒｏｆｅｓｓｏｒＪｉａｒｅｎＹａｎ，ｗｈｏｉｓｍｙｔｈｅｓｉｓｓｕｐｅｒｖｉｓｏｒ，ｈａｄｄｅｖｅｌｏｐｅｄａｄｉｒｅｃｔａｐｐｒｏａｃｈｏｆｔｈｅｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎｔｈｏｅｒｙｂａｓｅｄｏｎｓｅｐａｒａｔｉｎｇｖａｒｉａｂｌｅｔｅｃｈｎｉｑｕｅ，ｗｈｉｃｈｉｓａｐｐｌｉｃａｂｌｅｔｏｂｏｔｈｉｎｔｅｇｒａｂｌｅａｎｄｕｎｉｎｔｅｇｒａｌｓｙｓｔｅｍｓ．Ｉｔｉｓｍｏｒｅｓｉｍｐｌｅａｎｄｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔｉｎｍｅｔｈｏｄａｎｄｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ．ＩｔａｃｋｌｅｔｈｅｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎｐｒｏｂｌｅｍｏｆｔｈｅｎｏｎｌｉｎｅａｒＳｃｈｒｈｄｉｎｇｃｒｅｑｕａｔｉｏｎｂｅｃａｕｓｅｏｆｉｔｓｉｍｐｏｒｔａｎｃｅ．Ａｔｔｈｅｓａｎ２ｃｔｉｍｅ，ｉｔｅｎｒｉｃｈｅｄｔｈｅｓｏｌｉｔｏｎｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎｔｈｏｅｒｙｏｆＰｒｏｆｅｓｓｏｒＹａｕａｎｄｏｆｆｅｒｅｄｉｍｐｏｒｔａｎｔｅｘａｍｐｌｅｓ．Ｎｅｘｔ，ＩｓｔｕｄｉｅｄｔｈｅｓｔａｂｉｌｉｔｙｏｆｂｒｉｇｈｔｓｏｌｉｔｏｎｓｉｎＢｏｓｅ－Ｅｉｎｓｔｅｉｎｃｏｎｄｅｎｓａｔｅｂａｓｅｄｏｎｔｈｃｄｉｒｅｃｔａｐｐｒｏａｃｈ．Ｔｈｉｓｔｈｅｓｉｓｃｏｎｓｉｓｔｓｏｆｆｉｖｅｃｈａｐｔｅｒｓ．Ｔｈｅｆｉｒｓｔｃｈａｐｔｅｒｈａｓｔｗｏｐａｒｔｓ．Ｆｉｒｓｔｊｗｅｂｒｉｅｆｌｙｉｎｔｒｏｄｕｃｅｔｈｅｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔｈｉｓｔｏｒｙｏｆｔｈｅｓｏｌｉｔｏｎａｎｄｄｉｓｃｕｓｓｓｏｍｅｇｅｎｅｒａｌａｐｐｒｏａｃｈｅｓｔｏｄｅａｌｗｉｔｈｔｈｅｓｏｌｉｔｏｎｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎｐｒｏｂｌｅｍｓ，ａｎｄｐｏｉｎｔｏｕｔｓｏｍｅｄｒａｗｂａｃｋｓｏｆｔｈｅｓｅａｐｐｒｏａｃｈｅｓ．Ｓｅｃｏｎｄｌｙ，ｗｅｐｒｅｓｅｎｔｔｈｅｇｅｎｅｒａｌｐｒｏ－ｃｅｄｕｒｅｏｆｏｕｒａｐｐｒｏａｃｈａｎｄｉｔｓｍａｊｏｒｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ．Ｉｎｔｈｅｓｅｃｏｎｄｃｈａｐｔｅｒ，ｗｅｅｓｔａｂｌｉｓｈｔｈｅｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎｔｈｅｏｒｙｆｏｒｔｈｅｎｏｎｌｉｎｅａｒＳｃｈｒｈｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎ，ａｎｄｓｔｕｄｙｉｔｓｓｐｅｃｉｆｉｃｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ．Ｗｅｗｉｌｌｅｘｐｌａｉｎｔｈｅｔｗｏｄｉｆｆｅｒｅｎｔａｐｐｒｏａｃｈｅｓ，ｗｈｉｃｈａｒｅｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｄｉｒｅｃｔａｐｐｒｏａｃｈｔｈｒｏｕｇｈｔｈｅｗｏｒｋｔｈａｔｗｅｈａｖｅｄｏｎｅ．ＩｎｔｈｅｔｈｉｒｄｃｈａｐｔｅｒｗｅｂｒｉｅｆｌｙｉｎｔｒｏｄｕｃｅｔｈｅｆｏｒｍａｔｉｏｎａｎｄｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔｏｆＢｏｓｅ－Ｅｉｎｓｔｅｉｎｃｏｎｄｅｎｓａｔｉｏｎ’ｓｔｈｅｏｒｙａｎｄｉｔ’Ｓｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓ．ＴｈｅｎｗｅｄｅｒｉｖｅｔｈｅｎｏｎｌｉｎｅａｒＧｒｏｓｓ．Ｐｉｔａｅｖａｓｋｉｉｅｑｕａｔｉｏｎｔｈａｔｓａｔｉｓｆｉｅｓｔｈｅｃｏｎｄｅｎｓａｔｅｍａｃｒｏｓｃｏｐｉｃｗａｖｅｆｕｎｃｔｉｏｎ．Ａｔｔｈｅｅｎｄｏｆｔｈｉｓｃｈａｐｔｅｒ，ｗｅｄｉｓｃｕｓｓｔｈｅｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌｓｔｕｄｉｅｓａｎｄｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓｇｄａｒｋｓｏｌｉｔｏｎｓａｎｄｈｉ痨ｔｓｏｌＪｔｏｎｓ啦转锱争冀ｉ魏髓ｅ啦ｃ。

