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第1节基本知识本节的有限元对象为轴对称问题，目的是学习将3D问题转化为2D问题分析的轴对称方法，涉及如何选取轴对称单元、建模规律、戦荷的施加方法和后处理技术。
一、轴对称问题的定义轴对称问题是指受力体的几何形状、约束状态，以及其它外在因素都对称于某•根轴（过该轴的任•平而都是对称而）。
轴对称受力体的所有应力、应变和位移均对称于这根轴。
二、用ANSYS解决2D轴对称问题的规定用ANSYS解决2D轴对称问题时，轴对称模型必须在总体坐标系XOY平面的第•象限中创建，并且Y 轴为轴旋转的对称轴。
求解时，施加自由约束、压力载荷、温度载荷和Y方向的加速度可以像其它非轴对称模型•样进行施加，但集中戦荷有特殊的含义，它农示的是力或力矩在360。
范圉内的合力，即输入的是整个圆周上的总的载荷人小。
同理，在求解完毕后进行后处理时，轴对称模型输出的反作用力结果也是整个圆周上的合力输出，即力和力矩按总载荷大小输出。
在ANSYS中，X方向是径向，Z方向是环向，受力体承载后的环向位移为零，环向应力和应变不为零。
常用的2D轴对称单元类型和用途见衣U-U表11-1 2D轴对称當用结构单元列表的岛阶单的阶恥在利用ANSYS进行有限元分析时，将这些单元定义为新的单元后，设置单元配置项KEYOPT (3) 为Axis\Tnmetric (ShellSl和She 1161单元本身就是轴对称单元，不用设置该项)，单元将彼指定按轴对称模型进行计算。
后处理时，可观察径向和环向应力，它对应的是SX与SZ应力分量，并且在直角坐标系下观察即可。
可以通过轴对称扩展设置将藏而结果扩展成任意扇型区域大小的模型，以便更加真实地观察总体模型的各项结果。
轴对称问题有限元分析实例2D节2第2y611xO612n-i閲柱简壳示总图图——圆柱筒的静力分析•、案例1问题，宜O.lmlOOON/m的压力作用，其厚度为如图11-1所示，圆柱筒材质为A3钢，受，并且圆柱筒壳的下部轴线方向固定，其它方向自由，试计算其变形、mm.高度为16径12径向应力和轴向应力。
轴对称实心体的有限元分析
轴对称实心体的有限元分析是一种在计算机科学中被广泛使用的技术，它可以
用来分析复杂的物体结构，以及结构中受力的变化。
轴对称实心体是一种常见的物体结构，它具有一个水平的轴心，围绕着这个轴心，它的每一个面都是完全对称的。
轴对称实心体的有限元分析可以帮助我们更好地理解物体结构的受力变化，这
对于设计出更坚固的物体结构非常重要。
该分析首先将物体结构划分为一系列有限元，然后利用数学模型来模拟物体结构在受力情况下的变形情况，以及物体结构的受力变化。
这样一来，我们就可以更清楚地了解物体结构在受力情况下的变形情况，从而设计出更坚固的物体结构。
轴对称实心体的有限元分析不仅可以用于设计出更坚固的物体结构，还可以用
于优化物体结构的结构性能，以及提高物体结构的可靠性。
此外，这种分析还可以用于分析物体结构的非线性行为，从而更好地预测物体结构在受力情况下的变形情况。
总之，轴对称实心体的有限元分析是一种重要的技术，它可以帮助我们更好地
理解物体结构的受力变化，并且可以帮助我们设计出更坚固的物体结构，以及提高物体结构的结构性能和可靠性。
对称结构有限元分析引言有限元分析是一种常用于结构力学分析中的数值模拟方法，该方法通过将结构划分为多个离散单元来近似描述结构的行为。
对称结构是指具有其中一种对称性的结构，例如轴对称结构、平面对称结构等。
对称结构通常具有简化的几何和载荷条件，因此在有限元分析中，可以利用其对称性进行更高效和准确的分析。
本文将探讨对称结构有限元分析的原理、方法和应用。
1.对称结构的定义和分类对称结构是指具有其中一种对称性的结构，对称性可以是轴对称、平面对称、对称于中心点等。
对称结构的主要特点是几何和载荷条件在其中一种平面或轴对称的情况下具有重复性。
根据对称性的不同类型，对称结构可以分为以下几种：(1)轴对称结构：具有轴对称性的结构，例如圆柱体、球体等。
轴对称结构在有限元分析中以轴对称法进行建模，可利用存在轴对称性的几何和载荷条件简化分析过程。
(2)平面对称结构：具有平面对称性的结构，例如矩形板、正方形板等。
平面对称结构在有限元分析中以平面对称法进行建模，可利用平面对称性简化分析过程。
(3)对称于中心点结构：具有中心对称性的结构，例如圆形板、圆环等。
对称于中心点结构在有限元分析中以对称中心法进行建模，可利用对称中心性简化分析过程。
2.对称结构有限元分析的原理(1)建立几何模型：根据结构的具体几何形状和对称性，利用CAD软件等工具建立结构的几何模型。
(2)网格划分：将结构的几何模型划分为多个离散的单元，可以采用三角形、四边形、四面体等单元来划分。
(3)边界条件和载荷：根据实际情况确定结构的边界条件和载荷，考虑到对称的几何和载荷条件，可以简化边界条件和载荷的描述。
(4)材料参数和本构关系：确定结构的材料参数和本构关系，这些参数可以根据实验数据或材料手册提供的数据确定。
(5)有限元分析：通过求解结构的有限元方程，得到结构的响应。
对称结构通常具有简化的有限元方程，可以利用对称性来简化方程。
(6)结果分析：根据有限元分析结果，对结构的应力、位移等进行分析和评估，对结构进行优化设计。
3 轴对称问题弹性力学空间问题中的轴对称问题是指，物体的几何形状、约束情况及所受的外力都对称于空间的某一根轴，因此在物体中通过该轴的任何平面都是对称面，所有应力、应变和位移也对称于该轴，这类问题称为轴对称问题。
研究轴对称问题时通常采用圆柱坐标系（r，θ，z），以z轴为对称轴。
