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有限元原理(加权余量法和变分法)

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有限单元法的概念

有限单元法的概念

有限单元法的概念
1、基本思想:借助于数学和力学知识，利用计算机技术而解决工程技术问题。

三大类型(按其推导方法分):
(1) 直接刚度法(简称直接法)：根据单元的物理意义，建立有关场变量表示的单元性质方程。

(2) 变分法：直接从求解泛函的极值问题入手，把泛函的极植问题规划成线性代数方程组，然后求其近似解的一种计算方法。

(3) 加权余量法：直接从控制方程中得到有限单元方程，是一种近似解法。

2、有限单元法基本步骤
(1) 待求解域离散化
(2) 选择插值函数
(3) 形成单元性质的矩阵方程
(4) 形成整体系统的矩阵方程
(5) 约束处理，求解系统方程
(6) 其它参数计算
本文来源于:元计算官网。

变分法与加权余量法的等效性及有限元方程的直接获得

变分法与加权余量法的等效性及有限元方程的直接获得

变分法与加权余量法的等效性及有限元方程的直接获得崔翔; 谢羲
【期刊名称】《《数学物理学报：A辑》》
【年(卷),期】1990(010)001
【摘要】对存在泛函的算子方程边值问题,分别应用变分法和加权余量法推导出有限元方程,证明了两种方法的有限元离散的等效性。

提出计算边界场的方法及由算子方程边值问题直接求出有限元方程的方法,并举典型例题以示该法的实际应用.【总页数】9页(P94-102)
【作者】崔翔; 谢羲
【作者单位】不详
【正文语种】中文
【中图分类】O411.1
【相关文献】
1.直接变分法在一维基尔霍夫方程周期解存在性中的运用 [J], 金家华
2.有限元的加权余量法用于恒定磁场分析 [J], 詹荣安
3.三维Biot固结有限元方程的加权余量法推导 [J], 李伟;马骏
4.样条加权余量法用于有限元动力分析 [J], 朱加铭;费纪生
5.用加权余量法求圆环径向位移的近似方程 [J], 杜耀星
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4 有限元素法

4 有限元素法

2-2 几何方程
位移与应变之间的几何方程为
x
u x
， y
v y
， z
w z
xy
yx
u y
v， yz
zy
w v y z
对于平面问题，几何方程只有三个：
x
u x
， y
v y
， xy
yx
u y
v x
2-3 广义虎克定律
x 2
x
y 2
y
z
用变分法求解微分方程，首先要找到相 应的泛函。
对于有些问题相应的泛函尚未找到，或 者根本不存在相应的泛函。在这种情况 下，就无法用变分法求解。
加权余量法（也称加权余值法）是求微 分方程近似解的一种有效方法。
设有微分方程 G(x,y,y')0
假设有一个满足边界条件和具有一定连续程度
的试探函数 （~y其中含有若干待定系数）使
因为只需要满足本质性边界条件，而不 必考虑自然边界条件（第二、第三类边 界条件自动满足），试探函数的选取是 比较容易的。
试探函数阶次提高，解的精度也提高。
当网格特别细密时，相邻节点之间的变 化就很小，因此单元内分布假设的实际 细节变得不再重要。离散化方程的解将 趋近于相应微分方程的精确解。
单元形状
理复杂区域、复杂边界条件。 而对于具有规则的几何特性和均匀的材料特性
问题,差分法的程序设计比较简单,收敛性也比 有限元法好。 有限元法同时具有里兹法与差分法的优点，使 变分问题的直接解法变成了工程计算中的现实。
FEM的特点
有限元素方法是物理量的矩阵分析方法在连续 体中的有效推广。每个元素都采用有限个参数 来描述它的物理特性。
a
实现极值的必要条件是函数y(x)满足一维 欧拉方程

