01 衡水中学高三数学一轮复习资料——集合

第一讲集合知识梳理学问点一集合的基本概念一组对象的总体构成一个集合．1．集合元素的三个特征：确定性、无序性、互异性．2．集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.3．元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉.4.五个特定的集合及其关系图：N*或N＋表示正整数集，N表示非负整数集(或自然数集)，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集．学问点二集合之间的基本关系关系定义表示相等集合A与集合B中的全部元素都相同A＝B子集A中的随意一个元素都是B中的元素A⊆B真子集A是B的子集，且B中至少有一个元素不属于A A B 留意：(1)空集用∅表示．(2)若集合A中含有n个元素，则其子集的个数为 2n，真子集的个数为 2n－1 ，非空真子集的个数为 2n－2 .(3)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．(4)若A⊆B，B⊆C，则A⊆C．学问点三集合的基本运算符号交集A∩B 并集A∪B 补集∁U A语言图形语言意义A∩B＝{x|x∈A且x∈B}A∪B＝{x|x∈A或x∈B}∁U A＝{x|x∈U且x∉A}1．A∩A＝A，A∩∅＝∅.2．A∪A＝A，A∪∅＝A.3．A∩(∁U A)＝∅，A∪(∁U A)＝U，∁U(∁U A)＝A.4．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁U A⊇∁U B⇔A∩(∁U B)＝∅.5．∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)，∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)．双基自测题组一走出误区1．推断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)任何一个集合都至少有两个子集．( × )(2)集合{x∈N|x3＝x}用列举法表示为{1，－1,0}．( × )(3){x|y＝x2}＝{y|y＝x2}＝{(x，y)|y＝x2}．( × )(4)若5∈{1，m＋2，m2＋4}，则m的取值集合为{1，－1,3}．( × )(5)若A∩B＝A∩C，则B＝C.( × )(6)设U＝R，A＝{x|lg x<1}，则∁U A＝{x|lg x≥1}＝{x|x≥10}．( × )[解析](4)当m＝－1时，m＋2＝1，与集合中元素的互异性冲突，故(4)错．(6)中A＝{x|0<x<10}，∁U A＝{x|x≤0或x≥10}，故(6)错．题组二走进教材2．(多选题)(必修1P9T1改编)已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，则有( ACD )A．∅⊆A B．－2∈AC．{0,2}⊆A D．A⊆{y|y<3}[解析]易知A＝{0,2}，A，C，D均正确．3．(必修1P35T9改编)已知集合U＝{x|－4<x<3}，A＝{x|－2≤x<1}，则∁U A＝( A ) A．(－4，－2)∪[1,3) B．[－2,1)C．(－4，－2]∪(1,3) D．(－2,1][解析]依据集合补集的运算解答即可．由题知，集合U＝{x|－4<x<3}，A＝{x|－2≤x<1}，所以∁U A＝{x|－4<x<－2，或1≤x<3}，即∁U A＝(－4，－2)∪[1,3)，故选A.4．(必修1P13T1改编)已知全集U＝R，集合A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|2x－4≥x－2}，则A∪B＝ {x|x≥－1} ，∁U(A∩B)＝ {x|x<2或x≥3}.题组三走向高考5．(2024·全国甲文，1,5分)设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{1,4}，N＝{2,5}，则N∪∁U M＝( A )A．{2,3,5} B．{1,3,4}C．{1,2,4,5} D．{2,3,4,5}[解析]因为U＝{1,2,3,4,5}，M＝{1,4}，所以∁U M＝{2,3,5}，所以N∪∁U M＝{2,3,5}．故选A.6．(2024·新课标Ⅰ，1,5分)已知集合M＝{－2，－1,0,1,2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，则M∩N＝( C )A．{－2，－1,0,1} B．{0,1,2}C．{－2} D．{2}[解析]由x2－x－6≥0得x≥3或x≤－2，∴N＝{x|x≥3或x≤－2}，因此M∩N＝{－2}，故选C.7．(2024·新课标Ⅱ，2,5分)设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2,2a－2}，若A⊆B，则a＝( B )A．2 B．1C.23D．－1[解析]若a－2＝0，则a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1,0,2}，不满足A⊆B；若2a －2＝0，则a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{1，－1,0}，满足A⊆B.故选B.。

