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依托向量的数量积性质巧解初等代数问题1. 引言1.1 介绍依托向量的数量积性质向量的数量积是向量运算中的一种重要形式，它不仅在几何学和物理学中有着广泛的应用，同时也能够巧解各类初等代数问题。
在代数中，向量的数量积具有一些独特的性质，这些性质可以帮助我们更加简便地解决复杂的问题。
通过利用向量的数量积性质，我们可以将问题转化成向量之间简单的乘法运算，从而更快地找到问题的解答。
这种方法既简单又直观，适用范围广泛。
向量的数量积性质包括向量的数量积定义、数量积的运算法则、数量积的几何意义等方面。
这些性质为我们解决初等代数问题提供了有力支持，使得我们能够更加高效地解决各种数学难题。
熟练掌握向量的数量积性质是非常重要的，可以为我们在学习和工作中带来很大的便利。
在接下来的内容中，我们将详细介绍向量的数量积性质及其在初等代数问题中的应用，希望能够为大家提供帮助和启发。
1.2 初等代数问题背景初等代数是数学中的一个重要分支，主要研究未知数与已知数之间的关系，通过代数运算来解决问题。
在初等代数中，常常会涉及到方程组、几何问题和概率问题等各类数学题目。
这些问题有时候会比较复杂，需要我们通过一些巧妙的方法来解决。
在学习初等代数时，我们经常会遇到一些需要利用向量的数量积性质来解答的问题。
向量的数量积是两个向量之间的一种运算，它能够描述向量之间的夹角和方向关系。
而利用数量积性质解初等代数问题的方法，正是通过对向量的数量积进行运算，来简化问题求解过程。
通过有效地利用向量的数量积性质，我们可以更快速地解决初等代数中的各类问题，如方程组、几何问题和概率问题等。
这种方法不仅能够提高问题解决的效率，还能够培养我们的逻辑思维能力和数学解决问题的能力。
对于学习初等代数的同学来说，掌握依托向量的数量积性质来解决问题将会是一个很好的技巧。
2. 正文2.1 向量的数量积定义及性质向量的数量积，也称为点乘或内积，是向量代数中一种重要的运算。
对于两个向量a=(a1,a2,a3)和b=(b1,b2,b3)，它们的数量积定义为a·b=a1b1+a2b2+a3b3。
巧用梅涅劳斯定理求解向量的线性相关系数某某某某市第三高级中学 金小欣 467000一、梅涅劳斯〔Menelaus 〕定理简介：如果一直线顺次与三角形ABC 的三边AB 、BC 、CA 或其延长线交于M 、N 、K 三点，那么：1=⋅⋅KACKNC BN MB AM 。
证明：过顶点B 作AC 的平行线与截线交于E ，那么有：BE AK MB AM = ，CKBENC BN =，∴1=⋅⋅=⋅⋅KACKCK BE BE AK KA CK NC BN MB AM对该定理的几点说明：①证明的方法：过其中一个顶点作其对边的平行线与截线相交，利用“平行线截线段成比例定理〞或相似Δ性质，将其中的两个比例式等价转化。
②定理的实质：三个比例式的乘积等于1，每一个比例式的三个字母是共线的两个顶点和一个分点；其结构特征为：顶点分点分点顶点→→ ，呈现“首尾相接〞；整体看，从某一个顶点出发，最后又回到该顶点。
③该定理常与“塞瓦定理〞结合使用。
二、梅涅劳斯定理的一个应用例子题目：在△OAB 的边OA 、OB 上分别取点M 、N ，使|→--OM |∶|→--OA |=1∶3，|→--ON |∶|→--OB |=1∶4，设线段AN 与BM 交于点P ，记→--OA = a →，→--OB =b →，用 a →，b →表示向量OP --→.先给出高中常规解法〔待定系数法〕如下： 解法一：∵ B 、P 、M 共线∴ 记→--BP =s →--PM∴1111113(1)13(1)s s s OP OB OM OB OA b a s s s s s s --→--→--→--→--→→→=+=+=+++++++--------① 同理，记AP t PN --→--→= ，得： →--OP =114(1)t a b t t →→+++--------② ∵a →,b →不共线∴ 由①、②得113(1)114(1)s t s ts t ⎧=⎪++⎪⎨⎪=⎪++⎩解之得：9283s t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴321111OP a b --→→→=+上述解法的基本思想是：先设法求出点P 分AN 、BM 的比，理论依据：一个是教材例题的结论〔可作为定理直接使用〕，一个就是平面向量基本定理。
