2017秋八年级数学上册2.3等腰三角形第2课时等腰三角形的判定课件

问： △ABC是什么三角形？为什么？
A B
E 证明:∵AD∥BC,
1
∴∠1=∠B (两直线平行，同位角相等)
2 D ∠2=∠C (两直线平行，内错角相等)
∵∠1=∠2 (已知)
∴∠B=∠C (等量代换)
∴AB=AC (等角对等边) C
做一做
已知：如图，AD∥BC，BD平分 ∠ABC，求证：AB=AD
件
在一个三角形中， 在一个三角形中， 如果有两条边相等 如果有两个角相等
结论
这两条边所对的
这两个角所对的
两个角相等
两条边相等
简称
等边对等角
等角对等边
推理形 式
∵AB=AC， ∴∠B=∠C
∵∠B=∠C， ∴AB=AC
再见
1.如图：△ABC中，∠A=40°, ∠B=70° （1）求∠C等于多少度？ （2）△ABC是什么三角形？为什么？
A
解（1）∵∠A+∠B+∠C=180°
∴∠C=180°-∠B-∠C=70°
40°
（2）∵ ∠B=∠C
70°
B
C
∴△ABC是等腰三角形 （等角对等边）
做一做
A
36°
2.如图：已知∠ A＝36 °, ∠ DBC=36 °, ∠ C=72 °，计算∠ 1和∠ 2的度数，并说 明图中有哪些等腰三角形。
A
3D
证明：
∵BD是∠ABC的平分线
1
∴∠1=∠2 又∵AD∥BC
2
B
C
∴∠2=∠3（两直线平行，内错角相等）
∴ ∠1=∠3（等量代换）
即AB=AD（等角对等边）
想一想：
如图：利用今天学到的知识如何 A 测出旗杆的高度？

出CD的长， 就可以算出要求的绳长．
M
C
D
B
E
N
(2)
练习2
已知：如图， ∠A=
∠DBC =360， ∠C=720。
计算∠1和∠2，并说明图
中有哪些等腰三角形？
A
∠1=720 ∠2=360
2
等腰三角形有：△ABC， B △ ABD， △ BCD
D 1
C
练习3
2．如图，把一张矩形的纸沿对 角线折叠．重合部分是一个等 腰三角形吗？为什么？
AD∥BC。
求证：AB=AC
E
分析：从求证看：要证AB=AC，可 先证明∠B=∠C，
A
1 2
D
因为∠1=∠2，所以可以设
法找出∠B，∠C与∠B，∠C
的关系。
B
C
课本P78
证明：∵AD∥BC，
∴∠1=∠B（两直线平 行， 同位角相等）， ∠2=∠C（两直线平行， 内错角相等）。
又∵∠1=∠2，
∴∠B=∠C， ∴AB=AC（等边对 等角）。
在一般的三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边有什么 关系？
OAB来自3已知：△ABC中，∠B=∠C
求证：AB=AC
证明：作∠BAC的平分线AD
A
在△ BAD和△ CAD中， 1 2
∠1=∠2， ∠B=∠C，
AD=AD
B
C
D
∴ △ BAD≌ △ CAD（AAS）
∴AB=AC（全等三角形的对应边 相等）
等腰三角形的判定方法
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个 角所对的边也相等(简写成“等角对等边”)
应用格式:
在△ABC中
∵ ∠B=∠C ∴ AB=AC （等角对等边）

