2020-2021学年上饶市高二上学期期末数学试卷(含答案解析)

2020-2021学年上饶市高二上学期期末数学试卷

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 已知−𝜋6<𝛼<𝛽<2𝜋3，则𝛼−𝛽的范围是( )

A. (−5𝜋6,5𝜋6) B. (−𝜋3,0) C. (−5𝜋6,0) D. (−5𝜋6,𝜋2)

2. 电影《你好，李焕英》于2021年2月12日在中国内地上映，创造了连续多日的单日票房冠军.某新闻机构想了解全国人民对《你好，李焕英》的评价，决定从某市3个区按人口数用分层抽样的方法抽取一个样本.若3个区人口数之比为2：3：4，且人口最少的一个区抽出100人，则这个样本的容量等于( )

A. 400 B. 450 C. 500 D. 550

3. 简单随机抽样、系统抽样、分层抽样之间的共同点是( )

A. 都是从总体中逐个抽取

B. 将总体分成几部分，按事先预定的规则在各部分抽取

C. 抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等

D. 抽样过程中，将总体分成几层，按比例分层抽取

4. “若𝑥>0，𝑦>0且𝑥+𝑦>2，求证1+𝑥𝑦<2，1+𝑦𝑥<2中至少有一个成立．”用反证法证明这个命题时，下列假设正确的是( )

A. 假设1+𝑥𝑦>2，1+𝑦𝑥>2

B. 假设1+𝑥𝑦≥2，1+𝑦𝑥≥2

C. 假设1+𝑥𝑦和1+𝑦𝑥中至多有一个不小于2

D. 假设1+𝑥𝑦和1+𝑦𝑥中至少有一个不小于2

5. 某商品的销售量𝑦(件)与销售价格𝑥(元/件)存在线性相关关系，根据一组样本数据(𝑥𝑖,𝑦𝑖)(𝑖=1,2,…,𝑛)，用最小二乘法建立的回归方程为𝑦̂=−10𝑥+200，则下列结论正确的是( )

A. 𝑦与𝑥成正线性相关关系

B. 当商品销售价格提高1元时，商品的销售量减少200件

C. 当销售价格为10元/件时，销售量为100件

D. 当销售价格为10元/件时，销售量为100件左右 6. 有一段演绎推理是这样的：“对数函数都是减函数，因为𝑦=𝑙𝑛𝑥是对数函数，所以𝑦=𝑙𝑛𝑥是减函数”，结论显然是错误的，这是因为( )

A. 推理形式错误 B. 小前提错误 C. 大前提错误 D. 非以上错误

7. 设𝑥，𝑦满足线性约束条件{2𝑥−𝑦+2≥0𝑥−3𝑦+1≤0𝑥+𝑦−2≤0，若𝑧=𝑎𝑥−𝑦(𝑎>0)取得最大值的最优解有无数多个，则实数𝑎的值为( )

A. 2 B. 13

C.

12 D. 3

8. 已知𝐴={1,2,4,5}，𝑎，𝑏∈𝐴则方程𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1表示焦点在𝑦轴上的椭圆的概率为( )

A. 34 B. 38 C. 316 D. 12

9. “<1”是“𝑥>1”的( )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

10. 下面程序运行时，从键盘输入4，则输出结果为

A. 4

B. 8

C. 15

D. 2

11. 命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( )

A. 所有不能被2整除的整数都是偶数

B. 所有能被2整除的整数都不是偶数

C. 存在一个不能被2整除的整数是偶数

D. 存在一个能被2整除的整数不是偶数

12. 用随机模拟方法，近似计算由曲线𝑦=𝑥2及直线𝑦=1所围成部分的面积𝑆.利用计算机产生𝑁组数，每组数由区间[0,1]上的两个均匀随机数𝑎1=𝑅𝐴𝑁𝐷，𝑏=𝑅𝐴𝑁𝐷组成，然后对𝑎1进行变换𝑎=2(𝑎1−0.5)，由此得到𝑁个点(𝑥𝑖,𝑦𝑖)(𝑖=1,2,…,𝑁).再数出其中满足𝑥𝑖2≤𝑦𝑖≤1(𝑖=1,2,…,𝑁)的点数𝑁1，那么由随机模拟方法可得到𝑆的近似值为( )