变分法和加权余量法

变分法和加权余量法

变分法和加权余量法是两种在数学和工程领域中常用的方法，它们主要用于解决微分方程和积分方程的近似解问题。

变分法是一种寻找函数最优解的方法，通常用于解决泛函的最小值问题。

它通过选取适当的函数，使得泛函取得极小值，从而得到原方程的近似解。

变分法广泛应用于物理学、工程学和经济学等领域，如最小势能原理、最小作用量原理等都是变分法的应用实例。

加权余量法是一种直接从微分方程或积分方程出发，通过选取适当的试探解，使余量在某种平均意义上为零的方法。

这种方法通过引入权函数来控制余量的分布，从而得到原方程的近似解。

加权余量法在计算力学、流体力学、固体力学等领域有广泛的应用，如有限元法、边界元法、无网格法等都是基于加权余量法的思想发展而来的。

总之，变分法和加权余量法都是重要的数学和工程方法，它们在不同的领域有着广泛的应用，是研究和解决微分方程和积分方程的有力工具。

如需了解更多相关信息，建议咨询数学或物理专业人士。

有限元原理(加权余量法和变分法)

有限元原理(加权余量法和变分法)

4. 加权余量法求解一般化偏微分方程的归纳
n
{[ wj( i )d] [ w*j ( i )d]}Ci wjq d w*j s d
i 1
系数
激励
边界条件
代数方程写成矩阵形式： [K ][C] [F ][b]
系数矩
阵n×n
待定系数矩阵、源矩阵、 边界矩阵n×1
1
w
* j
(（1）
（1）)
d

注意余数的实质

2
w
* j
(

n
（2）) d

w j (2 q) d
1 w*j (（1） g) d
2
w*j
(

n

h)
d
n
其中近似解： Ci i ，理论上尝试函数可任意选，
i 1
w jq d
2 w*j

n
d
2 w*j h d
j 1,2,3,.....n
上式第一项，由格林第一定律得：
w j2
d
w j
d

1 w j n d

2 w j n d
降了微分阶数，等于降了近似解（尝试函数）的连续性要求，从而扩展了 其选择范围
w jq d
2 w*j
n
d

2 w*j h d
w j d w jq d 2 w jh d
i 1
i 1
2.结合问题，写出余数表达式：
: R 2 2
2C2
2 2 ( 2 Ci xi ) 2 (C1x1) 2 (C2 x2 )

第1章有限元法的理论基础——加权余量法和变分原理复习题练习题

第1章有限元法的理论基础——加权余量法和变分原理复习题练习题

第1章 有限元法的理论基础——加权余量法和变分原理 复习题1.1已知一个数学微分方程，如何建立它的等效积分形式？如何证明两者是等效的？ 1.2 等效积分形式和等效积分“弱”形式的区别何在？为什么后者在数值分析中得到更多的应用？1.3 不同形式的加权余量法之间饿区别何在？除书中已列举的几种方法以外，你还能提出其他形式的加权余量法吗？如能，分析新方法有什么特点。

1.4什么是加权余量的伽辽金方法？它有什么特点？ 1.5如何识别一个微分算子是线性、自伴随的？识别它的意义何在？ 1.6 如何建立与线性、自伴随微分方程相等效的泛函和变分原理？如何证明它和加权余量的伽辽金方法之间的等效性？练习题1.1 一维热传导问题微分方程由（1.2.26）式给出，按1.2.2节例1.4给定的近似解及权函数用加权余量的配点法、子域法及伽辽金法求解并用图1.3进行校核。

