113导数的几何意义学案-吉林省长春市第八中学人教A版高中数学选修2-2(无答案)

2019-2020学年高中数学 1.13导数的几何意义导学案 新人教A 版选修2-2【学习目标】理解曲线的切线的概念, 通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题【重点难点】曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义 一、自主学习要点1 导数的几何意义f ′(x 0)是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的 相应的切线方程为： 要点2 导数的物理意义指如果物体运动的规律是s (t )，那么物体在时刻t 的瞬时速度即为v ＝ 要点3 导函数y ＝f (x )的导函数(导数)是f ′(x )＝y ′＝. 试一试1．f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)与函数f (x )的导数f ′(x )有何区别？二、合作，探究，展示，点评题型一 求曲线上某点处的切线方程例1 求曲线f (x )＝x 3＋2x ＋1在点(1,4)处的切线方程．思考题1 已知曲线y ＝x ＋1x 上一点A (2，52)．求：(1)在点A 处的切线的斜率； (2)在点A 处的切线方程．例2 曲线y ＝x 3在x 0＝0处的切线是否存在？若存在，求其方程．思考题2 曲线y ＝1x在(1,1)处的切线斜率为___ _____，切线倾斜角为________．题型二 求过某点的切线方程例3 求抛物线y ＝－3x 2＋1过点P (1，－1)的切线方程．思考题3 求抛物线y ＝x 2过点(52，6)的切线方程．题型三 求导函数例4 求函数y ＝x 2＋ax ＋b (a 、b 为常数)的导数．思考题4 函数f (x )＝1x的导数为( )A.1xB ．1C.1x2D ．－1x2题型四 求过某一点处的导数例5 求函数y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在x ＝3处的导数．思考题5 已知函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，求a .三、知识小结1．位移的导数是速度．速度的导数是加速度． 2．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x 0，f (x 0))，表示出切线方程，然后求出切点． 3．函数f (x )在点x 0处有导数，则在该点处函数f (x )的曲线必有切线，且导数值是该切线的斜率；但函数f (x )的曲线在点x 0处有切线，而函数f (x )在该点处不一定可导，如f (x )＝x 在x ＝0处有切线，但它不可导．《导数的概念》课时作业 一、选择题1．已知函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数为11，则lim Δx →0f x 0－Δx －f x 0Δx＝( )A ．11B ．－11 C.111D ．－1112．函数f (x )在x ＝0可导，则lim h →af h －f ah －a＝( )A ．f (a )B ．f ′(a )C ．f ′(h )D ．f (h )3．已知函数y ＝x 2＋1的图像上一点(1,2)及邻近点(1＋Δx,2＋Δy )，则lim Δx →0Δy Δx＝( )A ．2B ．2xC ．2＋ΔxD ．2＋Δx 2 4．设f (x )为可导函数，且满足lim x →0f－f －2x2x＝－1，则f ′(1)的值为( )A ．2B ．－1C ．1D ．－2 二、填空题5．一个物体的运动方程为S ＝1－t ＋t 2，其中S 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是________．6．函数y ＝(3x －1)2在x ＝x 0处的导数为0，则x 0＝________. 7．设f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a ＝________.8．质点M 按规律s ＝2t 2＋3做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，则质点M 的瞬时速度等于8 m/s 时的时刻t 的值为________．9．已知f (x )＝1x ，则lim Δx →0f ＋Δx －fΔx的值是________．10.如图，函数f (x )的图像是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f (f (0))＝________； limΔx →0f ＋Δx －fΔx＝______.三、解答题11．设f (x )＝x 2，求f ′(x 0)，f ′(－1)，f ′(2)．12．某物体运动规律是S ＝t 2－4t ＋5，问什么时候此物体的瞬时速度为0?13．若f ′(x 0)＝2，求li m k →0f x 0－k －f x 02k的值．14．若一物体运动方程如下：(位移：m ，时间：s)s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2 t ， ①29＋t －2 t ②求：(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度；(2)物体的初速度v 0； (3)物体在t ＝1时的瞬时速度．。

数学：1.1.3《导数的几何意义（2）》教案（新人教A版选修2-2）1.1．3导数的几何意义(2)教学目标：理解导数概念.掌握函数在一点处的导数定义及求法.掌握函数的导数的求法.教学重点：导数的概念及其求法.及几何意义。

教学难点：对导数概念的理解.教学过程：复习引入1．函数的导数值函数y＝f(x)，如果自变量x在x0处有增量Dx，则函数y相应地有增量 Dy＝f(x0＋Dx)－f(x0)．比值就叫做函数y＝f(x)在x0到x0＋Dx之间的平均变化率，即如果当Δx→0时，有极限，我们就说函数y＝f(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做f(x)在x0处的导数(或变化率) 记作f '(x0) 或，即 f '(x0)＝=2．函数 y＝f(x) 的导函数如果函数在开区间(a, b)内每点处都有导数，对于每一个x0∈(a，b)，都对应着一个确定的导数f ￠(x0)．从而构成一个新的函数f ￠(x)．称这个函数为函数y＝f(x)在开区间内的导函数．简称导数．也可记作y￠．3．导数的几何意义函数y＝f(x) 在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P（x0, f(x0)）处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P（x0, f(x0)）处的切线的斜率是f '(x0)．切线方程为 y－y0＝f '(x0) (x0－x0)．练习：1．当自变量从x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数（ A ）A．在区间[x0，x1]上的平均变化率B．在x0处的变化率C．在x1处的导数D．在区间[x0，x1]上的导数2．下列说法正确的是（ C ）A．若f ′ (x0)不存在，则曲线y = f (x)在点(x0, f (x0))处就没有切线B．若曲线y = f (x)在点(x0, f (x0))处有切线，则f ′ (x0)必存在C．若f ′ (x0)不存在，则曲线y = f (x)在点(x0, f (x0))处的切线斜率不存在D．若曲线y = f (x)在点(x0, f (x0))处的切线斜率不存在，则曲线在该点处就没有切线3．已知曲线求⑴ 点P处的切线的斜率；⑵ 点P处的切线的方程．解：⑴∴点P处的切线的斜率等于4．⑵在点P处的切线的方程是即新课讲授：例1．教材例2。

