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八年级数学下册第四章因式
分解知识归纳（新版）北师大
版
班级：科目：
第四章 分解因式
一、公式：
1、ma+mb+mc=m （a+b+c ）
2、()()22a -b =a+b a-b
3、
()2
22a 2ab+b a b ±=±
二、把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式.
1、把几个整式的积化成一个多项式的形式，是乘法运算.
2、把一个多项式化成几个整式的积的形式,是因式分解.
3、ma+mb+mc=m （a+b+c ）
4、因式分解与整式乘法是相反方向的变形.
三、把多项式的各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的各项的公因式.
提公因式法分解因式就是把一个多项式化成单项式与多项式相乘的形式.
找公因式的一般步骤：(1）若各项系数是整系数，取系数的最大公约数；
（2）取相同的字母，字母的指数取较低的；
（3）取相同的多项式，多项式的指数取较低的.
(4）所有这些因式的乘积即为公因式。
四、分解因式的一般步骤为：
（1）若有“-"先提取“-”,若多项式各项有公因式,则再提取公因式.
（2)若多项式各项没有公因式，则根据多项式特点，选用平方差公式或完全平方公式.
（3）每一个多项式都要分解到不能再分解为止。
五、形如22a +2ab+b 或22a -2ab+b 的式子称为完全平方式.
六、分解因式的方法：1、提公因式法. 2、运用公式法.。
第四章小结与复习【学习目标】1.对本章知识进行巩固复习,形成熟练性认识.2.进一步熟悉提公因式法,运用公式法分解因式.【学习重点】根据多项式特征,选择适当方法分解因式.【学习难点】熟练应用提公因式法、运用公式法分解因式.情景导入 生成问题知识结构框图因式分解因式分解的概念公式法平方差公式—a 2－b 2＝(a ＋b)(a －b)完全平方差公式a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b)2a 2－2ab ＋b 2＝(a －b)2提公因式法自学互研 生成能力知识模块一 提公因式法范例1：若a 为有理数,是整式a(a －1)－a ＋1的值是( A )A .非负数B .正数C .负数D .0例1：(江西模拟)已知x －2y ＝－5,xy ＝－2,则2x 2y －4xy 2＝20.仿例2：△ABC 的三边长为a,b,c,且a ＋2ab ＝c ＋2bc,则△ABC 是( B )A .等边三角形B .等腰三角形C .直角三角形D .等腰直角三角形知识模块二 公式法范例2：(禅城中考)下列多项式中不能用公式法分解的是( D )A .－a 2－b 2＋2abB .a 2＋a ＋14C .－a 2＋25b 2D .－4－b 2仿例1：(1)(南通中考)因式分解：4m 2－n 2＝(2m ＋n)(2m －n)；(2)(东营中考)分解因式：4＋12(x －y)＋9(x －y)2＝(3x －3y ＋2)2.仿例2：因式分解或利用因式分解进行简便计算：(1)9x 2－16y 2； (2)(y ＋1)(y ＋2)＋14；(3)662＋652－130×66; (4)4x 2－(y 2－2y ＋1).解：(1)原式＝(3x ＋4y)(3x －4y)；(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322； (3)原式＝662＋652－2×65×66＝(66－65)2＝1；(4)原式＝4x 2－(y －1)2＝(2x ＋y －1)(2x －y ＋1).知识模块三 提公因式法和公式法的综合范例3：因式分解：(1)－3a 2x 2＋24a 2x －48a 2； (2)(a 2＋4)2－16a 2；(3)a2(a－b)3＋b2(b－a)3; (4)(a＋3)(a－7)＋25.解：(1)原式＝－3a2(x2－8x＋16)＝－3a2(x－4)2；(2)原式＝(a2＋4)2－(4a)2＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a)＝(a＋2)2(a－2)2；(3)原式＝a2(a－b)3－b2(a－b)3＝(a－b)3(a2－b2)＝(a－b)4(a＋b)；(4)原式＝(a＋3)(a－7)＋25＝a2－4a－21＋25＝a2－4a＋4＝(a－2)2.归纳：分解因式的步骤是一提、二用、三查,即有公因式的首先提公因式,没有公因式的用公式,最后检查每一个多项式的因式,看能否继续分解.仿例1：无论x,y取任何值时,多项式x2＋y2－2x－4y＋6的值总是(A)A.正数B.负数C.非正数D.非负数仿例2：(甘南中考)已知a2－a－1＝0,则a3－a2－a＋2 015＝2__015.交流展示生成新知【交流预展】1.将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的结论展示在各小组的小黑板上,并将疑难问题也板演到黑板上,再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑.2.各小组由组长统一分配展示任务,由代表将“问题和结论”展示在黑板上,通过交流“生成新知”.【展示提升】知识模块一提公因式法知识模块二公式法知识模块三提公因式法和公式法的综合检测反馈达成目标见光盘.课后反思查漏补缺1.收获：___________________________________________________________2.存在困惑：_______________________________________________________。
