113导数的几何意义-湖北省通山县第一中学高中数学选修2-2导学案（无答案）

1.1.3 导数的几何意义【学习目标】1.认识导函数的观点；2.经过函数图象直观地理解导数的几何意义；3.会求曲线y f (x) 在某点处的切线方程．【新知自学】知识回首：1.若直线 l 过点P（x0，y0），且直线的斜率为k，则直线 l 的方程为_________________________.2. 函数y f ( x) 在点x x0处的导数是：_____________________，记作f / ( x0 )或 y / |x x0，即 f / ( x0 ) lim y_____________________ ．x0 x新知梳理：1.由以下图，我们发现，当点P n趋近于点P时，割线PP n趋近于确立的地点，这个确立的地点的直线 PT 称为点 P 处的________．注意：曲线的切线与曲线的公共点可能有多个．2.导数的几何意义：函数在 f (x) 在 x x0处的导数就是函数图象在点( x0 , f (x0 )) 处的切线 PT 的斜率k，即k____________________________.3.曲线y f (x) 上在 x x0处的切线方程为_________________________ ．4.若关于函数y f ( x)定义域内的每一个自变量值x ，都对应一个确立的导数值 f / ( x) ，则在 f (x) 定义域内，f/( x) 组成一个新的函数，这个函数称为函数y f (x) 的___________（简称_________），记作 ______或 ____，即 ______________________.感悟：（ 1）设切线的倾斜角为,那么当x→ 0 时 ,割线PQ 的斜率,称为曲线在点P 处的切线的斜率；（ 2）导数的定义供给了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;（3）切线斜率的实质—函数在x x0处的导数；（4）曲线在某点处的切线与该点的地点相关.对点练习：1.已知函数y f (x) 在点 x 0处的导数分别为以下状况：（1） f / (x) ＝０；（2） f / ( x) ＝１；（3）f/( x)＝－１．试求函数图象在对应点处的切线的倾斜角．2.甲、乙二人跑步的行程与时间关系以及百米赛跑行程和时间关系分别如图①②，试问：（ 1）甲、乙二人哪一个跑得快？（2）甲、乙二人百米赛跑，问快到终点时，谁跑得较快？3.建议后置以下说法正确的选项是（ A. 若 f ′(x0)不存在，则曲线）y = f (x)在点 (x0 , f(x0)) 处就没有切线B. 若曲线y = f (x)在点 (x0, f (x0))处有切线，则 f ′(x0)必存在C.若 f ′(x0)不存在，则曲线y = f (x)在点 (x0 , f (x0)) 处的切线斜率不存在D. 若曲线 y = f (x)在点 (x0, f (x0))处的切线斜率不存在，则曲线在该点处就没有切线4.若曲线 y = f (x)在点 ( x0, f (x0)) 处的切线方程是y=-2x-7, 则f (x0) =________________.【合作研究】典例精析：例 1. 求曲线y x21在点 P(1,2) 处的切线方程.变式练习：求曲线 y3x 2在点 (1,3) 处的切线方程.例 2.在曲线y=x2上过哪一点的切线平行于直线y=4x-5 ？变式练习：已知抛物线y=2x 2+1，求其上哪一点处的切线垂直于直线x+8y-3=0 ？规律总结 :一般地，设曲线C 是函数 y=f(x) 的图象， P(x0,y0)是曲线 C 上的定点，由导数的几何意义知直线的斜率 k= f/( x0)ylim f x0f xx ，既而由点和斜率可得点斜式方limx 0 x x 0x程，化简得切线方程 .【讲堂小结】【当堂达标】1.函数y f (x) 在 x x0处的导数 f / ( x0 ) 的几何意义是（）A. 在点x0处的斜率B. 在点(x0, f ( x0))处的切线与x 轴所夹的锐角的正切值C.曲线y f (x) 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率D. 点( x0, f ( x0))与点（０，０）连线的斜率2.假如曲线y f (x) 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线方程为x 2 y 3 0 ，那么（）A. f/(x0)＞０B. f/( x0)＜０C. f/(x0)＝０D. f/( x0)不存在3.若函数y f (x)的图像上点P(x0 , y0 )处的导数 f / ( x0 ) ＜０，则说明函数在点P 邻近_________________（填单一递加或单一递减）．4.已知函数y=2x 2图象上一点A(2,8) ，求点 A 处的切线方程 .【课时作业】1.在曲线 f ( x) x 2上的切线倾斜角为的切点为（）4A. （０，０）B. （２，４）C.（1,1） D.（1,1）416242．曲线y x 22x 3 在点 A(1,6) 处的切线方程是_______________．3．如图，函数y=f(x) 的图象在点P 处的切线方程是y=-x+8 ，则 f(5)+ f ( 5)=_________.应当标出点P 的横坐标54.在抛物线.y x 2上求一点，使过此点的切线：（1）平行于直线y 4 x15 ；（2）垂直于直线 2 x 6 y 50 ．5.已知抛物线 y=ax 2+bx+c 经过点 P（1,1）、Q（ 2， -1），且在点 Q 处与直线 y=x-3 相切，务实数 a,b,c 的值 .。

导数的几何意义【教学目标】知识与技能目标：本节的中心任务是研究导数的几何意义及其应用，概念的形成分为三个层次：(1) 通过复习旧知“求导数的两个步骤”以及“平均变化率与割线斜率的关系”，解决了平均变化率的几何意义后，明确探究导数的几何意义可以依据导数概念的形成寻求解决问题的途径。

(2) 借助两个类比的动画，从圆中割线和切线的变化联系，推广到一般曲线中用割线逼近的方法直观定义切线。

(3) 依据割线与切线的变化联系，数形结合探究函数)(x f 在0x x =处的导数0()f x '的几何意义，使学生认识到导数0()f x '就是函数)(x f 的图象在0x x =处的切线的斜率。

即：()()xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)(lim 0000/＝曲线在0x x =处切线的斜率 在此基础上，通过例题和练习使学生学会利用导数的几何意义解释实际生活问题，加深对导数内涵的理解。

在学习过程中感受逼近的思想方法，了解“以直代曲”的数学思想方法。

过程与方法目标：(1) 学生通过观察感知、动手探究，培养学生的动手和感知发现的能力。

(2) 学生通过对圆的切线和割线联系的认识，再类比探索一般曲线的情况，完善对切线的认知，感受逼近的思想，体会相切是种局部性质的本质，有助于数学思维能力的提高。

(3) 结合分层的探究问题和分层练习，期望各种层次的学生都可以凭借自己的能力尽力走在教师的前面，独立解决问题和发现新知、应用新知。

情感、态度、价值观：(1) 通过在探究过程中渗透逼近和以直代曲思想，使学生了解近似与精确间的辨证关系；通过有限来认识无限，体验数学中转化思想的意义和价值；(2) 在教学中向他们提供充分的从事数学活动的机会，如：探究活动，让学生自主探究新知，例题则采用练在讲之前，讲在关键处。

