高中数学必修二3球(ppt)

此方程表示以(1，－2)为圆心，2为半径长的圆．
问题2：方程x2＋y2＋2x－2y＋2＝0表示什么图形？
提示：对方程x2＋y2＋2x－2y＋2＝0配方得
(x＋1)2＋(y－1)2＝0，即x＝－1且y＝1. 此方程表示一个点(－1,1)． 问题3：方程x2＋y2－2x－4y＋6＝0表示什么图形？ 提示：对方程x2＋y2－2x－4y＋6＝0配方得 (x－1)2＋(y－2)2＝－1. 由于不存在点的坐标(x，y)满足这个方程，所以这 个方程不表示任何图形．
3．若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求 (1)实数m的取值范围； (2)圆心坐标和半径．
解：(1)根据题意知D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－ 1 4(m ＋5m)>0，即4m ＋4－4m －20m>0，解得m<5，
2 2 2
1 故m的取值范围为(－∞，5)．
(2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准 方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m， 故圆心坐标为(－m,1)，半径r＝ 1－5m.
第 二 章 解 析 几 何 初 步
§2 圆 与 圆 的 方 程
2.2
圆 的 一 般 方 程
理解教材新知
把 握 热 点 考 向
考点一 考点二 考点三
应用创新演练
把圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2展开得，x2＋y2 －2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，这是一个二元二次方程的形 式，那么，是否一个二元二次方程都表示一个圆呢？ 问题1：方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0表示什么图形？ 提示：对x2＋y2－2x＋4y＋1＝0配方得 (x－1)2＋(y＋2)2＝4.
1．若x2＋y2－x＋y－m＝0表示一个圆的方程，则m的取值 范围是 1 A．m>－2 1 C．m<－2 1 B．m≥－2 D．m>－2 ( )

球外接于正方体
两个几何体相接:一个几何体的所有顶点都在 另一个几何体的表面上。
例题讲解
例4：已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距 离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的 体积，表面积．
解：如图，设球O半径为R， 截面⊙O′的半径为r，
O
OO R , ABC是正三角形，
圆柱 S 2r(r l) r r
圆台 S (r2 r 2 rl rl)
r 0 圆锥 S r(r l)
各面面积之和
复习旧知
柱体、锥体、台体的体积
柱体 V Sh
S S'
台体V 1 (S SS S)h
3
S' 0
锥体 V 1 Sh
①V 4 R3
3
②S 4R2
练习二
课堂练习
1.若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的__2_倍.
2.若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的__4_倍.
3.若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是__1_: 2___2.
4.若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是__1_:_3__4.
课堂小结
了解球的体积、表面积推导的基本思路： 分割→求近似和→化为标准和的方法，是 一种重要的数学思想方法—极限思想，它 是今后要学习的微积分部分“定积分”内 容的一个应用； 熟练掌握球的体积、表面积公式：
一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的 冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢满杯子吗？
解：由图可知，半球的半径为4
半球的体积为 4 π43= 256 π
3
3
圆锥的体积为 1 πR2×12= 192 π
3
3

(3)若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是 1: 2 2 .
(4)若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是 1: 3 4 .
2、若一个圆锥的底面半径和一个半球的半径相等，体积也相等，则它们的高度之比为（ A ）
（A）2:1 (B) 2:3 (C) 2:
(D) 2:5
随堂练习
立体图形的内切和外接问题 例4：求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比。
初态温度T1＝(273＋27) K＝300 K
由 p1V1 p2V2
T1
T2
V2 =
p1T2 p2T1
V1
6.25 m3
课堂训练
3.如图所示，粗细均匀一端封闭一端开口的U形玻
璃管，当t1＝31 ℃，大气压强p0＝76 cmHg时，
两管水银面相平，这时左管被封闭的气柱长L1＝8
10.9150 1635(朵)
答：装饰这个花柱大约需要1635朵鲜花．
新知探究
例3、如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证：
（1）球的体积等于圆柱体积的 2 ； 3
（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.
RO
随堂练习
(1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的 2 倍.
(2)若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的 4 倍.
3、从微观上说：分子间以及分子和器壁间，除碰撞外无其他作用力，分子本身没有体积，即它 所占据的空间认为都是可以被压缩的空间。
4、从能量上说：理想气体的微观本质是忽略了分子力，没有分子势能，理想气体的内能只有分 子动能。
一、理想气体
一定质量的理想气体的内能仅由温度决定 ,与气体的体积无关.
例1.（多选）关于理想气体的性质，下列说法中正确的是( ABC )

