2021届广东省湛江市2018级高三上学期11月调研考试数学试卷及答案

2021年广东省湛江市高考数学测试试卷（二）（肇庆三模）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1. 已知复数z =1−5i 1−i，则复数z 的虚部为( )A. 2B. −2C. 2iD. −2i2. 已知a >b ，则( )A. lna >lnbB. a 2>b 2C. 2a >2bD. a −1>b −13. (1+3x)2+(1+2x)3+(1+x)4=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4，则a 0+a 1+a 2+a 3+a 4=( )A. 49B. 56C. 59D. 644. 中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高.详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.一个上底面边长为1，下底面边长为2高为2√3的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为( )A. 16B. 16√3C. 18√3D. 215. 函数f(x)=2x −2−x x 2+1的部分图象大致为( )A.B.C.D.6. 在∠A =90°的等腰直角△ABC 中，E 为AB 的中点，F 为BC 的中点，BC⃗⃗⃗⃗⃗ =λAF ⃗⃗⃗⃗⃗ +μCE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ=( )A. −23B. −32C. −43D. −17. 已知F 是椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点，过椭圆C 的下顶点且斜率为34的直线与以点F 为圆心、半焦距为半径的圆相切，则椭圆C 的离心率为( )A. √55B. 12C. √33D. √228. 已知函数f(x)=x 2e 1−x −a 有三个零点，则实数a 的取值范围是( )A. (0,2e )B. (0,4e )C. (0,2e 2)D. (0,4e 2)二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 某学校组织学生参加劳动实践，学生需要手工制作一种模具，劳动实践结束后，学校任选了一个班级，统计了该班每人制作的合格品个数，其结果用茎叶图记录如图：由以上统计结果，下列判断正确的是( )A. 男生制作合格品个数的方差更大B. 女生制作合格品个数的分布更接近正态分布C. 男生制作合格品个数的分布更接近正态分布D. 该班女生制作合格模具的平均能力要低于男生10. 已知集合A ={x ∈R|x 2−3x −18<0}，B ={x ∈R|x 2+ax +a 2−27<0}，则下列命题中正确的是( )A. 若A =B ，则a =−3B. 若A ⊆B ，则a =−3C. 若B =⌀，则a ≤−6或a ≥6D. 若B ⫋A 时，则−6<a ≤−3或a ≥611. 已知函数f(x)=cos2x1+sinx ，则( )A. f(x +π)=f(−x)B. f(x)的最大值为4−2√2C. f(x)是奇函数D. f(x)的最小值为−1212. 已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1=1，1an+1⋅a n=2n ，则( )A. 数列{a n}是等比数列B. a n+1≤a n恒成立C. S n<3恒成立D. S n≤2恒成立三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知F1，F2分别是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，点P是双曲线C上一点，且∠F1PF2=π2，△F1PF2的面积为a2，则双曲线C的渐近线方程为______．14.写出一个以(1,0)为对称中心的偶函数______ ，该函数的最小正周期是______ ．15.现有5个参加演讲比赛的名额，要分配给甲、乙、丙三个班级，要求每班至少要分配一个名额，则甲班恰好分配到两个名额的概率为______．16.在三棱锥D−ABC中，△ABC是以∠A为直角的等腰直角三角形，△DBC是边长为2的等边三角形，二面角A−BC−D的余弦值为−√63，则三棱锥D−ABC的外接球的表面积为______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.如图，在平面四边形ABCD中，∠DAB=5π6，∠ADC=π4，AB=2AC=2√2，CD=1．(1)求cos∠ACD的值；(2)求BC的值．18.已知数列{a n}中，a1=1，a2=2，a n+2=4a n+1−4a n，n∈N∗．(1)证明数列{a n}为等比数列，并求数列{a n}的通项公式；(2)若b n=na n，求数列{b n}的前n项和T n．19.如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1=AB=3，BC=2，E，P分别是B1C1和CC1的中点，点F在棱A1B1上，且B1F=2．(1)证明：A1P//平面EFC；(2)若AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，求二面角P−CF−E的余弦值．20.某高三学生小明准备利用暑假的7月和8月勤工俭学，现有“送外卖员”和“销售员”两份工作可供其选择．已知“销售员”工作每日底薪为50元，每日销售的前5件每件奖励20元，超过5件的部分每件奖励30元．小明通过调查，统计了100名销售员1天的销售记录，其柱状图如图1；“送外卖员”没有底薪，收入与送的单数相关，在一日内：1至20单(含20单)每送一单3元，超过20单且不超过40单的部分每送一单4元，超过40单的部分，每送一单4.5元，小明通过随机调查，统计了100名送外卖员的送单数，并绘制成如下直方图(如图2)．