第7章 地图投影与高斯投影

第七章 地图投影与高斯投影[本章提要] 本章介绍从椭球面上大地坐标系到平面上直角坐标系的正形投影过程。

研究如何将大地坐标、大地线长度和方向以及大地方位角等向平面转化的问题。

重点讲述高斯投影的原理和方法，解决由球面到平面的换算问题，解决相邻带的坐标坐标换算。

讨论在工程应用中，工程测量投影面与投影带选择。

§7.1 高斯投影概述1 投影与变形地图投影：就是将椭球面各元素（包括坐标、方向和长度）按一定的数学法则投影到平面上。

研究这个问题的专门学科叫地图投影学。

可用下面两个方程式（坐标投影公式）表示：⎭⎬⎫==),(),(21B L F y B L F x式中B L ,是椭球面上某点的大地坐标，而y x ,是该点投影后的平面直角坐标。

投影变形：椭球面是一个凸起的、不可展平的曲面。

将这个曲面上的元素（（距离、角度、图形）投影到平面上，就会和原来的距离、角度、图形呈现差异，这一差异称为投影变形。

投影变形的形式：角度变形、长度变形和面积变形。

地图投影的方式：（1）等角投影——投影前后的角度相等，但长度和面积有变形； （2）等距投影——投影前后的长度相等，但角度和面积有变形； （3）等积投影——投影前后的面积相等，但角度和长度有变形。

2 控制测量对地图投影的要求（1）应当采用等角投影（又称为正形投影）采用正形投影时，在三角测量中大量的角度观测元素在投影前后保持不变；在测制的地图时，采用等角投影可以保证在有限的范围内使得地图上图形同椭球上原形保持相似。

（2）在采用的正形投影中，要求长度和面积变形不大，并能够应用简单公式计算由于这些变形而带来的改正数。

（3）能按分带投影3 高斯投影的基本概念 （1）基本概念：如图1所示，假想有一个椭圆柱面横套在地球椭球体外面，并与某一条子午线（此子午线称为中央子午线或轴子午线）相切，椭圆柱的中心轴通过椭球体中心，然后用一定投影方法，将中央子午线两侧各一定经差范围内的地区投影到椭圆柱面上，再将此柱面展开即成为投影面，如图2所示，此投影为高斯投影。

高斯投影是正形投影的一种。

图1 图2（2）分带投影● 高斯投影 6带：自 0子午线起每隔经差 6自西向东分带，依次编号1,2,3,…。

我国 6带中央子午线的经度，由 75起每隔 6而至 135,共计11带（13～23带），带号用n 表示，中央子午线的经度用0L 表示，它们的关系是360-=n L ,如图所示。

● 高斯投影 3带：它的中央子午线一部分同 6带中央子午线重合，一部分同 6带的分界子午线重合，如用n '表示 3带的带号，L 表示 3带中央子午线经度，它们的关系n L '=3图8-4所示。

我国 3带共计22带（24～45带）。

（3）高斯平面直角坐标系在投影面上，中央子午线和赤道的投影都是直线，并且以中央子午线和赤道的交点O作为坐标原点，以中央子午线的投影为纵坐标x轴，以赤道的投影为横坐标y轴。

在我国x坐标都是正的，y坐标的最大值（在赤道上）约为330km。

为了避免出现负的横坐标，可在横坐标上加上500 OOOm。

此外还应在坐标前面再冠以带号。

这种坐标称为国家统一坐标。

例如，有一点Y=19 123 456.789m，该点位在19带内，其相对于中央子午线而言的横坐标则是：首先去掉带号，再减去500000m,最后得y=-376 543.211m。

（4）高斯平面投影的特点①中央子午线无变形；②无角度变形，图形保持相似；③离中央子午线越远，变形越大。

5 椭球面三角系化算到高斯投影面将椭球面三角系归算到高斯投影面的主要内容是：ABBByxy AAxxyByxBByAxAAxy500Km（1）将起始点P的大地坐标).(BL归算为高斯平面直角坐标yx,；为了检核还应进行反算，亦即根据yx,反算BL,。

（2）通过计算该点的子午线收敛角γ及方向改正δ，将椭球面上起算边大地方位角PKA归算到高斯平面上相应边KP''的坐标方位角Kp''α。

（3）通过计算各方向的曲率改正和方向改正，将椭球面上各三角形内角归算到高斯平面上的由相应直线组成的三角形内角。

（4）通过计算距离改正s∆，将椭球面上起算边PK的长度S归算到高斯平面上的直线长度s。

（5）当控制网跨越两个相邻投影带，需要进行平面坐标的邻带换算。

§7.2正形投影的一般条件高斯投影首先必须满足正形投影的一般条件。

图1为椭球面，图2为它在平面上的投影。

在椭球面上有无限接近的两点1P和2P，投影后为1p'和2p'，其坐标均已注在图上，dS为大地线的微分弧长，其方位角为A。

在投影面上，建立如图2所示的坐标系，dS的投影弧长为ds。

图2 图37椭球面到平面的正形投影一般公式——称柯西-黎曼条件：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫∂∂-=∂∂∂∂=∂∂qylxlyqx平面正形投影到椭球面上的一般条件：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫∂∂-=∂∂∂∂=∂∂yqxlylxq§7.3 高斯平面直角坐标系与大地坐标系1 高斯投影坐标正算公式（1）高斯投影正算：已知椭球面上某点的大地坐标()BL,，求该点在高斯投影平面上的直角坐标()yx,，即()),(,yxBL⇒的坐标变换。