即BD=CE.
课堂练习
练习1 填空：
（1）如图，△ABC 中, AB =AC, ∠A =36°, 则∠B
=
72°
°； A
B
C
课堂练习
（2）如图，△ABC 中, AB =AC, ∠B =36°, 则∠A
=
108 °；
A
B
C
课堂练习
（3）已知等腰三角形的一个内角为70°,则它的另外两 个内角的度数分别是 70°、55°或4_0°__、_.
2.3 等腰三角形
第1课时 等腰三角形的性质
本节课是在学生已经学习了三角形 的基本概念及其性质的基础上，进 一步研究特殊的三角形——等腰三 角形，研究等腰三角形的底角、底 边上的中线、顶角平分线、底边上 的高所具有的性质．
• 学习目标： 1．探索并证明等腰三角形的三个性质． 2．能利用性质证明两个角相等或两条线段相 等． 3．结合等腰三角形性质推出等边三角形的性 质．
B
C
D
课堂练习
练习3 如图，△ABC 中，AB =AC，点D 在AC 上，
且BD =BC =AD．求△ABC 各角的度数． A
解 ：设∠A=x°， ∵AB =AC，BD =BC =AD， ∴∠ABD=x°.∠BDC=∠C=∠ABC=2x°. ∴2x+2x+x=180
x=36. ∴∠A=36°. ∴∠C=∠ABC=72°.
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
70°
课堂练习
练习2 如图，△ABC 是等腰直角三角形（AB = AC，∠BAC =90°），AD 是底边BC 上的高，标出∠B， ∠C，∠BAD，∠DAC 的度数，并写出图中所有相等的 线段.

教学课件
数学 八年级上册 浙教版
第2章 特殊三角形
2.4 等腰三角形的性质定理
复习回顾:
等腰三角形的性等. (在同一个三角形中,等边对等角) 3、等腰三角形三线合一 顶角平分线、底边上的中线 和底边上的高
等腰三角形的判定方法：
1、有两边相等的三角形是等腰三角形。(定义)
解： ∵ ∠ DAC= ∠ C+ ∠ ABC （三角形外角和的性质） 又 ∵ ∠ C=30 ° ∠ DAC= 60 ° ∴ ∠ ABC= ∠ DAC -∠ ACB=60 °- 30 ° =30 °∴ ∠ ABC= ∠ C ∴ AB=AC（在同一个三角形中， 等角对等边） 即AC的长就是河宽。
30
O
60
形．
“在同一个三角形中,等角对等边。” 辨一辨： “在同一个三角形中, 等边对等角。” 性质 判定
在同一个三角形中, 等角对等边
问：如图,下列推理正确吗? A
1 2
C
1
D
B
D ∵∠1=∠2 ∴ BD=DC （等角对等边）
C
A
2
B
∵∠1=∠2 ∴ DC=BC （等角对等边）
错，因为都不是在同一个三角形中。
60°
A
C
∴∠A=∠B =∠C=60°．
∴△ABC是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角 形).
第二种情况：顶角是60°； 已知:如图,在△ABC中，AB=AC,∠A=60°． 求证:△ABC是等边三角形． 证明:∵AB=AC，∠A=60°(已知), ∴∠C=∠B=60°(在同一个三角形 中，等角对等边) ∴∠A=∠B=∠C =60°， ∴△ABC是等边三角形(三个角都相 等的三角形是等边三角形)． B C A

∴∠B＝∠C（等边对等角）
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证法欣赏
方法一：作顶角∠BAC的平分线AD。
A ∵AD平分∠BAC
方法二：作底边BC的高AD。
∵AD⊥BC
A
∴∠1＝∠2 在△ABD与△ACD中
1
∴ ∠ADB ＝∠ADC＝90°
2
在△ABD与△ACD中
AB＝AC（已知）
∠ADB ＝∠ADC＝90°
∠1＝∠2（已证） B
分？并指出重合的部分是什么？
（3）由这些重合的部分，你能发现等腰三角形的性质吗？说一说你的猜想。
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动画演示
（2）把剪出的等腰三角形△ABC沿折痕对折，除两腰重合外还有 没有重合的部分？并指出重合的部分是什么？
A
B
C
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动画演示
（2）把剪出的等腰三角形△ABC沿折痕对折，除两腰重合外还有 没有重合的部分？并指出重合的部分是什么？
∴∠ABC=∠C=∠BDC=2 x
∴∠A+∠ABC+∠C= x 2x 2x 1800
x 360
在△ABC中∠A=36度 ∠ABC=∠C=72度
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基础训练
（1）已知等腰三形的一个顶角为36° ，则它的两个底角
分别为
72° 、72° .
（2）已知等腰三角形的一个角为40°，则其它两个角
A
B
C
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动画演示
（2）把剪出的等腰三角形△ABC沿折痕对折，除两腰重合外还有没
有重合的部分？并指出重合的部分是什么？
A
B
C
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动画演示
（2）把剪出的等腰三角形△ABC沿折痕对折，除两腰重合外还有 没有重合的部分？并指出重合的部分是什么？