§教学目标1．了解平均转变率与割线斜率之间的关系； 2．理解曲线的切线的概念；3．通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题； 教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义； 教学难点：导数的几何意义． 教学过程： 一．创设情景（一）平均转变率、割线的斜率 （二）瞬时速度、导数咱们知道，导数表示函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时转变率，反映了函数y =f (x )在x =x 0附近的转变情况，导数0()f x '的几何意义是什么呢？ 二．新课教学（一）曲线的切线及切线的斜率：如图3.1-2，当(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时，割线n PP 的转变趋势是什么？们发现,当点n P 沿咱着曲线无穷接近点P 即0时,割线n PP 趋Δx →近于肯定的位置，这个肯定位置的直线PT 称为曲线在点P 处的切线. ⑴割线n PP 的斜问题：率nk 与切线PT 的斜率k 有什么关系？⑵切线PT 的斜率k 为多少？图3.1-2容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-,当点n P 沿着曲线无穷接近点P 时，n k 无穷趋近于切线PT 的斜率k ，即0000()()lim()x f x x f x k f x x∆→+∆-'==∆说明：（1）设切线的倾斜角为α,那么当Δx →0时,割线PQ 的斜率,称为曲线在点P 处的切线的斜率.这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方式; ②切线斜率的本质—函数在0x x =处的导数.（2）曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要按照割线是不是有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并非必然与曲线只有一个交点,可以有多个,乃至可以无穷多个. （二）导数的几何意义：函数y =f (x )在x =x 0处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率， 即 0000()()()limx f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆说明：求曲线在某点处的切线方程的大体步骤: ①求出P 点的坐标;②求出函数在点0x 处的转变率0000()()()limx f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆ ，取得曲线在点00(,())x f x 的切线的斜率；③利用点斜式求切线方程. （二）导函数：由函数f (x )在x =x 0处求导数的进程可以看到,那时,0()f x ' 是一个肯定的数，那么,当x 转变时,即是x 的一个函数,咱们叫它为f (x )的导函数.记作：()f x '或y '，即: 0()()()limx f x x f x f x y x∆→+∆-''==∆注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数．（三）函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '、导函数()f x '、导数 之间的区别与联系。

§1.1.3 导数的几何意义教学目标：1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系；2.理解曲线的切线的概念；3.通过两数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题。

教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义；教学难点：导数的几何意义.教学过程设计（一入情景引入，激发兴趣。

【教师引入】我们知道，导数表示幣数在尸乩处的瞬时变化率，反映了函数y=fU在尸心附近的变化情况，导数/'（忑）的儿何意义是什么呢？（二）、探究新知，揭示概念1曲线的切线及切线的斜率：如图1.1-2,当人（£,/（£））5 = 1,2,3,4）沿着曲线/（兀）趋近于点卩（兀0，/（心））时，割线户冋的变化趋势是什么？图1.1-2我们发现，当点人沿着曲线无限接近点P即A L O时,割线PP n趋近于确定的位置，这个确定位置的直线称为曲线在点P处的切线.问题：⑴割线P代的斜率心与切线刃的斜率R有什么关系？⑵切线的斜率P为多少？容易知道，割线户巳的斜率是他=/心一心），当点巴沿着曲线无限接近点P吋，心无限趋近于切£一兀0线〃的斜率即k = lim / % +心）_ /缶）=fg&TO Ax说明：（1）设切线的倾斜角为5那么当A x-0时，割线PQ的斜率，称为曲线在点P处的切线的斜率. 这个概念：①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法；②切线斜率的本质一函数在% = x0处的导数.（2）曲线在某点处的切线：1）与该点的位置有关;2）要根据割线是否有极限位置來判断与求解.如有极限,则在此点有切线，且切线是唯-的；如不存在，则在此点处无切线;3）曲线的切线，并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多个.（三）、分析归纳，抽象概括2导数的几何意义：函数尸fd）在尸‘°处的导数等于在该点（x0,/（x0））处的切线的斜率，即厂（和=向丿3+山）一/心以° z 心说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤：①求出”点的坐标；②求出函数在点兀0处的变化率畑）=lim』（兀+心）二/血=k ,得到曲线在点（兀0，广（兀0））的切心T°Ar线的斜率；③利用点斜式求切线方稈.3导函数：由函数在尸必处求导数的过程可以看到，当时，广（无）是一个确定的数，那么，当/变化时，便是/的一个函数，我们叫它为fd）的导函数•记作：广（兀）或）即：门兀）*=向・心+心）7⑴ 心TO A r注：在不致发生混淆吋，导函数也简称导数.函数/（劝在点兀0处的导数广（兀0）、导函数f\x）＞导数之间的区别与联系。

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导数的几何意义【教学目标】1．了解导函数的概念；了解导数与割线斜率之间的关系．2．理解曲线的切线的概念；理解导数的几何意义．3．会求曲线上某点处的切线方程，初步体会以直代曲的意义．【教法指导】本节学习重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义．本节学习难点：导数的几何意义．【教学过程】☆复习引入☆如果一个函数是路程关于时间的函数，那么函数在某点处的导数就是瞬时速度，这是函数的实际意义，那么从函数的图象上来考察函数在某点处的导数,它具有怎样的几何意义呢？这就是本节我们要研究的主要内容．☆探索新知☆思考1:如图，当点P n（x n，f(x n））（n＝1,2,3，4)沿着曲线f（x)趋近于点P（x0,f（x0))时,割线PP n的变化趋势是什么?思考2：曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点？答：不一定．曲线的切线和曲线不一定只有一个交点,和曲线只有一个交点的直线和曲线也不一定相切．如图,曲线的切线是通过逼近将割线趋于确定位置的直线．其图象特征是：切点附近的曲线均在切线的同侧，如l 2.思考3：曲线f （x ）在点(x 0，f （x 0））处的切线与曲线过某点（x 0，y 0)的切线有何不同？ 答:曲线f （x ）在点（x 0,f (x 0)）处的切线，点（x 0，f (x 0）)一定是切点，只要求出k ＝f ′（x 0），利用点斜式写出切线即可;而曲线f （x ）过某点(x 0,y 0)的切线，给出的点（x 0，y 0）不一定在曲线上，既使在曲线上也不一定是切点．【小结】曲线y ＝f （x ）在点P （x 0,f (x 0））处的切线的斜率k ＝f ′（x 0），欲求斜率,先找切点P (x 0,f (x 0)）．思考4：如何求曲线f (x ）在点（x 0,f （x 0）)处的切线方程？答：先确定切点P （x 0，f (x 0)） ，再求出切线的斜率k ＝f ′(x 0）,最后由点斜式可写出切线方程．2、例题剖析例1:（1)求曲线y =f (x ）=x 2+1在点P （1,2）处的切线方程.(2）求函数y =3x 2在点(1,3)处的切线方程。

