2014年沪科版数学七上能力培优4.6用尺规作线段与角

4.6 用尺规作线段与角【学习目标】1．了解尺规作图的概念和意义．2．会用尺规作一条线段等于已知线段，会用尺规作一个角等于已知角，并了解它们在尺规作图中的简单应用．【学习重点】会用尺规作线段与角．【学习难点】作线段与角的和、差、倍数．行为提示：创设情境，引导学生探究新知．行为提示：认真阅读课本，独立完成“自学互研”中的题目．自主的完成有关的练习，并在练习中发现规律，从猜测到探索到理解知识．提示：先作一条直线，在这条直线上连续作出三条线段都等于a即可．方法指导：作图痕迹是尺规作图必不可少的部分，不可擦去．情景导入生成问题旧知回顾：1．什么是角的平分线？答：在角的内部、以角的顶点为端点的一条射线把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做角的平分线．2．什么样的两个角互补？什么样的两个角互余？答：两个角的和为一个平角，这两个角互为补角，简称互补；两个角的和为一个直角，这两个角互为余角，简称互余．3．补(余)角的性质是什么？答：同角(或等角)的补角相等；同角(或等角)的余角相等．自学互研生成能力知识模块尺规作图阅读教材P153～P154的内容，回答下列问题：问题：什么是尺规作图？答：几何中，通常用没有刻度的直尺和圆规来画图，这种画图方法叫做尺规作图．典例1：已知线段a，如图：.求作：线段AB，使AB＝3a.解：作法：(1)作射线AE；(2)在射线AE上顺次截取AC＝CD＝DB＝a，则线段AB即为所求作的线段．典例2：如图，已知∠α和∠β(∠α>∠β)，求作∠AOB，使∠AOB＝∠α－∠β.解：(1)作射线OA；(2)以射线OA为一边作∠AOC＝∠α；(3)以O为顶点，以射线OC为一边，在∠AOC的内部作∠BOC＝∠β，则∠AOB就是所求作的角．仿例1：如图，已知线段a、b、c，用圆规和直尺画线段，使它等于2a＋b－c.解：作法：(1)作射线AF；(2)在射线AF上顺次截取AB＝BC＝a，CD＝b；(3)在线段AD上截取DE＝c.所以线段AE即为所求．说明：对于比较复杂的尺规作图，可先画出草图，找到正确作图方法．知识链接：仿例3在直线AB上找一点C，要注意点C在AB之间或AB延长线上两种情况．行为提示：教会学生怎么交流．先对学，再群学．充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决(可按结对子学——帮扶学——组内群学来开展)．在群学后期教师可有意安排每组展示问题，并给学生板书题目和组内演练的时间．仿例2：已知：如图，锐角∠AOB，求作：∠β，使得∠β＝180°－2∠AOB.解：作法：(1)作∠A′O′B′＝∠AOB；(2)以O′B′为始边作∠B′O′C′＝∠AOB；(3)反向延长射线O′A′到D′，∠β为图中所示的∠C′O′D′.仿例3：如图，在直线AB上找出一点C，使AC＝2CB，则C点应在( D)A．点A、B之间B．点A的左边C．点B的右边D．点A、B之间或点B的右边仿例4：已知线段a，b(a>b)，画一条线段，使它等于2a－b.画法：(1)画射线AE；(2)在射线AE上顺次截取AB＝BD＝a；(3)在线段AD上截取CD＝b，线段AC即为所求作的线段．交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块尺规作图课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．困惑：________________________________________________________________________。

