高考数学一轮复习课时规范练8幂函数与二次函数理新人教B版

幂函数与二次函数目录第一部分：基础知识 (2)第二部分：高考真题回顾 (3)第三部分：高频考点一遍过 (3)高频考点一：幂函数的定义 (3)角度1：求幂函数的值 (3)角度2：求幂函数的解析式 (4)角度3：由幂函数求参数 (4)高频考点二：幂函数的值域 (6)高频考点三：幂函数图象 (8)角度1：判断幂函数图象 (8)角度2：幂函数图象过定点问题 (10)高频考点四：幂函数单调性 (13)角度1：判断幂函数的单调性 (13)角度2：由幂函数单调性求参数 (14)角度3：由幂函数单调性解不等式 (15)高频考点五：幂函数的奇偶性 (18)高频考点六：二次函数 (20)角度1：二次函数值域问题 (20)角度2：求二次函数解析式 (21)角度3：由二次函数单调性（区间）求参数 (22)角度4：根据二次函数最值（值域）求参数.......................23角度5：动轴定范围，定轴动范围的最值问题.....................24第四部分：新定义题（解答题）.. (29)第一部分：基础知识R R R |0}x x ≥|0}x x ≠R|0}y y ≥R|0}y y ≥2、二次函数形如2()(0)f x ax bx c a =++≠的函数叫做二次函数.第二部分：高考真题回顾1．（2023·天津·统考高考真题）设0.50.60.51.01, 1.01,0.6a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b<<【答案】D【详解】由 1.01x y =在R 上递增，则0.50.61.01 1.01a b =<=，由0.5y x =在[0,)+∞上递增，则0.50.51.010.6a c =>=.所以b a c >>.故选：D第三部分：高频考点一遍过高频考点一：幂函数的定义角度1：求幂函数的值角度2：求幂函数的解析式角度3：由幂函数求参数典型例题例题1．（2024上·山东威海·高一统考期末）已知幂函数2()(214)k f x k k x =--在()0,∞+上单调递增，则k =（）A ．3-B ．3C ．5-D ．5【答案】D高频考点二：幂函数的值域高频考点三：幂函数图象角度1：判断幂函数图象．．．．【答案】B【分析】对B选项，根据，二次函数开口向下，不满足，其他选项满足类幂函数和二次函数性质，得到答案.(10a≠时，二次函数对称轴为A ．⑥③④②⑦①⑤B ．⑥④②③⑦①⑤C ．⑥④③②⑦①⑤D ．⑥④③②⑦⑤①【答案】C【分析】根据幂函数的图象的性质判断各图象对应解析式的形式，即可得答案【详解】图象（1）关于原点对称，为奇函数，且不过原点、第一象限递减，故角度2：幂函数图象过定点问题典型例题例题1．（2024上·上海·高一上海市吴淞中学校考期末）下列命题中正确的是（）A ．当0m =时，函数m y x =的图象是一条直线B ．幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点C ．幂函数m y x =图象不可能在第四象限内D ．若幂函数m y x =为奇函数，则m y x =是定义域内的严格增函数【答案】C【分析】由幂函数的图象与性质判断即可.A．p，q均为奇数，且p qB．q为偶数，p为奇数，且．．．．【答案】BD【分析】结合二次函数与幂函数的性质，逐一分析各选项即可得解.【详解】因为()22f x ax x =-，当1a =-时，()f x =，其图象开口向下，对称轴为高频考点四：幂函数单调性角度1：判断幂函数的单调性角度2：由幂函数单调性求参数典型例题例题1．（2023上·江苏镇江·高一江苏省镇江第一中学校考阶段练习）若()2222m my m m x+=--是幂函数，且在()0,∞+上单调递增，则m 的值为（）A ．1-或3B ．1或3-C ．1-D ．3【答案】D【分析】根据幂函数的性质即可求解.【详解】因为()2222mmy m m x+=--是幂函数，角度3：由幂函数单调性解不等式（2）根据函数的单调性和定义域得到不等式，解得答案.高频考点五：幂函数的奇偶性典型例题例题1．（2024·全国·高一假期作业）“幂函数()()21mf x m m x =+-在()0,∞+上为增函数”是“函数()222x x g x m -=-⋅为奇函数”的（）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要【答案】A高频考点六：二次函数角度1：二次函数值域问题典型例题例题1．（2024上·江西·高一校联考期末）已知函数2()23=-+f x x x ，则()f x 在区间[]0,4的值域为（）A ．[]3,6B ．[]2,6C ．[]2,11D ．[]3,11【答案】C【分析】由二次函数的单调性计算即可得.【详解】()22()2312f x x x x =-+=-+，则()f x 在()0,1上单调递减，在()1,4单调递增，又(1)2f =，(0)3f =，(4)11f =，故()f x 在区间[]0,4的值域为[]2,11.故选：C.例题2．（2024上·河南新乡·高一统考期末）已知函数()f x 满足()3log f x mx =，且()f x 的图象经过点()1,3.(1)求()f x 的解析式；(2)求函数()()()2[]45g x f x f x =-+在(],1-∞上的值域.【答案】(1)()3xf x =(2)[)1,5【分析】（1）利用指数和对数的互化公式，代入点的坐标即可求解；（2）利用换元法直接求解函数值域即可.【详解】（1）因为()3log f x mx =，所以()3mxf x =.又因为()f x 的图象经过点()1,3，所以33m =，解得1m =，故()f x 的解析式为()3xf x =.（2）当1x ≤时，033x <≤，令()(],0,3t f x t =∈，则()()222[]4545(2)1f x f x t t t -+=-+=-+，函数2(2)1y t =-+在(]0,2t ∈上单调递减，在[]2,3t ∈上单调递增，则当2t =时，()g x 取得最小值1，又22(2)1(02)15t -+<-+=，所以()g x 的值域为[)1,5.角度2：求二次函数解析式为2x =.角度3：由二次函数单调性（区间）求参数典型例题例题1．（2024下·云南红河·高一蒙自一中校考开学考试）已知二次函数221y x ax =-+在区间(2,3)内是单调函数，则实数a 的取值范围是（）A ．(,2][3,)-∞⋃+∞B ．[2,3]C ．(,3][2,)-∞-⋃-+∞D ．[3,2]--【答案】A【分析】根据二次函数的性质求解.【详解】二次函数221y x ax =-+的对称轴为0x a =，欲使得()2,3x ∈时是单调的，则对称轴0x a =必须在(2,3)区间之外，即2a ≤或者3a ≥.故选：A.例题2．（2024上·四川宜宾·高一统考期末）已知幂函数()()2133m f x m m x +=-+为偶函数，若函数()()21y f x a x =--在区间()1,1-上为单调函数，则实数a 的取值范围为（）A ．(],0-∞B ．[)2,+∞C ．[]0,2D ．(][),02,-∞⋃+∞【答案】D【分析】幂函数()()2133m f x m m x +=-+为偶函数，解得()2f x x =，函数()()21y f x a x =--在区间()1,1-上为单调函数，利用二次函数的性质，列不等式求实数a 的取值范围.【详解】()()2133m f x m m x +=-+为幂函数，则2331m m -+=，解得2m =或1m =，2m =时，()3f x x =；1m =时，()2f x x =.()f x 为偶函数，则()2f x x =.函数()()()22121y f x a x x a x =--=--在区间()1,1-上为单调函数，则11a -≤-或11a -≥，解得0a ≤或2a ≥，所以实数a 的取值范围为(][),02,-∞⋃+∞.故选：D.角度4：根据二次函数最值（值域）求参数角度5：动轴定范围，定轴动范围的最值问题当区间[],3t t +在对称轴左侧时，即1t ≤-时，()()2min 3288f x f t t t =+=+-=-，解得2t =-或0=t （舍去）当区间[],3t t +在对称轴右侧时，即2t ≥时，()()2min 458f x f t t t ==--=-，解得3t =或1t =（舍去），当对称轴在区间[],3t t +内时，即12t -<<时，()()min 29f x f ==-，不符合题意，综上所述，2t =-或3t =第四部分：新定义题（解答题）()224223x x f m m x +=-⋅+-为定义域()(),00,∞-+∞U 上的“G 函数”，否则不是．【点睛】思路点睛：根据题目新定义转化为存在定义域内的x ，使得()()0f x f x -+=，进而判断方程是否有解.。