俯视 左视
主视图
对
左视图 错
主视
俯视图
错
D1
C1 B1 A 1
D1
C1 B1
A 1
D A
左视
C
B
D A B
C
正方体
D1
A 1
B1
A
左视图
D1
C1 B1 A 1
D1
C1 B1 1
A 1
D A
左视
C
B A
D B
C
正方体
左视图
D1
C1 B1 A 1
D1
C1 B1
A 1
D A
左视
C
B A
D B
C
正方体
教材：普通高中课程标准实验教科书（北师大版）（必修2）
授课教师：玉山一中
吴移东
汽车设计图纸
主视图
知识
回顾
左 视 图
俯视图
知识
三视图之间的投影规律
主 视 图 左 视 图 主 视 图 反 映 了 物 体 的 高 度 和 长 度 左 视 图 反 映 了 物 体 的 高 度 和 宽 度
回顾
俯 视 图 反 映 了 物 体 的 长 度 和 宽 度
组合体的生成方式
（1）将基本几何体拼接成的组合体 （2）从基本几何体中切掉 或挖掉部分构成组合体
教材：普通高中课程标准实验教科书（北师大版）（必修2）
例2 画出这个组合体的三视图.
主视
例3 请画出立白洗洁精塑料 瓶的视图
主视图
左视图
俯视图
某同学画下图物体的三视图，对吗？若 有错，请指出并改正。
左视图
挑战自我
下图是一个工业轴承架的模 型，画出它的三视图（通孔）

答：装饰这个花柱大约需要1635朵鲜花．
随堂练习
(1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的 2 倍.
(2)若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的 (4)若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是 1 :
4 倍.
4.
(3)若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是 1 : 2 2 .
高中数学பைடு நூலகம்1.3.2《球的表 面积和体积》课件（新人 教A版必修2）
1.3.2球的表面积和体积
球
人类的家－－地球
人类未来的家－－火星
探索火星的航天飞船
实际问题
如果用油漆去涂一个乒乓球和一个篮球，且 涂的油漆厚度相同，问哪一个球所用的油漆多？ 为什么？
实际问题
一个充满空气的足球和一个充满空气的篮球， 球内的气压相同，若忽略球内部材料的厚度，则 哪一个球充入的气体较多？为什么？
3
影响球的表面积及体积的只有一个元素， 就是球的半径.
知识小结 1.球的体积和表面积的推导方法： 分割 求近似和
化为准确和
2.影响球的表面积及体积的只有一个元 素，就是球的半径.
球的体积 已知球的半径为R,用V表示球的体积.
A A
r3
B2
O
O
C2
r2
r1
r1
2R 2 R 2 2 R R, r2 R ( ) , r3 R ( ) . n n
2
2
球的体积 A
ri
O
R ( i 1) n
R
O
第i层“小圆片”下底面的 半径：
ri R R [ ( i 1)]2 , i 1,2 , n. n
提出问题