(1)分别求出“销售员”的日薪y1(单位：元)与销售件数x1的函数关系式、“送外卖员”的日薪y2(单位：元)与所送单数x2的函数关系式；(2)若将频率视为概率，根据统计图，试分别估计“销售员”的日薪X 1和“送外卖员”的日薪X 2(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)的数学期望，分析选择哪种工作比较合适，并说明你的理由．21. 设抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点为F ，过点P(0,4)的动直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，当F 在l 上时，直线l 的斜率为−2． (1)求抛物线的方程；(2)在线段AB 上取点D ，满足PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λDB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，证明：点D 总在定直线上．22. 已知函数f(x)=e x +acosx −√2x −2，f′(x)为f(x)的导函数．(1)讨论f′(x)在区间(0,π2)内极值点的个数；(2)若x ∈[−π2,0]时，f(x)≥0恒成立，求实数a 的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：复数z=1−5i1−i =(1−5i)(1+i)(1−i)(1+i)=3−2i，故复数z的虚部为−2．故选：B．先利用复数的除法运算求出复数z，然后由虚部的定义求解即可．本题考查了复数的除法运算以及复数的定义的应用，考查了化简运算能力，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：对于A：当a=−2，b=−3时，对数没有意义，故A错误；对于B：当a=−2，b=−3时，不等式不成立，故B错误；对于C：根据函数y=2x的性质，2a>2b成立，故C正确；对于D：当a=0，b=−1时，对于a−1没有意义，故D错误；故选：C．直接利用赋值法和不等式的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：不等式的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：∵(1+3x)2+(1+2x)3+(1+x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，令x=1可得：a0+a1+a2+a3+a4=42+33+24=59．故选：C．直接根据等式的特点，令x=1即可求解结论．本题考查了二项式定理的应用问题，是基础题．4.【答案】D【解析】解：由祖暅原理可知，该不规则几何体的体积与正六棱台的体积相等， ∵正六棱台的上下底面边长分别为1和2， 则S 1=6×12×1×1×√32=3√32，S 2=6×12×2×2×√32=6√3，故V =13(S 1+√S 1S 2+S 2)ℎ=13×(3√32+6√32+6√3)×2√3=21．故选：D ．由已知求出正六棱台的上下底面面积，再由棱台体积公式求解． 本题考查棱台体积的求法，考查祖暅原理的应用，是基础的计算题．5.【答案】D【解析】解：根据题意，f(x)=2x −2−x x 2+1，其定义域为R ，有f(−x)=−2x −2−x x 2+1=−f(x)，函数f(x)为奇函数，排除A ，又由f(2)=34>12，排除BC ， 故选：D ．根据题意，先分析函数的奇偶性，排除A ，又由f(2)的函数值，排除BC ，即可得答案． 本题考查函数的图象分析，涉及函数奇偶性、函数值符号的分析，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：以A 为原点，建立平面直角坐标系，设B(2,0)，C(0,2)，则F(1,1)，E(1,0)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2)， 因为BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAF ⃗⃗⃗⃗⃗ +μCE⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以(−2,2)=(λ,λ)+(μ,−2μ)=(λ+μ,λ−2μ)， 所以{λ+μ=−2λ−2μ=2，解得λ=−23． 故选：A ．以A 为原点，建立平面直角坐标系，设B(2,0)，C(0,2)，然后结合向量的坐标表示及平面向量基本定理可求．本题主要考查了向量的线性表示及平面向量基本定理，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：由点到直线y+b=34x的距离公式可得c=|34c−b|√(34)2+1，又a2=b2+c2，解得e=ca =√55．故选：A．利用点到直线的距离以及椭圆几何量之间的关系，求解离心率即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，离心率的求法，是基础题．8.【答案】B【解析】解：由f(x)=x2e1−x−a=0有三个零点得a=x2e1−x有三个零点，设g(x)=x2e1−x，则g′(x)=e1−x x(2−x)，当x<0时，g′(x)<0，函数单调递减，当0<x<2时，g′(x)>0，函数单调递增，当x>2时，g′(x)<0，函数单调递减，因为g(0)=0，g(2)=4e，所以0<a<4e．故选：B．由已知得a=x2e1−x有三个零点，构造函数g(x)=x2e1−x，对g(x)求导，结合导数分析函数的性质，即可求解．本题主要考查了函数零点存在条件的应用，分离参数后，转化为求解相应函数的图象交点问题是求解的关键．9.【答案】ACD【解析】解：对于A，由茎叶图中数据知，男生组的数据较为分散，波动性大，所以方差大，女生组的数据比较集中，波动性小，方差小，所以选项A正确；对于B，女生组的数据比较集中，但对称性不高，不接近于正态分布，所以选项B错误；对于C，男生组的数据较为分散，但对称性好，更接近于正态分布，所以选项C正确；对于D，男生组的数据分布在20左右，女生组的数据集中在10～20，所以女生组数据的平均值小于男生组，选项D正确．故选：ACD．