课时标准练8幂函数与二次函数基础巩固组1.已知幂函数f(x)=k·xα的图象通过点(12,√22),则k+α=()A.1 2C.3 22.假设函数y=x2-3x-4的概念域为[0,m],值域为[-254,-4],则m的取值范围是()A.[0,4]B.[32,4] C.[32,+∞) D.[32,3]3.假设函数f(x)=x2+ax+b在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M-m()A.与a有关,且与b有关B.与a有关,但与b无关C.与a无关,且与b无关D.与a无关,但与b有关4.假设函数f(x)=x2-|x|-6,则f(x)的零点个数为()5.已知函数f(x)=x2+x+c,若f(0)>0,f(p)<0,那么必有() (p+1)>0 (p+1)<0(p+1)=0 (p+1)的符号不能确信6.已知幂函数f(x)的图象通过点(18,√24),P(x1,y1),Q(x2,y2)(x1<x2)是函数图象上不同的任意两点,给出以下结论:①x1f(x1)>x2f(x2);②x1f(x1)<x2f(x2);③f(x1)x1>f(x2)x2;④f(x1)x1<f(x2)x2,其中正确结论的序号是()A.①②B.①③C.②④D.②③7.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部份,图象过点A(-3,0),对称轴为x=-1.给出下面四个结论:①b2>4ac;②2a-b=1;③a-b+c=0;④5a<b.其中正确的选项是()A.②④B.①④C.②③D.①③8.(2018河北衡水中学押题一,3)以下函数中,与函数y=x3的单调性和奇偶性一致的函数是()=√x=tan x=x+1x=e x-e-x9.已知幂函数y=(m2-m-1)x m2-2m-3,当x∈(0,+∞)时为减函数,那么幂函数y=.10.已知二次函数y=x2-2(m-1)x+m2-2m-3,其中m为实数.(1)求证:不论m为何值时,那个二次函数的图象与x轴必有两个交点;(2)设那个二次函数的图象与x轴交于点A(x1,0),B(x2,0),且x1,x2的倒数和为23,求那个二次函数的解析式.综合提升组11.假设函数f (x )=x 2-ax-a 在[0,2]上的最大值为1,那么实数a 等于( )12.已知f (x )=x 3,若x ∈[1,2]时,f (x 2-ax )+f (1-x )≤0,则a 的取值范围是( ) ≤1≥1≥32≤3213.已知(3-2m )-1<(m+1)-1,则m 的取值范围是 . 14.已知函数f (x )=x 2-2ax+5(a>1).(1)若f (x )的概念域和值域是[1,a ],求实数a 的值;(2)若f (x )在(-∞,2]上是减函数,且对任意的x 1,x 2∈[1,a+1],总有|f (x 1)-f (x 2)|≤4,求实数a 的取值范围.创新应用组15.(2018河北保定一模,8)已知函数f (x )既是二次函数又是幂函数,函数g (x )是R 上的奇函数,函数h (x )=g (x )f (x )+1+1,则h (2 018)+h (2 017)+h (2 016)+…+h (1)+h (0)+h (-1)+…+h (-2 016)+h (-2 017)+h (-2 018)=( )01803603716.(2018河北衡水中学金卷一模,14)假设幂函数f (x )=3a xa+16的图象上存在点P ,其坐标(x ,y )知足约束条件{y -x ≤2,x +y ≤6,y ≥m ,那么实数m 的最大值为 .课时标准练8 幂函数与二次函数由幂函数的概念知k=1.因为f 12=√22,因此12α=√22, 解得α=12,从而k+α=32.由题意知,二次函数图象的对称轴的方程为x=32,且f (32)=-254,f (3)=f (0)=-4,结合图象可得m ∈[32,3].因为最值在f (0)=b ,f (1)=1+a+b ,f (-a )=b-a 2中取,因此最值之差必然与a 有关,与b 无关.应选B . (方式一)当x>0时,由f (x )=x 2-x-6=0,解得x=-2或x=3,因此x=3;当x<0时,由f (x )=x 2+x-6=0,解得x=2或x=-3,因此x=-3.故f (x )的零点个数为2.应选B .(方式二)当x>0时,由f (x )=x 2-x-6=0,解得x=-2或x=3,因此x=3;又因f (x )是偶函数,当x<0时,x=-3为另一零点,故f (x )的零点个数为2.应选B .函数f (x )=x 2+x+c 图象的对称轴为x=-12,又因为f (0)>0,f (p )<0,作出函数f (x )的草图(略),观看可得-1<p<0,p+1>0,因此f (p+1)>0.设函数f (x )=x α,由点(18,√24)在函数图象上得(18)α=√24,解得α=12,即f (x )=x 12.因为g (x )=xf (x )=x 32为(0,+∞)内的增函数,因此①错误,②正确;因为h (x )=f (x )x =x -12为(0,+∞)内的减函数,因此③正确,④错误.因为图象与x 轴交于两点,因此b 2-4ac>0,即b 2>4ac ,①正确;对称轴为x=-1,即-b2a=-1,2a-b=0,②错误;结合图象,当x=-1时,y>0,即a-b+c>0,③错误;由对称轴为x=-1知,b=2a.又函数图象开口向下,因此a<0,因此5a<2a ,即5a<b ,④正确.函数y=x 3既是奇函数也是R 上的增函数,对照各选项:y=√x 为非奇非偶函数,排除A;y=tan x 为奇函数,但不是R 上的增函数,排除B;y=x+1x为奇函数,但不是R 上的增函数,排除C;y=e x -e -x 为奇函数,且是R 上的增函数,应选D .由幂函数的概念结合已知得出m 2-m-1=1,解得m=2或m=-1.当m=2时,m 2-2m-3=-3,y=x -3在(0,+∞)上为减函数;当m=-1时,m 2-2m-3=0,y=x 0=1(x ≠0)在(0,+∞)不是减函数,舍去. 10.(1)证明 ∵Δ=4(m-1)2-4(m 2-2m-3)=16>0,∴二次函数的图象与x 轴必有两个交点. (2)解 ∵x 1+x 2=2(m-1),x 1·x 2=m 2-2m-3,1x 1+1x 2=23,∴能够取得x 1+x 2x1x 2=23, 即2(m -1)2-2m -3=2.解得m=0或m=5,y=x 2+2x-3或y=x 2-8x+12.当对称轴x=a2≤1,即a ≤2时,f (x )max =f (2)=4-3a=1,解得a=1,符合题意;当a>2时,f (x )max =f (0)=-a=1,解得a=-1(舍去).综上所述,实数a=1,应选B .∵f (-x )=-f (x ),f'(x )=3x 2≥0,∴f (x )在(-∞,+∞)内为奇函数且单调递增.由f (x 2-ax )+f (1-x )≤0,得f (x 2-ax )≤f (x-1), ∴x 2-ax ≤x-1,即x 2-(a+1)x+1≤0.设g (x )=x 2-(a+1)x+1,那么有{g (1)=1-a ≤0,g (2)=3-2a ≤0,解得a ≥32.应选C .13.(-1,23)∪(32,+∞) 结合幂函数y=x -1的图象,对自变量进行分类讨论,分为同正、同负、一正一负三种情形.(1){m +1>0,3-2m >0,m +1<3-2m ,解得-1<m<23;(2){m +1<0,3-2m <0,m +1<3-2m ,现在无解;(3){m +1>0,3-2m <0,解得m>32.综上可得:m ∈-1,23∪32,+∞.14.解 (1)因为f (x )=x 2-2ax+5=(x-a )2+5-a 2(a>1),因此f (x )在[1,a ]上是减函数, 又f (x )的概念域和值域均为[1,a ],因此{f (1)=a ,f (a )=1,即{1-2a +5=a ,a 2-2a 2+5=1,解得a=2. (2)因为f (x )在(-∞,2]上是减函数,因此a ≥2,又对称轴方程x=a ∈[1,a+1],且(a+1)-a ≤(a+1)-2=a-1,因此f (x )max =f (1)=6-2a ,f (x )min =f (a )=5-a 2, 因为对任意的x 1,x 2∈[1,a+1],总有|f (x 1)-f (x 2)|≤4, 因此f (x )max -f (x )min ≤4,即(6-2a )-(5-a 2)≤4,解得-1≤a ≤3, 又a ≥2,因此2≤a ≤3.综上,实数a 的取值范围是[2,3].∵函数f (x )既是二次函数又是幂函数,∴f (x )=x 2,则h (x )=g (x )x 2+1+1,∵g (x )是R 上的奇函数,∴g (0)=0.∴h (x )+h (-x )=g (x )x 2+1+1+g (-x )x 2+1+1=2,h (0)=g (0)0+1+1=1,因此h (2 018)+h (2 017)+h (2 016)+…+h (1)+h (0)+h (-1)+…+h (-2 016)+h (-2 017)+h (-2 018)=2 018×2+1=4 037,选D .作出题中不等式组确信的平面区域如图中阴影所示,∵f (x )=3a xa+16为幂函数,可知3a=1,∴a=13.∴f(x)=x 1 2.作出函数f(x)的图象可知,该图象与直线x+y-6=0交于点(4,2),当点(4,2)在可行域内时,图象上存在符合条件的点,即m≤2,故实数m的最大值为2.。