导数的几何意义[学习目标] 1.理解曲线的切线的含义.2.理解导数的几何意义.3.会求曲线在某点处的切线方程.4.理解导函数的定义，会用定义法求简单函数的导函数.知识点一曲线的切线如图所示，当点P n沿着曲线y＝f(x)无限趋近于点P时，割线PP n趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线.(1)曲线y＝f(x)在某点处的切线与该点的位置有关；(2)曲线的切线，并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以有无穷多个.思考有同学认为曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线l与曲线y＝f(x)只有一个交点，你认为正确吗？答案不正确.曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线l与曲线y＝f(x)的交点个数不一定只有一个，如图所示.知识点二导数的几何意义函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率. 思考(1)曲线的割线与切线有什么关系？(2)曲线在某点处的切线与在该点处的导数有何关系？答案(1)曲线的切线是由割线绕一点转动，当割线与曲线的另一交点无限接近这一点时趋于的直线.曲线的切线并不一定与曲线有一个交点.(2)函数f(x)在x0处有导数，则在该点处函数f(x)表示的曲线必有切线，且在该点处的导数就是该切线的斜率.函数f(x)表示的曲线在点(x0，f(x0))处有切线，但函数f(x)在该点处不一定可导，如f(x)＝3x在x＝0处有切线，但不可导.知识点三导函数的概念对于函数y ＝f (x )，当x ＝x 0时，f ′(x 0)是一个确定的数，这样，当x 变化时，f ′(x )便是关于x 的一个函数，称它为函数y ＝f (x )的导函数，简称导数，也可记作y ′，即f ′(x )＝y ′＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0 fx ＋Δx －f xΔx.函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数y ′|0x x =就是函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )(x ∈(a ，b ))上的导数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值，即y ′|0x x =＝f ′(x 0)，所以函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数也记作f ′(x 0).思考 如何正确理解“函数f (x )在x ＝x 0处的导数”“导函数”“导数”三者之间的区别与联系？答案 “函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数”是一个数值，是针对x 0而言的，与给定的函数及x 0的位置有关，而与Δx 无关；“导函数”简称为“导数”，是一个函数，导函数是对一个区间而言的，它是一个确定的函数，依赖于函数本身，而与x ，Δx 无关.题型一 求曲线的切线方程 1.求曲线在某点处的切线方程例1 求曲线y ＝f (x )＝x 3－x ＋3在点(1,3)处的切线方程.解 因为点(1,3)在曲线上，过点(1,3)的切线的斜率为f ′(1)＝lim Δx →01＋Δx3－1＋Δx ＋3－1－1＋3Δx＝lim Δx →0Δx3＋3Δx2＋2ΔxΔx＝lim Δx →0[(Δx )2＋3Δx ＋2] ＝2，故所求切线方程为y －3＝2(x －1)， 即2x －y ＋1＝0.反思与感悟 若求曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线方程，其切线只有一条，点P (x 0，y 0)在曲线y ＝f (x )上，且是切点，其切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0). 跟踪训练1 (1)曲线f (x )＝13x 3－x 2＋5在x ＝1处切线的倾斜角为 .(2)曲线y ＝f (x )＝x 3在点P 处切线斜率为3，则点P 的坐标为 . 答案 (1)34π (2)(－1，－1)或(1,1)解析 (1)设切线的倾斜角为α，则tan α＝lim Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0Δx＝lim Δx →0f 1＋Δx －f 1Δx＝lim Δx →0131＋Δx 3－1＋Δx2＋5－13－1＋5Δx＝lim Δx →0 13Δx 3－Δx Δx ＝lim Δx →0[13(Δx )2－1]＝－1. ∵α∈[0，π)， ∴α＝34π.∴切线的倾斜角为34π.(2)设点P 的坐标为(x 0，x 30)，则有 lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx＝lim Δx →0 3x 20Δx ＋3x 0Δx 2＋Δx3Δx＝lim Δx →0[3x 20＋3x 0Δx ＋(Δx )2] ＝3x 20.∴3x 20＝3，解得x 0＝±1.∴点P 的坐标是(1,1)或(－1，－1). 2.求曲线过某点的切线方程例2 求过点(－1，－2)且与曲线y ＝2x －x 3相切的直线方程. 解 y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →02x ＋Δx －x ＋Δx3－2x ＋x3Δx＝lim Δx →0[2－3x 2－3x Δx －(Δx )2]＝2－3x 2. 设切点的坐标为(x 0,2x 0－x 30)，∴切线方程为y －2x 0＋x 30＝(2－3x 20)(x －x 0). 又∵切线过点(－1，－2)，∴－2－2x 0＋x 30＝(2－3x 20)(－1－x 0)，即2x 30＋3x 20＝0， ∴x 0＝0或x 0＝－32.∴切点的坐标为(0,0)或(－32，38).当切点为(0,0)时，切线斜率为2，切线方程为y ＝2x ；当切点为(－32，38)时，切线斜率为－194，切线方程为y ＋2＝－194(x ＋1)，即19x ＋4y ＋27＝0. 综上可知，过点(－1，－2)且与曲线相切的直线方程为y ＝2x 或19x ＋4y ＋27＝0. 反思与感悟 若题中所给点(x 0，y 0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程. 跟踪训练2 求过点P (3,5)且与曲线y ＝x 2相切的直线方程. 解 由题意知y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 x ＋Δx 2－x 2Δx＝2x .设所求切线的切点为A (x 0，y 0). ∵点A 在曲线y ＝x 2上， ∴y 0＝x 20. 又∵A 是切点，∴过点A 的切线的斜率y ′|0x x ＝2x 0. ∵所求切线过P (3,5)和A (x 0，y 0)两点，∴其斜率为y 0－5x 0－3＝x 20－5x 0－3.∴2x 0＝x 20－5x 0－3，解得x 0＝1或x 0＝5.从而切点A 的坐标为(1,1)或(5,25).当切点为(1,1)时，切线的斜率为k 1＝2x 0＝2； 当切点为(5,25)时，切线的斜率为k 2＝2x 0＝10.∴所求的切线有两条，方程分别为y －1＝2(x －1)和y －25＝10(x －5)， 即2x －y －1＝0和10x －y －25＝0. 题型二 求导函数例3 求函数f (x )＝x 2＋1的导函数. 解 ∵Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x ) ＝x ＋Δx2＋1－x 2＋1＝2x Δx ＋Δx2x ＋Δx2＋1＋x 2＋1， ∴Δy Δx＝2x ＋Δxx ＋Δx 2＋1＋x 2＋1，∴f ′(x )＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0 2x ＋Δxx ＋Δx2＋1＋x 2＋1＝xx 2＋1. 反思与感悟 求解f ′(x )时，结合导数的定义，首先计算Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x ).然后，再求解Δy Δx，最后得到f ′(x )＝lim Δx →0 Δy Δx . 