1.2 某问题的微分方程是22220c Q x y φφφ∂∂+++=∂∂ 在Ω内 边界条件是 _φφ= （在1Γ上）_q n φ∂=∂ （在2Γ上） 其中和Q 仅是坐标的函数，试证明此方程的微分算子是自伴随的，并建立相应的自然变分原理。

c第2章 弹性力学问题有限元方法的一般原理和表达格式 复习题2.1 选择位移模式的原则是什么？以８结点四边形单元为例，如何选择体现所述原则的位移模式？2.2 单元刚度矩阵每一个元素的力学意义是什么？矩阵具有什么性质？这些性质的力学意义是什么？2.3 什么是单元结点自由度和结构结点自由度之间的转换矩阵？它在实际计算执行中有什么作用？2.4结构刚度矩阵和载荷列阵的集成实际是如何进行的？ 2.5结构刚度矩阵有什么性质和特点？在计算中如何利用它们？ 2.6 什么是有限元解的收敛性？什么是解的收敛准则？为什么必须满足这些准则，有限元解才能收敛于微分方程的精确解？2.7为什么位移元解具有下限性？力学上如何解释？ 2.8 为什么位移有限元的应力结果精度低于位移结果？应力结果表现出哪些特点？有什么能改进应力结果的方法？2.9 和平面问题有限元分析相比较，轴对称问题有限元分析有什么相同点和不同点？ 练习题2.1 如图2.1所示的3结点三角形单元，厚度=1cm ，弹性模量t E =2.0×MPa ，泊桑比510ν=0.3。

有限元

有限元结课作业班级：071221姓名：王丹学号：07122032一、有限元法简介有限元法（FEM，Finite Element Method）是一种为求解偏微分方程边值问题近似解的数值技术。

求解时对整个问题区域进行分解，每个子区域都成为简单的部分，这种简单部分就称作有限元。

它通过变分方法，使得误差函数达到最小值并产生稳定解。

类比于连接多段微小直线逼近圆的思想，有限元法包含了一切可能的方法，这些方法将许多被称为有限元的小区域上的简单方程联系起来，并用其去估计更大区域上的复杂方程。

它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的(较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满足条件(如结构的平衡条件），从而得到问题的解。

这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。

由于大多数实际问题难以得到准确解，而有限元不仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状，因而成为行之有效的工程分析手段。

二、有限元法的基本思想和特点有限元方法与其他求解边值问题近似方法的根本区别在于它的近似性仅限于相对小的子域中。

20世纪60年代初首次提出结构力学计算有限元概念的克拉夫（Clough）教授形象地将其描绘为：“有限元法=Rayleigh Ritz法＋分片函数”，即有限元法是Rayleigh Ritz法的一种局部化情况。

不同于求解（往往是困难的）满足整个定义域边界条件的允许函数的Rayleigh Ritz法，有限元法将函数定义在简单几何形状（如二维问题中的三角形或任意四边形）的单元域上（分片函数），且不考虑整个定义域的复杂边界条件，这是有限元法优于其他近似方法的原因之一。

有限元方法（FEM）的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。

有限元法发展综述

有限元法发展综述随着现代科学技术的发展，人们正在不断建造更为快速的交通工具、更大规模的建筑物、更大跨度的桥梁、更大功率的发电机组和更为精密的机械设备。

这一切都要求工程师在设计阶段就能精确地预测出产品和工程的技术性能，需要对结构的静、动力强度以及温度场、流场、电磁场和渗流等技术参数进行分析计算。

例如分析计算高层建筑和大跨度桥梁在地震时所受到的影响，看看是否会发生破坏性事故；分析计算核反应堆的温度场，确定传热和冷却系统是否合理；分析涡轮机叶片内的流体动力学参数，以提高其运转效率。

这些都可归结为求解物理问题的控制偏微分方程式往往是不可能的。

近年来在计算机技术和数值分析方法支持下发展起来的有限元分析（FEA，Finite Element Analysis）方法则为解决这些复杂的工程分析计算问题提供了有效的途径。

有限元法是一种高效能、常用的计算方法．有限元法在早期是以变分原理为基础发展起来的，所以它广泛地应用于以拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各类物理场中（这类场与泛函的极值问题有着紧密的联系）。