根据茎叶图中男生组的数据和女生组的数据分布情况，对选项中的命题判断正误即可．本题考查了利用茎叶图中的数据对样本的数字特征分析、判断问题，是基础题．10.【答案】ABC【解析】解：由已知可得A={x|−3<x<6}，若A=B，则a=−3，且a2−27=−18，解得a=−3，故A正确，当a=−3时，A=B，故D错误，若A⊆B，则(−3)2+a⋅(−3)+a2−27≤0且62+6a+a2−27≤0，解得a=−3，故B正确，当B=⌀时，a2−4(a2−27)≤0，解得a≤−6或a≥6，故C正确，故选：ABC．由已知求出集合A，再对应各个选项逐个求出满足选项的集合B的a的范围即可．本题考查了集合间的包含关系的应用，考查了一元二次不等式的解集的问题，属于基础题．11.【答案】AB【解析】解：函数f(x)=cos2x1+sinx，则f(x+π)=cos(2x+2π)1+sin(x+π)=f(−x)=cos2x1−sinx，故A正确；对于B：f(x)=cos2x1+sinx =1−2sin2x1+sinx=4−(2+2sinx+11+sinx)≤4−2√2，当且仅当sinx=√22−1时，等号成立，故B正确；对于C：函数f(−x)≠−f(x)，故C错误；对于D：f(−π3)=cos(−2π3)1+sin(−π3)=−121−√32=−2−√3<−12，故D错误．故选：AB．直接利用三角函数关系式的变换，函数的性质的应用，不等式的性质的应用判断A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，函数的性质的应用，不等式的性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．12.【答案】BC【解析】解：S n 是数列{a n }的前n 项和，1a n+1⋅a n=2n ，①所以1an+2⋅a n+1=2n+1，② ①②整理得a n+2a n=12， 由于a 1=1，所以a 2=12，故数列的奇数项和偶数项分别是以12为公比的等比数列； 故A 错误，由于公比都为12，首先为正数，故数列单调递减，故B 正确； 对于C ：根据关系式，整理得a n ={(12)n−12(n 为奇数)(12)n 2(n 为偶数)，所以S n ={3−(12)n−22(n 为奇数)3−3⋅(12)n2(n 为偶数)，故C 正确，D 错误．故选：BC ．直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用通项公式求出数列的和，最后判定A 、B 、C 、D 的结论．本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的前n 项和公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．13.【答案】x ±y =0【解析】解：F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，点P 是双曲线C 上一点，且∠F 1PF 2=π2，△F 1PF 2的面积为a 2，可得：||PF 1|−|PF 2||=2a ，|PF 1|2+|PF 2|2=4c 2，12|PF 1||PF 2|=a 2，解得a =b ，所以双曲线的渐近线方程为：x ±y =0． 故答案为：x ±y =0．利用双曲线的定义，结合勾股定理，三角形的面积求解a，b关系，然后求解双曲线的渐近线方程即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，三角形的面积以及勾股定理的应用，是中档题．14.【答案】f(x)=cosπ2x4【解析】解：选择一个具有对称性和周期性以及奇偶性的函数进行分析，故以(1,0)为对称中心的偶函数可以为f(x)=cosπ2x，该函数的最小正周期为2ππ2=4．故答案为：f(x)=cosπ2x；4．从具有对称性和周期性以及奇偶性的函数进行考虑，即可得到答案．本题考查了函数的对称性、周期性、奇偶性的理解和应用，解题的关键是掌握常见的基本初等函数的性质，考查了逻辑推理能力，属于基础题．15.【答案】13【解析】解：现有5个参加演讲比赛的名额，要分配给甲、乙、丙三个班级，要求每班至少要分配一个名额，基本事件总数n=C31+C32=6，甲班恰好分配到两个名额，则剩下的3个名额要分配给乙、丙两班，有2种分配方法，∴甲班恰好分配到两个名额的概率为P=26=13．故答案为：13．要求每班至少要分配一个名额，基本事件总数n=C31+C32=6，甲班恰好分配到两个名额，则剩下的3个名额要分配给乙、丙两班，有2种分配方法，由此能求出甲班恰好分配到两个名额的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．16.【答案】8π【解析】解：设BC的中点为E，过E作平面ABC 的法线EO，过△BCD的重心F作平面DBC的法线OF，EO与FO的交点为O，则O为三棱锥D−ABC的外接球的球心，又EF=13DE=√33.cos∠DEA=−√63，所以cos∠FEO=√33，又cos∠FEO=EFOE =√33，所以OE=1，所以外接球的半径为：R=√BE2+OE2=√2，所以球的表面积为：8π．故答案为：8π．画出图形，判断几何体的外接球的球心的位置，求解外接球的半径，然后求解球的表面积．本题考查几何体的外接球的表面积的求法，判断球心的位置以及求解外接球的半径是解题的关键，是中档题．17.【答案】解：(1)在△ACD中，由正弦定理知，ACsin∠ADC =CDsin∠CAD，∴√2√22=1sin∠CAD，∴sin∠CAD=12，∵∠CAD<∠DAB=5π6，∴∠CAD=π6，∴cos∠ACD=cos[π−(∠CAD+∠ADC)]=−cos(∠CAD+∠ADC)=−cos(π6+π4)=−cosπ6cosπ4+sinπ6sinπ4=√2−√64．(2)由(1)知，∠CAD=π6，∴∠BAC=∠DAB−∠CAD=5π6−π6=2π3，在△ABC中，由余弦定理知，BC2=AB2+AC2−2AB⋅AC⋅cos∠BAC=8+2−2×2√2×√2×cos2π3=14，∴BC=√14．【解析】(1)在△ACD中，由正弦定理可求得∠CAD=π，再结合三角形的内角和定理、6诱导公式与两角和的余弦公式，得解；(2)易知∠BAC=2π，在△ABC中，利用余弦定理，即可得解．