跟踪训练3 已知函数f (x )＝x 2－1，求f ′(x )及f ′(－1). 解 因Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x ) ＝(x ＋Δx )2－1－(x 2－1) ＝2Δx ·x ＋(Δx )2，故lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 2Δx ·x ＋Δx 2Δx ＝2x ，得f ′(x )＝2x ，f ′(－1)＝－2. 题型三 导数几何意义的综合应用例4 设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1(a ＜0)，若曲线y ＝f (x )的斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行，求a 的值.解 ∵Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝(x ＋Δx )3＋a (x ＋Δx )2－9(x ＋Δx )－1－(x 3＋ax 2－9x －1)＝(3x 2＋2ax －9)Δx ＋(3x ＋a )(Δx )2＋(Δx )3， ∴Δy Δx＝3x 2＋2ax －9＋(3x ＋a )Δx ＋(Δx )2， ∴f ′(x )＝lim Δx →0 Δy Δx ＝3x 2＋2ax －9＝3(x ＋a 3)2－9－a 23≥－9－a 23. 由题意知f ′(x )最小值是－12， ∴－9－a 23＝－12，a 2＝9，∵a ＜0， ∴a ＝－3.反思与感悟 与导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的相关知识，如直线的方程、直线间的位置关系等，因此要综合应用所学知识解题.跟踪训练4 (1)已知函数f (x )在区间[0,3]上的图象如图所示，记k 1＝f ′(1)，k 2＝f ′(2)，k 3＝f (2)－f (1)，则k 1，k 2，k 3之间的大小关系为 .(请用“＞”连接)(2)曲线y ＝1x和y ＝x 2在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积是 .答案 (1)k 1＞k 3＞k 2 (2)34解析 (1)结合导数的几何意义知，k 1就是曲线在点A 处切线的斜率，k 2则为在点B 处切线的斜率，而k 3则为割线AB 的斜率，由图易知它们的大小关系. (2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1x，y ＝x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，故交点坐标为(1,1).曲线y ＝1x在点(1,1)处切线方程为l 1：x ＋y －2＝0，曲线y ＝x 2在点(1,1)处切线方程为l 2：2x －y －1＝0. 从而得S ＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－12×1＝34.因对“在某点处”“过某点”分不清致误例5 已知曲线y ＝f (x )＝x 3上一点Q (1,1)，求过点Q 的切线方程. 错解 因y ′＝3x 2，f ′(1)＝3. 故切线方程为3x －y －2＝0.错因分析 上述求解过程中，忽略了当点Q 不是切点这一情形，导致漏解. 正解 当Q (1,1)为切点时， 可求得切线方程为y ＝3x －2.当Q (1,1)不是切点时，设切点为P (x 0，x 30)， 则由导数的定义，在x ＝x 0处，y ′＝3x 20， 所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)， 将点(1,1)代入，得1－x 30＝3x 20(1－x 0)， 即2x 30－3x 20＋1＝0，所以(x 0－1)2·(2x 0＋1)＝0， 所以x 0＝－12，或x 0＝1(舍)，故切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－18，故切线方程为y ＝34x ＋14.综上，所求切线的方程为3x －y －2＝0或3x －4y ＋1＝0.防范措施 解题前，养成认真审题的习惯，其次，弄清“在某点处的切线”与“过某点的切线”，点Q (1,1)尽管在所给曲线上，但它可能是切点，也可能不是切点.1.下列说法中正确的是( )A.和曲线只有一个公共点的直线是曲线的切线B.和曲线有两个公共点的直线一定不是曲线的切线C.曲线的切线与曲线不可能有无数个公共点D.曲线的切线与曲线有可能有无数个公共点 答案 D解析 y ＝sin x ，x ∈R 在点(π2，1)处的切线与y ＝sin x 有无数个公共点.2.已知曲线y ＝f (x )＝2x 2上一点A (2,8)，则点A 处的切线斜率为( ) A.4 B.16 C.8 D.2 答案 C解析 f ′(2)＝lim Δx →0 f 2＋Δx －f 2Δx＝lim Δx →022＋Δx2－8Δx＝lim Δx →0(8＋2Δx )＝8，即k ＝8. 3.若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A.a ＝1，b ＝1 B.a ＝－1，b ＝1 C.a ＝1，b ＝－1 D.a ＝－1，b ＝－1答案 A解析 由题意，知k ＝y ′|x ＝0 ＝lim Δx →00＋Δx2＋a 0＋Δx ＋b －bΔx＝1，∴a ＝1.又(0，b )在切线上，∴b ＝1，故选A.4.已知曲线y ＝12x 2－2上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，则过点P 的切线的倾斜角为( ) A.30° B.45° C.135° D.165°答案 B解析 ∵y ＝12x 2－2，∴y ′＝lim Δx →012x ＋Δx2－2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2Δx＝lim Δx →012Δx 2＋x ·ΔxΔx＝lim Δx →0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12Δx ＝x .∴y ′|x ＝1＝1.∴点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32处切线的斜率为1，则切线的倾斜角为45°.5.已知曲线y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在点P 处的切线斜率为16，则P 点坐标为 . 答案 (3,30)解析 设点P (x 0,2x 20＋4x 0)， 则f ′(x 0)＝lim Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0Δx＝lim Δx →02Δx2＋4x 0·Δx ＋4ΔxΔx＝4x 0＋4，令4x 0＋4＝16得x 0＝3，∴P (3,30).1.导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx＝f ′(x 0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度.2.“函数f (x )在点x 0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f ′(x 0)是其导函数y ＝f ′(x )在x ＝x 0处的一个函数值.3.利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上.如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x 0，f (x 0))，表示出切线方程，然后求出切点.一、选择题1.下列说法正确的是( )A.若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处就没有切线B.若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)必存在C.若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在D.