自从1969年以来，某些学者在流体力学中应用加权余数法中的迦辽金法(Galerkin)或最小二乘法等同样获得了有限元方程，因而有限元法可应用于以任何微分方程所描述的各类物理场中，而不再要求这类物理场和泛函的极值问题有所联系．一、有限元法的孕育过程及诞生和发展大约在300年前，牛顿和莱布尼茨发明了积分法，证明了该运算具有整体对局部的可加性。

虽然，积分运算与有限元技术对定义域的划分是不同的，前者进行无限划分而后者进行有限划分，但积分运算为实现有限元技术准备好了一个理论基础。

在牛顿之后约一百年，著名数学家高斯提出了加权余值法及线性代数方程组的解法。

这两项成果的前者被用来将微分方程改写为积分表达式，后者被用来求解有限元法所得出的代数方程组。

在18世纪，另一位数学家拉格郎日提出泛函分析。

泛函分析是将偏微分方程改写为积分表达式的另一途经。

第三章有限元法基础通常将有限元法分为两大类变分法和加权余量法

第三章 有限元法基础通常将有限元法分为两大类：变分法和加权余量法。

两种方法的出发点不同，但最后都归结为：①离散化：用若干个子区域（即单元）代替整个连续区域，②算子解析方程，即偏微分方程转化为代数方程组：区域的物理性质可以用节点上有限个自由度来描述，再应用离散系统分析方法将其汇集在一起。

§3-1 算子方程及变分原理 3.1.1 算子的概念（1）静电场中，泊松方程 ρϕε-=∇⋅∇ 可以写为 ρϕ=L ，其中∇⋅-∇=εL 称为算子。

（2）稳态磁场中，双旋度方程 J A =⨯∇⨯∇μ1J LA =⇒（3）时变场中，波动方程 J H H 2⨯∇=-⨯∇⨯∇νννk J H ⨯∇=⇒νL3.1.2 泛函 1、泛函的概念泛函是函数空间H 中，函数到数的映像，如()()[]x y I x I =也可以说泛函是函数的函数，函数空间中的某一函数()x y 有一个I 值与之对应，变量I 就是D 空间的函数()x y 的泛函。

例如 求()x y 所表示的曲线长度及所围面积。

曲线长度 ()[]⎰⎪⎭⎫⎝⎛+=2121x x dx dx dy x y I曲线所围面积 ()[]()⎰=21x x dx x y x y I不同的()x y ，有不同的I 与之对应，不同的 图3-1 求曲线长度及所围面积()[]x y I 构成了函数空间H 。

2、泛函连续若对于()x y 的微小改变，有泛函()[]x y I 的微小改变与之对应，就称泛函是连续的。

3、线性泛函若泛函满足 ()[]()[]x y cI x cy I = c 为常数 或 ()()[]()[]()[]x y I x y I x y x y I 2121+=+ 则称其为线性泛函。

4、函数的变分y δ泛函()[]x y I 的宗量()x y 的变分y δ是()x y 的微小增量 ()()x y x y y 1-=δ 5、泛函的变分I δ对于宗量()x y 的变分y δ，泛函的增量为()[]()[]()[]()[]y ,x y o y ,x y L I I I x y I y x y I I δδδδδδ+=+++=-+=∆ 32式中，()[]y x y L δ,是对y δ的线性泛函，是I ∆的主要部分，称为一阶（或一次）变分()[]y x y L I δδ,=()[]y x y o δ,是误差项。

第一章-理论基础-加权余量法和变分原理

第一章-理论基础-加权余量法和变分原理同济高校土木工程学院争辩生课程《有限单元法》第一章有限元法的理论基础——加权余量法和变分原理1、微分方程的近似解法2、加权余量法3、变分原理与里兹法4、弹性力学基本方程5、弹性力学变分原理授课老师：吴明儿教授2021年春1、微分方程的近似解法将连续体进行离散化，将微分方程离散成有限个未知数的代数方程组进行近似求解。

