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南开大学2005硕士研究生入学考试试题 高等代数注：本解答所需知识均参照高教社出版的由北大代数小组主编由王萼芳、石生明修订的《高等代数》！一、计算下列行列式2n ?,x x x x x x x x x x x x 1x 1x 1x 1112n n1n n 2n 21n 22n 11n 1n2n 222121n 21≥=+++++++++------解：由行列式性质，2n n1n n 2n 21n 22n 11n 1n2n 2221212n n1n n 2n 21n 22n 11n 1n2n 222121n 212n n 1n n 2n 21n 22n 11n 1n2n 222121n 21x x x x x x x x x x x x 111111x x x x x x x x x x x x x x x 111x x x x x x x x x x x x 1x 1x 1x 111------------------+++++++++++++=+++++++++显然，第二式为0，连续运用此性质得()∏≤<≤----------==+++++++++ni j 1j i1n n1n 21n 12n 2221n 212n n 1n n 2n 21n 22n 11n 1n2n 222121n 21a ax x x x x x x x x 111x x x x x x x x x x x x 1x 1x 1x 111二、设齐次线形方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=-+=++-=++0ex dx bx 0ex cx ax 0dx cx x 0bx ax x 321421431432的一般解以43x ,x 为自由未知量（1） 求 a,b,c,d,e 满足的条件 （2）求齐次线形方程组的基础解系解：由自由变量数为2，可知，方程组系数矩阵的秩为2，即⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---0e d b e 0c a d c 01b a 10的秩为2，又易得系数矩阵变形⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--0e d b e 0c a b a 10d -c -01。
高等代数考试科目大纲一、考试性质高等代数是硕士研究生入学考试科目之一，是硕士研究生招生院校自行命题的选拔性考试。
本考试大纲的制定力求反映招生类型的特点，科学、平等、确切、规范地测评考生的相关基础知识控制水平，考生分析问题和解决问题及综合知识运用能力。
应考人员应按照本大纲的内容和要求自行组织学习内容和控制有关知识。
二、评价目标1、要求考生理解该课程的基本概念和基本理论，控制该课程的基本主意。
2、要求考生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力。
3、要求考生具有综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。
三、考试范围及其基本要求1、行列式考试范围：n阶行列式的定义，n阶行列式的性质与计算。
基本要求：（1）理解罗列及其逆序数，理解n阶行列式的定义，能利用定义计算行列式的值。
（2）熟练控制行列式的性质，能熟练计算低阶行列式的值，能计算较容易的n阶行列式的值。
2、矩阵考试范围：矩阵及其运算，分块矩阵与矩阵的初等变换，矩阵的秩，可逆矩阵。
基本要求：（1）理解矩阵、单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵、反驳称矩阵、方阵的幂及矩阵的转置等概念，熟练控制矩阵的线性运算、乘法运算、转置及其运算逻辑。
（2）理解分块矩阵、准对角矩阵、初等变换和初等矩阵的概念，熟练控制分块矩阵的运算。
（3）理解初等变换与初等矩阵的概念及基本作用，了解矩阵等价的概念及第 1 页/共 6 页性质，能用矩阵的初等变换化矩阵为标准形。
（4）理解矩阵的子式、矩阵的秩的定义，熟练控制矩阵的秩的性质，能求矩阵的秩。
（5）理解满秩矩阵的概念，控制满秩矩阵的性质。
（6）控制两个方阵与其乘积的秩的关系式，能熟练运用方阵乘积的行列式的公式。
（7）理解可逆矩阵的概念，控制可逆矩阵的性质，控制矩阵可逆的充足须要条件。
（8）理解陪同矩阵的概念，控制陪同矩阵的性质，会用陪同矩阵法求可逆矩阵的逆矩阵，能熟练运用矩阵的初等变换求可逆矩阵的逆矩阵，能解矩阵方程。
武汉大学考研高数试卷真题武汉大学作为中国著名的高等学府，其考研数学试卷真题通常具有较高的难度和严谨性。
以下是一份模拟的武汉大学考研高数试卷真题内容，供参考：一、选择题（每题4分，共40分）1. 设函数\( f(x) \)在点\( x_0 \)处可导，且\( f'(x_0) \neq 0 \)，则在\( x_0 \)处曲线的切线斜率为：A. 0B. \( f'(x_0) \)C. \( -f'(x_0) \)D. \( f(x_0) \)2. 已知\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)，求\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} \)的值为：A. 1B. 2C. 4D. 不存在3. 以下哪项不是连续函数的性质？A. 有界性B. 可积性C. 可微性D. 保号性4. 根据泰勒公式，函数\( e^x \)在\( x = 0 \)处的泰勒展开式为：A. \( 1 + x \)B. \( 1 + x + \frac{x^2}{2} \)C. \( 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} \)D. \( 1 + x + x^2 + x^3 + \ldots \)5. 若函数\( g(x) = \ln(x) \)，则\( g^{-1}(x) \)的导数为：A. \( \frac{1}{x} \)B. \( \frac{1}{1-x} \)C. \( \frac{1}{1+x} \)D. \( \frac{1}{x-1} \)二、填空题（每题5分，共20分）6. 若\( \int_{0}^{1} x^2 dx = \frac{1}{3} \)，则\( \int_{0}^{1} x^3 dx \)的值为______。
7. 设\( y = x^3 - 3x \)，求\( y' \)的值为______。