3
答案：288πcm3
5.(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知正四棱锥O-ABCD的体积为
底3面2边，长为，则以O为3 球心，OA为半径的球的表面积为
2
_______.
【解析】设正四棱锥的高为h，则 1
3
2
h
3
2，
3
2
解得高h=则3 底2 .面正方形的对角线长为
2
2 3 6，
所以OA=所(3以2球)2的 (表6面)2积为6,
(3)此类问题的具体解题流程：
【变式训练】正方体的内切球和外接球的半径之比为()
A.∶31B.∶2C.2∶3 D.∶3
3
3
【解析】选D.设正方体的棱长为a,则内切球半径为 a ,
2
外接球半径为所以3a 半, 径之比为1∶=∶3. 3 3
2
【规范解答】有关球的计算问题 【典例】【条件分析】
【规范解答】设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，
3
3
答案：(1)√(2)√(3)×(4)√
【知识点拨】 1.对球的三点说明 (1)球的表面是曲面,不能展开在一个平面上,因此没有展开图. (2)球既是中心对称的几何体,又是轴对称的几何体,它的任何 截面均为圆面,它的三视图也都是圆. (3)球是一个封闭的几何体,既包括球的表面,又包括球面所包 围的空间.
【解题探究】1.求球的体积和表面积的关键是什么？ 2.两个球的体积之比和表面积之比分别与半径有何关系？ 3.两个铁球熔化为一个球后,哪一个量是不变的？ 探究提示： 1.关键是确定球的半径. 2.两个球的体积之比等于两个球的半径比的立方,表面积之比 等于两个球的半径比的平方. 3.体积不变，即两个小球的体积和应与大球的体积相同.

答案
返回
题型探究
重点难点 个个击破
类型一 旋转体的结构特征 例1 判断下列各命题是否正确： (1)圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线； 解 错． 由圆柱母线的定义知，圆柱的母线应平行于轴．
解析答案
(2)一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几 何体是圆台； 解 错． 直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与 一个圆锥组成的简单组合体，如图所示．
答案
球的结构特征
球
图形及表示
定义：以 半圆的直径 所在直线为旋转轴， 半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体， 简称球
相关概念： 球心：半圆的 圆心 半径：半圆的 半径 直径：半圆的 直径
图中的球表示为： 球O
答案
知识点五 简单组合体
思考 下图中的两个空间几何体是柱、锥、台、球体中的一种吗？ 它们是如何构成的？
课
时
上看是由八个圆柱组合成的一个组合体，我们周围的很多建筑物
栏 目
和它一样，也都是由一些简单几何体组合而成的组合体．本节我
开 关
们就来学习旋转体与简单组合体的结构特征．
填一填 研一研 练一练
研一研·问题探究、课堂更高效
探究点一 圆柱的结构特征
问题 1 如图所示的空间几何体叫做圆柱，那么圆
柱是怎样形成的呢？与圆柱有关的几个概念是
为旋转轴，将直角梯形绕旋转轴旋转一周而形成的旋转
体叫做圆台
相关概念：
圆台的轴： 旋转轴
圆台的底面： 垂直于轴 的边旋转一周所形成的圆面
圆台的侧面： 不垂直于轴 的边旋转一周所形成的曲面 图中圆台表示为：
母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边

解析答案
反思与感悟
解 (1)∵这个几何体的所有面中没有两个互相平行的面，∴这个几何体不是棱柱. (2)在四边形ABB1A1中，在AA1上取E点，使AE＝2；在BB1上取F点，使BF＝2；连接C1E、EF、C1F，则过C1、E、F的截面将几何体分成两部分，其中一部分是棱柱ABC—EFC1，其侧棱长为2；截去部分是一个四棱锥C1—EA1B1F，该几何体的特征为：有一个面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形.
①③
1.在理解的基础上，要牢记棱柱、棱锥、棱台的定义，能够根据定义判断几何体的形状.2.各种棱柱之间的关系(1)棱柱的分类
棱柱
(2)常见的几种四棱柱之间的转化关系
3.棱柱、棱锥、棱台在结构上既有区别又有联系，具体见下表：
名称
底面
侧面
侧棱
高
平行于底面的截面
棱柱
斜棱柱
平行且全等的两个多边形
平行四边形
第一 章 § 1.1 空间几何体的结构
第1课时 多面体的结构特征
1.认识组成我们的生活世界的各种各样的多面体；2.认识和把握棱柱、棱锥、棱台的几何结构特征；3.了解多面体可按哪些不同的标准分类，可以分成哪些类别．
问题导学
题型探究
达标检测
学习目标
问题导学 新知探究 点点落实
如图棱柱可记作：棱柱
相关概念：底面(底)：两个互相 的面侧面： 侧棱：相邻侧面的顶点： 的公共顶点
互相平行
四边形
互相平行
平行
其余各面
公共边
侧面与底面
ABCDEF—
A′B′C′D′E′F′
答案
分类：①依据：底面多边形的 ②类例： (底面是三角形)、 (底面是四边形)……