离散非线性薛定谔方程的新孤子解华国盛;吴晓飞【摘要】利用改进的双曲函数法,研究离散的非线性薛定谔方程,不仅得到了离散暗孤子解,还获得了离散亮孤子解以及其它一些新形式的离散类孤子解.这种方法也同样适用于求解其它离散的非线性波方程.【期刊名称】《丽水学院学报》【年(卷),期】2009(031)005【总页数】4页(P9-12)【关键词】离散的非线性薛定谔方程;改进的双曲函数法;离散孤子解【作者】华国盛;吴晓飞【作者单位】丽水学院信息技术中心,浙江丽水323000;丽水学院计算机与信息工程学院,浙江丽水323000【正文语种】中文【中图分类】O437非线性科学是一门研究非线性现象共性的基础科学，非线性问题理论和方法的研究是目前在国际学术界中十分热门的课题之一。

在过去几十年里关于孤子已经发展出了一套成熟的理论，孤子的概念不仅扩展到了物理学的几乎所有分支，例如流体动力学、场论、非线性光学和凝聚态物理等，而且延伸到了自然科学的各个领域，例如化学、生物学、数学、通讯技术等。

因此，寻找、构建非线性波方程的孤子解，在非线性科学研究中具有十分重要的意义。

自从反散射方法问世以来，已涌现出许多构建非线性偏微分方程孤立波的方法和技巧，如Ba‥cklund变换、Hirota方法、Darboux变换、齐次平衡法、双曲正切法、椭圆函数展开法、试探法、映射法等[1-6]，但这些方法大多用于连续非线性系统的求解，而较少地用于求解离散非线性系统问题。

近几年来，人们已把研究连续的非线性波方程精确解的许多方法推广到了非线性微分差分方程，如Tsuchida等[7]把逆散射法推广到非线性微分差分方程的研究中，Qian等[8]将多线性变量分离法推广到了非线性微分差分方程的求解中。

最近，Baldwin等[9]根据正切函数法提出了一种构建非线性微分差分方程精确解的新算法，文献[10]进一步将正切函数法扩展到了双曲函数法并加以改进，从而找到了非线性微分差分方程的各种孤波解。

