第三章一阶微分方程的解的存在定理

第三章一阶微分方程的解的存在定理本章重点介绍和证明一阶微分方程的解的存在唯一性定理,并叙述解的一些性质,如解的延拓,解对初值的连续性和可微性等.教学目的1.掌握可分离变量方程的解法；2.掌握齐次型方程的解法。

教学重点、难点可化为齐次型方程的解法；教学时数12学时§3.1 解的存在唯一性定理与逐步逼近法教学目的1.理解存在唯一性定理；2.了解逐步逼近法。

教学重点、难点存在唯一性定理与逐步逼近法； 教学时数 4学时 教学过程3.1.1 存在唯一性定理1. 考虑导数已解出的一阶微分方程)1.3)(,(y x f dxdy= f (x ,y ) 在矩阵区域 R | x -x 0 | ≤ a , | y -y 0 | ≤ b 上连续.利普希茨条件 若对函数 f (x ,y ) 存在常数 L >0 ,使得对所有 (x , y 1), (x , y 2) ∈R 都成立不等式 | f (x ,y 1)- f (x ,y 2) | ≤ L | y 1- y 2 |,则称函数 f (x ,y ) 在 R 上满足利普希茨条件.定理1 如果f (x ,y ) 在矩形区域 R 上连续且关于 y 满足利普利茨条件,则方程(3.1)存在唯一的解y =ϕ(x ), 定义于区间 | x -x 0 | ≤ h 上,连续且满足初值条件 ϕ(x 0)=y 0.|),(|max ),,min( ),(y x f M Mba h R y x ∈==其中.采用皮卡(Picard)的逐步逼近法来证明.区间取为 x 0≤x ≤x 0+h . 皮卡逐步逼近法(思路)(1)证明求微分方程的初值问题的解等价于求积分方程⎰+=xx dx y x f y y 0),(0的连续解;(2)取一连续函数 ϕ0(x ) 进行迭代求解,构造函数序列: ϕ0(x ), ϕ1(x ), ϕ2(x ),… ϕn (x );⎰+=x x x x x f y x 0d ))(,()(001ϕϕ⎰+=xx x x x f y x 0d ))(,()(102ϕϕ⎰+=x x x x x f y x 0d ))(,()(203ϕϕ…⎰-+=xx n n x x x f y x 0d ))(,()(10ϕϕ(3)如果上述过程可无限地进行,则证明此过程构造的函数列收敛于某一连续函数ϕ(x ); (4)证明上述解是唯一的;命题1 设y =ϕ(x )是方程(3.1)的定义于区间 x 0≤x ≤x 0+h 上,满足初值条件 ϕ(x 0)=y 0 的解,则 y =ϕ(x ) 是积分方程)5.3(),(00⎰+=xx dx y x f y y的定义于 x 0≤x ≤x 0+h 上的连续解,反之亦然.证明：“=>”由y =ϕ(x )是方程(3.1)的定义于区间 x 0≤ x ≤ x 0+h 上,满足初值条件 ϕ(x 0)=y 0 的解有))(,(d )(d x x f xx ϕϕ= 两边从x 0到x 积分可得⎰⎰=x x xx x x x,f x 0))d (()(d ϕϕ⎰=-⇒xx x x x,f x x 0))d (()()(0ϕϕϕ将初始条件 ϕ(x 0)=y 0 代入即得到⎰+=xx x x x,f y x 0))d (()(0ϕϕ所以y =ϕ(x )是积分方程(3.5)的定义于 x 0≤x ≤x 0+h 上的连续解.“<=”设y =ϕ(x )是积分方程(3.5)的定义于 x 0≤x ≤x 0+h 上的连续解,则有⎰+=xx x x x,f y x 0))d (()(0ϕϕ两边对x 求导得),())(,()(y x f x x f x y =='=ϕϕ又上述积分方程显然满足初始条件,所命题成立.现取 ϕ0(x )=y 0 ,构造皮卡逐步逼近函数序列:)7.3(,...2,1,d ))(,()( ,d ))(,()()(01000100⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+=+==⎰⎰-n t t t f y x t t t f y x y x xx n n xx ϕϕϕϕϕ命题2 对于所有的 n ,函数 ϕn (x ) 在 x 0≤x ≤x 0+h 上有定义,连续且满足不等式 | ϕn (x )-y 0 | ≤ b . 