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北师大版高中数学必修2第二章解析几何初步第二节《圆与圆的方程》PPT课件

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北师大版高中数学必修二解析几何初步二《圆与圆的方程》ppt

北师大版高中数学必修二解析几何初步二《圆与圆的方程》ppt

得 ｒ＝ 3 1－4 3－7 ＝16
因此圆的方程是
32＋－42
ｘ－1 ＋ｙ－3
＝
5
25
2
2 256
解：
因为圆心在ｙ轴上，圆心的坐标是（0，ｂ），圆的半径是 ｒ，那么圆的方程是
ｘ2＋（ｙ－ｂ）2＝ｒ2
因为点（10,0）和（0,4）在圆上。于是得方程组
0 2 ＋4－ｂ2＝ｒ2
2）由于圆的方程含有a、b、r三个参数，因此必须具备 三个独立的条件才能确定一个圆，可用待定系数法求得。
3）可用圆的方程解决一些实际问题。
作业
习题7.7第1（2）、第2（2）、第4题。
例1
解：已知圆心是C（1,3），那么再求出圆的半径ｒ， 就能写出圆的方程。
因为圆C和直线3X－4Y－7＝0相切，所以半径ｒ等于 圆心C到这条直线的距离，根据点到直线的的距离公式，
X
1）写出过圆x2+y2=13上一点M（2，3）的 切线的方程。
2)已知圆x2+y2=3,求过点（-3，0）的圆的切 线方程。
小结
1）圆心为C（a，b），半径为r的圆的标准方程是
x a2 y b2 r 2；当圆心在原点时，a=0，b=0，那么圆的
方程就是x2+y2=r2。
（x+3)2+(y+4)2=1
2）方程（x-1）2+（y+4）2 = 25 表示 的圆的圆心和半 径是？
圆心：（1，-4），半径：5
3) 圆x a2 y b2 r 的圆心和半径分别是什么？
（-a，-b）
r
例1：求以C（1，3）为圆心，并且和直 线3x-4y-7=0 相切的圆的方程。解
解得 ａ＝2，ｒ2＝10 所以这个圆的方程是

北师大版必修2高中数学第二章解析几何初步2圆与圆的方程第2课时圆的一般方程课件课件

北师大版必修2高中数学第二章解析几何初步2圆与圆的方程第2课时圆的一般方程课件课件

．
(3)当D2＋E2－4F＜0时，方程 不表示任何图形 ．
[问题思考]
1．方程x2＋y2＋2x－2y＋3＝0是圆的一般方程吗？为什么？
提示：此方程不表示圆的一般方程． ∵D2＋E2－4F＝22＋(－2)2－4×3＝－4＜0. ∴此方程不表示任何图形．
2．方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时需要具备什么 条件？ 提示：需同时具备三个条件：①A＝C≠0；②B＝0； ③D2＋E2－4AF>0.
讲一讲 2.已知△ABC三个顶点的坐标为A(1,3)，B(－1，－1)， C(－3,5)，求这个三角形外接圆的方程．
待定系数法是求圆的一般方程的常用方法，先设出圆的一般方 程，再根据条件列出方程组求出未知数D，E，F，当已知条件 与圆心和半径都无关时，一般采用设圆的一般方程的方法．
练一练 2．求过点A(2，－2)，B(5,3)，C(3，－1)的圆的方程．
2．方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0表示圆，则m的范围是( ) A．0＜m＜1 B．m＞1 C．m＜0 D．m＜1
解析：方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0表示圆， 须42＋(－2)2－4×5m＞0，即m＜1. 答案：D
3．如果过A(2,1)的直线l将圆x2＋y2－2x－4y＝0平分，则l的 方程为( ) A．x＋y－3＝0 B．x＋2y－4＝0 C．x－y－1＝0 D．x－2y＝0
第2课时 圆的一般方程
[核心必知]
1．圆的一般方程的定义 当 D2＋E2－4F＞0时，称二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝ 0为圆的一般方程．
2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形
(1)当D2＋E2－4F＞0时，方程表示以
为圆心，
以

2018-2019数学北师大版必修2课件：第二章2.2圆的一般方程 (35张)