浅析求解向量题目常用的妙招作者：王子睿来源：《神州·下旬刊》2017年第01期摘要：向量题目是试卷中必定出现的题目，直接解答向量题目，往往找不到入手点，可以从几何与代数两个角度，将其进行转化，就可以轻松解答。
从代数角度来讲，可以将向量问题实数化，从而运用数的性质加以处理；从几何角度来讲，向量问题可以运用数形结合思想加以处理。
文中，介绍了求解向量题目常用的妙招，以求能够更好地解决向量问题。
关键词：向量题目；高中数学；妙招向量，就是指既有大小又有方向的量，它的本质解释了向量具有“数”和“形”的双重身份。
向量题目的难度并不是很大，而是转化起来存在困难，导致出现问题。
在解决向量题目是，可以根据具体问题，从代数与几何两个角度着手转化，切在实践中反思，形成解决向量题目的妙招。
1.灵活“建系”，巧妙解答向量题目遇到平面图形的向量问题时，可以根据需求，灵活建立平面直角坐标系，然后在通过向量坐标运算巧妙地解决问题。
这正是体现向量“代数化”手段的重要性，更是解决向量问题的妙招。
例1 在等腰直角三角形ABC中，AC=BC=1，点M，N分别是AB，BC的中点。
若点P是ΔABC内部任意一点，那么AN·MP的取值范围是。
【分析】该题目解决之前，首先要根据题意构建一个平面坐标系xcy，且将等腰直角三角形ABC置放于平面坐标系xcy中（如图1-1）。
根据图1-1可以发现，点A（1，0）， N （0，1/2），M（1/2，1/2）。
设点P的坐标为（x，y），则可以得出么AN=（-1，1/2）；MP=（x-1，y-1/2）。
解（略）【评注】该题目是一道综合性的题目，通过抽象思维很难找到出路，而通过建立一个平面直角坐标系，就能够找到解题思路，同时还能够找到切入点。
“平移”是运用线性规划解题过程中常常用到的技巧，在此题目中，就是运用“平移”技巧，建立不等式，最终解决问题。
2.构造“基底”，巧妙解答向量题目平面向量问题往往较为抽象，看到题目只觉地眼花缭乱，根本不能够抓住题目的切入点，更不能正确、省时地解决问题。
数学大世界2011/1shu xue da shi jie数学大世界（上接59页）（2）已知点B 与点D 在经过原点的抛物线上，点P 在第一象限内的该抛物线上移动，过点P 作PQ ⊥x 轴于点Q ，连结OP 。
①若以O 、P 、Q 为顶点的三角形与△DAO 相似，试求出点P 的坐标；②试问在抛物线的对称轴上是否存在一点T ，使得|TO-TB|的值最大。
解析：本题只对最后一问进行讨论，前面已经求得抛物线的解析式为：，点D 的坐标为（-，2）、点B 的坐标为（3，2），点D 、B 关于抛物线的对称轴x=对称，要使得|TO-TB|的值最大，即是使得|TO-TD|的值最大，根据三角形两边之差小于第三边可知，当D 、O 、T 三点在同一直线上时，|TO-TD|的值最大。
评注：本题借助抛物线的轴对称性，把位于对称轴两侧的点，变换到了同一侧，使得问题转化为三角形的边之间的关系，使得解题思路清晰明了。
通过以上探讨可以发现，在解决二次函数有关的问题中，应引导学生尝试从不同的角度解决问题，拓展学生思维的广度。
同时，数形结合是一种重要的思想方法，要尽可能画出函数图像，并且牢牢记住二次函数的图像是轴对称图形这一隐含条件，可以使得解题过程简便，提高效率。
56☆课例拾粹☆见人教版高中数学第二册上第56页：在平面直角坐标系中，已知点P （x 。
，y 。
），直线L ：Ax+By+C=0，求点P 到直线L 的距离？教材上首先分析了一个方法，后又说这个方法思路自然，但运算较繁，从而放弃。
又介绍另一种方法，实际另一种方法，不仅思路不自然，同样运算也不简单。
下面本人根据学生的认知情况介绍一种向量求法，与同行共勉。
设Q （x ，y ）为直线L 上任意一点，则有Ax+By=－C ，又知直线L 的法向量n=（A ，B ），设。
所以点P 到直线L 的距离d 就等于向量在法向量上的射影的长，即此方法是利用已学过平面向量知识，起点低、思路清晰、推理简单、容易掌握，并对后面学习立体几何用向量法求点到面的距离奠定了扎实基础，起点承前启后作用，同时也强化了师生对向量在新课程中重要性、实用性的认识。
借助向量法,巧解平行题
李贞庆
【期刊名称】《中学数学:高中版》
【年(卷),期】2022()4
【摘要】利用空间向量来判定空间问题中的线、面平行关系,是判定或证明此类问题的一类比较常见的技巧方法,结合常见的线面平行、面面平行以及创新应用等问题类型加以实例剖析,总结方法规律与破解技巧.