3本题考查解三角形在平面几何中的应用，熟练掌握正弦定理、余弦定理与两角和的余弦公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．18.【答案】证明：(1)数列{a n}中，a1=1，a2=2，a n+2=4a n+1−4a n，n∈N∗．整理得a n+2−2a n+1=2(a n+1−2a n)，由于a2−2a1=0，=2(常数)，所以a n+1=2a n，即a n+1a n所以数列{a n}是以1为首项，2为公比的等比数列；所以a n=2n−1．解：(2)由(1)得：b n=na n=n⋅2n−1，则T n=1×20+2×21+⋯+n⋅2n−1①，2T n=1×21+2×22+⋯+n⋅2n②，①−②得：−T n=1+2+⋯+2n−1−n⋅2n，解得T n=(n−1)⋅2n+1．【解析】(1)直接利用数列的递推关系式和等差数列的性质求出数列的通项公式；(2)利用乘公比错位相减法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．19.【答案】(1)证明：连结PB 1，交CE 于点D ，连结DF ，EP ，CB 1，因为E ，P 分别为B 1C 1，CC 1的中点，故E P//12CB 1且EP =12CB 1，故PDDB 1=12，又B 1F =2，A 1B 1=3，故A 1FFB 1=12，所以FD//A 1P ，又FD ⊂平面EFC ，A 1P ⊄平面EFC ， 故A 1P//平面EFC ；(2)解：由题意可知，AB ，BC ，BB 1两两垂直， 以B 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 则C(0,2,0),B 1(0,0,3),F(2,0,3),E(0,1,3),P(0,2,32) 所以EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−1,0),EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,−3)， PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2,32),PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,−32)， 设平面EFC 的法向量为n⃗ =(x,y,z)， 则有{n ⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n⃗ ⋅EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{2x −y =0y −3z =0，令z =1，则y =3，x =32，故n ⃗ =(32,3,1)， 设平面PFC 的法向量为m⃗⃗⃗ =(a,b,c)， 则有{m ⃗⃗⃗ ⋅PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{2a −2b +32c =0−32c =0，令x =1，则y =1，z =0，故m ⃗⃗⃗ =(1,1,0)， 所以|cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=32+3√(32)2+9+1×√1+1=9√214，由图可知，二面角P −CF −E 为锐二面角， 故二面角P −CF −E 的余弦值为9√214．【解析】(1)连结PB 1，交CE 于点D ，连结DF ，EP ，CB 1，利用中位线定理可得到PD DB 1=12，结合A 1F FB 1=12，可证明FD//A 1P ，由线面平行的判定定理证明即可；(2)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面的法向量，由向量的夹角公式求解即可．本题考查了线面平行的判定定理的应用以及二面角的求解，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．20.【答案】解：(1)“销售员”的日薪y 1(单位：元)与销售件数x 1的函数关系式为y 1={20x 1+50,x 1≤530x 1,x 1>5,x ∈N ∗， “送外卖员”的日薪y 2(单位：元)与所送单数x 2的函数关系式为y 2={3x 2,x 2≤204x 2−20,20<x 2≤404.5x 2−40,x 2>40,x 2∈N ； (2)由柱状图可知，日平均销售量满足如下表格：所以X 1的分布列为：所以E(X 1)=110×0.05+130×0.25+180×0.4+210×0.1=162元， 由直方图可知，日送单数满足如下表格：所以X 2的分布列为：E(X 2)=30×0.05+100×0.25+185×0.45+275×0.2+365×0.05=183元， 所以E(X 2)>E(X 1)，做“送外卖员”挣得更多， 故小明选择做“送外卖员”的工作比较合适．【解析】(1)根据题中给出的信息，列出分段函数的解析式即可；(2)分别由柱状图和直方图，求出日平均销售量和日送单数，然后列出相应的分布列，求出对应的数学期望，比较大小即可得到答案．本题考查了柱状图和频率分布直方图的应用，主要考查了数学期望公式的运用，其中读懂统计图并能从统计图得到必要的信息是解决问题的关键，属于中档题．21.【答案】解：(1)由题意可得F(p2,0)，则4−00−p 2=−2，解得p =4，故抛物线的方程为y 2=8x ；证明：(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，D(x,y)， 直线l 的方程为x =m(y −4)，由{y 2=8x x =m(y −4)，消x 可得y 2−8my +32m =0， ∴y 1+y 2=8m ，y 1y 2=32m ，由PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λDB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得y 1−4=λ(y 2−4)， y −y 1=λ(y 2−4)， 故y 1−4y2−4=y−y 1y 2−y=λ，化简可得y =2y 1y 2−4(y 1+y 2)y 1+y 2−8=4mm−1，又x =m(y −4)，故y =4xy−4xy−4−1，化简可得xy −y 2+4y −4x =0， 即(x −y)(y −4)=0， 则y =x 或y =4，当点D 在定直线y =4上时，直线l 与抛物线C 只有一个交点，与题意不符， 故点D 在定直线y =x 上．