证明： (用数学归纳法)当 n =1 时,⎰+=xx t t t f y x 0d ))(,()(001ϕϕ,显然在x 0≤x ≤x 0+h 上是有定义,并是连续的;并且⎰=-xx t t t f y x 0d ))(,(|)(|001ϕϕ⎰≤x x t t t f 0d |))(,(|0ϕ⎰≤xx t M 0d )(0x x M -≤b x x M ≤-≤)(0,命题成立;假设命题当 n =k 时成立,即⎰-+=xx k k t x t f y x 0d ))(,()(10ϕϕ在x 0≤x ≤x 0+h 上是有定义、连续用满足b y x k =≤-|)(|0ϕ则⎰+=+xx k k t x t f y x 0d ))(,()(01ϕϕ由于ϕk (x )的连续性,知ϕk +1(x )在x 0≤x ≤x 0+h 也显然上是有定义和连续的. 并且=-+|)(|01y x k ϕ⎰xx k t x t f 0d ))(,(ϕ⎰≤xx k t x t f 0d |))(,(|ϕb x x M ≤-≤)(0所以当n =k 时命题也成立,从而命题2对一切 n ∈N 都成立.命题3 函数序列 {ϕn (x )} 在 x 0≤x ≤x 0+h 上是一致收敛的. 证明：由级数与数列的关系:级数收敛等价于部分和数列收敛. 考虑级数∑∞=--+110)]()([)(k k kx x x ϕϕϕ,它的部分和恰为)()]()([)(110x x x x n nk k k ϕϕϕϕ=-+∑=-因此要证明函数序列 {ϕn (x )} 在 x 0≤x ≤x 0+h 上一致收敛只须证明上述级数一致收敛即可.⎰≤-xx dt t t f x x 0))(,(||)()(|001ϕϕϕ )(0x x M -≤⎰-≤-xx dt t t f t t f x x 0|))(,())(,(||)()(|0112ϕϕϕϕ由于函数f (x ,y )对y 满足利普希茨条件 | f (x ,y 1)- f (x ,y 2) | ≤ L | y 1- y 2 | 则有⎰-xx dt t t f t t f 0|))(,())(,(|01ϕϕ⎰-≤x x dt t t L 0|)()(|01ϕϕ⎰-≤xx dt x t M L 0)(020)(2x x ML-=同理⎰-≤-xx dt t t f t t f x x 0|))(,())(,(||)()(|1223ϕϕϕϕ⎰-≤xx dt t t L 0|)()(|12ϕϕ⎰-≤xx dt x t ML 0202)(2302)(!3x x ML -= 设对正整数 k 有k k k k x x k ML x x )(!|)()(|011-≤---ϕϕ 则对正整数 k +1 有⎰-+-≤-xx k k k k dt t t f t t f x x 0|))(,())(,(||)()(|11ϕϕϕϕ⎰--≤xx k k dt t t L 0|)()(|1ϕϕ⎰-≤xx kkdt x t k ML 0)(!010)()!1(+-+=k k x x k ML从而由数学归纳法知对任一正整数 n 有n n n n x x n ML x x )(!|)()(|011-≤---ϕϕ从而对级数而言有∑∞=--+110)]()([)(k k k x x x ϕϕϕ∑∞=--+≤1010)(!)(k nn x x n L M x ϕ∑∞=-+≤110!)(k n n n h L M x ϕ 上式是收敛的正项级数,因此由M 判别法(魏尔斯特拉斯判别法)知,左端的级数收敛,故函数列 {ϕn (x )}在 x 0≤ x ≤x 0+h 上一致收敛.命题4 ϕ(x )是积分方程(3.5)的定义于 x 0≤x ≤x 0+h 上的连续解.证明：因为函数列{ϕn (x )}一致收敛于ϕ(x ),加之利普希茨条件 | f (x , ϕn (x ))- f (x , ϕ(x )) | ≤ L | ϕn (x )- ϕ(x ) | 可知函数列{ f (x , ϕn (x ))}收敛于f (x , ϕ(x )). 因此,两边取极限有⎰-∞→∞→+=x x n n n n dt t t f y x 0))(,(lim )(lim 10ϕϕ⎰+=xx dt t t f y x 0))(,()(0ϕϕ所以ϕ(x )是积分方程定义于 x 0≤x ≤x 0+h 上的连续解.命题5 设 ψ(x ) 是积分方程(3.5)的定义于 x 0≤x ≤x 0+h 上的另一连续解,则 ϕ(x )= ψ(x ). 