A. 2𝑁1𝑁 B. 𝑁1𝑁 C. 𝑁12𝑁 D. 4𝑁1𝑁

二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 某次体检测得6位同学的身高分别为172、178、175、180、169、177(单位：厘米)，则他们身高的中位数是______ (厘米)．

14. 通过观察所给两等式的规律：

①𝑠𝑖𝑛30°+𝑠𝑖𝑛60°𝑐𝑜𝑠30°+𝑐𝑜𝑠60°=1

②𝑠𝑖𝑛30°+𝑠𝑖𝑛90°𝑐𝑜𝑠30°+𝑐𝑜𝑠90°=√3

请你写出一个一般性的命题：______ ．

15. 设𝑥，𝑦满足约束条件{3𝑥−𝑦−2≤0𝑥−𝑦≥0𝑥≥0,𝑦≥0，若目标函数𝑧=𝑎𝑥+𝑏𝑦(𝑎>0,𝑏>0)的最大值为2，则1𝑎+1𝑏的最小值为______．

16. 如果𝑝⇒𝑞，且𝑞⇒𝑝，则𝑝是𝑞的______ 条件．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17. 已知关于𝑥的不等式𝑘𝑥2−2𝑥+6𝑘<0，(𝑘>0)，若不等式的解集为{𝑥|2<𝑥<3}，求实数𝑘的值．

18. 已知命题𝑝：∃𝑥0∈𝑅，−𝑥02+2𝑥0−2𝑚>0，𝑞：∀𝑥∈𝑅，𝑥2−2𝑚𝑥+1≥0．

(1)若命题￢𝑞为真命题，求实数𝑚的取值范围；

(2)若𝑝∨(￢𝑞)为真命题，求实数𝑚的取值范围．

19. 某汽车租赁公司为了调查𝐴，𝐵两种车型的出租情况，现随机抽取这两种车型各50辆，分别统计了每辆车在某个星期内的出租天数，统计数据如下表：

𝐴型车

出租天数 3 4 5 6 7

车辆数 3 30 5 7 5

𝐵型车 出租天数 3 4 5 6 7

车辆数 10 10 15 10 5

(𝐼) 试根据上面的统计数据，判断这两种车型在本星期内出租天数的方差的大小关系(只需写出结果)；

(Ⅱ)现从出租天数为3天的汽车(仅限𝐴，𝐵两种车型)中随机抽取一辆，试估计这辆汽车是𝐴型车的概率；

(Ⅲ)如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要购买一辆汽车，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由．

20.

设命题𝑝：关于𝑥的不等式1−𝑎⋅2𝑥≥0在𝑥∈(−∞,0]上恒成立；命题𝑞：函数𝑦=lg(𝑎𝑥2−𝑥+𝑎)的定义域是实数集𝑅.如果命题𝑝和𝑞有且仅有一个正确，求实数𝑎的取值范围．

21. 已知函数𝑓(𝑥)=(𝑥𝑎−1)2+(𝑏𝑥−1)2,𝑥∈𝐷，其中0<𝑎<𝑏．

(1)当𝐷=(0,+∞)时，设𝑡=𝑥𝑎+𝑏𝑥，𝑓(𝑥)=𝑔(𝑡)，求𝑦=𝑔(𝑡)的解析式及定义域；

(2)当𝐷=(0,+∞)，𝑎=1，𝑏=2时，求𝑓(𝑥)的最小值；

(3)设𝑘>0，当𝑎=𝑘2，𝑏=(𝑘+1)2时，1≤𝑓(𝑥)≤9对任意𝑥∈[𝑎,𝑏]恒成立，求𝑘的取值范围．

22. 2016年3月31日贵州省第十二届人民代表大会常务委员会第二十一次会议通过的《贵州省人口与计划生育条例》全面开放二孩政策．为了了解人们对于贵州省新颁布的“生育二孩放开”政策的热度，现在某市进行调查，对[5,65]岁的人群随机抽取了𝑛人，得到如下统计表和各年龄段抽取人数频率分布直方图：