【解析】(1)根据直线的斜率公式，和抛物线的定义即可求出；(2)根据韦达定理以及由PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λDB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得y 1−4=λ(y 2−4)，y −y 1=λ(y 2−4)，化简整理即可求出．本题考查了抛物线的性质，直线和抛物线的关系，考查了运算求解能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)由f(x)=e x +acosx −√2x −2，得f′(x)=e x −asinx −√2，令g(x)=e x −asinx −√2，则g′(x)=e x −acosx ， ∵x ∈(0,π2)，∴e x >1，0<cosx <1，当a ≤1时，g′(x)>0，g(x)单调递增，即f′(x)在区间(0,π2)内无极值点， 当a >1时，g″(x)=e x +asinx ，x ∈(0,π2)，故g″(x)>0， 故g′(x)在(0,π2)单调递增，又g′(0)=1−a <0，g′(π2)=e π2>0，故存在x 0∈(0,π2)，使得g′(x 0)=0，且x ∈(0,x 0)时，g′(x)<0，g(x)递减，x∈(x0,π2)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，故x=x0为g(x)的极小值点，此时f′(x)在区间(0,π2)内存在1个极小值点，无极大值点；综上：当a≤1时，f′(x)在区间(0,π2)内无极值点，当a>1时，f′(x)在区间(0,π2)内存在1个极小值点，无极大值点．(2)若x∈[−π2,0]时，f(x)≥0恒成立，则f(0)=1+a−2≥0，故a≥1，下面证明a≥1时，f(x)≥0在x∈[−π2,0]恒成立，∵x∈[−π2,0]时，0≤cosx≤1，故a≥1时，f(x)=e x+acosx−√2x−2≥e x+ cosx−√2x−2，令ℎ(x)=e x+cosx−√2x−2，x∈[−π2,0]，故ℎ′(x)=e x−sinx−√2，令φ(x)=e x−sinx−√2，则φ′(x)=e x−cosx，φ″(x)=e x+sinx在区间[−π2,0]单调递增，又φ″(−π3)=e−π3−√32<e−1−√32<0，故φ′(x)在[−π2,−π3]上单调递减，又φ′(−π2)=e−π2>0，φ′(−π3)=e−π3−12<e−1−12<0，故存在x1∈(−π2,−π3)，使得φ′(x1)=0，且x∈(−π2,x1)时，φ′(x)>0，ℎ′(x)递增，x∈(x1,0)时，φ′(x)<0，ℎ′(x)单调递减，故x=x1时，ℎ′(x)取得最大值，且ℎ′(x)max=ℎ′(x1)，∵φ′(x1)=0，∴e x1=cosx1，∴ℎ′(x)max=ℎ′(x1)=cosx1−sinx1−√2=√2cos(x1+π4)−√2≤0，故ℎ(x)单调递减，故x∈[−π2,0]时，ℎ(x)≥ℎ(0)=0即f(x)≥0成立，综上，若x∈[−π2,0]时，f(x)≥0恒成立，则a的取值范围是[1,+∞)．【解析】(1)求出函数的导数，通过讨论a的范围，判定导函数的符号，求出函数的极值点的个数即可；(2)根据f(0)≥0，得到a≥1，通过证明a≥1时，f(x)≥0在x∈[−π2,0]恒成立即可确定a的取值范围．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，分类讨论思想，是难题．。

上学期高二数学11月月考试题01时间120分钟 分数150分第Ⅰ卷一、选择题:(本大题共12小题，每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.已知全集{1,2,3,4,5},{1,2,3},{3,4},()U U A B C A B ===⋃=则（ ） A ．{3} B ．{5} C ．{1，2，4，5} D ．{1，2，3，4}2.“m .n 〉0”是“方程表示焦点在x 轴上的双曲线”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 3.已知命题p ：0x ∃∈R ，021x =．则p ⌝是（ ）A.0x ∀∈R ，021x ≠B.0x ∀∉R ，021x ≠C.0x ∃∈R ，021x ≠D.0x ∃∉R ，021x ≠4.若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线221y x m+=的离心率为（ ）5.已知函数x x x g x x x f cos sin )(,cos sin )(-=+=，下列四个命题：①将)(x f 的图像向右平移2π个单位可得到)(x g 的图像；②)()(x g x f y =是偶函数；③]4,4[)()(ππ-均在区间与x g x f 上单调递增；④)()(x g x f y =的最小正周期为π2.其中真命题的个数是（ ）A.1B.2C.3D.46.若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且8320S S -=，则11S 的值为 ( )A.44B.22C.2203 D.88 7.已知点12,F F 是椭圆2222x y +=的两个焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么12PF PF +的最小值是（ ）A.0B.1C.2D.8.已知直线m 、n 、l 不重合，平面、β不重合，下列命题正确的是( ) A.若ββ⊂⊂n m ,，α//m ，α//n ，则βα// B.若ββ⊂⊂n m ,，n l m l ⊥⊥,，则β⊥l C.若βαβα⊂⊂⊥n m ,,，则n m ⊥； D. 