万有引力定律在天体运动中的应用

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万有引力定律在天体运动问题中的应用模型

大连市物理名师工作室 门贵宝

1、一个简化模型： 一颗 环绕天体 绕一颗 中心天体 做近似的匀速圆周运动。

如图所示：中心天体的质量为M，半径为R，表面重力加速度为g；环绕天体的质量为m，环绕速度（线速度）为v，角速度为ω，环绕周期为T，轨道半径为r，环绕天体可看成质点。

2、一个核心方程：

环绕天体做匀速圆周运动所需的向心力由中心天体对它的万有引力提供。

rvmrMmG22 或 22mrrMmG

3、两组常用推论：

第一组：环绕速度与轨道半径的关系

rGMv 3rGM

第二组：轨道半径和环绕周期的关系

2234GMTr 2324GTrM

4、两个常用近似：

当研究中心天体表面问题或近天体表面环绕问题时，有以下两个近似关系：

rR mgRMmG2 各物理量之间的关系

m r

R v (ω T )

M ( g ) 2

5、综合“金三角”关系圈：

6、“人造地球同步卫星”问题：

地球同步卫星的特点是它绕地轴运转的角速度与地球自转的角速度相同，同步卫星轨道是 （“椭圆”、“圆 ” ），为 （赤道轨道、极地轨道、顺行轨道、逆行轨道 ）；其高度一定，约为36000Km ，环绕速度一定，约为 3100m∕s 。同步卫星的发射，通常都采用变轨发射的方法。要实现全球通信，至少需发射三颗地球同步卫星且对称分布在同一轨道上。

7、 “嫦娥1号”奔月问题：

一般环绕问题 天体表面问题 近天体表面环绕问题 rGMv2234GMTr2RGMgmggRv)(22mrrvm2rMmG3

万有引力定律的发现与应用

物理小论文

PB05000821 吴瑞阳

万有引力定律的发现

我们大家都知道万有引力定律是牛顿发现的，小时候我们也听说过牛顿看到苹果落地而发现万有引力的故事。但它的发现岂只是看见苹果落地这么简单？

万有引力公式：221RMGMF其中G为万有引力常量。在牛顿的时代，一些科学家已经有了万事万物都有引力的想法。而且牛顿和胡克曾经为了万有引力的发现权发生过争论。有资料表明，万有引力概念由胡克最先提出，但由于胡克在数学方面的造诣远不如牛顿，不能解释行星的椭圆轨道，而牛顿不仅提出了万有引力和距离的平方成正比，而且圆满的解决了行星的椭圆轨道问题，万有引力的优先发现权自然归属牛顿。

正如他所说过，牛顿是站在巨人的肩膀上。开普勒的研究成果对万有引力的发现有着不可磨灭的贡献。开普勒是德意志的天文学家，他的老师弟谷把一生的天文观测资料留给了他。在此基础上，开普勒经过20年的计算和整理于1609年发表了行星运动的第一、第二定律。后来又发表了行星运动的第三定律。

在牛顿的回忆录里可知，牛顿最先研究的是月亮的运动。牛顿的平方反比律是由开普勒的行星运动第三定律得出的。要对椭圆轨道情况进行计算，显然牛顿还必须有一些关于微积分和基本力学定律的概念，牛顿在基础力学上有过众多发现，同时牛顿和莱布尼茨各自独立的发现了微积分。牛顿应用了微积分来计算万有引力。关于万有引力定律的发现权，历史的结论是：它是牛顿发现的。万有引力的表达式为 2rGMmf，它的建立是牛顿定律和开普勒定律的综合的结果，而牛顿在其中起了关键的作用。

万有引力定律的建立

一.平方反比律的确定

1.从理论计算得出平方反比的假设：

为了简便起见，可把行星运动轨道看作圆形（把行星轨道看作圆形时，课本上已有相关证明），这样，根据面积定律，行星应作匀速圆周运动，只有向心加速度a=v2/r，其中，v是行星运行速度，r是圆形轨道的半径。