在活动中激发学生的学习潜能，促进他们真正理解和掌握基本的数学知识技能、数学思想方法，获得广泛的数学活动经验，提高综合能力，学会学习，进一步在意志力、自信心、理性精神等情感与态度方面得到良好的发展。

1、1、3导数的几何意义教学建议1、教材分析教材从割线入手,观察割线的变化趋势,揭示了平均变化率与割线斜率之间的关系,通过逼近方法,将割线趋于的确定位置的直线定义为切线,从而将切线斜率与导数相联系,发现了导数的几何意义、本节的重点就是理解导数的几何意义,难点就是过曲线上某一点的切线斜率的求解方法、2、主要问题及教学建议(1)切线的定义、建议教师运用信息技术演示割线的动态变化趋势,让学生观察、思考,并引导学生共同分析,直观获得切线的定义、(2)导数的几何意义、建议教师通过数形结合,将切线斜率与导数相联系,发现导数的几何意义,引导学生体会用数形结合的方法解决问题的优势、备选习题1、若函数y=ax2+1的图象与直线y=x相切,则a=()A、B、C、D、1解析:根据题意y'===(2ax+a·Δx)=2ax,设切点为(x0,y0),则2ax0=1,且y0=a+1,y0=x0,解得a=、答案:B2、已知函数y=f(x)=-1(a>0)的图象在x=1处的切线为l,求l与两坐标轴围成的三角形面积的最小值、解:∵Δy=-1-+1=,∴、当Δx无限趋近于0时,趋近于,即f'(x)=、∴f'(1) =、又f(1)=-1,∴f(x)在x=1处的切线l的方程就是y-+1=(x-1)、∴l与两坐标轴围成的三角形的面积S==×(2+2)=1、当且仅当a=,即a=1时,直线l与两坐标轴围成的三角形的面积最小,最小值为1、3、过点P(-1,0)作抛物线f(x)=x2+x+1的切线,求切线方程、解:f(x)=x2+x+1,设抛物线上一点M(x1,y1),则该点处的切线斜率k=f'(x1)==2x1+1,于就是过点(x1,y1)的切线方程就是y-y1=(2x1+1)(x-x1)、又∵y1=f(x1)=+x1+1,①且点(-1,0)在切线上,∴-y1=(-1-x1)(2x1+1)、②由①②联立方程组,可解得x1=0或x1=-2,于就是y1=1或y1=3,即切点为(0,1)或(-2,3)、过(0,1)的切线方程为y-1=x,即x-y+1=0;过点(-2,3)的切线方程为y-3=-3(x+2),即3x+y+3=0、。

高中数学 1.1.3 导数的几何意义导学案 新人教A 版选修22 学习目标：1、了解导数的概念；理解导数的几何意义；2、会求导函数；3、根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程。

一、主要知识：1、导数的几何意义：（1）导数()0f x '表示了函数()f x 在0x x =处的 ，反映了函数()f x 在0x x =附近的变化情况。

（2）函数()y f x =在0x x =处导数()0f x '的几何意义是曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处的 ，相应地，曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处的切线方程是 。

2、导函数从求()f x 在0x x =处的导数的过程中可看到，当0x x =时，()0f x '是一个 。

当x 变化时，()f x '便是x 的一个 ，称它为()f x 的导函数（简称导数），()y f x =的导函数有时也记作 ，即()f x y ''== 。

二、典例分析：〖例1〗：求曲线21y x =+在点()1,2P 处的切线的斜率k 。

〖变式训练1〗：曲线3123y x =-在点71,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭处的的切线的倾斜角为 。

〖例2〗：在曲线2y x =上求点P ，使过点P 的切线：（1）垂直于直线2650x y -+=；（2）倾斜角为135。

〖变式训练2〗：若曲线21y x =-的一条切线平行于直线43y x =-，求这条切线的方程。

〖例3〗：若抛物线24y x =上的点P 到直线45y x =-的距离最短，求点P 的坐标。

〖变式训练3〗：设函数()()32910f x x ax x a =+--<，若曲线()y f x =的斜率最小的切线与直线1260x y +-=平行，求a 的值。

三、课后作业：1、已知曲线22y x =上一点()1,2A ，则点A 处的切线的斜率等于（ ）A 、2B 、4C 、()2662x x +∆+∆D 、6 2、曲线2122y x =-在点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线的倾斜角为（ ） A 、6π B 、4π C 、54π D 、4π- 3、设曲线22y x x =+-在点M 处的切线斜率为3，则点M 的坐标为（ ）A 、()0,2-B 、()1,0C 、()0,0D 、()1,14、设()f x 为可导函数且满足()()0112lim1x f f x x →-+=，则过曲线()y f x =上点()()1,1f 处的切线斜率为（ ） A 、1B 、1-C 、12D 、12-5、已知直线1y kx =+与曲线32y x x =+-相切于点()1,3，则b 的值为（ ）A 、3B 、3-C 、5D 、5-6、曲线1y x=在点()1,1P 处的切线方程是 。

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导数的几何意义【教学目标】1．了解导函数的概念；了解导数与割线斜率之间的关系．2．理解曲线的切线的概念；理解导数的几何意义．3．会求曲线上某点处的切线方程，初步体会以直代曲的意义．【教法指导】本节学习重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义．本节学习难点：导数的几何意义．【教学过程】☆复习引入☆如果一个函数是路程关于时间的函数，那么函数在某点处的导数就是瞬时速度，这是函数的实际意义，那么从函数的图象上来考察函数在某点处的导数,它具有怎样的几何意义呢？这就是本节我们要研究的主要内容．☆探索新知☆思考1:如图，当点P n（x n，f(x n））（n＝1,2,3，4)沿着曲线f（x)趋近于点P（x0,f（x0))时,割线PP n的变化趋势是什么?思考2：曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点？答：不一定．曲线的切线和曲线不一定只有一个交点,和曲线只有一个交点的直线和曲线也不一定相切．如图,曲线的切线是通过逼近将割线趋于确定位置的直线．其图象特征是：切点附近的曲线均在切线的同侧，如l 2.思考3：曲线f （x ）在点(x 0，f （x 0））处的切线与曲线过某点（x 0，y 0)的切线有何不同？ 答:曲线f （x ）在点（x 0,f (x 0)）处的切线，点（x 0，f (x 0）)一定是切点，只要求出k ＝f ′（x 0），利用点斜式写出切线即可;而曲线f （x ）过某点(x 0,y 0)的切线，给出的点（x 0，y 0）不一定在曲线上，既使在曲线上也不一定是切点．【小结】曲线y ＝f （x ）在点P （x 0,f (x 0））处的切线的斜率k ＝f ′（x 0），欲求斜率,先找切点P (x 0,f (x 0)）．思考4：如何求曲线f (x ）在点（x 0,f （x 0）)处的切线方程？答：先确定切点P （x 0，f (x 0)） ，再求出切线的斜率k ＝f ′(x 0）,最后由点斜式可写出切线方程．2、例题剖析例1:（1)求曲线y =f (x ）=x 2+1在点P （1,2）处的切线方程.(2）求函数y =3x 2在点(1,3)处的切线方程。