C．70° D．50°
3.(1)等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为_7_5_°__,_3_0_°_；
(2)等腰三角形一个角为36°,它的另外两个角为_7_2_°__,_7_2_°__或__3_6_°__,1_0_8_°_；
(3)等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为__3_0_°__，__3_0_°.
A B DC
性质1:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).
如图,在△ABC中, ∵AB=AC(已知), ∴∠B=∠C(等边对等角).
A
B
C
性质2:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合 (三线合一）.
综上可得：如图,在△ABC中,
∵AB=AC, ∠1=∠2(已知)， ∴BD=CD,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）. ∵AB=AC, BD=CD (已知)， ∴∠1=∠2,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）.
∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
思考：由△BAD≌ △CAD，除了可以得到∠B= ∠C之外，你还可以得到那 些相等的线段和相等的角？和你的同伴交流一下，看看你有什么新的发现？
解：∵△BAD≌ △CAD，由全等三角形的性质易得 BD=CD,∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠CAD. 又∵ ∠ADB+∠ADC=180°， ∴ ∠ADB=∠ADC= 90° ， 即AD是等腰△ABC底边BC上的中线、顶角∠BAC的 角平分线、底边BC上的高线 .
C．65°或80°
D．50°或80°
【解析】当50°的角是底角时，三角形的底角就是50°；当50°的角是顶
角时，两底角相等，根据三角形的内角和定理易得底角是65°.故选A.
【点睛】等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角，则这个角可能是底 角也可能是顶角，要分两种情况讨论．

附：相关性质（性质1、2略）
3.等腰三角形的两底角的平分线相等(两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等)。 4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。 5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。 6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高(需用等面积法证 明)。 7.一般的等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是 它的对称轴。但等边三角形(特殊的等腰三角形)有条对称轴。每个角的角平分线 所在的直线，三条中线所在的直线，和高所在的直线就是等边三角形的对称轴。 8.等腰三角形中腰长的平方等于底边上高的平方加底的一半的平方(勾股定理)。 9.等腰三角形的腰与它的高的关系:腰大于高;腰的平方等于高的平方加底的一半 的平方。
等腰三角形的性质
目录
1
教材分析
2
学情分析
3
教学目标
4
教学重难点
内容：本节课是义务教育教科书数学八年级上册第十三章 第三节 13.31 等腰三角形。
编写意图：等腰三角形是特殊的三角形，也是多边形中最简单 的轴对称图形，利用它的轴对称性研究等腰三角形，进而通过推理 论证得到等腰三角形的性质和判定方法，同时从中找到证明这些性 质的思路，由此体会图形变化在几何研究中的作用。借助图形的变 化研究图形的性质是几何中常用的方法。学习等腰三角形的性质不 仅可以进一步认识三角形，而且还可以了解一些几何中研究问题的 基本思路和方法。
讲授新课
（应用新知）
你可以用学过的知识证明性质1吗？有哪些证明方法？
已知：如图，△ABC 中，AB=AC。
A
求证：∠B=∠C
可以运用全等三角
形的性质“对应角
相等”来证明。
B

第2课时 等腰三角形的判定
葫芦岛第六初级中学
判定
位于海上B、C两处的两艘救生船接到A处遇险 船只的报警，当时测得∠B=∠C.如果这两艘救 生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到 出事地点？
A
B
C
已知：如图，在△ABC中, ∠B=∠C,那么它们 所对的边AB和AC有什么数量关系?
A
做一做：画一个△ABC，其中
这也是判定一个三角形是等 腰三角形的根据之一.
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也
相等（简写成“等角对等边”）.
▼应用格式： A
在△ABC中，
∵∠B=∠C， ( 已知 )
∴ AC=AB. ( 等角对等边 )
B
C
即△ABC为等腰三角形.
辨一辨：如图,下列推理正确吗?
A
C
12
D
1
A2
B
B
B
C
∠B=∠C=30°，请你量一量AB与
AB=AC
AC的长度，它们之间有什么数量 关系，你能得出什么结论？
你能验证你的结论吗？
证明： 过A作AD平分∠BAC交BC于点D.
在△ABD与△ACD，
A
∠1=∠2，
12
∠B=∠C，
B
C
D
AD=AD，
∴ △ABD ≌ △ACD.
∴AB=AC.
★等腰三角形的判定方法
B
C
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD.
总结：平分角+平行=等腰三角形
【变式】 如图，把一张长方形的纸沿着对角线折叠， 重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？
解：重合部分是一个等腰三角形.