两类非线性量子波动系统的奇异解两类非线性量子波动系统的奇异解引言：量子力学是现代物理学的基石之一，在描述微观世界的行为方面起着至关重要的作用。

然而，传统的量子力学在处理非线性问题时存在一定的困难，而非线性量子力学则是相对较新的研究领域。

在非线性量子力学中，波动方程不再是线性形式，而是包含非线性项，这使得系统的行为更加复杂和多样化。

本文将探讨两类非线性量子波动系统的奇异解现象，希望能够加深对非线性量子力学的理解。

一、非线性薛定谔方程非线性薛定谔方程是非线性量子波动系统中最常见的方程之一。

它可以用来描述粒子在非线性势场中的运动。

一般来说，非线性薛定谔方程是通过将线性薛定谔方程引入额外的非线性项得到的。

这个额外的非线性项可以反映不同的物理效应。

对于某些特殊的非线性薛定谔方程，存在一类称为奇异解的解。

奇异解是指在非线性薛定谔方程中，存在着不收敛于零的解，即波函数在某些区域内非常集中或者发散。

这种奇异解的出现通常与非线性项中某些特殊的形式有关。

二、非线性光学方程中的孤子解孤子是非线性波动方程中常见的特殊解。

它代表着一种特殊的波动传播方式，可以在介质中长距离传播而不发生形状变化。

非线性光学方程中的孤子解是通过将线性光学方程引入额外的非线性项得到的。

对于某些特殊的非线性光学方程，也存在一类称为奇异解的解。

这类奇异解与非线性薛定谔方程中的奇异解类似，即存在波函数在某些区域内集中或发散的现象。

这种奇异解的出现也与非线性项中某些特殊形式有关。

三、奇异解的物理意义和相关应用奇异解的出现使得非线性量子波动系统的行为变得复杂和多样化。

研究奇异解的物理意义对于深入理解非线性量子力学至关重要。

首先，奇异解的出现可能会改变系统的稳定性。

一般来说，非线性系统的稳定性分析非常困难，而奇异解的出现可能意味着系统处于不稳定的状态，在某些条件下可能会发生不可预测的现象。

其次，奇异解的出现使得我们可以通过特殊条件下的激发来研究非线性量子系统。

孤子存在证据与数学推导孤子存在是一个令人着迷的数学问题，它涉及到非线性方程中的孤立波现象。

本文将通过数学推导和相关证据来探讨孤子存在的奥秘。

首先，让我们来了解一下什么是孤子。

孤子是指一种特殊的波动现象，它在传播过程中能够保持自身形状和速度不变。

与其他波动不同的是，孤子能够保持其形式并且不被外界扰动所破坏。

这种现象在许多科学领域中都有应用，例如光学、水波和量子力学等。

孤子的数学描述可以通过非线性方程来实现。

其中一个经典的例子是所谓的非线性薛定谔方程（Nonlinear Schrödinger Equation），即NLSE方程。

在一维情况下，此方程的形式可以表示为：i∂u/∂t + ∂²u/∂x² + δ|u|²u = 0其中，u代表波函数，t代表时间，x代表空间坐标，δ代表非线性系数。

上述方程可以简化为一维情况下的孤子方程：i∂u/∂t + ∂²u/∂x² + δ|u|^2u = 0接下来，我们将通过一系列的数学推导和相关证据来证明孤子的存在。

首先，我们考虑NLSE方程的归一化形式。

为了简化计算，我们引入归一化变量和尺度变换：ψ(x, t) = √(κ)u(ξ,τ)ξ = κxτ = κ²t将上述变量代入方程中，可以得到：i∂ψ/∂τ + ∂²ψ/∂ξ² + g|ψ|²ψ = 0其中，g = κ²δ代表归一化非线性系数。

接下来，我们使用哈密顿变分原理来推导NLSE方程的变分表达式。

通过将ψ(x)替换为ψ˜(x) + δψ(x)的形式，并忽略所有二阶项和高阶项，可以得到：∫[(iψ˜*∂ψ/∂τ - iψ∂ψ˜*/∂τ) + (|∂ψ˜/∂ξ|² - |∂ψ∂ξ˜*|²) + g(|ψ˜|²ψ + ψ˜|ψ|² - ψ˜*ψ² - ψ*ψ˜*|ψ|²)]dξ = 0通过部分积分，我们可以得到：i∫(ψδψ* - ψ*δψ)dξ + ∫(|∂ψ/∂ξ|² - |∂ψ*∂ξ|² + g(2|ψ|²ψ˜ + ψ˜|ψ|² -ψ˜*ψ² - ψ*ψ˜*|ψ|²))dξ = 0为了使上述方程对于任意的δψ成立，我们可以得到变分表达式：i∂ψ/∂τ + ∂²ψ/∂ξ² + g|ψ|²ψ = 0正是这个变分表达式证明了孤子的存在性。