1.1.3 《导数的几何意义》教案教学目的：理解函数的导数的几何意义，会求已知切点的切线方程. 重点难点：已知函数图象上某点的坐标，求切线方程.学科素养：用所学探索未知，通过数学定义的教学，体会数学研究的手段方法. 一、引入与新课： 【提出问题】已知函数f (x )=x 2,求x =2时的导数。

解：因为22(2)(2)(2)2(4)y y x y x x x ∆=+∆-=+∆-=+∆∆所以4yx x∆=+∆∆ 因为00limlim(4)4x x yx x ∆→∆→∆=+∆=∆所以x =2时的导数为4。

我们知道，从数量上，函数在一点x 0的导数是函数在x 0处函数的瞬时变化率。

那么，从图形上看，一般函数()f x 在点x 0的导数有怎样的几何意义呢？ 【抽象概括】设函数y =f (x )的图像如下图：AB 是过点A （x 0 ，f (x 0)），B （x 0+⊿x ，f (x 0+⊿x )）的割线， AB 的斜率是：00()()y f x x f x x x∆+∆-=∆∆ 就是函数y =f (x )的平均变化率。

【获得新知】当点B 沿着曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的最终位置是直线AD ，这条直线AD 叫做此曲线在点A 的切线。

由此可见，当⊿x 趋近于0时，割线AB 的斜率趋近于在点A 的切线AD 的斜率。

即切线AD 的斜率=000()()lim x f x x f x x∆→+∆-∆【解决问题】由导数意义可知，曲线y =f (x )在点（x 0 ，f (x 0)）的切线的斜率等于f ′(x 0)即k ＝f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. 【概念领悟】1．函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝f ′(x 0)，相应的切线方程为：y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，2．如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线垂直于x 轴，这时切线的斜率不存在，即f (x )在这点的导数也不存在。

1．1.3 导数的几何意义教学目标 1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义.2.会求简单函数的导函数.3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．教学知识梳理知识点一导数的几何意义如图，P n的坐标为(x n，f(x n))(n＝1,2,3,4)，P的坐标为(x0，y0)，直线PT为在点P处的切线．思考1割线PP n的斜率k n是多少？[答案]割线PP n的斜率k n＝f(x n)－f(x0) x n－x0.思考2当点P n无限趋近于点P时，割线PP n的斜率k n与切线PT的斜率k有什么关系？[答案]k n无限趋近于切线PT的斜率k.梳理(1)切线的定义：设PP n是曲线y＝f(x)的割线，当点P n趋近于点P时，割线PP n趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为曲线y ＝f (x )在点P 处的切线．(2)导数f ′(x 0)的几何意义：导数f ′(x 0)表示曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率k ，即k ＝f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.(3)切线方程：曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 知识点二 导函数思考 已知函数f (x )＝x 2，分别计算f ′(1)与f ′(x )，它们有什么不同． [答案] f ′(1)＝lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx＝2.f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝2x ，f ′(1)是一个值，而f ′(x )是一个函数．梳理 对于函数y ＝f (x )，当x ＝x 0时，f ′(x 0)是一个确定的数，则当x 变化时，f ′(x )便是一个关于x 的函数，我们称它为函数y ＝f (x )的导函数(简称导数), 即f ′(x )＝y ′＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx.特别提醒：区别联系f ′(x 0)f ′(x 0)是具体的值，是数值 在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这一点的函数值f ′(x )f ′(x )是函数f (x )在某区间I 上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数题型探究类型一 求切线方程命题角度1 曲线在某点处的切线方程例1 已知曲线C ：y ＝13x 3＋43.求曲线C 在横坐标为2的点处的切线方程．解 将x ＝2代入曲线C 的方程得y ＝4， ∴切点P (2,4)．=2|x y'＝lim Δx →0 ΔyΔx＝lim Δx →0 13(2＋Δx )3＋43－13×23－43Δx ＝lim Δx →0[4＋2Δx ＋13(Δx )2]＝4， ∴k ＝=2|x y'＝4.∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0. 反思与感悟 求曲线在某点处的切线方程的步骤跟踪训练1 曲线y ＝x 2＋1在点P (2,5)处的切线与y 轴交点的纵坐标是________． [答案]－3[解析]∵=2|x y'＝lim Δx →0ΔyΔx＝lim Δx →0 (2＋Δx )2＋1－22－1Δx ＝lim Δx →0 (4＋Δx )＝4， ∴k ＝=2|x y'＝4.∴曲线y ＝x 2＋1在点(2,5)处的切线方程为 y －5＝4(x －2)，即y ＝4x －3. ∴切线与y 轴交点的纵坐标是－3. 命题角度2 曲线过某点的切线方程例2 求过点(－1,0)与曲线y ＝x 2＋x ＋1相切的直线方程．解 设切点为(x 0，x 20＋x 0＋1)， 则切线的斜率为k ＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )2＋(x 0＋Δx )＋1－(x 20＋x 0＋1)Δx ＝2x 0＋1.又k ＝(x 20＋x 0＋1)－0x 0－(－1)＝x 20＋x 0＋1x 0＋1，∴2x 0＋1＝x 20＋x 0＋1x 0＋1.解得x 0＝0或x 0＝－2.当x 0＝0时，切线斜率k ＝1，过(－1,0)的切线方程为 y －0＝x ＋1，即x －y ＋1＝0.当x 0＝－2时，切线斜率k ＝－3，过(－1,0)的切线方程为y －0＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋3＝0.故所求切线方程为x －y ＋1＝0或3x ＋y ＋3＝0.反思与感悟 过点(x 1，y 1)的曲线y ＝f (x )的切线方程的求法步骤 (1)设切点(x 0，f (x 0))． (2)建立方程f ′(x 0)＝y 1－f (x 0)x 1－x 0.(3)解方程得k ＝f ′(x 0)，x 0，y 0，从而写出切线方程．跟踪训练2 求函数y ＝f (x )＝x 3－3x 2＋x 的图象上过原点的切线方程．解 设切点坐标为(x 0，y 0)，则y 0＝x 30－3x 20＋x 0，∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝(x 0＋Δx )3－3(x 0＋Δx )2＋(x 0＋Δx )－(x 30－3x 20＋x 0) ＝3x 20Δx ＋3x 0(Δx )2－6x 0Δx ＋(Δx )3－3(Δx )2＋Δx ，∴Δy Δx＝3x 20＋3x 0Δx －6x 0＋1＋(Δx )2－3Δx ， ∴f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx＝3x 20－6x 0＋1. ∴切线方程为y －(x 30－3x 20＋x 0)＝(3x 20－6x 0＋1)·(x －x 0)． ∵切线过原点，∴x 30－3x 20＋x 0＝3x 30－6x 20＋x 0，即2x 30－3x 20＝0，∴x 0＝0或x 0＝32， 故所求切线方程为x －y ＝0或5x ＋4y ＝0. 类型二 利用图象理解导数的几何意义例3 已知函数f (x )的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是( )A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2)B ．0<f ′(2)<f (3)－f (2)<f ′(3)C ．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)D ．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3) [答案]C[解析]k AB ＝f (3)－f (2)3－2＝f (3)－f (2)，f ′(2)为函数f (x )的图象在点B (2，f (2))处的切线的斜率， f ′(3)为函数f (x )的图象在点A (3，f (3))处的切线的斜率， 根据图象可知0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)．反思与感悟 导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导数大小的问题可以用数形结合思想来解决．跟踪训练3 若函数y ＝f (x )的导函数在区间[a ，b ]上是增函数，则函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象可能是( )[答案]A[解析]依题意，y＝f′(x)在[a，b]上是增函数，则在函数f(x)的图象上，各点的切线的斜率随着x的增大而增大，观察四个选项的图象，只有A满足．类型三求切点坐标例4已知曲线f(x)＝x2－1在x＝x0处的切线与曲线g(x)＝1－x3在x＝x0处的切线互相平行，求x0的值．解对于曲线f(x)＝x2－1，k1＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝2x0.对于曲线g(x)＝1－x3，k 2＝lim Δx →0 g (x 0＋Δx )－g (x 0)Δx＝lim Δx →0 1－(x 0＋Δx )3－(1－x 30)Δx ＝－3x 20. 由题意得2x 0＝－3x 20， 解得x 0＝0或－23.反思与感悟 求切点坐标的一般步骤 (1)设出切点坐标．(2)利用导数或斜率公式求出斜率．(3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标． (4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标．跟踪训练4 直线l ：y ＝x ＋a (a ≠0)和曲线C ：f (x )＝x 3－x 2＋1相切，则a 的值为________，切点坐标为________． [答案]3227 ⎝⎛⎭⎫－13，2327 [解析]设直线l 与曲线C 的切点为(x 0，y 0)，因为f ′(x )＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3－(x ＋Δx )2＋1－(x 3－x 2＋1)Δx ＝3x 2－2x ，则f ′(x 0)＝3x 20－2x 0＝1解得x 0＝1或x 0＝－13， 当x 0＝1时，f (x 0)＝x 30－x 20＋1＝1， 又点(x 0，f (x 0))在直线y ＝x ＋a 上，将x 0＝1，y 0＝1. 代入得a ＝0，与已知条件矛盾，舍去． 当x 0＝－13时，f (x 0)＝⎝⎛⎭⎫－133－⎝⎛⎭⎫－132＋1＝2327. 将⎝⎛⎭⎫－13，2327代入直线y ＝x ＋a 中，得a ＝3227.当堂检测1．如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( ) A ．f ′(x 0)>0 B ．f ′(x 0)<0 C ．f ′(x 0)＝0 D ．f ′(x 0)不存在[答案]B[解析]∵切线x ＋2y －3＝0的斜率为－12，∴f ′(x 0)＝－12<0.2．设曲线f (x )＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( ) A ．1 B.12 C ．－12D ．－1 [答案]A[解析]因为f ′(1)＝lim Δx →0 a (1＋Δx )2－a ×12Δx ＝lim Δx →0 2a Δx ＋a (Δx )2Δx ＝lim Δx →0 (2a ＋a Δx )＝2a ， 所以2a ＝2，所以a ＝1.3.已知函数y ＝f (x )的图象如图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )>f ′(xB ) B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定 [答案]B[解析]由导数的几何意义，知f ′(x A )，f ′(x B )分别是切线在点A ，B 处切线的斜率，由图象可知f ′(x A )<f ′(x B )．4．已知曲线y ＝f (x )＝2x 2＋a 在点P 处的切线方程为8x －y －15＝0，则实数a 的值为________． [答案]－7[解析]设点P (x 0,2x 20＋a )． 由导数的几何意义可得， f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx＝lim Δx →0 2(x 0＋Δx )2＋a －(2x 20＋a )Δx ＝4x 0＝8.∴x 0＝2，∴P (2,8＋a )．将x ＝2，y ＝8＋a ，代入8x －y －15＝0， 得a ＝－7.5．已知曲线f (x )＝x 3在点(a ，a 3)(a ≠0)处的切线与x 轴，直线x ＝a 围成的三角形的面积为16，则a ＝________. [答案]±1[解析]∵f ′(x )＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3－x 3Δx＝3x 2， ∴曲线f (x )＝x 3在点(a ，a 3)处的切线斜率为f ′(a )＝3a 2， ∴切线方程为y －a 3＝3a 2(x －a )， 即y ＝3a 2x －2a 3.令y ＝0得切线与x 轴的交点为⎝⎛⎭⎫23a ，0， 由题设知三角形面积为12⎪⎪⎪⎪a －23a |a 3|＝16， 得a ＝±1.。