2.6 幂函数与二次函数核心考点·精准研析考点一幂函数的图象与性质1.幂函数f(x)=(m2-4m+4)在(0,+∞)上为增函数,则m的值为( )A.1或3B.1C.3D.22.若四个幂函数y=x a,y=x b,y=x c,y=x d在同一坐标系中的图象如图所示,则a,b,c,d的大小关系是( )A.d>c>b>aB.a>b>c>dC.d>c>a>bD.a>b>d>c3.(2019·全国卷Ⅱ)若a>b,则( )A.ln(a-b)>0B.3a<3bC.a3-b3>0D.|a|>|b|4.设a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系为( )A.a>c>bB.a>b>cC.c>a>bD.b>c>a【解析】1.选B.由题意知解得m=1.2.选B.由幂函数的图象可知,在(0,1)上幂函数的指数越大,函数图象越接近x轴,由题图知a>b>c>d.3.选C.当a=3,b=2时,选项A错.由于a>b,而y=3x是增函数,所以3a>3b,故B错.当a=3,b=-5时,选项D错.因为y=x3是增函数,故a3>b3,故C正确.4.选A.因为0<<<1,指数函数y=在R上单调递减,故<.又由于幂函数y=在R上单调递增,故>,所以<<,即b<c<a.1.幂函数图象的特点掌握幂函数图象只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域,即x=1,y=1,y=x分的区域.根据α<0,0<α<1,α=1,α>1的取值确定位置后,其余象限部分由奇偶性决定.2.比较幂值大小的方法在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较.【秒杀绝招】题3可以用特殊值法求解,令a=0,b=-1,则可排除选项A,B,D.考点二二次函数的图象与解析式【典例】1.设函数f(x)=x2+x+a(a>0),已知f(m)<0,则( )A.f(m+1)≥0B.f(m+1)≤0C.f(m+1)>0D.f(m+1)<02.已知二次函数f(x)=x2-bx+c满足f(0)=3,对∀x∈R,都有f(1+x)=f(1-x)成立,则f(x)的解析式为________.3.已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(-2,0)且有最小值-1,则f(x)=________.【解题导思】序号联想解题1由f(x)=x2+x+a,想到该函数的对称轴为x=-2 由f(1+x)=f(1-x),想到该函数的对称轴为x=13 由二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(-2,0),想到f(x)=ax(x+2)(a≠0)【解析】1.选C.因为f(x)的对称轴为x=-,f(0)=a>0,所以f(x)的大致图象如图所示,由f(m)<0,得-1<m<0,所以m+1>0,所以f(m+1)>f(0)>0.2.由f(0)=3,得c=3,又f(1+x)=f(1-x),所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称,所以=1,所以b=2,所以f(x)=x2-2x+3.答案:f(x)=x2-2x+33.设函数的解析式为f(x)=ax(x+2)(a≠0),所以f(x)=ax2+2ax,由=-1,得a=1,所以f(x)=x2+2x.答案:x2+2x1.用待定系数法求二次函数的解析式关键是灵活选取二次函数解析式形式,选法如下:2.二次函数解析式的三种形式(1)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0).(2)顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0).(3)两根式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).1.对数函数y=log a x(a>0且a≠1)与二次函数y=(a-1)x2-x在同一坐标系内的图象可能是()【解析】选A.若0<a<1,则y=log a x在(0,+∞)上单调递减,y=(a-1)x2-x开口向下,其图象的对称轴在y轴左侧,排除C,D.若a>1,则y=log a x在(0,+∞)上是增函数,y=(a-1)x2-x图象开口向上,且对称轴在y轴右侧,因此B项不正确,只有选项A正确.2.已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R,a≠0),x∈R,若函数f(x)的最小值为f(-1)=0,则f(x)=________.【解析】设函数f(x)的解析式为f(x)=a(x+1)2=ax2+2ax+a(a≠0),又f(x)=ax2+bx+1,所以a=1,故f(x)=x2+2x+1.答案:x2+2x+1考点三二次函数的性质及其应用命题精解读考什么:(1)幂函数的图象与性质,二次函数的图象与性质,求值或解不等式,求参数值等问题.(2)考查数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养.怎么考:幂函数、二次函数的单调性,函数的周期性以及对称性等知识单独或交汇考查,也可能以分段函数的形式呈现.新趋势:幂函数、二次函数与其他基本初等函数交汇,图象交点个数、方程、不等式交汇考查.学霸好方法一元二次不等式恒成立的条件(1)“ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a>0且Δ<0”.(2)“ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a<0且Δ<0”.二次函数的单调性问题【典例】已知函数f(x)=-2x2+bx,若对任意的实数t都有f(4+t)=f(4-t),则f(-2),f(4),f(5)的大小关系为 ( )A.f(5)>f(-2)>f(4)B.f(4)>f(5)>f(-2)C.f(4)>f(-2)>f(5)D.f(-2)>f(4)>f(5)【解析】选B.因为对任意的实数t都有f(4+t)=f(4-t),所以函数f(x)=-2x2+bx的图象关于直线x=4对称,所以f(-2)=f(10),又函数f(x)=-2x2+bx的图象开口向下,所以函数f(x)在[4,+∞)上是减函数,因为4<5<10,所以f(4)>f(5)>f(10),即f(4)>f(5)>f(-2).如何确定二次函数的单调性?提示:关键看二次函数图象的开口方向与对称轴.二次函数中的恒成立问题【典例】1.若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对一切x∈R恒成立,则a的取值范围是 ( ) A.(-∞,2] B.[-2,2]C.(-2,2]D.(-∞,-2)2.若关于x的不等式x2-4x≥m对任意x∈(0,1]恒成立,则m的取值范围为________.【解析】1.选C.当a-2=0即a=2时,不等式为-4<0,恒成立.当a-2≠0时,解得-2<a<2,所以a的取值范围是-2<a≤2.2.只需要在x∈(0,1]时,(x2-4x)min≥m即可.因为函数f(x)=x2-4x在(0,1]上为减函数,所以当x=1时,(x2-4x)min=1-4=-3,所以m≤-3.答案:(-∞,-3]1.由不等式恒成立求参数取值范围的思路是什么?提示:一般有两个解题思路:一是分离参数;二是不分离参数.2.两种思路目标是什么?提示:目标都是将问题归结为求函数的最值.二次函数的最值问题【典例】若函数f(x)=x2+ax+b在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M-m ( ) A.与a有关且与b有关 B.与a有关但与b无关C.与a无关且与b无关D.与a无关但与b有关【解析】选B.f(x)=x2+ax+b=+b-,对称轴为x=-,下面分情况讨论:(1)若->1,即a<-2时,f(x)max=f(0)=b,f(x)min=f(1)=a+b+1,此时M-m=b-(a+b+1)=-a-1.(2)若<-≤1,即-2≤a<-1时,f(x)max=f(0)=b,f(x)min=f=b-,此时M-m=b-=.(3)若0<-≤,即-1≤a<0时,f(x)max=f(1)=a+b+1,f(x)min=f=b-,此时M-m=a+b+1-=1+a+.(4)若-≤0,即a≥0时,f(x)max=f(1)=a+b+1,f(x)min=f(0)=b,此时M-m=a+b+1-b=1+a.综上,M-m与a有关,而与b无关.函数f(x)=ax2+bx+c在区间[m,n]上的最大值、最小值可能在何处取得?提示:由二次函数的图象和性质可知:其最大值、最小值可能为f(m),f(n),f.1.设函数f(x)=x2-23x+60,g(x)=f(x)+|f(x)|,则g(1)+g(2)+…+g(20)=( )A.56B.112C.0D.38【解析】选B.由二次函数图象的性质得,当3≤x≤20时,f(x)+|f(x)|=0,所以g(1)+g(2)+…+g(20)=g(1)+g(2)=f(1)+|f(1)|+f(2)+|f(2)|=112.2.已知函数y=ax2+bx-1在(-∞,0]上是单调函数,则y=2ax+b的图象不可能是( )【解析】选B.①当a=0,b≠0时,y=2ax+b的图象可能是A;②当a>0时,-≥0⇒b≤0,y=2ax+b的图象可能是C;③当a<0时,-≥0⇒b≥0,y=2ax+b的图象可能是D.3.(2019·南昌模拟)如果函数f(x)=x2-ax-a在区间[0,2]上的最大值为1,那么实数a=________.【解析】因为函数f(x)=x2-ax-a的图象为开口向上的抛物线,所以函数的最大值在区间的端点取得.因为f(0)=-a,f(2)=4-3a,所以或解得a=1.答案:11.(2020·合肥模拟)设函数f(x)=mx2-mx-1,若对于x∈[1,3],f(x)<-m+4恒成立,则实数m的取值范围为( )A.(-∞,0]B.C.(-∞,0)∪D.【解析】选D.由题意,f(x)<-m+4对于x∈[1,3]恒成立,即m(x2-x+1)<5对于x∈[1,3]恒成立.因为当x∈[1,3]时,x2-x+1∈[1,7],所以不等式f(x)<-m+4等价于m<.因为当x=3时,取最小值,所以若要不等式m<对于x∈[1,3]恒成立,则必须满足m<,因此,实数m的取值范围为.2.(2020·北京模拟)已知集合{a,b,c}={2,3,4},且下列三个关系:a≠3,b=3,c≠4有且只有一个正确,则函数f(x)=的值域是________.【解析】由{a,b,c}={2,3,4}得,a,b,c的取值有以下情况:当a=2时,b=3,c=4时,不满足题意.当a=2时,b=4,c=3时,不满足题意;当a=3时,b=2,c=4时,不满足题意;当a=3时,b=4,c=2时,满足题意;当a=4时,b=2,c=3时,不满足题意;当a=4时,b=3,c=2时,不满足题意;综上得,a=3,b=4,c=2,则函数f(x)==当x>4时,f(x)=2x>24=16,当x≤4时,f(x)=(x-2)2+3≥3,综上f(x)≥3,即函数的值域为[3,+∞).答案:[3,+∞)。