4.6 用尺规作线段和角一、教学目标(一)知识目标1.会用尺规作一条线段等于已知线段.2.利用尺规作一条线段等于已知线段的应用.(二)能力目标会用尺规作一条线段等于已知线段；并了解它在尺规作图中的简单应用.(三)情感目标通过教师的讲解、学生的动手实践，培养学生的动手能力及与同学交流的习惯.二、教学重难点（一）教学重点会用尺规作一条线段等于已知线段.（二）教学难点学生理解作图步骤中的语言，并会根据画图语言画出图形.三、教学过程Ⅰ.创设现实情景，引入新课［师］在现实生活中，我们经常见到一些美丽的图案，如下列图案想一想，这些图案是利用哪些作图工具画出的？我们把只用没有刻度的直尺和圆规的作图称为尺规作图.Ⅱ．讲授新课［师］用尺规作图具有以下四个步骤：(1)已知，即：已知的条件是什么.(2)求作，即：所要作的最终的结果是什么，满足什么条件.(3)分析，即：分析如何作出所要求作的图形，一般不用写出来.(4)作法，这是作图的主要步骤，在这里要写清作图的过程.在今后的作图中，要注意作图步骤的书写.就现在来说，只要求大家了解尺规作图的步骤.下面我们共同用尺规作一条线段等于已知线段(教师一边叙述，一边书写、画；学生只画图).已知，线段A B.图2－52求作：线段A′B′,使A′B′=A B.作法：(1)作射线A′C′.(2)以点A′为圆心，以AB的长为半径画弧，交射线A′C′于点B′.A′B′就是所求的线段.图2－53［师］同学们画得很好,但要注意圆规的用法.接下来大家口述表达一下作法.［师］好，下面我们来做一做，以熟悉用尺规作一条线段等于已知线段.如图2－54，已知线段a和两条互相垂直的直线AB、CD.图2－54 图2－55(1)利用圆规，在射线OA、OB、OC、OD上作线段OA′、OB′、OC′、OD′，使它们分别与线段a相等.(2)依次连接A′、C′、B′、D′、A′.你得到了一个怎样的图形？与同伴进行交流.接下来，我们做练习以巩固所学内容.Ⅲ.课堂练习1.如图2－56，已知线段a和b，直线AB与CD垂直且相交于点O.图2－56利用尺规，按下列要求作图：(1)在射线OA、OB、OC上作线段OA′、OB′、OC′，使它们分别与线段a相等.(2)在射线OD上作线段OD′，使OD′等于b.(3)依次连接A′、C′、B′、D′、A′.Ⅳ.课时小结本节课我们主要学习了用尺规作一条线段等于已知线段.正式呈现了尺规作图的步骤，写出了“已知”“求作”，且按照程序化的方式写出了“作法”.大家在今后的作图中，要按这些步骤进行.要特别注意的是：作图时一定要保留作图痕迹.Ⅴ.课后作业。