云南大学学报(自然科学版),2004,26(2):132~133CN53-1045/N ISSN0258-7971 Journal of Yunnan University*一类非线性薛定谔方程的孤子解刘良桂,李云德(云南大学物理系,云南昆明650091)摘要:研究了具有V(x,t)=f1(t)x+f2(t)x2形式的外部势的非线性薛定谔方程的单一孤立子解.结果表明:当孤立子的中心满足带有势V(x,t)的牛顿方程,孤立子的内部结构由/体固定0坐标系决定.孤立子的结构与f1(t)无关.若f2(t)与t无关,孤立子是固定的.原则上,若f2(t)剧烈变化,则孤立子将扩散.但数值计算表明,在一定条件下,孤立子还是经得起f2(t)的剧烈变化.关键词:玻色-爱因斯坦凝聚;非线性薛定谔方程;孤立子解;牛顿方程中图分类号:O413;O414文献标识码:A文章编号:0258-7971(2004)02-0132-02在诺贝尔奖设立百年之际,2001年诺贝尔奖授予了3位科学家,瑞典皇家科学院称颂他们得奖的原因是:/由于在碱性原子的稀薄气体中获得了玻色-爱因斯坦凝聚(BEC)和对这类凝聚体特性的早期基础研究0.一时间,这项世界上/最冷0的研究领域成了最热的话题.BEC的实验上的进展极大地推动了理论上努力预测这一宏观量子系统的性质.预测的起点往往是带有谐和捕获势的Gross-Pitaevskii方程.这是个非线性薛定谔方程,假设它对于零温度的稀薄气体(na3n1,这里n为平均密度,a为S波散射长度)也成立,这里量子和热涨落可以忽略.很多文献[1~4]已经讨论了该方程的解.但对于带有和时间有关的线性谐和势的非线性薛定谔方程的孤立子的情况却鲜有文章报道.本文讨论1+1维外部势具有二次形式V(x,t)=V1(x,t)+V2(x,t),V n(x,t)S f n(t)x n的非线性薛定谔方程的孤立子行为和结构,并导出相关结论.1方法和举例考虑非线性薛定谔方程i 9W9t=-12m92W9x2-g|W|2W+V(x,t)W,(1)其中W=W(x,t),m为/质量0,g>0,为一常数,V(x,t)为外部势.将W归一化,Q]-]|W(x,t)|2d x=1.外部势具有二次形式V(x,t)=V1(x,t)+V2(x,t),V n(x,t)S f n(t)x n,(2)其中f1(t),f2(t)均为t的函数,只是f2(t)还要满足下面将要讨论的条件.在缺少外部势的情况下,V(x,t)=0,方程(1)的单孤立子解为[5]W(x,t)=A0(x-M t)e i[m M x-(E0+m M2/2)t],(3)A0(x)=(J/2)1/2sech(J x),(4)E0=-J22m,J=12mg,(5)其中A0(x)决定了/自由0孤立子的形状,是与时间无关的方程-12m A0x x-gA30=E0A0(6)的束缚态解.运用Husimi变换[6],x c=x-N(t),(7)这里,x c为关于运动原点N(t)的坐标,后面,把N(t)看成孤立子的质心,将W(x,t)改写为W(x,t)=U(x c,t)e i m N#x c,(8)*收稿日期:2003-04-08基金项目:国家自然科学基金资助项目(10347011).作者简介:刘良桂(1976-),男,江西人,硕士,主要从事理论物理研究.其中N#=d N(t)/d t.可得W(x,t)=V(x c,t)ex p i m N#x c+i Q L(t c)d t c,(9)L(t)=12m N#2-V(N,t),(10)i V t=-12mV x c x c-g|V|2V+V2(x c,t)V.(11)(11)式与(1)式有2点不同:¹(1)式是对/实验室0系而言,而(11)式是对运动系而言,其原点定在x=N(t);º(11)式少了V1项,且关于x c的宇称是好量子数.由º可知(11)式具有束缚态解,且有Q]-]|V(x c,t c)|2x c d x c=0.束缚态结构由(11)式决定,且与N(t)无关.束缚态的质心位于x c=0,亦即x=N(t).x c坐标系是束缚态的/体固定0系.当g=0,f2(t)>0时,(11)式显然有束缚态解.当添加引力非线性项时,这些束缚态仍存在.非线性相互作用强烈影响着最低态,孤立子由此形成.若f2(t)<0,则V2(x,t)为一反转谐振子势;若g=0,则(11)式不允许束缚态存在.若g>0,即使f2(t)<0,仍存在束缚孤立子态.(Ñ)线性势V(x,t)=V1(x,t)=m A(t)x,(12)由V2=0,可知:A(x)=A0(x),E=E0.N(t)由m N=-A(t)决定.由N(t)可求出W(x,t).(Ò)谐振子模式V(x)=V2(x)=12m X2x2,(13)其中X为常数,式(18)变为-12mA x x-gA3+12m X2x2A=E A.(14)对非线性自相互作用,外部势相对强度可用(m X)1/2/J度量,这里J=12mg.系统的能量由下式给出E=Q]-]-12m(A x)2-12gA4+12m X2x2A2d x.(15)(Ó)反转谐振子模型V(x)=V2(x)=-12m X2x2,(16)W(x,t)可仿(Ò)求出.若非线性项-gA3不存在,则没有束缚态.设想一个定位在原点周围的函数A,该函数产生一有效的引力势-gA2.若对A 退定域,则系统能量增加.若进一步对A在原点之外退定域,则能量开始下降.若采用参量K来量度A的定域化度,则能量作为K的函数将有局域最小值,亦即意味着束缚态的存在.(Ô)受迫的谐振子模型V(x,t)=12m X2x2-m X2F(t)x,(17)这里m X2F(t)x是附加的微扰.由牛顿方程,可知N(t)=X Q]-]F(t c)sin[X(t-t c)]d t c.(18)可在式(18)右边加上类似N0cos X t的项.振幅函数A(x-N)与(Ò)中的相同.由(18)可求出W(x,t).无论F(t)变化多剧烈,该解仍保持有效. 2结语总而言之,对带有式(2)所示的与时间有关的二次势的非线性薛定谔方程所描写的孤立子而言,它的内部结构可从孤立子的质心运动分离出来.对质心而言,方程(1)可化简为牛顿方程m N##= -V N(N,t),对于孤立子的结构而言,方程(1)又可化简为式(11).孤立子结构与线性项V1(x,t)无关,因此孤立子经得起f1(t)的剧烈变化.原则上,若f2(t)剧烈变化,则孤立子将扩散.但数值计算表明,孤立子经得起f2(t)的剧烈变化.详细地讨论了V(x,t)为反转谐振子势(即f2(t)<0)时的孤立子行为.参考文献:[1]EDWAR DS M,DODD R J,CLA RK C W,et al.Proper-ties of a Bose-Einstein condensate in an anisotropic har-monic pot ential[J].Phys Rev A,1996,53(4):1950)1953.