若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处没有切线，则f ′(x 0)有可能存在 答案 C解析 k ＝f ′(x 0)，所以f ′(x 0)不存在只说明曲线在该点的切线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线方程也可能存在，其切线方程为x ＝x 0.2.已知y ＝f (x )的图象如图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A.f ′(x A )>f ′(x B )B.f ′(x A )<f ′(x B )C.f ′(x A )＝f ′(x B )D.不能确定 答案 B解析 由导数的几何意义，f ′(x A )，f ′(x B )分别是切线在点A 、B 处切线的斜率，由图象可知f ′(x A )<f ′(x B ).3.在曲线y ＝x 2上切线倾斜角为π4的点是( )A.(0,0)B.(2,4)C.(14，116) D.(12，14) 答案 D解析 ∵y ′＝lim Δx →0 x ＋Δx 2－x 2Δx＝lim Δx →0 (2x ＋Δx )＝2x ， ∴令2x ＝tan π4＝1，得x ＝12.∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14，所求点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14.4.已知曲线y ＝13x 3上一点P (2，83)，则该曲线在P 点处切线的斜率为( )A.4B.2C.－4D.8 答案 A解析 因y ＝13x 3，得y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 13x ＋Δx 3－13x 3Δx ＝13lim Δx →0[3x 2＋3x ·Δx ＋(Δx )2]＝x 2，故y ′＝x 2，y ′|x ＝2＝22＝4，结合导数的几何意义知，曲线在P 点处切线的斜率为4.5.设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( ) A.1 B.12 C.－12D.－1答案 A解析 ∵y ′|x ＝1＝lim Δx →0a 1＋Δx2－a ×12Δx＝lim Δx →0(2a ＋a Δx )＝2a .∴可令2a ＝2，∴a ＝1. 6.如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)等于( )A.2B.3C.4D.5答案 A解析 易得切点P (5,3)，∴f (5)＝3，k ＝－1，即f ′(5)＝－1.∴f (5)＋f ′(5)＝3－1＝2. 二、填空题7.已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝ . 答案 3解析 由在点M 处的切线方程是y ＝12x ＋2，得f (1)＝12×1＋2＝52，f ′(1)＝12.∴f (1)＋f ′(1)＝52＋12＝3.8.过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线方程是 .答案 2x －y ＋4＝0解析 曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝1＝lim Δx →031＋Δx2－41＋Δx ＋2－3＋4－2Δx＝lim Δx →0(3Δx ＋2)＝2. ∴过点P (－1,2)的直线的斜率为2， 由点斜式得y －2＝2(x ＋1)， 即2x －y ＋4＝0.∴所求直线方程为2x －y ＋4＝0.9.若曲线y ＝2x 2－4x ＋P 与直线y ＝1相切，则P ＝ . 答案 3解析 设切点坐标为(x 0,1)，则f ′(x 0)＝4x 0－4＝0， ∴x 0＝1，即切点坐标为(1,1).∴2－4＋P ＝1，即P ＝3.10.设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为 . 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12解析 ∵f ′(x )＝lim Δx →0x ＋Δx2＋2x ＋Δx ＋3－x 2＋2x ＋3Δx＝lim Δx →0 2x ＋2·Δx ＋Δx2Δx＝lim Δx →0(Δx ＋2x ＋2)＝2x ＋2. ∴可设P 点横坐标为x 0，则曲线C 在P 点处的切线斜率为2x 0＋2.由已知得0≤2x 0＋2≤1，∴－1≤x 0≤－12，∴点P 横坐标的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12.三、解答题11.求曲线y ＝x 2在点(1,1)处的切线与坐标轴围成的三角形面积. 解 由导数定义可得y ′|x ＝1＝2，∴曲线y ＝x 2在点(1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1，设它与两坐标轴的交点分别为A (0，－1)，B (12，0)，∴S △AOB ＝12|OA ||OB |＝14.12.已知抛物线y ＝x 2和直线x －y －2＝0，求抛物线上一点到该直线的最短距离.解 方法一 设P (x ，x 2)为抛物线上任意一点，则点P 到直线x －y －2＝0的距离为d ＝|x －x 2－2|2＝22⎪⎪⎪⎪⎪⎪－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－74＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋728，所以当x ＝12时，d 最小，最小值为728.方法二 由题意设直线x －y ＋b ＝0与抛物线y ＝x 2相切，则x 2－x －b ＝0，由Δ＝0得b ＝－14，所以直线x －y －14＝0与x －y －2＝0的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－14＋22＝742＝728，所以抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为728. 方法三 根据题意可知，与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线对应的切点到直线x－y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 2)，则y ′|x ＝x 0＝lim Δx →0 x 0＋Δx 2－x 2Δx＝2x 0＝1，所以x 0＝12，所以切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14，切点到直线x －y －2＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728，所以抛物线上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为728. 13.已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在点(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 2的方程；(2)求由直线l 1，l 2和x 轴所围成的三角形的面积. 解 (1)∵y ′＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0x ＋Δx2＋x ＋Δx －2－x 2＋x －2Δx＝2x ＋1，∴y ′|x ＝1＝3，∴直线l 1的方程为y ＝3(x －1)，即y ＝3x －3，设直线l 2过曲线y ＝x 2＋x －2上的点P (x 0，x 20＋x 0－2)，则直线l 2的方程为y －(x 20＋x 0－2)＝(2x 0＋1)(x －x 0). ∵l 1⊥l 2，∴3(2x 0＋1)＝－1，x 0＝－23，∴直线l 2的方程为y ＝－13x －229.(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －3，y ＝－13x －229，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝16，y ＝－52.又直线l 1，l 2与x 轴交点坐标分别为(1,0)，(－223，0)，∴所求三角形面积S ＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－52×⎝⎛⎭⎪⎫1＋223＝12512.。