课时规范练8 幂函数与二次函数基础巩固组1.若四个幂函数y=x a,y=x b,y=x c,y=x d在同一坐标系中的图象如图,则a,b,c,d的大小关系是()A.d>c>b>aB.a>b>c>dC.d>c>a>bD.a>b>d>c2.(2022陕西咸阳一模)下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是()A.y=B.y=x2+1C.y=D.y=2|x|3.如果函数f(x)=x2+bx+c对任意的实数x,都有f(1+x)=f(x),那么()A.f(0)<f(2)<f(2)B.f(0)<f(2)<f(2)C.f(2)<f(0)<f(2)D.f(2)<f(0)<f(2)4.已知函数f(x)=2x2mx3m,则“m>2”是“f(x)<0对x∈[1,3]恒成立”的()A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件5.若函数f(x)=x2+4ax在[1,3]内不单调,则实数a的取值范围是.6.若函数f(x)=x2+ax在区间[1,2]上的最大值为a+1,则a的取值范围为.综合提升组7.若函数f(x)=x26x16的定义域为[0,m],值域为[25,9],则实数m的取值集合是()A.[3,6]B.[3,7]C.[6,7]D.以上都不对8.(2022北京昌平二模)已知函数f(x)=ax24ax+2(a<0),则关于x的不等式f(x)>log2x的解集是()A.(∞,4)B.(0,1)C.(0,4)D.(4,+∞)9.已知二次函数f(x)=2ax2ax+1(a<0),若x1<x2,x1+x2=0,则f(x1)与f(x2)的大小关系为()A.f(x1)=f(x2)B.f(x1)>f(x2)C.f(x1)<f(x2)D.与a值有关创新应用组10.已知二次函数f(x)=x2+bx+c的图象经过点(1,13),且函数y=f是偶函数.(1)求f(x)的解析式;(2)已知t<2,g(x)=[f(x)x213]·|x|,求函数g(x)在区间[t,2]上的最大值和最小值.答案：课时规范练8幂函数与二次函数1.B根据幂函数的性质及图象知选B.2.B对于A,y=是幂函数,是奇函数,不符合题意;对于B,y=x2+1是二次函数,是偶函数,在区间(0,+∞)上单调递增,符合题意;对于C,y=是幂函数,既不是奇函数又不是偶函数,不符合题意;对于D,y=2|x|=是偶函数,在(0,+∞)上单调递减,不符合题意.故选B.3.B∵f(x)=x2+bx+c对任意的实数x,都有f(1+x)=f(x),∴函数f(x)=x2+bx+c的对称轴为直线x=∵抛物线开口向上,对称轴为直线x=,x=0距离x=最近,x=2距离x=最远,∴f(0)<f(2)<f(2),故选B.4.C若f(x)<0对x∈[1,3]恒成立,则解得m>3,{m|m>3}是{m|m>2}的真子集,所以“m>2”是“f(x)<0对x∈[1,3]恒成立”的必要不充分条件.5由题意得f(x)=x2+4ax的对称轴为直线x=2a,因为函数f(x)在[1,3]内不单调,所以1<2a<3,得<a<6.(∞,3]f(x)=x2+ax的对称轴为直线x=①当,即a>3时,f(x)max=f(2)=4+2a=a+1,解得a=3,不符合题意,舍去;②当,即a≤3时,f(x)max=f(1)=1+a,符合题意,故a≤3.综上可知,a的取值范围为(∞,3].7.D由题意,f(x)=x26x16=(x3)225,即f(x)关于直线x=3对称且f(x)min=f(3)=25,∵f(x)定义域为[0,m],值域为[25,9],又f(0)=16,∴m>3,要使f(x)=9,在x≥0上有x=7,故m=7.8.C由题设,函数f(x)图象的对称轴为直线x=2,且图象开口向下,则f(x)在(0,2)上单调递增,(2,+∞)上单调递减,由f(x)=ax24ax+2=ax(x4)+2,即f(x)恒过(4,2),且f(0)=2,所以在区间(0,4)上f(x)>2,在区间(4,+∞)上f(x)<2.而y=log2x在(0,+∞)上单调递增,且在区间(0,4)上y<2,在区间(4,+∞)上y>2,所以f(x)>log2x的解集为(0,4).故选C.9.C由题意知该二次函数的图象开口向下,对称轴为直线x=因为x1<x2,x1+x2=0,所以x1<0,x2>0且|x1|=|x2|,当x1,x2在对称轴的两侧时,x1>x2,即x2离对称轴近,故f(x1)<f(x2).当x1,x2都在对称轴的左侧时,由单调性知f(x1)<f(x2).综上,f(x1)<f(x2).故选C.10.解(1)因为二次函数f(x)=x2+bx+c的图象经过点(1,13),所以13=1+b+c,即b+c=12;①又函数y=f是偶函数,所以y=f关于y轴对称,因此y=f(x)关于直线x=对称,所以=,即b=1,代入①式可得c=11,所以f(x)=x2+x+11.(2)由(1)知,f(x)=x2+x+11,所以g(x)=(x2+x+11x213)·|x|=(x2)·|x|=因为g(1)=1,当x<0时,由x2+2x=1,解得x=1因为x∈[t,2],所以当1≤t<2时,g(x)=x22x在[t,2]上单调递增,所以g(x)max=g(2)=0,g(x)min=g(t)=t22t;当0≤t<1时,g(x)=x22x在[t,1)上单调递减,在[1,2]上单调递增,所以g(x)max=g(2)=0,g(x)min=g(1)=1;当1t<0时,因为x<0时,g(x)=x2+2x在[t,0)上单调递增,则1=g(1)≤g(t)≤g(x)<g(0)=0;x∈[0,2]时,g(x)=x22x在[0,1)上单调递减,在[1,2]上单调递增,所以g(x)∈[g(1),g(2)]=[1,0],所以g(x)max=g(2)=0,g(x)min=g(1)=1;当t<1时,因为x<0时,g(x)=x2+2x在[t,0)上单调递增,所以g(t)≤g(x)<g(0)=0,且g(t)<g(1)=1;x∈[0,2]时,g(x)=x22x∈[1,0],所以g(x)max=g(2)=0,g(x)min=g(t)=t2+2t.综上,函数g(x)在区间[t,2]上的最大值g(x)max=g(2)=0,最小值为g(x)min=。

幂函数与二次函数一、选择题1．已知幂函数y ＝f (x )的图象过点P (2,4)，则f (3)＝( ) A ．2 B ．3 C ．8 D ．9D [设f (x )＝x α，则2α＝4，得α＝2，所以f (x )＝x 2，所以f (3)＝32＝9．] 2．如图，①②③④对应四个幂函数的图象，其中②对应的幂函数是( )A ．y ＝x 3B ．y ＝x 2C ．y ＝xD ．y ＝xC [由图知：①表示y ＝x ，②表示y ＝x ，③表示y ＝x 2，④表示y ＝x 3．]3．若幂函数f (x )＝(m 2－2m －2)x －m 2＋m ＋3在(0，＋∞)上是减函数，则实数m 的值是( )A ．－1或3B ．3C ．－1D ．0B [因为幂函数f (x )＝(m 2－2m －2)x －m 2＋m ＋3在(0，＋∞)上是减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －2＝1，－m 2＋m ＋3<0，由m 2－2m －2＝1，得m ＝－1或m ＝3，当m ＝－1时，－m 2＋m ＋3＝－1－1＋3＝1>0，所以m ＝－1舍去， 当m ＝3时，－m 2＋m ＋3＝－9＋3＋3＝－3<0， 所以m ＝3，故选B ．]4．已知函数y ＝ax 2＋bx －1在(－∞，0]上是单调函数，则y ＝2ax ＋b 的图象不可能是( )A BC DB [①当a ＝0，b ≠0时，y ＝2ax ＋b 的图象可能是A ； ②当a ＞0时，－b 2a≥0⇒b ≤0，y ＝2ax ＋b 的图象可能是C ；③当a ＜0时，－b2a≥0⇒b ≥0，y ＝2ax ＋b 的图象可能是D ．故选B ．]5．已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若f (0)＝f (4)＞f (1)，则( ) A ．a ＞0,4a ＋b ＝0 B ．a ＜0,4a ＋b ＝0 C ．a ＞0,2a ＋b ＝0D ．a ＜0,2a ＋b ＝0A [由f (0)＝f (4)，得f (x )＝ax 2＋bx ＋c 图象的对称轴为x ＝－b2a ＝2，∴4a ＋b ＝0，又f (0)＞f (1)，f (4)＞f (1)，∴f (x )先减后增，于是a ＞0，故选A ．]6．二次函数f (x )的二次项系数为正数，且对任意的x ∈R 都有f (x )＝f (4－x )成立，若f (1－2x 2)＜f (1＋2x －x 2)，则实数x 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(0,2)C ．(－2,0)D ．(－∞，－2)∪(0，＋∞)C [由题意知，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x ＝2，图象在对称轴左侧对应的函数为减函数．