《4.6 用尺规作线段与角》基础练习1. 下列尺规作图的语句正确的是().A．延长射线AB到点CB．延长直线AB到点CC．延长线段AB到点C，使BC＝ABD．延长线段AB到点C，使AC＝BC2. 画一个钝角∠AOB，然后以O为顶点，以OA为一边，在角的内部画一条射线OC，使∠AOC ＝90°，正确的图形是().3. 下列尺规作图的语句错误的是()．A．作∠AOB，使∠AOB＝3∠1B．以点O为圆心作弧C．以点A为圆心，线段a的长为半径作弧D．作∠ABC，使∠ABC＝∠1＋∠24. 下列各选项中，只用没有刻度的直尺就能作出图形的是().A．作线段AB＝aB．过O、P作射线OPC．在直线AB上截取线段AC＝aD．在射线OA上截取线段OB＝a5. 下列画图属于尺规作图的是().A．用量角器画出∠AOB的平分线B．不用量角器，作∠AOB，使∠AOB＝3∠1C．用三角板画∠AOB＝90°D．画线段AB＝3 cm6. 下列说法正确的有().①利用尺规能作一个角等于已知角；②利用尺规能作一个角等于已知两个角的和；③利用尺规能作一个角等于已知两个角的差；④利用尺规不能作一个角等于已知角的2倍．A．1个B．2个C．3个D．4个7.如图①，已知线段a和线段b，则AE表示的是().图①A．3(a－b) B．3a－b C．2a D．2a＋b8.尺规作图是指().A．用直尺规范作图B．用刻度尺和圆规作图C．用没有刻度的直尺和圆规作图D．直尺和圆规是作图工具9. 下列各选项中，只用圆规就能作出图形的是().A．过点O、A作直线OAB．作一个角等于已知角C．在射线OA上截取线段OB＝aD．作一条线段等于已知线段10. 如图②，点C在∠AOB的边OB上，用尺规作出了∠BCN＝∠AOC，作图痕迹中，弧FG是().图②A．以点C为圆心，OD长为半径所画的弧B．以点C为圆心，DM长为半径所画的弧C．以点E为圆心，OD长为半径所画的弧D．以点E为圆心，DM长为半径所画的弧11. 如图③，尺规作图：已知线段AB，延长线段AB到C，使BC＝2AB.图③12. 如图④，已知线段a和两条互相垂直的直线AB，CD. 求作正方形A′B′C′D′，使其对角线长等于2a.图④13. 如图⑤，已知∠α，∠AOB＝90°，求作∠AOC，使其等于∠α的余角．图⑤14. 已知，如图⑥，三条线段a，b，c.请画线段AB，使AB＝a＋b＋c.图⑥15. 已知线段a，如图：.求作：线段AB，使AB＝3a.答案和解析【答案】1. C2. D3. B4. B5. B6. C7. B8. C9. C 10. D11. 见答案. 12. 见答案. 13. 见答案.14.见答案. 15. 见答案.【解析】1. 解：射线一旁是无限延伸的，只能反向延长，A错误；直线是无限延伸的，不用延长，B错误；延长线段AB到点C，不可能使得AC＝BC，D错误，故选C.解题的关键在于对相关概念的理解．2. 解：由于∠AOC＝90°，则B、C错误；因为射线OC在∠AOB的内部，则A错误，D正确，故选D.解题的关键在于对角的相关概念的理解．3. 解：在描述作弧时，要给出圆心和半径，故B错误，故选B.解题的关键在于对尺规作图的相关语句的理解．4. 解：没有刻度的直尺不能作出与已知线段长度相等的线段，故A、C、D错误，但可作出射线，D正确.故选B.只用没有刻度的直尺不能作出与已知线段长度相等的线段，但可直接作出直线或射线.5. 解：A中借助于量角器，C中借助于三角板，D中借助于刻度尺，B不用量角器，用没有刻度的直尺和圆规完成即可，故选B.通常用没有刻度的直尺和圆规来画图，这种画图的方法叫做尺规作图.6. 解：可以用尺规作图的有：①作一个角等于已知角；②作一个角等于已知两个角的和；③作一个角等于已知两个角的差；④作一个角等于已知角的2倍，故正确的有①②③，共3个，故选C.通常用没有刻度的直尺和圆规来画图，这种画图的方法叫做尺规作图.可以用尺规作出已知角的和、差、倍数.7. 解：已知线段a和线段b，则AE表示的是3a－b.故选B.此题考查的是对尺规作图的认识，解答此题的关键是能灵活运用线段的和、差转化线段之间的数量关系．8. 