轴对称问题实例如图3.1所示的受均布内压作用的长圆筒，通过Z轴的一个纵截面就是对称面图3.1受均布内压作用的长圆筒3.1 三角形截面环单元三结点单元位移函数图4-2 三结点单元轴对称问题分析中所使用的三结点单元，在对称面上是三角形，在整个弹性体中是三棱圆环，各单元中圆环形铰相联接。
三角形截面环单元的结点位移在轴对称问题中，弹性体内任意一点上，不存在切向位移，只存在径向位移u 和轴向位移w ，两个位移分量表示为，⎭⎬⎫⎩⎨⎧=w u f }{[][]Tmm j j i iT mT jT iew u w u w u==δδδδ}{单元结点位移轴对称问题的三结点三角形单元位移函数取为，⎭⎬⎫++=++=z r z r u 654321w αααααα⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∆=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧m j i m jim j i m j i u u u c c c b b b a a a 21321ααα根据结点位移，可得：⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∆=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧m j i m jim j i m j i w w w c c c b b b a a a 21654ααα单元形函数jm m j i r z z r a -=mmj ji iz r z r z r 11121=∆mj i z z b -=jm i r r c -=（i ，j ，m ）)(21z c r b a N i i i i ++∆=单元内任一点的位移{}[]{}em jim m j j i i m jim j iN N N w u w u w u N N N N N N w u f δ=⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=00003.2 应变矩阵（几何矩阵）根据几何方程及单元内位移的表达式，可得：⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧∂∂+∂∂∂∂∂∂=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧r w z u z w ru r u zr z r γεεεθ应变矩阵)(21m m j j i i u b u b u b r u ++∆=∂∂)(21m m j j i i u f u f u f r u ++∆=rcz b r a f i i i ++=（下标轮换）)(21m m j j i i w c w c w c z w ++∆=∂∂)(21m m j j i i u c u c u c z u ++∆=∂∂)(21m m j j i i w b w b w b r w ++∆=∂∂应变矩阵[]{}em ji m m mm m jj jj j ii ii i zr z r B B B b c c f b b c c f b b c c f b δγεεεθ=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∆=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧00000000021),,(00021][m j i b c c f b A B i i i iii ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=3.3 应力矩阵由轴对称问题的物理方程，得到弹性矩阵，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------+-=)1(22100011101110111)21)(1()1(][μμμμμμμμμμμμμμμμμE D应力矩阵11A =-μμ2)1(221A =--μμ3)21)(1(4)1(A E=-+-μμμ令：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+-=21111110010101)21)(1()1(][A A A A AA A E D μμμ则弹性矩阵为：]][[][B D S =][][m j iS S S S =),,()(2]][[][2211113m j i b A c A c f b A c A f b A c A f b A B D S i ii i i i ii i i i i i ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++∆==由弹性矩阵[D ]和几何矩阵[B ]可以得到应力矩阵[S ]，由应力矩阵可知，除剪应力为常量，其它三个正应力分量都是r 、z 的函数。
3.4 轴对称场的有限元分析3.4.1轴对称场的变分问题 1. 典型边值问题若以z 轴为对称轴线，则轴对称场过z 轴的任意半平面中场的分布形态都是一样的，这就是说，如果建立圆柱坐标，场的分布只相关于ρ和z 坐标，而与角度φ坐标无关，即()()z u r u ,ρ=，于是三维场就可以转化为轴对称场来计算。