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，
半
径
等
于
1 2
D2＋E2－4F ， 依 题 意 得
－D＋3E＋F＝－10，
－D2＋2×E2＝0，
D＝－4， 解得E＝－2，或
1 2
D2＋E2－4F＝
13，
F＝－8，
D＝152， E＝65， F＝556.
于是圆的方程是 x2＋y2－4x－2y－8＝0 或 x2＋y2＋152x＋65y－
第二章 解析几何初步
2．2 圆的一般方程
1．问题导航 (1)当 m 为何值时，方程 x2＋y2＋mxy－2x＝0 表示圆？ (2)任何圆的方程都可以写成二元二次方程的形成吗？ (3)如何选择圆的方程形式？
2．例题导读 P80例4.通过本例学习，学会利用待定系数法求圆的一般方程 的方法,解答本例时要注意，利用待定系数法求圆的方程时， 如何选择圆的方程形式要视题目中所给条件而定．
集合 P＝M|MA|＝12|MB|.
由两点距离公式，点 M 适合的条件可表示为 （x－2）2＋y2
＝12 （x－8）2＋y2，平方后再整理，得 x2＋y2＝16.可以验证， 这就是动点 M 的轨迹方程．
②设动点 N 的坐标为(x，y)，M 的坐标是(x1，y1)．由于 A(2， 0)，且 N 为线段 AM 的中点，所以 x＝2＋2x1，y＝0＋2 y1，所以 有 x1＝2x－2，y1＝2y，(Ⅰ) 由①知，M 是圆 x2＋y2＝16 上的点，所以点 M 坐标(x1，y1) 满足：x21＋y21＝16，(Ⅱ) 将(Ⅰ)代入(Ⅱ)整理，得(x－1)2＋y2＝4.
556＝0.
[方法归纳] 1．用待定系数法求圆的方程的步骤 (1)根据题意选择圆的方程的形式——标准方程或一般方程． (2)根据条件列出关于a，b，r(或D，E，F)的方程组． (3)解出a，b，r(或D，E，F)，代入标准方程(或一般方程)． 2．对圆的一般方程和标准方程的选择 (1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的 坐标或半径来列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用 待定系数法求出a，b，r. (2)如果已知条件和圆心或半径都无直接关系，一般采用圆的 一般方程，再利用待定系数法求出常数D，E，F.

高中数学 第二章 解析几何初步 2.2 圆与圆的方程 2.2.1 圆的标准方程课件 北师大版必修2

高中数学 第二章 解析几何初步 2.2 圆与圆的方程 2.2.1 圆的标准方程课件 北师大版必修2
2.圆的标准方程
(1)圆的定义:到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆,定点叫
作圆的圆心,定长称为圆的半径.
(2)方程:圆心为C(a,b),半径为r的圆的标准方程是(x-a)2+(y-b)2=r2.
(3)当圆心在坐标原点时,有a=b=0,那么圆的方程为x2+y2=r2.
【做一做1】 圆C:(x-2)2+(y+1)2=3的圆心坐标是 (
∵AC⊥BC,∴k AC·kBC=-1,


而 kAC= ,kBC= ,
+2
-4


∴+2 · =-1,
-4
整理得(x-1)2+y2=9.
∴顶点 C 的轨迹是以(1,0)为圆心,3 为半径的圆.


错因分析:由
· =-1,得(x-1)2+y2=9,只有在 x+2≠0,x-4≠0 及
+2 -4
A.(x- 2)2 +(y-2)2 =3
B.(x+ 2)2 +(y+2)2 =3
C.(x- 2)2 +(y-2)2 = 3
D.(x+ 2)2 +(y+2)2 = 3
答案:B
3
)
4
5
1
2
3
4
5
2.若某圆的标准方程为(x-1)2 +(y+5)2 =3,则此圆的圆心和半径分别为
§2
圆与圆的方程
2 .1
圆的标准方程
1.掌握圆的标准方程,能根据圆心坐标和圆的半径写出圆的标准
方程.
2.能根据圆的标准方程求出圆心坐标和半径,并运用圆的标准方
程解决简单问题.