第一章集合与常用逻辑用语第一讲集合的概念与运算1．集合与元素一组对象的全体构成一个集合．(1)集合中元素的三大特征：确定性、互异性、无序性．(2)集合中元素与集合的关系：对于元素a与集合A，__a∈A__或__a∉A__，二者必居其一．(3)常见集合的符号表示.数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*Z Q R(4)(5)集合的分类：集合按元素个数的多少分为有限集、无限集，有限集常用列举法表示，无限集常用描述法表示．2．集合之间的基本关系关系定义表示相等集合A与集合B中的所有元素都__相同__A__＝__B子集A中的任意一个元素都是__B中的元素__A__⊆__B真子集A是B的子集，且B中至少有一个元素__不属于A__A____B__∅__(2)若集合A中含有n个元素，则其子集个数为__2n__，真子集个数为__2n－1__，非空真子集的个数为__2n－2__.(3)空集是任何集合的子集，是任何__非空集合__的真子集．(4)若A⊆B，B⊆C，则A__⊆__C．3．集合的基本运算符号语言交集A∩B并集A∪B补集∁U A 图形语言意义A∩B＝{x|x∈A且x∈B}A∪B＝{x|x∈A或x∈B}∁U A＝{x|x∈U且x∉A}1．A∩A＝A，A∩∅＝∅.2．A∪A＝A，A∪∅＝A．3．A∩(∁U A)＝∅，A∪(∁U A)＝U，∁U(∁U A)＝A．4．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁U A⊇∁U B⇔A∩(∁U B)＝∅.1．已知集合A＝{x∈N|0≤x≤4}，则下列表述正确的是(D)A．0∉A B．1⊆AC．2⊆A D．3∈A[解析]集合A＝{x∈N|0≤x≤4}，所以0∈A,1∈A，2∉A,3∈A．2．若A＝{x|x＝4k－1，k∈Z}，B＝{x＝2k－1，k∈Z}，则集合A与B的关系是(B)A．A＝B B．A BC．A B D．A⊆B[解析]因为集合B＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，A＝{x|x＝4k－1，k∈Z}＝{x|x＝2(2k)－1，k∈Z}，集合B表示2与整数的积减1的集合，集合A表示2与偶数的积减1的集合，所以A B，故选B．3．设集合M＝{2,4,6,8}，N＝{1,2,3,5,6,7}，则M∩N的子集的个数为(B)A．2B．4C．7D．128[解析]∵M＝{2,4,6,8}，N＝{1,2,3,5,6,7}，∴M∩N＝{2,6}，即M∩N中元素的个数为2，子集22＝4个，故选B．4．已知集合A＝{x|x>0}，B＝{x|－1≤x≤2}，则A∪B＝(A)A．{x|x≥－1}B．{x|x≤2}C．{x|0<x≤2}D．{x|－1≤x≤2}[解析]根据题意，作图可得，则A∪B＝{x|x≥－1}，故选A．5．(文)已知A＝{x|x＋1>0}，B＝{－2，－1,0,1}，则(∁R A)∩B(A)A．{－2，－1}B．{－2}C．{－2,0,1}D．{0,1}(理)已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪(∁R Q)＝(B)A．[2,3]B．(－2,3]C．[1,2)D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)[解析](文)∵A＝{x|x＋1>0}＝{x|x>－1}，∴∁R A＝{x|x≤－1}，∴(∁R A)∩B＝{x|x≤－1}∩{－2，－1,0,1}＝{－2，－1}．(理)∵Q＝{x∈R|x2≥4}＝{x∈R|x≥2或x≤－2}，∴∁R Q＝{x∈R|－2<x<2}，则P∪(∁R Q)＝(－2,3]．故选B．[方法技巧](文)集合基本运算的方法技巧(1)当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn图运算．(2)当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验．6．2∈{x2＋x,2x}则x＝__－2__；－2∉{x2＋x,2x}，则x≠__0且x≠1，且x≠－1__.[解析]x2＋x＝2得x＝－2或1(舍去)，2x＝2得x＝1(舍去)，综上x＝－2；不属于按属于处理，－2＝x2＋x无解．－2＝2x，得x＝－1，又x2＋x与2x不同，∴x≠0,1.7．(文)(2018·山西吕梁期中)已知集合M＝{x||x|≤1}，N＝{y|y＝x2，x∈R}，则M∩N＝(D) A．[－1,1]B．∅C．(0,1]D．[0,1](理)(2018·江西宜春月考)设全集I＝R，集合A＝{y|y＝log2x，x>2}，B＝{x|y＝x－1}，则(A) A．A⊆B B．A∪B＝AC．A∩B＝∅D．A∩(∁I B)≠∅[解析](文)∵集合M＝{x||x|≤1}＝{x|－1≤x≤1}，N＝{y|y＝x2，x∈R}＝{y|y≥0}，∴M∩N＝{0|0≤x≤1}＝[0,1]．故选D．(理)由题意，A＝{y|y＝log2x，x>2}＝(1，＋∞)，B＝{x|y＝x－1}＝[1，＋∞)，∴A⊆B．故选A．[方法技巧]判断集合间关系的三种方法(1)列举法：把元素一一列举观察．(2)集合元素特征法：首先确定集合中的元素是什么，弄清集合中元素的特征，再利用集合中元素的特征判断关系．(3)数形结合法：利用数轴或Venn图．8．(文)(2018·北京东城区月考)已知集合M＝{x|x≤a}，N＝{x|－2<x<0}，若M∩N＝∅，则实数a 的取值范围为(D)A ．(0，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－2](理)(2018·吉林长春检测)已知集合A ＝{x |ax －1＝0}，B ＝{x |1<log 2x ≤2，x ∈N *}，且A ∩B ＝A ，则实数a 的所有可能取值组成的集合是( D )A ．∅B ．{13}C ．{13，14}D ．{0，13，14}[解析] (文)因为M ＝{x |x ≤a }，N ＝{x |－2<x <0}，由M ∩N ＝∅，得a ≤－2.故选D ．(理)由A ∩B ＝A ，得A ⊆B ．∵B ＝{x |1<log 2x ≤2，x ∈N *}＝{x |2<x ≤4，x ∈N *}＝{3,4}．当A ＝∅时，则方程ax －1＝0，无实数解，∴a ＝0，此时显然有A ⊆B ，符合题意；当A ≠∅，则由方程ax －1＝0，得x ＝1a .要使A ⊆B ，则1a ＝3或1a ＝4，即a ＝13或14.综上所述，a 的所有可能取值组成的集合是{0，13，14}．故选D ．考点1 集合的基本概念——自主练透例1 (1)已知集合A ＝{x |x ＝3k ＋1，k ∈Z }，则下列表示不正确的是( C ) A ．－2∈A B ．2019∉A C ．3k 2＋1∉AD ．－35∈A(2)(2018·课标Ⅱ，2)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( A ) A ．9 B ．8 C ．5D ．4(3)若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝ 0或98 .(4)已知a ∈R ，b ∈R ，若{a ，ba，1}＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2019＋b 2019＝__－1__.[解析] (1)当－2＝3k ＋1时，k ＝－1∈Z ，故A 正确；当2019＝3k ＋1时，k ＝67223∉Z ，故B 正确；当－35＝3k ＋1时，k ＝－12∈Z ，故D 正确．故选C ．(2)本题主要考查集合的含义与表示．由题意可知A ＝{(－1,0)，(0,0)，(1,0)，(0，－1)，(0,1)，(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}，故集合A 中共有9个元素，故选A ．(3)若a ＝0，则A ＝{23}，符合题意；若a ≠0，则由题意得Δ＝9－8a ＝0，解得a ＝98.综上，a 的值为0或98.(4)由已知得ba ＝0，∴b ＝0，∴{a,0,1}＝{a 2，a,0}，∴a 2＝1，a ＝－1或1(舍)，∴a 2019＋b 2019＝－1，故填－1.名师点拨 ☞(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合；(2)集合中元素的互异性常常容易忽略，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中元素是否满足互异性．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．考点2 集合间的关系——师生共研例2 (1)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则( C ) A ．B ⊆A B ．A ＝B C ．A BD ．B A(2)(2018·云南第一次检测)设集合A ＝{x |－x 2－x ＋2<0}，B ＝{x |2x －5>0}，则集合A 与B 的关系是( A )A ．B A B ．B AC ．B ∈AD ．A ∈B(3)(文)(2018·江西八校联考)集合M ＝{x |x ＝n 2＋1，n ∈Z }，N ＝{y |y ＝n ＋12，n ∈Z }，则两集合M ，N 的关系为( D )A ．M ∩N ＝∅B ．M ＝NC ．M ND ．N M(理)(2018·广西梧州临川期中)设集合M ＝{x |x ＝k 3＋16，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝k 6＋23，k ∈Z }，则( B )A ．M ＝NB ．M NC ．NMD ．M ∩N ＝∅(4)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}≠∅，若A ∩B ＝B ，则实数m 的取值范围为__[2,3]__.[解析] (1)A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }＝{1,2}，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }＝{1,2,3,4}，∴A B ． (2)A ＝{x |－x 2－x ＋2<0}＝{x |x >1或x <－2}，B ＝{x |2x －5>0}＝{x |x >52}．∴B A ，故选A ． (3)(文)解法一：(列举法)由题意知：M ＝{…，0，12，1，32，2，…}，N ＝{…，－12，12，32，52，…}，显然N M ，故选D ．解法二：(描述法) M ＝{x |x ＝n ＋22，n ∈Z }，N ＝{y |y ＝2n ＋12，n ∈Z }．∵n ＋2表示所有整数，而2n ＋1表示所有奇数，∴N M ，故选D ． (理)解法一：(列举法)，由题意知 M ＝{…－12，－16，16，12，56，76，……}N ＝{…－16，0，16，13，12，23，56，…}显然M N ，故选B ． 解法二：(描述法)M ＝{x |x ＝2k ＋16，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝k ＋46，k ∈Z }∵2k ＋1表示所有奇数，而k ＋4表示所有整数(k ∈Z ) ∴M N ，故选B ． (4)由A ∩B ＝B 知，B ⊆A ．又B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5.解得2≤m ≤3，则实数m 的取值范围为[2,3]．[引申1]本例(4)中若B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}情况又如何？ [解析] 应对B ＝∅和B ≠∅进行分类． ①若B ＝∅，则2m －1<m ＋1，此时m <2. ②若B ≠∅，由例得2≤m ≤3.由①②可得，符合题意的实数m 的取值范围为(－∞，3]．[引申2]本例(4)中是否存在实数m ，使A ⊆B ？若存在，求实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．[解析] 由A ⊆B 得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤－2，2m －1≥5，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－3，m >3，不等式组无解，故不存在实数m ，使A ⊆B ．[引申3]本例(4)中，若B ＝{x |m ＋1≤x ≤1－2m }，A B ，则m 的取值范围为__(－∞，－3]__.[解析] 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤－2，1－2m ≥5，解得m ≤－3.名师点拨 ☞判断集合间关系的3种方法 列举法根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系．(如第1、2题)结构法从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断．(如第3题)数轴法在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系．(如第4题)〔变式训练1〕(1)(2018·辽宁锦州质检(一))集合M ＝{x |x ＝3n ，n ∈N }，集合N ＝{x |x ＝3n ，n ∈N }，则集合M 与集合N 的关系是( D )A ．M ⊆NB ．N ⊆MC ．M ∩N ＝∅D ．MN 且NM(2)(文)(2018·辽宁葫芦岛一中月考)已知集合M ＝{x |y ＝lg(2－x )}，N ＝{y |y ＝1－x ＋x －1}，则( B )A ．M ⊆NB ．N ⊆MC ．M ＝ND ．N ∈M(理)(2018·湖北省部分重点中学联考)已知集合M ＝{x |y ＝1－x 2，x ∈R }，N ＝{x |x ＝m 2，m ∈M }，则集合M ，N 的关系是( B )A ．M NB ．NMC ．M ⊆∁R ND ．N ⊆∁R M(3)已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，B ＝{x |mx ＋10>0}，若A ⊆B ，则m 的取值范围是__(－2,5)__. [解析] (1)因为1∈M,1∉N,6∈N,6∉M ，所以MN 且NM ，故选D ． (2)(文)∵集合M ＝{x |y ＝lg(2－x )}＝(－∞，2)，N ＝{y |y ＝1－x ＋x －1}＝{0}，∴N ⊆M .故选B ．(理)依题意知，M ＝{x |y ＝1－x 2，x ∈R }＝{x |－1≤x ≤1}，N ＝{x |x ＝m 2，m ∈M }＝{x |0≤x ≤1}，所以NM .故选B ．(3)化简A ＝{x |x 2－3x －10≤0}＝{x |－2≤x ≤5}，当m >0时，x >－10m ，因为A ⊆B ，所以－10m <－2，解得m <5，所以0<m <5.当m <0时，x <－10m ，因为A ⊆B ，所以－10m >5，解得m >－2，所以－2<m <0.当m ＝0时，B ＝R ，符合A ⊆B ．综上所述，所求的m 的取值范围是(－2,5)．考点3 集合的基本运算——多维探究角度1 集合的运算例3 (1)(2018·课标全国Ⅰ，1)已知集合A ＝{0,2}，B ＝{－2，－1,0,1,2}，则A ∩B ＝( A )A ．{0,2}B ．{1,2}C ．{0}D ．{－2，－1,0,1,2}(2)(2018·天津，1)设集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{－1,0,2,3}，C ＝{x ∈R |－1≤x <2}，则(A ∪B )∩C ＝( C )A ．{－1,1}B ．{0,1}C ．{－1,0,1}D ．{2,3,4}(3)(2018·天津，1)设全集为R ，集合A ＝{x |0<x <2}，B ＝{x |x ≥1}，则A ∩(∁R B )＝( B ) A ．{x |0<x ≤1} B ．{x |0<x <1} C ．{x |1≤x <2}D ．{x |0<x <2}[解析] (1)本题主要考查集合的基本运算．∵A ＝{0,2}，B ＝{－2，－1,0,1,2}，∴A ∩B ＝{0,2}，故选A ． (2)本题主要考查集合的运算．由题意得A ∪B ＝{1,2,3,4，－1,0}，∴(A ∪B )∩C ＝{1,2,3,4，－1,0}∩{x ∈R |－1≤x <2}＝{－1,0,1}．故选C ．(3)本题主要考查集合的基本运算．由B＝{x|x≥1}，得∁R B＝{x|x<1}，借助于数轴，可得A∩(∁R B)＝{x|0<x<1}，故选B．角度2利用集合的运算求参数例4(1)(2018·河北邢台联考)已知全集U＝{x∈Z|0<x≤8}，集合A＝{x∈Z|2<x<m}(2<m<8)，若∁U A中的元素个数为4，则m的取值范围为(A)A．(6,7]B．[6,7)C．[6,7]D．(6,7)(2)(2018·江西鹰潭一中模拟)已知集合A＝{x|1<2x≤16}，B＝{x|x<a}，若A∩B＝A，则实数a的取值范围是(A)A．(4，＋∞)B．[4，＋∞)C．[0，＋∞)D．(0，＋∞)[解析](1)若∁U A中的元素的个数为4，则∁U A＝{1,2,7,8}，∴6<m≤7，故选A．(2)由题意知A＝{x|0<x≤4}，由A∩B＝A，知A⊆B，所以实数a的取值范围是(4，＋∞)，故选A．名师点拨☞集合的基本运算的关注点1．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．2．有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．3．注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．4．根据集合运算结果求参数，先把符号语言译成文字语言，然后应用数形结合求解．〔变式训练2〕(1)(角度1)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}，则A∪B＝(C)A．{1}B．{1,2}C．{0,1,2,3}D．{－1,0,1,2,3}(2)(角度1)(2018·课标Ⅰ，2)已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则∁R A＝(B)A．{x|－1<x<2}B．{x|－1≤x≤2}C．{x|x<－1}∪{x|x>2}D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}(3)(角度2)集合M＝{x|－1≤x<2}，N＝{y|y<a}，若M∩N≠∅，则实数a的取值范围是(D)A．a≤－1B．a<－1C．a≥－1D．a>－1(4)(角度1)(文)(2018·山西太原阶段性测评)设集合A＝{－1,0,1,2，}，B＝{x|y＝x2－1}，则图中阴影部分所表示的集合为(B)A．{1}B．{0}C．{－1,0}D．{－1,0,1}(角度1)(理)(2018·四川资阳模拟)设全集U＝R，集合A＝{x|x2－2x－3<0}，B＝{x|x－1≥0}，则图中阴影部分所表示的集合为(D)A．{x|x≤－1或x≥3}B．{x|x<1或x≥3}C．{x|x≤1}D．{x|x≤－1}[分析](1)求解一元二次不等式得集合B，然后根据并集的定义求得A∪B的结果．(2)本题主要考查集合的基本运算及一元二次不等式的解法．[解析](1)由(x＋1)(x－2)<0⇒－1<x<2，又x∈Z，∴B＝{0,1}，∴A∪B＝{0,1,2,3}．故选C．(2)化简A＝{x|x<－1或x>2}，∴∁R A＝{x|－1≤x≤2}．故选B．(3)∵M＝{x|－1≤x<2}，N＝{y|y<a}，且M∩N≠∅，如图只要a>－1即可．故选D．(4)(文)由题意得图中阴影部分表示的集合为A∩(∁R B)．∵B＝{x|y＝x2－1 }＝{x|x2－1≥0}＝{x|x≥1或x≤－1}，∴∁R B＝{x|－1<x<1}，∴A∩(∁R B)＝{0}，故选B．(理)由题意可知A＝{x|－1<x<3}，B＝{x|x≥1}，则图中阴影部分表示的集合为∁U(A∪B)＝{x|x≤－1}，故选D．[易错警示](1)对于集合B，容易忽略x∈Z的条件而导致错误，注意养成严谨、细心的审题习惯．集合中的新定义问题例5设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A且k＋1∉A，那么k是A 的一个“孤立元”，给定A＝{1,2,3,4,5}，则A的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合共有(D)A ．10个B ．11个C ．12个D ．13个[解析] “孤立元”是1的集合：{1}，{1,3,4}，{1,4,5}，{1,3,4,5}；“孤立元”是2的集合：{2}，{2,4,5}；“孤立元”是3的集合：{3}；“孤立元”是4的集合：{4}，{1,2,4}；“孤立元”是5的集合：{5}，{1,2,5}，{2,3,5}，{1,2,3,5}，共有13个．故选D ．名师点拨 ☞集合新定义问题的“3定\”(1)定元素：确定已知集合中所含的元素，利用列举法写出所有元素．(2)定运算：根据要求及新定义运算，将所求解集合的运算问题转化为集合的交集、并集与补集的基本运算问题，或转化为数的有关运算问题．(3)定结果：根据定义的运算进行求解，利用列举法或描述法写出所求集合中的所有元素． 〔变式训练3〕(文)已知集合A ＝{x ∈N |x 2－2x －3≤0}，B ＝{1,3}，定义集合A ，B 之间的运算“*\”：A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，则A *B 中的所有元素之和为( D )A ．15B ．16C ．20D ．21(理)若x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M ＝{－1，0，12，2,3}的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( B )A ．1B ．3C ．7D ．31[解析] (文)由x 2－2x －3≤0，得(x ＋1)(x －3)≤0，又x ∈N ，故集合A ＝{0,1,2,3}．∵A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，∴A *B 中的元素有0＋1＝1,0＋3＝3,1＋1＝2,1＋3＝4,2＋1＝3(舍去)，2＋3＝5,3＋1＝4(舍去)，3＋3＝6，∴A *B ＝{1,2,3,4,5,6}，∴A *B 中的所有元素之和为21.(理)具有伙伴关系的元素组是－1，12，2，∴具有伙伴关系的集合为{－1}，{12，2}，{－1，12，2}，共3个，故选B ．第二讲 命题及其关系、充分条件与必要条件1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的__陈述句__叫做命题，其中__判断为真__的语句叫做真命题，__判断为假__的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①若两个命题互为逆否命题，则它们有__相同__的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性__没有关系__.3．充分条件、必要条件与充要条件若p⇒q，则p是q的__充分__条件，q是p的__必要__条件p是q的__充分不必要__条件p⇒q且q pp是q的__必要不充分__条件p q且q⇒pp是q的__充要__条件p⇔qp是q的__既不充分又不必要__条件p q且q p1．若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；(3)若A＝B，则p是q的充要条件；(4)若A B，则p是q的充分不必要条件；(5)若A B，则p是q的必要不充分条件；(6)若A B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．2．充分条件与必要条件的两个特征：(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”．(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即“p⇒q且q⇒r”⇒“p⇒r”(“p⇐q且q⇐r”⇒“p⇐r”)．注意：不能将“若p，则q”与“p⇒q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p⇒q”，即“p⇒q”⇔“若p，则q”为真命题．1．下列语句为命题的是(D)A．对角线相等的四边形B．a<5C．x2－x＋1＝0D．有一个内角是90°的三角形是直角三角形[解析]只有选项D是可以判断真假的陈述句，故选D．2．命题“平行四边形的对角线互相平分”的逆否命题是(A)A．对角线不互相平分的四边形不是平行四边形B．不是平行四边形的四边形对角线不互相平分C．对角线不互相平分的四边形是平行四边形D．不是平行四边形的四边形对角线互相平分[解析]原命题即“若四边形是平行四边形，则其对角线互相平分”，故其逆否命题“若四边形的对角线不互相平分，则其不是平行四边形”，即“对角线不互相平分的四边形不是平行四边形”．3．(教材改编题)“x＝2”是“x2－4＝0”的(A)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]x2－4＝0，则x＝±2，故是充分不必要条件．故选A．4．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，则s是p的(A)A．逆否命题B．逆命题C．否命题D．原命题[解析]假设命题p为“若A，则B”．根据四种命题的关系可知，命题r为“若¬A，则¬B”，命题s为“若¬B，则¬A”，因此s是p的逆否命题．5．下列命题中为真命题的是(A)A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题B．命题“若x>1，则x2>1”的否命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D ．命题“若x 2>0，则x >1”的逆否命题[解析] 对于A ，其逆命题是“若x >|y |，则x >y ”，是真命题，这是因为x >|y |≥y ，必有x >y ； 对于B ，其否命题是“若x ≤1，则x 2≤1”，是假命题，如x ＝－5，x 2＝25>1；对于C ，其否命题是“若x ≠1，则x 2＋x －2≠0”，由于x ＝－2时，x 2＋x －2＝0，所以是假命题；对于D ，若x 2>0，则x ≠0，不一定有x >1，因此原命题的逆否命题是假命题．6．“tan α＝tan β”是“α＝β”的( )条件( D )A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要[解析] 当tan α＝tan β时，α＝β＋k π，k ∈Z ，不一定α＝β；当α＝β＝π2时，tan α，tan β无意义，因此也不能说tan α＝tan β，故选D ．7．写出下列命题的否定形式和否命题：(1)若xy ＝0，则x ，y 中至少有一个为零；(2)若a ＋b ＝0，则a ，b 中最多有一个大于零；(3)若四边形是平行四边形，则其相邻两个内角相等；(4)有理数都能写成分数．[解析] (1)否定形式：若xy ＝0，则x ，y 都不为零．否命题：若xy ≠0，则x ，y 都不为零．(2)否定形式：若a ＋b ＝0，则a ，b 都大于零．否命题：若a ＋b ≠0，则a ，b 都大于零．(3)否定形式：若四边形是平行四边形，则它的相邻两个内角不相等．否命题：若四边形不是平行四边形，则它的相邻两个内角不相等．(4)否定形式：有理数不能都写成分数．否命题：非有理数不能写成分数．[答案] 略考点1 四种命题及其关系——自主练透例1 (1)(2018·长春模拟)已知命题α：如果x <3，那么x <5，命题β：如果x ≥3，那么x ≥5，则命题α是命题β的( A )A ．否命题B ．逆命题C ．逆否命题D ．否定形式(2)给出以下四个命题： ①“若x ＋y ＝0，则x 、y 互为相反数”的逆命题；②“全等三角形面积相等”的否命题；③“若q ≤－1，则x 2＋x ＋q ＝0有实数根”的逆否命题；④若ab 是正整数，则a 、b 都是正整数．其中真命题是__①③__(写出所有真命题的序号)．(3)(2018·北京，13)能说明“若f (x )>f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立，则f (x )在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是__f (x )＝sin x ，x ∈[0,2](答案不唯一)__.[解析] (1)命题α：如果x <3，那么x <5，命题β：如果x ≥3，那么x ≥5，则命题α是命题β的否命题．(2)①“若x ＋y ＝0，则x 、y 互为相反数”的逆命题为“若x 、y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，显然是真命题；②“全等三角形面积相等”的否命题为“不全等三角形的面积不相等”，假命题；③“若q ≤－1，则x 2＋x ＋q ＝0有实根”的逆否命题为“若x 2＋x ＋q ＝0无实根，则q >－1”，x 2＋x＋q ＝0无实根则△＝1－4q <0，即q >14，从而q >－1，故③为真命题．(也可由原命题为真得出结论)；④显然是假命题，如ab ＝2时，可能a ＝－1，b ＝－2，故填①③.(3)本题主要考查函数的单调性及最值．根据函数单调性的概念，只要找到一个定义域为[0,2]的不单调函数，满足在定义域内有唯一的最小值点，且f (x )min ＝f (0)即可，除所给答案外，还可以举出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ＝0，1x ，0<x ≤2等． [导师点睛] 函数的单调性是对一个区间上的任意两个变量而言的．根据题意，本题只要找到一个定义域为[0,2]的不单调函数，满足在[0,2]上有唯一的最小值点，而且f (x )min ＝f (0)即可．名师点拨 ☞(1)由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，如果命题不是“若p ，则q ”的形式，应先改写成“若p ，则q ”的形式；如果命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提不变．(2)判断一个命题为真命题，要给出严格的推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反例．(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．考点2 充要条件的判断——师生共研考向1 定义法判断例2 (2018·北京，4)设a ，b ，c ，d 是非零实数，则“ad ＝bc ”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的( B )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 本题主要考查充分条件与必要条件，等比数列的性质．由a ，b ，c ，d 成等比数列，可得ad ＝bc ，即必要性成立；当a ＝1，b ＝－2，c ＝－4，d ＝8时，ad ＝bc ，但a ，b ，c ，d 不成等比数列，即充分性不成立，故选B ．考向2 集合法判断例3 (文)(2018·天津，3)设x ∈R ，则“x 3>8”是“|x |>2”的( A )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(理)(2018·天津，4)设x ∈R ，则“|x －12|<12”是“x 3<1”的( A ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (文)本题主要考查解不等式和充分、必要条件的判断．由x 3>8得x >2，由|x |>2得x >2或x <－2.因为(2，＋∞)(－∞，－2)∪(2，＋∞)，所以“x 3>8”是“|x |>2”的充分而不必要条件．故选A ．(理)本题主要考查解不等式和充分、必要条件的判断．由|x －12|<12得－12<x －12<12，解得0<x <1. 由x 3<1得x <1.因为(0,1)(－∞，1)，所以“|x －12|<12”是“x 3<1”的充分而不必要条件． [方法总结] (1)充分、必要条件的判断．解决此类问题应分三步：①确定条件是什么，结论是什么；②尝试从条件推结论，从结论推条件；③确定条件和结论是什么关系．(2)探究某结论成立的充要、充分、必要条件．解答此类题目，可先从结论出发，求出使结论成立的必要条件，然后验证得到的必要条件是否满足充分性．考向3 等价转化法判断例4 (1)给定两个条件p ，q ，若¬p 是q 的必要不充分条件，则p 是¬q 的( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)“已知命题p ：cos α≠12，命题q ：α≠π3”，则命题p 是命题q 的( A ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)因为¬p 是q 的必要不充分条件，则q ⇒¬p ，但¬pq ，其逆否命题为p ⇒¬q ，但¬q p ，所以p 是¬q 的充分不必要条件．(2)¬p ：cos α＝12，¬q ：α＝π3，显然¬q ⇒¬p ，¬p ¬q ，∴¬q 是¬p 的充分不必要条件，从而p 是q的充分不必要条件，故选A ． 另解：若cos α≠12，则α≠2k π±π3(k ∈Z )，则α也必然不等于π3，故p ⇒q ；若α≠π3，但α＝－π3时，依然有cos α＝12，故q p .所以p 是q 的充分不必要条件．故选A ． 名师点拨 ☞有关充要条件的判断常用的方法(1)根据定义判断：①弄清条件p 和结论q 分别是什么；②尝试p ⇒q ，q ⇒p .若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件；若q ⇒p ，则p 是q 的必要条件；若p ⇒q ，q p ，则p 是q 的充分不必要条件；若p q ，q ⇒p ，则p 是q 的必要不充分条件；若p ⇒q ，q ⇒p ，则p 是q 的充要条件．(2)利用集合判断记法A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )} 关系 A BB A A ＝B A B 且B A 结论p 是q 的充分不必要条件 p 是q 的必要不充分条件 p 是q 的充要条件p 是q 的既不充分也不必要条件 (3)利用等价转化法：对于带有否定性词语的命题，常用此法，既要判断p 是q 的什么条件，只需判断¬q是¬p的什么条件．〔变式训练1〕(1)(2018·浙江，6)已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的(A)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(2)指出下列各组中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．①在△ABC中，p：A＝B，q：sin A＝sin B；②已知x，y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0；③非空集合A，B中，p：x∈(A∪B)，q：x∈B；④对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6.[解析](1)∵m⊄α，n⊂α，m∥n，∴m∥α，故充分性成立．而由m∥α，n⊂α，得m∥n或m与n异面，故必要性不成立．故选A．(2)①在△ABC中，A＝B⇒sin A＝sin B；反之，若sin A＝sin B，因为A与B不可能互补(三角形三个内角之和为180°)，所以只有A＝B，故p是q的充要条件．②条件p：x＝1且y＝2，条件q：x＝1或y＝2，所以p⇒q但q p，故p是q的充分不必要条件．③显然x∈(A∪B)不一定有x∈B，但x∈B一定有x∈(A∪B)，所以p是q的必要不充分条件．④易知¬p：x＋y＝8，¬q：x＝2且y＝6，显然¬q⇒¬p，但¬p¬q，但¬q是¬p的充分不必要条件，根据原命题和逆否命题的等价性知，p是q的充分不必要条件．考点3充要条件的应用——多维探究角度1充要条件的探究例5(2018·山东烟台诊断)若条件p：|x|≤2，条件q：x≤a，且p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是(A)A．[2，＋∞)B．(－∞，2]C．[－2，＋∞)D．(－∞，－2][解析]p：|x|≤2等价于－2≤x≤2.因为p是q的充分不必要条件，所以[－2,2]⊆(－∞，a]，即a≥2.角度2等价转化思想的应用例6(2018·福建三明月考)设命题p：|4x－3|≤1，q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若¬p 是¬q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是(A)A ．[0，12]B ．(0，12)C ．(－∞，0]∪[12，＋∞)D ．(－∞，0)∪(12，＋∞) [解析] 由|4x －3|≤1得12≤x ≤1，由x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)＝(x －a )[x －(a ＋1)]≤0得a ≤x ≤a ＋1，因为¬p 是¬q 的必要不充分条件，所以p 是q 的充分不必要条件，有⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1≥1得0≤a ≤12.故选A ． 名师点拨 ☞充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解；(2)一定要注意端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．(3)注意区别以下两种不同说法：①p 是q 的充分不必要条件，是指p ⇒q 但qp ；②p 的充分不必要条件是q ，是指q ⇒p 但p q . (4)注意下列条件的等价转化：①p 是q 的什么条件等价于¬q 是¬p 的什么条件，②p 是¬q 的什么条件等价于q 是¬p 的什么条件．〔变式训练2〕(1)(角度1)(2018·山西45校联考)下列选项中，a >b 的一个充分不必要条件是( D )A ．1a >1bB ．e a >e bC ．a 2>b 2D ．lg a >lg b (2)(角度2)已知命题p ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，x －10≤0，命题q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)． ①若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为__m ≥9__.②若¬p 的必要不充分条件是¬q ，则实数m 的取值范围为__0<m ≤3__.[分析] (2)①与不等式解集相关的两个命题间充分条件、必要条件问题常转化为集合之间的包含关系，从而列出关于参数的不等式(组)求解；②注意“¬p 的必要不充分条件是¬q ”与“¬p 是¬q 的必要不充分条件”的区别，前者是“¬p ⇒¬q ，¬q ¬p ”，后者是“¬q ⇒¬p ，¬p ¬q ”．由于¬q 是¬p 的必要不充分条件，故可先求出¬p 、¬q ，再转化为集合之间的包含关系求解．也可利用互为逆否的两个命题的等价性，由¬q 是¬p 的必要不充分条件可知，p 是q 的必要不充分条件(或q 是p 的充分不必要条件)，再转化为集合之间的关系求解．[解析] (1)lg a >lg b ⇒a >b ，反之不成立，如a >b ＝0时．所以a >b 的一个充分不必要条件的是lg a >lg b ，故选D ．(2)p ：A ＝{x |－2≤x ≤10}，q ：B ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }，①∵p 是q 的充分不必要条件，∴A B ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m ≥10，解得m ≥9. ②∵¬p 的必要不充分条件是¬q ，即¬p ⇒¬q ，¬q ¬p ，∴q ⇒p ，p q ，即p 是q 的必要不充分条件，∴B A ，又m >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－2，1＋m ≤10，解得0<m ≤3. 名师点拨 ☞探求充要条件的选择题的破题关键：首先，判断是选项“推”题干，还是题干“推”选项，其次，利用以小推大的技巧，即可得结论．抽象命题间充要条件的判定例7 已知p 是r 的充分不必要条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，现有下列命题：①r 是q 的充要条件；②p 是q 的充分不必要条件；③r 是q 的必要不充分条件；④¬p 是¬s 的必要不充分条件；⑤r 是s 的充分不必要条件，则正确命题的序号是( B )A ．①④⑤B ．①②④C ．②③⑤D ．②④⑤[分析] 本题涉及命题较多，关系复杂，因此采用“图解法”．[解析] 由题意得p ，显然q ⇒r 且r ⇒s ⇒q ，即q ⇔r ，①正确；p ⇒r ⇒s ⇒q 且qp ，②正确；故选B ．r ⇔q ，③错误；由p ⇒s 知¬s ⇒¬p ，但sp ，∴¬p ¬s ，④正确；r ⇔s ，⑤错误．名师点拨 ☞ 命题较多、关系复杂时，画出各命题间关系图求解，简洁直观，一目了然．〔变式训练3〕若p 是r 的必要不充分条件，q 是r 的充分条件，则p 是q 的__必要不充分__条件．[解析] 由题意可知q ⇒r p ，∴p 是q 的必要不充分条件．第三讲 逻辑联结词、全称量词与存在量词1．简单的逻辑联结词(1)用联结词“且”联结命题p和命题q，记作__p∧q__，(2)用联结词“或”联结命题p和命题q，记作__p∨q__，(3)对一个命题p的否定记作__¬p__，(4)命题p∧q，p∨q，¬p的真假判断真值表p q¬p p∨q p∧q真真__假____真____真__真假__假____真____假__假真__真____真____假__假假__真____假____假__2．全称量词与存在量词(1)全称量词与全称命题①短语“__所有的__”“__任意一个__”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．②含有__全称量词__的命题，叫做全称命题．③全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为：__∀x∈M，p(x)__.(2)存在量词与特称命题①短语“__存在一个__”、“__至少有一个__”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．②含有__存在量词__的命题，叫做特称命题．③特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为：__∃x0∈M，p(x0)__.3．含有一个量词的命题的否定(1)命题命题的否定∀x∈M，p(x)__∃x0∈M，¬p(x0)__∃x0∈M，p(x0)__∀x∈M，¬p(x)__(2)p∨q的否定是__(¬p)∧(¬q)__；p∧q的否定是__(¬p)∨(¬q)__.1．逻辑联结词与集合的关系．(1)“或”与集合的“并”密切相关，集合的并集是用“或”来定义的，命题“p ∨q ”为真有三个含义：只有p 成立，只有q 成立，p 、q 同时成立；(2)“且”与集合的“交”密切相关，集合的交集是用“且”来定义的，命题p ∧q 为真表示p 、q 同时成立；(3)“非”与集合中的补集相类似． 2．常用短语的否定词1．下列语句是“p且q”形式的命题的是( C ) A ．老师和学生 B ．9的平方根是3C ．矩形的对角线互相平分且相等D ．对角线互相平分的四边形是矩形[解析] 对于选项C ，p ：矩形的对角线互相平分；q ：矩形的对角线相等，故选C ．2．设命题p ：函数y ＝sin2x 的最小正周期为π2，命题q ：函数y ＝cos x 的图像关于直线x ＝π2对称．则下列说法正确的是( C )A ．p 为真B ．¬q 为假C ．p ∧q 为假D ．p ∨q 为真[解析] y ＝sin2x 周期为π，故p 不正确；y ＝cos x 不关于x ＝π2对称，故q 不正确；故p ∧q 为假，选C ．3．(2018·武汉模拟)已知命题p ：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是( C ) A ．命题¬p 是真命题 B ．命题p 是特称命题 C ．命题p 是全称命题D．命题p既不是全称命题也不是特称命题[解析]命题p：实数的平方是非负数，是真命题，故¬p是假命题，命题p是全称命题，故选C．4．(2019·黑龙江省哈尔滨市第三中学高三上学期第一次调研考试)设x∈Z，若集合A是奇数集，集合B是偶数集，若命题p：∀x∈A,2x∈B，则(C)A．¬p：∀x∈A,2x∉B B．¬p：∀x∉A,2x∉BC．¬p：∃x∈A,2x∉B D．¬p：∃x∈A,2x∈B[解析]由全称命题的否定知，¬p：∃x∈A,2∉B，故选C．5．(2015·全国新课标卷Ⅰ)设命题p：∃n∈N，n2>2n，则¬p为(C)A．∀n∈N，n2>2n B．∃n∈N，n2≤2nC．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n[解析]由于命题p为特称命题，故其否定为全称命题，将命题p的量词“∃”改为“∀”，“n2>2n”改为“n2≤2n”．故选C．6．(2019·黑龙江省大庆铁人中学高三第一次模拟考试)已知命题p：“∃x0∈R，使得x20＋2ax0＋1<0成立”为真命题，则实数a满足(B)A．[－1,1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(1，＋∞)D．(－∞，－1)[解析]设f(x)＝x2＋2ax＋1，由已知得Δ>0,4a2－4>0，解得a>1或a<－1，故选B．考点1含逻辑联结词的命题及其真假判断——自主练透例1(1)若命题“p∨q”是真命题，“¬p”为真命题，则(B)A．p真，q真B．p假，q真C．p真，q假D．p假，q假(2)已知命题p1：当x，y∈R时，|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0；p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数．则命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(¬p1)∨p2，q4：p1∨(¬p2)中，真命题是(C) A．q1，q3B．q2，q3C．q1，q4D．q2，q4[解析](1)“¬p”为真命题，所以p为假命题；又因为命题“p∨q”是真命题，所以q为真命题．(2)对于p1(充分性)若xy≥0，则xy至少有一个为0或同号，所以|x＋y|＝|x|＋|y|一定成立；(必要性)若|x＋y|＝|x|＋|y|，两边平方，得：。