若n m m //,α⊥，则α⊥n9．从221x y m n-=（其中,{1,2,3}m n ∈-）所表示的椭圆或双曲线方程中任取一个，则此方程是焦点在x 轴上的双曲线方程的概率为（ ） A ．12 B ．47C ．23 D ．3410.若不论k 为何值，直线(2)y k x b =-+与曲线221x y -=总有公共点，则b 的取值范围是A.(B.⎡⎣C.(2,2)-D.[]2,2-11．设F 为抛物线)0(22>=p px y 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，当FA →＋FB →＋FC →＝0，且|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝3时，此抛物线的方程为( )A ．x y 22=B ．x y 42=C ．x y 62=D ．x y 82=12.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点为12,F F ，过2F 的直线与圆222b y x =+相切于点A ，并与椭圆C 交与不同的两点P ，Q ，如图，若A 为线段PQ 的靠近P 的三等分点，则椭圆的离心率为A ．3B ．3C ．3D ．3第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填写在答题纸上) 13.过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程是 14.直线3430x y -+=与圆221x y +=相交所截的弦长为_________ 15.若P 为抛物线210yx =上的动点,则点P 到直线50x y ++=的距离的最小值为 .16.已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为23，双曲线x ²-y ²＝1的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分） 已知命题222:8200,:210(0)p x x q x x m m -->-+->>，若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.18．（本小题满分12分）已知函数f(x)＝2sinxcosx ＋cos2x. (Ⅰ)求()4f π的值；(Ⅱ)设3(0,),4πα∈1()25f α=，求cos 2α的值.19.（本小题满分12分）等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式. (Ⅱ)设 nn a nb =，求数列{n b }的前n 项和Sn .20.（本题满分12分）甲打靶射击，有4发子弹，其中有一发是空弹（“空弹”即只有弹体没有弹头的子弹）. （1）如果甲只射击1次，求在这一枪出现空弹的概率； （2）如果甲共射击3次，求在这三枪中出现空弹的概率；（3）如果在靶上画一个边长为10的等边PQR ∆，甲射手用实弹瞄准了三角形PQR 区域随机射击，且弹孔都落在三角形PQR 内。

广东省湛江市2021届新高考第一次质量检测数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”.为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排的概率为（ ） A ．760B ．16C ．1360D ．14【答案】C 【解析】 【分析】分情况讨论，由间接法得到“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开的事件个数，不考虑限制因素，总数有66A 种，进而得到结果. 【详解】当“数”位于第一位时，礼和乐相邻有4种情况，礼和乐顺序有2种，其它剩下的有33A 种情况，由间接法得到满足条件的情况有51235423A C A A -当“数”在第二位时，礼和乐相邻有3种情况，礼和乐顺序有2种，其它剩下的有33A 种，由间接法得到满足条件的情况有51235323A C A A -共有：5123512353235423A C A A A C A A -+-种情况，不考虑限制因素，总数有66A 种，故满足条件的事件的概率为：5123512353235423661360A C A A A C A A A -+-= 故答案为：C. 【点睛】解排列组合问题要遵循两个原则：①按元素(或位置)的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)． 2．三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明.下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实.图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用22()4⨯⨯+=⨯+=勾股股勾朱实黄实弦实-，化简，得222+=勾股弦.设勾股形中勾股比为1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（ ）A ．134B ．866C ．300D ．500【答案】A 【解析】分析：设三角形的直角边分别为13. 解析：设三角形的直角边分别为132，故而大正方形的面积为4，小正方形的面积为)231423=-∴42323--=.∴落在黄色图形内的图钉数大约为2310001342⨯≈.故选：A.点睛：应用几何概型求概率的方法建立相应的几何概型，将试验构成的总区域和所求事件构成的区域转化为几何图形，并加以度量． (1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在数轴上即可；(2)若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系即可建立与体积有关的几何概型．3．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，点()00,P x y 是直线40bx ay a -+=上任意一点，若圆()()22001x x y y -+-=与双曲线C 的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围是（ ）． A ．