(1) 标量场的边值问题： 与二维场中的表述情况一样：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂=Ω∈-=∇ΓΓ2221fn u u u f u o β(2) 用矢量磁位A描述的恒定磁场边值问题：A应满足的旋度旋度方程J Aμ=⨯∇⨯∇展开上式z z e A e A A A e A A A 22222222121∇+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+-∇+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂--∇φρφφραρρφρρφρρ ()z z e J e J e J ++-=φφρρμ在轴对称场中，只可能有 ()φφφφρe z J e J J,==，则()φφφφρe z A e A A,==代入控制方程φφφμρJ A A -=-∇221再考虑磁感应强度∵ ()()z z z z e B e B e A e z A A z e e e A B +=∂∂+∂∂-=∂∂∂∂∂∂=⨯∇=ρρφρφφφρρρρρρρφρρρ110① 设z A )(⨯∇为切向分量，ρe 方向即为其法向分量方向，有()21f H B n A tt=-=-=∂∂γρρα 是第二类边界条件② 在二维平面场中等A 线即B 线，但轴对称场中B线的微分方程：()()00=+⨯+⇒=⨯dz e d e e B e B l d B z z zρρρρ ()0d d =+-φφρρe B e z B z()()011=∂∂+∂∂ρρρρρρφφd A dz z A ⇒()()()0d d d ==∂∂+∂∂φφφρρρρρA A z zAc A =φρ 线B⇒是第一类边界条件。
∴ 以A表示的轴对称恒定磁场边值问题为：2. 等价变分问题(1) 以标量位描述的场(包含静电场、恒定电场和无电流区的恒定磁场)⎰⎰⎰ΩΓΩΓ-Ω-Ω∇=222)(21)(ud f fud d u u F ββ其中z zuu u e e ∂∂+∂∂=∇ρρ z d d d d αρρ=Ωl s d d d d αρ==Γ泛函(){}{}⎰⎰⎰⎰⎰⎰--⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=πππαρβαρραρρρβ2222222d d d d d d d d 21ol oso s l u f z fu z z u u u F 中出现π2因子，于是等价变分问题为：()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎰⎰o l s l u u dl u f dz d fu z u r u u F 12222min 2212ρβπρρβπ 即(2) 以A 描述的恒定磁场：二维场中有z z e J J=，z z e A A =，相应变分问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎰⎰⎰ol s l S A A dl A f A f JAdxdy dxdy y A x A A F 1212222min 21121)(μμ 因y A B x ∂∂=，xA B y ∂∂-=，上述变分问题中的泛函可改写为：()⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛---=S l S l A f A f y x JA y x B A F 2d 211d d d d 22122μμ式中：第一项表示以S 为底面积、轴向单位长为高的体积内贮存的磁场能量，第三项反映第三类边界条件对磁场的影响。
按类比，并考虑π2因子，轴对称场中的等价变分问题3.4.2 轴对称场中标量位的有限元方程对于轴对称场域，实际的计算区域在子午面上，对按三角形单元剖分，积分在oz ρ坐标面上进行，π2因子相乘可形成以三角单元为半截面的旋转体积，所以实际积分只需以ρ代替x ，以z 代替y 坐标即可。
1. 轴对称场中三角形三节点单元的形状函数：其中j m m j i z z a ρρ-=，m j i z z b -=，j m i c ρρ-=，再按逆时钟轮换下标的方式可得其余的系数，∆为三角单元的面积，其特性仍有：()()()⎩⎨⎧≠===j i j i z N ij j j i 01δρ, 单元插值函数eT e u N u ][][~= e e e m jim j i e T e u B u c c cb b b u N u ][][][21][]][[]~[=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆=∇=∇ 式中：][][m j i Te N N N N =，[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=∇z Tρ。