第一节集合一、基础知识批注——理解深一点 1．集合的有关概念 (1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性． 元素互异性，即集合中不能出现相同的元素，此性质常用于求解含参数的集合问题中． (2)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法． (3)元素与集合的两种关系：属于，记为 ∈ ；不属于，记为 ∁ . (4)五个特定的集合及其关系图：N*或 N＋表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集． 2．集合间的基本关系 (1)子集：一般地，对于两个集合 A，B，如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素，则称 A 是 B 的子集，记作 A⊆B(或 B⊇A)． (2)真子集：如果集合 A 是集合 B 的子集，但集合 B 中至少有一个元素不属于 A，则称 A 是 B 的真子集， 记作 A∁B 或 B∁A. A∁B⇔Error!既要说明 A 中任何一个元素都属于 B，也要说明 B 中存在一个元素不属于 A. (3)集合相等：如果 A⊆B，并且 B⊆A，则 A＝B. 两集合相等：A＝B⇔Error!A 中任意一个元素都符合 B 中元素的特性，B 中任意一个元素也符合 A 中元 素的特性． (4)空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合 A 的子集，是任何非空集合 B 的真子集．记作∁.0，{0}，∁，{∁}之间的关系：∁≠{∁}， ∁∈{∁}，∁⊆{∁}，0∁∁，0∁{∁},0∈{0}，∁⊆{0}． 3．集合间的基本运算 (1)交集：一般地，由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合，称为 A 与 B 的交集，记作 A∩B，即 A∩B＝{x|x∈A，且 x∈B}． (2)并集：一般地，由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合，称为 A 与 B 的并集，记作 A∪ B，即 A∪B＝{x|x∈A，或 x∈B}． (3)补集：对于一个集合 A，由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合称为集合 A 相对于全集 U 的补集，简称为集合 A 的补集，记作∁UA，即∁UA＝{x|x∈U，且 x∁A}． 求集合 A 的补集的前提是“A 是全集 U 的子集”，集合 A 其实是给定的条件.从全集 U 中取出集合 A 的全 部元素，剩下的元素构成的集合即为∁UA.二、常用结论汇总——规律多一点 (1)子集的性质：A⊆A，∁⊆A，A∩B⊆A，A∩B⊆B. (2)交集的性质：A∩A＝A，A∩∁＝∁，A∩B＝B∩A. (3)并集的性质：A∪B＝B∪A，A∪B⊇A，A∪B⊇B，A∪A＝A，A∪∁＝∁∪A＝A. (4)补集的性质：A∪∁UA＝U，A∩∁UA＝∁，∁U(∁UA)＝A，∁AA＝∁，∁A∁＝A. (5)含有 n 个元素的集合共有 2n 个子集，其中有 2n－1 个真子集，2n－1 个非空子集． (6)等价关系：A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔A⊇B.三、基础小题强化——功底牢一点∁一∁判一判∁对的打“√”，错的打“ × ”∁ (1)若{x2,1}＝{0,1}，则 x＝0,1.( ) (2){x|x≤1}＝{t|t≤1}．( ) (3){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．( ) (4)任何一个集合都至少有两个子集．( ) (5)若 A∁B，则 A⊆B 且 A≠B.( ) (6)对于任意两个集合 A，B，关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立．( ) (7)若 A∩B＝A∩C，则 B＝C.( )答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√　(6)√　(7)×(二)选一选1．已知集合 A＝{x∈R|0<3－x≤2}，B＝{x∈R|0≤x≤2}，则 A∪B＝( )A．[0,3] 　B．[1,2]C．[0,3)D．[1,3]解析：选 C　因为 A＝{x∈R|0<3－x≤2}＝{x∈R|1≤x<3}，所以 A∪B＝{x∈R|0≤x<3}.2．若集合 A＝{x∈N|x≤ 10}，a＝2 2，则下面结论中正确的是( )A．{a}⊆AB．a⊆AC．{a}∈AD．a∁A解析：选 D　因为 2 2不是自然数，所以 a∁A. 3．(2018·全国卷Ⅱ)已知集合 A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则 A 中元素的个数为( )A．9B．8C．5D．4解析：选 A　法一：将满足 x2＋y2≤3 的整数 x，y 全部列举出来，即 (－ 1， －1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共有 9个．故选 A.法二：根据集合 A 的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，易知在圆 x2＋y2＝3 中有 9 个整点，即为集合 A 的元素个数，故选 A.(三)填一填4．若集合 A＝{x|－2<x<1}，B＝{x|x<－1 或 x>3}，则 A∩B＝________.解析：由集合交集的定义可得 A∩B＝{x|－2<x<－1}．答案：{x|－2<x<－1}5．已知集合 U＝{－1,0,1}，A＝{x|x＝m2，m∈U}，则∁UA＝________. 解析：∵A＝{x|x＝m2，m∈U}＝{0,1}，∴∁UA＝{－1}．答案：{－1}考点一　集合的基本概念 [典例]　(1)(2017·全国卷Ⅲ)已知集合 A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则 A∩B 中元素的个数为( )A．3 　B．2C．1D．0{ } (2)已知 a，b∈R，若 a，ba，1 ＝{a2，a＋b,0}，则 a2 019＋b2 019 的值为( )A．1B．0C．－1D．±1[解析]　(1)因为 A 表示圆 x2＋y2＝1 上的点的集合，B 表示直线 y＝x 上的点的集合，直线 y＝x 与圆 x2＋y2＝1 有两个交点，所以 A∩B 中元素的个数为 2. (2)由已知得 a≠0，则ba＝0，所以 b＝0，于是 a2＝1，即 a＝1 或 a＝－1.又根据集合中元素的互异性可知 a＝1 应舍去，因此 a＝－1，故 a2 019＋b2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1.[答案]　(1)B　(2)C[解题技法]　与集合中的元素有关的解题策略(1)确定集合中的代表元素是什么，即集合是数集还是点集．(2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．[提醒]　集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．[题组训练]1．设集合 A＝{0,1,2,3}，B＝{x|－x∈A,1－x∁A}，则集合 B 中元素的个数为( )A．1B．2C．3D．4解析：选 A　若 x∈B，则－x∈A，故 x 只可能是 0，－1，－2，－3，当 0∈B 时，1－0＝1∈A；当－1∈B 时，1－(－1)＝2∈A；当－2∈B 时，1－(－2)＝3∈A；当－3∈B 时，1－(－3)＝4∁A，所以 B＝{－3}，故集合 B 中元素的个数为 1.2．若集合 A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则 a 等于( )A.92B.98C．0D．0 或9 8解析：选 D　若集合 A 中只有一个元素，则方程 ax2－3x＋2＝0 只有一个实根或有两个相等实根．当 a＝0 时，x＝23，符合题意． 当 a≠0 时，由 Δ＝(－3)2－8a＝0，得 a＝9，8 所以 a 的值为 0 或98. 3.（2018·厦门模拟）已知 P={x|2<x<k,x∈N},若集合 P 中恰有 3 个元素，则 k 的取值范围为.∁解析：因为 P 中恰有 3 个元素，所以 P=｛3，4，5｝，故 k 的取值范围为 5<k≤6.∁答案：（5，6］考点二　集合间的基本关系 [典例]　(1)已知集合 A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则( )A．B⊆A 　B．A＝BC．A∁BD．B∁A(2)(2019·湖北八校联考)已知集合 A＝{x∈N*|x2－3x<0}，则满足条件 B⊆A 的集合 B 的个数为( )A．2B．3C．4D．8(3)已知集合 A＝{x|－1<x<3}，B＝{x|－m<x<m}，若 B⊆A，则 m 的取值范围为________．[解析]　(1)由 x2－3x＋2＝0 得 x＝1 或 x＝2，∴A＝{1,2}．由题意知 B＝{1,2,3,4}，比较 A，B 中的元素可知 A∁B，故选 C.(2)∵A＝{x∈N*|x2－3x<0}＝{x∈N*|0<x<3}＝{1,2}，又 B⊆A，∴满足条件 B⊆A 的集合 B 的个数为 22＝4，故选 C.(3)当 m≤0 时，B＝∁，显然 B⊆A.当 m>0 时，因为 A＝{x|－1<x<3}．若 B⊆A，在数轴上标出两集合，如图，所以Error!所以 0<m≤1.综上所述，m 的取值范围为(－∞，1]．[答案]　(1)C　(2)C　(3)(－∞，1][变透练清]1.(变条件)若本例(2)中 A 不变，C＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件 A⊆B⊆C 的集合 B 的个数为( )A．1 　B．2C．3D．4解析：选 D　因为 A＝{1,2}，由题意知 C＝{1,2,3,4}，所以满足条件的 B 可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．2.(变条件)若本例(3)中，把条件“B⊆A”变为“A⊆B”，其他条件不变，则 m 的取值范围为________． 解析：若 A⊆B，由Error!得 m≥3，∴m 的取值范围为[3，＋∞)．答案：[3，＋∞)3．已知集合 A＝{1,2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}，若 B⊆A，则实数 m 的取值范围为________．解析：①若 B＝∁，则 Δ＝m2－4<0，解得－2<m<2；②若 1∈B，则 12＋m＋1＝0，解得 m＝－2，此时 B＝{1}，符合题意；③若 2∈B，则 22＋2m＋1＝0，{ } 解得 m＝－52，此时 B＝ 2，12 ，不合题意．综上所述，实数 m 的取值范围为[－2,2)．答案：[－2,2)[解题技法]判定集合间基本关系的两种方法和一个关键两种①化简集合，从表达式中寻找两集合的关系；方法 一个 关键②用列举法(或图示法等)表示各个集合，从元素(或图形)中寻找关系 关键是看它们是否具有包含关系，若有包含关系就是子集关系，包括相等和 真子集两种关系考点三　集合的基本运算 考法(一)　集合的运算[典例]　(1)(2018·天津高考)设集合 A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，C＝{x∈R|－1≤x＜2}，则(A∪B)∩C＝( )A．{－1,1} 　B．{0,1}C．{－1,0,1}D．{2,3,4}(2)已知全集 U＝R，集合 A＝{x|x2－3x－4>0}，B＝{x|－2≤x≤2}，则如图所示阴影部分所表示的集合为( )A．{x|－2≤x<4} B．{x|x≤2 或 x≥4} C．{x|－2≤x≤－1} D．{x|－1≤x≤2} [解析]　(1)∵A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,0,2,3}， ∴A∪B＝{－1,0,1,2,3,4}． 又 C＝{x∈R|－1≤x＜2}， ∴(A∪B)∩C＝{－1,0,1}． (2)依题意得 A＝{x|x<－1 或 x>4}， 因此∁RA＝{x|－1≤x≤4}，题中的阴影部分所表示的集合为(∁RA)∩B＝{x|－1≤x≤2}． [答案]　(1)C　(2)D [解题技法]　集合基本运算的方法技巧 (1)当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助 Venn 图运算．(2)当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验．(3)集合的交、并、补运算口诀如下：交集元素仔细找，属于 A 且属于 B；并集元素勿遗漏，切记重复仅取一；全集 U 是大范围，去掉 U 中 a 元素，剩余元素成补集．考法(二)　根据集合运算结果求参数[典例]　(1)已知集合 A＝{x|x2－x－12>0}，B＝{x|x≥m}．若 A∩B＝{x|x>4}，则实数 m 的取值范围是( )A．(－4,3)B．[－3,4]C．(－3,4)D．(－∞，4](2)(2019·河南名校联盟联考)已知 A＝{1,2,3,4}，B＝{a＋1,2a}，若 A∩B＝{4}，则 a＝( )A．3B．2C．2 或 3D．3 或 1[解析]　(1)集合 A＝{x|x<－3 或 x>4}，∵A∩B＝{x|x>4}，∴－3≤m≤4，故选 B.(2)∵A∩B＝{4}，∴a＋1＝4 或 2a＝4.若 a＋1＝4，则 a＝3，此时 B＝{4,6}，符合题意；若 2a＝4，则a＝2，此时 B＝{3,4}，不符合题意．综上，a＝3，故选 A.[答案]　(1)B　(2)A[解题技法]根据集合的运算结果求参数值或范围的方法(1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系．若集合中的元素能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；若集合是与不等式有关的集合，则一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到．(2)将集合之间的关系转化为解方程(组)或不等式(组)问题求解．(3)根据求解结果来确定参数的值或取值范围．[题组训练]1．已知集合 A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}，则 A∪B＝( )A．{1}B．{1,2}C．{0,1,2,3}D．{－1,0,1,2,3}解析：选 C　因为集合 B＝{x|－1<x<2，x∈Z}＝{0,1}，而 A＝{1,2,3}，所以 A∪B＝{0,1,2,3}．2．(2019·重庆六校联考)已知集合 A＝{x|2x2＋x－1≤0}，B＝{x|lg x<2}，则(∁RA)∩B＝( )( ) A. 12，100( ) B. 12，2[ ) C. 12，100D．∁[ ] ( ) ( ) 解析：选 A　由题意得 A＝ －1，12 ，B＝(0,100)，则∁RA＝(－∞，－1)∪ 12，＋∞ ，所以(∁RA)∩B＝ 12，100.3．(2019·合肥质量检测)已知集合 A＝[1，＋∞)，B＝Error!，若 A∩B≠∁，则实数 a 的取值范围是( )A．[1，＋∞)[ ) C. 23，＋∞解析：选 A　因为 A∩B≠∁，[ ] B. 12，1D．(1，＋∞)所以Error!解得 a≥1.[课时跟踪检测] 1．(2019·福州质量检测)已知集合 A＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，B＝{x|－1<x≤4}，则集合 A∩B 中元素的个数为( )A．1 　B．2C．3D．4解析：选 B　依题意，集合 A 是由所有的奇数组成的集合，故 A∩B＝{1,3}，所以集合 A∩B 中元素的个数为 2.2．设集合 U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{1,3,5}，B＝{3,4,5}，则∁U(A∪B)＝( )A．{2,6}B．{3,6}C．{1,3,4,5}D．{1,2,4,6}解析：选 A　因为 A＝{1,3,5}，B＝{3,4,5}，所以 A∪B＝{1,3,4,5}．又 U＝{1,2,3,4,5,6}，所以∁U(A∪B)＝{2,6}．3．(2018·天津高考)设全集为 R，集合 A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x≥1}，则 A∩(∁RB)＝( )A．{x|0＜x≤1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|1≤x＜2}D．{x|0＜x＜2}解析：选 B　∵全集为 R，B＝{x|x≥1}，∴∁RB＝{x|x＜1}． ∵集合 A＝{x|0＜x＜2}，∴A∩(∁RB)＝{x|0＜x＜1}． 4．(2018·南宁毕业班摸底)设集合 M＝{x|x<4}，集合 N＝{x|x2－2x<0}，则下列关系中正确的是( )A．M∩N＝MB．M∪(∁RN)＝MC．N∪(∁RM)＝RD．M∪N＝M解析：选 D　由题意可得，N＝(0,2)，M＝(－∞，4)，所以 M∪N＝M.5．设集合 A＝Error!，B＝{x|ln x≤0}，则 A∩B 为( )( ) A. 0，12B．[－1,0)[ ) C. 12，1D．[－1,1]解析：选 A　∵12≤2x<2， 即2－ 1≤2x<21 2， ∴ － 1≤x<12， ∴ A＝ Error!.∵ lnx≤0， 即lnx≤ln1， ∴0<x≤1，∴B＝{x|0<x≤1}，∴A∩B＝Error!.6．(2019·郑州质量测试)设集合 A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若 A∩B＝A，则 a 的取值范围是( )A．(－∞，2]B．(－∞，1]C．[1，＋∞)D．[2，＋∞)解析：选 D　由 A∩B＝A，可得 A⊆B，又因为 A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，所以 a≥2.7．已知全集 U＝A∪B 中有 m 个元素，(∁UA)∪(∁UB)中有 n 个元素．若 A∩B 非空，则 A∩B 的元素个数为( )A．mnB．m＋nC．n－mD．m－n解析：选 D　因为(∁UA)∪(∁UB)中有 n 个元素，如图中阴影部分所示，又 U＝A∪B 中有 m 个元素，故 A∩B 中有 m－n 个元素．8．定义集合的商集运算为BA＝Error!，已知集合 A＝{2,4,6}，B＝Error!，则集合BA∪B 中的元素个数为 ()A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选B 由题意知，B ＝{0,1,2}，＝，则∪B ＝，B A {0，12，14，16，1，13}B A {0，12，14，16，1，13，2}共有7个元素．9．设集合A ＝{x |x 2－x －2≤0}，B ＝{x |x <1，且x ∈Z}，则A ∩B ＝________.解析：依题意得A ＝{x |(x ＋1)(x －2)≤0}＝{x |－1≤x ≤2}，因此A ∩B ＝{x |－1≤x <1，x ∈Z}＝{－1,0}．答案：{－1,0}10．已知集合U ＝R ，集合A ＝[－5,2]，B ＝(1,4)，则下图中阴影部分所表示的集合为________．解析：∵A ＝[－5,2]，B ＝(1,4)，∴∁U B ＝{x |x ≤1或x ≥4}，则题图中阴影部分所表示的集合为(∁U B )∩A ＝{x |－5≤x ≤1}．答案：{x |－5≤x ≤1}11．若集合A ＝{(x ，y )|y ＝3x 2－3x ＋1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则集合A ∩B 中的元素个数为________．解析：法一：由集合的意义可知，A ∩B 表示曲线y ＝3x 2－3x ＋1与直线y ＝x 的交点构成的集合．联立得方程组Error!解得Error!或Error!故A ∩B ＝，所以A ∩B 中含有2个元素．{(13，13)，∁1，1∁}法二：由集合的意义可知，A ∩B 表示曲线y ＝3x 2－3x ＋1与直线y ＝x 的交点构成的集合．因为3x 2－3x ＋1＝x 即3x 2－4x ＋1＝0的判别式Δ>0，所以该方程有两个不相等的实根，所以A ∩B 中含有2个元素．答案：212．已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝{x |x ＜a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是__________．解析：由log 2x ≤2，得0＜x ≤4，即A ＝{x |0＜x ≤4}，而B ＝{x |x ＜a }，由于A ⊆B ，在数轴上标出集合A ，B ，如图所示，则a ＞4.答案：(4，＋∞)13．设全集U＝R，A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2<x<4}，C＝{x|a≤x≤a＋1}．(1)分别求A∩B，A∪(∁U B)；(2)若B∪C＝B，求实数a的取值范围．解：(1)由题意知，A∩B＝{x|1≤x≤3}∩{x|2<x<4}＝{x|2<x≤3}．易知∁U B＝{x|x≤2或x≥4}，所以A∪(∁U B)＝{x|1≤x≤3}∪{x|x≤2或x≥4}＝{x|x≤3或x≥4}．(2)由B∪C＝B，可知C⊆B，画出数轴(图略)，易知2<a<a＋1<4，解得2<a<3.故实数a的取值范围是(2,3)．。