1．发现万有引力定律和测出引力常量的科学家分别是（ ）

A．开普勒、卡文迪许 B．牛顿、伽利略

C．牛顿、卡文迪许 D．开普勒、伽利略

2．若已知太阳的一个行星绕太阳运转的轨道半径为r，周期为'T，引力常量为G，则可求得（ ）

A．该行星的质量 B．太阳的质量

C．该行星的平均密度 D．太阳的平均密度

3．我国是世界上能够发射地球同步卫星的少数国家之一，关于同步卫星正确的说法是（ ）

A．可以定点在南京上空

B．运动周期与地球自转周期相同的卫星肯定是同步卫星

C．同步卫星内的仪器处于超重状态

D．同步卫星轨道平面与赤道平面重合

4．地球上有两位相距非常远的观察者，都发现自己的正上方有一颗人造地球卫星，相对自己而言静止不动，则这两位观察者的位置以及两颗人造地球卫星到地球中心的距离可能是（ ）

A．一人在南极，一人在北极，两卫星到地球中心的距离一定相等

B．一人在南极，一个在北极，两卫星到地球中心的距离可以不等，但应成整数倍

C．两人都在赤道上，两卫星到地球中心的距离一定相等

D．两人都在赤道上，两卫星到地球中心的距离可以不等，但应成整数倍

5．地球赤道上的物体重力加速度为g，物体在赤道上随地球自转的向心加速度为a，要使赤道上物体“飘”起来，则地球的转速应为原来的( )

A．ga B．gaa C．gaa D．ga

6．火星有两颗卫星，分别是火卫一和火卫二，它们的轨道近似为圆。已知火卫一的周期为7小时39分，火卫二的周期为30小时18分，则两颗卫星相比（ ）

A．火卫一距火星表面较近 B．火卫二的角速度较大

C．火卫一的运动速度较大 D．火卫二的向心加速度较大

7．两个行星A和B各有一颗卫星a和b。卫星的圆轨道接近各自行星的表面。如果两行星质量之比MA : MB = p，两行星半径之比RA : RB = q，则两卫星周期之比Ta : Tb为（ ）

万有引力定律天体运动

一、万有引力定律

（1）开普勒三定律

①所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。

②对每个行星而言太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相同的面积

③所有行星轨道的半长轴R的三次方与公转周期T的二次方的比值都相同，即常量TR23，常用开普勒三定律来分析行星在近日点和远日点运动速率的大小。

（2）万有引力定律：○1自然界的一切物体都相互吸引，两个物体间的引力的大小，跟它们的质量乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比。○2公式：221rmmGF，

G=6.67×10-11N.m2/kg2.○3适用条件：适用于相距很远，可以看做质点的两物体间的相互作用，质量分布均匀的球体也可用此公式计算，其中r指球心间的距离。

（3）三种宇宙速度：

○1第一宇宙速度V1=7.9Km/s,人造卫星的最小发射速度；

○2第二宇宙速度V2=11.2km/s,使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度；（3）第三宇宙速度V3=16.7km/s,使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。

注意：①V1=7.9Km/s是最小的发射速度，但是是最大的运行速度。当V1=7.9Km/s时，卫星近表面运行，V运=7.9Km/s。

②当7.9Km/s

二、万有引力定律的应用：

1、开普勒三定律应用

所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟公转周期的平方的比值都相等，这就是开普勒第三定律，也叫周期定律.我们把行星的椭圆轨道近似地当作圆，若用r代表轨道半径，T代表公转周期，则开普勒第三定律的表达式为r3/T2=k.

因用周期T表示，则把224Tan代入基本方程2224TmrMmG即得：kGMTr2234

显然这个量k只与恒星的质量M有关，而与行星其他任何物理量均无关。

2、各物理量与轨道半径的关系

若已知人造卫星绕地心做匀速率圆周运动的轨道半径为 r，地球的质量为M。

由nmarMmG2得卫星运行的向心加速度为221rrMGan 由rvmrMmG22得卫星运行的线速度为：rrGMv1