内蒙古呼伦贝尔市牙克石林业一中2012届高三数学第四次模拟考试试题 文

侧视图正视图俯视图内蒙古呼伦贝尔市牙克石林业一中2012届高三数学第四次模拟考试试题 文一．选择题（12⨯5分=60分）1.复数i z +=21，i z 212+=，则21z z z =在复平面内对应点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2.设集合}30|{<≤=x x M ，}043|{2<--=x x x N ，则集合N M 等于（ ） A ．}10|{<≤x x B ． }10|{≤≤x x C ． }30|{<≤x x D ．}30|{≤≤xx 3.渐近线是20x -=和20x +=且过点(6,6)，则双曲线的标准方程是（ ）A ．22134x y -= B ．22143y x -= C ．221912x y -=D ．2211612y x -= 4.某简单几何体的三视图如图所示，其正视图．侧视图．俯视图均为直角三角形，面积分别是1，2，4，则这个几何体的体积为（ ）A ．83B ．43C ．8D ．4 5. 幂函数)(x f y =的图象经过点)2(),21,4(f 则（ ）A ．41 B ．21-C ．22D ．26. 已知向量p ()2,3=-,q (),6x =,且//p q，则+p q 的值为（ ） A ．5 D ．137. 按如图所示的程序框图运算，若输出3=b ，则输入的a 的取值范围是 A ．6(，)∞+ B ．（6，19] C ．19(，)∞+ D ．（6，19） 8.设)(x f 表示2+x 与232++x x 中的较大者，则)(x f 的最小值为 A ．0 B ．2 C ．41-D ．不存在 9. x x x f cos sin )(=，下列结论中正确的是（ ）A ． 函数)(x f 为偶函数B ．函数)(x f 最小正周期为π2xC ． 函数)(x f 的图象关于原点对称D ．函数)(x f 的最大值为1 10.有两个等差数列}{n a 、}{n b ，若3122121++=++++++n n b b b a a a n n ，则=33b a A.67 B.811 C. 913D.98 11. 已知某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图（如图所示），则甲、乙两人得分的中位数之和是（ ）A ．62B ．63C ．64D ．6512. 若关于x 的不等式2124x x a a +--<-有实数解，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,1)(3,)-∞+∞UB ．(1,3)C ．(,3)(1,)-∞--+∞UD ．(3,1)--二．填空题（4⨯5分=20分）13. 双曲线224312x y -=-的渐近线方程为_______.14.已知点P (x ，y )的坐标满足条件1110x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩的最大值等于15. 某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品．产品数量之比依次为2∶3∶5，现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，已知A 种型号产品共抽取了16件，那么此样本的容量n ＝ ．16.函数d cx bx ax x f +++=23)(的图像如图，)(/x f 为函数)(x f 的导函数，则不等式0)/<⋅x f x （的解集为 。

三．解答题（共70分）17. （本小题共12分）设函数)(cos sin 322cos )(R x x x x x f ∈+=的最大值为M ,期为T .(Ⅰ)求M 、T ； (Ⅱ)若有10个互不相等的正数i x 满),10,,2,1(10,)( =<=i x M x f i i π且求1210x x x +++的值.18. （本小题共12分）将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：（1）两数之和为5的概率；（2）两数中至少有一个奇数的概率；（3）以第一次向上点数为横坐标x ，第二次向上的点数为纵坐标y 的点(x,y)在圆x 2+y 2=15的内部的概率．