第一章集合、命题逻辑与充要条件第1讲集合的概念一、考纲研读1．通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；2．能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；3．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；4．在具体情境中，了解全集与空集的含义。

二、知识梳理1．集合：某些指定的集在一起成为集合。

a∈；若b不是集合A的元（1）集合中的对象称，若a是集合A的元素，记作Ab∉；素，记作A（2）集合中的元素必须满足：、与；确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；（3）表示一个集合可用、或；列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。

具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。

注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。

（4）常用数集及其记法：非负整数集（或自然数集），记作；正整数集，记作；整数集，记作；有理数集，记作；实数集，记作。

2．集合的包含关系：（1）集合A的任何一个元素都是集合B的元素，则称A是B的（或B包含A），A⊂）；记作A⊆B（或B集合相等：构成两个集合的元素完全一样。

若A⊆B且B⊇A，则称A等于B，记作A=B；若A⊆B且A≠B，则称A是B的，记作A≠⊂B；（2）简单性质：1）A⊆A；2）Φ⊆A；3）若A⊆B，B⊆C，则A⊆C；4）若集合A是n 个元素的集合，则集合A有个子集（其中2n－1个真子集）；三、考点难点整合考点1 集合中元素的正确识别[知识归纳]识别集合的元素关键是看竖线前面的符号是什么[考点分析]考查考生对集合概念的认识和理解[例1] 已知集合P={x∈N|1≤x≤10}，Q={x∈R|x2+x－6=0}，则P∩Q等于( ) A．{2} B．{1，2} C．{2，3} D．{1，2，3}巩固训练11-1．若集合M ＝{0，l ，2}，N ＝{(x ，y)|x －2y ＋1≥0且x －2y －1≤0，x ，y ∈M }，则N中元素的个数为( )A ．9B ．6C ．4D ．21-2．设集合},4121|{Z k k x x A ∈+==，若29=x ，则下列关系正确的是（ ） A ．A x ⊂ B ．A x ∈ C ．A x ∈}{ D ．A x ⊂}{考点2 集合相等的含义及其运用[知识归纳]集合相等要求集合里面的元素要完全一样。