高中数学北师大版必修2课件：第二章解析几何初步2-2-2圆的一般方程课件

高中数学北师大版必修2课件：第二章解析几何初步2-2-2圆的一般方程课件
设
1.根据题意，选择标准方程或一般方程；
列
2.根据条件列出关于a,b,r或D，E，F的方程组；
解
3.解出a,b,r或D，E，F，代入标准方程或一般方程.
典型例题
例2 过点M(-1,1)且圆心与已知圆C：x2+y2-4x+6y-3=0 相同的圆的方程
解法一:将已知圆的方程化为标准方程
(x-2)2+(y+3)2=16, 圆心C的坐标为(2,-3),半径为4, 故所求圆的半径为
新课探究，总结规律
方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的条件：
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
x
+
D 2
2
+
y
+
E 2
2
=
D2
+
E2 4
-
4F
（1）当 D2 + E2 - 4F 0 时，表示圆，
圆心
-
D 2
,
-
E 2
（2）当 D2 + E2 - 4F
r = D2 + E2 - 4F 2
则设标准方程.
解法一
解：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 其中 D，E，F 待定．
由题意得
DF
= +
0 E
+
F
+
2
=
0
三元一次 方程组
4D + 2E + F + 20 = 0
解得：D＝－8，E＝6，F＝0．
于是所求圆的方程为x2＋y2－8 x＋6 y＝0． 将这个方程配方，得 (x－4)2＋(y＋3)2＝25． 因此所求圆的圆心坐标是（4，－3），

2018-2019数学北师大版必修2课件：第二章2.2圆的一般方程 (35张)

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标为____D_2_＋__2E_2_－__4_F__，半径长等于___(_－__D2_，__－__E2_)______．
上述方程称为圆的一般方程．
2．圆的一般方程与二元二次方程的关系 比较二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0和圆的一 般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，可以得出二元二次方程具有 下列条件： (1)x2和y2的系数相同，且不等于0，即A＝C≠0； (2)没有xy项，即____B_＝__0_____； (3)__D_2_＋__E_2_－__4_A_F__>_0____时，它才表示圆．
－∞，15.
②将方程 x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0 化为标准方程为(x＋ m)2＋(y－1)2＝1－5m，故圆心坐标为(－m，1)，半径 r＝
1－5m.
待定系数法求圆的一般方程
求圆心在y＝－x上且过两点(2，0)，(0，－4)的圆的一
般方程，并把它化成标准方程．
[解] 设圆的一般方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－
第二章 解析几何初步
2．2 圆的一般方程
1．问题导航 (1)当 m 为何值时，方程 x2＋y2＋mxy－2x＝0 表示圆？ (2)任何圆的方程都可以写成二元二次方程的形成吗？ (3)如何选择圆的方程形式？
2．例题导读 P80例4.通过本例学习，学会利用待定系数法求圆的一般方程 的方法,解答本例时要注意，利用待定系数法求圆的方程时， 如何选择圆的方程形式要视题目中所给条件而定．
[方法归纳] (1)坐标系建立的方式不同，得到的轨迹方程一般也不同，本 题中，若 A 是坐标原点，则方程为(x＋2a)2＋y2＝4m2(y≠0)． (2)求轨迹方程时，要注意动点的限制条件，本题的限制条件 是 A，B，C 构成三角形，即 A，B，C 三点不能共线．

高中数学第二章解析几何初步22圆与圆的方程222圆的一般方程课件北师大版必修2(2)


(2)运用圆的一般方程的判断方法求解.即通过判断 D2+E2-4F是否为正，确定它是否表示圆. 提醒：在利用D2+E2-4F>0来判断二元二次方程是否表 示圆时，务必注意x2及y2的系数都为1.
【跟踪训练】 若使圆x2+y2+2x+ay-a-12=0(a为实数)的面积最小， 则a=_________.
【对点训练】
1.方程x2+y2-6y+1=0所表示的圆的圆心坐标和半径分
别为 ( )
A.(3，0)，8
B.(0，-3)，8
C.(0，3)，2 2
D.(3，0)，2 2
【解析】选C.因为x2+y2-6y+1=0，可化为x2+(y-3)2 =8，所以圆心为(0，3)，半径为2 2 .
2.方程x2+y2+4x-2y+5m=0表示圆，则m的取值范围是
【跟踪训练】
若方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以(2，-4)为圆心，4为
半径的圆，则D，E，F的值分别为 ( )
A.4，8，-4
B.-4，8，4
C.8，-4，16
D.4，-8，16
【解析】选B.由已知，圆的标准方程为(x-2)2 +(y+4)2=16， 展开得一般方程x2+y2-4x+8y+4=0， 比较系数知，D，E，F分别为-4，8，4，故选B.
(-2，-4)，半径为5；当a=2时，方程为
4x2+4y2+4x+8y+10=0(x ，即1)2y12不5表示圆.
2
4
答案：(-2，-4) 5
【方法总结】方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的两种判 断方法 (1)配方法.对形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程 可以通过配方变形成“标准”形式后，观察是否表示 圆.