Word 文档1 / 1北师大版八年级下册数学第四章知识点数学思想方法是数学学问的精髓，是分析、解决数学问题的基本原则，也是数学素养的重要内涵，它是培育学生良好思维品质的催化剂。
下面是我整理的北师大版八年级下册数学第四章学问点，仅供参考希望能够关怀到大家。
北师大版八年级下册数学第四章学问点 相像概念相像，指相类、相像的意思。
语出《易·系辞上》:“与天地相像，故不违。
”学科上解释为假如两个图形样子相同，但大小不愿定相等，那么这两个图形相像。
相像三角形概念三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相像三角形。
相像三角形是几何中重要的证明模型之一，是全等三角形的推广。
全等三角形可以被理解为相像比为1的相像三角形。
相像三角形其实是一套定理的集合，它主要描述了在相像三角形是几何中两个三角形中，边、角的关系。
判定定理1.平行于三角形一边的直线和其他两边所构成的三角形与原三角形相像。
2.假如两个三角形对应边的比相等且夹角相等，这2个三角形也可以说明相像(简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相像。
)。
3.假如一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相像(简叙为：三边对应成比例，两个三角形相像。
)。
4.假如两个三角形的两个角分别对应相等(或三个角分别对应相等)，则有两个三角形相像(简叙为两角对应相等，两个三角形相像)。
数学有理数的加法法则⑴同号两数相加，取相同的符号，并把确定值相加。
⑴确定值不相等的异号两数相加，取确定值较大的加数的符号，并用较大的确定值减去较小的确定值。
互为相反数的两个数相加得0。
⑴一个数同0相加，仍得这个数。
两个数相加，交换加数的位置，和不变。
加法交换律：a+b=b+a三个数相加，先把前面两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。
加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 数学圆的对称性学问点 1、圆的轴对称性圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
2023-2024学年八年级数学北师大版下册名师教学设计：第四章小结与复习一. 教材分析北师大版八年级数学下册第四章主要包括了锐角三角函数、正弦函数、余弦函数和正切函数的定义和性质，以及它们在实际问题中的应用。
这一章是整个初中数学的重要部分，也是学生对数学进行分析、解决实际问题的重要工具。
在学习这一章时，学生需要对三角函数有一个清晰的认识，掌握其定义、性质和应用，为后续学习打下基础。
二. 学情分析学生在学习这一章之前，已经学习了初中数学的大部分内容，包括代数、几何等，对数学问题有一定的分析能力。
但部分学生可能对三角函数的概念和性质理解不深，对于如何运用三角函数解决实际问题还不够熟练。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对性地进行讲解和辅导。
三. 教学目标1.理解锐角三角函数、正弦函数、余弦函数和正切函数的定义和性质。
2.学会运用三角函数解决实际问题。
3.提高学生的数学分析能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：三角函数的定义和性质，以及如何运用三角函数解决实际问题。
2.难点：对三角函数的理解和运用，特别是如何将实际问题转化为三角函数问题。
五. 教学方法采用讲授法、案例分析法、小组合作法等多种教学方法，引导学生通过自主学习、合作交流，掌握三角函数的知识和技能。
六. 教学准备1.教案：详细的教学设计，包括导入、呈现、操练、巩固、拓展、小结等环节。
2.课件：生动的课件，帮助学生形象地理解三角函数的概念和性质。
3.练习题：针对性的练习题，巩固学生对三角函数的理解和运用。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考如何利用三角函数解决问题，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）讲解三角函数的定义和性质，通过示例让学生初步理解并掌握。
3.操练（15分钟）让学生通过做练习题，巩固对三角函数的理解和运用。
教师在旁边进行辅导，针对学生的不同问题进行讲解。
4.巩固（5分钟）通过总结刚才的学习内容，让学生加深对三角函数的认识。