[2]BAYM G,PETHICK C.Ground-State properties of mag-netically trapped Bose-Condensed rubidium gas[J].PhysR ev L ett,1996,76(1):6)9.[3]HOL LAN D M,COOPER J.Ex pansion o f a Bose-Ein-stein condensate in a harmonic potential[J].Phys RevA,1996,53(4):1954)1957.[4]RU PRECHT P A,HOL LA ND M J,BU RNET T K,etal.Rea-l T ime Bose-Einstein condensationin a finite vo-lume w ith a discrete spectrum[J].Ibid,1995,51(3):4704)4708.(下转第138页)133第2期刘良桂等:一类非线性薛定谔方程的孤子解Preparation of matrix of quantum dots using AAO template by PLDCH EN Da-peng1,YANG Ru-i ming1,ZHANG Peng-x iang1,2,FANG Yan2,YANG Zhi2(1.Institute of Advanced M ater ials for Photoelectronics,K unming Universityof Science and T echnology,Kunming650051,China;2.L aboratory o f N ano-P hotoelectro nics of Beijing,Capital Nor mal University,Beijing10053,China;3.Department of Chemistry,Yunnan N ormal U niversity,Kunming650092,China)Abstract:M atrix of quantum dots is fabricated using anodic aluminum ox ide(AAO)tem plate and pulsed laser deposition(PLD).The cylindrical pore array structure of AAO serves as a template for the preparation of the quantum dots.T he morphology of the matrix of dots and AAO template are characterized by scanning elec-tron microscope,the luminescence spectra of the dots and target materials are recorded by a m icro-Ram an spec-trometer.The structure and photoluminescence of the dots are discussed,w hich demonstrates that one can make m atrix of quantum dots by this method.It is proofed that this method can fabricate the m atrix of a quan-tum dots of the other materials in the future.Key words:anodic alum inum ox ide template;nanostucture system;fluorescence materials;pulsed laser de-position;quantum dots********************************* (上接第133页)[5]刘良桂,李云德.一维Bose-Einstein凝聚中的孤波[J].云南大学学报(自然科学版),2003,25(4):332)334.[6]CH EN H H,L IU C S.No nlinear w ave and soliton prop-agation in media w ith arbitrary inhomog eneities[J].P hys Fluids,1978,21(3):377)380.Soliton solution of certain nonlinear SchrÊdinger equationLIU Liang-gui,LI Yun-de(Depar tment of Physics,Y unnan U niv ersity,Kunming650091,China)Abstract:The one-soliton solution of the nonlinear SchrÊdinger equation w ith an external potential of the form of V(x,t)=f1(t)x+f2(t)x2is ex amined.It is show n that,w hile the center of the soliton obeys Newton.s equation w ith the potential V(x,t),the internal structure of the soliton is determined by the NLSE of the/body-fix ed0coordinate system.The soliton structure is found to be independent of f1(t).In principle,the soliton can be diffused if f2(t)varies rapidly.Through num erical method,how ever,that the sol-i ton is ex tremely tenacious against rapid variations of f2(t).Key words:Bose-Einstein condensate;nonlinear SchrÊdinger equation;soliton solution;New ton.s equation 138云南大学学报(自然科学版)第26卷。

