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第1节基本知识本节的有限元对象为轴对称问题，目的是学习将3D问题转化为2D问题分析的轴对称方法，涉及如何选取轴对称单元、建模规律、戦荷的施加方法和后处理技术。
一、轴对称问题的定义轴对称问题是指受力体的几何形状、约束状态，以及其它外在因素都对称于某•根轴（过该轴的任•平而都是对称而）。
轴对称受力体的所有应力、应变和位移均对称于这根轴。
二、用ANSYS解决2D轴对称问题的规定用ANSYS解决2D轴对称问题时，轴对称模型必须在总体坐标系XOY平面的第•象限中创建，并且Y 轴为轴旋转的对称轴。
求解时，施加自由约束、压力载荷、温度载荷和Y方向的加速度可以像其它非轴对称模型•样进行施加，但集中戦荷有特殊的含义，它农示的是力或力矩在360。
范圉内的合力，即输入的是整个圆周上的总的载荷人小。
同理，在求解完毕后进行后处理时，轴对称模型输出的反作用力结果也是整个圆周上的合力输出，即力和力矩按总载荷大小输出。
在ANSYS中，X方向是径向，Z方向是环向，受力体承载后的环向位移为零，环向应力和应变不为零。
常用的2D轴对称单元类型和用途见衣U-U表11-1 2D轴对称當用结构单元列表的岛阶单的阶恥在利用ANSYS进行有限元分析时，将这些单元定义为新的单元后，设置单元配置项KEYOPT (3) 为Axis\Tnmetric (ShellSl和She 1161单元本身就是轴对称单元，不用设置该项)，单元将彼指定按轴对称模型进行计算。
后处理时，可观察径向和环向应力，它对应的是SX与SZ应力分量，并且在直角坐标系下观察即可。
可以通过轴对称扩展设置将藏而结果扩展成任意扇型区域大小的模型，以便更加真实地观察总体模型的各项结果。
轴对称问题有限元分析实例2D节2第2y611xO612n-i閲柱简壳示总图图——圆柱筒的静力分析•、案例1问题，宜O.lmlOOON/m的压力作用，其厚度为如图11-1所示，圆柱筒材质为A3钢，受，并且圆柱筒壳的下部轴线方向固定，其它方向自由，试计算其变形、mm.高度为16径12径向应力和轴向应力。
3.4 轴对称场的有限元分析3.4.1轴对称场的变分问题 1. 典型边值问题若以z 轴为对称轴线，则轴对称场过z 轴的任意半平面中场的分布形态都是一样的，这就是说，如果建立圆柱坐标，场的分布只相关于ρ和z 坐标，而与角度φ坐标无关，即()()z u r u ,ρ=，于是三维场就可以转化为轴对称场来计算。
(1) 标量场的边值问题： 与二维场中的表述情况一样：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂=Ω∈-=∇ΓΓ2221fn u u u f u o β(2) 用矢量磁位A描述的恒定磁场边值问题：A应满足的旋度旋度方程J Aμ=⨯∇⨯∇展开上式z z e A e A A A e A A A 22222222121∇+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+-∇+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂--∇φρφφραρρφρρφρρ ()z z e J e J e J ++-=φφρρμ在轴对称场中，只可能有 ()φφφφρe z J e J J,==，则()φφφφρe z A e A A,==代入控制方程φφφμρJ A A -=-∇221再考虑磁感应强度∵ ()()z z z z e B e B e A e z A A z e e e A B +=∂∂+∂∂-=∂∂∂∂∂∂=⨯∇=ρρφρφφφρρρρρρρφρρρ110① 设z A )(⨯∇为切向分量，ρe 方向即为其法向分量方向，有()21f H B n A tt=-=-=∂∂γρρα 是第二类边界条件② 在二维平面场中等A 线即B 线，但轴对称场中B线的微分方程：()()00=+⨯+⇒=⨯dz e d e e B e B l d B z z zρρρρ ()0d d =+-φφρρe B e z B z()()011=∂∂+∂∂ρρρρρρφφd A dz z A ⇒()()()0d d d ==∂∂+∂∂φφφρρρρρA A z zAc A =φρ 线B⇒是第一类边界条件。
∴ 以A表示的轴对称恒定磁场边值问题为：2. 等价变分问题(1) 以标量位描述的场(包含静电场、恒定电场和无电流区的恒定磁场)⎰⎰⎰ΩΓΩΓ-Ω-Ω∇=222)(21)(ud f fud d u u F ββ其中z zuu u e e ∂∂+∂∂=∇ρρ z d d d d αρρ=Ωl s d d d d αρ==Γ泛函(){}{}⎰⎰⎰⎰⎰⎰--⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=πππαρβαρραρρρβ2222222d d d d d d d d 21ol oso s l u f z fu z z u u u F 中出现π2因子，于是等价变分问题为：()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎰⎰o l s l u u dl u f dz d fu z u r u u F 12222min 2212ρβπρρβπ 即(2) 以A 描述的恒定磁场：二维场中有z z e J J=，z z e A A =，相应变分问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎰⎰⎰ol s l S A A dl A f A f JAdxdy dxdy y A x A A F 1212222min 21121)(μμ 因y A B x ∂∂=，xA B y ∂∂-=，上述变分问题中的泛函可改写为：()⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛---=S l S l A f A f y x JA y x B A F 2d 211d d d d 22122μμ式中：第一项表示以S 为底面积、轴向单位长为高的体积内贮存的磁场能量，第三项反映第三类边界条件对磁场的影响。
按类比，并考虑π2因子，轴对称场中的等价变分问题3.4.2 轴对称场中标量位的有限元方程对于轴对称场域，实际的计算区域在子午面上，对按三角形单元剖分，积分在oz ρ坐标面上进行，π2因子相乘可形成以三角单元为半截面的旋转体积，所以实际积分只需以ρ代替x ，以z 代替y 坐标即可。
