第四节万有引力定律在天文学上的应用
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第四节万有引⼒定律在天⽂学上的应⽤
第四节万有引⼒定律在天⽂学上的应⽤
知识要点：
⼀、天体质量和密度的计算（以地球为例）1、“g、R”计算法：若已知地球半径R和地球表⾯的重⼒加速度g，
依mg＝GMm/R2得M＝gR2/G，∴ρ＝M/V＝3g/4πGR“GM＝gR2”通常称为黄⾦代换式，在求解⼀些问题时很有⽤处。
2、“T、r”计算法：若已知地球的卫星（如⽉球）绕地球做匀速圆周运动的周期T和半
径r，由GMm/r2＝m(2π/T)2r，得M＝4π2r3/GT2，∴ρ＝M/V＝3πr3/GT2R3。
若某⼀卫星绕地球在近地表⾯做圆周运动，则r＝R，此时ρ＝3π/GT2。只需测定运⾏周期即可。
当然，向⼼⼒还有其他各种表述形式，如GMm/r2＝m(2π/T)2r＝mv2/r＝mω2r，
可得M＝4π2r3/GT2＝v2r/G＝ω2r3/G。
因此只要知道某⼀天体的轨道半径与线速度、⾓速度、周期、频率中的某⼀个参数，就可算出吸引它做圆周运动的另⼀天体，也就是中⼼天体的质量和密度。
⼆、环绕同⼀天体做圆周运动的不同星体的运动参数关系1、运⾏速度（线速度）与半径的关系
由GMm/r2＝mv2/r，可得v＝√GM/r，即v∝√1/r
由此可以看出绕同⼀天体做圆周运动的各星体的线速度与轨道半径平⽅根成反⽐，即同⼀半径上各星体的线速度相等，轨道半径越⼤，线速度越⼩，⽽且线速度与它⾃⾝的质量m⽆关。2、⾓速度与半径的关系
由GMm/r2＝mω2r，可得ω＝√GM/r3，即ω∝√1/r3，
由此可以看出绕同⼀天体做圆周运动的各星体的⾓速度与轨道半径的三次⽅的平⽅根成反⽐，即同⼀半径上各星体的线速度相等，轨道半径越⼤，线速度越⼩，⽽且线速度与它⾃⾝的质量m⽆关。3、周期与半径的关系
由GMm/r2＝m(2π/T)2r，可得T2＝4π2r3/GM，即T2∝r3，
由此可以看出绕同⼀天体做圆周运动的各星体的周期的平⽅与轨道半径的三次⽅成正⽐（若将天体的实际随圆运动看作圆周运动，这就是开普勒第三定律），同⼀轨道上各星体的运动周期相等，轨道半径越⼤，周期越⼤。
三、发现未知天体
历史上天⽂学家曾经根据万有引⼒计算太阳系中天王星的运动轨道，由于计算值与实际情况有较⼤的偏离，促使天⽂学家经过进⼀步研究先后发现了海王星和冥王星。海王星和冥王星的发现进⼀步证明了万有引⼒定律的正确，⽽且也显⽰了万有引⼒定律对天⽂学研究的重⼤意义，海王星和冥王星的发现是理论指导实践的光辉典范，这表明：⼀个科学理论，不仅要能够说明已知的事实，⽽且要能预⾔当时还不知道的事实。
典型例题：
例1、要计算地球的质量，除已知的⼀些常数外还须知道某些数据，现给出下列各组数据，可以计算出地球质量的有（）A．已知地球半径R；
B．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径r和线速度v；
C．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度v和周期T；
D．地球公转的周期T1及动转半径r1。解析：由mg＝GMm/R2，得M＝gR2/G，所以选项A正确。
由GMm/r2＝mv2/r，得M＝rv2/G，所以选项B正确。
由M＝rv2/G，得M＝rv2/G＝(vT/2π)v2/G＝v3T/2πG，所以选项C正确。