第一讲 集合概念及集合上的运算知识、方法、技能高中一年级数学（上）（试验本）课本中给出了集合的概念；一般地，符合某种条件（或具有某种性质）的对象集中在一起就成为一个集合.在此基础上，介绍了集合的元素的确定性、互异性、无序性.深入地逐步给出了有限集、无限集，集合的列举法、描述法和子集、真子集、空集、非空集合、全集、补集、并集等十余个新名词或概念以及二十几个新符号.由此形成了在集合上的运算问题，形成了以集合为背景的题目和用集合表示空间的线面及其关系，表面平面轨迹及其关系，表示充要条件，描述排列组合，用集合的性质进行组合计数等综合型题目.赛题精讲Ⅰ．集合中待定元素的确定充分利用集合中元素的性质和集合之间的基本关系，往往能解决某些以集合为背景的高中数学竞赛题.请看下述几例. 例1：求点集}lg lg )9131lg(|),{(33y x y x y x +=++中元素的个数. 【思路分析】应首先去对数将之化为代数方程来解之. 【略解】由所设知,9131,0,033xy y x y x =++>>及 由平均值不等式，有,)91()31()(3913133333xy y x y x =⋅⋅≥++当且仅当333331,91,9131====y x y x 即（虚根舍去）时，等号成立. 故所给点集仅有一个元素.【评述】此题解方程中，应用了不等式取等号的充要条件，是一种重要解题方法，应注意掌握之.例2：已知.}.,22|{},,34|{22B A x x x y y B x x x y y A ⋂∈+--==∈+-==求R R 【思路分析】先进一步确定集合A 、B.【略解】,11)2(2≥--=x y 又.33)1(2≤++-=x y ∴A=}.31|{},3|{},1|{≤≤-=⋂≤=-≥y y B A y y B y y 故 【评述】此题应避免如下错误解法：联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=.22,3422x x y x x y 消去.0122,2=+-x x y 因方程无实根，故φ=⋂B A . 这里的错因是将A 、B 的元素误解为平面上的点了.这两条抛物线没有交点是实数.但这不是抛物线的值域.例3：已知集合|}.|||1|||),{(},0,|||||),{(y x xy y x B a a y x y x A +=+=>=+= 若B A ⋂是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则a 的值为 . 【思路分析】可作图，以数形结合法来解之. 【略解】点集A 是顶点为（a ，0），（0，a ），（－a ，0），（0，－a ）的正方形的四条边构成（如图Ⅰ－1－1－1）.将||||1||y x xy +=+，变形为,0)1|)(|1|(|=--y x 所以，集合B 是由四条直线1,1±=±=y x 构成.欲使B A ⋂为正八边形的顶点所构成，只有212<<>a a 或这两种情况. （1）当2>a 时，由于正八形的边长只能为2，显然有,2222=-a故 22+=a .（2）当21<<a 时，设正八形边长为l ，则,222,2245cos -=-=︒l ll 这时，.221=+=la综上所述，a 的值为,222或+如图Ⅰ－1－1－1中).0,22(),0,2(+B A【评述】上述两题均为1987年全国高中联赛试题，题目并不难，读者应从解题过程中体会此类题目的解法.Ⅱ．集合之间的基本关系充分应用集合之间的基本关系（即子、交、并、补），往往能形成一些颇具技巧的集合综合题.请看下述几例.例4：设集合},|613{},|21{},|{},|2{Z Z Z Z ∈+=∈+=∈=∈=n n D n n C n n B n n A 则在下列关系中，成立的是 （ ）A ．D CB A ≠≠≠⊂⊂⊂B ．φφ=⋂=⋂DC B A ,图Ⅰ－1－1－1C ．D C C B A ≠⊂⋃=,D ．φ=⋂=⋃D C B B A ,【思路分析】应注意数的特征，即.,612613,21221Z ∈+=++=+n n n n n 【解法1】∵},|613{},|21{},|{},|2{Z Z Z Z ∈+=∈+=∈=∈=n n D n n C n n B n n A∴D C C B A ≠⊂⋃=,.故应选C.【解法2】如果把A 、B 、C 、D 与角的集合相对应，令}.|63{},|2{},|{},|2{Z Z Z Z ∈+=∈+='∈='∈='n n D n n C n n B n n A ππππππ 结论仍然不变，显然A ′为终边在坐标轴上的角的集合，B ′为终边在x 轴上的角的集 合，C ′为终边在y 轴上的角的集合，D ′为终边在y 轴上及在直线x y 33±=上的角的集合，故应选（C ）.【评述】解法1是直接法，解法2运用转化思想把已知的四个集合的元素转化为我们熟悉的的角的集合，研究角的终边，思路清晰易懂，实属巧思妙解.例5：设有集合B A B A x x B x x x A ⋃⋂<==-=和求和},2|||{}2][|{2（其中[x ]表示不超过实数x 之值的最大整数）.【思路分析】应首先确定集合A 与B.从而 .2,.21A x ∈≤≤-显然 ∴}.22|{≤<-=⋃x x B A 若 },2,1,0,1{][,2][,2--∈+=⋂∈x x x B A x 则从而得出 ).1]([1)1]([3-=-===x x x x 或 于是 }3,1{-=⋂B A【评述】此题中集合B 中元素x 满足“|x |<3”时，会出现什么样的结果，读者试解之. 例6：设})],([|{},),(|{),,()(2R R R ∈==∈==∈++=x x f f x x B x x f x x A c b c bx x x f 且， 如果A 为只含一个元素的集合，则A=B.【思路分析】应从A 为只含一个元素的集合入手，即从方程0)(=-x x f 有重根来解之. 【略解】设0)(},|{=-∈=x x f A 则方程R αα有重根α，于是,)()(2α-=-x x x f)],([..)()(2x f f x x x x f =+-=从而α即 ,)()]()[(222x x x x x +-+-+-=ααα整理得,0]1)1[()(22=++--ααx x 因α,x 均为实数.,01)1(2αα=≠++-x x 故 即.}{A B ==α【评述】此类函数方程问题，应注意将之转化为一般方程来解之.例7：已知N N M a y x y x N x y y x M =⋂≤-+=≥=求}.1)(|),{(},|),{(222成立时，a 需满足的充要条件.【思路分析】由.,M N N N M ⊆=⋂可知 【略解】.M N N N M ⊆⇔=⋂由).1()12(1)(22222a y a y y x a y x -+-+-≤≤-+得于是， 若0)1()12(22≤-+-+-a y a y ①必有.,2M N x y ⊆≥即而①成立的条件是 ,04)12()1(422m a x ≤-----=a a y 即 ,0)12()1(422≤-+-a a 解得 .411≥a【评述】此类求参数范围的问题，应注意利用集合的关系，将问题转化为不等式问题来求解. 例8：设A 、B 是坐标平面上的两个点集，}.|),{(222r y x y x C r ≤+= 若对任何0≥r 都有B C A C r r ⋃⊆⋃，则必有B A ⊆.此命题是否正确？ 【思路分析】要想说明一个命题不正确，只需举出一个反例即可. 【略解】不正确.反例：取},1|),{(22≤+=y x y x A B 为A 去掉（0，0）后的集合. 容易看出,B C A C r r ⋃⊆⋃但A 不包含在B 中.【评述】本题这种举反例判定命题的正确与否的方法十分重要，应注意掌握之. Ⅲ．有限集合中元素的个数有限集合元素的个数在课本P 23介绍了如下性质： 一般地，对任意两个有限集合A 、B ，有).()()()(B A card B card A card B A card ⋂-+=⋃我们还可将之推广为：一般地，对任意n 个有限集合,,,,21n A A A 有)(1321n n A A A A A card ⋃⋃⋃⋃⋃-)]()([)]()()()([3121321A A card A A card A card A card A card A card n ⋂+⋂-++++=)]()]([)]()(1232111n n n n n n A A A card A A A card A A card A A card ⋂⋂++⋂⋂+⋂++⋂++---).()1(311n n A A A card ⋂⋂⋂⋅-+--应用上述结论，可解决一类求有限集合元素个数问题.【例9】某班期末对数学、物理、化学三科总评成绩有21个优秀，物理总评19人优秀，化学总评有20人优秀，数学和物理都优秀的有9人，物理和化学都优秀的有7人，化学和数学都优秀的有8人，试确定全班人数以及仅数字、仅物理、仅化学单科优秀的人数范围（该班有5名学生没有任一科是优秀）.【思路分析】应首先确定集合，以便进行计算. 【详解】设A={数学总评优秀的学生}，B={物理总评优秀的学生}，C={化学总评优秀的学生}. 则.8)(,7)(,9)(,20)(,19)(,21)(=⋂=⋂=⋂===A C card C B card B A card C card B card A card ∵)()()()()()()(A C card C B card B A card C card B card A card C B A card ⋂-⋂-⋂-++=⋃⋃),(C B A card ⋂⋂+ ∴.3689201921)()(=--++=⋂⋂-⋃⋃C B A card C B A card这里，)(C B A card ⋃⋃是数、理、化中至少一门是优秀的人数，)(C B A card ⋂⋂是这三科全优的人数.可见，估计)(C B A card ⋃⋃的范围的问题与估计)(C B A card ⋂⋂的范围有关.注意到7)}(),(),(min{)(=⋂⋂⋂≤⋂⋂A C card C B card B A card C B A card ，可知 7)(0≤⋂⋂≤C B A card . 因而可得.43)(36≤⋃⋃≤C B A card又∵.5)(),()()(=⋃⋃=⋃⋃+⋃⋃C B A card U card C B A card C B A card 其中 ∴.48)(41≤≤U card 这表明全班人数在41~48人之间. 仅数学优秀的人数是).(C B A card ⋃⋂∴)()()()()(B card C B A card C B card C B A card C B A card -⋃⋃=⋃-⋃⋃=⋃⋂.32)()()(-⋃⋃=⋂+-C B A card C B card C card可见,11)(4≤⋃⋂≤C B A card 同理可知 ,10)(3≤⋃⋂≤C A B card.12)(5≤⋃⋂≤A B C card故仅数学单科优秀的学生在4~11之间，仅物理单科优秀的学生数在3~10之间，仅化学单科优秀的学生在5~12人之间.【评述】根据题意，设计这些具有单一性质的集合，列出已知数据，并把问题用集合中元素数目的符号准确地提出来，在此基础上引用有关运算公式计算，这是解本题这类计数问题的一般过程.针对性练习题1．设S={1，2，…，n}，A 为至少含有两项的、公差为正的等差数列，其项都在S 中，且添加S 的其他元素于A 后均不能构成与A 有相同公差的等差数列.求这种A 的个数，（这里只有两项的数列也看做等差数列）.2．设集合S n ={1，2，…，n}，若X 是S n 的子集，把X 中的所有数的和为X 的“容量”.（规定空集的容量为0），若X 的容量为奇（偶）数，则称X 为S n 的奇（偶）子集. （1）求证：S n 的奇子集与偶子集个数相等.（2）求证：当3≥n 时，S n 的所有奇子集的容量之和与所有偶子集的容量之和相等. （3）当3≥n 时，求S n 的所有奇子集的容量之和.3．设M={1，2，3，…，1995}，A 是M 的子集且满足条件：当A x ∈时，A x ∉15，则A中元素的个数最多是多少个. 4．集合*},2110log 1|{1N ∈-<≤-x x x的真子集的个数是多少个？ 5．对于集合}.3,2,1,3|{},4,3,2,1,3|{======k x x N n n x x M k若有集合S 满足 N M S N M ⋃⊆⊆⋂，则这样的S 有多少个？ 6．求集合方程有序解的个数}.,,2,1{n Y X =⋃7．设E={1，2，3，…，200}，E a a a a G ≠⊂=},,,,{100321 ，且G 具有下列两条性质：（Ⅰ）对任何1001≤≤≤j i ，恒有 ;201≠+j i a a （Ⅱ）.100801001=∑=i ia试证：G 中的奇数的个数是4的倍数，且G 中所有数字的平方和为一个定数.高 一 数 学 试 题班级 姓名 座号 得分一.选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知集合M={-1,0,1,3,5},N={-2,1,2,3,5},则=⋂N M ( )A.{-1，1，3}B.{1，2，5}C.{1，3，5}D.φ2．设集合A={x |1＜x ＜2｝, B={x |x ＜a ｝满足A ≠⊂B ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ≥2 B ．a ≤1C ．a ≥1D ．a ≤23．设全集I={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，2，3}，集合B={2，3，4}，则 (A C I ）∪（B C I ）=（ ） A ．{0}B ．{0，1}C ．{0，1，4}D ．{0，1，2，3，4}4．已知集合M={(x ，y )|4x ＋y =6}，P={(x ，y )|3x ＋2y =7}，则M ∩P 等于（ ） A ．(1，2) B ．{1}∪{2} C ．{1，2} D ．{(1，2)} 5．集合{}(0,1),(1,1),(1,0)的非空真子集的个数是 （ ）A.6B.7C.62D.636．如果命题“p 或q ”和命题“p 且q ”都为真命题，则命题p 、q 的真假情形为 （ ） A.p 真q 假 B.p 假q 真 C.p 真q 真 D.p 假q 假7.已知集合{},01032=-+=x x x A {}2>=x x B ，那么A ∩=B （ ）A ．｛5｝B ．｛5-｝C ．｛5,2-｝D ．｛5,2-｝ 8.不等式632≤-x 的解集为 ( )A. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤2923x xB ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-2923x x C. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥≤29,23|x x x 或 D. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-≤29,23|x x x 或 9.下列命题中的假命题是 （ ）A.空集是任何集合的子集B.不等式5－4x ＋x 2≤0的解集是∅C.任一个命题都有逆命题D.{质数}这个集合中无偶数元素 10.若P ≠⊂Q ，则P x ∈是Q x ∈的 ( )A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 不充分且不必条件11.设N U =,集合=A {}04122>-+∈x x N x ，=B ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥+--∈02)3)(8(x x x Nx ,则)(B C A U ⋂＝ （ ）A. {}5.4.3,0B. {}6,5.3,0C. {}5.4D. {}6,5.412.已知关于x 的不等式(a+b)x+(2a-3b)<0的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<31x x ,则关于x 的不等式(-3b)x+(b-2a)>0的解集是 （ ）A ．{}1-<x xB ．{}2-<x xC ．{}2>x xD ．{}3->x x 二.填空题：(本大题共4小题，每小题4分，共16分)13. 已知集合=A {}422<<x x ，=B ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-323x x .则=⋃B A 14.设集合M={a |a-36∈N ，且a ∈Z}，用列举法表示集合M=_____ _ __． 15.用描述法表示使根式111--x 有意义的实数x 的集合 . 16.命题“若两个三角形相似，则这两个三角形面积之比等于对应高的平方比”的逆否命题 是 . ( 填真命题, 或假命题)三.解答题（第17、18、19、20、21小题每小题12分, 第22小题14分,6个小题共74分）17．设两个集合{}{}1,1,0,2,,12++=++=b a B a a a A ,其中R b a ∈,.若,B A =求a 和b的值.18．解不等式 522>+-x x19. 已知命题:P “若,0≥ac 则二次方程02=++c bx ax 没有实根”. (1)写出命题P 的否命题；(2)判断命题P 的否命题的真假, 并证明你的结论.20. 已知=A 集合{}32<<x x ，集=B {}0622>++k x kx x ，实数集R .(1) 若B A =,求实数k 的值；(2) 若R R B =⋂，求实数k 的取值范围.21.已知集合=A ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥+7121x x ，=B {}R m m x m x ∈+≤≤-,112，且B A ⊆，求m 的取值范围．22. 设=M {}831>-++x x x ，=P {}08)8(2≤--+a x a x x .求a 的一个取值范围，使它为 =⋂P M {}85≤<x x 的一个必要不充分条件. 写出推理过程.四. 附加题(10分) 解关于x 的不等式：).(,21R a a x∈>-参考解答一、选择题： 1C 2A 3C 4D 5A 6C 7B 8B 9D 10A 11C 12A. 二、填空题：13.{}32<<-x x 14.{}2,1,0,3- 15. {}2,1|≥<x x x 或 16.真命题 三、解答题17. 解: ,B A =,0A ∈∴ 022>++a a ,∴必有0=a .故{}2,1,0=A ,而{}1,1,0+=b B 又 ,B A =∴.1,21=⇒=+b b 综上,.1,0==b a18. 解: 522>+-x x ,522-<+-⇔x x 或⇔>+-⇔.522x x072<+-x x ………… ① 或032>--⇔x x ……………②解①得φ∈x 解②得2131-<x ,或2131+>x . 综上, 原不等式的解集为 .2131,2131|⎭⎬⎫⎩⎨⎧+>-<x x x 或 19.解:(1)命题P 的否命题为:“若,0<ac 则二次方程02=++c bx ax 有实根”. (2)命题P 的否命题是真命题. 证明如下:,04,0,02>-=∆⇒>-∴<ac b ac ac ⇒二02=++c bx ax 有实根. ∴该命题是真命题.20.解:(1) 由B A =知不等式0622>++k x kx 的解集是{}32<<x x ,所以3,221==x x 是方程0622=++k x kx 的两个根, 由韦达定理得,63265322⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯==+=-kk k 且.52.0-=⇒<k k (2)由R R B =⋂知不等式0622>++k x kx 的解集是,R 显然,0≠k∴R R B =⋂⎩⎨⎧<⋅-=∆>⇔064202k k k ,解之得.66>k 21. 解：{}|25A x x =-<≤∵B A ⊆当211m m ->+即 2m >时，B A =∅⊆当211m m -=+即 2m =时，{}3B A =⊆当211m m -<+即 2m <时，22115m m -<-⎧⎨+≤⎩⇒142m -<≤，∴122m -<< 综上得12m >- 22. 解: =M {}831>-++x x x ={}5,3|>-<x x x 或 =P {}0))(8(|≤+-a x x x当8-≤a 时, =P {}a x x -≤≤8|, 当8->a 时, =P {}8|≤≤-x a x , ∴ =⋂P M {}85≤<x x 3553≤≤-⇔≤-≤-⇔a a∴ =⋂P M {}85≤<x x 的一个必要不充分条件是5≤a .注：必要不充分条件W ,W 满足{}35|≤≤-a x ≠⊂W .四. 附加题解:.02)12(02)2(102121<---⇔<--+⇔<+-⇔>-x a ax x x a a x a x （1）当0=a 时, 原不等式⇔.021>-x∴原不等式的解集为 {}2<x x ; (2) 当0>a 时, 原不等式⇔.02)12(<---x a x 这时,212<-a ∴原不等式的解集为 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-212x a x ; (3) 当0<a 时, 原不等式⇔.02)12(>---x a x 这时,212>-a ∴原不等式的解集为 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-><a x x x 12,2|或.。