(]1,2 B ．(]1,4C ．[)2,+∞D ．[)4,+∞ 【答案】B 【解析】 【分析】先求出双曲线的渐近线方程，可得则直线bx ay 2a 0-+=与直线bx ay 0-=的距离d ，根据圆()()2200x x y y 1-+-=与双曲线C 的右支没有公共点，可得d 1≥，解得即可．【详解】由题意，双曲线2222x y C :1(a 0,b 0)a b-=>>的一条渐近线方程为b y x a =，即bx ay 0-=，∵()00P x ,y 是直线bx ay 4a 0-+=上任意一点， 则直线bx ay 4a 0-+=与直线bx ay 0-=的距离224a d ca b ==+， ∵圆()()2200x x y y 1-+-=与双曲线C 的右支没有公共点，则d 1≥， ∴41a c ≥，即4ce a=≤，又1e > 故e 的取值范围为(]1,4， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了直线和双曲线的位置关系，以及两平行线间的距离公式，其中解答中根据圆与双曲线C 的右支没有公共点得出d 1≥是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4．小张家订了一份报纸，送报人可能在早上6:307:30-之间把报送到小张家，小张离开家去工作的时间在早上7.008:00-之间.用A 表示事件：“小张在离开家前能得到报纸”，设送报人到达的时间为x ，小张离开家的时间为y ，(,)x y 看成平面中的点，则用几何概型的公式得到事件A 的概率()P A 等于（ ）A ．58B ．25C ．35D ．78【答案】D 【解析】 【分析】这是几何概型，画出图形，利用面积比即可求解. 【详解】解：事件A 发生，需满足x y ≤，即事件A 应位于五边形BCDEF 内，作图如下：()1111722218P A -⨯⨯== 故选：D 【点睛】考查几何概型，是基础题.5．我们熟悉的卡通形象“哆啦A 梦”的长宽比为2:1.在东方文化中通常称这个比例为“白银比例”，该比例在设计和建筑领域有着广泛的应用.已知某电波塔自下而上依次建有第一展望台和第二展望台，塔顶到塔底的高度与第二展望台到塔底的高度之比，第二展望台到塔底的高度与第一展望台到塔底的高度之比皆等于“白银比例”，若两展望台间高度差为100米，则下列选项中与该塔的实际高度最接近的是（ ） A ．400米 B ．480米 C ．520米 D ．600米【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，画出几何关系，结合各线段比例可先求得第一展望台和第二展望台的距离，进而由比例即可求得该塔的实际高度. 【详解】设第一展望台到塔底的高度为x 米，塔的实际高度为y 米，几何关系如下图所示：由题意可得1002xx +=，解得()10021x =；且满足2100yx =+ 故解得塔高()100220021480y x =+=≈米，即塔高约为480米.故选：B 【点睛】本题考查了对中国文化的理解与简单应用，属于基础题.6．已知(1)n x λ+展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，2012(1)n n n x a a x a x a x λ+=++++L ，若12242n a a a ++⋅⋅⋅=，则012(1)n n a a a a -+-⋅⋅⋅+-的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．8l D ．－81【答案】B 【解析】 【分析】根据二项式系数的性质，可求得n ，再通过赋值求得0a 以及结果即可. 【详解】因为(1)nx λ+展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，故可得5n =，令0x =，故可得01a =， 又因为125242a a a +++=L ，令1x =，则()501251243a a a a λ+=++++=L ， 解得2λ=令1x =-，则()()5501251211a a a a -=-+-+-=-L . 故选：B. 【点睛】本题考查二项式系数的性质，以及通过赋值法求系数之和，属综合基础题.7．用1，2，3，4，5组成不含重复数字的五位数，要求数字4不出现在首位和末位，数字1，3，5中有且仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是（ ） A ．48 B ．60 C ．72 D ．120【答案】A 【解析】 【分析】对数字2分类讨论，结合数字135，，中有且仅有两个数字相邻，利用分类计数原理，即可得到结论 【详解】数字2出现在第2位时，数字135，，中相邻的数字出现在第34，位或者45，位，共有22232212C A A =个数字2出现在第4位时，同理也有12个数字2出现在第3位时，数字135，，中相邻的数字出现在第12，位或者45，位，共有1222232224C C A A =个故满足条件的不同的五位数的个数是48个 故选A 【点睛】本题主要考查了排列，组合及简单计数问题，解题的关键是对数字2分类讨论，属于基础题。