GＢＡ Ｄ ＣＦＥ19. （本小题共12分）如图所示，矩形ABCD 中，AD ⊥平面ABE ，AE=EB=BC=2， F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE （1）求证：AE ⊥平面BCE ； （2）求证：AE ∥平面BFD ；20. （本小题共12分）已知曲线c 上任意一点P 到两个定点F 1(-3，0)和F 2(3，0)的距离之和为4． （1）求曲线c 的方程；（2）设过(0，-2)的直线l 与曲线c 交于C 、D 两点，且O OD OC (0=⋅为坐标原点），求直线l 的方程．21. （本小题共12分）已知函数32()(1)(5)f x x k x k x =+-++，其中k ∈R ． （I ）若函数()f x 有三个不同零点，求k 的取值范围； （II ）若函数()f x 在区间(0,3)上不是单调函数，求k 的取值范围.22.(本小题满分10分）注：考生可在下列三题中任选一题作答，多选者按先做题评分。

（1）. 几何证明选讲如图，AB 是⊙O 的直径，弦BD 、CA 的延长线相交于点E ，EF 垂直BA 的延长线于点F ． 求证：（1）DFA DEA ∠=∠；（2）AB 2=BE •BD-AE •AC.（2）.坐标系与参数方程已知直线l 的极坐标方程是cos sin 10ρθρθ+-=．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，在曲线1cos :sin x C y θθθ=-+⎧⎨=⎩（为参数）上求一点，使它到直线l 的距离最小，并求出该点坐标和最小距离．（3）.不等式选讲已知,,a b c 均为正实数，且1a b c ++=..牙克石林业一中2011---2012学年高三年级第四次模拟考试数学试卷(文)参考答案命题时间：2012.2 命题人：陈海忠一．选择题（12⨯5分=60分）二．填空题（4⨯5分=20分）13. x y 332±= 14. 2 15. 80 16. )3,0()3,(⋃--∞ 三．解答题（共70分）18. 解: 将一颗骰子先后抛掷2次，此问题中含有36个等可能基本事件 1分（1）记“两数之和为5”为事件A ，则事件A 中含有4个基本事件，所以P （A ）=41369=； 答：两数之和为5的概率为19． 4分 （2）记“两数中至少有一个奇数”为事件B ，则事件B 与“两数均为偶数”为对立事件，所以P （B ）=931364-=； 答：两数中至少有一个奇数的概率34． 8分 （3）基本事件总数为36，点（x ，y ）在圆x 2+y 2=15的内部记为事件C ，则C 包含8个事件，所以P （C ）=82369=． 答：点(x,y)在圆x 2+y 2=15的内部的概率29． 12分 19. 解：（1）证明：∵AD ⊥平面ABE ，//AD BC ，∴BC ⊥平面ABE ，则AE BC ⊥ ----------------3分又BF ⊥平面ACE ，则AE BF ⊥AE ∴⊥平面BCE ----------------6分（2）由题意可得G 是AC 的中点，连接FGBF ⊥平面ACE ，则CE BF ⊥，而BC BE =，F ∴是EC 中点 ---------9分 在AEC ∆中，//FG AE ，//AE ∴平面BFD --12分20. 解：（1）根据椭圆的定义，可知动点M 的轨迹为椭圆， ……………………1分 其中2a =，c =1b =． ……………………………2分所以动点M 的轨迹方程为2214x y +=．……………………………………4分（2）当直线l 的斜率不存在时，不满足题意．………………………………5分当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为2y kx =-，设11(,)C x y ，22(,)D x y ，∵0OC OD ⋅=，∴12120x x y y +=．………………6分∵112y kx =-，222y kx =-，∴21212122()4y y k x x k x x =⋅-++．∴ 21212(1)2()40k x x k x x +-++=．………… ① ……………7分由方程组221,4 2.x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得()221416120k x kx +-+=．则1221614k x x k +=+，1221214x x k⋅=+，………………………………9分 代入①，得()222121612401414kk k kk+⋅-⋅+=++． 即24k =，解得，2k =或2k =-．…………………………………11分 所以，直线l 的方程是22y x =-或22y x =--．…………………12分21. 