证明:由命题1可知⎰+=xx t t t,f y x 0))d (()(0ψψ只要证明 ψ(x ) 也是函数列 {ϕn (x )} 的极限函数即可. 由于⎰≤-xx t t t f x x 0d |))(,(||)()(|0ψψϕ)(0x x M -≤=-|)()(|1x x ψϕ⎰-≤xx dt t t f t t f 0|))(,())(,(|0ψϕ⎰-≤xx dt t t L 0|)()(|0ψϕ200)(2)(0x x LMdt t t LM xx -=-≤⎰ 假设对正整数 n -1 时有|)()(|1x x n ψϕ--n n x x n ML )(!01-≤- 则对正整数 n 有|)()(|x x n ψϕ-⎰-≤-xx n dt t t f t t f 0|))(,())(,(|1ψϕ⎰-≤-xx n dt t t L 0|)()(|1ψϕ100)()!1()(!0+-+=-≤⎰n n xx nn x x n M L dt t t n M L 因此,由数学归纳法可和,上述公式对所有正整数都成立. 即1)!1(|)()(|++≤-n n n h n M L x x ψϕ上式右端是收敛级数的一般项,当 n →∞ 时它趋于零,因而函数列 {ϕn (x )} 一致收敛于 ψ(x ) ,由极限的唯一性,有 ψ(x )= ϕ(x ) .注1 存在唯一性定理中数 h 的几何意义.注2 由于利普希茨条件比较难检验,常用 f (x ,y ) 在 R 上有对 y 的连续偏导数来代替. 注3 设方程(3.1)是线性的,即方程为)()(x Q y x P dxdy+= 那么当 P (x ), Q (x ) 在区间 [α ,β]上连续时,定理1的条件能满足.2. 考虑一阶隐式方程 F (x , y , y ')=0由隐函数定理,若在点 (x 0, y 0, y '0) 的某邻域内 F 连续且 F (x 0, y 0, y '0)=0 而0≠'∂∂y f,则 y ' 唯一地表示为 x , y 的函数,且 f (x , y ) 在点 (x 0, y 0) 的某邻域内连续且满足y '0= f (x 0, y 0).定理2 如果在点 (x 0, y 0, y '0) 的某一邻域中(1) F (x , y , y ')对所有变量 x , y 及 y ' 连续,且存在连续偏导函数; (2) F (x 0, y 0, y '0)=0 (3)0),,(000≠'∂'∂y y y x F则方程(3.15)存在唯一解 y =y (x ), | x -x 0 | ≤ h ( h 是足够小的正数) 满足初值条件 y (x 0)=y 0, y '(x 0)= y '0.3.1.2 近似计算和误差估计第 n 次近似解 ϕn (x ) 和真实解 ϕ(x ) 在区间 | x -x 0 | ≤ h 内的误差估计式1)!1(|)()(|++≤-n n n h n ML x x ϕϕ.例1 方程22y x dxdy+=定义在矩形域 R : -1≤ x ≤1, -1≤ y ≤1 上,试利用存在唯一性定理确定经过点 (0, 0) 的解的存在区间,并求此区间上与真正解的误差不超过0.05的近似解的表达式. 解：2|),(|max ),(==∈y x f M Ry x 21}21,1min{},min{===M b a h 利普希茨常数 L =2 :2|2|≤=∂∂y yf由题意,第n 次近似解 ϕn (x ) 和真实解 ϕ(x ) 的误差不超过0.05,即1)!1(|)()(|++≤-n n n h n M L x x ϕϕ121)!1(22+⋅+⨯=n n n )!1(1+=n 20105.0=< 即取 n =3 即可,从而可作如下近似计算0)(0=x ϕ3))((0)(302021x dt t t x x=++=⎰ϕϕ⎰+=xdt t t x 02122))(()(ϕϕ⎰+=xdt t t 062)9(63373x x +=⎰+=xdt t t x 02223))(()(ϕϕ⎰+++=xdt t t t t 0141062)396918929(5953520792633151173x x x x +++= ϕ3(x )即为所求的近似解.作业: P88,2.§3.2 解的延拓教学目的1.理解解的延拓的概念与条件；2.会将方程的解在指定区间上延拓。