(1)三棱柱有 6 个顶点，三棱锥有 4 个顶点；
(2)圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的
母线；
本 课
(3)一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几
时 栏
何体是圆台；
目
(4)圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角
开 关
做圆柱侧面的母线．圆柱用表示它的轴的字母表示，如下图中的圆
柱表示为圆柱 O′O.
研一研·问题探究、课堂更高效
问题 2 如图，平行于圆柱底面的截面，经过圆柱任意两条母线的截 面分别是什么图形？
本
课
时
栏 目
答 分别是圆面、矩形．
开
关
研一研·问题探究、课堂更高效
探究点二 圆锥的结构特征 问题 1 类比圆柱的定义，结合下图你能给圆锥下个定义吗？
5．简单组合体
(1)概念：由 简单几何体 组合而成的几何体叫做简单组
合体．常见的简单组合体大多是由具有柱、锥、台、球等
本
课
几何结构特征的物体组成的．
时
栏
(2)基本形式：一种是由简单几何体 拼接 而成，另一种是
目
开
由简单几何体 截去 或 挖去 一部分而成.
关
研一研·问题探究、课堂更高效
[问题情境]
本
举世闻名的比萨斜塔是意大利的一个著名景点．它的构造从外形
课 时
上看是由八个圆柱组合成的一个组合体，我们周围的很多建筑物
栏 目
和它一样，也都是由一些简单几何体组合而成的组合体．本节我
开
们就来学习旋转体与简单组合体的结构特征．
关
研一研·问题探究、课堂更高效
探究点一 圆柱的结构特征

2.如图所示的图形中有( ) A.圆柱、圆锥、圆台和球 B.圆柱、球和圆锥 C.球、圆柱和圆台 D.棱柱、棱锥、圆锥和球 B [根据题中图形可知，(1)是球，(2)是圆柱，(3)是圆锥，(4)不 是圆台，故应选 B.]
NO.2
合作探究·释疑难
类型1 类型2 类型3
类型 1 旋转体的结构特征 【例 1】 下列命题正确的是________(只填序号). ①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是 圆锥； ②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆 台；
知识点 1 球、圆柱、圆锥和圆台
球
圆柱、圆锥和圆台
以 半 圆 的 直 径 所 在 的 直 分别以矩形的一边 OO1、直角三角形 线为旋转轴，将半__圆__旋转 的一条直角边 SO、直角梯形垂直于底
定义 一周所形成的曲面称为 边的腰 OO1 所在的直线为旋转轴，其 球面．球面所围成的几何 余各边旋转一周而形成的面所围成的
§1 基本立体图形 1.3 简单旋转体——球、圆柱、圆
锥和圆台
学习任务
核心素养
1．理解旋转体——球、圆柱、圆 1．通过对旋转体结构特征的学习，
锥、圆台的结构特征．(重点) 培养学生直观想象素养．
2．能运用球、圆柱、圆锥、圆台 2．借助于旋转体侧面展开图的相
的结构特征来判断、描述现实生活 关计算，培养学生数学运算素养．
简单旋转体判断问题的解题策略 (1)准确掌握圆柱、圆锥、圆台和球的生成过程及其特征性质是解 决此类概念问题的关键． (2)解题时要注意两个明确： ①明确由哪个平面图形旋转而成； ②明确旋转轴是哪条直线．
[跟进训练] 1．下列结论正确的是( ) A.用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台 B.经过球面上不同的两点只能作一个最大的圆 C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是正六 棱锥 D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线