解：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图，故选C.此题考查的是尺规作图的定义，通常用没有刻度的直尺和圆规来画图，这种画图的方法叫做尺规作图.9. 解：只用圆规就能作出图形的是在射线OA上截取线段OB＝a，而A、B、D都需要用尺规进行作图，故选C.通常用没有刻度的直尺和圆规来画图，这种画图的方法叫做尺规作图.解题关键是理解只用圆规就能在射线上截取线段.10. 解：由图可知，弧FG是以点E为圆心，DM长为半径所画的弧，故选D.本题主要考查了基本作图，解题关键是理解作图的每一步所代表的意义.11. 解：如图⑦所示，AC即为所求．图⑦利用作线段的方法求解即可．本题主要考查了基本作图，解题的关键是正确使用尺规完成作图．12. 解：作法：(1)利用圆规，在射线OA，OB，OC，OD上作线段OA′，OB′，OC′，OD′，使它们分别与线段a相等．(2)依次连接A′，C′，B′，D′，A′.此题主要考查了基本作图，掌握正方形的性质是解题的关键.13. 解：如图⑧所示，∠AOC就是所求的角．图⑧以OB为一边作∠BOC＝∠α，则∠AOC就是所求．本题考查了基本作图，作一个角等于已知角，以及余角的定义，解题时要灵活运用．14. 解：如图⑨所示，AB即为所求．图⑨根据三条线a，b，c，分别在射线上截取，得出AB即可．此题主要考查了基本作图，在解答此类问题时一定要注意各点之间的关系．15. 解：作法：(1)作射线AE；(2)在射线AE上顺次截取AC＝CD＝DB＝a，则线段AB即为所求作的线段.利用作线段的方法求解即可．本题主要考查了基本作图，解题的关键是正确使用尺规完成作图．《4.6 用尺规作线段与角》提高练习1. 如图①，在直线AB上找出一点C，使AC＝2CB，则C点应在().图①A. 点A、B之间B．点A的左边C．点B的右边D．点A、B之间或点B的右边2. 如图②，画线段AB；延长线段AB到点C，使BC＝2AB；反向延长AB到点D，使AD＝AC，则线段CD＝()AB.(填CD是AB的倍数)图②A．6B．4C．5D．73. 下列属于尺规作图的是( ).A．用量角器画∠AOB的平分线OPB．利用两块三角板画15°的角C．用刻度尺测量后画线段AB＝10 cmD．在射线OP上截取OA＝AB＝BC＝a4.下列关于作图的语句正确的是( ).A．作∠AOB的平分线OE＝3 cmB．画直线AB＝线段CDC．用直尺作三角形的高是尺规作图D．已知A、B、C三点，过这三点不一定能画出一条直线5. 如图③，已知线段a，b，c(a>b)，求作线段AB，使AB＝a＋c－b.图③6. 已知：如图④，有线段m，n，画一条线段AB，使它等于2m＋n.图④7.如图⑤，已知∠1，∠2，且∠1＞∠2，用尺规作∠AOB，使得：(1)∠AOB＝∠1＋∠2；(2)∠AOB＝2∠1－∠2.(用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹)图⑤8. 已知：如图⑥，锐角∠AOB，求作：∠β，使得∠β＝180°－2∠AOB.图⑥9. 如图⑦，已知线段a、b、c，用圆规和直尺画线段，使它等于2a＋b－c.图⑦10. 如图⑧，已知∠α和∠β(∠α>∠β)，求作∠AOB，使∠AOB＝∠α－∠β.图⑧答案和解析【答案】1. D2. A3. D4. D5. 见答案.6. 见答案.7. 见答案.8. 见答案.9.见答案. 10. 见答案.【解析】1. 解：在直线AB上找出一点C，使AC＝2CB，则C点应在点A、B之间或点B的右边，故选D.点C的存在有两种情况：(1) C点在点A、B之间；(2) C点在点B的右边.2. 解：由图可知，BC＝2AB，则AC＝AB＋BC＝AB＋2AB＝3AB，因为AD＝AC，所以CD＝AD＋AC＝2AC＝6AB，故选A.此题考查的是对尺规作图的认识，解答此题的关键是能灵活运用线段的和、差转化线段之间的数量关系．3. 解：A中借助于量角器，B中借助于三角板，C中借助于刻度尺，D中用没有刻度的直尺和圆规完成即可，故选D.