第1讲集合◆高考导航·顺风启程◆最新考纲常见题型1.集合的含义与表示(1)了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系．(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．2.集合间的基本关系(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义．3.集合的基本运算(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用Venn 图表示集合的关系及运算.多以选择题出现于第1或第2题位置，是高考必考内容，占5分左右．[知识梳理]1．集合的相关概念(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性.(2)元素与集合的两种元素：属于，记为∈；不属于，记为∉.(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.(4)五个特定的集合：集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN *或N ＋ZQR2．集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言记法基本关系子集集合A 的元素都是集合B 的元素x ∈A ⇒x ∈B A ⊆B 或B ⊇A 真子集合A 是集合B 的子集，且集合B 中A ⊆B ，且∃x 0∈B ，x 0AB 或集至少有一个元素不属于A∉A B A相等集合A ，B 的元素完全相同A ⊆B ，B ⊆A A ＝B 空集不含任何元素的集合，空集是任何集合A 的子集∀x ，x ∉∅，∅⊆A∅3．集合的基本运算表示运算文字语言符号语言图形语言记法交集属于集合A且属于集合B 的元素组成的集合{x |x ∈A ，且x ∈B }A ∩B并集属于集合A或属于集合B 的元素组成的集合{x |x ∈A ，或x ∈B }A ∪B补集全集U 中不属于集合A 的元素组成的集合{x |x ∈U ，且x ∉A }∁U A[知识感悟]1．集合的运算性质并集的性质：A ∪∅＝A ；A ∪A ＝A ；A ∪B ＝B ∪A ；A ∪B ＝A ⇔B ⊆A .交集的性质：A ∩∅＝∅；A ∩A ＝A ；A ∩B ＝B ∩A ；A ∩B ＝A ⇔A ⊆B .补集的性质：A ∪(∁U A )＝U ；A ∩(∁U A )＝∅；∁U (∁U A )＝A .2．判断集合关系的三种方法(1)一一列举观察；(2)集合元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断集合关系；(3)数形结合法：利用数轴或Venn 图．3．数形结合思想数轴和Venn 图是进行交、并、补集运算的有力工具，数形结合是解集合问题的常用方法，解题时要先把集合中各种形式的元素化简，使之明确化，尽可能地借助数轴、直角坐标系或Venn 图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解题．[知识自测]1．(2016·全国Ⅰ卷)设集合A ＝{1,3,5,7}，B ＝{x |2≤x ≤5}，则A ∩B ＝()A ．{1,3}B ．{3,5}C ．{5,7}D ．{1,7}[解析]集合A 与集合B 的公共元素有3,5，故A ∩B ＝{3,5}，选B.[答案]B2．(2018·江西重点中学联考)已知集合A ＝{x |x 2－6x ＋5≤0}，B ＝{x |y ＝x －3}，则A ∩B 等于()A ．[1,3]B ．[1,5]C ．[3,5]D ．[1，＋∞)[解析]根据题意，得A ＝{x |x 2－6x ＋5≤0}＝{x |1≤x ≤5}，B ＝{x |y ＝x －3}＝{x |x ≥3}，所以A ∩B ＝{x |3≤x ≤5}＝[3,5]．[答案]C3．已知集合M ＝{1，m }，N ＝{n ，log 2n }，若M ＝N ，则(m －n )2017＝______.[解析]由M ＝N ＝1，2n ＝m＝m ，2n ＝1，＝0，＝1＝2，＝2.[答案]－1或0题型一集合的基本概念(基础拿分题——自主练透)(1)(2018·山东省枣庄十六中4月模拟试卷)设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x |x＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，集合M 真子集的个数为()A ．32B ．31C ．16D ．15[解析]由题意集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，a ∈A ，b ∈B ，那么：a 、b 的组合有：(1、4)，(1、5)，(2、4)，(2、5)，(3、4)，(3、5)，∵M ＝{x |x ＝a ＋b }，∴M ＝{5,6,7,8}，集合M 中有4个元素，有24－1＝15个真子集．故选：D.[答案]D(2)已知a ，b ∈R ，ba ，{a 2，a ＋b,0}，则a 2018＋b 2018为()A ．1B ．0C ．－1D ．±1[解析]由已知得a ≠0，则ba ＝0，所以b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a 2018＋b 2018＝(－1)2018＋02018＝1.[答案]A方法感悟1．研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性，对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性．2．对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等，分几种情况列出方程(组)进行求解，要注意检验是否满足互异性．【针对补偿】1．(2018·山西省大同市豪洋中学四模试卷)已知集合A ∈Z |127＜3x ≤B ＝{x ∈N |－2＜x ＜3}，则集合{z |z ＝xy ，x ∈A ，y ∈B }的元素个数为()A ．6B ．7C ．8D ．9[解析]由127＜3x ≤9，即3－3＜3x ≤32，解得－3＜x ≤2，∴A ＝{－2，－1,0,1,2}．B ＝{0,1,2}．∴集合{z |z ＝xy ，x ∈A ，y ∈B }＝{－2，－1，0,1,2，－4,4}的元素个数为7.故选：B.[答案]B2．已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________.[解析]由题意得m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3，则m ＝1或m ＝－32，当m ＝1时，m ＋2＝3且2m 2＋m ＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当m ＝－32时，m ＋2＝12，而2m 2＋m ＝3，故m ＝－32.[答案]－323．已知P ＝{x |2<x <k ，x ∈N }，若集合P 中恰有3个元素，则k 的取值范围为______．[解析]因为P 中恰有3个元素，所以P ＝{3,4,5}，故k 的取值范围为5<k ≤6.[答案]5<k ≤6题型二集合的基本关系(重点保命题，共同探讨)(1)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件A⊆C ⊆B 的集合C 的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．4[解析](1)由x 2－3x ＋2＝0，得x ＝1或x ＝2，所以A ＝{1,2}．由题意知B ＝{1,2,3,4}．所以满足条件的C 可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．[答案]D(2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为______．[解析]因为B ⊆A ，所以①若B ＝∅，则2m －1<m ＋1，此时m <2.②若B ≠∅m －1≥m ＋1，＋1≥－2，m －1≤5.解得2≤m ≤3.由①、②可得，符合题意的实数m 的取值范围为m ≤3.[答案]m ≤3方法感悟1．空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．2．已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题．[注意]题目中若有条件B ⊆A ，则应分B ＝∅和B ≠∅两种情况进行讨论．【针对补偿】4．已知集合A ＝{x ∈R |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x ∈R |ax －1＝0}，若B ⊆A ，则实数a 的值为()A.13或－12B ．－13或12C.13或－12或0D ．－13或12或0[解析]由题意知A ＝{2，－3}，当a ＝0时，B ＝∅，满足B ⊆A ；当a ≠0时，ax －1＝0的解为x ＝1a ，由B ⊆A ，可得1a ＝－3或1a ＝2，∴a ＝－13或a ＝12.综上，a 的值为－13或12或0.[答案]D5．已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝(－∞，a )，若A ⊆B ，实数a 的取值范围是(c ，＋∞)，则c ＝______.[解析]由log 2x ≤2，得0<x ≤4.即A ＝{x |0<x ≤4}，而B ＝(－∞，a )，由于A ⊆B ，如图所示，则a >4，即c ＝4.[答案]4题型三集合的基本运算(高频考点题，多角突破)集合的基本运算是历年各地高考的热点，每年必考，常和不等式的解集、函数的定义域、值域相结合命题，主要以选择题的形式出现．试题难度不大，多为低档题．高考对集合运算的考查主要有以下三个命题角度：(1)求集合间的交、并、补运算；(2)已知集合的运算结果求集合；(3)已知集合的运算结果求参数的值(或参数的取值范围)．考向一求交集1．(2017·课标Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为()A．3B．2C．1D．0[解析]集合中的元素为点集，由题意，结合A表示以(0,0)为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B表示直线y＝x上所有的点组成的集合，圆x2＋y2＝1与直线y＝x 相交于两点(1,1)，(－1，－1)，则A∩B中有两个元素．故选B.[答案]B考向二求并集2．(2016·山东卷)设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，则A∪B＝()A．(－1,1)B．(0,1)C．(－1，＋∞)D．(0，＋∞)[解析]A＝{y|y>0}，B＝{x|－1<x<1}，则A∪B＝{x|x>－1}，选C.[答案]C考向三集合的交、并、补的综合运算3．(2018·山东省德州市四月二模)设全集U＝R，集合M＝{x|x2＋x－2＞0}，N＝－1≥(∁U M)∩N＝()A．[－2,0]B．[－2,1]C．[0,1]D．[0,2][解析]M＝{x|x＞1或x＜－2}，∁U M＝{x|－2≤x≤1}，N＝{x|x－1≤－1}＝{x|x≤0}，所以(∁U M)∩N＝{x|－2≤x≤0}，故选A.[答案]A考向四利用集合运算求参数4．已知集合A＝{x|x2－x－12≤0}，B＝{x|2m－1＜x＜m＋1}，且A∩B＝B，则实数m 的取值范围为()A．[－1,2)B．[－1,3] C．[2，＋∞)D．[－1，＋∞) [解析]由x2－x－12≤0，得(x＋3)(x－4)≤0，即－3≤x≤4，所以A＝{x|－3≤x≤4}，又A∩B＝B，所以B⊆A.①当B＝∅时，有m＋1≤2m－1，解得m≥2.②当B≠∅3≤2m－1，＋1≤4，m－1＜m＋1，解得－1≤m＜2.综上，m的取值范围为[－1，＋∞)．[答案]D考向五集合的斜定义问题5．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，则A⊕B中元素的个数为() A．77B．49C．45D．30[解析]如图，集合A表示如图所示的所有圆点“○”，集合B表示如图所示的所有圆点“○”＋所有圆点“·”，集合A⊕B显然是集合{(x，y)||x|≤3，|y|≤3，x，y∈Z}中除去四个点{(－3，－3)，(－3,3)，(3，－3)，(3,3)}之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点)，即集合A⊕B表示如图所示的所有圆点“○”＋所有圆点“·”＋所有圆点“⊙”，共45个，故A⊕B中元素的个数为45.故选C.[答案]C方法感悟集合基本运算的常见题型与破解策略：重点题型破解策略求并集、交集或补集一般是先解方程或不等式化简集合，再由并集、交集或补集的定义求解交、并、补的混合运算先算括号里面的，再按运算的顺序求解利用集合的基本运算求参数的取值(范围)数形结合思想的运用，利用好数轴、Venn图等．集合的定义问题解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义，首先分析定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；(2)用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质.【针对补偿】6．(2017·山东)设函数y＝4－x2的定义域A，函数y＝ln(1－x)的定义域为B，则A∩B ＝()A．(1,2)B．(1,2]C．(－2,1)D．[－2,1)[解析]由4－x2≥0得－2≤x≤2，由1－x＞0得x＜1，故A∩B＝{x|－2≤x≤2}∩{x|x ＜1}＝{x|－2≤x＜1}，选D.[答案]D7．(2018·山东省青岛市数学一模试卷)已知集合A＝{x||x＋1|≥1}，B＝{x|x≥－1}，则(∁R A)∩B＝()A．[－1,0]B．[－1,0)C．(－2，－1)D．(－2，－1][解析]∵A＝{x||x＋1|≥1}＝{x|x≤－2或x≥0}，∴∁R A＝{x|－2＜x＜0}，又B＝{x|x≥－1}，∴(∁R A)∩B＝[－1,0)．故选：B.[答案]B8．定义一种新的集合运算△：A△B＝{x|x∈A，且x∉B}，若集合A＝{x|x2－4x＋3＜0}，B＝{x|2≤x≤4}，则按运算△，B△A等于()A．{x|3＜x≤4}B．{x|3≤x≤4}C．{x|3＜x＜4}D．{x|2≤x≤4}[解析]A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2≤x≤4}，由题意知B△A＝{x|x∈B，且x∉A}＝{x|3≤x≤4}．[答案]B◆牛刀小试·成功靠岸◆课堂达标(一)[A基础巩固练]1．(2017·课标Ⅰ)已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|3x＜1}，则()A．A∩B＝{x|x＜0}B．A∪B＝RC．A∪B＝{x|x＞1}D．A∩B＝∅[解析]由3x＜1可得3x＜30，则x＜0，即B＝{x|x＜0}，所以A∩B＝{x|x＜1}∩{x|x＜0}＝{x|x＜0}，A∪B＝{x|x＜1}∪{x|x＜0}＝{x|x＜1}．故选A.[答案]A2．(2017·天津)设集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C＝()A．{2}B．{1,2,4}C．{1,2,4,6}D．{x∈R|－1≤x≤5}[解析](A∪B)∩C＝{1,2,4,6}∩[－1,5]＝{1,2,4}，选B.[答案]B3．(2018·哈尔滨九中二模)设非空集合P，Q满足P∩Q＝P，则()A．∀x∈Q，有x∈P B．∀x∉Q，有x∉PC．∃x0∉Q，使得x0∈P D．∃x0∈P，使得x0∉P[解析]∵P∩Q＝P，∴P⊆Q∴A错误；B正确；C错误；D错误．故选B.[答案]B4．(2018·刑台摸底考试)已知集合A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{y|y＝x，0≤x≤4}，则下列关系正确的是()A．A⊆∁R B B．B⊆∁R AC．∁R A⊆∁R B D．A∪B＝R[解析]依题意得B＝{y|0≤y≤2}，因此B⊆A，∁R A⊆∁R B.[答案]C5．(2018·湖北七市(州)协作体联考)已知集合P＝{n|n＝2k－1，k∈N*，k≤50}，Q＝{2,3,5}，则集合T＝{xy|x∈P，y∈Q}中元素的个数为()A．147B．140C．130D．117[解析]由题意得，y的取值一共有3种情况，当y＝2时，xy是偶数，不与y＝3，y＝5时有相同的元素，当y＝3，x＝5,15,25，…，95时，与y＝5，x＝3,9,15，…，57时有相同的元素，共10个，故所求元素个数为3×50－10＝140，故选B.[答案]B6．(2018·山东临沂期中)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－3x ＋2>0}，B ＝{x |x －a ≤0}，若∁U B ⊆A ，则实数a 的取值范围是()A ．(－∞，1)B ．(－∞，2]C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)[解析]∵x 2－3x ＋2>0，∴x >2或x <1.∴A ＝{x |x >2或x <1}，∵B ＝{x |x ≤a }，∴∁U B ＝{x |x >a }．∁U B ⊆A ，借助数轴可知a ≥2，故选D.[答案]D7．已知集合A ＝{x |y ＝x }，B |12<2x <4(∁R A )∩B 等于______．[解析]因为A ＝{x |y ＝x }＝{x |x ≥0}，所以∁RA ＝{x |x <0}．又B |12<2x<4{x |－1<x <2}，所以(∁R A )∩B ＝{x |－1<x <0}．[答案]{x |－1<x <0}8．已知集合A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |－m ＜x ＜m }，若B ⊆A ，则m 的取值范围为________.[解析]当m ≤0时，B ＝∅，显然B ⊆A .当m ＞0时，∵A ＝{x |－1＜x ＜3}．当B ⊆A 时，在数轴上标出两集合，如图，m ≥－1，≤3，m ＜m .∴0＜m ≤1.综上所述m 的取值范围为(－∞，1]．[答案](－∞，1]9．(2018·南阳月考)设全集U ＝R ，集合A ＝{x |y ＝x 2－2x －3}，B ＝{y |y ＝e x ＋1}，则A ∪B ＝________.[解析]因为A ＝{x |x ≥3或x ≤－1}，B ＝{y |y ＞1}，所以A ∪B ＝{x |x ＞1或x ≤－1}．[答案](－∞，－1]∪(1，＋∞)10．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R }．(1)若A ∩B ＝[0,3]，求实数m 的值；(2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．[解]由已知得A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．(1)∵A ∩B ＝[0,3]－2＝0，＋2≥3，∴m ＝2.(2)∁R B ＝{x |x <m －2或x >m ＋2}，∵A ⊆∁R B ，∴m －2>3或m ＋2<－1，即m >5或m <－3.因此实数m 的取值范围是{m |m ＞5或m <－3}．[B 能力提升练]1．(2018·湖南衡阳第三次联考)集合M ＝{(x ，y )|x ＋y ≤1，y ≤x ，y ≥－1}，N ＝{(x ，y )|(x －2)2＋y 2＝r 2，r ＞0}，若M ∩N ≠∅，则r 的取值范围为()A.22，3B.[1，10]C.22，10D.1，102[解析]由条件可得M 的可行域：如图阴影部分，N 则是以P (2,0)为圆心，半径为r 的圆，由M ∩N ＝∅，则当圆与x ＋y ＝1相切时半径最小，如图D 处，则d ＝r ＝22，当过y ＝x ，y ＝－1的交点时最大，此时r ＝10，故选C.[答案]C2．(2018·开封模拟)设集合U ＝R ，A ＝{x |2x (x－2)<1}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}，则图中阴影部分表示的集合为()A ．{x |x ≥1}B ．{x |1≤x <2}C ．{x |0<x ≤1}D ．{x |x ≤1}[解析]易知A ＝{x |2x (x－2)<1}＝{x |x (x －2)<0}＝{x |0<x <2}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}＝{x |1－x >0}＝{x |x <1}，则∁U B ＝{x |x ≥1}，阴影部分表示的集合为A ∩(∁U B }＝{x |1≤x <2}．[答案]B3．已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|＜3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)＜0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝________，n ＝________.[解析]A ＝{x ∈R ||x ＋2|＜3}＝{x ∈R |－5＜x ＜1}，由A ∩B ＝(－1，n )，可知m ＜1，则B ＝{x |m ＜x ＜2}，画出数轴，可得m ＝－1，n ＝1.[答案]－1；14．已知集合M ＝{1,2,3,4}，集合A 、B 为集合M 的非空子集，若∀x ∈A 、y ∈B ，x <y 恒成立，则称(A ，B )为集合M 的一个“子集对”，则集合M 的“子集对”共有__________________个．[解析]当A ＝{1}时，B 有23－1＝7种情况，当A ＝{2}时，B 有22－1＝3种情况，当A＝{3}时，B 有1种情况，当A ＝{1,2}时，B 有22－1＝3种情况，当A ＝{1,3}，{2,3}，{1,2,3}时，B 均有1种情况，所以满足题意的“子集对”共有7＋3＋1＋3＋1＋1＋1＝17个．[答案]175．(2018·徐州模拟)已知集合A ＝{x |1<x <3}，集合B ＝{x |2m <x <1－m }．(1)当m ＝－1时，求A ∪B ；(2)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围；(3)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．[解](1)当m ＝－1时，B ＝{x |－2<x <2}，则A ∪B ＝{x |－2<x <3}．(2)由A ⊆B －m >2m ，m ≤1，－m ≥3，得m ≤－2，即实数m 的取值范围为(－∞，－2]．(3)由A ∩B ＝∅，得①若2m ≥1－m ，即m ≥13时，B ＝∅，符合题意；②若2m <1－m ，即m <13时，需<13，－m ≤1<13，m ≥3，得0≤m ＜13或∅，即0≤m <13.综上知m ≥0，即实数m 的取值范围为[0，＋∞)．[C 尖子生专练](2018·贵阳市监测考试)已知全集U ＝{a 1，a 2，a 3，a 4}，集合A 是集合U 的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件：①若a 1∈A ，则a 2∈A ；②若a 3∉A ，则a 2∉A ；③若a 3∈A ，则a 4∉A .则集合A ＝______.(用列举法表示)[解析]若a 1∈A ，则a 2∈A ，则由若a 3∉A ，则a 2∉A 可知，a 3∈A ，假设不成立；若a 4∈A ，则a 3∉A ，则a 2∉A ，a 1∉A ，假设不成立，故集合A ＝{a 2，a 3}．[答案]{a 2，a 3}第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件◆高考导航·顺风启程◆最新考纲常见题型1.理解命题的概念．2.了解“若p ，则q ”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．3.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义.多以选择题出现于第1、2题位置、占5分左右.[知识梳理]1．命题概念使用语言、符号或者式子表达的，可以判断真假的陈述句特点(1)能判断真假；(2)陈述句分类真命题、假命题2．四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系：(2)四种命题中真假性的等价关系：原命题等价于逆否命题，原命题的否命题等价于逆命题.在四种形式的命题中真命题的个数只能是0,2,4.3．充要条件若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件p 成立的对象的集合为A ，q 成立的对象的集合为B p 是q 的充分不必要条件p ⇒q 且q /⇒p A 是B 的真子集集合与充要条件p 是q 的必要不充分条件p /⇒q 且q ⇒p B 是A 的真子集p 是q 的充要条件p ⇔qA ＝B p 是q 的既不充分也不必要条件p /⇒q 且q /⇒pA ，B 互不包含[知识感悟]1．四种命题间关系的两条规律(1)逆命题与否命题互为逆否命题；互为逆否命题的两个命题同真假．(2)当判断一个命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假．同时要关注“特例法”的应用．2．命题的充要关系的判断方法(1)定义法：直接判断若p 则q 、若q 则p 的真假．(2)等价法：利用A ⇒B 与綈B ⇒綈A ，B ⇒A 与綈A ⇒綈B ，A ⇔B 与綈B ⇔綈A 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．(3)集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．[知识自测]1．下列命题中为真命题的是()A ．命题“若x ＞y ，则x ＞|y |”的逆命题B ．命题“若x ＞1，则x 2＞1”的否命题C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题D ．命题“若x 2＞0，则x ＞1”的逆否命题[解析]对于A ，其逆命题是若x ＞|y |，则x ＞y ，则真命题，这是因为x ＞|y |≥y ，必有x ＞y .[答案]A2．(2017·天津)设θ∈R ，则“|θ－π12|＜π12”是“sin θ＜12”的()A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析]|θ－π12|＜π12⇔0＜θ＜π6⇒sin θ＜12，但θ＝0，sin θ＜12，不满足|θ－π12|＜π12，所以是充分不必要条件，选A.[答案]A3．在下列三个结论中，正确的是________.(写出所有正确结论的序号)①若A 是B 的必要不充分条件，则綈B 也是綈A 的必要不充分条件；＞0，b 2－4ac ≤0”是“一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为R ”的充要条件；③“x ≠1”是“x 2≠1”的充分不必要条件．[解析]易知①②正确．对于③，若x＝－1，则x2＝1，充分性不成立，故③错误．[答案]①②题型一四种命题及相互关系(基础拿分题——自主练透)(1)(2018·广东肇庆一模)原命题：“设a、b、c∈R，若a＞b，则ac2＞bc2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有()A．0个B．1个C．2个D．4个[解析]原命题：若c＝0则不成立，由等价命题同真同假知其逆否命题也为假；逆命题：∵ac2＞bc2知c2＞0，由不等式的基本性质得a＞b，∴逆命题为真，由等价命题同真同假知否命题也为真，∴有2个真命题．[答案]C(2)(2018·宿州模拟)下列命题：①“若a2＜b2，则a＜b”的否命题；②“全等三角形面积相等”的逆命题；③“若a＞1，则ax2－2ax＋a＋3＞0的解集为R”的逆否命题；④“若3x(x≠0)为有理数，则x为无理数”的逆否命题．其中正确的命题是()A．③④B．①③C．①②D．②④[解析]对于①，否命题为“若a2≥b2，则a≥b”，为假命题；对于②，逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”，是假命题；对于③，当a＞1时，Δ＝－12a＜0，原命题正确，从而其逆否命题正确，故③正确；对于④，原命题正确，从而其逆否命题正确，故④正确，故选A.[答案]A思维升华1．写一个命题的其他三种命题时，需注意：(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．2．判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例．3．根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假方法感悟1．写一个命题的其他三种命题时，需注意：(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．2．判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例．3．根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．【针对补偿】1．命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是()A．“若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数”B．“若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数”C．“若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数”D．“若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数”[解析]由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定表达是“x＋y不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数”．[答案]C2．已知：命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是()A．否命题是“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m>1”，是真命题B．逆命题是“若m≤1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题C．逆否命题是“若m>1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数”，是真命题D．逆否命题是“若m>1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数，是真命题”[解析]由f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则f′(x)＝e x－m≥0恒成立，∴m≤1.∴命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”是真命题，所以其逆否命题“若m>1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题．[答案]D题型二充分条件，必要条件的判断(高频考点题、共同探讨)充分条件、必要条件的判断是高考命题的热点，常以选择题的形式出现，作为一个重要载体，考查的知识面很广，几乎涉及数学知识的各个方面．高考对充要条件的考查主要有以下三个命题角度：(1)判断指定条件与结论之间的关系；(2)探求某结论成立的充要条件、充分不必要条件或必要不充分条件；(3)与命题的真假性相交汇命题．考向一与不等式有关的题型1．(2018·山西省大同市豪洋中学四模试卷)“m ≤－12”是“∀x ＞0，使得x 2＋12x －32＞m是真命题”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析]若∀x ＞0，使得x 2＋12x －32＞m 是真命题，则m ＋12x －，令f (x )＝x 2＋12x －32，则f (x )≥2x 2·12x －32＝1－32＝－12，故m ＜－12，故m ≤－12”是“m ＜－12”的必要不充分条件，故选B.[答案]B考向二与三角有关的题型2．(2018·石家庄一模)若命题p ：φ＝π2＋k π，k ∈Z ，命题q ：f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω≠0)是偶函数，则p 是q 的()A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件[解析]当φ＝π2＋k π，k ∈Z 时，f (x )＝±cos ωx 是偶函数，所以p 是q 的充分条件；若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω≠0)是偶函数，则sin φ＝±1，即φ＝π2＋k π，k ∈Z ，所以p 是q 的必要条件，故p 是q 的充要条件，故选A.[答案]A考向三与向量有关的题型3．(2018·甘肃省兰州市二模)设向量a ＝(x －1，x )，b ＝(x ＋2，x －4)，则“a ⊥b ”是“x ＝2”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析]∵a ⊥b ，∴(x －1)(x ＋2)＋x (x －4)＝0，化为：2x 2－3x －2＝0，解得x ＝－12或2.∴“a ⊥b ”是“x ＝2”的必要不充分条件．故选：B.[答案]B考向四与数列有关的题型4．(2018·北京市西城区一模)数列{a n }的通项公式为a n ＝|n －c |(n ∈N *)．则“c ≤1”是“{a n }为递增数列”的()A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析]数列{a n }的通项公式为a n ＝|n －c |(n ∈N *)，若“{a n }为递增数列”，则a n ＋1－a n ＝|n ＋1－c |－|n －c |＞0，即(n ＋1－c )2＞(n －c )2，解得c ＜n ＋12，∵n ＋12≥32，∴c ≤1是{a n }为递增数列充分不必要条件，故选A.[答案]A考向五与几何问题有关的题型5．(2016·山东卷)已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析]若a ，b 相交则α，β一定相交．若α，β相交则不能得出a ，b 相交．故选A.[答案]A考向六与函数有关的题型6．(2018·合肥一模)函数f (x )2x ，x ＞0，x －a ，x ≤0有且只有一个零点的充分不必要条件是()A ．a ≤0或a ＞1B ．0＜a ＜12C.12＜a ＜1D ．a ＜0[解析]因为f (x )2x ，x ＞0x －a ，x ≤0有且只有一个零点的充要条件为a ≤0或a ＞1.由选项可知，使“a ≤0或a ＞1”成立的充分条件为选项D.[答案]D方法感悟充分、必要条件判定的常见题型与求解策略：常见题型求解策略与不等式相关的充分必要条件的判断可把不等式之间的关系转化为集合与集合之间的关系，根据集合与充要条件之间的关系进行判断与平面向量相关的充分必要条件的判断该类题型常涉及向量的概念、运算及向量共线、共面的条件，可把问题转化为有关向量之间的推理与三角相关的充分必要条件的判断熟练掌握三角的相关概念、运算公式、三角函数的图象和性质以及正、余弦定理是解决该类问题的关键与数列相关的充分必要条件的判断熟练掌握等差数列与等比数列的定义、性质及数列的单调性、周期性、a n 与S n 的关系与立体几何相关的充分必要条件的判断可把问题转化为线线、线面、面面之间位置关系的判断及性质问题，由此进行恰当判断与解析几何相关的充分必要条件的判断首先理解点与曲线的位置关系，两直线的位置关系，直线与曲线的位置关系，然后弄清题意进行判断提醒：解答充分条件、必要条件的判断题，必须从正、逆两个方面进行判断．【针对补偿】3．(2018·东北三省四市联考)“x ＜2”是“x 2－3x ＋2＜0”成立的()A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析]由x 2－3x ＋2＜0，解得1<x <2，因为{x |1<x <2}{x |x <2}，所以“x <2”是“x 2－3x＋2<0”成立的必要不充分条件，故选A.[答案]A4．(2018·广西名校联考)在△ABC 中，命题p ：“B ≠60°”，命题q ：“△ABC 的三个内角A ，B ，C 不成等差数列”，那么p 是q 的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析]命题p ：“B ≠60°”则(A ＋C )－2B ＝π－B －2B ≠0，⇔命题q ：“△ABC 的三个内角A ，B ，C 不成等差数列”，故选C.[答案]C5．(2016·浙江卷)已知函数f (x )＝x 2＋bx ，则“b <0”是“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析]由题意知f (x )＝x 2＋bx －b 24，最小值为－b 24.令t ＝x 2＋bx ，则f (f (x ))＝f (t )＝t 2＋bt －b 24，t ≥－b 24，当b <0时，f (f (x ))的最小值为－b 24，所以“b <0”能推出“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”；当b ＝0时，f (f (x ))＝x 4的最小值为0，f (x )的最小值也为0，所以“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”不能推出“b <0”．故选A.[答案]A题型三充分必要条件的应用(重点保分题，共同探讨)(1)(2018·皖北第一次联考)已知p ：x ≥k ，q ：3x ＋1＜1，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是()A ．[2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(－∞，－1)[解析]∵3x ＋1＜1，∴3x ＋1－1＝2－x x ＋1＜0，即(x －2)(x ＋1)＞0，∴x ＞2或x ＜－1，∵p 是q 的充分不必要条件，∴k ＞2.[答案]B(2)已知条件p ：2x 2－3x ＋1≤0，条件q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0.若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________.[解析]命题p |12≤x ≤命题q 为{x |a ≤x ≤a ＋1}．綈p 对应的集合A |x ＞1或x 綈q 对应的集合B ＝{x |x ＞a ＋1或x ＜a }．∵綈p 是綈q 的必要不充分条件．＋1＞1，≤12＋1≥1，＜12，∴0≤a ≤12.故答案为0，12.[答案]0，12方法感悟根据充要条件求解参数范围的注意点1．解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间关系列出关于参数的不等式(组)求解．2．求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．【针对补偿】6．已知条件p ：x 2－3x －4≤0；条件q ：x 2－6x ＋9－m 2≤0，若p 是q 的充分不必要条件，则m 的取值范围是()A．[－1,1]B．[－4,4]C．(－∞，－4]∪[4，＋∞)D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)[解析]p：－1≤x≤4，q：3－m≤x≤3＋m(m＞0)或3＋m≤x≤3－m(m<0)，＞0，－m≤－1，＋m＞4>0，－m<－1，＋m≥4<0，＋m≤－1，－m＞4＜0，＋m＜－1，－m＞4，解得m≤－4或m≥4，选C.[答案]C7．已知不等式|x－m|<1成立的充分不必要条件是13<x<12，则m的取值范围是______．[解析]由|x－m|<1得m－1<x<m＋1，若13<x<12是|x－m|<1成立的充分不必要条件，－1≤13＋1>12－1<13＋1≥12得－12≤m≤43.[答案]－12，43◆牛刀小试·成功靠岸◆课堂达标(二)[A基础巩固练]1．(2018·山东重点中学模拟)已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a 不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的()A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．否定[解析]命题p：“正数a的平方不等于0”写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题．[答案]B2．(2016·天津卷)设x＞0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的()A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件[解析]若x>|y|，则x>y或x>－y，若x>y，当y>0时，x>|y|，当y<0时，不能确定x>|y|.故选C.[答案]C3．(2018·河北保定二模)“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是()A ．m >14B ．0<m <1C ．m >0D ．m >1[解析]由题意知，对应方程的Δ＝(－1)2－4m <0，即m >14.结合选项可知，不等式恒成立的一个必要不充分条件是m >0，故选C.[答案]C4．(2018·北京市朝阳区二模)“x ＞0，y ＞0”是“y x ＋xy ≥2”的()A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析]“x ＞0，y ＞0”⇔“y x ＋xy≥2”，反之不成立，例如取x ＝y ＝－1.∴x ＞0，y ＞0”是“y x ＋xy≥2”的充分而不必要条件．故选：A.[答案]A5．命题“若a ，b ，c 成等比数列，则b 2＝ac ”的逆否命题是()A ．“若a ，b ，c 成等比数列，则b 2≠ac ”B ．“若a ，b ，c 不成等比数列，则b 2≠ac ”C ．“若b 2＝ac ，则a ，b ，c 成等比数列”D ．“若b 2≠ac ”，则a ，b ，c 不成等比数列[解析]根据原命题与其逆否命题的关系，易得命题“若a ，b ，c 成等比数列，则b 2＝ac ”的逆否命题是“若b 2≠ac ，则a ，b ，c 不成等比数列”．[答案]D6．(2018·安徽合肥一模)祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等．设A 、B 为两个同高的几何体，p ：A 、B 的体积不相等，q ：A 、B 在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p 是q 的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件[解析]如果A ，B 在等高处的截面积恒相等，则A ，B 的体积相等，因此有p ⇒q ，但q⇒p 不一定成立，把两个相同的锥体放在一个平面上，再把其中一个锥体翻转底向上，顶点在原底面所在平面，虽然在等高处的截面积不恒相等，但体积相等，故p 是q 的充分不必要条件．故选A.。

