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2
球的体积
R ri R [ (i 1)]2 , i 1,2, , n n 3 R R i 1 2 2 Vi ri [1 ( ) ], i 1,2, n n n n
2
V半球 V1 V2 Vn
R 3
1 22 (n 1) 2 {1 [1 2 ] [1 2 ] [1 ]} 2 n n n n
n
[n
2
]
6
球的体积
1 1 (1 )( 2 ) n n ] V半球 R 3 [1 6 1 当n 时, 0. n
2 V半 球 R 3 3 4 从而V R 3 . 3
4 3 定理：半径是 R的球的体积为： V R 3
球的体积
在球的体积公式的推导过程中，使用了 “分割、求近似值、再将近似值转化为球的体 积”的方法： 即先将半径 n 等分；再求出每一部分体积 的近似值，并将这些近似值相加，得出半球的 近似体积；当 n 无限变大时，就可得到半球的 体积．
12 2 2 (n 1) 2 [n ] 2 n n 1 2 (n 1) R 3 1 (n 1) n (2n 1) (n 1)n(2n 1)
2 2
R 3
2
n 6 1 (n 1)( 2n 1) 3 R [1 2 ] n 6
球的体积公式的证明 已知球的半径为R,用V表示球的体积.
A A
ห้องสมุดไป่ตู้r3
B2
O
O
C2
r2
r1
r1
2R 2 R 2 2 R R, r2 R ( ) , r3 R ( ) . n n
2
2
球的体积 A
ri
O
R ( i 1) n
R
O
第i层“小圆片”下底面的 半径：
ri R R [ ( i 1)]2 , i 1,2 , n. n