1.1.3 导数的几何意义一、学习目标1.了解导函数的概念；了解导数与割线斜率之间的关系.2.理解曲线的切线的概念；理解导数的几何意义.3.会求曲线上某点处的切线方程，初步体会以直代曲的意义.二、知识点梳理1、导数的几何意义：函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的 .也就是说，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率是 .相应地，切线方程为 .2、函数的导函数：当x ＝x 0时，f ′(x 0)是一个确定的数，则当x 变化时，f ′(x )是x 的一个函数，称f ′(x )是f (x )的导函数(简称导数).f ′(x )也记作y ′，即f ′(x )＝y ′＝lim Δx →0 Δx f(x ＋Δx －f(x .三、例题与变式例1、若曲线y ＝x 3＋3ax 在某点处的切线方程为y ＝3x ＋1，求a 的值.变式1、求过曲线y ＝x 1在点21处的切线方程.例2、已知曲线y ＝2x 2－7，求曲线过点P (3,9)的切线方程.变式2、求过点A (2,0)且与曲线y ＝x 1相切的直线方程.例3、在曲线y ＝x 2上过哪一点的切线，(1)平行于直线y ＝4x －5；(2)垂直于直线2x －6y ＋5＝0；(3)与x 轴成135°的倾斜角.变式3、已知抛物线y ＝2x 2＋1，求(1)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x －y －2＝0?(2)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x ＋8y －3＝0?四、目标检测1、已知曲线y ＝f (x )＝2x 2上一点A (2,8)，则点A 处的切线斜率为( )A.4B.16C.8D.22、若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( )A.a ＝1，b ＝1B.a ＝－1，b ＝1C.a ＝1，b ＝－1D.a ＝－1，b ＝－13、已知曲线y ＝21x 2－2上一点P 23，则过点P 的切线的倾斜角为( )A.30°B.45°C.135°D.165°4、已知曲线y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在点P 处的切线斜率为16，则P 点坐标为________.5、曲线y ＝2x 2＋1在点P (－1,3)处的切线方程为________________.五、课堂小结六、课外作业（见步步高）。