典型的离散方法有里兹法、加权余量法、差分法等。

数值解加权余量法变分法差分法数值积分法Monte Carlo法配点法最小二乘法力矩法伽辽金法里兹法变分法：存在泛函，取泛函数驻值，里兹法。

固体力学领域加权余量法：系统不需要存在泛函数。

其他领域2、加权余量法考虑某一维问题微分方程d2T dx2?T=0(0≤x≤1)边界条件T=0x=0边界条件1dT dx =1x=1边界条件2理论解T=(e x?e?x)(e+e?1)近似解T=β=1MNβx TβNβ:摸索函数已知函数；Tβ:待定参数未知系数选取：Nβ0=0β=1,2,…,M满足边界条件1加权余量法1wαΩd2T?T dx+wαΓd Tdx?1x=1=0(α=1,2,…,M)wαΩ及wαΓ为任意的加权函数。

加权函数的选取方法有配点法、子域法、最小二乘法、力矩法和伽辽金法等，以伽辽金法最为常用。

伽辽金法：wαΓ=?wαΩ=?Nα分部积分、考虑Nα0=0：Nαd Tdx1+1?dNαd Tdx?NαT dx+?Nαd Tdx?1x=1=01dNαdxd Tdx+NαT dx=Nα1若边界条件2左边为零，则Nα1=0，上式不需要对边界进行处理。

依据这种性质，边界条件2称为自然边界条件，边界条件1称为强制边界条件。

2、加权余量法考虑某一维问题微分方程d2T dx2?T=0(0≤x≤1)边界条件T=0x=0边界条件1dT dx =1x=1边界条件2理论解T=(e x?e?x)(e+e?1)将T=β=1M Nβx Tβ代入1dNαdxd Tdx+NαT dx=Nα1得KαβTβ=fα上式称为刚度方程，Kαβ为对称矩阵。