分组 支持“生育二孩”人数 占本组的频率

[5,15) 4 0.8

[15,25) 5 𝑝

[2,35) 12 0.8

[35,45) 8 0.8

[45,55) 2 0.4

[55,65) 1 0.2 (1)求𝑛，𝑝的值；

(2)根据以上统计数据填下面2×2列联表，并根据列联表的独立性检验，能否有99%的把握认为以45岁为分界点对“生育二孩放开”政策的支持度有关系？参考数据：

𝑃(𝐾2≥𝑘) 0.050 0.010 0.001

𝑘 3.841 6.635 10.828

𝐾2=𝑛(𝑎𝑑−𝑏𝑐)2(𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑)

年龄不低于45岁的人数 年龄低于45岁的人数 合计

支持 ______ ______ ______

不支持 ______ ______ ______

合计 ______ ______ ______

参考答案及解析

1.答案：𝐶

解析：解：∵−𝜋6<𝛼<𝛽<2𝜋3，

∴−2𝜋3<−𝛽<𝜋6，𝛼−𝛽<0，

∴−5𝜋6<𝛼−𝛽<0，

故选：𝐶．

由−𝜋6<𝛼<𝛽<2𝜋3，可得−2𝜋3<−𝛽<𝜋6，𝛼−𝛽<0，即可得出．

本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．

2.答案：𝐵

解析：解：从某市3个区按人口数用分层抽样的方法抽取一个样本．

3个区人口数之比为2：3：4，且人口最少的一个区抽出100人，

设这个样本的容量为𝑛，

则2100=2+3+4𝑛，

解得𝑛=450．

∴这个样本的容量等于450．

故选：𝐵．

这个样本的容量为𝑛，则2100=2+3+4𝑛，由此能求出这个样本的容量．

本题考查样本容量的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．

3.答案：𝐶

解析：

本题考查简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的相同点，属于基础题．

解：三种抽样方法有共同点也有不同点，

它们的共同点就是抽样过程中每个个体被抽取的机会相同．

故选C．

4.答案：𝐵

解析：

本题主要考查用命题的否定，用反证法证明数学命题的方法和步骤，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口，属于基础题．

反设是一种对立性假设，即想证明一个命题成立时，可以证明其否定不成立，由此得出此命题是成立的．

解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．

而“1+𝑥𝑦<2，1+𝑦𝑥<2中至少有一个成立”的否定为“1+𝑥𝑦≥2，1+𝑦𝑥≥2”，

故选：𝐵．

5.答案：𝐷

解析：解：𝑥的系数为−10<0，故𝑦与𝑥具有负相关关系，故A错误；

商品销售价格提高1元时，商品的销售量增加200件，故B错误；

由相关关系的特点可知，把𝑥=10代入回归方程所得的𝑦值，

不是准确值，而是一个估计值，故C错误，D正确．

故选D．

𝑥的系数为−10，𝑦与𝑥具有负相关关系；商品销售价格提高1元时，商品的销售量增加200件；由相关关系的特点可知，把𝑥=10代入回归方程所得的𝑦值，不是准确值，而是一个估计值，综合可得答案．

本题考查线性回归方程，涉及相关关系的理解和回归方程的应用，属基础题．

6.答案：𝐶

解析：

当𝑎>1时，对数函数𝑦=log𝑎𝑥是增函数，当0<𝑎<1时，对数函数𝑦=log𝑎𝑥是减函数，故可得结论．

本题考查演绎推理，考查三段论，属于基础题．

解：当𝑎>1时，对数函数𝑦=log𝑎𝑥是增函数，当0<𝑎<1时，对数函数𝑦=log𝑎𝑥是减函数，

故推理的大前提是错误的．

故选C．

7.答案：𝐵