第3章 个体风险模型

实
布
概微
务
、
率积
风
论分
、、
02
Ⅰ
01
试准 科 第一章 效用理论与保险 2 第二章 个体风险模型 3 第三章 聚合风险模型 4 第四章 破产理论 5 第五章 保费原理
本章主要内容 本章从效用理论出发，研究风险决策的基本原
理以及在第保费一设章计中效的应用用理，并论分析与了保不同风险 险 态度的决策人的风险决策结果，最后应用期望效
上述不等式意味着保险人选用的效益函数是 个凸函数。
如果上面的不等号成立，那么他的期望效用将会提高。 如果用 P 表示保险人要求的最小保费，可从反映保险人
状况的效用均衡方程中解出：
如果U (x)是一个非减的连续函数，则有 P P 。
如果 P P，那么达成交易会同时增加被保险人与
保险人双方的期望效用。
相同的决策，即
等价于
效用函数的 确定
人们在做某个决策时，不自觉地使用这 效益函数，因此效用函数是客观存在的， 但却很难给出一个明确的解析式。
可以向决策人提出大量的问题，通过他 们对这些问题的回答来决定该决策人的 效用函数。
如“为了避免以概率q损失1个单位货 币，你愿意支付多少保费P？”
例 1.2.2（偏好风险与厌恶风险） 假设一个拥有资
如果上面的不等号成立，意味着他的期望效用将会提高。
如果用 P 代表被保险人愿意支付的最大保费，它是以下效 用均衡方程的解
E u w X u W P ， （1.10）
由于 u 是一个非减的连续函数，则有 P P 。
设保险人的效用函数为U ，原始本金为 W。
如费果P 承E 保U（损W失2）XP 。保X 险 U人W 方，那面么保：险人将以保

f (2)(5) P( X1 2, X2 3) 0.2 0.1 0.02
对于两个相互独立的连续型非负随机变量 X 和Y ，设其 分 布 密 度 分 别 为 fX (x) 和 fY ( y) ， 它 们 的 联 合 密 度 为 f( X ,Y ) ( x, y)，则由独立性知 f( X ,Y ) ( x, y) f X ( x) fY ( y)，S X Y 的 分布函数为：
0.2 0.3 0.27 0 0.27 0.5 0.195
表 3-2-1（例 3-2-3 的计算结果）
X f1(x) f2(x) f3(x) f(2)(x) f(3) (x) F(2)(x) F(3)(x)
0 0.5 0.4 0.5 0.2 0.1 0.2 0.1
1 0.3 0.3 0 0.27 0.135 0.47 0.235
s
pX (s y) pY ( y) y0
利用求和的可交换性，S 的分布也可写成
（3.2.1）
s
PS s pY (s x) pX ( x)
x0
例 3-2-1 设随机变量 X1, X2相互独立, 它们的分布列分别为
0
X1
~
0.5
1 0.3
2 0.2
，
X
2
~
0
0.4
1 0.3
2 0.2
题。特别当
X1
fXi
(x)
qpi ,i
1
qi ,
x x
0 bi
记Sn X1 X2 Xn Sn1 Xn, 则 由 卷 积 公 式 可 以
s
计 算S的 分 布 如 下 ：fSn ( s) f * Sn1 fXn ( s) fSn1 ( s x) fXn ( x)

x 1,2,...
f S (0) PN [ f X (0)]
如果 N 服从泊松分布, 则进一步可简化为
f S ( x) yf X ( y) f S ( x y ) , x y 1
xm
x 1,2,...
f S (0) e[1 f X (0)]
10
3.1 解析法：计算卷积
解析法只适用于有限情况, 如：
损失金额X为指数分布, 如： 几何-指数（Compound geometric-exponential） 负二项-指数（Compound negative binomialexponential） 更一般地, 损失金额 X 对卷积封闭, 如 伽玛分布（参数相同） 逆高斯分布（参数相同）

FS ( x) 1
x exp (1 ) (1 )

13
服从均值为(1)的指数分布,
例：复合分布的卷积（团体口腔医疗保险） 保险计划（Insurance plan）： 为雇员及其家庭成员提供口腔医疗保险 所有雇员的保费相同 数据如下表（下页）
8
9 10
0.050
0.025 0.025
15
• 计算S的均值和方差.
• 确定S的概率分布。
解: E(S)=E(N)E(X)=1258 Var(S)=E(N)Var(X)+Var(N)[E(X)]2 = 587464
每个雇员在1年内的口腔医疗成本的概率分布为
*n f S ( x ) pn f X ( x) n 0 8
关于X的卷积计算结果如下表。
16
累积损失 S的概率分布
x
0 1 2
fX*0
1 0 0

真正的可接受社会风险。例如我们可以将我国 大陆建筑业社会可接受风险划定为〈0.2525人 /(事故)，如果风险分析告诉我们我国大陆建筑 业实际的风险状态是1.183人/(事故)>0.2525人 /(事故),那么我国大陆建筑业社会风险就是不 可接受的,需要加强风险管理,采取控制措施,将 风险降低到可接受的水平上。
这里直接提出了四个风险指标和对应的风险标 准。
二、可接受风险
在很多情况下风险主体可以直接将风险标 准与风险状态进行对比、进行风险评价， 但从逻辑上讲，风险主体应先确定可接受 风险（完整的说法是可接受风险状态）， 再将风险分析得到的风险状态与之进行对 比，进行风险评价,以确定风险主体可否接 受现有风险状态。
内含偏好法当然要依赖一个好的法律体系。
自然标准
前述三种方法都依赖社会的现有决定，难 免受到社会错误和不公正的影响。一些人 认为有些风险的可接受风险标准也许不应 受到特定社会的影响，尤其当风险是可叠 加、可累积或不可逆时。这时与其去考察 人类历史上具有指导意义的某一时期的人 类智慧，不如去考察地质时代的生物智慧。
3）正规分析
正规分析法的基本过程是：1、定义决策问题， 就是列举所有可选择的行为和所有可能的后果； 2、建立这些可选择的行为和后果之间的关系； 3、价；4、行为选择（求解极值问题）。
正规分析法有两种典型的方法：成本-效益分 析和决策分析。本质上成本-效益分析是决策 分析的特例。在成本-效益分析中，所有的后 果用“经济学价值”计量。而在决策分析中， 行为的后果未必用 “经济学价值”计量，如 对治疗某种特定疾病的各种治疗方法治疗效果 的评价
3、个人可接受风险和社会可接受风险
在考虑一个行业或一项新技术的可接受风 险时，人们通常选取的风险指标为个人风 险、社会风险和环境风险（对应的可接受 风险我们有时也叫做可容许个人风险标准、 可容许社会风险标准和可容许环境风险标 准）。这里的个人风险、社会风险有特定 的含义。