若已知地球公转的周期T1及动转半径r1，只能求出地球所围绕的中⼼天体——太阳的质量，不能求出地球的质量，所以选项D是错误的。
故正确答案应选ABC。
例2、把太阳系中各⾏星的运动近似看作匀速圆周运动，则离太阳越远的⾏星（）A．周期越⼩；B．线速度越⼩；C．⾓速度越⼩；D．加速度越⼩。
解析：太阳系中各⾏星近似做匀速圆周运动，由万有引⼒提供向⼼⼒，则：GMm/r2＝mv2/r＝mω2r＝m(2π/T)2r＝ma，
所以：v＝√GM/r，ω＝√GM/r3，T＝2π√r3/GM，a＝GM/r2，
离太阳越远的⾏星，即轨道半径r越⼤。
由以上各式得：r↑→v↓，r↑→ω↓，r↑→T↑，r↑→a↓，
所以BCD正确。
例3、在某星球上，宇航员⽤弹簧测⼒计测得质量为m的砝码重量为G1，乘宇宙飞船在靠近该星球表⾯空间习⾏，测得其环绕周期是T，根据上述数据，试求该星球的质量。解析：砝码的重量等于万有引⼒，设星球半径为R，
由G1＝GMm/R2得R＝√GMm/G1①
设宇宙飞船质量为m1，宇宙飞船靠近星球表⾯飞⾏，其轨道半径约等于星球半径，做圆周运动的向⼼⼒等于万有引⼒
由GMm1/R2＝m1(2π/T)2R得M＝4π2R3/GT2②
①代⼊②：M＝4π2(√GMm/G1)3/GT2，得M＝T4G13/16π4Gm3。
例4、宇宙中有⼀种双星，质量分别为m1，m2的两颗星球，绕同⼀圆⼼做匀速圆周运动，它们之间的距离恒为L，不考虑其他星体的影响，两颗星的轨道半径和周期各是多少？解析：如右图所⽰，双星绕⼀圆⼼O做匀速圆周运动所需的向⼼⼒，
是双星彼此之相互吸引的万有引⼒，设m1的轨道半径为R1，m2
的轨道半径为R2（R1＋R2＝L），由于它们之间的距离恒定，因
此双星在空间的绕向⼀定相同，同时，⾓速度和周期也都相同。
由向⼼⼒公式得：
对m1：Gm1m2/L2＝m1ω2R1，
对m1：Gm1m2/L2＝m2ω2R2，
所以m1R1＝m2R2，
⼜因为R1＋R2＝L，故R1＝m2L/(m1＋m2)，R2＝m1L/(m1＋m2)，
由Gm1m2/L2＝m1ω2R1，将ω＝2π/T和R1＝m2L/(m1＋m2)代⼊得T2312
例5、在地不上观测太阳，测得太阳对地球的视⾓θ（太阳边缘两端向地球所引的两条直线间的夹⾓）为0.5°，⼜测得地球表⾯纬度1°所对应的经线长度L为100km，1年按365天计算，试估算太阳的平均密度ρS与地球的平均密度ρE的⽐值。
解：由ρS＝M S/(4πR S3/3)，ρE＝M E/(4πR E3/3)，
得ρS/ρE＝M S R E3/M E R S3①太阳对地球的视⾓θ决定于太阳半径R S与地球绕太阳公转半径r，
即2R S＝rθ，其中θ＝0.5°＝0.5×2π/360＝π/360
则2R S＝πr/360 ②
再由地球绕太阳运动的动⼒学⽅程有GM S M E/r2＝M E(2π/T)2r ③
由②、③消去r可得：GM S/R S3＝4×7203/πT2，④
式中T为地球公转周期。
再由重⼒近似与地球对物体的万有引⼒相等，则有mg＝GM E m/R E2⑤
⼜L＝2πR E/360（L为纬度1°所对应的经线长）⑥
由⑤、⑥可得：GM E/R E3＝2πg/360L ⑦
由①、④、⑦可得ρS/ρE＝7204L/π2T2g＝0.27