【总页数】2页(P80-81)
【作者】李贞庆
【作者单位】安徽省怀宁中学
【正文语种】中文
【中图分类】G63
【相关文献】
1.一题多法,巧解平面向量问题
2.借助图像法，巧解中职物理题
3.几何法巧解向量题
4.用比较法巧解平行条件应用题
5.巧作基准平行线简解一类向量题
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利用向量巧解中学数学题摘要：向量是沟通代数、三角、几何等内容的桥梁之一，利用向量解决一些数学问题，将大大简化解题的步骤，使学生多掌握一种行之有效的数学工具。
本文首先回顾了向量的一些基本性质，接着分别从空间几何，平面解析几何、不等式、最值问题，以及其他一些数学问题总结归纳向量在解决一系列数学问题中的应用，并举例说明使用向量更加快捷直观地解决一些较复杂的数学问题.关键字：向量；向量法应用；数学题；解题方法Abstract: This paper looks back some basic properties of vector at first, and then summarizing and inducing vector’s application in a series of mathematics problems in every aspect(Space geometry, Flat surface analytic geometry, Maximum and Minimum, Inequality and something other mathematics problems), and illustrating them with examples,it will be faster to work out some different mathematics problems by using vector.Keywords: Vector；Vector’s application；Mathematical problem ；Soluting method目录1.前言随着新课改逐步深入，向量及其运算成为高中数学新增内容，它融数、形于一体，具有代数形式和几何形式的双重身份，是中学数学知识的一个重要交汇点，常与函数、复数、导数、平面几何、立体几何和平面解析几何等方面内容交叉渗透，使数学问题情境新颖别致，自然流畅，令人赏心悦目。
能够灵活和综合应用向量法思维解决数学中的问题，对于我们拓展解题思路、提高解决效率、掌握解题技巧等方面起到了很好的直观帮助。
2.向量基本性质回顾1.向量的概念既有方向又有大小的量叫做向量（物理学中叫做矢量），只有大小没有方向的量叫做数量（物理学中叫做标量）。
2.向量的几何表示具有方向的线段叫做有向线段，以A为起点，B为终点的有向线段记作AB。
（AB是印刷体，书写体是上面加个→）有向线段AB的长度叫做向量的模，记作|AB|。
有向线段包含3个因素：起点、方向和长度。
长度等于0的向量叫做零向量，记作0。
零向量的方向是任意的；且零向量与任何向量都垂直。
长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量。
3.相等向量与共线向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
两个方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，向量a、b平行，记作a//b，零向量与任意向量平行，即0//a。
任意一组平行向量都可移到同一直线上，因此平行向量也叫共线向量。
4.向量的运算4.1加法运算AB＋BC＝AC，这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。
（首尾相连，指向终点）已知两个从同一点O出发的两个向量OA、OB，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，则以O为起点的对角线OC就是向量OA、OB的和，这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则。
对于零向量和任意向量a，有：0＋a＝a＋0＝a。
|a＋b|≤|a|＋|b|。
向量的加法满足所有的加法运算定律。
4.2减法运算与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，－(－a)＝a，零向量的相反向量仍然是零向量。
（1）a＋(－a)＝(－a)＋a＝0（2）a－b＝a＋(－b)4.3数乘运算实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，|λa|＝|λ||a|，当λ> 0时，λa的方向和a的方向相同，当λ< 0时，λa的方向和a的方向相反，当λ= 0时，λa= 0。
设λ、μ是实数，那么：（1）(λμ)a= λ(μa)（2）(λ + μ)a= λa+ μa（3）λ(a±b) = λa± λb（4）(－λ)a =－(λa) = λ(－a)。
向量的加法运算、减法运算、数乘运算统称线性运算。
5.向量的数量积已知两个非零向量a、b，那么|a||b|cos θ叫做a与b的数量积或内积，a，θ是a与b的夹角，|a|cos θ（|b|cos θ）叫做向量a在b方向上记作b·（b在a方向上）的投影。
零向量与任意向量的数量积为0。
a等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影a的几何意义：数量积b·b·|b|cos θ的乘积。
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。