高中数学第二章解析几何初步22圆与圆的方程221圆的标准方程课件北师大版必修2(2)


2
2
所以圆的标准方程为(x+2)2+(y-3 圆的位置关系 【典例2】已知两点P1(3，8)和P2(5，4)，求以线段 P1P2为直径的圆的方程，并判断点M(5，3)， N(3，4)，P(3，5)是在此圆上，在圆内，还是在圆外？
【解题指南】求出圆的标准方程，将点M，N，P的 坐标代入方程左侧与r2相比较判断.
【拓展】圆心在坐标轴上或过原点或与坐标轴相切的 圆的方程的形式 (1)以原点为圆心，r为半径的圆的标准方程： x2+y2=r2. (2)圆心在x轴上，半径为r的圆的标准方程： (x-a)2+y2=r2.
(3)圆心在y轴上，半径为r的圆的标准方程： x2+(y-b)2=r2. (4)圆心在x轴上，且过原点的圆的标准方程： (x-a)2+y2=a2(a≠0). (5)圆心在y轴上，且过原点的圆的标准方程： x2+(y-b)2=b2(b≠0).
【对点训练】 1.圆心为(-2，1)，半径为 2 的圆的标准方程为
() A.(x+2)2+(y+1)2= 2 B.(x+2)2+(y-1)2= 2 C.(x+2)2+(y+1)2=2 D.(x+2)2+(y-1)2=2
【解析】选D.圆心为(-2，1)，排除A，C，半径 为 2 ，故选D.
2.若一圆的标准方程为(x-1)2+(y+5)2=3，则此圆的
(2)圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径为r的圆的 标准方程是_(_x_-_a_)_2_+_(_y_-_b_)_2=_r_2_. 当a=b=0时，方程为x2+y2=r2，表示以_(_0_，__0_)_为圆心， r为半径的圆.

北师大版高中数学必修2第二章解析几何初步第二节《圆与圆的方程》ppt课件


O
X
1）写出过圆x2+y2=13上一点M（2，3）的
切线的方程。
2)已知圆x2+y2=3,求过点（-3，0）的圆的切 线方程。
小结
1）圆心为C（a，b），半径为r的圆的标准方程是 ；当圆心在原点时，a=0，b=0，那么圆的 方程就是x2+y2=r2。
x a2 y b2 r 2
试一试 ： 1)已知一个圆的圆心在原点， 并且与直线4x+3y-70=0相切，求圆的方程。
例2 1） :已知圆心在Y轴上,且过点（10，0） 和（0，4）的圆的方程. 解
练习： 过点C(-1，1)和D（1，3），圆
心在X轴上，求圆的方程。解
某圆拱桥的一孔圆拱，其跨度为20m，高度为4m，在 建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱的长度。
2 －1－ａ 2 ＋12＝ｒ 2 2 1－ａ ＋3 2＝ｒ
解得
ａ＝2，ｒ2＝10
2 2 ＋ｙ＝ ｘ－ 10 2
所以这个圆的方程是
例2； 2） 如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱的 跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱 支撑，求支柱A2P2的长度（精确到0.01m） y P2 P
A
A1 A2
O
A3 A4 Y
M
B
x
例3：已知圆的方程是x2+y2=r2，求 经过圆上一点M（xo，yo）的切线 的方程.
（x+3)2+(y+4)2=1
2）方程（x-1）2+（y+4）2 = 25 表示 的圆的圆心和半 径是？
圆心：（1，-4），半径：5
2 2 3) 圆x a y b r 的圆心和半径分别是什么？