华中师范大学二O二一年研究生入学考试试题院系、招生专业:数学与统计学学院各专业考试时间:12月24日下午考试科目代码及名称:834,高等代数说明:本试卷共2页,共8个大题,满分150分.1.计算行列式D=det(α1,α2,α3,α4).其中αi=(1,cosθi,cos2θi,cos3θi)T.2.解答如下问题:(1)已知A为n阶矩阵,证明:rank(A)=1当且仅当存在非零向量α=(a1,a2,···,a n),β=(β1,β2,···,βn).使得A=αTβ.(2)对上述矩阵A=αTβ,计算行列式det(E n+A).3.已知f(x)=x3+(a+1)x2+bx−4与g(x)=x3+ax2+(b−2)x−b的首一最大公因式为d(x),且d(x)为二次多项式.(1)求a,b的值;(2)求多项式u(x),v(x),使得u(x)f(x)+v(x)g(x)=d(x).4.(可能有误)已知矩阵A=00011001010−10011.(1)求λE4−A的标准形;(2)求A的若尔当标准形.5.设A,B为n阶复方阵,且有AB=BA.(1)设λ1是A的特征值,Vλ1是对应的特征子空间,证明:对任意的X∈Vλ1,有BX∈Vλ1;240111共2页第1页(2)证明:A,B有公共的特征向量;(3)若A有n个不同的特征值,证明:存在可逆矩阵P,使得P−1AP,P−1BP都为对角矩阵.6.设V是实数域上所有2×2矩阵构成的线性空间,A,B∈V是两个给定的2阶实矩阵,定义V上的映射f为f(X)=AX+XB,X∈V.(1)证明:f为V上的线性变换;(2)若A=(∗∗∗∗),B=(∗∗∗∗)(具体数值未知),求Im f及Ker f以及它们的维数.7.已知矩阵A=(B CC T O).其中B为n阶正定矩阵,C为n阶可逆实矩阵,求A的正惯性指数与负惯性指数.8.设V为n维欧氏空间,⟨∗,∗⟩是V上的内积,已知V上的线性变换φ满足:对任意的α,β∈V,有⟨φ(α),β⟩=−⟨α,φ(β)⟩.(1)若φ为同构映射,证明n为偶数;(2)若λ是φ的一个特征值,则λ是零或者纯虚数.240111共2页第2页。
武汉大学高等代数（基础课程内部讲义）目录武汉大学数学专业基础知识点框架梳理及其解析..........................................................................................第一章多项式......................................................................................................................................................第二章行列式......................................................................................................................................................第三章线性方程组..............................................................................................................................................第四章矩阵..........................................................................................................................................................第五章二次型........................................................................................................................................................第六章线性空间....................................................................................................................................................第七章线性变换....................................................................................................................................................第八章入-矩阵与约当标准型...............................................................................................................................第九章欧几里得空间............................................................................................................................................第十章双线性函数与辛空间................................................................................................................................武汉大学数学专业初试线性代数考研知识点深度分析真题分析年份题型分值考察范围考察难度（了解、理解、掌握、应用）2009计算40行列式计算，根据行列式的秩求未知数，求线性空间的一个基计算的题目都不是很难，只要是按定义来做都是可以做出来的证明110证明向量的线性相关性，证明与方程组解个数有关的不等式，特殊矩阵有关的证明，特征值的范围，矩阵相似，线性变换证明题中前面几个很简单属于理解定义就可以做的，后面关于线性变换的题目有一定难度2008计算70行列式求值球线性空间的位数和一组基，求满足条件的正交变换，求零化多项式，极小多项式，Jordan标准型，求双线性变换的矩阵。
湖北省考研数学复习资料线性代数重点知识点梳理湖北省考研数学复习资料：线性代数重点知识点梳理一、矩阵与行列式1. 矩阵的定义与性质- 矩阵的基本概念- 矩阵的运算法则（加法、数乘、乘法）- 矩阵的转置、对称与斜对称2. 行列式的定义与性质- 二阶、三阶行列式的计算- 行列式的性质（行列互换、倍数行列互换、行列式性质）- 行列式的性质推论与应用二、向量空间1. 向量的定义与性质- 向量空间的基本概念- 向量的线性运算与基本性质- 向量的线性相关与线性无关2. 子空间与基底- 子空间的定义与判定- 子空间的交与和- 基底的定义与性质三、线性变换与矩阵1. 线性变换的定义与性质- 线性变换的基本概念- 线性变换的线性性质- 线性变换的核与像2. 矩阵与线性变换的关系- 矩阵与线性变换的表示- 线性变换的矩阵运算（加法、数乘、乘法） - 线性变换的矩阵表达式四、特征值与特征向量1. 特征值与特征向量的定义- 特征值与特征向量的概念- 特征值与特征向量的计算- 特征值与特征向量的性质2. 对角化与相似矩阵- 可对角化矩阵的判定- 相似矩阵的概念与性质- 相似矩阵与特征值/特征向量的关系五、正交性与正交变换1. 内积空间与正交性- 内积空间的定义与性质- 向量的正交与正交补- 正交投影与最小二乘解2. 正交变换与正交矩阵- 正交变换的定义与性质- 正交投影与旋转变换- 正交矩阵与特殊正交矩阵综上所述，本文主要对湖北省考研数学复习中的线性代数重点知识点进行了梳理。
通过对矩阵与行列式、向量空间、线性变换与矩阵、特征值与特征向量以及正交性与正交变换等内容的介绍与讲解，希望能够帮助考生全面理解线性代数的基本概念、性质和应用，为考试取得好成绩提供有力支持。
当然，在实际复习过程中，考生还需结合练习题进行反复训练和巩固，通过解题掌握各个知识点的应用技巧，提高解题能力和应试水平。
预祝考生们取得优异的成绩！。