1．2.3复合函数的导数【学习目标】明确复合函数的定义及构成，掌握复合函数的求导法则 【重点难点】复合函数求导法则的运用（多层复合，求导彻底） 一、自主学习要点1 对于函数y ＝f [φ(x )]，令u ＝φ(x )，若y ＝f (u )是中间变量u 的函数，u ＝φ(x )是自变量x 的函数，则函数y ＝f [φ(x )]是自变量x 的要点2 复合函数y ＝f (g (x ))是y ＝f (u )，u ＝g (x )的复合，那么y ′x ＝ 二、合作，探究，展示，点评 题型一 明确复合关系例1 指出下列函数的复合关系：(1)y ＝(2－x 2)3； (2)y ＝sin x 2； (3)y ＝cos(π4－x ); (4)y ＝ln sin(3x －1)．思考题1 (1)指出下列函数的复合关系．①y ＝(sin x )2； ②y ＝sin 3(1－1x)；(2)若f (x )＝x ，φ(x )＝1＋sin2x ，则f [φ(x )]＝________，φ[f (x )]＝________.题型二 求复合函数的导数 例2 求下列函数的导数：(1)y ＝11－2x2； (2)y ＝sin x 2；(3)y ＝a cos x (a >0，a ≠1)； (4)y ＝5log 2(2x ＋1)．(1)y ＝cos(3x 2－π6)；(2)y ＝ln(ln x )；(3)y ＝1(1＋5x )3.题型三 切线问题例3 求曲线y ＝1x 2－3x在点(4，12)处的切线方程．思考题3 (1)曲线y ＝3x 2＋1在点(1,2)处的切线方程为__________________．(2)y ＝11－x 2的水平切线方程是________．三、知识小结复合函数的求导过程就是对复合函数由外层向里求导，每次求导都是针对着最外层的相应变量进行的，直至求到最里层为止，所谓最里层是指可以直接引用基本公式表进行求导．1．函数y ＝2sin x cos x 的导数为 ( )A ．y ′＝cos xB ．y ′＝2cos2xC ．y ′＝2(sin 2x －cos 2x )D ．y ′＝－sin2x2．函数f (x )＝1x 3＋2x ＋1的导数是 ( )A.1(x 3＋2x ＋1)2 B.3x 2＋2(x 3＋2x ＋1)2 C.－3x 2－2(x 3＋2x ＋1)2 D.－3x 2(x 3＋2x ＋1)23．函数y ＝(x －a )(x －b )在x ＝a 处的导数为 ( )A ．abB ．－a (a －b )C ．0D ．a －b 4．函数y ＝x ·ln x 的导数是 ( )A ．x B.1xC ．ln x ＋1D ．ln x ＋x5．函数y ＝cos xx的导数是 ( )A ．－sin xx 2 B ．－sin x C ．－x sin x ＋cos x x 2D ．－x cos x ＋cos x x 2 6．曲线y ＝xx －2在点(1，－1)处的切线方程为 ( )A ．y ＝x －2B ．y ＝－3x ＋2C ．y ＝2x －3D ．y ＝－2x ＋1 7．已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是 ( )A.193B.163C.133D.1038．设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，点P 处切线倾斜角为α，则角α的取值范围是 ( )A.⎣⎡⎭⎫23π，πB.⎝⎛⎦⎤π2，56πC.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎭⎫56π，πD.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫23π，π 9．函数y ＝xcos x 的导数是 ( )A.1＋x cos xB.cos x －x sin x cos 2xC.cos x ＋x cos 2xD.cos x ＋x sin x cos 2x10．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)等于 ( )A ．0B ．－4C ．－2D ．211．已知f (1x )＝x1＋x ，则f ′(x )＝ ( )A.11＋x B ．－11＋x C.1(1＋x )2 D ．－1(1＋x )212．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为 ( )A ．4B ．－14C ．2D ．－1213．曲线y ＝x 3＋3x 2＋6x －10的切线中，斜率最小的切线方程为______________．14．设f (x )＝ax 2－b sin x ，且f ′(0)＝1，f ′(π3)＝12，则a ＝________，b ＝________.(1)f (x )＝(x 3＋1)(2x 2＋8x －5)； (2)f (x )＝1＋x 1－x ＋1－x1＋x；(3)f (x )＝ln x ＋2xx 2.16．已知函数f (x )＝2x 3＋ax 与g (x )＝bx 2＋c 的图像都过点P (2,0)，且在点P 处有公共切线，求f (x )、g (x )的表达式．17．若直线y ＝kx 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 相切，求k 的值．18．已知曲线S ：y ＝3x －x 3及点P (2,2)，则过点P 可向S 引切线，其切线条数为( )A ．0B ．1C ．2D ．319．曲线y ＝x (x ＋1)(2－x )有两条平行于y ＝x 的切线，则两切线之间的距离为________．。

课题： 1.1.3导数的几何意义 课时：第1课时【学习目标】(1)了解导数的几何意义．(2)会利用导数的几何意义解决有关问题。

第一环节：导入学习知识点1 导数的几何意义设函数y ＝f (x )的图象如图1所示．AB 是过点A (x 0，f (x 0))与点B (x 0＋Δx ，f (x 0＋Δx ))的一条割线，此割线的斜率是Δy Δx＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx .可见曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的极限位置为直线AD ，这条直线AD 叫做此曲线在点A 处的切线．于是，当Δx →0时，割线AB 的斜率趋向于过点A 的切线AD 的斜率，即错误!未指定书签。

f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx＝切线AD 的斜率．由导数意义可知，曲线y ＝f (x )过点(x 0，f (x 0))的切线的斜率等于f ′(x 0)．函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率是f ′(x 0)．相应地切线方程为：y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．注意：∵函数在某点处的导数值就是曲线在该点处切线的斜率，∴当导数大于零时，则说明在该点处的切线斜率大于0，在该点附近，曲线是上升的；当导数等于0时，则说明在该点处的切线斜率等于0，在该点附近曲线比较平滑，几乎没有升降；当导数小于零时，则说明在该点处的切线斜率小于0，在该点附近曲线是下降的．知识点2 利用导数求曲线的切线方程利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤： (1)求出函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)；(2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)． 知识点3 导函数如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的每点处都有导数，此时，对于每一个x ∈(a ，b )，都对应着一个确定的导数f ′(x )，从而构成一个新的函数f ′(x )，我们称它为f (x )的导函数(简称导数)．y ＝f (x )的导函数有时也记作y ′，即f ′(x )＝y ′＝错误!未指定书签。