又1－2x 2＜2,1＋2x －x 2＝2－(x －1)2≤2，所以由f (1－2x 2)＜f (1＋2x －x 2)，得1－2x 2＞1＋2x －x 2，解得－2＜x ＜0．故选C ．]二、填空题7．已知幂函数f (x )＝x m 2－2m －3(m ∈Z )的图象关于y 轴对称，与x 轴及y 轴均无交点，则由m 的值构成的集合是________．{－1,1,3} [由幂函数f (x )与x 轴及y 轴均无交点，得m 2－2m －3≤0，解得－1≤m ≤3，又m ∈Z ，即m ∈{－1,0,1,2,3}，f (x )＝x m 2－2m －3 (m ∈Z )的图象关于y 轴对称，即函数为偶函数，故m 2－2m －3为偶数，所以m ∈{－1,1,3}．]8．(2021·广东深圳市二模)已知函数的图象关于y 轴对称，且与直线y ＝x 相切，则满足上述条件的二次函数可以为f (x )＝________．x 2＋14(答案不唯一)． [因为二次函数f (x )的图象关于y 轴对称，所以可设f (x )＝ax 2＋c ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax 2＋c ，y ＝x得ax 2－x ＋c ＝0，所以Δ＝1－4ac ＝0，即ac ＝14．取a ＝1，c ＝14，则f (x )＝x 2＋14，(答案不唯一)．]9．若关于x 的方程x 2－x －m ＝0在[－1,1]上有解，则实数m 的取值范围是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2 [法一：由x 2－x －m ＝0得m ＝x 2－x ，设f (x )＝x 2－x ，则f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－14，当x ∈[－1,1]时，f (x )min ＝－14，f (x )max ＝f (－1)＝2，即－14≤f (x )≤2，∴－14≤m ≤2．法二：设f (x )＝x 2－x －m ， 则f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－m －14， 因为方程f (x )＝0在[－1,1]上有解， 则⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－m －14≤0，f －1＝2－m ≥0，解得－14≤m ≤2．]三、解答题10．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3．(1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f (x )的值域； (2)若函数f (x )在[－1,3]上的最大值为1，求实数a 的值． [解](1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3，x ∈[－2,3]， 对称轴为x ＝－32∈[－2,3]，∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝94－92－3＝－214，f (x )max ＝f (3)＝15，∴函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－214，15．(2)∵函数f (x )图象的对称轴为x ＝－2a －12．①当－2a －12≤1，即a ≥－12时，f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，∴6a ＋3＝1，即a ＝－13，满足题意；②当－2a －12＞1，即a ＜－12时，f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1，∴－2a －1＝1，即a ＝－1，满足题意． 综上可知，a ＝－13或－1．11．已知二次函数f (x )的最小值为1，且f (0)＝f (2)＝3． (1)求f (x )的解析式；(2)若f (x )在区间[2a ，a ＋1]上不单调，求实数a 的取值范围；(3)在[－1,1]上，y ＝f (x )的图象恒在y ＝2x ＋2m ＋1的图象上方，试确定实数m 的取值范围．[解](1)∵f (x )是二次函数，且f (0)＝f (2)， ∴函数f (x )图象的对称轴为直线x ＝1． 又f (x )的最小值为1，故可设f (x )＝A (x －1)2＋1(A ≠0)． ∵f (0)＝3，∴A ＋1＝3，解得A ＝2， ∴f (x )＝2(x －1)2＋1＝2x 2－4x ＋3． (2)要使f (x )在区间[2a ，a ＋1]上不单调， 则2a ＜1＜a ＋1， 解得0＜a ＜12．(3)由已知得2x 2－4x ＋3＞2x ＋2m ＋1在[－1,1]上恒成立， 化简得m ＜x 2－3x ＋1． 设g (x )＝x 2－3x ＋1，则g (x )在区间[－1,1]上单调递减，∴g (x )在区间[－1,1]上的最小值为g (1)＝－1， ∴m ＜－1．1．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( ) A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关B [因为函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0,1]上的最大值、最小值在f (0)＝b ，f (1)＝1＋a ＋b ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝b －a 24中取，所以M －m 与a 有关，但与b 无关，故选B ．] 2．已知函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，若对一切x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，f (x )＞0都成立，则实数a 的取值范围为( )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞C ．[－4，＋∞)D ．(－4，＋∞)B [由题意得，对一切x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，f (x )＞0都成立，即a ＞2x －2x 2＝－2x 2＋2x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －122＋12对一切x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2都成立． 又－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －122＋12≤12， 则实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞．] 3．已知值域为[－1，＋∞)的二次函数f (x )满足f (－1＋x )＝f (－1－x )，且方程f (x )＝0的两个实根x 1，x 2满足|x 1－x 2|＝2．(1)求f (x )的表达式；(2)函数g (x )＝f (x )－kx 在区间[－1,2]上的最大值为f (2)，最小值f (－1)，求实数k 的取值范围．[解](1)由f (－1＋x )＝f (－1－x )可得f (x )的图象关于直线x ＝－1对称，设f (x )＝a (x ＋1)2＋h ＝ax 2＋2ax ＋a ＋h (a ≠0)，由函数f (x )的值域为[－1，＋∞)，可得h ＝－1， 根据根与系数的关系可得x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝1＋ha，所以|x 1－x 2|＝x 1＋x 22－4x 1x 2＝－4ha＝2，解得a ＝1， 所以f (x )＝x 2＋2x ．(2)由题意得函数g (x )在区间[－1,2]上单调递增，又g (x )＝f (x )－kx ＝x 2－(k －2)x ． 所以g (x )图象的对称轴为x ＝k －22，则k －22≤－1，解得k ≤0，故实数k 的取值范围为(－∞，0]．。

