中学数学难题向量巧解

依托向量的数量积性质巧解初等代数问题1. 引言1.1 介绍依托向量的数量积性质向量的数量积是向量运算中的一种重要形式，它不仅在几何学和物理学中有着广泛的应用，同时也能够巧解各类初等代数问题。

在代数中，向量的数量积具有一些独特的性质，这些性质可以帮助我们更加简便地解决复杂的问题。

通过利用向量的数量积性质，我们可以将问题转化成向量之间简单的乘法运算，从而更快地找到问题的解答。

这种方法既简单又直观，适用范围广泛。

向量的数量积性质包括向量的数量积定义、数量积的运算法则、数量积的几何意义等方面。

这些性质为我们解决初等代数问题提供了有力支持，使得我们能够更加高效地解决各种数学难题。

熟练掌握向量的数量积性质是非常重要的，可以为我们在学习和工作中带来很大的便利。

在接下来的内容中，我们将详细介绍向量的数量积性质及其在初等代数问题中的应用，希望能够为大家提供帮助和启发。

1.2 初等代数问题背景初等代数是数学中的一个重要分支，主要研究未知数与已知数之间的关系，通过代数运算来解决问题。

在初等代数中，常常会涉及到方程组、几何问题和概率问题等各类数学题目。

这些问题有时候会比较复杂，需要我们通过一些巧妙的方法来解决。

在学习初等代数时，我们经常会遇到一些需要利用向量的数量积性质来解答的问题。

向量的数量积是两个向量之间的一种运算，它能够描述向量之间的夹角和方向关系。

而利用数量积性质解初等代数问题的方法，正是通过对向量的数量积进行运算，来简化问题求解过程。

通过有效地利用向量的数量积性质，我们可以更快速地解决初等代数中的各类问题，如方程组、几何问题和概率问题等。

这种方法不仅能够提高问题解决的效率，还能够培养我们的逻辑思维能力和数学解决问题的能力。

对于学习初等代数的同学来说，掌握依托向量的数量积性质来解决问题将会是一个很好的技巧。

2. 正文2.1 向量的数量积定义及性质向量的数量积，也称为点乘或内积，是向量代数中一种重要的运算。

对于两个向量a=(a1,a2,a3)和b=(b1,b2,b3)，它们的数量积定义为a·b=a1b1+a2b2+a3b3。

例２
如图 ２ ，已知三 菱 锥 Ｄ一 ｝ Ｃ的侧棱 ＯＡ ， Ｄ ， Ｏ Ｃ 两两 垂直 ，且 Ｏ Ａ＝ｌ ， ＝Ｏ Ｃ＝２ Ｅ 是 ＤＣ 的 中点 。 ，
．
‘ ．
－ ｌ｝Ｉ 已 ∞ ６， ｌ ： ａ 知 ＝。 丽又 ０
Ａ Ｂ 为正 三 角形 ， Ａ ＝ Ｂ＝ Ｃ＝２ ＡＣ Ｃ Ａ Ｂ 。
’
．
在ＲＡ Ｎ ｔＣ Ｂ中，加 ＝ ２ √ ，可得Ⅳ Ｃ＝√ ２，故：
ｃ ｏ１４ ） （， － ，连结ＭＣ ，作Ｎ ＿ＭＣ￣ Ｈ 。 ，ｉ ＨＬ －
曾经 在 高 中数 学 教学 中解 决一 些 立 体 几何 和代 数 问题 时 ，我 们 仅 仅 应 用 本 书 中 的 定 理 、 公 理 、直 线 的位 置 关 系 ，直线 与 平 面之 间 的关 系 等 。如 果 现 在我 们 重 视用 空 问 向量 概 念来 解 决 问题 的 话 ，在 空 间 中解 决 和证 明较 难 的一 些 问题 时就 会 变 得较 为 容 易 ，而 且还 能 提 高学 生 的 思维 能 力、 分析 能力和 空 间想 象能 力 。 解 （ ） 作 Ｄ 上 Ｃ 垂 足 为 Ｄ ，连 接 Ａ ， 由侧 面 １： Ｏ Ｓ Ｃ为等 要 直 角三 角 形 ， Ａ Ｊ ０ ，如 图 ｌ Ｂ ０ － ，以 ０ 为 标 原点 ， ＯＡ为 轴 正 方向 ，建 立直 角 坐标 系 ｘ ｚ。 ｙ
丽． ： ， ０
相交 直线 Ｓ 、 Ａ 垂赢 ，所 以 ＯＧ 上平 面 Ｓ Ｂ 。 Ｅ Ｂ Ａ
一
Ａ Ｂ＝２，Ｂ ２ ２，Ｓ ＝ Ｂ＝ ３ Ｃ＝ ４ Ａ Ｓ √。
（ ）求 证 ： ． 上 Ｃ ； １
ＯＧ与 一Ｓ的夹 角 记 为 Ｄ ， Ｓ 与平 面 Ｓ Ｂ所 成 的角 Ｄ Ａ

2
唐咸桂 1- b , b =
2
由 ¹ º 可得 m = n, 则 a = 即 a2 + b 2 = 1- b 2 + 1- a2 . _ a 2 + b 2 = 1.
1- a ,
2
点评 : 向量的数量积除用来证明等式外, 还可以 用来证明不等式, 一般比用常规方法证明来得简明. 二、 求函数最值问题
已知 a, b I R, 且 a
2
1- b + b
2
2
1- a
2
2
=例 2> 值.
求函 数 f ( x ) =
5x +
6- x 的最 大
= 1, 求证: a + b = 1. 证明: 构造向量 m = ( a, 1- a ) , n= (
2
1- b ,
解: 令 a= ( 5, 1 ) , b= ( x , x = 5
图 1- 2 由已知3DH , DA 4= 60 b, _ DA # DH = | D A | # | DH | cos3 DH , D A 4, 即 2m = 2 , 1) . 2 2 2 @ 0+ @ 0+ 1 @ 1 2 2 ( 1 ) 因为 co s3H D, CCc4= 1@ 2 = 2 , 所以3DH , DCc4= 45b, 即 DP 与 CCc所成的角 2 为 45 b. ( 2) 平面 A AcDcD 的一个法向量是 DC = ( 0, 1, 0) . 2 2 @ 0+ @ 1+ 1 @ 0 2 2 因为 cos 3DH , DC 4= = 1@ 2 1 , 所以3DH , DC4= 60b, 可得 D P 与平面 A A cDcD 2 所成的角为 30 b. 点评: 本例用向量方法求立体几何中/ 线线角 0 、 / 线面角0 的优势十分明显 , 避开了找角的麻烦 , 更使 运算趋于简单. 另外求二面角也可以通过法向量转化 为/ 线线角0 来解决. 四、 解决解析几何中有关角度的问题 2 m 2 + 1 , 解得 m = 2 2 , 所以 DH = ( , 2 2