北师大版高中数学必修二第2章解析几何初步2.2.2圆的一般方程课件


-3-
2.2
圆的一般方程
M 目标导航 Z 知识梳理 D典例透析 S随堂演练
UBIAODAOHANG HISHI SHULI IANLI TOUXI
UITANGYANLIAN
【做一做1】 下列方程能否表示圆?若能,求出圆心坐标和半径, 并画出图形. (1)2x2+y2-7x+5=0; (2)x2-xy+y2+6x+7y=0; (3)x2+y2-2x-4y+10=0; (4)2x2+2y2-4x=0. 解:根据二元二次方程表示圆的条件判断. (1)不能表示圆,因为方程中x2,y2项的系数不相同. (2)不能表示圆,因为方程中含有xy这样的二次项. (3)不能表示圆,因为(-2)2+(-4)2-4×10=-20<0. (4)能表示圆,方程可化为x2+y2-2x=0,配方得(x-1)2+y2=1,圆心为 (1,0),半径r=1,如图所示.
UITANGYANLIAN
【变式训练1】 将下列圆的方程化为标准方程,并写出圆心坐标 和半径: (1)2x2+2y2+4ax-2=0; 1 (2)x2+y2-2x+y+ =0.
4
解 :(1)将 2x2+2y2+4ax-2= 0 两边同除以 2,得 x2+y2+2ax-1=0, 配方 ,得(x+a)2+y2=1+a2. 故圆心坐标为(-a,0),半径为 1 + ������2 .
-4-
2.2
圆的一般方程
M 目标导航 Z 知识梳理 D典例透析 S随堂演练
UBIAODAOHANG HISHI SHULI IANLI TOUXI
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所以这个圆的方程是 ｘ 2 ＋ ｙ 1.＋ 5 0 2＝ 1.5 4 2
12
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的， 所以不要放弃，坚持就是正确的。
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱 支撑，求支柱A2P2的长度（精确到0.01my ）
P2 P
A
A1 A2 O A3Y A4 Bx
例3：已知圆的方程是x2+y2=r2，求
M
经过圆上一点M（xo，yo）的切线
的方程.
O
X
6
1）写出过圆x2+y2=13上一点M（2，3）的 切线的方程。
13
谢谢大家
荣幸这一路，与你同行
It'S An e Way
演讲人：XXXXXX
时 间：XX年XX月XX日
14
2)已知圆x2+y2=3,求过点（-3，0）的圆的切 线方程。
小结
1）圆心为C（a，b），半径为r的圆的标准方程是
xa2yb2r2；当圆心在原点时，a=0，b=0，那么圆的
方程就是x2+y2=r2。
2）由于圆的方程含有a、b、r三个参数，因此必须具备 三个独立的条件才能确定一个圆，可用待定系数法求得。
课题：圆的标准方程
Y
O
X
求曲线方程的主要步骤：
1）建立适当的坐标系,设M（x，y）是曲线上任意一点； 2）用坐标表示点M所适合的条件，列出方程f（x，y）=0； 3）化方程f（x，y）=0为最简形式 4）查缺补漏。
问题： 怎样给出一个圆，又怎样求它的方程？
想一想：
1）圆心在点C（- 3，- 4），半径是1的圆的方程是？
并且与直线4x+3y-70=0相切，求圆的方程。
例2 1） :已知圆心在Y轴上,且过点（10，0） 和（0，4）的圆的方程. 解
练习：过点C(-1，1)和D（1，3），圆
心在X轴上，求圆的方程。解
某圆拱桥的一孔圆拱，其跨度为20m，高度为4m，在 建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱的长度。
例2； 2） 如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱的
因此圆的方程是
3ｘ 2＋ 1－ － ＋ 4ｙ 2 3－ ＝255
2
2 256
11
解： 因为圆心在ｙ轴上，圆心的坐标是（0，ｂ），圆的半径是 ｒ，那么圆的方程是
ｘ2＋（ｙ－ｂ）2＝ｒ2 因为点（10,0）和（0,4）在圆上。于是得方程组
02＋4－ｂ2＝ｒ2 102＋0－ｂ2＝ｒ2
解得 ｂ＝－10.5，ｒ2＝14.52
3）可用圆的方程解决一些实际问题。
作业
习题7.7第1（2）、第2（2）、第4题。
9
10
例1
解：已知圆心是C（1,3），那么再求出圆的半径ｒ， 就能写出圆的方程。
因为圆C和直线3X－4Y－7＝0相切，所以半径ｒ等于 圆心C到这条直线的距离，根据点到直线的的距离公式，
得 ｒ＝31－43－7 ＝16
（x+3)2+(y+4)2=1
2）方程（x-1）2+（y+4）2 = 25 表示 的圆的圆心和半 径是？
圆心：（1，-4），半径：5
3) 圆xa2yb2r的圆心和半径分别是什么？
（-a，-b）
r
例1：求以C（1，3）为圆心，并且和直 线3x-4y-7=0 相切的圆的方程。解
试一试：1)已知一个圆的圆心在原点，