广东省湛江市2021届高三上学期11月调研测试数学试题（含答案解析）高考真题高考模拟高中联考期中试卷期末考试月考试卷学业水平同步练习广东省湛江市2021届高三上学期11月调研测试数学试题（含答案解析）1 已知集合A = {－2,－1,0,l,2,3,4},B={x|2x- 1则A∩B=A. {0,1,2}B. {-2, -1, 0 }C. { - 2,-1 ,0, 1}D. {-2, -1, 0,1, 2}【答案解析】 C2 已知i是虚数单位，a为实数，且, 则a =A. 2B. 1C. -2D. -1【答案解析】 B3 已知向量 a = (l , 2) , 向量 b= ( 2 , -2) , a + kb 与a -b 垂直，则k =A.2B.C.D.【答案解析】 D4 若双曲线的一条渐近线方程为,则其离心率为A. B.2C. D.【答案解析】 C5 命题“”的否定是A. B.C. D.【答案解析】 C6 党的十九大报告中指出：从 2020 年到 2035 年，在全面建成小康社会的基础上，再奋斗15年，基本实现社会主义现代化．若到 2035 年底我国人口数量增长至14. 4 亿，由 2013 年到 2019 年的统计数据可得国内生产总值(GDP) y (单位：万亿元）关于年份代号 x 的回归方程为 (x=l,2,3,4,5,6,7),由回归方程预测我国在2035年底人均国内生产总值（单位：万元）约为A. 14. 04B.202. 16C. 13. 58D. 14. 50【答案解析】 A7 鳖臑（bie nao）是我国古代对四个面均为直角三角形的三棱锥的称呼．已知三棱锥A- BCD 是一个鳖臑，其中 AB^BC, AB^BD , BC^CD , 且 AB = 6 , BC= 3, DC = 2,则三棱锥 A—BCD 的外接球的体积是A. B. C.49π D.【答案解析】 D8 已知函数, 给出四个函数①②③④,又给出四个函数的大致图象，则正确的匹配方案是A. 甲—②，乙—③,丙—④,丁—①B.甲—②，乙—④,丙—① ,丁—③C. 甲—④，乙—② ，丙—①, 丁—③D. 甲—① ,乙—④，丙—③,丁—②【答案解析】 B9 （多选题）因防疫的需要，多数大学开学后启用封闭式管理．某大学开学后也启用封闭式管理，该校有在校学生 9000 人，其中男生 4000 人，女生 5000 人，为了解学生在封闭式管理期间对学校的管理和服务的满意度，随机调查了 40 名男生和 50 名女生，每位被调查的学生都对学校的管理和服务给出了满意或不满意的评价，经统计得到如下列联表：满意不满意男2020女4010附表：P (K2≥k)0. 1000.050.0250. 0100.001k2. 7063. 8415.0246. 63510.828附：以下说法正确的有A.满意度的调查过程采用了分层抽样的抽样方法B.该学校学生对学校的管理和服务满意的概率的估计值为0. 6C.有99 %的把握认为学生对学校的管理和服务满意与否与性别有关系D.没有99 %的把握认为学生对学校的管理和服务满意与否与性别有关系【答案解析】 AC10 （多选题）已知a = log3p, b= logp3, c= logp, 则A. aba + bb+ cB. a cb+ cbcC. acbcb+cD. b+ ca ba +b【答案解析】 CD11 （多选题）已知函数的图象的一条对称轴为 x =，则A.点是函数 f ( x )的一个对称中心B.函数 f ( x )在区间上无最值C.函数 f ( x )的最大值一定是 4D.函数 f( x )在区间上单调递增【答案解析】 ACD12 （多选题）已知数列{an}满足：0a1. 则下列说法正确的是A. 数列{an}先增后减B. 数列{an}为单调递增数列C. anD. a2020>【答案解析】 BCD13 已知f (x)是定义域为R 的偶函数，且在区间(-¥,0]上单调递增，则不等式 f(3x- l)> f (2)的解集是．【答案解析】14 二项式的二项展开式中的常数项是．【答案解析】 1515 在棱长为4的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E , F分别是BC和C1D1的中点，经过点 A , E , F 的平面把正方体ABCD —A1B1C1D1截成两部分，则截面与BCC1B1的交线段长为．【答案解析】16 已知 F 为抛物线 C : y2 = 4x 的焦点，过点 F 的直线 l 与抛物线 C 交于A , B 两点，与抛物线 C 的准线交于点 D , 若 F 是 AD 的中点，则 |F B | = ．【答案解析】17 (本小题满分10分)从①a = 3, ②S △ABC=,③3sinB=2sinA这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中．若问题中的三角形存在，求出b的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC,内角A , B , C 所对的边分别为a,b,c, 且, 3ccosB=3a+2b, ?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分．【答案解析】18 (本小题满分12分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn, an+1-an>0，a2=3, 且a1, a3, 12+a7成等比数列．(1) 求an和Sn;(2) 设，数列{bn}的前n项和为Tn, 求证：.【答案解析】19 19.（本小题满分12 分）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是边长为2的等边三角形，侧面BCC1B1为菱形，且平面BCC1B1^平面ABC,ÐCBB1= 60°, D为棱AA1的中点．( 1 )证明：BC1 ^平面 DCB1；( 2)求二面角 B1 —DC —C1的余弦值．【答案解析】20 ( 本小题满分 12 分)为研究一种新药的耐受性，要对白鼠进行连续给药后观察是否出现F症状的试验，该试验的设计为：对参加试验的每只白鼠每天给药一次，连续给药四天为一个给药周期，试验共进行三个周期．假设每只白鼠给药后当天出现F症状的概率均为，且每次给药后是否出现 F 症状与上次给药无关．(1) 从试验开始，若某只白鼠连续出现 2 次 F 症状即对其终止试验，求一只白鼠至少能参加一个给药周期的概率；(2) 若在一个给药周期中某只白鼠至少出现3次F症状，则在这个给药周期后，对其终止试验,设一只白鼠参加的给药周期数为X, 求 X 的分布列和数学期望．【答案解析】21 ( 本小题满分 12 分)已知椭圆的左、右焦点分别为F1 、F2，直线y=kx交椭圆于P, Q 两点，M是椭圆上不同于P,Q的任意一点，直线MP和直线MQ的斜率分别为k1, k2.(1) 证明：k1·k2为定值；(2) 过F2的直线 l与椭圆交于A,B两点，且，求|AB |.【答案解析】22 ( 本小题满分 12 分)已知 a >0, 函数.(1) 若 f (x) 为减函数，求实数a的取值范围；(2) 当x > l时，求证：.(e=2.718 … )【答案解析】。