A.64
64
B.
3
C.32
).
32
D.
3
答案：D.
解：设球的半径为，则由题意可知42 = 16，故 = 2.
4
3
所以球的体积 = 3 =
32
.故选D.
3
练习
例1.(2)已知球的体积为
500
，则它的表面积为_____.
3
答案：100.
4
解：设球的半径为，由已知得 3
如图所示.在∆1 中，1 = 5 ，1 = 2 ，
∴球的半径 = =
4
3
22 + ( 5)2 = 3()，
∴球的体积 = × 33 = 36(3 ).故选B.
练习
例2.(2)已知一个球内有相距9 的两个平行截面，它们的面积分别为49 2 和
性质知1 //2 ，且1 ，2 为两截面圆的圆心，则1 ⊥ 1 ，
2 ⊥ 2 .设球的半径为，
∵ ∙ 2 2 = 49，∴2 = 7 .同理，得1 = 20 .
设1 = ，则2 = (9−) .
在∆1 中，2 = 2 + 400.在∆2 中，2 = (9−)2 +49，
2
=
3
，
3
=
1
，所以球的半径
2
3
1
7 2
2
2
) +( ) = ，故球
3
2
12
=
42
=
= 满足
7
2 .故选B.
3
练习
例3.(2)球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该
圆锥的体积和此球体积的比值为________.

跟踪训练 1 圆柱形容器的内壁底面半径为 5 cm，两个直径为 5 cm 的玻璃小球都浸没于容器的水中，若取出这两个小球，则容器的水 面将下降多少？
解析：设取出小球后，容器中水面下降 h cm，两个小球的体积为 V 球 ＝2×43π×523＝1235π，此体积即等于它们在容器中排出水的体积 V＝ π×52×h，
要点三 球的体积和表面积公式 V 球＝___34_π_R_3__，S 球面＝___4_π_R_2__.
状元随笔 两个结论
(1)两个球的体积之比等于这两个球的半径之比的立方． (2)两个球的表面积之比等于这两个球的半径之比的平方．
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)用一个平面去截球所得截面都是圆．( √ ) (2)正方体的内切球的直径与正方体的棱长相等．( √ ) (3)正方体的外接球的直径与正方体的棱长相等．( × ) (4)球面展开一定是平面的圆面．( × )
解析：(1)将棱长为 2 的正方体木块削成一个体积最大的球时，球的 直径等于正方体的棱长 2，则球的半径 R＝1.
∴V 球＝34πR3＝43π. 答案： A
(2)一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱 的长分别为 1,2,3，则此球的表面积为________．
解析：长方体外接球如图，长方体的体对角面是矩形，该矩形的对角线 就是球的直径，此对角线也是长方体的体对角线，长方体的体对角线长为
状元随笔 (1)解决有关球的问题的关键是确定球心的位置和球
的半径，一般作出球的一个大圆来处理问题． (2)大圆半径等于球的半径 R，大圆面积 S＝πR2，是球的表面积的
1 4.
(3)利用球的半径、截面的半径、球心与截面圆心的连线构建直角 三角形是把空间问题转化为平面问题的主要途径．