向量的数量积的性质(1) a ·a =|a |2≥0 (2) b ·a =a ·b (3)()b ·a k =()b ·a k =()b k a(4)()c b ·+a = b ·a +b ·a (5) b ·a =0⇔a ⊥b 6.平面向量的基本定理如果1e 和2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ、μ，使a = λ1e ＋μ2e 。
7.空间向量的基本性质 7.1共线向量定理对空间任意两个向量a 、b （b ≠0），a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使a =λb7.2共面向量定理如果两个向量a ，b 不共线，则向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在实数对x ，y ，使p =x a +y b 7.3向量的数量积b ·a =cos<a ,b >7.4数量积的性质a ⊥b ⇔b ·a =0 |a |2=a a ·3.向量巧解空间几何中的问题3.1向量巧解角的问题3.1.1求异面直线a 与b 所成角θ求异面直线的夹角的传统解法是把空间角转化为平面角并用余弦定理来解，向量法在教材中的引入，使得在以往传统几何法的基础上又多了以向量为工具的向量解法。
应掌握如下公式：向量AB 和CD 所成的角记为<AB ,CD >，若AB =（x 1,y 1,z 1）,CD =(x 2,y 2,z 2),则cos<AB ，CD >=CDAB CD AB ··=222222212121212121····z y x z y x z z y y x x ++++++=a ，所以直线AB 和CD 所成的角为arccos a .特别的，AB ⊥CD ⇔AB ·CD =0⇔212121···z z y y x x ++=0。
例1：如图1,三棱柱 AOB-A 101B 1中，平面 OBB 1O 1⊥平面 AOB,∠01OB ＝60°，∠AOB=90°且 OB=OO 1=2，OA=3,求：(1)异面直线 A 1B 与AO 1所成角的大小；(2)略。
分析 1：由条件可得 OA ⊥0B ，OA ⊥010，再结合题干可知共点于 0的三条线段 OA 、0B 、001的长度已知,且两两夹角已知，故可选择以｛OA ,OB ,1OO }为基底来解决异面直线AB 与A0所成角的大小，关键是把所求异面直线上的两个方向向量B A 1、1AO 都表示成基向量 的形式。
图3.1.1解:∵平面OBB 1O 1⊥平面A0B ，0A ⊂平面A0B ，平面OBB 1O 1∩平面 A0B ＝OB ，且 OA ⊥0B ，∴OA ⊥平面OBB 1O 1∴OA ⊥001，即∠AOB ＝90°，∠AOO 1＝90°，因此,选择一组基向量｛OA ,OB ,1OO }，则1AO =1OO -OA ，B A 1=OB -OA -1OO ，∴|1AO |=OA OO OA OO ⋅-+12212=︒⨯⨯-+90cos 32234=7， 同理|B A 1|=112122·2·2·2OO OA OA OB OB OO OO OA OB +--++=7,又190cos 23390cos 23490cos 3260c 22 (1)2211111=︒⨯++︒⨯--︒⨯-︒⨯=++---=os OO OA OA OB OA OO OA OO OB OO B A AO设异面直线A 1B 与AO 1所成角为θ，则71··,cos cos 111111==〉〈=BA AOB A AO B A AO θ， 所以θ=arccos 71.3.1.2求线面所成角θ用向量求线面所成角的公式如下：如图2，若n 为平面α的一条法向量，直线AB 与平面α所成角为θ，则sin θ=nAB n AB ··.图3.1.2.1例2：如图3，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 是C 1C 的中点，（1）求BE 与平面B 1BD 所成角的余弦值；（2）求二面角B-B 1E-D 的余弦值。
图3.1.2.2解：如图，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系D-xyz ，则设正方体的棱长为2，则（1）因为B （2,2,0），B 1(2,2,2),E （0,2,1）,所以BD =（-2，-2，0），1BB =(0,0,2),BE =（-2，0，1），设平面B 1BD 的一个法向量是n =（x,y,z ）,则由n ⊥BD ,n ⊥1BB 得⎩⎨⎧==--02022z y x ，所以⎩⎨⎧=-=0z y x ，令y=1，则有n =（-1，1，0），所以cos<n ,BE >=BEBE ·n ·n =510， 所以sin<n ,BE >=515， 即BE 与平面B 1BD 所成角的余弦值为515. （2）略.3.1.3求二面角的大小用向量法求二面角的大小，一般先找出两平面的法向量，则两个法向量所成的角或它的补角即为二面角的平面角。
公式如下：如图，若平面α、β的法向量分别为n 、m ,则cos<n ，m >=mn m ··n =a ，结合图形判断，若二面角θ为锐角，则θ=arccos a ；若θ为钝角，则θ=π- arccos a .图4例3：上题第（2）问解：令m 、l 分别为平面B 1DE 与平面B 1BE 的法向量，则易知m =（1，1，-2），l =（-1，0，0），所以cos<m ，l >=66··-=lm l m ， 所以二面角B-B 1E-D 的余弦值66.3.2向量巧解距离问题3.2.1求点到平面的距离所谓法向量就是和平面垂直的向量，通过它和平面上任意两不共线向量的乘积为0，可确定法向量．设 P 为平面a 外一点，则点P 到面a 的斜线段向量在平面法向量方向的射影，即为点P 到平面a 的距离．而线到面的距离可通过线上取一点，转化为点面距求之．其公式为0·n PA PO =,其中nn n =0为单位法向量，PO ⊥面α于点O ，A ∈α，PA 为面α的斜线段向量．注意：只有单位法向量才不会改变摄影的长度。