《几种典型非线性问题及孤子微扰理论的研究》篇一一、引言非线性问题在物理、数学、工程等众多领域均有广泛应用，包括波的传播、量子力学、光学等领域。

而孤子作为非线性现象中的一种特殊形态，更是受到了广泛的关注。

本文将就几种典型的非线性问题及孤子微扰理论进行研究。

二、典型非线性问题概述（一）混沌理论混沌理论是一种描述复杂系统中不确定性的理论，主要研究非线性系统的长期行为。

如洛伦茨方程等经典模型，描述了非线性系统中的微小变化如何导致长期行为的巨大差异，也称为“蝴蝶效应”。

（二）波动方程的孤立波解在流体力学、等离子体物理等众多领域中，波动方程的孤立波解是一个重要的非线性问题。

孤立波解也称为孤子，具有特殊的性质，如稳定性、可传播性等。

（三）量子力学中的非线性问题在量子力学中，存在大量的非线性问题，如多电子体系、分子系统等。

非线性量子问题常通过多粒子体系的量子相互作用表现出来，成为近年来研究热点之一。

三、孤子微扰理论的研究孤子微扰理论是研究孤子在受到微小扰动时如何变化的理论。

该理论对于理解孤子的稳定性、传播规律以及相互影响具有重要作用。

本文将从KdV方程等典型非线性波动方程入手，介绍孤子微扰的基本思想、基本原理以及常用的计算方法。

（一）KdV方程及孤子解的介绍KdV方程是流体力学中的一个重要方程，可以用于描述一类特定的波动现象——孤立波（即孤子）。

通过对KdV方程的研究，我们可以了解孤子的基本性质和传播规律。

（二）孤子微扰的基本思想与原理孤子微扰的基本思想是：在已知的孤子解的基础上，考虑微小的扰动对孤子的影响。

通过分析这些微小扰动对孤子的影响，可以了解孤子的稳定性、传播规律以及相互作用的特性。

基本原理包括线化法、摄动法等。

（三）计算方法及案例分析常用的计算方法包括摄动法、反散射法等。

本文将通过案例分析，详细介绍这些方法在孤子微扰中的应用。

例如，在流体力学中，我们可以通过KdV方程和摄动法来研究流体中孤子的稳定性及传播规律；在量子力学中，可以通过多粒子体系的量子相互作用和反散射法来研究非线性量子问题的微扰效应等。

《ML-Ⅳ方程的孤子、呼吸子与怪波解》篇一
摘要
本文旨在深入探讨ML-Ⅳ方程中孤子、呼吸子以及怪波解的性质与特征。

通过引入数学方法和模型分析，对不同类型的解进行详细的推导和解析，以揭示其内在的物理规律和意义。

本文将全面介绍孤子、呼吸子与怪波解的基本概念，讨论它们的生成条件及动态特性，并对实际应用中可能出现的情况进行探究。

一、引言
近年来，随着非线性科学的发展，ML-Ⅳ方程作为非线性科学中的一类重要模型，在物理学、数学等领域得到了广泛的研究。

在ML-Ⅳ方程中，孤子、呼吸子及怪波解作为特殊的波动模式，其产生机理及传播规律引起了学者们的关注。

本文将对上述三种解的特性和生成条件进行详细的研究和探讨。

二、孤子解
孤子解作为ML-Ⅳ方程中一类特殊的解，其特性是其在传播过程中能够保持自身的形状和速度不变。

本文将详细推导孤子解的数学表达式，分析其产生的物理条件和机理，探讨其在实际问题中的应用。

三、呼吸子解
呼吸子解是一种具有周期性变化的波动解，本文将通过数学模型分析其产生机制，讨论其动态特性和变化规律，并探讨其在非线性系统中的实际意义。

四、怪波解
怪波解是ML-Ⅳ方程中一类具有异常特性的解，本文将介绍其基本概念和特征，通过实例分析其产生条件和影响因素，探究其在物理系统和数学模型中的潜在应用。

五、结论
通过对ML-Ⅳ方程中孤子、呼吸子及怪波解的深入研究，本文揭示了这些特殊波动模式的内在规律和物理意义，为非线性科学的研究提供了新的思路和方法。

本文所涉及内容仅供参考，具体内容应根据研究的具体方向和需求进行扩展和深化。

广义五阶非线性薛定谔方程的怪波与呼吸子的复合波解
董浩楠;扎其劳
【期刊名称】《内蒙古师范大学学报(自然科学汉文版)》
【年(卷),期】2024(53)1
【摘要】基于规范变换,为广义五阶非线性薛定谔方程建立达布变换。