（2）投影变换必须满足的条件●中央子午线投影后为直线；●中央子午线投影后长度不变；●投影具有正形性质，即正形投影条件。

（3）投影过程在椭球面上有对称于中央子午线的两点1P和2P,它们的大地坐标分别为（BL,）及（Bl,），式中l为椭球面上P点的经度与中央子午线)(L的经度差：LLl-=, P点在中央子午线之东, l为正，在西则为负，则投影后的平面坐标一定为),(1yxP'和),(2yxP-'。

（4）计算公式⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫''+-''+''+-''+''''=''+-''+''''+=5425532234223422)185(cos120)1(6cos)95(cossin2sin2lttBNltBNl BNyltBBNl BNXxρηρρηρρ当要求转换精度精确至0.OOlm时，用下式计算：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫''-++-''+''+-''+''''=''+-''+''++-''+''''+=52224255322336425644223422)5814185(cos720)1(cos6cos)5861(cossin720)495(cossin24sin2ltttBNltBNl BNylttBBNltBBNl BNXxηηρηρρρηηρρ2 高斯投影坐标反算公式（1）高斯投影反算：已知某点的高斯投影平面上直角坐标()yx,，求该点在椭球面上的大地坐标()BL,，即()),(,BLyx⇒的坐标变换。

（2）投影变换必须满足的条件●x坐标轴投影成中央子午线，是投影的对称轴；●x轴上的长度投影保持不变；●投影具有正形性质，即正形投影条件。

（3）投影过程根据x计算纵坐标在椭球面上的投影的底点纬度fB，接着按fB计算（BBf-）及经差l，最后得到)(BBBBff--=、lLL+=。

（4）计算公式⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫+++++++-=++--+++-=5222425322364254222332)8624285(cos1201)21(cos61cos1)459061(720)935(242ytttBNytBNyBNlyttNMtyttNMtyNMtBBfffffffffffffffffffffffffffffηηηηη当要求转换精度至10.0''时，可简化为下式：⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫+++++-=-+++-=542532234222232)24285(cos1201)21(cos61cos1)935(242yttBNytBNyBNlyttNMtyNMtBBfffffffffffffffffffffηηη3 高斯投影相邻带的坐标换算（1）产生换带的原因高斯投影为了限制高斯投影的长度变形，以中央子午线进行分带，把投影范围限制在中央子午线东、西两侧一定的范围内。

因而，使得统一的坐标系分割成各带的独立坐标系。

在工程应用中，往往要用到相邻带中的点坐标，有时工程测量中要求采用 3带、 5.1带或任意带，而国家控制点通常只有 6带坐标，这时就产生了 6带同 3带（或 5.1带、任意带）之间的相互坐标换算问题，如图所示：（2）应用高斯投影正、反算公式间接进行换带计算●计算过程把椭球面上的大地坐标作为过渡坐标。

首先把某投影带（比如Ⅰ带）内有关点的平面坐标I),(yx，利用高斯投影反算公式换算成椭球面上的大地坐标),(Bl，进而得到lLL+=I；然后再由大地坐标),(lB，利用投影正算公式换算成相邻带的（第Ⅱ带）的平面坐标II),(yx。

在这一步计算时，要根据第Ⅱ带的中央子午线IIL来计算经差l，亦即此时IILLl-=。

●算例在中央子午线123I=L的Ⅰ带中，有某一点的平面直角坐标m726.57283741=x，m193.2101981+=y，现要求计算该点在中央子午线129II=L的第Ⅱ带的平面直角坐标。

计算步骤①．根据1x,1y利用高斯反算公计算换算1B,1L，得到4902.4383511'''=B，2136.13201261'''=L。

②．采用已求得的1B,1L，并顾及到第Ⅱ带的中央子午线129II=L，求得486.46752'''-=l，利用高斯正算公式计算第Ⅱ带的直角坐标IIx,IIy③．为了检核计算的正确性，要求每步都应进行往返计算4 子午线收敛角公式（1）子午线收敛角的概念如图所示，p'、Np''及Qp''分别为椭球面p点、过p点的子午线pN及平行圈pQ在高斯平面上的描写。

由图可知，所谓点p'子午线收敛角就是Np''在p'上的切线np''与t p''坐标北之间的夹角，用γ表示。

在椭球面上，因为子午线同平行圈正交，又由于投影具有正形性质，因此它们的描写线Np''及Qp''也必正交，由图可见，平面子午线收敛角也就是等于Qp''在p'点上的切线qp''同平面坐标系横轴y的倾角。