课时作业(七) [第7讲 幂函数与二次函数][时间：45分钟 分值：100分]基础热身1．[2011·陕西卷] 函数y ＝x 13的图象是( )图K7－12．“a ＝0”是“函数f (x )＝x 2＋ax 在区间(0，＋∞)上是增函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件 3．[2010·安徽卷] 设abc )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )图K7－2 4．已知二次函数y ＝x 2－2ax ＋1在区间(2,3)内是单调函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≤2或a ≥3 B ．2≤a ≤3C ．a ≤－3或a ≥－2D ．－3≤a ≤－2 能力提升 5．[2011·锦州模拟] 已知f (x )＝x 2＋x ＋c ，若f (0)>0，f (p )<0，则( ) A ．f (p ＋1)>0 B ．f (p ＋1)<0 C ．f (p ＋1)＝0D ．f (p ＋1的符号不能确定6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x <0.若f (2－a 2)＞f (a )，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B ．(－1,2) C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)7．若f (x )＝x 2－x ＋a ，f (－m )＜0，则f (m ＋1)的值为( ) A ．正数 B ．负数C ．非负数D ．与m 有关8．[2010·天津卷] 设函数g (x )＝x 2－2(x ∈R )，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g (x )＋x ＋4，x <g (x )，g (x )－x ，x ≥g (x )，则f (x )的值域是( )A.⎣⎡⎦⎤－94，0∪(1，＋∞) B ．[0，＋∞)C.⎣⎡⎭⎫－94，＋∞ D.⎣⎡⎦⎤－94，0∪(2，＋∞) 9α则不等式f (|x A ．{x |0<x ≤2} B ．{x |0≤x ≤4}C ．{x |－2≤x ≤2}D ．{x |－4≤x ≤4}10．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则k ＋α＝________.11．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋3在区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是________．12．一元二次方程x 2＋(a 2－1)x ＋(a －2)＝0的一根比1大，另一根比1小，则实数a 的取值范围是________．13．已知定义在区间[0,3]上的函数f (x )＝kx 2－2kx 的最大值为3，则k ＝________.14.(10分)已知函数f (x )＝(m 2－m －1)x －5m －3，m 为何值时，f (x )： (1)是幂函数；(2)是幂函数，且是(0，＋∞)上的增函数； (3)是正比例函数； (4)是反比例函数； (5)是二次函数．15．(13分)已知函数f (x )＝1－2a x －a 2x (a >1)． (1)求函数f (x )的值域；(2)若当x ∈[－2,1]时，函数f (x )的最小值为－7，求此时f (x )的最大值．难点突破16．(12分)[2011·吉林师大附中模拟] 已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 满足条件：f (x －3)＝f (5－x )，且方程f (x )＝x 有相等实根．(1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥2(a －1)x ＋a ＋14恒成立，求a 的取值范围．课时作业(七)【基础热身】1．B [解析] 因为y ＝x 13，由幂函数的性质，过点(0,0)，(1,1)，则只剩B ，C.因为y ＝x α中α＝13，图象靠近x 轴，故答案为B.2．A [解析] 由“函数f (x )＝x 2＋ax 在区间(0，＋∞)上是增函数”可知，对称轴x ＝－a2≤0，即a ≥0，所以“a ＝0”是“函数f (x )＝x 2＋ax 在区间(0，＋∞)上是增函数”的充分不必要条件．3．D [解析] 首先选择讨论的起点，应分为a >0和a <0.若a <0，则对于A ，c <0，b >0，－b2a>0，可以排除A ；对于B ，c >0，b <0，－b2a<0，排除B.若a >0，则bc >0，对于答案C ，c <0，－b2a>0，通过对称轴的位置可以排除C.4．A [解析] 由于二次函数的开口向上，对称轴为x ＝a ，若使其在区间(2,3)内是单调函数，则需所给区间在对称轴的同一侧，即a ≤2或a ≥3.【能力提升】5．A [解析] 二次函数的对称轴为直线x ＝－12，由f (0)>0，知f (－1)>0.又f (p )<0，则必有－1<p <0，∴p ＋1>0，∴f (p ＋1)>0，故选择A.6．C [解析] 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x <0的图象如图．知f (x )在R 上为增函数． ∵f (2－a 2)＞f (a )，即2－a 2＞a .解得－2＜a ＜1.7．B [解析] 法一：∵f (x )＝x 2－x ＋a 的对称轴为x ＝12，而－m ，m ＋1关于12对称，∴f (m ＋1)＝f (－m )＜0.法二：∵f (－m )＜0，∴m 2＋m ＋a ＜0，∴f (m ＋1)＝(m ＋1)2－(m ＋1)＋a ＝m 2＋m ＋a ＜0. 8．D [解析] 由题意f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x <g (x )，x 2－x －2，x ≥g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x ∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)，x 2－x －2，x ∈[－1，2] ＝⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫x ＋122＋74，x ∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)，⎝⎛⎭⎫x －122－94，x ∈[－1，2]，所以当x ∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)时，f (x )的值域为(2，＋∞)；当x ∈[－1,2]时，f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－94，0，故选D. 9．D [解析] ∵f ⎝⎛⎭⎫12＝22，∴α＝12.故f (|x |)≤2可化为|x |12≤2，∴|x |≤4.故其解集为{x |－4≤x ≤4}．10.32 [解析] ∵f (x )＝k ·x α是幂函数，∴k ＝1.又f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22， ∴⎝⎛⎭⎫12α＝22，∴α＝12.∴k ＋α＝1＋12＝32. 11．1≤m ≤2 [解析] ∵f (x )＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，∴其对称轴方程为x ＝1，f (1)＝2.∴m ≥1.又∵f (0)＝3，由对称性可知f (2)＝3，∴m ≤2，综上可知1≤m ≤2.12．－2＜a ＜1 [解析] 令f (x )＝x 2＋(a 2－1)x ＋(a －2)，方程就是f (x )＝0，它的一个根大于1，另一根小于1，f (x )＝x 2＋(a 2－1)x ＋(a －2)的图象是开口向上的抛物线，相当于说抛物线与x 轴的两个交点分别在点(1,0)的两侧，必有f (1)＜0，即1＋(a 2－1)＋a －2＜0，∴－2＜a ＜1.13．1或－3 [解析] (1)当k ＝0时，显然不成立．(2)当k ≠0时，f (x )＝k (x －1)2－k ，①当k >0时，二次函数图象开口向上，当x ＝3时，f (x )有最大值，f (3)＝k ·32－2k ×3＝3k ＝3⇒k ＝1；②当k <0时，二次函数图象开口向下，当x ＝1时，f (x )有最大值，f (1)＝k －2k ＝－k ＝3⇒k ＝－3.故k ＝1或－3.14．[解答] (1)∵f (x )是幂函数，故m 2－m －1＝1，即m 2－m －2＝0， 解得m ＝2或m ＝－1.(2)若f (x )是幂函数且又是(0，＋∞)上的增函数， 则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －1＝1，－5m －3>0，∴m ＝－1. (3)若f (x )是正比例函数，则－5m －3＝1，解得m ＝－45.此时m 2－m －1≠0，故m ＝－45.(4)若f (x )是反比例函数， 则－5m －3＝－1，则m ＝－25，此时m 2－m －1≠0，故m ＝－25.(5)若f (x )是二次函数，则－5m －3＝2，即m ＝－1，此时m 2－m －1≠0，故m ＝－1.15．[解答] 设a x ＝t >0，则y ＝－t 2－2t ＋1＝－(t ＋1)2＋2.(1)∵t ＝－1∉(0，＋∞)，∴y ＝－t 2－2t ＋1在(0，＋∞)上是减函数． ∴y <1，所以f (x )的值域为(－∞，1)．(2)∵x ∈[－2,1]，a >1，∴t ∈⎣⎡⎦⎤1a 2，a ，由t ＝－1∉⎣⎡⎦⎤1a 2，a ，所以y ＝－t 2－2t ＋1在⎣⎡⎦⎤1a 2，a 上是减函数，∴－a 2－2a ＋1＝－7，∴a ＝2或a ＝－4(不合题意，舍去)．当t ＝1a 2＝14时，y 有最大值．即y max ＝－⎝⎛⎭⎫142－2×14＋1＝716.【难点突破】16．[解答] (1)f (x )＝x 2＋bx ＋c 满足条件f (x －3)＝f (5－x )，则函数f (x )的图象关于直线x＝1对称，故b ＝－2.又方程f (x )＝x 有相等实根，即x 2－3x ＋c ＝0有相等实根，故c ＝94，故f (x )＝x 2－2x ＋94.(2)由题意，得f (x )≥2(a －1)x ＋a ＋14，即a ≤x 2－2ax ＋2在[－1，＋∞)上恒成立，而g (x )＝x 2－2ax ＋2在[－1，＋∞)上的最小值是g (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧2－a 2，a ∈[－1，＋∞)，3＋2a ，a ∈(－∞，－1).又a ≤g (x )min 等价于⎩⎪⎨⎪⎧ a <－1，a ≤3＋2a 或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－1，a ≤2－a 2，解之，得a ∈[－3,1]．。