1.1.3 导数的几何意义教学目标1.了解导函数的概念以及导数与割线斜率之间的关系.2.理解曲线的切线的概念以及导数的几何意义.3.会求曲线上某点处的切线方程，初步体会以直代曲的思想方法.知识链接如果一个函数是路程关于时间的函数，那么函数在某点处的导数就是瞬时速度，这是函数的实际意义，那么从函数的图象上来考查函数在某点处的导数，它具有怎样的几何意义呢？ 答 设函数y ＝f (x )的图象如图所示，AB 是过点A (x 0，f (x 0))与点B (x 0＋Δx ，f (x 0＋Δx ))的一条割线，此割线的斜率是Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的极限位置为直线AD ，这条直线AD 叫做此曲线在点A 处的切线.于是，当Δx →0时，割线AB 的斜率无限趋近于过点A 的切线AD 的斜率k ，即k ＝f ′(x 0)＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. 教学导引1.导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率.也就是说，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率是f ′(x 0).相应地，切线方程为y －f (x 0) ＝f ′(x 0)(x －x 0).2.函数的导函数当x ＝x 0时，f ′(x 0)是一个确定的数，则当x 变化时，f ′(x )是x 的一个函数，称f ′(x )是f (x )的导函数(简称导数).f ′(x )也记作y ′，即f ′(x )＝y ′＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx. 课堂讲解要点一 过曲线上一点的切线方程例1 若曲线y ＝x 3＋3ax 在某点处的切线方程为y ＝3x ＋1，求a 的值.解 ∵y ＝x 3＋3ax .∴y ′＝lim Δx →0(x ＋Δx )3＋3a (x ＋Δx )－x 3－3ax Δx ＝lim Δx →03x 2Δx ＋3x (Δx )2＋(Δx )3＋3a Δx Δx ＝lim Δx →0[3x 2＋3x Δx ＋(Δx )2＋3a ]＝3x 2＋3a . 设曲线与直线相切的切点为P (x 0，y 0)，结合已知条件，得⎩⎪⎨⎪⎧ 3x 20＋3a ＝3，x 30＋3ax 0＝y 0＝3x 0＋1，解得⎩⎨⎧ a ＝1－322，x 0＝－342.∴a ＝1－322. 规律方法 一般地，设曲线C 是函数y ＝f (x )的图象，P (x 0，y 0)是曲线C 上的定点，由导数的几何意义知k ＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx，继而由点与斜率可得点斜式方程，化简得切线方程.跟踪演练1 求曲线y ＝1x在点⎝⎛⎭⎫2，12处的切线方程. 解 因为lim Δx →0 f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝lim Δx →012＋Δx －12Δx ＝lim Δx →0 －12(2＋Δx )＝－14. 所以这条曲线在点⎝⎛⎭⎫2，12处的切线斜率为－14，由直线的点斜式方程可得切线方程为y －12＝－14(x －2)，即x ＋4y －4＝0. 要点二 求过曲线外一点的切线方程例2 已知曲线y ＝2x 2－7，求：(1)曲线上哪一点的切线平行于直线4x －y －2＝0?(2)曲线过点P (3,9)的切线方程.解 y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0[2(x ＋Δx )2－7]－(2x 2－7)Δx ＝lim Δx →0(4x ＋2Δx )＝4x . (1)设切点为(x 0，y 0)，则4x 0＝4，x 0＝1，y 0＝－5，∴切点坐标为(1，－5).(2)由于点P (3,9)不在曲线上.设所求切线的切点为A (x 0，y 0)，则切线的斜率k ＝4x 0，故所求的切线方程为y －y 0＝4x 0(x －x 0).将P (3,9)及y 0＝2x 20－7代入上式，得9－(2x 20－7)＝4x 0(3－x 0).解得x 0＝2或x 0＝4，所以切点为(2,1)或(4,25).从而所求切线方程为8x －y －15＝0或16x －y －39＝0.规律方法 若题中所给点(x 0，y 0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程.跟踪演练2 已知曲线y ＝13x 3＋43，求曲线过点P (2,4)的切线方程. 解 设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A (x 0，13x 30＋43)，则切线的斜率k ＝y ′|0x=x ＝x 20，∴切线方程为y －(13x 30＋43)＝x 20(x －x 0)， 即y ＝x 20·x －23x 30＋43. ∵点P (2,4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43， 即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0， 即x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为x －y ＋2＝0或4x －y －4＝0.要点三 求切点坐标例3 在曲线y ＝x 2上过哪一点的切线，(1)平行于直线y ＝4x －5；(2)垂直于直线2x －6y ＋5＝0；(3)与x 轴成135°的倾斜角.解 f ′(x )＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝lim Δx →0(x ＋Δx )2－x 2Δx ＝2x ，设P (x 0，y 0)是满足条件的点. (1)因为切线与直线y ＝4x －5平行，所以2x 0＝4，x 0＝2，y 0＝4，即P (2,4)是满足条件的点.(2)因为切线与直线2x －6y ＋5＝0垂直，所以2x 0·13＝－1，得x 0＝－32，y 0＝94，即P ⎝⎛⎭⎫－32，94是满足条件的点. (3)因为切线与x 轴成135°的倾斜角，所以其斜率为－1.即2x 0＝－1，得x 0＝－12，y 0＝14， 即P ⎝⎛⎭⎫－12，14是满足条件的点. 规律方法 解答此类题目时，所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标.解题时要注意[解析]几何知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，例如平行，垂直等.跟踪演练3 已知直线l ：y ＝4x ＋a 和曲线C ：y ＝f (x )＝x 3－2x 2＋3相切，求a 的值及切点坐标.解 设直线l 与曲线C 相切于点P (x 0，y 0)，∵f ′(x )＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝lim Δx →0(x ＋Δx )3－2(x ＋Δx )2＋3－(x 3－2x 2＋3)Δx ＝3x 2－4x ，∴k ＝f ′(x 0)＝3x 20－4x 0.由题意可知k ＝4，即3x 20－4x 0＝4，解得x 0＝－23或x 0＝2， ∴切点的坐标为(－23，4927)或(2,3). 当切点为(－23，4927)时，有4927＝4×(－23)＋a ， 解得a ＝12127. 当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a ，解得a ＝－5.∴当a ＝12127时，切点坐标为(－23，4927)； 当a ＝－5时，切点坐标为(2,3).当堂检测1.已知曲线y ＝f (x )＝2x 2上一点A (2,8)，则点A 处的切线斜率为( )A.4B.16C.8D.2[答案]C[解析]f ′(2)＝lim Δx →0f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝lim Δx →0 2(2＋Δx )2－8Δx ＝lim Δx →0(8＋2Δx )＝8，即k ＝8. 2.若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( )A.a ＝1，b ＝1B.a ＝－1，b ＝1C.a ＝1，b ＝－1D.a ＝－1，b ＝－1 [答案]A[解析]由题意，知k ＝y ′|x ＝0＝lim Δx →0(0＋Δx )2＋a (0＋Δx )＋b －b Δx ＝1，∴a ＝1. 又(0，b )在切线上，∴b ＝1，故选A.3.已知曲线y ＝12x 2－2上一点P ⎝⎛⎭⎫1，－32，则过点P 的切线的倾斜角为( ) A.30°B.45°C.135°D.165°[答案]B[解析]∵y ＝12x 2－2， ∴y ′＝lim Δx →012(x ＋Δx )2－2－⎝⎛⎭⎫12x 2－2Δx ＝lim Δx →012(Δx )2＋x ·Δx Δx ＝lim Δx →0 ⎝⎛⎭⎫x ＋12Δx ＝x . ∴y ′|x ＝1＝1.∴点P ⎝⎛⎭⎫1，－32处切线的斜率为1，则切线的倾斜角为45°. 4.已知曲线y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在点P 处的切线斜率为16.则P 点坐标为________.[答案](3,30)[解析]设点P (x 0,2x 20＋4x 0)，则f ′(x 0)＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →02(Δx )2＋4x 0·Δx ＋4Δx Δx ＝4x 0＋4，令4x0＋4＝16得x0＝3，∴P(3,30).。

