4 弹性体的固有振动模态

z(w)
f x,t
0
x
dx
l
z(w)
f x,t
M M dx x
M
dx
t
Q
Q+ dx
w
Q
S
2 2t dx
t
0
w(x, t) w 为梁的横向（弯曲）振动位移
(x, t) 沿中性轴的转角
Q(x,t) Q 为横向剪切（内）力
x(u)
M (x,t)
M
为（内）弯矩
f (x, t) f 为作向在梁上单位长度横向外力
cosh l cos l 1
• 此方程的解为：
nl Xn n 1, 2,3, ,
4
• 把 S2 带入上式，得到简支均匀等截面梁
EI
的固有频率：
• 带入振型函数的通解形式，得到：
D F 0 C E 0
C sin l D cos l E sinh l F cosh l 0 C cos l D sin l E cosh l F sinh l 0
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• 除去恒等于零的解，则要求上列方程组的系数行 列式等于零，可导出特征方程：
T3
0
0
0 0
0
d15
d15 0 0 极 0
五、压电材料的应用
化
T4
轴
T5
选择压电陶瓷时主要关注的四个特性参数：TT5 anδ、QmT4、d33、kp
T6
T6
T2
T1
O
5 y(2)
4 x(1)
d31
d
3
1
d33 0
0
0
第四讲 弹性体的固有振动分析
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1.1梁(杆)的纵向振动
• Prof. Vasiliev
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1.1梁(杆)的纵向振动
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z(w)
0 x
ux,t
f x,t
uf
dx l
x(u) F dx
u(x,t) u 为杆的纵向（轴向）位移 F (x,t) F 为作用在杆上横截面上的轴向内力 f (x,t) f 为杆上单位长度上轴向外力
S
2u t 2
ES
2u x2
f
（2.4）
f
0
时，由（2.4）式得到杆的固有振动偏微分方程
2u t 2
E 2u
x2
1.1梁(杆)的纵向振动
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该方程的解可通过分离变量法求得 u(x,t) (x)q(t)
( x)
d2q(t) dt 2
Eq(t)
d 2 ( x)
• 另一方程的通解形式设为
(x) ex
• 带入上述方程，则有： 4 S2 0
EI
• 此特征方程的根为：
• , , i, i
4
其中 S2
EI
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• 对于上述4个不同α值，振型的通解形式如下：
(x) C sin x Dcos x E sinh x F cosh x
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杆在三种边界条件下，纵向振动的固有频率及固有振型函数
边界条件
固有频率
固有振型函数
n
(2n 1)
2l
E
n
(
x)
sin(2n
1)
x
2l
,
n
1,
2,
3,
,
n
n
l
E
n
n
l
E
n
(
x)
sin
n
x
l
,
n
1,
2,
3
,
n
(
x)
cos
n
x
l
,
n
1,
2,
3,
,
1.1梁(杆)的纵向振动
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I (x) I 梁切面对其中性轴的截面惯性矩
横向和转角方向的平衡方程：
Sdx
2w t 2
Q
Q
Q x
dx
fdx
x(u)Leabharlann Baidu
Idx
2
t 2
M
M
M x
dx Qdx
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• 简化为
S 2w Q f
t2 x
I
2
t 2
M x
Q
二阶偏差量 铁木辛柯梁考虑
• 从材料力学学可知，存在如下关系： 欧拉梁不考虑
E
E
1.1梁(杆)的纵向振动
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u(x,t) (Asint B cost)(C sin x D cos x)
E
E
频率可用边界条件求得。例如，对两端都自由（自由－自由）杆
F
(0)
ES
d ( x)
dx
x0 0
F
(l)
ES
d ( x)
dx
xl 0
S (x) S 为杆的截面面积 E(x) E 为杆的材料弹性模量
(x) 为杆质量密度
u u dx x
F F dx x