A 为 大于 ?的 常数 >C DE 9 , a B � 2
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
用 平 面 向 量 巧 解 一 题
2 2 2 ? 2 3 江 苏省 海州 高级 中学 题目
2 2 已知 圆 I = � ; J = 4和两 个定
佟 成军
点 K8 过 LF , ? 9 B M8 F , ? 9 , N 为圆 I上的 动点 , 点 N 的圆 I的 切线 为 O 点 K关 于 O 的对 称点 , 为K 求Q P , KP MQ的最 大值 . 分析 本题 的 常规 解 法 是 = 首 先 求出 点
切线 O 程为 J=a 2 点 KP 坐标为8 , LF , a4 9 .
收稿日期 = 8 2 ? ? 6 ? F 2 3 9
S NT KKP . V V V 设 KR= W S N8 WX ? 9 , Q SN Q= 2 , V V V V V 则S R = SK; KR= S K; WS N, V V V V V NR= S RL S N= S K; 8 WL F 9S N, V V 由题 意知 , S NYNR= ? , V V V 即 S NYZ SK; 8 WL F 9S N[= ? , V V V 2 得 S NYS K; 8 WL F 9S N =? , V V 得 S NYS K= 4 8 FL W9 , V V V 2 2 又 QS RQ = QS K ; WSN Q V2 V V 2 V2 =S K ;2 WS KYS N ; W YS N = F; 2 W\ 4 8 FL W9; 4 W2 =L 4 W ;] W; F =L 4 8 WL F 9; 5 , ^ 6 6 得 WX ? , V 2 当 W = F时 , Q SR Q _a ‘= 5 , V QS RQ _ a ‘ = � 5,

巧用梅涅劳斯定理求解向量的线性相关系数某某某某市第三高级中学 金小欣 467000一、梅涅劳斯〔Menelaus 〕定理简介：如果一直线顺次与三角形ABC 的三边AB 、BC 、CA 或其延长线交于M 、N 、K 三点，那么：1=⋅⋅KACKNC BN MB AM 。

证明：过顶点B 作AC 的平行线与截线交于E ，那么有：BE AK MB AM = ，CKBENC BN =，∴1=⋅⋅=⋅⋅KACKCK BE BE AK KA CK NC BN MB AM对该定理的几点说明：①证明的方法：过其中一个顶点作其对边的平行线与截线相交，利用“平行线截线段成比例定理〞或相似Δ性质，将其中的两个比例式等价转化。

②定理的实质：三个比例式的乘积等于1，每一个比例式的三个字母是共线的两个顶点和一个分点；其结构特征为：顶点分点分点顶点→→ ，呈现“首尾相接〞；整体看，从某一个顶点出发，最后又回到该顶点。

③该定理常与“塞瓦定理〞结合使用。

二、梅涅劳斯定理的一个应用例子题目：在△OAB 的边OA 、OB 上分别取点M 、N ，使|→--OM |∶|→--OA |=1∶3，|→--ON |∶|→--OB |=1∶4，设线段AN 与BM 交于点P ，记→--OA = a →，→--OB =b →，用 a →，b →表示向量OP --→.先给出高中常规解法〔待定系数法〕如下： 解法一：∵ B 、P 、M 共线∴ 记→--BP =s →--PM∴1111113(1)13(1)s s s OP OB OM OB OA b a s s s s s s --→--→--→--→--→→→=+=+=+++++++--------① 同理，记AP t PN --→--→= ，得： →--OP =114(1)t a b t t →→+++--------② ∵a →,b →不共线∴ 由①、②得113(1)114(1)s t s ts t ⎧=⎪++⎪⎨⎪=⎪++⎩解之得：9283s t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴321111OP a b --→→→=+上述解法的基本思想是：先设法求出点P 分AN 、BM 的比，理论依据：一个是教材例题的结论〔可作为定理直接使用〕，一个就是平面向量基本定理。

浅析求解向量题目常用的妙招作者：王子睿来源：《神州·下旬刊》2017年第01期摘要：向量题目是试卷中必定出现的题目，直接解答向量题目，往往找不到入手点，可以从几何与代数两个角度，将其进行转化，就可以轻松解答。

从代数角度来讲，可以将向量问题实数化，从而运用数的性质加以处理；从几何角度来讲，向量问题可以运用数形结合思想加以处理。

文中，介绍了求解向量题目常用的妙招，以求能够更好地解决向量问题。

关键词：向量题目；高中数学；妙招向量，就是指既有大小又有方向的量，它的本质解释了向量具有“数”和“形”的双重身份。

向量题目的难度并不是很大，而是转化起来存在困难，导致出现问题。

在解决向量题目是，可以根据具体问题，从代数与几何两个角度着手转化，切在实践中反思，形成解决向量题目的妙招。

1.灵活“建系”，巧妙解答向量题目遇到平面图形的向量问题时，可以根据需求，灵活建立平面直角坐标系，然后在通过向量坐标运算巧妙地解决问题。

这正是体现向量“代数化”手段的重要性，更是解决向量问题的妙招。

例1 在等腰直角三角形ABC中，AC=BC=1，点M，N分别是AB，BC的中点。

若点P是ΔABC内部任意一点，那么AN·MP的取值范围是。

【分析】该题目解决之前，首先要根据题意构建一个平面坐标系xcy，且将等腰直角三角形ABC置放于平面坐标系xcy中（如图1-1）。

根据图1-1可以发现，点A（1，0）， N （0，1/2），M（1/2，1/2）。

设点P的坐标为（x，y），则可以得出么AN=（-1，1/2）；MP=（x-1，y-1/2）。

解（略）【评注】该题目是一道综合性的题目，通过抽象思维很难找到出路，而通过建立一个平面直角坐标系，就能够找到解题思路，同时还能够找到切入点。

“平移”是运用线性规划解题过程中常常用到的技巧，在此题目中，就是运用“平移”技巧，建立不等式，最终解决问题。

2.构造“基底”，巧妙解答向量题目平面向量问题往往较为抽象，看到题目只觉地眼花缭乱，根本不能够抓住题目的切入点，更不能正确、省时地解决问题。

数学大世界2011/1shu xue da shi jie数学大世界（上接59页）（2）已知点B 与点D 在经过原点的抛物线上，点P 在第一象限内的该抛物线上移动，过点P 作PQ ⊥x 轴于点Q ，连结OP 。