2. 泛函中第一项单元分析()[][][][][][][][]{}[]eS e Te T e e e Te T e S S e u z B B u z u B B u z uu F eee⎰⎰⎰=⋅=∇=d d 221d d 221d d 2221ρρβπρρβπρρβπ~单元系数矩阵：[][][]⎰=eSe Te e z B B k d d 2ρρβπ 式中e B ][的元素已不是z ,ρ的坐标函数，利用积分公式：即以单元重心点的c ρ近似代替ρ其中：()()()()m j i q p c c b b c c b b k q p q p C q p q p m j i e pq,,=+∆⋅=+++∆=、426βπρρρρβπ3. 泛函第二项单元分析()()[][][]{}[]e ST e S e T e e e u z N f z u N f u F u F ee⎰⎰===d d 2d d 222ρρπρρπ~ 对应的e p ][[][]⎰=eS ee z Nf p d d 2ρρπ设单元中e f f =，取重心点处的c ρ代替ρ，得：4. 泛函中第三项单元分析()⎰=222l ez dl u f u F ρβπ在2l 边上对u进行线性插值，令ol lt = mj tu u t u +-=)1(~ 对ρ也进行线性插值()m j t t ρρρ+-=1令)(2l jm 上e f f 22=，则()()[]()[]()()[]()[]{}⎰⎰+-+-+-=+-+-=1222123d 1112d 112om m j j m jo eoo m j m j e e tu t t t u t t t l f tl t t tu u t f u F ρρρρπβρρπβ~()1332323233232312⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--=m m j j m j e o u t t t u t t t f l ρρρρπβ[][][][]eT ee m j m j e o p u uf l '=++=ρρρρβπ22032式中：5. 综合集成先将单元分析的矩阵全域化：e e k k ][][→、e e p p ][][→、e e p p ][]['='∴ )(][][][][]][[][21][][][][])[][(][21][][][][][][][21)]~()~()~([)~()()(321i T T eT e T e T eT e T eT e e e e e u F p u p u u k u p u p u u k u p u p u u k u u F u F u F u F u F u F ='--='∑-∑-∑='∑-∑-∑=++∑=∑=∑=T 由多元函数极值理论：),2,1(0)(o ii N i u u F ==∂∂得有限元方程][][]][[p p u k '+=应当指出：由场的轴对称性，计算域只是过z 轴的半平面内的一部份，若对称轴z 也是场域的边界，其上应是第二类齐次边界：0=∂∂ρu。
可将标位轴对称场与二维平面场的有限元方程相比较，其系数矩阵元素，已知列向量元素在计算方向的不同点。
3.4.3 矢量位轴对称场的有限元方程 1. 剖分与插值将场域剖分为0Z 个单元，0N 个节点。
任取一单元，取A 的插值函数：eT e l l A N A N A ][][~=∑= 式中e N ][仍为三角形单元三节点内插所得基函数序列。
2. 分析泛函的第一项⎰=se e z B F d d 21221ρρμπ∵()[]e T eA z N z A z AB ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-=∂∂-=∂∂-=~ρρρ1()[]e T ec c c z A N A A A A A A B ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+=∂∂+=∂∂+=∂∂=ρρρρρρρρρ~~ 1∴ [][]⎰⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂=e S e T e c c e T e e z A N A A z N F d d 212221ρρρρμπ 又考虑：∆=⎰C Se z ρρρ d d ，经过推导整得e e Te e A k A A F ][][][21)~(1=式中：3. 分析泛函的第二项()()⎰==soe e z ρA J A F A F d d 222ρπ~~设e J J=在单元中为常数，A ~用重心点的c A 代替，ρ用重心点的cρ代替： ∴()()m j i c e C C e SeC e e A A A J A J dz A J A F ++∆=∆==⎰ρπρπρρπ2312d 22~[][][]eTe c e c e ce m j i p A J J J A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆∆∆=ρπρπρπ323232∴4. 分析泛函中的第三项()⎰⎪⎭⎫⎝⎛-=2d 21122213e l e l A f A f A F ρμπ 在jm 边上A 和ρ作线性插值： m j tA A t A A +-==)1(~()mj t t ρρρρ+-==1~ 代入)(3A F e 中：()()[]()[]()[]()()()()()()()()[]}()[][]e Te m j m m j m j j m j o m m j m m j j j m m mm j m j j m j m j j j o o m j m j m j e p A A A A A f l tA t A t t tA t A t f A t A A t t A t t A t t A A t t A t f l t l t t tA A t f tA A t f A F '-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-------+-+-+⎩⎨⎧-+-+-=+-⎭⎬⎫⎩⎨⎧+--+-=⎰⎰22122223222102222311022133********d 111121112122d 111212ρρρρρρμπρρρρρρρρρρμπρρμπ][~式中的e p ]['目标量位轴对称场单元分析中的e p ]['。