一阶线形微分方程解的存在唯一性定理的证明)()(x q y x p dxdy +=摘要:从分析方法入手,来证明满足初值条件下一阶线形微分方程解的存在唯一性定理的证明.引言:我们学习了能用初等解法的一阶方程的若干类型,但同时知道大量的一阶方程是不能用初等解法求出它的通解,而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解,因此对初值问题的研究被提到重要地位,自然要问:初值问题的解是否存在?如果存在是否唯一?首先,我们令f(x,y)=p(x)y+q(x) 这里f(x,y)是在矩形域R:上的连续函数.b y y a x x ≤-≤-00,函数f(x,y)称为在R 上关于y 满足利普希兹条件,如果存在常数L>0使不等式对于所有的 都成立,L 称2121),(),(y y L y x f y x f -≤-R y x y x ∈),(),,(21为利普希兹常数下面我们给出一阶线形微分方程(1)解的存在唯一性)()(x q y x p dxdy+=定理:如果f(x,y)=p(x)y+q(x)在R 上连续且关于y 满足利普希兹条件,则方程(1)存在唯一的解,定义于区间上,连续)(x y ϕ=h x x ≤-0且满足初始条件:这里 00)(y x =ϕ),min(Mba h =),(max y x f M =R y x ∈),(我们采用皮卡的逐步逼近法来证明这个定理,为了简单起见,只就区间来讨论,对于的讨论完全一样.h x x x +≤≤0000x x h x ≤≤-现在简单叙述一下运用逐步逼近法证明定理的主要思想,首先证明求微分方程的初值问题的解等价于求积分方程的连续解这里我们用f(x,y)=p(x)y+q(x)来[]⎰++=x x dx x q y x p y y 0)()(0替代,因此也就等价于求积分方程 的连续解,然⎰+=xx dx y x f y y 0),(0后去证明积分方程的解的存在唯一性.任取一个连续函数 代入上面的积分方程右端的y 就得)(0x ϕ到函数dx x x f y x xx ))(,()(0001⎰+≡ϕϕ显然也是连续解,如果那么就是积分方)(1x ϕ)(1x ϕ≡)(0x ϕ)(0x ϕ程的解.否则,我们又把代入积分方程右端的y 得到)(1x ϕ dxx x f y x xx ))(,()(0102⎰+≡ϕϕ如果 ,那么就是积分方程的解,否则我们继≡)(2x ϕ)(1x ϕ)(1x ϕ续这个步骤.一般地做函数 (2)dx x x f y x xx n n ))(,()(010⎰-+≡ϕϕ这样就得到连续函数序列,……)(0x ϕ)(1x ϕ)(x n ϕ如果那么就是积分方程的解,如果始终不发生这种≡+)(1x n ϕ)(x n ϕ)(x n ϕ情况,我们可以证明上面的函数序列有一个极限函数即)(x ϕ 存在因此对(2)取极限就得到)()(lim x x n n ϕϕ=∞→dxx x f y x xx n n n n ))(,(lim )(lim 010⎰-∞→∞→+=ϕϕ =dxx x f y xx n n ))(,(lim 010⎰-∞→+ϕ =dxx x f y xx ))(,(00⎰+ϕ即 dxx x f y x xx ))(,()(00⎰+≡ϕϕ这就是说是积分方程的解,这种一步一步地求出方程的解的方法)(x ϕ就成为逐步逼近法,由(2)所确定的函数称为问题(1)的n 次近)(x n ϕ似解,在定理的假设条件下以上步骤是可以实现的下面我们分四个命题来证明这个定理.命题1,设是一阶线形微分方程(1)的定义于区间)(x y ϕ=上的,且满足初始条件的解,则是积分方h x x x +≤≤0000)(y x =ϕ)(x y ϕ=程()的定义于上的连续解,反⎰+=xx dx y x f y y 0),(0h x x x +≤≤00h x x x +≤≤00之亦然.因为是一阶线形微分方程(1)的解故有)(x y ϕ=))(,()(x x f dxx d ϕϕ=两边从到x 取定积分得到0x dx x x f x x x x ))(,()()(00⎰≡-ϕϕϕhx x x +≤≤00把代上式,即有00)(y x =ϕ dx x x f y x xx ))(,()(00⎰+≡ϕϕhx x x +≤≤00因此, 是积分方程定义于上的)(x y ϕ=⎰+=xx dx y x f y y 0),(0h x x x +≤≤00连续解反之如果是积分方程的连续解,则有)(x y ϕ=⎰+=xx dx y x f y y 0),(0 (3)dx x x f y x xx ))(,()(00⎰+≡ϕϕh x x x +≤≤00微分之,得到))(,()(x x f dxx d ϕϕ=又把代入(3)得到0x x =00)(y x =ϕ因此是方程(1)的定义于 上且满足初始条件)(x y ϕ=h x x x +≤≤00的解.