①若以O 、P 、Q 为顶点的三角形与△DAO 相似，试求出点P 的坐标；②试问在抛物线的对称轴上是否存在一点T ，使得|TO-TB|的值最大。

解析：本题只对最后一问进行讨论，前面已经求得抛物线的解析式为：，点D 的坐标为（-，2）、点B 的坐标为（3，2），点D 、B 关于抛物线的对称轴x=对称，要使得|TO-TB|的值最大，即是使得|TO-TD|的值最大，根据三角形两边之差小于第三边可知，当D 、O 、T 三点在同一直线上时，|TO-TD|的值最大。

评注：本题借助抛物线的轴对称性，把位于对称轴两侧的点，变换到了同一侧，使得问题转化为三角形的边之间的关系，使得解题思路清晰明了。

通过以上探讨可以发现，在解决二次函数有关的问题中，应引导学生尝试从不同的角度解决问题，拓展学生思维的广度。

同时，数形结合是一种重要的思想方法，要尽可能画出函数图像，并且牢牢记住二次函数的图像是轴对称图形这一隐含条件，可以使得解题过程简便，提高效率。

56☆课例拾粹☆见人教版高中数学第二册上第56页：在平面直角坐标系中，已知点P （x 。

，y 。

），直线L ：Ax+By+C=0，求点P 到直线L 的距离？教材上首先分析了一个方法，后又说这个方法思路自然，但运算较繁，从而放弃。

又介绍另一种方法，实际另一种方法，不仅思路不自然，同样运算也不简单。

下面本人根据学生的认知情况介绍一种向量求法，与同行共勉。

设Q （x ，y ）为直线L 上任意一点，则有Ax+By=－C ，又知直线L 的法向量n=（A ，B ），设。

所以点P 到直线L 的距离d 就等于向量在法向量上的射影的长，即此方法是利用已学过平面向量知识，起点低、思路清晰、推理简单、容易掌握，并对后面学习立体几何用向量法求点到面的距离奠定了扎实基础，起点承前启后作用，同时也强化了师生对向量在新课程中重要性、实用性的认识。

ｎ ＋ ｂ＋ Ｃ
若 ０， － ， ｂ Ｒ ０＋ｂ ，０ Ｅ ＝１贝
≤２ ．
＋
＋
≥
（ ，１ ，则 １ ）
证明： 设 ：（ 广 Ｉ ｍ ／ Ｉ ） ｎ＝ ￣ ／ ， 厂 ｎ ￣ ・ ≤ — Ｉ・ ・
・
＋ ≤２ ．
证 明 ： 向 量 设
下 面完 成两 个定 理 的证 明 。 定 理 １的证 明 ： 由三 角形 中线 长公式 知 ：
ｍ。 ＝ （ ６ ２ ＋２ 一０ ）＝ ｅ （ ＋ｃ ） ｂ ＋
边长 ， 、 、 。表示 三 条 中线 长 ， ｒ ｓ ｍ。 ｍ６ ｍ 尺、 、
表示外接 圆半径 、 内切 圆半 径 以及半 周长 ，
・
５ ・ ５
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２０ 第 ３ ０ ６年 期
河北理科 教 学研 究
∑０＝２ ｓ
∑ ０ ＝ｓ ＋４ ＋ ｒ ６ ｒ ２
短 文 集锦
（） ５
（） ６
：ｙ： 时 ， 有最大值为ｖ ＿２ ｚ ｙ 厂 ．
例 ５ 求 函数 Ｙ： 值．
一
＋
蒸 ｌ ：
，
９ ＞３ １ ６．
Ｖ
活用 向量 内积 ， 巧解代数 问题
向量 的数量 积 （ 内积 ） 有着 非 常广泛 的应 用 空 间 ， 了能 够解 决一 些几何 问题 外 ， 除 在求
证 明： 设 ＝（ ， ，Ｓ） ＝ ４ ｚ
｜４ ｜ ９） 由 ，
：
求 函数 最值
例４ （ 山东省竞赛试题 ） 设 ＋Ｙ ＝
。， ＜ ， Ｓ 。 １ ＝ 求
值
＋ ７的 最大
Ｉ ａ Ｉ — ． ｒ
Ｉｃ ｓ ．ｏ０
．

维普资讯
《 中学数学杂 志》 高中 ） ２ ０ （ ０ ２年第 ２期
所以 一
√
４ １
＜
＜ ３
√５・
Ｍ ≯ （ ，
，
） ，
即点 Ｐ横坐标的取 值范围是 （ ３ 一
砉・
所 以
：
：（ ：一． ， ｒ ：一 ｊ ） ， ，
，
即 一 ） 一 （ （ 半 ．
Ｖ
＋（ ：一‘ ） 一 ｖ （ １
— ）＝ ０ ， 一 ＝０
．
所 以 （ — ｔ ）一生
０ ， 是 ）于
一Ｙ ） Ｐ ．
①
： （ 一却 ，
又焦 点 Ｆ 、 的坐标 为 Ｆ （ ，）Ｆ （ ， Ｆ 一 ０ 、 ３ ４
＝ （ 一 ， ） 一 一 ，
：
（ 一 一 一 ， 一
’ ） ．
因 为 Ｆ Ｐ ：为 钝 角 ， 以 Ｆ 所
例３ 圆 ＝ｌ 焦 为Ｆ、 ， 椭 每 的 点 ｔ Ｆ 点Ｐ
为其上的动点 ． 当 Ｆ Ｐ ： Ｆ 为钝角时 ， Ｐ横 坐标 点
的 取 值 范 围是 — （０ ０年全国高考理科 （４ 题 ） ２０ １） 解 设点 Ｐ 的坐标 为（ ，Ｐ ， 却 Ｙ ）则
．
—
由 Ａ， Ｆ 所 以
Ｂ 共 知 ／ ． 点 线， ／
： ）一 （ Ｙ ）＝ － １
０ 因 ｌ ｊ ， 化 简 得 Ｙ ２＝一 Ｐ ， ． ≠ ，故 ２ ｌ・
又
一
０ ） （券， ） ＝一 ， Ａ ＝一 ， ） Ｃ （号一 ：
，
＝（ ｌ ０一 ． Ｙ
． ＝４ 丢ｘ ． ） ， 一 ’ ； ｂ
解 设 点 Ｐ的坐标 为（ ， ）则 却 ，

