万有引力在天文学上的应用2

学科：物理

教学内容：万有引力定律在天文学上的应用

【学习目标】

识记

1．知道万有引力定律在天文学上的重要应用．

2．知道海王星与冥王星的发现．

理解应用

3．会用万有引力定律计算天体的质量

4．理解应用万有引力定律处理天体问题的思路方法，并会解决相关问题．

【基础知识精讲】

课文全解

万有引力定律的提出得益于人们对天体运动的观察记录．万有引力定律提出后，使得人们能更方便地认识宇宙，特别是天体的运动．利用万有引力定律，人们可以发现未知天体，获得遥远的未知天体的一些信息（如天体质量、运动轨道等）．需要指出的是天体在运动的过程中并非做圆周运动，运动轨迹大多是椭圆，但在中学阶段，我们通常把天体的运动看做是匀速圆周运动，它做匀速圆周运动所需的向心力由它所围绕的天体（常称为中心天体）对它的万有引力充当．

一、天体质量的计算

一般天体质量非常巨大，且不能直接测量，但可以根据环绕它做匀速圆周运动的另一星体轨道参数（如线速度、角速度、周期、轨道半径等），由万有引力充当向心力来求解，如已观测出某个天体环绕另一天体做匀速圆周运动的轨道半径r和周期T，设它的质量为m，另一天体质量为M，则由万有引力充当向心力，可得

G2rMm＝m(T2)2r，

所以M＝2324GTr．

当然，向心力还有其他各种表述形式，如

G2rMm＝m224Tr＝mrv2＝mω2r，

可得M＝2324GTr＝Grv2＝Gr32．

因此只要知道某一天体的轨道半径与线速度、角速度、周期、频率中的某一个参数，就可算出吸引它做圆周运动的另一天体也就是前面所述的中心天体的质量，如根据月球的运动情况可计算出地球的质量，根据地球绕太阳的运动可求太阳的质量．

二、发现未知天体

1781年，英国天文学家威廉·赫歇耳发现了天王星，其实这颗星体很早已在天文学家的观测、研究之中，只是过去认为它是一颗恒星．1821年，法国经度局要编制木星、土星和天王星的星历表，编制者利用建立在万有引力定律基础上的大行星摄动理论来计算这3颗行星的位置和轨道，发现木星与土星的理论计算与实际观测符合得很好，而天王星则很不理想，这和按1781年以前的观测资料计算的轨道完全是两个不同的椭圆轨道，是1781年以前的观测资料不准确，还是存在一个大行星的摄动，使天王星改变了运动的轨道呢？1830年以后天王星星历表上计算出来的位置又与观测实际误差达20″，并且误差越来越大，到1845年，误差竟达到2′之多，当时大多数天文学家并不怀疑观测资料的准确性，而认为存在一颗行星，它影响着天王星的运行轨道．但也有一些天文学家则怀疑大行星摄动理论的正确性，这一理论的基础是万有引力定律．然而，有两位年轻的天文学家则坚信万有引力定律是正确的，一位是英国的亚当斯，另一位是法国的勒威耶，他们认为天王星运动与利用万有引力定律计算的结果不相符合，一定是天王星外面还有一个大行星在影响着天王星的运动，要证明这个猜想的正确，就必须把未露面的行星找出来．1854年10月，英国剑桥大学学生亚当斯（1819～1892年）首先从理论上得出了结果，随后法国天文学家勒威耶（1811～1877年）也计算出来了，人们根据他们的预报果然观察到这颗新行星，命名为“海王星”．

当1846年勒威耶和亚当斯发现海王星以后不久，从1850年开始，一些天文学家就分析推算在海王星以外可能还有一颗未知的行星，经过长期的努力，终于在1930年3月14日，人们发现了太阳系的第9颗行星——冥王星．