命题1证毕.00)(y x =ϕ现在取,构造皮卡逐步逼近函数序列如下:00)(y x =ϕ ⎪⎩⎪⎨⎧+==⎰-x x n nd f y x y x 0))(,()()(1000ξξϕξϕϕh x x x +≤≤00(n=1,2,…)(4)命题2 函数序列在上是一致收敛的{})(x n ϕh x x x +≤≤00证明:我们考虑级数 (5)[]∑∞=--+110)()()(k k k x x x ϕϕϕh x x x +≤≤00它的部分和为=[]∑=--+nk k k x x x 110)()()(ϕϕϕ)(x ϕ因此,要证明序列在上一致收敛,只需证明级数(5)在{})(x n ϕh x x x +≤≤00上一致收敛.为此,我们进行如下估计.由(4)有h x x x +≤≤00 (6))())(,()()(00001⎰-≤≤-xx x x M d f x x ξξϕξϕϕ及 ⎰-≤-xx d f f x x 0))(,())(,()()(0112ξξϕξξϕξϕϕ利用利普希兹条件及(6)得到⎰-≤-xx d L x x 0)()()()(0112ξξϕξϕϕϕ =ξξd x M L x x ⎰-≤0)(020)(!2x x ML-设对于正整数n,不等式nn n n x x n ML x x )(!)()(011-≤---ϕϕ成立,则有利普希兹条件,当时,有h x x x +≤≤00 ⎰-+-≤-x x n n n n d f f x x 0))(,())(,()()(11ξξϕξξϕξϕϕ⎰--≤xx n n d L 0)()(1ξξϕξϕ100)()!1()(!+-+=-≤⎰n n xx nnx x n ML d x n ML ξξ于是,由数学归纳法得知,对于所有的正整数k,有如下的估计(7)k k k k x x k ML x x )(!)()(011-≤---ϕϕh x x x +≤≤00从而可知,当时h x x x +≤≤00 (8)kk k k h k ML x x !)()(11--≤-ϕϕ(8)的右端是正项收敛级数∑∞=1!k kkk h ML的一般项,由维尔斯特拉斯判别法级数(5)在上一h x x x +≤≤00致收敛,因而序列也在上一致收敛,命题2证毕.{})(x n ϕh x x x +≤≤00命题3 是积分方程(2)的定义于上的连续解.)(x ϕh x x x +≤≤00证明: 由利普希兹条件)()())(,())(,(x x L x x f x x f n n ϕϕϕϕ-≤-以及在上一致收敛于,即知序列{})(x n ϕh x x x +≤≤00)(x ϕ{}{})(,()(x x f x f n n ϕ≡在上一致收敛于.因而对于(4)两边取极h x x x +≤≤00{})(,(x x f ϕ限,得到dxx x f y x xx n n n n ))(,(lim )(lim 010⎰-∞→∞→+≡ϕϕ =⎰-∞→+xx n n d f y 0))(,(lim 10ξξϕξ即⎰+=xx d f y x 0))(,()(0ξξϕξϕ这就是说是积分方程(2)的定义于上的连续解.命)(x ϕh x x x +≤≤00题3证毕.命题4 设是积分方程(2)的定义于上的一个连)(x φh x x x +≤≤00续解,则 , )()(x x ϕφ≡hx x x +≤≤00证明:我们首先证明也是序列的一致收敛极限函数.)(x φ{})(x n ϕ为此,从0)(y x =ϕ (n=1,2,…)⎰+=xx n d f y x 0))(,()(0ξξϕξϕ ξξφφd x f y x xx ))(,()(00⎰+≡我们可以进行如下估计)()(,()()(000x x M d f x x xx -≤≤-⎰ξξφξφϕξξφξξϕξφϕd f f x x x x ⎰-≤-0))(,())(,()()(01 ξξφξϕd L xx ⎰-≤0)()(0 200)(!2)(0x x MLd x ML xx -=-≤⎰ξξ现设,则有n n n x x n ML x x )(!)()(011-≤---φϕ ξξφξξϕξφϕd f f x x xx n n ⎰-≤--0))(,())(,()()(1 ξξφξϕd L xx n ⎰-≤-0)()(1 100)()!1()(!+-+=-≤⎰n xx Nx x n MLd x n ML ξξ故有数学归纳法得知,对于所有的正整数n,有下面的估计式(10)10)()!1()()(+-+≤-n nn x x n ML x x φϕ因此,在上有h x x x +≤≤00 (11)1)!1()()(++≤-n n n h n ML x x φϕ是收敛级数的公项,故因而1)!1(++n n h n ML 0)!1(1→+∞→+n n h n ML n 时在上一致收敛于,根据极限的唯一性,即得{})(x n ϕh x x x +≤≤00)(x φ)()(x x ϕφ≡h x x x +≤≤00命题4证毕.综合1-4,即得到一阶线性微分方程解的存在唯)()(x q y x p dxdy+=一定理的证明.。

