113导数的几何意义79513

(2)求平均变化率

;
x
x
0
y
(3)取极限，得导数f ( x0 ) lim
.
x 0 x
例1： = 2 ,求 , (), ′ (−1) , ′ (2)
思路：先根据导数的定义求f ' ( x), 再将自变量
的值代入求得导数值。
解：由导数的定义有
f ( x x) f ( x)
的变化情况.
t
l2
解 我们用曲线h x 在t0 , t1 , t2 处的切线, 刻画曲
线ht 在上述三个时刻附近的变化情况.
1当t t0时,曲线ht 在
h
l0
t0处的切线l0平行于x 轴.
所以, 在t t0附近曲线比
较平坦, 几乎没有升降.
l1
O
t0
t1
图1.1 3
t2
x
x
1
1
lim
，
x 0 2
（2 x）
4
1
1
所 以， 这 条双 曲 线过 点
（2， ） 的 切线 斜 率为 .
2
4
1
1
1
故 所求 切 线方 程为
y ( x 2)， 即y x 1.
2
4
4
再见
x
2.求曲线y 3 x 2 4 x 2在点M（1，1）处的
切线方程。
１
１
3. 求双曲线ｙ＝ 过点（２，）的切线方程．
ｘ
２
练习
1
1
3. 求双曲线 = 过点(2, )的切线方程

2
1
1

f（2 x） f（2）

y
y=f(x)
割
线 Pn
T 切线
P
当点Pn沿着曲线无限接近点P即Δx→0
o
时,割线PPn趋近于确定的位x置，这个确
定位置的直线PT称为点P处的切线.
y
圆的切线定义并不适
l1 用于一般的曲线。
A
通过逼近的方法，将
割线趋于的确定位置的
l2
直线定义为切线（交点
B C
可能不惟一）适用于各
x
种曲线。所以，这种定 义才真正反映了切线的
练习:
例4.已知y x，求y.
解： y x x x
y
1
x x x x
x xxx
y lim y lim
1
1.
x0 x x0 x x x 2 x
P9练习
练习
练习
P10 A组 第3、4、5题，，
②切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数.
求切线方程的步骤：
（1）求出函数在点x0处的导数 f (x0），得到曲线 在点(x0,f(x0))的切线的斜率。
（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即
y f (x0) f (x0)(x x0).
练习:如图已知曲线 y
1 3
x3上一点P(2, 8) 3
函数导函数
由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当 时,f’(x0) 是一个确定的数.那么,当x变化时,便是x 的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.即:
f (x) y lim y lim f (x x) f (x)
x x0
x0
x
在不致发生混淆时，导函数也简称导数．
函数y f (x)在点x0处的导数f (x0 ) 等于函数f (x)的导(函)数f (x)在点x0处的 函数值.

得方程k＝f′(x0)＝4.解方程得x0.代入y＝x2，得y0，从而得切线 方程．
第二十一页，共35页。
【解】 设P点的坐标为(x0，y0)，
∵y′＝ lim Δx→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
x＋ΔΔxx2－x2＝Δlixm→0
(2x＋Δx)＝2x，
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∴y′|x＝x0＝2x0.
由切线与直线4x－y＋2＝0平行，
∴f′(3)＝lim Δx→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
(6＋Δx)＝6.
∴点(3,9)处的切线方程为y－9＝6(x－3)，
即y＝6x－9.
切线与两坐标轴的交点分别为(32，0)，(0，－9)．
∴切线与两坐标轴围成的三角形面积为
S＝12×32×9＝247.
第二十五页，共35页。
规律技巧 曲线y＝f(x)的导数与切线的关系．若曲线y＝ f(x)在点P(x0，f(x0))处的导数f′(x0)不存在，则切线与y轴平行 或重合；若f′(x0)>0，则切线与x轴正方向夹角是锐角；若 f′(x0)<0，则切线与x轴正方向夹角为钝角；若f′(x0)＝0，则 切线与x轴平行或重合.
【例1】 已知曲线C：y＝x3. (1)求曲线C上横坐标为1的点处的切线方程； (2)第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点． 【分析】 先求出函数y＝x3在x＝1处的导数，即切线的 斜率，然后写出切线方程，最后列方程看交点个数．
第十二页，共35页。
【解】 (1)将x＝1代入曲线C的方程得y＝1，
(2)代入直线的点斜式方程可得切线方程为 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 如果曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线平行于y轴时(此 时导数不存在)，切线方程为x＝x0.

在 x x0 处的函数值，这也是 求函数在点 x 0
处的导数的方法之一。
课堂小结
１、导数的几何意义
２求利用导数求曲线上P(x0 ,f(x0))处的切线方程 ①先求出该点的导数即切线的斜率；
kf(x0)
②再利用点斜式求出切线方程
y f(x 0 ) f(x 0 )x ( x 0 )
练习题
1．曲线y=x2在x=0处的（ D ） A．切线斜率为1 B．切线方程为y=2x C．没有切线 D．切线方程为y=0
x
曲线在某一点处的切线的定义
设曲线C是函数y=f(x)的图象，
y=f(x) 在曲线C上取一点P(x0,y0) 及邻近一
y
Q
点Q(x0+△x,y0+△y),过P,Q两点作割
△y 线，当点Q沿着曲线无限接近于点P
T 即△x→0时, 如果割线PQ有一个极
P △x o
限位置PT, 那么直线PT叫做曲线在
x
点P处的切线。
此处切线定义与以前的定义有何不同？
y
圆的切线定义并不适
l1 用于一般的曲线。
A
通过逼近的方法，将
割线趋于的确定位置的
l2
直线定义为切线（交点
B C
可能不惟一）适用于各
x
种曲线。所以，这种定 义才真正反映了切线的
直观本质。
割线与切线的斜率有何关系呢？
k PQ x y ＝ f(x x x ) f(x )
2．已知曲线y=2x2上的一点A(2，8)，则点
A处的切线斜率为（ C ）
A．4
B．16
C．8
D．2
3．函数y=f(x)在x=x0处的导数f ’(x0)的几 何意义是（ C ）