【变式训练 2】 某几何体的三视图如图 3 所示，它的体积为________．
A．72π
B．48π
图3 C．30π D．24π
解析：该几何体是圆锥和半球体的组合体，则它的体积 V＝V 圆锥＋V 半球体＝13π×32 ×4＋12×43π×33＝30π.
答案：30π
导悟 3 几何体的外接球
【例 3】 (1)若棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为
解：①当截面在球心的同侧时，如图 1 所示为球的轴截面，由球的截面性质知， AO1∥BO2，且 O1、O2 分别为两截面圆的圆心，则 OO1⊥AO1，OO2⊥BO2，设球的半 径为 R.
图1 ∵π·O2B2＝49π， ∴O2B＝7.
∵π·O1A2＝400π， ∴O1A＝20. 设 OO1＝x，则 OO2＝x＋9. 在 Rt△OO1A 中，R2＝x2＋202， 在 Rt△OO2B 中，R2＝(x＋9)2＋72， ∴x2＋202＝72＋(x＋9)2， 解得 x＝15，∴R2＝x2＋202＝252. ∴R＝25，∴V 球＝43πR3＝623500π(cm3)．
(2)∵S 球＝4πR2＝64π， ∴R2＝16，即 R＝4. ∴V 球＝43πR3＝43π×43＝2536π. (3)∵V 球＝43πR3＝5030π， ∴R3＝125，R＝5. ∴S 球＝4πR2＝100π.
【变式训练 1】 一个球内有相距 9 cm 的两个平行截面．它们的面积分别为 49π cm2 和 400π cm2，求球的体积．
________．
(2)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 6，底面边长为 4，则该球的
表面积为( )
A.434π
B.4894π
C.841π

(3)∵V 球＝43πR3＝5030π ∴R3＝125，R＝5， ∴S 球＝4πR2＝100π.
探究点二
球的接切问题
球通常可以与其他空间几何体构成一个组合体，主要包括“内切”和 “外接”等有关的问题，像长方体内接于球，正方体内接于球，正四面体 内接于球，球内切于正方体，球内切于正四面体，球内切于圆台等组合 体．解决这类问题的关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把 空台的两底面半径分别是3和4， 求圆台的体积．
[错解] 如图，由球的截面的性质知， 球心到圆台的上、下底面的距离分别为 d1＝ 52－32＝4，d2＝ 52－42＝3. ∴圆台的高为 d1－d2＝h＝4－3＝1. ∴圆台的体积为 V＝13πh(r21＋r22＋r1r2) ＝13×π×1×(32＋42＋3×4)＝337π.
O1O2＝ R＋r2－R－r2＝2 Rr， ∴S 圆台全＝π(R＋r)2＋πR2＋πr2＝2π(R2＋r2＋Rr)，
S 球＝4πRr，
∴SS圆台 球全＝R2＋2rR2＋ r Rr＝k.
1 故V圆台＝3·2π
V球
R43πrR2R＋rR3 r＋r2＝R2＋2RRrr＋r2＝k.
2．若半球内有一内接正方体，则这个半球的表面积与正
提示：根据表面积和体积公式容易知道，当表面积变为原来的 2 倍时，球的半径变为原来的 2倍，体积变为原来的 2 2倍．
探究点一
球的体积和表面积的计算
1.球的体积是球体所占空间的大小的度量，设球的半径为R， 它的体积只与半径R有关，是以R为自变量的函数即 V＝ π43R3.
2．球的表面积是对球的表面大小的度量，它也是球半径的 函数即S＝4πR2.
[解] 要使冰淇淋融化后不会溢出杯子，则必须 V 圆锥≥V 半球，V 半 球＝12×43πr3＝12×43π×43， V 圆锥＝13Sh＝13πr2h＝13π×42×h. 依题意：13π×42×h≥12×43π×43，解得 h≥8. 即当圆锥形杯子杯口直径为 8 cm，高大于或等于 8 cm 时，冰淇 淋融化后不会溢出杯子． 又因为 S 圆锥侧＝πrl＝πr h2＋r2， 当圆锥高取最小值 8 时，S 圆锥侧最小，所以高为 8 cm 时，制造的 杯子最省材料．