1. 轴对称场中三角形三节点单元的形状函数：其中j m m j i z z a ρρ-=，m j i z z b -=，j m i c ρρ-=，再按逆时钟轮换下标的方式可得其余的系数，∆为三角单元的面积，其特性仍有：()()()⎩⎨⎧≠===j i j i z N ij j j i 01δρ, 单元插值函数eT e u N u ][][~= e e e m jim j i e T e u B u c c cb b b u N u ][][][21][]][[]~[=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆=∇=∇ 式中：][][m j i Te N N N N =，[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=∇z Tρ。
2. 泛函中第一项单元分析()[][][][][][][][]{}[]eS e Te T e e e Te T e S S e u z B B u z u B B u z uu F eee⎰⎰⎰=⋅=∇=d d 221d d 221d d 2221ρρβπρρβπρρβπ~单元系数矩阵：[][][]⎰=eSe Te e z B B k d d 2ρρβπ 式中e B ][的元素已不是z ,ρ的坐标函数，利用积分公式：即以单元重心点的c ρ近似代替ρ其中：()()()()m j i q p c c b b c c b b k q p q p C q p q p m j i e pq,,=+∆⋅=+++∆=、426βπρρρρβπ3. 泛函第二项单元分析()()[][][]{}[]e ST e S e T e e e u z N f z u N f u F u F ee⎰⎰===d d 2d d 222ρρπρρπ~ 对应的e p ][[][]⎰=eS ee z Nf p d d 2ρρπ设单元中e f f =，取重心点处的c ρ代替ρ，得：4. 泛函中第三项单元分析()⎰=222l ez dl u f u F ρβπ在2l 边上对u进行线性插值，令ol lt = mj tu u t u +-=)1(~ 对ρ也进行线性插值()m j t t ρρρ+-=1令)(2l jm 上e f f 22=，则()()[]()[]()()[]()[]{}⎰⎰+-+-+-=+-+-=1222123d 1112d 112om m j j m jo eoo m j m j e e tu t t t u t t t l f tl t t tu u t f u F ρρρρπβρρπβ~()1332323233232312⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--=m m j j m j e o u t t t u t t t f l ρρρρπβ[][][][]eT ee m j m j e o p u uf l '=++=ρρρρβπ22032式中：5. 综合集成先将单元分析的矩阵全域化：e e k k ][][→、e e p p ][][→、e e p p ][]['='∴ )(][][][][]][[][21][][][][])[][(][21][][][][][][][21)]~()~()~([)~()()(321i T T eT e T e T eT e T eT e e e e e u F p u p u u k u p u p u u k u p u p u u k u u F u F u F u F u F u F ='--='∑-∑-∑='∑-∑-∑=++∑=∑=∑=T 由多元函数极值理论：),2,1(0)(o ii N i u u F ==∂∂得有限元方程][][]][[p p u k '+=应当指出：由场的轴对称性，计算域只是过z 轴的半平面内的一部份，若对称轴z 也是场域的边界，其上应是第二类齐次边界：0=∂∂ρu。
可将标位轴对称场与二维平面场的有限元方程相比较，其系数矩阵元素，已知列向量元素在计算方向的不同点。
3.4.3 矢量位轴对称场的有限元方程 1. 剖分与插值将场域剖分为0Z 个单元，0N 个节点。
任取一单元，取A 的插值函数：eT e l l A N A N A ][][~=∑= 式中e N ][仍为三角形单元三节点内插所得基函数序列。
2. 分析泛函的第一项⎰=se e z B F d d 21221ρρμπ∵()[]e T eA z N z A z AB ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-=∂∂-=∂∂-=~ρρρ1()[]e T ec c c z A N A A A A A A B ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+=∂∂+=∂∂+=∂∂=ρρρρρρρρρ~~ 1∴ [][]⎰⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂=e S e T e c c e T e e z A N A A z N F d d 212221ρρρρμπ 又考虑：∆=⎰C Se z ρρρ d d ，经过推导整得e e Te e A k A A F ][][][21)~(1=式中：3. 分析泛函的第二项()()⎰==soe e z ρA J A F A F d d 222ρπ~~设e J J=在单元中为常数，A ~用重心点的c A 代替，ρ用重心点的cρ代替： ∴()()m j i c e C C e SeC e e A A A J A J dz A J A F ++∆=∆==⎰ρπρπρρπ2312d 22~[][][]eTe c e c e ce m j i p A J J J A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆∆∆=ρπρπρπ323232∴4. 分析泛函中的第三项()⎰⎪⎭⎫⎝⎛-=2d 21122213e l e l A f A f A F ρμπ 在jm 边上A 和ρ作线性插值： m j tA A t A A +-==)1(~()mj t t ρρρρ+-==1~ 代入)(3A F e 中：()()[]()[]()[]()()()()()()()()[]}()[][]e Te m j m m j m j j m j o m m j m m j j j m m mm j m j j m j m j j j o o m j m j m j e p A A A A A f l tA t A t t tA t A t f A t A A t t A t t A t t A A t t A t f l t l t t tA A t f tA A t f A F '-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-------+-+-+⎩⎨⎧-+-+-=+-⎭⎬⎫⎩⎨⎧+--+-=⎰⎰22122223222102222311022133********d 111121112122d 111212ρρρρρρμπρρρρρρρρρρμπρρμπ][~式中的e p ]['目标量位轴对称场单元分析中的e p ]['。