1. 1.3导数的几何意义课前预习学案一． 预习目标1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系;2.理解曲线的切线的概念;3.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义,并会用导数的几何意义解题。

二． 预习内容1.曲线的切线及切线的斜率（1）如图3.1-2,当(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时, 即0→∆x 时,割线n PP 趋近于确定的位置,这个确定位置的直线PT 称为 . （2）割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-,当点n P 沿着曲线无限接近点P 时,n k 无限趋近于切线PT 的斜率k ,即k = =2.导数的几何意义函数)(x f y =在0x x =处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率, 即0()f x '= .三．提出疑惑课内探究学案一． 学习目标1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系;2.理解曲线的切线的概念;3.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义,并会用导数的几何意义解题二． 学习过程（一）。

复习回顾1．平均变化率、割线的斜率 2。

瞬时速度、导数 （二）。

提出问题，展示目标我们知道,导数表示函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率,反映了函数)(x f y =在0x x =附近的变化情况,导数0()f x '的几何意义是什么呢？（三）、合作探究1.曲线的切线及切线的斜率（1）如图3.1-2,当(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时,割线n PP 的变化趋势是什么？ （2）如何定义曲线在点P 处的切线？(3)割线n PP 的斜率n k 与切线PT 的斜率k 有什么关系？ (4)切线PT 的斜率k 为多少？说明: (1)当0→∆x 时,割线PQ 的斜率,称为曲线在点P 处的切线的斜率. 这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质—函数在0x x =处的导数. (2)曲线在某点处的切线: 1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的; 如不存在,则在此点处无切线;3)曲线切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多. 2.导数的几何意义（1）函数)(x f y =在0x x =处的导数的几何意义是什么？ （2）将上述意义用数学式表达出来。

吉林省长春市实验中学高二数学《导数的几何意义》导学案 新人教A 版选修2-2【学习目标】1.了解曲线的切线的概念2.掌握用割线的极限位置上的直线来定义切线的方法．3.并会求一曲线在具体一点处的切线的斜率与切线方程【重点难点】重点：理解曲线在一点处的切线的定义，以及曲线在一点处的切线的斜率的定义.光滑曲线的切线斜率是了解导数概念的实际背景．难点：会求一条具体的曲线在某一点处的切线斜率【自主学习】阅读教材86P P -例2，并回答下面几个问题：1．如何定义切线。

2．如何表示割线的斜率3．如何表示切线的斜率阅读教材98P P -回答下面的问题4．导函数与上一课时中的导数的区别在那里？【合作释疑】 探究一：当直线与曲线相切是时候，是否与曲线只有一个交点？探究二：过曲线上一点做曲线的切线能做几条切线？【巩固训练，整理提高】一．例题例1．求曲线xy 1=在点)2,21(处的切线的斜率，并写出切线的方程。

例2．求过点)5,3(P 且与曲线2x y =相切的直线方程。

例3．已知曲线32-+=x x y 的某条切线与直线43+=x y 平行，求切点坐标与切线方程。

二．练习1．曲线24223+--=x x x y 在点（1,-3）处的切线方程是什么.2．设函数),(1)(Z b a bx ax x f ∈++=，曲线)(x f y =在点)2(,2(f ）处的切线方程为3=y .求)(x f 的解析式(实验班)3．已知函数f (x )的图象如图所示，下列数值的排序正确的是( ) A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2)B ．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)C ．0<f ′(3)<f ′(2)<f (3)－f (2)D ．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3)(实验班)4．如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝________.(实验班)5．在曲线E ：y ＝x 2上求出满足下列条件的点P 的坐标：过点P 与曲线E 相切且与x 轴成45°的倾斜角．三．课堂总结通过本节课的学习，你有哪些收获？【作业】教材第10页第4题。