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Γ
= ∫ w j [(∑ C iψ i ) q ] d + ∫ w [ξ (∑ C iψ i ) s ] dΓ = 0
i =1 Γ * j i =1
n
n
4. 加权余量法求解一般化偏微分方程的归纳
w j [(∑ C iψ i ) q ] d + ∫ w * [ξ (∑ C iψ i ) s] dΓ = 0 j
3. 加权余量法－－例1
4. 求解上述两个代数方程组，得到待定系数，从而确定近似解 求解上述两个代数方程组，得到待定系数，
解得：C1＝10 / d； 2＝0 C
10 近似解：φ Γ） ∑ Ci x ＝C1 x + C2 x ＝ x （ ＝ d i =1
i 1 2 2
加权余量法求解流程： 加权余量法求解流程： 1.选取尝试函数、构造近似解 选取尝试函数、 选取尝试函数 2.结合问题，写出余数表达式 结合问题， 结合问题 3. 写出加权余数表达式 4. 令各加权余数表达式为 ，得到代数方程组，解之得到待定 令各加权余数表达式为0，得到代数方程组， 系数， 系数，从而确定近似解
i =1 Γ i =1 n n
∫
n
由于是线性微分算子，故微分、求和、积分次序可调换,代数方程变形：
{[ ∫ w j (ψ i )d]C i } + ∑ {[ ∫ w *ξ (ψ i )dΓ]C i } = ∫ w j q d + ∫ w * s dΓ ∑ j j
i =1 i =1 Γ Γ
n
∑ {[ ∫
n i =1
w j (ψ i )d ] + [ ∫ w*jξ (ψ i )dΓ ] Ci = ∫ w j q d + ∫ w*j s dΓ
Γ Γ
}
有j个代数方程， 通常等于待定系 数个数
4. 加权余量法求解一般化偏微分方程的归纳
∑{[ ∫
i =1
n
w j (ψ i )d] + [ ∫ w*ξ (ψ i )dΓ]}Ci = ∫ w j q d + ∫ w* s dΓ j j
2.结合问题，写出余数表达式： 结合问题，写出余数表达式： 结合问题
φ Γ） ∑
i= i =1
2
Γ： Γ = φ Γ） φ Γ） R （ （
在x = 0处： Γ R R 在x = d处：Γ
在x = 0处： Γ） ＝( C1 x1 + C2 x 2 ) φ x =0 （ x =0 1 2 φ 在x = d处： Γ） x = d ＝( C1 x + C2 x ) （ x=d
+∫
= C2 d 2 + 0 + ( C1d 2 + C2 d 3 10d ) = d 2C1 + d 2 ( 1 + d )C2 10d = 0
3. 加权余量法－－例1
3. 加权余数表达式： 加权余数表达式：
j = 2时, 又得到一个代数方程： F2 ( R ) = ∫ ψ 2 R d + ∫ ψ 2 RΓ dΓ
3.电磁场位函数偏微分方程的数值求解方法－加权余量法
加权余量法 在求解场域内， 在求解场域内，偏微分方程的真解为 φ ，近似解为 φ 它由一组简单函数
ψi
的线性组合表达， 的线性组合表达，表达中有待定系数
近似解
Ci
即：
问题的自 由度
φ = ∑ Ciψ i
i =1
n
简单函数，一般选用 简单形式的函数，一 旦选定就是已知的了
3.电磁场位函数偏微分方程的数值求解方法－加权余量法
当余数小于要求的精度时，就可以认为近似解就是偏微分方程的解。 当余数小于要求的精度时，就可以认为近似解就是偏微分方程的解。 要减少余数，我们可以通过寻求适当的待定系数来实现。 要减少余数，我们可以通过寻求适当的待定系数来实现。 为有效表达减小余数的效果，还选取适当的加权函数， 为有效表达减小余数的效果， 还选取适当的加权函数，以使余数和该加 权函数的积分为0。－－“加权余量法”的来由。 权函数的积分为 。－－“加权余量法”的来由。
x =0
＝0
在x = 0处： Γ）x =0＝0 φ （ φ 在x = d处： Γ）x = d ＝10 （
＝( C1d 1 + C2 d 2 ) 10 x=d
3. 加权余量法－－例1
3. 加权余数表达式： 加权余数表达式：
F j ( R ) = ∫ ψ j R d + ∫ ψ j RΓ dΓ，j = 1,2
2.数值求解方法
2/4
目标函数最小化的目的：一方面，使得近似解最大程度接近真解； 目标函数最小化的目的：一方面，使得近似解最大程度接近真解； 另一方面，求得构成近似解的待定系数。 另一方面，求得构成近似解的待定系数。
数学上，构成目标函数的方法很多， 数学上，构成目标函数的方法很多，不同的构成方法就形成了不同的 数值解法，电磁场中就常见的是：加权余量法和变分法。 数值解法，电磁场中就常见的是：加权余量法和变分法。