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在忽略杆的阻尼情况下，沿轴向对该微元体的应用牛顿定理，即可得到：
z(w)
Sdx
2u t 2
uFx,t F x
dx
Ff x,t fdx
（1）振型中最大振幅为1，如前面杆的纵向振动振型；
（2）模态质量为单位1，即
（3）
l 0
i2dx
1
mi
l 0
si2dx
1
1.2固有振动模态特性
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5. 应变模态
杆应力和应变的关系
F E u E
S x
当杆作第n阶纵向固有振动时，有
n
u x
dn (x)
M
x EI
Q w
aSG x
其中α为剪切因子，例如矩形截面5/6，圆形截面0.9。
• 上述方程化为
S
2w t 2
Q x
f
M Q 0, M
x
x EI
,
w
x
• 消去Q，M和θ
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2 (EI 2w) S 2w f 0
x2 x2
t 2
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上次课程主要内容
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1 d11 第三d 2讲1 压d电31 材料及其应用 0 0
2 3 4 5 6
一二三四 、、、、压压振压电电子电ddddd11111材方的振64253料程振子的及动的ddddd定各模等6222264253义参式效及数及电ddd其之机路dd 33633性间电42653 质的耦关合EEE系系z132(63)数
x(u) dx
x
(x, t) 为轴的扭转振动的角位移
T (x, t) T 为作用轴上横截面内扭矩
I
2
t 2
GJ
2
x2
fT
fT (x, t) fT 为加在轴上的单位长度上的外加扭矩 圆形截面
I J
I (x) I 为单位长度绕x轴的质量转动惯量 J (x) J 为轴截面极惯矩
2 G 2 t2 x2
杆在三种典型边界条件下前4阶纵向振动之应变振型
1.2梁(轴)的扭转振动
• 纵扭电机
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1.2梁(轴)的扭转振动
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z(w)
0 x
( x,t )
dx l
fT(x,t )
T
x(u)
fT(x,t ) dx
T Tdx x
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• 引言
–超声电机是通过逆压电效应使弹性体（定子）在超声频域 内产生振动，通过定子、转子间的摩擦来获得其运动和力 矩的。它是振动利用工程最典型的例子。超声电机核心： 弹性体的振动。
–实际的结构（包括超声电机结构）都是由梁、板和壳体这 样简单的元件构成的。它们具有连续分布的质量和刚度， 即所谓的连续系统（弹性体），具有无穷多个固有振动模 态（固有频率及其固有振型）。
0
S
x
2u t 2
F dxx
f
（2.1）
由材料力学知： F l E u S x
（2.2）
x(u) F
uf dx
u u dx x
F F dx x
将（2.2）式代入（2.1）式，得到杆作纵向振动的偏微分方程
S
2u t 2
x
(ES
u ) x
f
（2.3）
对均匀材料的等截面杆，S(x) 、E(x) 、(x) 均为常数，则式（2.3）可简化为
dx 4
1 q(t)
d 2q(t) dt 2
• 把分离常数设置为ω2，由上式导出：
d
2q(t dt 2
)
2
q(t
)
0
d
4 ( x)
dx4
S
EI
2
(
x)
0
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• 通解设为
q(t) Asin t B cos t
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0.67 0.40 0.80
0.50 0.33 0.67
0.50
0.25
0.75
0.17
0.83
0.29 0.57 0.86
0.25 0.50 0.75
0.12 0.38 0.62 0.88
杆在三种典型边界条件下的前四阶纵向振动之固有振型
1.2固有振动模态特性
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n
l
sin
n
x
l
,
n
1, 2,3,
,
1.2固有振动模态特性
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0.33 0.20 0.60