借助向量法,巧解平行题
李贞庆
【期刊名称】《中学数学:高中版》
【年(卷),期】2022()4
【摘要】利用空间向量来判定空间问题中的线、面平行关系,是判定或证明此类问题的一类比较常见的技巧方法,结合常见的线面平行、面面平行以及创新应用等问题类型加以实例剖析,总结方法规律与破解技巧.
【总页数】2页(P80-81)
【作者】李贞庆
【作者单位】安徽省怀宁中学
【正文语种】中文
【中图分类】G63
【相关文献】
1.一题多法,巧解平面向量问题
2.借助图像法，巧解中职物理题
3.几何法巧解向量题
4.用比较法巧解平行条件应用题
5.巧作基准平行线简解一类向量题
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上的简化计算过程.
一、作图法之平面向量问题
二、作图法之解析几何问题
三、作图法之函数问题
〖分析一〗利用向量夹角的余弦公式求解
〖分析二〗利用图形求解 A a D
a+2b
b B C
O
方法点睛
解决此类问题的关键：“先画后算”
利用向量加法、减法及数乘的图形运算法则，充分挖 掘图形的特点，简化计算过程.
〖分析〗 D是ΔABC的外心 ΔABC是正三角形
高中数学核心素养、核心思想专题汇编（附详解）
第十三节
作图法
第一讲 平面向量问题
高中数学的最大特点之一就是“数形合一”，通过
形的直观描述来帮助思考数的问题，同时通过数的精确 刻画来推导形的正确结论，使代数问题、几何问题相互
转化。
对于一些含有几何背景的题目，若能“数中思形”、 “以形助数”，则往往可以借助图形的直观性，迅速作出 判断，简捷地解决问题，得出正确的结果。如Venn图，三 角函数线，函数的图像及方程的曲线等，都是常用的图形。 这些图形可以将题目中的数量关系以及空间结构准确形象 地展示出来，使抽象的问题变得具体，化繁为简，便于解 决问题。
D是ΔABC的垂心
同理：DA⊥BC，DC⊥AB
P的轨迹是以A为圆心1为半径的圆
（0,2）
P N M
M是PC的中点
〖解法二〗
方法点睛
解决平面向量问题的技巧：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
“坐标表示法”和“几何意义法”
由于平面向量具有形的特征，所以利用向量的有关几
何意义，通过构造相应的图形，将其转化为平面图形中的
有关问题，结合平面几何的相关结论来求解可以很大程度

巧用向量解数学题优秀获奖科研论文向量是新课标下中学数学中重要的基本概念之一，由于向量本身具有数与形的双重性，因此巧用向量解中学数学题是一种简便的解题方法与思路.通过全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定律可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量的积运算（运算律），从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系，以便解题可以简便化、准确化.纵观近几年的高考，有关向量的部分突出考查了向量的基本运算，对向量的应用也日渐加大考查的力量.下面浅谈巧用向量解数学题.一、巧用向量解高考立体几何题由于立体几何涉及空间几何图形，许多考生望而生畏，但只要巧用向量的相关知识，把立体几何图形的各线段转换成向量，解题便简便很多了.二、巧用向量解圆锥曲线题圆锥曲线是高考重点考查的内容.考查的内容包括圆锥曲线的概念和性质.但直线与圆锥曲线的位置关系等，很多时可以巧用向量的知识来简便解答.例2证明：等轴双曲线上任一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项.点评：本题巧用向量解题，发挥代数运算的长处，方法简便，更易于学生掌握.三、巧用向量解平面解析几何题由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质都可以巧用向量方法解决.点评：在解不等式或证明时，除了掌握其基本不等式外还要把握题目的特点寻找简便的方法，而本题就是巧用向量解题的简便方法.通过巧用向量方法解以上几道题，展示了向量解题的简便性，可以激发了学生学习向量的兴趣.向量是沟通代数、三角、几何等内容的桥梁之一.向量作为一种工具，它的特点在数学的许多方面都有体现，向量的思想渗透得很广泛；空间向量在解决立体几何上的优势又是传统的知识和方法无法替代的.巧用向量解决一些数学问题，将大大简化解题的步骤，使学生多掌握一种行之有效的数学工具.向量是新课标下中学数学中重要的基本概念之一，由于向量本身具有数与形的双重性，因此巧用向量解中学数学题是一种简便的解题方法与思路.通过全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定律可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量的积运算（运算律），从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系，以便解题可以简便化、准确化.纵观近几年的高考，有关向量的部分突出考查了向量的基本运算，对向量的应用也日渐加大考查的力量.下面浅谈巧用向量解数学题.一、巧用向量解高考立体几何题由于立体几何涉及空间几何图形，许多考生望而生畏，但只要巧用向量的相关知识，把立体几何图形的各线段转换成向量，解题便简便很多了.二、巧用向量解圆锥曲线题圆锥曲线是高考重点考查的内容.考查的内容包括圆锥曲线的概念和性质.但直线与圆锥曲线的位置关系等，很多时可以巧用向量的知识来简便解答.例2证明：等轴双曲线上任一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项.点评：本题巧用向量解题，发挥代数运算的长处，方法简便，更易于学生掌握.三、巧用向量解平面解析几何题由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质都可以巧用向量方法解决.点评：在解不等式或证明时，除了掌握其基本不等式外还要把握题目的特点寻找简便的方法，而本题就是巧用向量解题的简便方法.通过巧用向量方法解以上几道题，展示了向量解题的简便性，可以激发了学生学习向量的兴趣.向量是沟通代数、三角、几何等内容的桥梁之一.向量作为一种工具，它的特点在数学的许多方面都有体现，向量的思想渗透得很广泛；空间向量在解决立体几何上的优势又是传统的知识和方法无法替代的.巧用向量解决一些数学问题，将大大简化解题的步骤，使学生多掌握一种行之有效的数学工具.向量是新课标下中学数学中重要的基本概念之一，由于向量本身具有数与形的双重性，因此巧用向量解中学数学题是一种简便的解题方法与思路.通过全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定律可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量的积运算（运算律），从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系，以便解题可以简便化、准确化.纵观近几年的高考，有关向量的部分突出考查了向量的基本运算，对向量的应用也日渐加大考查的力量.下面浅谈巧用向量解数学题.一、巧用向量解高考立体几何题由于立体几何涉及空间几何图形，许多考生望而生畏，但只要巧用向量的相关知识，把立体几何图形的各线段转换成向量，解题便简便很多了.二、巧用向量解圆锥曲线题圆锥曲线是高考重点考查的内容.考查的内容包括圆锥曲线的概念和性质.但直线与圆锥曲线的位置关系等，很多时可以巧用向量的知识来简便解答.例2证明：等轴双曲线上任一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项.点评：本题巧用向量解题，发挥代数运算的长处，方法简便，更易于学生掌握.三、巧用向量解平面解析几何题由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质都可以巧用向量方法解决.点评：在解不等式或证明时，除了掌握其基本不等式外还要把握题目的特点寻找简便的方法，而本题就是巧用向量解题的简便方法.通过巧用向量方法解以上几道题，展示了向量解题的简便性，可以激发了学生学习向量的兴趣.向量是沟通代数、三角、几何等内容的桥梁之一.向量作为一种工具，它的特点在数学的许多方面都有体现，向量的思想渗透得很广泛；空间向量在解决立体几何上的优势又是传统的知识和方法无法替代的.巧用向量解决一些数学问题，将大大简化解题的步骤，使学生多掌握一种行之有效的数学工具.。