此题考查的是尺规作图的定义，通常用没有刻度的直尺和圆规来画图，这种画图的方法叫做尺规作图.4. 解：射线、直线具有延伸性，不能画出其长度，故A、B错误；尺规作图需用圆规和无刻度的直尺，故C错误；若A、B、C三点不共线，则无法过这三点画出一条直线，故D正确.故选D.解题的关键是掌握尺规作图的定义和射线、直线的相关知识.5. 解：作法：(1)作射线AC；(2)在射线AC上依次截取AD＝a，DE＝c，得线段AE；(3)在线段AE上，以E为端点，截取EB＝b，则线段AB即为所求作的图形．此题主要考查了基本作图，在解答此类问题时一定要注意线段之间的和差关系．6. 解：画射线AM，并在射线AM上顺次截取AC＝CD＝m，DB＝n.则线段AB就是所求作的线段．本题考查了基本作图，掌握作一条线段等于已知线段，以及线段的和、差、倍的意义是解题关键.7. 解：(1)如图①所示，∠AOB即为所求；(2)如图②所示，∠AOB即为所求．本题考查了基本作图，掌握作一个角等于已知角，以及角的和、差、倍的意义是解题关键.8.解：作法：(1)作∠A′O′B′＝∠AOB；(2)以O′B′为始边作∠B′O′C′＝∠AOB；(3)反向延长射线O′A′到D′，∠β为图中所示的∠C′O′D′.本题考查了基本作图，作一个角等于已知角，以及平角的定义，解题时要灵活运用．9. 解：作法：(1)作射线AF；(2)在射线AF上顺次截取AB＝BC＝a，CD＝b；(3)在线段AD上截取DE＝c.所以线段AE即为所求．对于比较复杂的尺规作图，可先画出草图，找到正确作图方法．10. 解：作法：(1)作射线OA；(2)以射线OA为一边作∠AOC＝∠α；(3)以O为顶点，以射线OC为一边，在∠AOC的内部作∠BOC＝∠β，则∠AOB就是所求作的角．本题考查了基本作图，掌握作一个角等于已知角，以及角的和差的意义是解题关键.《4.6 用尺规作线段与角》培优练习1. 下列画图语言表述正确的是().A．延长线段AB至点C，使AB＝ACB．以点O为圆心作弧C．以点O为圆心，以AC长为半径画弧D．在射线OA上截取OB＝a，BC＝b，则有OC＝a＋b2. 如图所示，已知线段a，b，c(a>b＋c），求作线段AB，使AB＝a－b－c.下面利用尺规作图正确的是().3. 如图①，用a，b，c表示线段AF的长应为().图①A. 2a－2b－cB. 2a－b－cC. 2a－b－cD. 2a－2b＋c4. 如图②，已知线段a，b(a>b)，画一条线段，使它等于2a－b.图②5. 如图③，已知：∠1，∠2，求作：(1)∠3，使得∠3＝∠2－∠1；(2)∠4，使得∠4＝∠1＋5∠2.图③答案和解析【答案】1. C2. D3. A4. 见答案.5. 见答案.【解析】1. 解：延长线段AB至点C，则AC＞AB，故A错误；作弧要给出圆心和半径，故B错误，C正确；在射线OA上截取OB＝a，BC＝b，当点C在点B的右侧时，有OC＝a＋b，当点C在点B的左侧时，OC≠a＋b，故D错误，故选C.此题考查的是尺规作图的相关知识，解题的关键在于对尺规作图的相关语句的理解．2. 解：用尺规先作线段AC＝a，再从内部顺次截取CD＝b，DB＝c，则AB＝a－b－c.故选D.此题主要考查了基本作图，在解答此类问题时一定要注意线段之间的和差关系．3. 解：由图可知AF＝AB＋BC－CD－DE－EF＝a＋a－b－b－c＝2a－2b－c．故选A.此题主要考查了基本作图，在解答此类问题时一定要注意线段之间的和差关系．4. 解：作法：(1)画射线AE；(2)在射线AE上顺次截取AB＝BD＝a；(3)在线段AD上截取CD＝b，线段AC即为所求作的线段．对于比较复杂的尺规作图，可先画出草图，找到正确作图方法．5. 解：(1)作法：①作射线OA；②以OA为边做∠AOB＝∠1；③以O为顶点，以射线OA为边，在∠AOB内部作∠AOD＝∠2．则∠BOD即为所求的∠3.(2)作法：①作射线OA；②以OA 为边做∠AOB ＝∠1；③以O 为顶点，以射线OB 为边，在∠AOB 外部作∠BOD ＝∠2． 则∠AOD 即为所求的∠3.对于比较复杂的尺规作图，可先画出草图，找到正确作图方法．。