[整理]一阶微分方程的解的存在定理第三章一阶微分方程的解的存在定理教学目的讨论一阶微分方程的解的存在与唯一性定理，解的延拓定理，解对初值的连续性与可微性定理，解对参数的连续性定理教学要求掌握存在与唯一性定理及其证明，会用皮卡逼近法求近似解，理解解对初值的连续性与可微性定理，解对参数的连续性定理，了解奇解及其求法。

教学重点几个主要定理的条件及其证明教学难点逐次逼近法的应用及其思想；应用存在与唯一性定理及解的延拓定理来研究方程的解；奇解及其求法教学方法讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。

教学手段传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。

课题导入在上一章我们讨论了一阶方程的解的初等积分法。

解决了几个特殊的方程。

但是，对许多微分方程，为22'y x y +=，不可能通过初等积分法求解，这就产生了一个问题，一个不能用初等积分法求解的微分方程是否意味着没有解呢？或者说，一个微分方程的初值问题在何种条件下一定有解呢？当有解时，农的解是否是唯一的呢？毫无疑问，这是一个很基本的问题，不解决这个问题对微分方程的进一步研究，就无从谈起，本章将重点讨论一阶微分方程的解存在问题的唯一定理，§3.1解的存在唯一性定理与逐步逼近法教学目的讨论Picard 逼近法及一阶微分方程的解的存在与唯一性定理，解的延拓定理，解对初值的连续性与可微性定理。

教学要求熟练掌握Picard 逼近法，并用它证明一阶微分方程初值问题解的存在与唯一性定理及其证明，会用Picard 逼近法求近似解，教学重点Picard 存在唯一性定理及其证明教学难点逐次逼近分析法的应用及其思想.教学方法讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。

教学手段传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。

一．存在唯一性定理1．定理1，考虑初值问题),(y x f dxdy= （3.1）00)(y x y =其中f(x,y)在矩形区域R ：b y y a x x ≤-≤-||,||00 （3.2）上连续，并且对y 满足Lipsthits 条件：即存在常数L>0，使对所有R y x y x ∈),(),,(21常存成立，|||),(),(|2121y y L y x f y x f -≤-则初值问题（cauchy 问题）（3.1）在区间h x x ≤-||0上解存在唯一，这里|),(|max ),,min(),(y x f M Mba h R y x ∈==证明思路：1.初值问题（3.1）的解存在等价一动积分方程?+=x x dy y x f y y 0),(0（3.5）的连续解。