【高考地位】平面向量中的最值和范围问题,是一个热点问题，也是难点问题,这类试题的基本类型是根据给出的条件求某个量的最值、范围,如:向量的模、数量积、夹角及向量的系数．解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题，同时，平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，解决平面向量最值、范围问题的另一个基本思想是数形结合．在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中高档题. 【方法点评】方法一 利用基本不等式求平面向量的最值使用情景：一般平面向量求最值问题解题模板:第一步 利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系；第二步 运用基本不等式求其最值问题; 第三步 得出结论。

例1.已知点A 在线段BC 上（不含端点），O 是直线BC 外一点,且20OA aOB bOC --=，则221a ba b b+++的最小值是___________ 【答案】222例2 如右图所示，已知点G 是ABC ∆的重心，过点G 作直线与,AB AC 两边分别交于,N M 两点，且,AM x AB AN y AC ==，则2x y +的最小值为( ）A ．2B ．13C ．3223+ D ．34【答案】C【变式演练1】如图所示，已知点G 是ABC ∆的重心，过点G 作直线与,AB AC 两边分别交于,M N 两点，且,AM x AB AN y AC ==,则x y +的最小值为( ）A ．2B ．13C ．43D ．34【答案】CMNA BGQ考点：向量共线，基本不等式求最值【变式演练2】已知点A（1, 1)，B(4,0），C（2，2）．平面区域D由所有满足AP AB ACλμ=+(1≤≤a，1≤≤b）的点P（x，y)组成的区域．若区域D的面积为8,则a+b的最小值为．【答案】4考点:1、平面向量的线性运算；2、基本不等式． 【变式演练3】平行四边形ABCD 中，60,1,2,BAD AB AD P ∠===为平行四边形内一点,且22AP =，若),(R AD AB AP ∈+=μλμλ,则2u λ+的最大值为 ． 6【解析】试题分析：对),(R AD AB AP ∈+=μλμλ两边平方可得()()22AP AB AD λμ=+可化为222222APAB AB AD ADλλμμ=+⋅⋅+,据已知条件可得22122λμ=+≥,即λμ≤，又()22212223λλμ=++=+≤，则λ+≤. 考点：向量的数量积运算；基本不等式方法二 利用向量的数量积m n m n ⋅≤求最值或取值范围使用情景：涉及数量积求平面向量最值问题解题模板：第一步 运用向量的加减法用已知向量表示未知向量；第二步 运用向量的数量积的性质求解； 第三步 得出结论。

第 1期
高中数学教与学
巧用向量的数量积解非向量问题
周金波 刘加元
( 江苏省东台市三仓中学 , 224231)
向量的 数 量 积 是 向 量的 一 个 重 要 知 识 点. 有些数 学 问题 似 乎与 向 量的 数 量积 毫 无 瓜葛, 但如 能 由题 设 的结 构 特征 构 造出 对 应 的向量, 巧 妙 地利 用 向量 的 数量 积 或其 几 何 意义求解, 则方法 新颖别 致, 过程 简捷, 明 了. 现举例说明如下: 一、 解线性规划问题 例 1 满足 ( 2009年北 京高 考题 ) 若实 数 x, y x+ y- 2 x y 分析 4 , 5 , . 0 , 量积, 即 s = OM ON = | OM | | ON | cos OM, 表 示向 量 OM , ON 的 夹 2 为定值, 所以当且 仅当 取 最小 值 ( 注意: 在 OM
b= 3 , | a |= 1 , + 4 2 . s in
O 上运动时 (不与
| b|= = 又 a
O 是否保持相切的位置
关系?若是, 请证明, 若不是, 请说明理由.
| a | | b |, 3 , 9 . 4 2 , s in
2
1 4 + 2 2 cos s in 1 2 cos s in
2
+
ON ( 这里 OM , ON 角 ). 因为 | OM | = | ON | cos OM , ON
正方向上的射影 OP 是正 值, 在 OM 负 方向 上 的射影 OP 是负值 ) 时, S 取得最小值. 如图 1 , 易知当点 N 与点 B ( 4 , - 2 ) 重合时, ON 与 OM 负方向上的射影 OP 取得最小值, 其最小值为 Sm in = - 2 - 4 = - 6 .