解: （I ）因为(0)0f =，所以函数2()(1)(5)f x x x k x k ⎡⎤=+-++⎣⎦有三个不同零点的充要条件是关于x 的方程2(1)(5)0x k x k +-++=有两个不相等的非零实根，…………1分 即2250,5,113(3)(11)0(1)4(5)0k k k k k k k +≠≠-⎧⎧⇔⇔-<<-⎨⎨++<--+>⎩⎩，且5k ≠-. 故k 的取值范围是()11,5(5,3).----…………5分（II ）解法一：()232(1)(5)f x x k x k '=+-++，函数()f x 在区间(0,3)上不是单调函数的充要条件是关于x 的方程()232(1)(5)0f x x k x k '=+-++=有两个不相等的实数根，且至少有一个实数根在区间(0,3)内. …………7分（2）若()050f k '=+=，则5,k =-()23123(4)f x x x x x '=-=-.方程()0f x '=的两个实根0,4均不在区间(0,3)内，所以 5.k ≠-…………8分（3）若()37260f k '=+=，则26,7k =-()13(3)()7f x x x '=--. 方程()0f x '=在区间(0,3)内有实根17，所以k 可以为26.7-…………9分（4）若方程()0f x '=有一个实根在区间(0,3)内，另一个实根在区间[]0,3外，则()()030f f ''<，即26(5)(726)0,5.7k k k ++<-<<-…………10分 （5）若方程()0f x '=在区间(0,3)内有两个不相等的实根，则2(3)7260267(0)50265 2.1037813(2)(7)04(1)12(5)0f k k f k k k k k k k k k '=+>⎧⎧>-⎪⎪'=+>⎪⎪⎪⎪>-⇔⇔-<<--⎨⎨<-<⎪⎪-<<⎪⎪+->∆=--+>⎪⎪⎩⎩………11分 综合①②③④得k 的取值范围是()5,2.--…………12分（II ）解法二：()232(1)(5)f x x k x k '=+-++，函数()f x 在区间(0,3)上不是单调函数的充要条件是关于x 的方程232(1)(5)0x k x k +-++=在区间(0,3)上有实根且24(1)12(5)0.k k ∆=--+≠…………7分关于x 的方程232(1)(5)0x k x k +-++=在区间(0,3)上有实根的充要条件是()0,3,x ∃∈使得2(21)(325)k x x x +=--+…………8分()0,3,x ⇔∃∈使得()2(325)391021214213x x k x x x -+⎡⎤=-=-++-⎢⎥++⎣⎦令21,t x =+有()1,7t ∈，记2299(3)(3)(),()1t t h t t h t t t t+-'=+=-= ()013;()037.h t t h t t ''<⇔<<>⇔<<…………10分则函数()h t 在(]1,3上单调递减，在[)3,7上单调递增，所以有()[)6,10,h t ∈即(]310()5,243k h t ⎡⎤=--∈--⎢⎥⎣⎦.…………11分 又由 24(1)12(5)0,k k ∆=--+≠得2,k ≠-且7.k ≠故k 的取值范围是()5,2.--…………12分（II ）解法三：记函数()232(1)(5)f x x k x k '=+-++在区间[]0,3上的最大值为max ()'f x ，最小值为min ().'f x函数f (x )在区间(0,3)上不单调⇔函数f (x )在区间[]0,3上不单调⇔min ()0'<<f x max ().'f x …………7分因为函数()f x '的图像是开口向上、对称轴为13k x -=-的抛物线，所以max137(3),726,322()137(0),5,322k f k k f x k f k k -⎧⎧'-≤+≥-⎪⎪⎪⎪'==⎨⎨-⎪⎪'->+<-⎪⎪⎩⎩， max ()0 5.f x k '>⇔>-…………9分当5k >-时，123k --<，min 111(),02(7)(2),5133(),31(0),05,13k k f k k k f x k f k k --⎧'⎧-≤-<⎪--+-<≤⎪⎪'==⎨⎨-⎪⎪'-<+>⎩⎪⎩……11分min ()05 2.f x k '<⇔-<<-故k 的取值范围是()5,2.--……12分（3）解：由柯西不等式得()222141141141(111)(414141)a b c a b c +++++≤+++++++3[4()3]21a b c =+++= …当且仅当a=b=c=13时等号成立 故414141a b c +++21…。