§1.1.3 导数的几何意义学习目标通过导数的图形变换理解导数的几何意义就是曲线在该点的切线的斜率，理解导数的概念并会运用概念求导数.学习过程 一、课前准备复习1：曲线上向上11111(,),(,)P x y P x x y y +∆+∆的连线称为曲线的割线，斜率yk x∆==∆复习2：设函数()y f x =在0x 附近有定义当自变量在0x x =附近改变x ∆时，函数值也相应地改变y ∆= ，如果当x ∆ 时，平均变化率趋近于一个常数l ，则数l 称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率.记作：当x ∆ 时， →l二、新课导学学习探究探究任务：导数的几何意义问题1：当点(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =，沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时，割线的变化趋是什么？新知：当割线P n P 无限地趋近于某一极限位置PT 我们就把极限位置上的直线PT ，叫做曲线C 在点P 处的切线 割线的斜率是：n k =当点n P 无限趋近于点P 时，n k 无限趋近于切线PT 的斜率. 因此，函数()f x 在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即0000()()lim ()x f x x f x k f x x∆→+∆-'==∆新知：函数()y f x =在0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在00(,())P x f x 处切线的斜率. 即k =000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆典型例题例1 如图,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图象.根据图象,请描述、比较曲线()h t 在012,,t t t 附近的变化情况.小结：例2 如图,它表示人体血管中药物浓度()c f t =(单位:/mg mL )随时间t (单位:min)变化的函数图象.根据图象,估计t =0.2,0.4,0.6,0.8时,血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1)练1. 求双曲线1y x =在点1(,2)2处的切线的斜率,并写出切线方程.练2. 求2y x =在点1x =处的导数.三、总结提升 学习小结函数()y f x =在0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在00(,())P x f x 处切线的斜率. 即k =000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆其切线方程为知识拓展导数的物理意义：如果把函数()y f x =看做是物体的运动方程（也叫做位移公式，自变量x 表示时间），那么导数0()f x '表示运动物体在时刻o x 的速度，，即在o x 的瞬时速度.即000()lim x t yv f x x∆→∆'==∆而运动物体的速度()v t 对时间t 的导数，即0()limt vv t t∆→∆'=∆称为物体运动时的瞬时加速度.学习评价当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 已知曲线22y x =上一点,则点(2,8)A 处的切线斜率为（ ） A. 4 B. 16 C. 8 D. 22. 曲线221y x =+在点(1,3)P -处的切线方程为（ ） A ．41y x =-- B ．47y x =-- C ．41y x =- D ．47y x =+3. ()f x 在0x x =可导，则000()()lim h f x h f x h→+-（ ）A ．与0x 、h 都有关B ．仅与0x 有关而与h 无关C ．仅与h 有关而与0x 无关D ．与0x 、h 都无关4. 若函数()f x 在0x 处的导数存在，则它所对应的曲线在点00(,())x f x 的切线方程为5. 已知函数()y f x =在0x x =处的导数为11，则000()()limx f x x f x x ∆→-∆-∆=课后作业1. 如图,试描述函数()f x 在x =5,4,2,0,1---附近的变化情况.。

1.1.3导数的几何意义【学习目标】1.了解导函数的概念；2.通过函数图象直观地理解导数的几何意义；3.会求曲线)(x f y =在某点处的切线方程．【新知自学】 知识回顾： 1.若直线l 过点P （x 0，y 0），且直线的斜率为k ，则直线l 的方程为_________________________.2.函数)(x f y =在点0x x =处的导数是：_____________________，记作0|)(/0/x x y x f =或，即=)(0/x f =∆∆→∆xy x 0lim_____________________． 新知梳理： 1.由下图，我们发现，当点n P 趋近于点P 时，割线n PP 趋近于确定的位置，这个确定的位置的直线PT 称为点P 处的 ________ ．注意：曲线的切线与曲线的公共点可能有多个．2.导数的几何意义：函数在)(x f 在0x x =处的导数就是函数图象在点))(,(00x f x 处的切线PT 的斜率k ，即=k ____________________________.3.曲线)(x f y =上在0x x =处的切线方程为_________________________．4.若对于函数)(x f y =定义域内的每一个自变量值x ，都对应一个确定的导数值)(/x f ，则在)(x f 定义域内，)(/x f 构成一个新的函数，这个函数称为函数)(x f y =的___________（简称_________），记作______或____，即______________________. 感悟：（1）设切线的倾斜角为α,那么当Δx →0时,割线PQ 的斜率,称为曲线在点P 处的切线的斜率；（2）导数的定义提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;（3）切线斜率的本质—函数在0x x =处的导数；（4）曲线在某点处的切线与该点的位置有关.对点练习：1.已知函数)(x f y =在点0x 处的导数分别为下列情况：（1）)(/x f ＝０；（2）)(/x f ＝１；（3）)(/x f ＝－１．试求函数图象在对应点处的切线的倾斜角．2.甲、乙二人跑步的路程与时间关系以及百米赛跑路程和时间关系分别如图①②，试问：（1）甲、乙二人哪一个跑得快？（2）甲、乙二人百米赛跑，问快到终点时，谁跑得较快？3.建议后置下列说法正确的是（ ）A.若f ′ (x 0)不存在，则曲线y = f (x )在点(x 0, f (x 0))处就没有切线B.若曲线y = f (x )在点(x 0, f (x 0))处有切线，则f ′ (x 0)必存在C.若f ′ (x 0)不存在，则曲线y = f (x )在点(x 0, f (x 0))处的切线斜率不存在D.若曲线y = f (x )在点(x 0, f (x 0))处的切线斜率不存在，则曲线在该点处就没有切线4.若曲线y = f (x )在点(x 0, f (x 0))处的切线方程是y=-2x-7,则)(0x f '=________________.【合作探究】 典例精析：例1. 求曲线12+=x y 在点)2,1(P 处的切线方程.变式练习：求曲线23x y 在点(1,3)处的切线方程.例2.在曲线y=x2上过哪一点的切线平行于直线y=4x-5？变式练习：已知抛物线y=2x2+1，求其上哪一点处的切线垂直于直线x+8y-3=0？规律总结:一般地，设曲线C 是函数y=f(x)的图象，P(x 0,y 0)是曲线C 上的定点，由导数的几何意义知直线的斜率k==)(0/x f =∆∆→∆x y x 0lim()()xx x f x f x ∆∆+-→∆000lim ，继而由点和斜率可得点斜式方程，化简得切线方程. 【课堂小结】【当堂达标】1.函数)(x f y =在0x x =处的导数)(0/x f 的几何意义是（ ）A.在点0x 处的斜率B.在点))(,(00x f x 处的切线与x 轴所夹的锐角的正切值C.曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处的切线的斜率D.点))(,(00x f x 与点（０，０）连线的斜率2.如果曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处的切线方程为032=-+y x ，那么（ ）A.)(0/x f ＞０B.)(0/x f ＜０C.)(0/x f ＝０D.)(0/x f 不存在3.若函数)(x f y =的图像上点),(00y x P 处的导数)(0/x f ＜０，则说明函数在点P 附近_________________（填单调递增或单调递减）．4.已知函数y=2x 2图象上一点A(2,8)，求点A 处的切线方程.【课时作业】1.在曲线2)(x x f =上的切线倾斜角为4π的切点为（ ） A.（０，０） B.（２，４）C.（161,41）D.（41,21） 2．曲线322+-=x x y 在点)6,1(-A 处的切线方程是_______________．3．如图，函数y=f(x)的图象在点P 处的切线方程是y=-x+8，则f(5)+)5(f ' =_________.应该标出点P 的横坐标54.在抛物线2.x y =上求一点，使过此点的切线：（1）平行于直线154-=x y ；（2）垂直于直线0562=+-y x ．5.已知抛物线y=ax2+bx+c通过点P（1,1）、Q（2，-1），且在点Q处与直线y=x-3相切，求实数a,b,c的值.11。