第四章因式分解一、学生起点分析学生的知识技能基础：学生已经学习了因式分解的两种方法：提公因式法与公式法，逐步认识到了整式乘法与因式分解之间是一种互逆关系，但对因式分解在实际中的应用认识还不够深，应用不够灵活，对稍复杂的多项式找不出分解因式的策略．因此，教学难点是确定对多项式如何进行分解因式的策略以及利用分解因式进行计算及讨论.学生活动经验基础：在本章内容的学习过程中，学生已经经历了观察、对比、类比、讨论、归纳等活动方法，获得了一些对多项式进行分解因式以及利用分解因式解决实际问题所必须的数学活动经验基础，同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力．二、教学任务分析在前几节的学习中，学生已经掌握了提取公因式与公式法的用法，本课时安排让学生对本章内容进行回顾与思考，旨在把学生头脑中零散的知识点用一条线有机地组合起来，从而形成一个知识网络，使学生对这些知识点不再是孤立地看待，而是在应用这些知识时，能顺藤摸瓜地找到对应的及相关的知识点，同时能把这些知识加以灵活运用，因此，本节课的教学目标是：1．知识与技能：（1）使学生进一步了解分解因式的意义及几种因式分解的常用方法；（2）提高学生因式分解的基本运算技能；（3）能熟练地综合运用几种因式分解方法．2．过程与方法：（1）发展学生对因式分解的应用能力，培养寻求解决问题的策略意识，提高解决问题的能力；（2）注重学生对因式分解的理解，发展学生分析问题的能力和推理能力．3．情感与态度：通过因式分解综合练习和开放题练习，提高学生观察、分析问题的能力，培养学生的开放意识；通过认识因式分解在实际生活中的应用，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识．三、教学过程分析本节课设计了七个教学环节：知识回顾——总结归纳——小试牛刀——总结归纳——能力提升――活学活用——永攀高峰．第一环节 知识回顾活动内容：1、举例说明什么是分解因式。
2、分解因式与整式乘法有什么关系？3、分解因式常用的方法有哪些？4、试着画出本章的知识结构图。
第四章因式分解一、学生起点分析学生的知识技能基础：学生已经学习了因式分解的两种方法：提公因式法与公式法，逐步认识到了整式乘法与因式分解之间是一种互逆关系，但对因式分解在实际中的应用认识还不够深，应用不够灵活，对稍复杂的多项式找不出分解因式的策略．因此，教学难点是确定对多项式如何进行分解因式的策略以及利用分解因式进行计算及讨论.学生活动经验基础：在本章内容的学习过程中，学生已经经历了观察、对比、类比、讨论、归纳等活动方法，获得了一些对多项式进行分解因式以及利用分解因式解决实际问题所必须的数学活动经验基础，同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力．二、教学任务分析在前几节的学习中，学生已经掌握了提取公因式与公式法的用法，本课时安排让学生对本章内容进行回顾与思考，旨在把学生头脑中零散的知识点用一条线有机地组合起来，从而形成一个知识网络，使学生对这些知识点不再是孤立地看待，而是在应用这些知识时，能顺藤摸瓜地找到对应的及相关的知识点，同时能把这些知识加以灵活运用，因此，本节课的教学目标是：1．知识与技能：（1）使学生进一步了解分解因式的意义及几种因式分解的常用方法；（2）提高学生因式分解的基本运算技能；（3）能熟练地综合运用几种因式分解方法．2．过程与方法：（1）发展学生对因式分解的应用能力，培养寻求解决问题的策略意识，提高解决问题的能力；（2）注重学生对因式分解的理解，发展学生分析问题的能力和推理能力．3．情感与态度：通过因式分解综合练习和开放题练习，提高学生观察、分析问题的能力，培养学生的开放意识；通过认识因式分解在实际生活中的应用，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识．三、教学过程分析本节课设计了七个教学环节：知识回顾——总结归纳——小试牛刀——总结归纳——能力提升――活学活用——永攀高峰．第一环节知识回顾活动内容：1、举例说明什么是分解因式。
2、分解因式与整式乘法有什么关系？3、分解因式常用的方法有哪些？4、试着画出本章的知识结构图。
四川省乐山市马边县
2019年5月8日 第四章 分解因式
一、公式：
1、ma+mb+mc=m(a+b+c)
2、()()22a
-b =a+b a-b 3、()222a 2ab+b a b ±=±
二、把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。
1、把几个整式的积化成一个多项式的形式，是乘法运算.
2、把一个多项式化成几个整式的积的形式，是因式分解.
3、ma+mb+mc=m （a+b+c ）
4、因式分解与整式乘法是相反方向的变形。
三、把多项式的各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的各项的公因式.
提公因式法分解因式就是把一个多项式化成单项式与多项式相乘的形式.
找公因式的一般步骤：（1）若各项系数是整系数，取系数的最大公约数；
（2）取相同的字母，字母的指数取较低的；
（3）取相同的多项式，多项式的指数取较低的.
（4）所有这些因式的乘积即为公因式.
四、分解因式的一般步骤为:
（1）若有“-”先提取“-”，若多项式各项有公因式,则再提取公因式.
（2）若多项式各项没有公因式,则根据多项式特点,选用平方差公式或完全平方公式.
（3）每一个多项式都要分解到不能再分解为止.
五、形如22a +2ab+b 或22
a -2ab+
b 的式子称为完全平方式.
六、分解因式的方法：1、提公因式法。
2、运用公式法。