2025年高考数学一轮复习知识清单—集合与常用逻辑用语（知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错）知识点1集合与元素1、集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性；2、元素与集合的关系：属于或不属于，用符号∈或∉表示3、集合的表示法：列举法、描述法、图示法4、常见数集的记法与关系图集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN *(或N ＋)ZQR知识点2集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言图形语言基本关系子集集合A 的所有元素都是集合B 的元素（x A ∈则x B ∈）A B ⊆或B A⊇真子集集合A 是集合B 的子集，且集合B中至少有一个元素不属于AA B 或B A相等集合A ，B 的元素完全相同A B=空集不含任何元素的集合．空集是任何集合A 的子集∅知识点3集合的基本运算1、集合交并补运算的表示集合的并集集合的交集集合的补集图形语言符号语言{},A B x x A x B =∈∈ 或{},A B x x A x B =∈∈ 且{},U A x x U x A =∈∉且ð2、集合运算中的常用二级结论（1）并集的性质：A ∪∅＝A ；A ∪A ＝A ；A ∪B ＝B ∪A ；A ∪B ＝A ⇔B ⊆A .（2）交集的性质：A ∩∅＝∅；A ∩A ＝A ；A ∩B ＝B ∩A ；A ∩B ＝A ⇔A ⊆B .（3）补集的性质：A ∪(∁U A )＝U ；A ∩(∁U A )＝∅．∁U (∁U A )＝A ；∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁U B )；∁U (A ∩B )＝(∁U A )∪(∁U B )．知识点4充分条件与必要条件1、充分条件与必要条件“若p ，则q ”为真命题“若p ，则q ”为假命题推出关系p ⇒q p ⇏q条件关系p 是q 的充分条件q 是p 的必要条件p 不是q 的充分条件q 不是p 的必要条件定理关系判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件2、充要条件（1）充要条件的定义如果“若p ，则q ”和它的逆命题“若q ，则p ”均为真命题，即既有p q ⇒，又有q p ⇒，就记作p q ⇔。