吉林省长春市实验中学高二数学《导数的几何意义》导学案新人教A版选修2-2【学习目标】1.了解曲线的切线的概念.2.掌握用割线的极限位置上的直线来定义切线的方法.3.并会求一曲线.在具体一点处的切线的斜率与切线方.程【重点难点】重点：理解曲“线在一点处的切线的定义，以及曲线在一点处的切线的斜率的定义光滑曲线的切线斜率是了解导数概念的实际背景.难点：会求一•条具体的曲线在某一点处的切线斜率【自主学习】阅读教材P6-P8例2,并|门|答下面儿个问题：1.如何定义切线。

2.如何表示割线的斜率3.如何表示切线的斜•率阅读教材P8 - P9 IE答下面的问题4.导函数与上一课时中的导数的区别在那里?【合作释疑】探究一：当直线与曲线相切是时候，是否与曲线只有一个交点?探究二：过仙线上一点做曲线的切线能做儿条切线?【巩固训练，整理提高】%1.例题例1.,求曲线y =-在点（上,2）处的切线的斜率，并写出切线的方程。

x 2例2.求过点P（3,5）且与曲线），=X2相切的直线方羯。

例3.已知Illi线y = x2+x-3的某条切线与直线y = 3x + 4平行，求切点坐标与切线方程“%1.练习1 .曲线y = x3-2x2-4x + 2在点（1,-3）处的切线方程是什么.2.设函数f(x) = ax + -'—(a,beZ)f曲线y = f(x)在点(2,/(2).)处的•切线方程为x + b y =3.求⑴的解析式（实验班）3..已知函数广（0的图象如图所不，下列数值的排序正确的是（.A. 0＜r （2）＜r （3）＜f（3）-/（2）B. 0＜r （3）＜A3）-/（2）＜r （.2）C. 0<r (3).<r (2)<f(3)-A2)D. o＜r（3）-/（2）＜r （2）＜r （3）（实验班）4.如图，函数尸广（x）的图象在点夕处的切线方程是y=—x+8,则 A5） + 尸（5）=.（实验班）5.在曲线公尸V上求出满足下列条件的点夕的坐标：过点P与曲线厅相切且与x轴成45°的倾斜角.%1.课堂总结通过本节课的学习，你有一哪些收获?【作业】教材第10页第4题高效能学习的十大学习方法方法一：目标激励法成就天才的必备素质就是远大志向，明确目标，勤奋刻苦，持之以恒，百折不挠。

导数的几何意义［教学目标］1.了解割线的斜率与平均变化率的关系；2.对曲线切线的概念了解；3.通过几何画板认识图像的几何意义，并利用导数的几何意义解题. ［教学重点难点］重点：曲线的切线概念以及切线的斜率难点：导数的儿何意义［教法、学法］小组讨论，自主探究［教具］PPT课件、几何画板［教学过程］教学环节教师活动学生活动设计意图情境导入由上节课我们知道，函数在X二勿处的舒适变化率表示的是该函数y =f(x) 在处的附近变化情况，请问同学们导数广(％)的几何意义是什么呢？下面带着这个问题预习课本并完成导学案的预习先知的填空题学生迅速自主的展开课本预习，并完成导学案的填空题课前知识储备，为学生接下来探究参与做好准备合作探究用几何画板展示：曲线的切线及切线的斜率：在如图中，当*£』(£))(" 123,4)沿着曲线/O)趋近于点P(x0,/(x0))时，割线PP n有什么样的变化趋势？学生通过观察几何画板的动态变化后，进行小组合作讨论，让学生发现规律，得：八心Ax通过学生讨论，明确函数的当Ax趋近趋近于0时割线接近于该点的切线，问题的难度降低，\ -/更能激发学生参与合作的信心. ■/// IRJ题：⑴割线的斜率人与切线PT 的斜率£有什么关系？⑵切线刃的斜率R为多少？学以致用例1：求曲线7=f（^） = x2 + 1在点A2, 1）处的切线方程？1.求函数产3/在（1, 2）处的导数.・我们当一次小老师，同桌之间相互批改教学生上黑板板演，其他在草稿上完成，讲解时，同桌之间相互批改自己当小老师，增加本节课的趣味性，有利于学生的行为和情感都参与进来，在批改过程中又可以巩固知识，认识自己的不足拓展提1.求曲线》=長在这点（2,4）处的切线方程是什么？2.曲线y=F在点P处切线的斜率为三名学生上黑板完成，加强对导数的几何意义的应用，尤其在解切线方程时掌握这里的第二题和第三题完成能够取升-2时，"点坐标为()A. (―1, 1)B. (―1, 1)或(1,1)C. (1, 1)D. (—2,4)3.求反比例函数f(x)=彳在点(2.2)处的切线方程？求解方法得成就感，提神学生的深层次参与的积极性，层次性参与让课堂更加灵活.课堂小结在这节课中你学到了什么内容？1•函数切线的定义，函数导数的几何意义2.求切线方程的步骤：(1)求出函数在点X。