第4节二次函数与幂函数一、教材概念·结论·性质重现1．幂函数的概念一般地，函数y＝xα称为幂函数，其中α为常数．幂函数的特征(1)自变量x处在幂底数的位置，幂指数α为常数．(2)xα的系数为1.(3)解析式只有一项．2．常见的五种幂函数的图像3．幂函数的性质(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，因此在第一象限内都有图像，并且图像都通过点(1,1)．(2)如果α>0，则幂函数的图像通过原点，并且在(0，＋∞)上是增函数．(3)如果α<0，则幂函数在(0，＋∞)上是减函数，且在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图像在y轴右方且无限逼近y轴；当x无限增大时，图像在x轴上方且无限逼近x轴．4．二次函数的图像与性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)图像定义域R值域⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a单调性在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递增； 在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递减 在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递增； 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递减 奇偶性 当b ＝0时为偶函数，当b ≠0时为非奇非偶函数顶点 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a，4ac －b 24a对称性图像关于直线x ＝－b2a成轴对称图形(1)二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关．(2)若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则当⎩⎨⎧ a >0，Δ<0时，恒有f (x )>0；当⎩⎨⎧a <0，Δ<0时，恒有f (x )<0.二、基本技能·思想·活动体验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”． (1)函数y ＝2x 是幂函数．( × )(2)如果幂函数的图像与坐标轴相交，则交点一定是原点．( √ ) (3)当n <0时，幂函数y ＝x n 是定义域上的减函数．( × ) (4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R 不可能是偶函数．( × ) 2．已知幂函数y ＝f (x )的图像经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，则f (2)＝( )A ．14 B ．4 C ．22D ． 2C 解析：设f (x )＝x α，因为图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，所以f (4)＝4α＝12，解得α＝－12，所以f (2)＝2－12＝22.3．已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图像在x 轴上方，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，120 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－120 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫120，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－120，0 C 解析：由题意知⎩⎨⎧ a >0，Δ<0，即⎩⎨⎧a >0，1－20a <0，解得a >120.4．已知函数y ＝2x 2－6x ＋3，x ∈[－1,1]，则y 的最小值是________． －1 解析：因为函数y ＝2x 2－6x ＋3的图像的对称轴为x ＝32>1，所以函数y ＝2x 2－6x ＋3在[－1，1]上单调递减．当x ＝1时，y 取得最小值，所以y min ＝2－6＋3＝－1.5．函数f (x )＝(m 2－m －1)x m 是幂函数，且在x ∈(0，＋∞)上单调递增，则实数m 的值为__2__.考点1 幂函数的图像与性质——基础性1．与函数y ＝x －1的图像关于x 轴对称的图像大致是( )B 解析：y ＝x 的图像位于第一象限且为增函数，所以函数图像是上升的，函数y ＝x －1的图像可看作由y ＝x 的图像向下平移一个单位长度得到的(如选项A 中的图像所示)．将y ＝x －1的图像关于x 轴对称后即为选项B.2．已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)xn 2－3n (n ∈Z )的图像关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，则n 的值为( )A ．－3B ．1C ．2D ．1或2B 解析：因为幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)xn 2－3n 在(0，＋∞)上单调递减，所以⎩⎨⎧n 2＋2n －2＝1，n 2－3n <0，所以n ＝1.又n ＝1时，f (x )＝x －2的图像关于y 轴对称，故n ＝1.故选B.3．(2020·衡水中学调研)已知点(m,8)在幂函数f (x )＝(m －1)x n 的图像上．设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，b ＝f (ln π)，c ＝f (2－12)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <c <bB ．a <b <cC ．b <c <aD ．b <a <cA 解析：因为f (x )＝(m －1)x n 为幂函数， 所以m －1＝1，则m ＝2，f (x )＝x n . 又点(2,8)在函数f (x )＝x n 的图像上，所以8＝2n ，知n ＝3，故f (x )＝x 3，且在R 上是增函数． 又ln π>1>2－12＝22>13，所以f (ln π)>f (2－12)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，则b >c >a .幂函数的图像的应用注意点(1)对于幂函数图像，要抓住直线x ＝1，y ＝1，y ＝x 将第一象限分成的六个区域．根据α＜0,0＜α＜1，α＝1，α＞1的取值确定位置后，其余象限部分由幂函数的奇偶性决定．(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．考点2 二次函数的解析式——综合性已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，求二次函数f (x )的解析式．解：(方法一：利用二次函数的一般式) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎨⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.故f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.(方法二：利用二次函数的顶点式) 设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)．因为f (2)＝f (－1)，所以抛物线的对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12. 所以m ＝12.又根据题意函数有最大值8，所以n ＝8， 所以y ＝f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8.因为f (2)＝－1， 所以a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4，所以f (x )＝－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.(方法三：利用二次函数的零点式)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1. 又函数有最大值y max ＝8，即当a ≠0时，4a (－2a －1)－a 24a ＝8，解得a ＝－4；当a ＝0时，f (x )＝－1，不符合题意，舍去． 故f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.