集合一、知识点1、集合的定义：把某些能够确切指定的对象看做一个整体，这个整体就叫做集合，简称集，通常用大写字母A,B,C,D……来表示集合，集合中的各个对象叫做这个集合的元素，通常用小写字母a,b,c,d.……来表示元素。

如果说a是A中的元素，就说a属于A，记为a∈A；如果b不是B中的元素，就说b不属于B，记为b∉B。

2.集合中元素的特征（1）确定性（2）互异性（3）无序性（1）列举法（2）描述法｛x∣x具有性质p｝（3）韦恩图（文氏图）（1）有限集（2）无限集5.空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为φ（1）自然数集N（正整数集N+或N*）（2）整数集Z（正整数集Z+，负整数集Z）（3）有理数集Q（无理数集C R Q）（4）实数集R （5）复数集C7、区间的概念：通常把介于两个实数a，b（a＜b）之间的实数集合称之为区间，并规定（1）满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间,表示[a,b]；（2）满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间,表示﹙a,b﹚；（3）满足不等式a≤x<b,或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间,表示[a,b﹚,﹙a,b].（4）满足不等式x>a或x<a的实数x的集合叫做无限区间,表示（a,+∞）,(∞,a）（5）（+∞,∞）=R（实数集合）（1）子集：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素（任意a∈A则a∈B），那么集合A称为集合B的子集，记为A⊆B或 B⊇A，读作“集合A包含于集合B”或集合B包含集合A”。

（2）真子集：如果集合A是B的子集，且A≠B，即B中至少有一个元素不属于A，那么A就是B的真子集，可记作：A⊊B。

（3）子集、真子集的一些性质：①规定空集φ是任何集合的子集；②对于含n个元素的集合，它的子集个数为2n，真子集有2n1个，非空真子集有2n2个。

9.集合的运算（1）交集：由集合A和集合B的公共元素组成的集合，叫做集合A和集合B的交集，记作A∩B，读作A交B。

1 / 10高三数学百所名校好题分项解析汇编之衡水中学专版(2020版) 专题01 集合与简易逻辑一、选择题1. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】已知集合{}|10A x x =+>，{}|1B x x =∈≤Z ，则A B =( )A ．{}|011x x ≤+≤B ．{}|11x x -<≤C ．{}0,1D ．{}1【答案】C【解析】集合{}{}|10|1A x x x x =+>=>-， 集合{}|1B x x =∈≤Z 所以{}{}|110,1B x x A=∈-<≤=Z .故选：C.2. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】已知命题p ：0[0,)x ∃∈+∞使00420x x k --=，命题q ：()0,x ∀∈+∞，20x k +>，则命题p 成立是命题q 成立的( )条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【答案】C【解析】命题p ：0[0,)x ∃∈+∞使00420x x k --=， 则0042x x k =-，0[0,)x ∈+∞，所以设[)021,x t =∈+∞，则2k t t =-，在[)1,t ∈+∞上单调递增， 所以[)0,k ∈+∞，命题q ：()0,x ∀∈+∞，20x k +>， 可得[)0,k ∈+∞所以命题p 成立是命题q 成立的充要条件. 故选：C.2 / 103. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】已知集合{}|10A x x =+>，{}|1B x x =∈≤Z ，则A B =( )A ．{}|011x x ≤+≤B ．{}|11x x -<≤C ．{}0,1D ．{}1【答案】C【解析】集合{}{}|10|1A x x x x =+>=>-， 集合{}|1B x x =∈≤Z 所以{}{}|110,1B x x A=∈-<≤=Z .故选：C.4. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】已知命题[)0:0,p x ∃∈+∞使00420x x k --=.命题2:(0,),0q x x k ∀∈+∞+>.则命题p 是命题q 的（ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【答案】C【解析】p :设()42x xf x =-，因为211()42224x x x f x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，得当0x =时，()f x 取最小值0，且0[0,)x ∃∈+∞使00420x x k --=的等价条件为()42x x f x =-在[0,)+∞的值域即为k 的范围，即0k ≥;q ：2(0,),0x x k ∀∈+∞+>的等价条件为0k ≥; 所以，命题p 是命题q 的充要条件. 故选：C5. 【2020届河北省衡水中学高三上学期七调】已知集合{0,}M x =，{1,2}N =，若{2}MN =，则M N⋃的子集个数为（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】D 【解析】{2}MN =，∴2M ∈即{0,2}M =，∴{}0,1,2MN =，3 / 10∴M N ⋃子集个数为328=个.故选：D.6. 【2020届河北省衡水中学高三下学期一调】已知全集U =R ，集合{}2|2A y y x x R ==+∈，，集合(){}lg 1B xy x ==-，则阴影部分所示集合为（ ）A ．[]12，B ．()12，C ．(12]，D ．[12)，【答案】B 【解析】由函数,得到,由函数,得到,即,；全集,则.所以B 选项是正确的．7. 【2020届河北省衡水中学高三下学期一调】给出下列五个命题： ①若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题；②命题“0x ∀＞，有1x e ≥”的否定为“00x ∃≤，有01x e ＜”； ③“平面向量a 与b 的夹角为钝角”的充分不必要条件是“•0a b <”； ④在锐角三角形ABC 中，必有sin sin cos cos A B A B +>+； ⑤{}n a 为等差数列，若()*,,,m n p q a a a a m n p q N +=+∈，则m n p q +=+其中正确命题的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】对于①，若p q ∨为真命题，则p 与 q 中至少有一个为真命题， p q ∧ 不一定为真命题，故错误.对于②，命题“:0p x ∀＞，有1x e ≥”,则p ⌝为00x ∃>，有01x e ＜ ,故错误. 对于③， 若 •0a b < 平面向量a ，b 的夹角为可能为π，故错误. 对于④，在锐角三角形ABC 中，必有02A B π<+<,即,22A B B A ππ>->-，所以4 / 10sin cos sin cos A B B A ，>>，所以sin sin cos cos A B A B +>+，故正确；对于⑤，在等差数列{}n a 中，若,n a t t =为常数，则1234a a a a +=+满足，()*,,,m n p q a a a a m n p q N +=+∈，但是1234+=+不成立，即m n p q +=+ 不成立，故错误，故选A.8. 【2020届河北省衡水中学高三下学期一调】已知全集{}2,340,{|22}U R A x x x B x x ==--=-≤≤ ，则如图所示的阴影部分所表示的集合为（ ）A ．4{|}2x x -≤<B ．{|2x x ≤或4}x ≥C ．{|21}x x -≤≤-D ．{|12}x x -≤≤ 【答案】D【解析】{}2|340U C A x x x =--≤=[1,4]- ,所以阴影部分所表示的集合为()[1,4][2,2][1,2]U C A B ⋂=-⋂-=- ,选D.9. 【2020届河北省衡水中学高三下学期一调】已知 a b c R ∈、、，则“240b ac -<”是“函数2()f x ax bx c =++的图象恒在x 轴上方”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】D【解析】当240b ac -<时，函数2()f x ax bx c =++图象与x 轴没有交点，当0a <时，()f x 图像恒在x 轴下方，所以是不充分条件； 当函数2()f x ax bx c =++的图象恒在x 轴上方，5 / 10取0,0a b c ==>，满足要求，此时240b ac -=， 因此不一定能得到240b ac -<，所以是不必要条件； 故选D 项.10. 【河北省衡水市2019届高三下学期五月大联考】已知集合{}|1M x x =≥，()122|2N x y x x ⎧⎫==-⎨⎬⎩⎭，则集合M N =（ ）A ．φB ．(2,)+∞C ．[2,)+∞D ．[1,2]【答案】C 【解析】{0N x x =≤或}2x ≥，[)2,M N ∴=+∞.故选：C11. 【河北省衡水市2019届高三下学期五月大联考】已知集合{}1,0,2,4,5M =-，(){}2|24N x x =-<，则集合M N =（ ）A ．φB ．{}0,2,4C ．{}2D ．{}1,0,2-【答案】C【解析】(){}()224|04N x x =-<=,，∴{}2M N =.故选：C.12. 【河北省衡水市2020届高三下学期3月第五次调研数学（理)】()Z M 表示集合M 中整数元素的个数，设集合{}18A x x =-<<，{}5217B x x =<<，则()Z A B ⋂=（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】C 【解析】()1,8A =-，517,22B ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 5,82A B ⎛⎫∴⋂= ⎪⎝⎭，()5Z A B ∴⋂=.故选C13. 【河北省衡水市2020届高三下学期3月第五次调研数学（理)】命题p ：,x y R ∈，222x y +<，命题q ：,x y R ∈，2x y +<，则p 是q 的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件6 / 10C ．必要充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】222x y +< 表示的范围，用图像来表示就是以(0,0) 2 为半径的圆内；q ：,x y R ∈，2x y +< 表示以()()()()0,2,0,2,2,0,2,0-- 为顶点的菱形；画出图像知道菱形包含了圆形；故p 范围比q 范围小，根据小范围推大范围，得p 是q 的充分非必要条件； 故选A14. 【河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级上学期四调考试（理)】已知集合(){}|10A x x x =-≤，(){}|ln B x y x a ==-，若A B A =，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(),0-∞B ．(],0-∞C ．()1,+∞D ．[)1,+∞【答案】A【解析】(){}|1001A x x x x =-≤⇒≤≤(){}|ln B x y x a x a ==-⇒>A B A A B ⋂=⇒⊆所以0a < 故答案选A15. 【河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级上学期四调考试（文)】设集合}{1,2,3M =-，{}22,2N a a =++，且}{3M N ⋂=，则实数a 的值为( )A ．1或-1B ．-1C ．1D ．2【答案】B【解析】∵A ∩B ＝{3}， ∴3∈A 且3∈B ， ∴a +2＝3或a 2+2＝3， 解得：a ＝1或a ＝﹣1，当a ＝1时，a +2＝3，a 2+2＝3，与集合元素互异性矛盾，舍去； 则a ＝﹣1．7 / 1016. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三第一次联合考试文科】已知集合{}6A x N x =∈<，{}2,x B y y x A ==∈，则A B 中元素的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】∵{}6A x N x =∈<， ∴{}0,1,2,3,4,5A =， 又{}2,xB y y x A ==∈， ∴{}1,2,4,8,16,32B =， ∴{}1,2,4AB =，有3个元素，故选：C ．17. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三上学期六调（文)】已知集合22(,)|12x A x y y ⎧⎫=+=⎨⎬⎩⎭，21(,)|2B x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，则集合A B 中元素的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个【答案】C【解析】根据集合的含义，AB 表示椭圆2212x y +=与抛物线2y 12x =交点，又两曲线的位置关系如下图所示：所以集合A B 中元素的个数为2.8 / 1018. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三上学期六调（文)】已知,m n ∈R ，则“10mn->”是“0m n ->”的（ ）A ．既不充分也不必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．充要条件 【答案】A 【解析】前者：1010m mm n n n->⇒>⇒>>或0m n <<， 后者：0m n m n ->⇒>； 所以“10mn->”是“0m n ->”的既不充分也不必要条件 19. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期第八次调研（文)】设全集为R ，集合{}2|20A x x x =-<，集合{}|1B x x =<，则A B =（ ）A ．()1,1-B ．()1,2-C ．()0,1D ．()0,2【答案】C【解析】()0,2A =，()1,1B =-，所以()0,1A B =，故选：C.20. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期第九次调研（理)】已知集合{|02}A x x =<<，12|log 2B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则A B =（ ）A ．RB ．{}|02x x <<C ．{}|0x x >D ．1|24x x ⎧<<⎨⎩ 【答案】C9 / 10【解析】因为{}|02A x x =<<，121|log 2|4B x x x x ⎧⎫⎧⎫=<=>⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，所以{}|0A B x x ⋃=>. 故选：C21. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期第七次调研（文)】已知集合()1222M x y x x ⎧⎫==-⎨⎬⎩⎭，{}11N x x =-<<，则MN =（ ）A ．[)0,1B ．()0,1C ．(]1,0-D ．()1,0-【答案】A【解析】(){}[]12222200,2M x y x x x x x ⎧⎫==-=-≥=⎨⎬⎩⎭，{}()111,1N x x =-<<=-，[)0,1MN ∴=.故选：A .22. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期七调（理)】已知集合{}{}10,1A x R x B x Z x =∈+>=∈≤，则A B =（）A ．{}01x x ≤≤ B ．{}11x x -<≤C ．{}0,1D ．{}1【答案】C【解析】∵集合{}10A x R x =∈+>＝{}1A x x =>-，{}1B x Z x =∈≤＝{1，0，-1，-2，… }，∴{}0,1A B ⋂=． 故选：C ．23. 【河北省衡水中学2019届高三下学期2月月考（理)】若集合{|3},{|2}A x x B x x =<=，则A B =（ ） A ．{|3}x x < B ．{|03}x x ≤< C ．{|03}x x << D ．{}|4x x ≤【答案】B10 / 10【解析】∵{|04}B x x =≤≤，∴{|03}A B x x ⋂=≤<．故选：B ．24. 【河北省衡水中学2019届高三下学期四调（理)】集合{}|23M x x =-<<，(){}5=log 11N x Z x ∈+≤，则=M N ⋂（ ） A ．{}1,2 B ．{}1,2,3 C ．{}1,2,3,4 D ．{}0,1,2【答案】D【解析】集合{}|23M x x =-<<，(){}5=log 11N x Z x ∈+≤，()55log 1log 501514x x x +≤⇒<+≤⇒-<≤.因为x ∈Z ,故{}0,1,2,3,4N =，故得到 M N ⋂={}0,1,2. 故答案为：D.。

高考数学一轮复习集合知识点
要想学好集合的内容，就必须在准确地把握集合的概念，熟练地运用集合与集合的关系解决具体问题上下功夫。

二、注意弄清集合元素的性质，学会运用元素分析法审视集合的有关问题
众所周知，集合可以看成是一些对象的全体，其中的每一个对象叫做这个集合的元素。

集合中的元素具有“三性”：(1)、确定性：集合中的元素应该是确定的，不能模棱两可。

(2)、互异性：集合中的元素应该是互不相同的，相同的元素在集合中只能算作一个。