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问题全解

环绕同一天体做圆周运动的不同星体的运动有何关系？

在万有引力作用下，不同星体可绕同一天体做圆周运动，如太阳系中九大行星都在围绕着太阳做圆周运动，它们的质量、轨道半径、运动周期等都不尽相同，可由万有引力定律和圆周运动的知识得出各物理量间的关系．

1．运行速度（线速度）与半径的关系

由G2rMm＝mrv2，可得v＝rGM，即v∝r1

由此可以看出绕同一天体做圆周运动的各星体线速度与轨道半径的平方根成反比，即同一半径上各星体线速度相等．轨道半径越大，线速度越小，而且线速度与它自身的质量m无关．

2．角速度与半径的关系

由G2rMm＝mω2r，可得ω＝3rGM，即ω∝31r．

由此可以看出绕同一天体做圆周运动的各星体角速度与轨道半径的三次方的平方根成反比，即同一轨道上各星体角速度相等．轨道半径越大，角速度越小，而且角速度与它自身的质量m无关．

3．周期与半径的关系

由G2rMm＝m224Tr，可得T2＝GMr324，即T2∝r3．

由此可以看出绕同一天体做圆周运动的各星体周期的平方与轨道半径的三次方成正比

（若将天体的实际椭圆运动看做圆周运动，这就是开普勒第三定律），同一轨道上各星体运动周期相等，轨道半径越大，周期越大．

通过上述讨论可知，虽然太阳系中的九大行星都在绕太阳做圆周运动，它们的线速度、角速度及公转周期各不相同，但可利用它们的半径大小比较出各物理量的大小，同时由于线速度、角速度、周期只与轨道半径有关，故而从理论上讲在同一轨道上能有多颗行星，不必担心它们相撞，但实际太阳系中各轨道上只有一颗行星．

［例1］21世纪，我国某宇航员踏上一半径为R的球状星体，该宇航员在该星体上能否用常规方法测量出该星球的质量？如果能，需要何种常用器材？

解析：根据在星球表面星球与宇航员的万有引力近似等于宇航员的重力，有

G2RMm＝mg，

可知M＝gR2/G

只要测出该星球表面的重力加速度，即可测出星球的质量

方法一：在星球表面用天平称量某物体A的质量m，再用弹簧秤悬吊物体A处于平衡状态，读出弹簧秤的示数F，则有F＝mg即g＝mF

所以，该星球的质量为M＝mGFR2

方法二：使一物体由静止开始自由下落，用米尺测量下落的高度h，用秒表测量下落的时间t，则有h＝21gt2即g＝22th

所以，该星球的质量为M＝222GthR

方法三：在星球表面上，两次用相同的力竖直上抛和平抛同一物体，使两次抛出时的初速率相等，用秒表测出从竖直上抛到落回抛出点的总时间，再用卷尺测出平抛的水平射程s和下落高度h，即可求出g值

由平抛运动知识s＝v0t h＝21g t2

消去t，得g＝220sv·2h ①

由竖直上抛知识v0＝g·20t ②

将②代入①消去v0，得g＝2022hts

所以，该星球的质量M＝20222GhtRs

点评：分析天体运动的基本思路

（1）把天体运动看成是匀速圆周运动，其所需的向心力由万有引力提供

即F万＝2rGMm＝mrv2＝mω2·r＝m(T2)2·r

（2）在地球表面或地面附近物体所受的重力等于地球对物体的万有引力

即mg＝2rGMm所以g＝2rGM，故重力加速度g随高度的增加而减小．

［例2］火星和地球绕太阳的运动可以近似地看作在同一平面内同方向的匀速圆周运动，已知火星的轨道半径R1＝2.3×1011 m，试估算火星冲日的时间间隔（即火星距地球最近时的时间间隔）．

解析：火星距地球最近时，太阳、火星、地球三者在一条直线上且火星、地球位于太阳的同侧（如图6－4－1所示），到下次火星冲日时，应为地球比火星多绕一圈，即多转角度2π所用的时间，已知地球的公转周期T2＝1年，由火星与地球的轨道半径可得到火星的公转周期T1，再由圆周运动的角速度与周期的关系即可求解．设火星冲日的时间间隔为ΔT，