求二次函数解析式的策略已知二次函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(0)＝3，对∀x∈R，都有f(1＋x)＝f(1－x)成立，则f(x)＝________.x2－2x＋3解析：由f(0)＝3，得c＝3.又f(1＋x)＝f(1－x)，所以函数f(x)的图像关于直线x＝1对称，所以b2＝1，所以b＝2，所以f(x)＝x2－2x＋3.考点3二次函数的图像与性质——综合性考向1二次函数的图像(1)已知函数f(x)＝ax2－x－c，且f(x)>0的解集为(－2,1)，则函数y＝f(－x)的图像为()D解析：因为函数f(x)＝ax2－x－c，且f(x)>0的解集为(－2,1)，所以－2,1是方程ax2－x－c＝0的两根．所以a＝－1，c＝－2.所以f(x)＝－x2－x＋2.所以函数y＝f(－x)＝－x2＋x＋2，可知其图像开口向下，与x轴的交点坐标分别为(－1,0)和(2,0)．故选D.(2)(多选题)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图像的一部分，图像过点A(－3,0)，对称轴为直线x＝－1.下面四个结论中正确的是()A. b2>4acB．2a－b＝1C．a－b＋c＝0D．5a<bAD解析：因为二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴交于两点，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，A正确；二次函数的图像的对称轴为直线x＝－1，即－b 2a＝－1，得2a－b＝0，B错误；结合图像知，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，C错误；因为函数的图像开口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a<b，D正确．故选AD.1．解决二次函数图像问题的基本方法(1)排除法，抓住函数的特殊性质或特殊点．(2)讨论函数图像，依据图像特征，得到参数间的关系．2．分析二次函数图像问题的要点一是看二次项系数的符号；二是看对称轴和顶点；三是看函数图像上的一些特殊点．从这三方面入手，能准确地判断出二次函数的图像．反之，也能从图像中得到如上信息.考向2二次函数的单调性若函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是()A．[－3,0) B．(－∞，－3]C．[－2,0] D．[－3,0]D解析：当a＝0时，f(x)＝－3x＋1，在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意．当a≠0时，f(x)的图像对称轴为x＝3－a2a.由f(x)在[－1，＋∞)上单调递减知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，3－a2a≤－1，解得－3≤a ＜0.综上，a 的取值范围为[－3,0]．若函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调递减区间是[－1，＋∞)，则a ＝________. －3 解析：由题意知f (x )必为二次函数且a <0. 又3－a2a ＝－1，所以a ＝－3.利用二次函数的单调性解题时的注意点(1)对于二次函数的单调性，关键是看图像的开口方向与对称轴的位置．若开口方向或对称轴的位置不确定，则需要分类讨论．(2)利用二次函数的单调性比较大小，一定要将待比较的两数(或式)通过二次函数的图像的对称性转化到同一单调区间上比较．考向3 二次函数的最值已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a 的值．解：f (x )＝a (x ＋1)2＋1－a .①当a ＝0时，函数f (x )在区间[－1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去； ②当a ＞0时，函数f (x )在区间[－1,2]上单调递增，最大值为f (2)＝8a ＋1＝4，解得a ＝38；③当a ＜0时，函数f (x )在区间[－1,2]上单调递减，最大值为f (－1)＝1－a ＝4，解得a ＝－3.综上可知，a 的值为38或－3.将本例改为：求函数f (x )＝x 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上的最大值． 解： f (x )＝(x ＋a )2＋1－a 2，f (x )的图像是开口向上的抛物线，对称轴为直线x ＝－a .①当－a ＜12，即a ＞－12时，f (x )max ＝f (2)＝4a ＋5； ②当－a ≥12，即a ≤－12时，f (x )max ＝f (－1)＝2－2a . 综上，f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋5，a ＞－12，2－2a ，a ≤－12.二次函数的最值问题的类型轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系．当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．考向4 二次函数中的恒成立问题已知函数f (x )＝x 2－x ＋1，在区间[－1,1]上不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，则实数m 的取值范围是________．(－∞，－1) 解析：f (x )>2x ＋m 等价于x 2－x ＋1>2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m >0. 令g (x )＝x 2－3x ＋1－m ，要使g (x )＝x 2－3x ＋1－m >0在[－1,1]上恒成立， 只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上的最小值大于0即可． 因为g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上单调递减， 所以g (x )min ＝g (1)＝－m －1. 由－m －1>0，得m <－1.因此实数m 的取值范围是(－∞，－1)．由不等式恒成立求参数取值范围将问题归结为求函数的最值，依据是a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .1．(2020·九江一中模拟)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)与二次函数y ＝(a －1)x 2－x 在同一坐标系内的图像可能是( )A 解析：若0<a <1，则y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递减；y ＝(a －1)x 2－x 的图像开口向下，对称轴在y 轴左侧，排除C ，D.若a >1，则y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递增，y ＝(a －1)x 2－x 的图像开口向上，且对称轴在y 轴右侧，因此B 不正确，只有A 满足．2．若函数y ＝x 2－3x ＋4的定义域为[0，m ]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤74，4，则m 的取值范围为( )A.(0,4]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，4 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ C 解析：y ＝x 2－3x ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋74的定义域为[0，m ]．显然，在x ＝0时，y ＝4.又值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤74，4，根据二次函数图像的对称性知32≤m ≤3.故选C.3．(2020·唐山模拟)设函数f (x )＝x 2＋x ＋a (a >0)．已知f (m )<0，则( ) A ．f (m ＋1)≥0 B ．f (m ＋1)≤0 C ．f (m ＋1)>0D ．f (m ＋1)<0C 解析：因为f (x )图像的对称轴为直线x ＝－12，f (0)＝a >0，所以f (x )的大致图像如图所示．由f (m )<0，得－1<m <0.所以m ＋1>0.所以f (m ＋1)>f (0)>0.4．设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1<x <4的一切x 值都有f (x )>0，则实数a 的取值范围为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 解析：由题意得a >2x －2x 2对1<x <4恒成立．又2x －2x 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －122＋12，14<1x <1，11 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2x 2max ＝12.所以a >12.。