向量在中学数学中的应用向量是中学数学的主要内容之一,巧妙地构造向量,利用向量的运算及性质,可以解决证明有关恒等式，不等式、求某些函数极值和有关几何问题。

1.在代数解题中的应用(1)求函数的最值(值域) 利用向量的模的不等式a b a b a b →→→→→→-≤+≤+, a b a b →→→→⋅≤,可以十分简单地求一些较为复杂的、运用常规方法又比较麻烦的最值(值域)问题．例、求函数2()3244f x x x =++-的最大值．分析：观察其结构特征，由2344x x +-联想到向量的数量积的坐标表示． 令2(3,4),(,4)p q x x →→==-，则()2f x p q →→=⋅+，且5,2p q →→==．故 ()212f x p q →→≤+=，当且仅当p →与q →同向，即23404x x =>-时取等号，从而问题得到解决．求参变数的范围 求参变数的范围是代数中的一个难点，常常要进行讨论，若用向量去解，会收到意想不到的效果.例设,,,a b c d R ∈，且22222(0),3k a b c d k k a b c d +++=>+++=，试讨论 ,,,a b c d 的范围．分析：由2222a b c d +++联想到向量的模，令(,,),(1,1,1)p a b c q →→==，则 p q a b c k d →→⋅=++=-，222,3p a b c q →→=++=.由p q p q →→→→⋅≤得 2233k k d d -≤⋅-，解得102d ≤≤，由,,,a b c d 对称性便可得,,,a b c d 的范围． 在三角解题中的应用向量的数量积的定义，将向量与三角函数融为一体，体现了向量的模与三角函数之间的关系，为运用向量解决三角函数问题创造了有利的条件．(1)求值例、已知3cos cos cos()2αβαβ+-+=，求锐角,αβ的值． 分析：由已知得3(1cos )cos sin sin cos 2βαβαβ-+=-，观察其结构特征,联想到向量的数量积，令(1cos ,sin ),(cos ,sin )a b ββαα→→=-=，则3cos 2a b β→→⋅=-， 22cos a b β→→=-．由a b a b →→→→⋅≤得3cos 22cos 2ββ-≤-，所以1cos 2β=， 即3πβ=，代入已知等式便可求得α的值．。

明它的合理性。
结论：如图，在̲ABC 中，D 是 BC
边上一点，且 BD : DC m : n ，则：
JJJG AD
JJJG JJJG O AC P AB （ O
m m
n
,
P
n m n
ф O P 1,O : P
m : n BD : DC ）
JJJG JJJG JJJG
反之，如上图在̲ABC 中，若有 AD O AC P AB(O ! 0, P ! 0) ，
参考文献
[1] 智婷婷 . 新课改背景下小学语文古诗词教学策略分析 [J]. 西部 素质教育，2017，3（10）：257. [2] 陆凤仙 . 新课改背景下小学语文古诗词教学策略探讨 [J]. 教师， 2017（20）：20. [3] 王成果 . 新课改下小学语文古诗词的教学研究 [J]. 新教育时代 电子杂志（教师版），2017（30）：61.
（上接 79 页）班级建设巩固党团建设的一种良性循环制度。第一， 辅导员在班级制度建立和完善过程中，将党团活动出勤考核的严 肃性融入到班级考勤制度中，实行缺勤零容忍制 ；第二，将构建 学习型党团制纳入到班级学风制度中，提升学生自主学习，自我 提升的能力 ；第三，将党团活动考评制度、党团推优评优、党员 发展、培养和考核等制度纳入到班级综合评定考核制度中，提高 学生积极进取的动力，并使班级制度具有更强的政治导向性和组 织纪律性。
2 m
3 选（D）
回顾以上几个例题，这一结论的精髓在于：
1、在题目中的多个三角形中利用这一结论，得出同一矢量的
不同表示方法。对比表达式即可得到系数的值。
2、O P 1 这一关系非常重要，巧妙利用，可得到相关参数
的关系式。 通过以上几个典例可见：在三角形中，三个向量起点相同，