应用达布变换的可迭代性质,获得该方程的N重达布变换。

把广义五阶非线性薛定谔方程Lax
对的两组特解代入二重和三重达布变换中,获得该方程的怪波与呼吸子的复合波解。

研究表明怪波和呼吸子可以在复合波解中独立存在。

【总页数】7页(P38-43)
【作者】董浩楠;扎其劳
【作者单位】内蒙古师范大学数学科学学院;内蒙古自治区应用数学中心
【正文语种】中文
【中图分类】O175.29
【相关文献】
1.五阶可积非线性薛定谔方程的呼吸子解及其特性研究
2.广义五阶KdV方程的新
的周期波解与孤立波解3.四阶色散非线性薛定谔方程的明暗孤立波和怪波的形成
机制4.(1+1)维Mukherjee-Kundu方程的加速怪波解和呼吸子解5.七阶非线性薛定谔方程的调制不稳定性以及周期背景上的怪波解
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非线性薛定谔方程的孤子解和怪波解摘要：光纤中光波的传输模型一直是当前研究的热点理论模型之一，从非线性薛定谔方程到金格堡-朗道方程，都试图对其进行更好的阐释，其次对于非线性动力学系统中，非线性薛定谔方程的解有呈现出非常多有趣的特征，对于其中特定解的研究能够让我们了解脉冲演化的本质，所以本文主要从孤子解的传输入手，并且简单介绍了怪波解的解形式。

薛定谔方程又称薛定谔波动方程，是量子力学的一个基本方程，同时又是量子力学的基本假设之一，由奥地利物理学家薛定谔1926年在《量子化就是本征值问题》中提出的，它在量子力学中的地位非常重要，相当于牛顿定律对于经典力学一样。

随着人们对世界的不断探索，非线性现象逐渐走进人们的视野，这种现象一般大都用非线性偏微分方程的数学模型来描述，显然线性方程已经不能满足人们的需求。

1973年，Hasegawa从含有非线性项的色散方程中推导出了非线性薛定谔方程。

非线性薛定谔方程(NLS)是普适性很强的一个基本方程，最简单的形式是：其中为常数。

因为这个方程在几乎所有的物理分支及其他科学领域得到了广泛的应用，如超导，光孤子在光纤中传播，光波导，等离子体中的Langnui波等，所以许多学者对此方程的研究投入了很大的热情，至今还在生机勃勃的向前发展着。

1 分步傅里叶法计算演化过程对于处理非线性性薛定谔方程，常用的数值仿真方式为分步傅里叶方法，为了简单起见，只考虑二阶色散和自相位调制，不考虑高阶色散、自陡以及四波混频等高阶非线性效应。

上述方程中做2β为二阶色散，γ表示Kerr效应系数，g和α分别代表光纤中的增益和损耗。

对上述方程转化到频域，先不考虑增益和损耗。

可以得到2kk k k kdAi A i a adzβγ=∆+F.其中222kiββ∆=Ω令()expk kA B i zβ=∆可以得到()2expkk k kdBi a a i zdzγβ=-∆F以上方程可以用四阶龙格库塔直接求解，但是速度较慢，所以我们需要做差分处理。

BI YE SHE JI（20 届）PT对称耦合非线性波导中的孤子和怪波PT对称耦合非线性波导中的孤子和怪波内容摘要：基于PT对称线性耦合的非线性薛定谔方程，研究连续波背景的调制不稳定性，以及确定性怪波的产生和演化。

这样的系统可以用来描述克尔非线性光耦合器，其中吸收和损耗保持PT平衡。

除这个线性耦合，我们也考虑交叉相位调制项的耦合。

由Peregrine孤子构造的怪波是不稳定的，然而我们证明聚焦交叉相位调制的相互作用会导致其部分稳定。

关于PT对称和反对称高亮孤子，我们得到其解析形式以及稳定区域，并通过直接模拟验证了这一理论结果。

关键词：时间宇称对称不稳定性怪波非线性薛定谔方程Solitons and rogue waves in PT -coupled nonlinear waveguidesAbstract: We considered the modulational instability of continuous-wave backgrounds, and the related generation and evolution of deterministic rogue waves in the recently introduced parity–time (PT )-symmetric system of linearly coupled nonlinear Schr¨odinger equations, which describes a Kerr-nonlinear optical coupler with mutually balanced gain and loss in its cores. Besides the linear coupling, the overlapping cores are coupled through the cross-phase-modulation term too. While the rogue waves, built according to the pattern of the Peregrine soliton, are (quite naturally) unstable, we demonstrate that the focusing cross-phase-modulation interaction results in their partial stabilization. For PT -symmetric and antisymmetric bright solitons, the stability region is found too, in an exact analytical form, and verified by means of direct simulations.Keywords: parity–time symmetry, instabilities, rogue wave, nonlinear Schr¨odinger equatio目录1. 引言 (3)2. 模型 (4)3. 调制不稳定性 (4)4. PT对称系统中的Peregrine孤子 (8)5. 亮孤子 (11)6. 总结 (13)参考文献 (13)众所周知，连续波背景的不稳定性是规则的或随机的怪波出现的先决条件，与基本物理无关[1]。