例6、⽕星和地球绕太阳的运动可以近似地看作在同⼀平⾯内同⽅向的匀速圆周运动，已知⽕星的轨道半径R1＝2.3×1011m，地球的轨道半径R2＝1.5×1011m，试估算⽕星冲⽇的时间间隔（即⽕星距地球最近时的时间间隔）。
解析：⽕星距地球最近时，即太阳、⽕星、地球三者在⼀条直线上且
位于太阳抽侧（如右图所⽰），到下次⽕星冲⽇时，应为地球⽐
⽕星多绕⼀圈。即多转⾓度2π所⽤的时间。
设⽕星公转周期为T1，地球公转周期T2＝1年，⽕星冲⽇的时间
间隔为ΔT，则：ω2－ω1＝2π/ΔT，
∴ΔT＝2π/(ω2－ω1)＝2π/(2π/T2－2π/T1)＝T2T2/(T1－T2)
由万有引⼒充当向⼼⼒可得：GMM1/R12＝M14π2R1/T12②
GMM2/R22＝M24π2R2/T22③
由②、③可得：T12/T22＝R13/R23，即T1＝T2√R13/R23＝1.9T2＝1.9年
将T1＝1.9年，T2＝1年代⼊①式可得：ΔT＝2.1年，即⽕星冲⽇的时间间隔为2.1年。例7、设地球E（质量为M）是沿圆轨道绕太阳S运动的，当地球运动
到位置P时，有⼀艘宇宙飞船（质量为m）在太阳和地球连线上的A处从静⽌出发，在恒定的推进⼒F作⽤下，沿AP⽅向做匀加速
运动，如图所⽰，2年后，在P处飞船掠过地球上空，再过半年，
在Q处⼜掠过地球上空，设地球与飞船间的引⼒不计，根据以上条例7图件证明：太阳地球间引⼒等于9π2MF/4m。
解析：设地球绕太阳做圆周运动的半径为R，则PQ＝2R，
飞船从A点到P时间t1＝2年，从P到Q点的时间t2＝0.5年，
则t1/ t2＝4︰1 ①
设飞船运动的加速度为a，则a＝F/m ②
则a(t1＋t2)2/2－at12/2＝2R，③
设地球公转周期为T＝1年，则t1＝2T，t2＝0.5T ④
由①、②、③、④可得R/T2＝9F/16m，
由于太阳与地球间引⼒充当向⼼⼒，故F引＝M4π2R/T2＝9π2MF/4m。
同步训练：
知识掌握1、若已知某⾏星绕太阳公转的半径为r，公转的周期为T，万有引⼒常量为G，则由此可求
出（）A．某⾏星的质量；B．太阳的质量；
C．某⾏星的密度；D．太阳的密度。
2、下列说法中正确的是（）
A．海王星和冥王星是⼈们依据万有引⼒定律计算的轨道⽽发现的；
B．天王星是⼈们依据万有引⼒定律计算的轨道⽽发现的；
C．天王星的运⾏轨道偏离根据万有引⼒计算出来的轨道，其原因是由于天王星受到轨道外⾯其他⾏星的引⼒作⽤。
D．以上均不正确。
3、⼀艘宇宙飞船绕⼀个不知名的⾏星表⾯飞⾏，要测定该⾏星的密度，仅仅只需（）
A．测定运⾏周期；B．测定环绕半径；
C．测定⾏星的体积；D．测定运动速度。
4、已知某⾏星绕太阳运动的轨道半径为r，周期为T，太阳的半径是R，则太阳的平均密度
是___________。（万有引⼒常量为G）5、两个⾏星的质量分别为m和M，绕太阳运⾏的轨道半径分别是r和R，则：
①它们与太阳之间的万有引⼒之⽐是___________。
②它们公转的周期之⽐是___________。
6、两颗⾏星的质量分别为m1和m2，绕太阳运动的轨道半径分别是r1和r2，若它们只受太
阳万有引⼒作⽤，那么，这两颗⾏星的向⼼加速度之⽐为（）A．1；B．m2r1/m1r2；C．m1r2/m2r1；D．r22/r12。
7、设⾏星绕恒星的运动轨道是圆，则其运⾏周期T的平⽅与其运动轨道半径R的三次⽅之
⽐为常数，即T2/R3＝K，那么K的⼤⼩决定于（）A．⾏星质量；B．恒星质量；
C．⾏星及恒星的质量；D．恒星的质量及⾏星的速率。