1.1.3 导数的几何意义 学案编号：GEXX1-1T3-1-3【学习要求】1.了解导函数的概念；理解导数的几何意义.2.会求导函数.3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程.【学法指导】前面通过导数的定义已体会到其中蕴涵的逼近思想，本节再利用数形结合思想进一步直观感受这种思想，并进一步体会另一种重要思想——以直代曲. 1. 导数的几何意义(1)割线斜率与切线斜率设函数y ＝f (x )的图象如图所示，AB 是过点A (x 0，f (x 0))与点B (x 0＋Δx ，f (x 0＋Δx ))的一条割线，此割线的斜率是Δy Δx ＝f x 0＋Δx －f x 0Δx.当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的极限位置为直线AD ，这条直线AD 叫做此曲线在点A 处的 .于是，当Δx →0时，割线AB 的斜率无限趋向于在点A 的切线AD 的斜率k ，即k ＝ ＝ .(2)导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的 .也就是说，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率是 .相应地，切线方程为 .2.函数的导数: 当x ＝x 0时，f ′(x 0)是一个确定的数，则当x 变化时，f ′(x )是x 的一个函数，称f ′(x )是f (x )的导函数(简称导数).f ′(x )也记作y ′，即f ′(x )＝y ′＝ .探究点一 导数的几何意义问题1 如图，当点P n (x n ，f (x n ))(n ＝1,2,3,4)沿着曲线f (x )趋近于点P (x 0，f (x 0))时，割线PP n 的变化趋势是什么？问题2 曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点？例1如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10的图象.根据图象，请描述、比较曲线h(t)在t0，t1，t2附近的变化情况.跟踪1(1)根据例1图象，描述函数h(t)在t3和t4附近增(减)以及增(减)快慢的情况.(2)若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是()探究点二求切线的方程问题1怎样求曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程？问题2曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与曲线过某点(x0，y0)的切线有何不同？例2已知曲线y＝x2，求：(1)曲线在点P(1,1)处的切线方程；(2)曲线过点P(3,5)的切线方程.跟踪2已知曲线y＝2x2－7，求：(1)曲线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?(2)曲线过点P(3,9)的切线方程.【达标检测】1.已知曲线y ＝f (x )＝2x 2上一点A (2,8)，则点A 处的切线斜率为 ( )A.4B.16C.8D.22.若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则 ( )A.a ＝1，b ＝1B.a ＝－1，b ＝1C.a ＝1，b ＝－1D.a ＝－1，b ＝－1 3.已知曲线y ＝2x 2＋4x 在点P 处的切线斜率为16，则P 点坐标为________ 【课堂小结】1.导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx＝f ′(x 0)，物理意义是运动物体在某一时刻瞬时速度.2.“函数f (x )在点x 0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f ′(x 0)是其导数y ＝f ′(x )在x ＝x 0处的一个函数值.3.利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上.如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x 0，f (x 0))，表示出切线方程，然后求出切点.1.1.3 导数的几何意义 练习题一、基础过关 1．下列说法正确的是( )A ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处就没有切线B ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)必存在C ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在D ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处没有切线，则f ′(x 0)有可能存在 2. 已知y ＝f (x )的图象如图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )>f ′(xB ) B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定 3．在曲线y ＝x 2上切线倾斜角为π4的点是( )A ．(0,0)B ．(2,4)C ．(14，116)D ．(12，14)4．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于 ( )A ．1B.12C ．－12D ．－15．设f (x )为可导函数，且满足lim x →0f (1)－f (1－x )x ＝－1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率是( ) A ．1B ．－1C.12 D ．－2 6．曲线y ＝－1x 在点(1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝x －2B ．y ＝xC ．y ＝x ＋2D ．y ＝－x －2二、能力提升7．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝_______.8．若曲线y ＝2x 2－4x ＋P 与直线y ＝1相切，则P ＝________.9．设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的范围为⎣⎡⎦⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为________．10．求过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线．11．已知抛物线y ＝x 2＋4与直线y ＝x ＋10.求：(1)它们的交点；(2)抛物线在交点处的切线方程．12．设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1(a <0)，若曲线y ＝f (x )的斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行，求a 的值．三、探究与拓展13．根据下面的文字描述，画出相应的路程s关于时间t的函数图象的大致形状：(1)小王骑车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；(2)小华早上从家出发后，为了赶时间开始加速；(3)小白早上从家出发后越走越累，速度就慢下来了．。

§1.1.3 导数的几何意义教学目标：1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系；2.理解曲线的切线的概念；3.通过两数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题。

教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义；教学难点：导数的几何意义.教学过程设计（一入情景引入，激发兴趣。

【教师引入】我们知道，导数表示幣数在尸乩处的瞬时变化率，反映了函数y=fU在尸心附近的变化情况，导数/'（忑）的儿何意义是什么呢？（二）、探究新知，揭示概念1曲线的切线及切线的斜率：如图1.1-2,当人（£,/（£））5 = 1,2,3,4）沿着曲线/（兀）趋近于点卩（兀0，/（心））时，割线户冋的变化趋势是什么？图1.1-2我们发现，当点人沿着曲线无限接近点P即A L O时,割线PP n趋近于确定的位置，这个确定位置的直线称为曲线在点P处的切线.问题：⑴割线P代的斜率心与切线刃的斜率R有什么关系？⑵切线的斜率P为多少？容易知道，割线户巳的斜率是他=/心一心），当点巴沿着曲线无限接近点P吋，心无限趋近于切£一兀0线〃的斜率即k = lim / % +心）_ /缶）=fg&TO Ax说明：（1）设切线的倾斜角为5那么当A x-0时，割线PQ的斜率，称为曲线在点P处的切线的斜率. 这个概念：①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法；②切线斜率的本质一函数在% = x0处的导数.（2）曲线在某点处的切线：1）与该点的位置有关;2）要根据割线是否有极限位置來判断与求解.如有极限,则在此点有切线，且切线是唯-的；如不存在，则在此点处无切线;3）曲线的切线，并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多个.（三）、分析归纳，抽象概括2导数的几何意义：函数尸fd）在尸‘°处的导数等于在该点（x0,/（x0））处的切线的斜率，即厂（和=向丿3+山）一/心以° z 心说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤：①求出”点的坐标；②求出函数在点兀0处的变化率畑）=lim』（兀+心）二/血=k ,得到曲线在点（兀0，广（兀0））的切心T°Ar线的斜率；③利用点斜式求切线方稈.3导函数：由函数在尸必处求导数的过程可以看到，当时，广（无）是一个确定的数，那么，当/变化时，便是/的一个函数，我们叫它为fd）的导函数•记作：广（兀）或）即：门兀）*=向・心+心）7⑴ 心TO A r注：在不致发生混淆吋，导函数也简称导数.函数/（劝在点兀0处的导数广（兀0）、导函数f\x）＞导数之间的区别与联系。