0.50
0.25
0.75
0.17 0.50 0.83
0.50 0.33 0.67
0.14 0.43 0.71
0.12 0.38 0.62 0.88
0.25 0.50 0.75
模态质量
Ki
l ES(di )2 dx
0 dx
Mi
l 0
Si2dx
4.振上或模型各倍态是个数的描质的述点方规在的法－i2某振称化一幅为个是规0l E固不一0lS有独化(Sd频立，dxi率的振2i d)下，型2xd弹有规x 性一一体定化MK振比的ii 幅例方的或法分倍主布数要规关有律系三。，种它选说取明这弹个性比体例
2. 模态参数的依赖性
一般情况下模态参数只依赖（取决）于它的质量和刚度分布，即 只取决于弹性体（连续系统）本身。
1.2固有振动模态特性
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3.模态的正交性
模态刚度
l
0 Sijdx 0 l ES di d j dx 0
0 dx dx
弹性固有振动模 态的正交性条件
–数值计算工具：NASTRAN、ANSYS 、COMSOL和 ATILA。
利用的振动模态
分类
• 梁（杆）的纵向振动 • 梁（轴）的扭转振动 • 梁的弯曲振动 • 矩形板的固有振动 • 实心薄圆板的固有振动 • 薄圆环的固有振动 • 薄圆环面内固有振动 • 圆柱壳体的固有振动
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D sinl 0
E
n
nπ l
E
n 0,1, 2, ,
n
(
x)
cos
n
πx l
n 1, 2,3,
,
杆的第n阶固有频率n的
固有模态（Natural mode）
一般解的形式
u( x, t )
n1
( An
sin nt
Bn
cos nt )
cos
n
πx l
1.1梁(杆)的纵向振动
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• 如果梁是均匀材料的等截面，则得到平衡方程：
EI
4w x4
S
2w t 2
f
0
• 若f = 0，则有
EI
4w x4
S
2w t 2
0
• 取振动位移函数
w(x,t) (x)q(t)
• 带入上述方程后
EI
d 4(x)
dx4
q(t)
S ( x)
d 2q(t) dt 2
0
EI
S
1
(x)
d
4 ( x)
dx
qn (t)
我们称 dn (x) 为杆作纵向应变固有振型或简称应变振型（应变模
态）。 dx
边界条件
固有频率
固有应变振型函数
n
(2n 1)
2l
E
n ( x)
(2n 1) 2l
cos(2n 1) x 2l
,n
1, 2,3
,
n
n
l
E
n ( x)
n
l
cos n
x
l
,n
1,
2, 3,
,
n
n
l
E
n ( x)
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“模态”这个名词既用于描述弹性体的振动模态（n,n ）， 又可单独表示振型n 的含义。
“模态振型” “振型驻波”
错误的概念
• 模态的一些重要特性
1. 模态的无限性和对应性
一个弹性体连续系统，是无限自由度系统，具有无限多个固有频 率及其振型，即 (n,n ), n 1, 2,3, , 一般情况下，每一个固有频率 i 都对应着一个固有振型 i
G(x) G 为轴材料的剪切模量
杆的纵向振动
2u E 2u
t2 x2
扭转模态
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• 轴在三种边界条件下圆轴作扭转振动的固有频率 及固有振型
1.3梁的弯曲振动
z x
y
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z x
y
1.3梁的弯曲振动（欧拉） 机械结构力学及控 制国家重点实验室 精密驱动研究所
• 对应 β 的频率 ω 和式中C、D、E、F等常数，由
边界条件来确定。最常见的边界条件为:
自由端 M = 0，Q = 0 固定端 w = 0， θ = 0 简支端 w = 0，M = 0
举例（两端自由）
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• 两端自由，边界条件为: x=0， M = 0，Q = 0 x=l， M = 0，Q = 0
dx2
0
上式分离成两个常微分运动方程，分别为空间域和时间域
2u E 2u
t2 x2
1 d2q(t)
=
E
d2(x) =常数= 2
q(t) dt2 (x) dx2
d
2q(t dt 2
)
2
q(t
)
0
d2(x) 2 (x) 0
dx2
E
q(t) Asint Bcost
(x) C sin x D cos x