知2－练
2 如图所示，已知：∠α、线段a，求作等腰三角形 ABC，使底边BC＝a，其底角∠B＝∠α.(不写作 法，保留作图痕迹)
（来自《点拨》）
1.等腰三角形“三线合一”的性质包含三层含义： (1)已知等腰三角形底边上的中线，则它平分顶角，垂直于底 边； (2)已知等腰三角形顶角的平分线，则它垂直平分底边； (3)已知等腰三角形底边上的高，则它平分底边，平分顶角． 2．等腰三角形“三线合一”的性质常常可以用来证明角相等 、线段相等和线段垂直．在遇到等腰三角形的问题时，尝试 作这条辅助线，常常会有意想不到的效果．
（来自《点拨》）
解： 如图所示，△ABC就是所求作的三角形．
知2－讲
总结
知2－讲
利用尺规作等腰三角形时，要考虑等腰三角形的隐含 条件：有两条边相等；两个角相等.
知2－练
1 已知∠ α和线段a (如图），用直尺和圆规作等腰三 角形ABC,使顶 角∠ BAC= ∠ α ，角平分线AD=a.
（来自《教材》）
结论
知1－讲
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线 和高线 互相重合，简称等腰三角形三线合一 .
知1－讲
【例1】已知:如图 ，AD平分∠ BAC, ∠ ADB= ∠ ADC. 求证：AD丄BC.
（来自《教材》）
证明： 如图，延长AD，交于点E.
知1－讲
∵ AD 平分∠ BAC ，
∴ ∠ BAD = ∠ CAD (角平分线的定义）.
第2章 特殊三角形
2.3 等腰三角形的性质定理
第2课时 等腰三角形的 “三线合一”性质
等腰三角形的“三线合一”
1 课堂讲解 用尺规作等腰三角形
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结

13.(2024河北石家庄期中)如图,△ABC中,D为AC边上一点, DE⊥AB于E,ED的延长线交BC的延长线于F,且CD=CF. (1)求证:△ABC是等腰三角形. (2)当∠F= 30 度时,△ABC是等边三角形,并给出证明.
解析 (1)证明:∵CD=CF,∴∠F=∠CDF, ∵∠ADE=∠CDF,∴∠F=∠ADE, ∵DE⊥AB,∴∠F+∠B=90°,∠ADE+∠A=90°, ∴∠B=∠A,∴△ABC是等腰三角形. (2)当∠F=30度时,△ABC是等边三角形. 证明:当∠F=30°时, ∵DE⊥AB,∴∠B+∠F=90°,∴∠B=90°-30°=60°, 由(1)知△ABC是等腰三角形, ∴△ABC是等边三角形.
解析 ∵BP,CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线,∴∠ABP= ∠PBD,∠ACP=∠PCE,∵PD∥AB,PE∥AC,∴∠ABP=∠BPD, ∠ACP=∠CPE,∴∠PBD=∠BPD,∠PCE=∠CPE,∴BD=PD, CE=PE,∴△PDE的周长=PD+DE+PE=BD+DE+EC=BC=15 cm.
16.(2024河北承德期末,10,★★☆)如图,已知△ABC是等边三 角形,D是BC边上的一个动点(异于点B,C),过点D作DE⊥AB, 垂足为E,DE的垂直平分线交AC,BC于点F,G,连接FD,FE.当 点D在BC边上移动时,有下列三个结论:①△DEF一定为等腰 三角形;②△CFG一定为等边三角形;③△FDC可能为等腰三 角形.其中正确的有 ( C )
∵∠BDE=∠FEC-∠CBD=30°=∠CBD, ∴DE=BE=6, 故DE的长为6.
能力提升全练
15.(2024河北石家庄藁城期末,8,★★☆)如图,在△ABC中,AB =AC,∠BAC=108°,若AD、AE三等分∠BAC,则图中等腰三角 形有 ( D )