w j＝w ＝ψ j
* j
即：迦辽金法选取尝试函数本身为加权函数
3.电磁场位函数偏微分方程的数值求解方法－加权余量法
由此构建加权量法的目标函数： 由此构建加权量法的目标函数：
F j ( R ) = ∫ ψ j R d + ∫ ψ j RΓ dΓ，
Γ
关于函数的函数， 称为：泛函数，或 泛函
令 F j ( R ) = 0 则余数最小， φ 趋于φ
设加权函数为：w j ∈ ; w ∈ Γ
* j
3.电磁场位函数偏微分方程的数值求解方法－加权余量法
加权余数的定义： 加权余数的定义：
目标函数：
∫
w j R d + ∫ w* RΓ dΓ， j = 1,2,.... j
Γ
加权函数的选取方法很多：如点重合、子域重合、最小二乘法、迦辽金法。 加权函数的选取方法很多：如点重合、子域重合、最小二乘法、迦辽金法。 效果较好的、运用较多的是迦辽金法： 效果较好的、运用较多的是迦辽金法：
2φ = 0 φ 0 = 0; φ d = 10;
3. 加权余量法－－例1
加权余量法求解： 加权余量法求解： 1.选取尝试函数、构造近似解： 选取尝试函数、 选取尝试函数 构造近似解：
理论上任意选取， 操作中越简单越好
n 2
ψ i = x (i = 1,2)
i
φ = ∑ Ciψ i = ∑ Ci x i = C1ψ 1 + C2ψ 2 = C1 x1 + C2 x 2
2.数值求解方法
2/4
1. 基本思想：
以偏微分方程的近似解来代替其真解， 以偏微分方程的近似解来代替其真解，只要近似解与真解足够 接近，就可以近似解作为问题的解，并满足足够的精度。 接近，就可以近似解作为问题的解，并满足足够的精度。
尝试函数，基 函数，形函数
2. 基本方法：
1. 2. 3.
假设一个近似解，该解为一组（形式上） 假设一个近似解，该解为一组（形式上）简单函数 ψ i 的线性组合 来表示， 来表示，线性组合的系数就是一组待定系数 Ci 然后建立一种考虑了微分方程和边界条件的关于真解 φ 和近似解φ 间误差的目标函数 F 用适当的算法使得该目标函数最小化――最小化的过程就确定了 用适当的算法使得该目标函数最小化 最小化的过程就确定了 待定系数，从而也就得到了问题的近似解。 待定系数，从而也就得到了问题的近似解。
待定系数是真 正的求解目标
3.电磁场位函数偏微分方程的数值求解方法－加权余量法
加权余量法就是一种定义近似解与真解之间误差（即余数） 加权余量法就是一种定义近似解与真解之间误差（即余数），并设 法使其最小的方法。 法使其最小的方法。 加权余量法误差（即余数）的定义： 加权余量法误差（即余数）的定义：
(φ ) = q ∈ ξ (φ ) = s ∈ Γ
其中：φ = ∑ C iψ i
i =1 n
R = (φ ) (φ ) = (φ ) q 则其余数为：
令加权余数为0，构建代数方程：
RΓ = ξ (φ ) ξ (φ ) = ξ (φ ) s
F j ( R ) = ∫ w j [(φ ) q ] d + ∫ w * [ξ (φ ) s ] dΓ = 0 j
问题的自 由度
场域 内 : R = 2φ 2φ 边界Γ上： Γ = φ Γ） φ Γ） R （ （
注意：一般余数并不表示近似解与真解间的代数差（场域内） 注意 ： 一般余数并不表示近似解与真解间的代数差 （场域内 ） ， 加权余 量法的采用拉普拉斯算子作用后的差别（即余数） 量法的采用拉普拉斯算子作用后的差别 （ 即余数 ） ， 来代表近似解 整体接近偏微分方程真解的程度。 整体接近偏微分方程真解的程度。
Γ Γ
系数 代数方程写成矩阵形式：
系数矩 阵n×n
激励
边界条件
[ K ][C ] = [ F ][b]
待定系数矩阵、源矩阵、 边界矩阵n×1
K ji = w j (ψ i )d + w *ξ (ψ i )dΓ ∫ ∫Γ j 虽然元素值还需要积分、 矩阵元素值： 微分的求得，还难以借助 计算机求解，但至少化为 F j = ∫ w j q d 了代数方程组。 b j = ∫ w * s dΓ 通过选择合适的加权函数 j Γ 和尝试函数可以大大简化
Γ
= ∫ x 2 (2C2 )d + ∫
0
d
Γ| x = 0 Γ| x = d
x 2 ((C1 x1 + C2 x 2 ) x 2 ((C1 x1 + C2 x 2 )
x =0 x =d
0) dΓ 10) dΓ
+∫
2 = C2 d 3 + 0 + (C1d 3 + C2 d 4 10d 2 ) 3 2 = d 3C1 + d 3 ( + d )C2 10d 2 = 0 3