例谈用向量解题的几种常见类型董㊀强(西安市第八十五中学ꎬ陕西西安７１００６１)摘㊀要:向量是兼具数与形的一种数学解题工具ꎬ向量法体现了数形结合的数学思想.文章通过几道例题阐述了用向量解题的几种常见类型.关键词:向量ꎻ数量积ꎻ不等式ꎻ角度ꎻ距离中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)１３－０００２－０３收稿日期:２０２３－０２－０５作者简介:董强(１９８５－)ꎬ硕士ꎬ中学一级教师ꎬ从事中学数学教学研究.基金项目:西安市教育科学研究 十四五 规划２０２１年度小课题 思维型教学理论指导下的教师专业成长研究 (项目编号:２０２１ＸＫＴ－ＺＸＳＸ１６２)１利用向量证明不等式例１㊀已知ａ１＋ａ２＝１ꎬ求证:ａ２１＋ａ２２ȡ１２.证明㊀设ｕ＝ａ１ꎬａ２()ꎬｖ＝１ꎬ１()ꎬ依题有ｕ ｖ＝１.所以ｕ２ｖ２ȡｕ ｖ()２＝１.此即ａ２１＋ａ２２ȡ１２ꎬ当且仅当ｕ与ｖ共线时ꎬ取 ＝ ꎬ此时ａ１＝ａ２＝１２.例２㊀已知ａ１＋ａ２＋ ＋ａｎ＝１ꎬ求证:ａ２１＋ａ２２＋＋ａ２ｎȡ１ｎ.证明㊀设ｎ维向量ｕ＝ａ１ꎬａ２ꎬ ꎬａｎ()ꎬｖ＝１ꎬ１ꎬ ꎬ１()ꎬ依题有ｕ ｖ＝１.所以ｕ２ ｖ２ȡｕ ｖ()２＝１.此即ａ２１＋ａ２２＋ ＋ａ２ｎȡ１ｎꎬ当且仅当ｕ与ｖ共线时ꎬ取 ＝ ꎬ此时ａ１＝ａ２＝ ＝ａｎ＝１ｎ.评析㊀例１与例２中分别是两个和ｎ个字母的代数和ꎬ联想到了向量的数量积ꎬ从而构造两个向量ꎬ将不等式的证明问题转化为两个向量的模长问题ꎬ而后利用向量数量积的性质ꎬ巧妙地证明了不等式.三道例题层层递进ꎬ由特殊到一般进行了推广ꎬ但本质都与向量的数量积相关.此处ꎬ向量法体现了数学转化的数学思想ꎬ是值得深究和推广的一种数学方法.２利用平面向量求平面角例３㊀如图１ꎬ三个单位正方形构成了矩形ＡＤＥＨꎬ求ｓｉｎøＢＨＤ.图１解析㊀因为ＨＢң＝２ꎬＨＤң＝１０ꎬ所以ＨＢң ＨＤң＝ＨＡң＋ＡＢң() ＨＡң＋ＡＤң()＝ＨＡң２＋ＨＡң ＡＤң＋ＡＢң ＨＡң＋ＡＢң ＡＤң２＝１＋３＝４.所以ｃｏｓøＢＨＤ＝ＨＢң ＨＤңＨＢң ＨＤң＝４２ˑ１０＝２５５.故ｓｉｎøＢＨＤ＝１－４５＝５５.评析㊀例３采用了向量的数量积巧妙地对题目所给角的三角函数进行了求解ꎬ需要说明的是ꎬ此例题除了可以直接利用向量的基本运算求出角的三角函数值之外ꎬ也可以建立直角坐标系ꎬ将向量坐标化ꎬ从而利用向量的坐标运算进行求解.此外ꎬ还可以采用其他的一些方法求解ꎬ比如转化和化归ꎬ利用和差角公式等求解.３利用空间向量判断直线之间的位置关系例４㊀(２０１０年全国Ⅰ卷文６)直三棱柱ＡＢＣ－Ａ１Ｂ１Ｃ１中ꎬ若øＢＡＣ＝９０ʎꎬＡＢ＝ＡＣ＝ＡＡ１ꎬ则异面直线ＢＡ１与直线ＡＣ１所成的角等于(㊀㊀).Ａ.３０ʎ㊀㊀㊀Ｂ.４５ʎ㊀㊀㊀Ｃ.６０ʎ㊀㊀㊀Ｄ.９０ʎ解析㊀设ＡＢ＝ＡＣ＝ＡＡ１＝１ꎬ以Ａ为原点ꎬＣＡꎬＢＡꎬＡＡ１所在直线为ｘꎬｙꎬｚ轴建立直角坐标系ꎬ则Ａ０ꎬ０ꎬ０()ꎬＢ０ꎬ－１ꎬ０()ꎬＡ１０ꎬ０ꎬ１()ꎬＣ１－１ꎬ０ꎬ１()ꎬＢＡ１ң＝０ꎬ１ꎬ１()ꎬＡＣ１ң＝－１ꎬ０ꎬ１().ｃｏｓ<ＢＡ１ңꎬＡＣ１ң>＝ＢＡ１ң ＡＣ１ңＢＡ１ң ＡＣ１ң＝１２ˑ２＝１２.故所以异面直线ＢＡ１与直线ＡＣ１所成的角为６０ʎ.评析㊀例４是空间中求直线与直线所成角的问题ꎬ考虑到直三棱柱的特殊性ꎬ可以建立空间直角坐标系ꎬ将异面直线向量化ꎬ从而将问题转化为求两个空间向量之间夹角的问题.用向量法求解空间中异面直线之间所成的角ꎬ有效实现了问题的转化ꎬ将抽象问题形象化ꎬ培养了学生直观想象的核心素养.当然ꎬ对于文科学生而言ꎬ可以选择通过平移将异面直线所成的角转化为相交直线所成的角ꎬ再用平面几何知识作答.４利用空间向量求线面角例５㊀(２０１０年全国Ⅰ卷理７文９)正方体ＡＢ￣ＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中ꎬＢＢ１与平面ＡＣＤ１所成角的余弦值为(㊀㊀).Ａ.２３㊀㊀Ｂ.３３㊀㊀Ｃ.２３㊀㊀Ｄ.６３解析㊀以Ｄ为坐标系原点ꎬＤＡꎬＤＣꎬＤＤ１所在的直线分别为ｘ轴ꎬｙ轴ꎬｚ轴建立空间直角坐标系ꎬ设ＤＣ＝ＤＡ＝ＤＤ１＝１ꎬ则Ｄ０ꎬ０ꎬ０()ꎬＢ１ꎬ１ꎬ０()ꎬＢ１１ꎬ１ꎬ１().面ＡＣ１Ｄ法向量ＤＢ１ң＝１ꎬ１ꎬ１()ꎬ又ＢＢ１ң＝０ꎬ０ꎬ１()ꎬ所以ｃｏｓ<ＤＢ１ңꎬＢＢ１ң>＝ＤＢ１ң ＢＢ１ңＤＢ１ң ＢＢ１ң＝１３ˑ１＝３３.所以ＢＢ１与平面ＡＣＤ１所成角的余弦值为１－(３３)２＝６３.