沪科版七年级数学上册《第4章直线与角4.6用尺规作线段与角（第1课时）》教学设计一. 教材分析《第4章直线与角4.6用尺规作线段与角（第1课时）》这一节内容，主要让学生掌握用尺规作线段与角的方法，进一步理解直线、射线、线段的性质及角的概念。

本节内容是前面学习内容的延续，也是后面学习的基础，对于培养学生几何思维具有重要意义。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了直线、射线、线段的概念，角的定义及分类，具备一定几何基础。

但用尺规作线段与角还需引导学生理解和掌握。

因此，在教学过程中，要关注学生对基础知识的掌握情况，注重引导学生通过实际操作，理解并掌握用尺规作线段与角的方法。

三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握用尺规作线段与角的方法，能独立完成用尺规作线段与角的操作。

2.过程与方法目标：通过小组合作、探究学习，培养学生几何思维和动手能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识。

四. 教学重难点1.重点：用尺规作线段与角的方法。

2.难点：理解并掌握用尺规作线段与角的原理。

五. 教学方法采用“问题驱动”的教学方法，引导学生通过观察、操作、思考、讨论，自主探索用尺规作线段与角的方法，培养学生的动手能力和几何思维。

六. 教学准备1.准备尺规作图工具：直尺、圆规、铅笔、橡皮等。

2.准备相关课件和教学素材。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过复习直线、射线、线段的概念，角的定义及分类，引导学生回顾已学知识，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）教师通过展示用尺规作线段与角的操作过程，让学生初步感知用尺规作线段与角的方法。

同时，引导学生思考：为什么这样操作可以得到正确的线段与角？激发学生的探究欲望。

3.操练（10分钟）学生分组进行合作学习，每组选择一个线段或角进行用尺规作图。

教师巡回指导，解答学生在操作过程中遇到的问题。

4.巩固（10分钟）教师选取几组学生用尺规作出的线段与角，让学生判断正确与否，并说明理由。

4.6《用尺规作线段与角》【教材分析】本节内容是继小学用直尺或三角板作线段和角内容之后的延续，也是对后续学习作图的铺垫。

用没有刻度的直尺和圆规作最基本的两个图形：线段和角，因此本节也是最基本的尺规作图，学生通过学习能够锻炼动手操作能力，增强对线段和角的深层次理解。

在学习基本的尺规作图以后，在此基础上作出更复杂和美观的图案，也能提高审美情趣。

【学情分析】学生通过小学学习已经具有一些基本的作图能力，区别在于初中阶段的作图工具只可用没有刻度的直尺和圆规，又比小学要稍微复杂一些，这也符合学生的认知特点。

【教学目标】1、了解尺规作图的基本知识和步骤，了解作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角；2、通过用尺规作基本图形，体会认识尺规作图，培养动手实践操作能力和数学活动经验；3、在学生参与的过程中，培养语言表达能力、交流能力和动手的能力。

【教学重难点】重点：尺规作图的意义和两个基本作图难点：理解作图步骤中的语言，并根据语言画出图形【教学方法】精讲示范——自主尝试——合作探究——总结提高【教学过程预设】一、复习导入小学我们学过用刻度尺作一条线段等于已知线段、用量角器作一个角等于已知角，同学们动手在《学案》上画一画。

设计意图：通过复习旧知，在学生原有的知识经验基础上引入新知，能更好的理解知识。

二、新课学习1、几何中，通常用没有刻度的直尺和圆规来画图，这种画图的方法叫做尺规作图。

注意：直尺是没有刻度的知识链接：《尺规作图的起源》古希腊人在文明史上首屈一指，在数学史上至高无上。

他们研究的主要目标之一是用数学来了解宇宙是怎样运转着的，而且把重点放在抽象推理方面，并以使理性统治遍及整个自然界和人类为宗旨。

古希腊人认为直线和圆是基本图形，而直尺和圆规是其具体化，因此用这两种工具作图比较好。

而其他机械工具过于依赖感觉境界而不甚依赖思想境界，这与他们崇尚理性的风格背道而驰。

因此，他们立下规矩：几何作图只能用直尺和圆规。

设计意图：直接给出定义，简洁明了。