《ML-Ⅳ方程的孤子、呼吸子与怪波解》篇一摘要：本文将详细探讨ML-Ⅳ方程的孤子、呼吸子及怪波解。

首先，我们将回顾ML-Ⅳ方程的背景和重要性。

接着，我们将详细讨论孤子、呼吸子和怪波解的概念和性质，并运用数学工具对ML-Ⅳ方程进行求解和分析。

最后，我们将总结我们的发现，并展望未来的研究方向。

一、引言ML-Ⅳ方程是一种重要的非线性偏微分方程，在物理、数学及工程领域具有广泛的应用。

孤子、呼吸子和怪波解是该方程的重要解形式，对理解非线性现象及求解实际问题具有重要意义。

因此，研究ML-Ⅳ方程的这些解具有重要的理论价值和实际意义。

二、ML-Ⅳ方程背景及重要性ML-Ⅳ方程是一种非线性偏微分方程，广泛用于描述各种物理现象，如流体动力学、光学、电磁学等。

该方程具有丰富的数学结构和物理内涵，能够揭示出许多重要的非线性现象。

因此，对ML-Ⅳ方程的研究具有重要的理论价值和实际意义。

三、孤子解的概念及性质孤子解是一种特殊的解形式，具有粒子般的性质，在传播过程中保持形状和速度不变。

在ML-Ⅳ方程中，孤子解具有重要的地位，能够揭示出许多重要的物理现象。

我们将运用数学工具，如反散射方法、Darboux变换等，对ML-Ⅳ方程的孤子解进行求解和分析。

四、呼吸子解的概念及性质呼吸子解是另一种重要的解形式，具有周期性和振荡性。

在ML-Ⅳ方程中，呼吸子解能够描述某些物理现象的周期性变化。

我们将运用数值分析和渐近分析等方法，对ML-Ⅳ方程的呼吸子解进行求解和分析。

五、怪波解的概念及性质怪波解是一种特殊的波动解，具有强烈的非线性和不规律性。

在ML-Ⅳ方程中，怪波解能够描述某些极端和非线性的物理现象。

我们将通过数值模拟和实验验证等方法，对ML-Ⅳ方程的怪波解进行研究和探讨。

六、数学工具与方法为了求解和分析ML-Ⅳ方程的孤子、呼吸子和怪波解，我们将运用反散射方法、Darboux变换、数值分析和渐近分析等方法。

这些方法具有高效、精确和可靠的特点，能够帮助我们深入理解ML-Ⅳ方程的数学结构和物理内涵。

《几种典型非线性问题及孤子微扰理论的研究》篇一一、引言非线性问题广泛存在于物理学、数学、工程学等多个领域，是现代科学研究的重要方向之一。

孤子微扰理论作为非线性科学研究的一个重要工具，被广泛应用于各种复杂的非线性系统中。

本文将就几种典型的非线性问题及其与孤子微扰理论的关系进行研究。

二、几种典型非线性问题1. 非线性薛定谔方程问题非线性薛定谔方程是非线性物理学中的一个基本方程，用于描述非线性光学、量子力学、流体力学等众多领域中的非线性现象。

该方程具有丰富的物理内涵和数学结构，因此成为了非线性科学研究的重要对象。

2. 非线性波动问题非线性波动问题是指描述非线性波动现象的数学模型所产生的问题。

例如，在地震波、声波、电磁波等波动传播过程中，由于介质的非线性特性，导致波动方程成为非线性波动方程。

这些问题的研究对于理解波动传播的规律和优化工程应用具有重要意义。

3. 非线性系统稳定性问题非线性系统的稳定性问题是指系统在受到外部扰动后能否恢复原状态的问题。

在许多工程领域中，如电力系统、控制系统等，都需要考虑系统的稳定性问题。

由于非线性系统的复杂性，其稳定性问题的研究具有很大的挑战性。

三、孤子微扰理论的研究孤子微扰理论是一种研究非线性系统中孤子解的微扰性质的理论。

孤子是一种特殊的解，具有特殊的物理性质和数学结构，因此被广泛应用于各种非线性系统中。

孤子微扰理论的研究对于理解孤子的性质和行为以及预测非线性系统的行为具有重要的意义。

孤子微扰理论的核心思想是在非线性系统中引入微小的扰动，研究孤子在这种扰动下的变化规律。

这种方法可以帮助我们更好地理解非线性系统的性质和行为，同时也为工程应用提供了重要的理论支持。

四、孤子微扰理论在典型非线性问题中的应用1. 在非线性薛定谔方程中的应用孤子微扰理论可以用于研究非线性薛定谔方程中的孤子解的性质和行为。

通过引入微小的扰动，我们可以研究孤子在传播过程中的变化规律，以及系统对扰动的响应规律。