评析㊀直线与平面所成的角一般求解步骤是:作垂线 找射影 确定线面角 解直角三角形求角.例５中的几何体是正方体ꎬ非常便于建立空间直角坐标系ꎬ所以通过建系求出平面的法向量和直线的方向向量ꎬ充分利用方向向量和法向量的性质可以巧妙求解线面角.５利用空间向量求二面角例６㊀(２０１４年湖南理１９(２))四棱柱ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１所在棱长都相等ꎬＡＣɘＢＤ＝ＯꎬＡ１Ｃ１ɘＢ１Ｄ１＝Ｏ１ꎬ四边形ＡＣＣ１Ａ１和四边形ＢＤＤ１Ｂ１均为矩形.若øＣＢＡ＝６０ʎꎬ求二面角Ｃ１－ＯＢ１－Ｄ的余弦值.解析㊀因为四棱柱ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１的所有棱长都相等ꎬ所以四边形ＡＢＣＤ是菱形ꎬ因此ＡＣʅＢＤ.又ＯＯ１ʅ底面ＡＢＣＤꎬ从而ＯＢꎬＯＣꎬＯＯ１两两垂直.以Ｏ为坐标系原点ꎬＯＢꎬＯＣꎬＯＯ１所在直线分别为ｘ轴ꎬｙ轴ꎬｚ轴ꎬ建立空间直角坐标系Ｏ－ｘｙｚ.设ＡＢ＝２.因为øＣＢＡ＝６０ʎꎬ所以ＯＢ＝３ꎬＯＣ＝１.于是相应各点的坐标为:Ｏ０ꎬ０ꎬ０()ꎬＢ１３ꎬ０ꎬ２()ꎬＣ１０ꎬ１ꎬ２().易知ꎬｎ１＝０ꎬ１ꎬ０()是平面ＢＤＤ１Ｂ１的一个法向量.设ｎ２＝ｘꎬｙꎬｚ()是平面ＯＢ１Ｃ１的一个法向量ꎬ３则ｎ２ ＯＢ１ң＝０ꎬｎ２ ＯＣ１ң＝０.{即３ｘ＋２ｚ＝０ꎬｙ＋２ｚ＝０.{取ｚ＝－３ꎬ则ｘ＝２ꎬｙ＝２３.所以ｎ２＝２ꎬ２３ꎬ－３().设二面角Ｃ１－ＯＢ１－Ｄ的大小为θꎬ易知θ是锐角ꎬ于是ｃｏｓθ＝ｃｏｓ<ｎ１ꎬｎ２>＝ｎ１ ｎ２ｎ１ ｎ２＝２３１９＝２５７１９.评析㊀二面角大小是用其平面角刻画的ꎬ如果是在非特殊几何体中ꎬ用定义法求二面角的平面角一般比较困难.这时ꎬ通过两个平面的法向量ꎬ将二面角的平面角转化为两个向量的夹角或其补角ꎬ从而利用向量法解决问题ꎬ充分体现了向量的工具作用.６利用空间向量求空间距离例７㊀(２０１１年四川理１９)在直三棱柱ＡＢＣ－Ａ１Ｂ１Ｃ１中ꎬøＢＡＣ＝９０ʎꎬＡＢ＝ＡＣ＝ＡＡ１＝１.Ｄ是棱ＣＣ１上的一点ꎬＰ是ＡＤ的延长线与Ａ１Ｃ１的延长线的交点ꎬ且ＰＢ１ʊ平面ＢＤＡ１.(１)求证:ＣＤ＝Ｃ１Ｄꎻ(２)求二面角Ａ－Ａ１Ｄ－Ｂ的平面角的余弦值ꎻ(３)求点Ｃ到平面Ｂ１ＤＰ的距离.解析㊀以Ａ１为原点ꎬＡ１Ｂ１ꎬＡ１Ｃ１ꎬＡ１Ａ所在直线分别为ｘ轴ꎬｙ轴ꎬｚ轴建立空间直角坐标系Ａ１－ｘｙｚꎬ则Ａ１０ꎬ０ꎬ０()ꎬＢ１１ꎬ０ꎬ０()ꎬＣ１０ꎬ１ꎬ０()ꎬＢ１ꎬ０ꎬ１().(１)设Ｃ１Ｄ＝ｘꎬ因为ＡＣʊＰＣ１ꎬ所以Ｃ１ＰＡＣ＝Ｃ１ＤＣＤ＝ｘ１－ｘ.由此可得Ｄ０ꎬ１ꎬｘ()ꎬＰ０ꎬ１＋ｘ１－ｘꎬ０æèçöø÷ꎬＡ１Ｂң＝１ꎬ０ꎬ１()ꎬＡ１Ｄң＝０ꎬ１ꎬｘ()ꎬＢ１Ｐң＝－１ꎬ１＋ｘ１－ｘꎬ０æèçöø÷.设平面ＢＡ１Ｄ法向量ｎ１＝ａꎬｂꎬｃ()ꎬ则ｎ１ Ａ１Ｂң＝ａ＋ｃ＝０ｎ１ Ａ１Ｄң＝ｂ＋ｃｘ＝０.{令ｃ＝－１ꎬ则ｎ１＝１ꎬｘꎬ－１().由ＰＢ１ʊ平面ＢＡ１Ｄꎬ得ｎ１ Ｂ１Ｐң＝１ˑ－１()＋ｘ １＋ｘ１－ｘæèçöø÷＋－１()ˑ０＝０.于是ｘ＝１２ꎬ故ＣＤ＝Ｃ１Ｄ.(２)由(１)知ꎬ平面ＢＡ１Ｄ的一个法向量ｎ１＝１ꎬ１２ꎬ－１æèçöø÷.又ｎ２＝１ꎬ０ꎬ０()为平面ＡＡ１Ｄ的一个法向量ꎬ且ｃｏｓ<ｎ１ꎬｎ２>＝ｎ１ ｎ２ｎ１ ｎ２＝１１ˑ３２＝２３.所以二面角Ａ－Ａ１Ｄ－Ｂ的平面角的余弦值为２３.(３)ＰＢ１ң＝１ꎬ－２ꎬ０()ꎬＰＤң＝０ꎬ－１ꎬ１２æèçöø÷ꎬ设平面Ｂ１ＤＰ的一个法向量ｎ３＝ａ１ꎬｂ１ꎬｃ１()ꎬ则ｎ３ ＰＢ１ң＝ａ１－２ｂ１＝０ꎬｎ３ ＰＤң＝－ｂ１＋ｃ１２＝０.{令ｃ＝１ꎬ可得ｎ３＝１ꎬ１２ꎬ１æèçöø÷.又ＤＣң＝０ꎬ０ꎬ１２æèçöø÷ꎬ所以点Ｃ到平面Ｂ１ＤＰ的距离ｄ＝ＤＣң ｎ３ｎ３＝１３.评析㊀从本例可以看出ꎬ向量法可以用于求解线段的长度㊁证明两条线段相等㊁求点到平面的距离等问题.向量的大小反映了线段的长度ꎬ向量的方向体现了角度问题ꎬ两个向量的数量积既包含了线段的长度问题ꎬ又体现了线与线㊁线与面㊁面与面的夹角问题.所以说ꎬ利用向量可以解决平面及空间中的长度㊁角度㊁距离等问题.参考文献:[１]任志鸿.十年高考分类解析与应试策略(数学)[Ｍ].北京:知识出版社ꎬ２０１５.[２]董强.一道不等式证明题的多种解法探究[Ｊ].数理天地(高中版)ꎬ２０１６(４):１０ꎬ１２.[责任编辑:李㊀璟]４。