导数的几何意义［教学目标］1.了解割线的斜率与平均变化率的关系；2.对曲线切线的概念了解；3.通过几何画板认识图像的几何意义，并利用导数的几何意义解题. ［教学重点难点］重点：曲线的切线概念以及切线的斜率难点：导数的儿何意义［教法、学法］小组讨论，自主探究［教具］PPT课件、几何画板［教学过程］教学环节教师活动学生活动设计意图情境导入由上节课我们知道，函数在X二勿处的舒适变化率表示的是该函数y =f(x) 在处的附近变化情况，请问同学们导数广(％)的几何意义是什么呢？下面带着这个问题预习课本并完成导学案的预习先知的填空题学生迅速自主的展开课本预习，并完成导学案的填空题课前知识储备，为学生接下来探究参与做好准备合作探究用几何画板展示：曲线的切线及切线的斜率：在如图中，当*£』(£))(" 123,4)沿着曲线/O)趋近于点P(x0,/(x0))时，割线PP n有什么样的变化趋势？学生通过观察几何画板的动态变化后，进行小组合作讨论，让学生发现规律，得：八心Ax通过学生讨论，明确函数的当Ax趋近趋近于0时割线接近于该点的切线，问题的难度降低，\ -/更能激发学生参与合作的信心. ■/// IRJ题：⑴割线的斜率人与切线PT 的斜率£有什么关系？⑵切线刃的斜率R为多少？学以致用例1：求曲线7=f（^） = x2 + 1在点A2, 1）处的切线方程？1.求函数产3/在（1, 2）处的导数.・我们当一次小老师，同桌之间相互批改教学生上黑板板演，其他在草稿上完成，讲解时，同桌之间相互批改自己当小老师，增加本节课的趣味性，有利于学生的行为和情感都参与进来，在批改过程中又可以巩固知识，认识自己的不足拓展提1.求曲线》=長在这点（2,4）处的切线方程是什么？2.曲线y=F在点P处切线的斜率为三名学生上黑板完成，加强对导数的几何意义的应用，尤其在解切线方程时掌握这里的第二题和第三题完成能够取升-2时，"点坐标为()A. (―1, 1)B. (―1, 1)或(1,1)C. (1, 1)D. (—2,4)3.求反比例函数f(x)=彳在点(2.2)处的切线方程？求解方法得成就感，提神学生的深层次参与的积极性，层次性参与让课堂更加灵活.课堂小结在这节课中你学到了什么内容？1•函数切线的定义，函数导数的几何意义2.求切线方程的步骤：(1)求出函数在点X。

编号：gswhsxxx2-2-0103文华高中高二数学选修2--2第一章《导数及其应用》§1.1.3 导数的几何意义导学案学习目标1.通过导数的图形变换理解导数的几何意义就是曲线在该点的切线的斜率，2.理解导数的概念并会运用概念求导数.3.通过对导数的认识，感受数学科学的无穷魅力，培养学习数学的浓厚兴趣。

重点、难点形成导数的概念，了解导数的内涵。

学习方法了解并掌握导数的概念及求法。

学习过程自主学习（预习教材P 6~ P 9，找出疑惑之处） 导数的几何意义新知：已知函数()y f x =上的两点(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =00(,())P x f x ，（1）当割线P n P 无限地趋近于某一极限位置PT 我们就把极限位置上的直线PT ，叫做曲线C 在点P 处的切线割线的斜率是：n k =（2）当点n P 无限趋近于点P 时，n k 无限趋近于切线PT 的斜率. 因此，函数()f x 在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即k = =0()f x ' 新知：函数()y f x =在0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在00(,())P x f x 处切线的斜率. 即k =000()()()lim x f x x f x f x x ∆→+∆-'=∆导函数如果函开区间(,)a b 内的每一数()f x 在开区间(,)a b 内的每一点都可导，就说()f x 在开区间(,)a b 内可导。

这时，对于开区间(,)a b 内的每一个确定的值x,都对应一个确定的导数 ，这样在(,)a b 内构成一个新函数，这个函数叫做()f x 在开区间(,)a b 内的导函数，记作 或 。

二、典型例题题型一求切线方程例1 求双曲线1yx在点1(,2)2处的切线的斜率,并写出切线方程.变式：函数y=-2x2+x在x=2处的切线的斜率是题型二求曲线上点（或切点）的坐标例2.求在曲线y=x2上过哪一点的切线平行于直线y=4x-5变式：求在曲线y=x 2上过哪一点的切线垂直于直线2x-6y+5=0三、课堂小结：函数()y f x =在0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在00(,())P x f x 处切线的斜率. 即k =000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆其切线方程为本节课我最大的收获是:我存在的疑惑有:《导数的几何意义》节节过关达标检测班级 组名 学生姓名1. 已知曲线22y x =上一点,则点(2,8)A 处的切线斜率为（ ） A. 4 B. 16 C. 8 D. 22. 曲线221y x =+在点(1,3)P -处的切线方程为（ ） A ．41y x =-- B ．47y x =-- C ．41y x =- D ．47y x =+3. 若函数()f x 在0x 处的导数存在，则它所对应的曲线在点00(,())x f x 的切线方程为4. 已知函数()y f x =在0x x =处的导数为11，则000()()limx f x x f x x∆→-∆-∆=5.已知曲线C:y=x 3求过曲线C 上横坐标为1的点P 的切线方程，。

§1.1.3 导数的几何意义
班级 姓名 使用时间:2014.3.25
一．学习目标
通过导数的图形变换理解导数的几何意义就是曲线在该点的切线的斜率，理解导数的概念并会运用概念求导数
二．课前准备
1. 曲线上11111(,),(,)P x y P x x y y ++的连线称为曲线的割线，斜率k =
2. 设函数()y f x =在0x 附近有定义，当自变量在0x x =附近改变x 时，函数值也相应地改变y = ，如果当x 时，平均变化率趋近于一个常数A ，则数A 称为函数()f x 在
点0x 的瞬时变化率. 记作：当x 时， →A ，A 称为函数()f x 在0x x =的导数，记为 3.思考：回忆初中圆的切线如何定义？曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点？
三．典型例题
例1．如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数2() 4.9 6.510h x x x =-++，根据图像，请描述、比较曲线()h t 在0t 、1t 、2t 附近的变化情况．
图象的大致形状
例2：已知曲线2y x =
（1） 求曲线在点(1,1)P 处的切线方程
（2） 求曲线过点(3,5)P 的切线方程
y
例3：已知抛物线221y x =+分别满足下列条件，求出切点的坐标
（1） 切线的倾斜角为45
（2） 切线垂直于直线830x y +-=
练习：已知曲线22y x a =-在点P 处的切线方程为8150x y --=，求切点P 的坐标及a 的值
四．反思小结
1.曲线的切线如何定义？
2.导数的几何意义？
3.导函数的正负与原函数的增减性有什么联系？。