图6－4－1

则ΔT＝211212122222TTTTTT． ①

由万有引力充当向心力可得

211RGMM＝M12124TR1， ②

222RGMM＝M22224TR2． ③

由②③可得

2221TT＝3231RR，

即T1＝T23231RR＝1.9T2＝1.9年．

将T1＝1.9年，T2＝1年

代入①式可得ΔT＝2.1年．

即火星冲日的时间间隔为2.1年．

［例3］（2001年春季）两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连

线上某点做周期相同的匀速圆周运动，现测得两星中心距离为R，其运动周期为T，求两星的总质量．两星球周期相同，其运行轨道有共同的圆心，且间距不变，其空间分布如图6－4－2所示．

图6－4－2

解析：设两星质量分别为M1和M2，都绕连线上O点做周期为T的圆周运动，两星到圆心的距离分别为L1和L2，由万有引力提供向心力．

故有 G221RMM＝M1224TL1 ①

G221RMM＝M2224TL2 ②

由几何关系知：L1＋L2＝R

联立解得 M1＋M2＝2324GTR

点评：（1）对于天体的运动，不仅要明确万有引力提供向心力，还要据题意明确天体运动的特点及空间分布形式．

（2）此为天体运动的双星问题，除两星间的作用外，其他天体对其不产生影响．

［例4］设想有一宇航员在某行星的极地上着陆时，发现物体在当地的重力是同一物体在地球重力的0.01倍，而该行星一昼夜的时间与地球相同，物体在它赤道上时恰好完全失重，若存在这样的星球，它的半径R应多大？

解析：题设条件指出，物体在赤道上恰好完全失重，这是由于该星球自转所造成的，在赤道平面物体所受星球的万有引力恰好等于它随星球自转所需的向心力．随着物体向星球极地移动，其视重将增大，在极地位置，物体所需向心力为零．

设行星的半径为R，在赤道上质量为m的物体随星体自转，物体受力如图6－4－3所示，

图6－4－3

根据牛顿第二运动定律得mg′－FN＝mω2R

依题FN＝0，所以g′＝ω2R．

在极地地区物体重力仅为地球上重力的0.01倍，可知g′＝0.01g

自转周期与地球相同，即T′＝T＝8.64×104 s，

可知该星球半径为

R＝2g＝224)(Tg′＝22401.0gT

＝22414.34)1064.8(8.901.0 m

＝1.85×107 m

点评：地球上的物体受到的重力，其本质是万有引力．当忽略地球自转的影响时，可以认为重力等于万有引力，当其自转影响不可忽略时，应考虑物体随地球自转所需向心力（如放在地面上物体所需向心力是地球对物体的引力和地面支持力的合力提供，此时重力并不等于万有引力）．

在南北两极处，物体所需向心力为零，故此两处物体所受的重力等于万有引力．

【学习方法指导】

应用万有引力定律分析天体运动的基本方法

（1）大多数行星的椭圆轨道都十分接近圆形，通常把天体运动看作理想模型：匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供，即

G2rmM＝mrv2＝mω2·r＝m(T2)2·r

其中M为圆心处的天体质量，m为匀速圆周运动的天体质量，r为轨道半径，即两天体球心间距离，应用时可据实际情况选用适当的公式进行分析或计算．

(2)若题目中给出了重力加速度，通常忽略圆心处天体的自转，则：万有引力等于重力，即

G2RmM＝mg

【知识拓展】

迁移

1．估算天体的平均密度．

把天体看作是半径为R的均匀球体，根据密度公式有

ρ＝334RM＝3232344RGTr＝3233RGTr

当天体的卫星恰好环绕天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R，故该天体的密度为ρ＝23GT．