2012年高考数学专题训练——立体几何(2)

《立体几何》专题复习【高考命题分析】【考点剖析】考点一空间几何体的结构、三视图、直观图【例１】（2008广东）将正三棱柱截去三个角（如图1所示A B C，，分别是GHI△三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（）【点评】本题主要考查三视图中的左视图，要有一定的空间想象能力。

【例2】某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（A ）283π- （B ）83π- （C ）82π- （D ）23π【例3】（2008江苏模拟）由大小相同的正方体木块堆成的几何体的三视图如图所示，则该几何体中正方体木块的个数是 ．E F D I AH G B C EF DABC 侧视图1 图2 B E A ．BE B ． B E C ． B E D ． 主视图 左视图 俯视图【点评】从三视图到确定几何体，应根据主视图和俯视图情况分析，再结合左视图的情况定出几何体，最后便可得出这个立体体组合的小正方体个数。

考点二：空间几何体的表面积和体积【例4】（2007广东）已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S【点评】在课改地区的高考题中，求几何体的表面积与体积的问题经常与三视图的知识结合在一起，综合考查。

【例5】（2008山东）右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ）A ．9πB ．10πC ．11πD ．12π 【点评】本小题主要考查三视图与几何体的表面积。

既要能识别简单几何体的结构特征，又要掌握基本几何体的表面积的计算方法。

【例6】（湖北高考题）用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为（）A. 38πB. 328πC. π28D. 332π 【点评】本题考查球的一些相关概念，球的体积公式的运用。

2012年高考真题理科数学解析汇编：立体几何一、选择题错误！未指定书签。

．（2012年高考（新课标理））已知三棱锥S A B C -的所有顶点都在球O 的求面上,A B C ∆是边长为1的正三角形,S C 为球O 的直径,且2SC =;则此棱锥的体积为 （ ）A．6B．6C．3D．2错误！未指定书签。

．（2012年高考（新课标理））如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为A ．6B ．9C ．12D ．18错误！未指定书签。

．（2012年高考（浙江理））已知矩形ABCD ,AB =1,BC将∆ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻着,在翻着过程中, A ．存在某个位置,使得直线AC 与直线BD 垂直 B ．存在某个位置,使得直线AB 与直线CD 垂直 C ．存在某个位置,使得直线AD 与直线BC 垂直D ．对任意位置,三直线“AC 与BD ”,“AB 与CD ”,“AD 与BC ”均不垂直错误！未指定书签。

．（2012年高考（重庆理））设四面体的六条棱的长分别为和a ,且长为a 的棱异面,则a 的取值范围是 （ ）A ．(0,B ．(0,C ．D ．错误！未指定书签。

．（2012年高考（四川理））如图,半径为R 的半球O 的底面圆O 在平面α内,过点O 作平面α的垂线交半球面于点A ,过圆O 的直径C D 作平面α成45角的平面与半球面相交,所得交线上到平面α的距离最大的点为B ,该交线上的一点P 满足60BOP ∠=,则A 、P 两点间的球面距离为（ ）A ．arccos 4R B ．4Rπ C ．arccos3R D ．3Rπ错误！未指定书签。

．（2012年高考（四川理））下列命题正确的是（ ）A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行C ．若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行D ．若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行错误！未指定书签。

A BCDEFGHI J2012年高考数学基础强化训练题 — 《立体几何》一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1．给出下列四个命题①垂直于同一直线的两条直线互相平行.②垂直于同一平面的两个平面互相平行.③若直线12,l l 与同一平面所成的角相等,则12,l l 互相平行.④若直线12,l l 是异面直线,则与12,l l 都相交的两条直线是异面直线.其中假．命题的个数是 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成一个120°的二面角，点C 到达点C 1，这时异面直线AD 与BC 1所成角的余弦值是 （ ）A ．22 B ．21 C ．43 D ．433．一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，这个长方体对角线的长为（ ）A ．23B ．32C ．6D ．64．已知二面角α－l －β的大小为600,m 、n 为异面直线,且m ⊥α,n ⊥β,则m 、n 所成的角为 （ ）A ．300B ．600C ．900D ．12005．如图，在正三角形ABC 中，D 、E 、F 分别为各边的中点，G 、H 、I 、J 分别为AF 、AD 、BE 、DE 的中点.将△ABC 沿DE 、EF 、DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 所成角的度 数为 （ ） A ．90° B ．60° C ．45° D ．0° 6．两相同的正四棱锥组成如图所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD 与正方 体的某一个平面平行，且各顶点．．．均在正方体的面上， 则这样的几何体体积的可能值有 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．无穷多个7．正方体A ′B ′C ′D ′—ABCD 的棱长为a ，EF 在AB 上滑动，且|EF |=b （b ＜a ＝，Q 点在D ′C ′上滑动，则四面体A ′—EFQ 的体积为 （ ） A ．与E 、F 位置有关 B ．与Q 位置有关 C ．与E 、F 、Q 位置都有关 D ．与E 、F 、Q 位置均无关，是定值 8．（理）高为5，底面边长为43的正三棱柱形容器（下有底），可放置最大球的半径是（ ）A ．23B ．2C ．223D ．2（文）三个两两垂直的平面，它们的三条交线交于一点O ，点P 到三个平面的距离比为1∶2∶3，PO=214，则P 到这三个平面的距离分别是（ ）A ．1，2，3B ．2，4，6C ．1，4，6D ．3，6，9AB C DA 1B 1C 1D 1 第16题图 α9．如图，在四面体ABCD 中，截面AEF 经过四 面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O ， 且与BC ，DC 分别截于E 、F ，如果截面将四 面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A － BEFD 与三棱锥A －EFC 的表面积分别是S 1， S 2，则必有 （ ）A ．S 1<S 2B ．S 1>S 2C ．S 1=S 2D ．S 1，S 2的大小关系不能确定10．已知球o 的半径是1,ABC 三点都在球面上,AB 两点和AC 两点的球面距离都是4p ,BC 两点的球面距离是3p ,则二面角B －OA －C 的大小是 （ ） A ．4pB ．3p C ．2pD ．23p 11．条件甲：四棱锥的所有侧面都是全等三角形，条件乙：这个四棱锥是正四棱锥，则条件甲是条件乙的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件12．已知棱锥的顶点为P ，P 在底面上的射影为O ，PO=a ，现用平行于底面的平面去截这个棱锥，截面交PO 于点M ，并使截得的两部分侧面积相等，设OM=b ，则a 与b 的关系是 （ ）A ．b =（2－1）aB ．b =（2+1）aC ．b =222a - D ．b =222a+ 二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上)13．已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为26，则侧面与底面所成的二面角等于_______________. 14．若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为α,则cos α=______．15．若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为___________. 16．多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A 在平面α内，其余顶 点在α的同侧，正方体上与顶点A 相邻的三个顶 点到α的距离分别为1，2和4，P 是正方体的其余四个顶点中的一个，则P 到平面α的距离可能是： （ ）①3； ②4； ③5； ④6； ⑤7 以上结论正确的为______________．（写出所有正确结论的编号．．） 三、解答题(本大题共6小题, 共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17．（本小题满分12分）在长方体1111D C B A ABCD -中，已知3,41===DD DC DA ，求异面直线B A 1与CB 1所成角的大小（结果用反三角函数值表示）. DBAOCEF18．（本小题满分12分）如图，1l 、2l 是互相垂直的异面直线，MN 是它们的公垂线段。

2012年高考真题理科数学解析汇编：立体几何参考答案2则B (2， 0, 0），C (2, 22,0），E (1， 2， 1）,)1,2,1(=AE ,)0,22,0(=BC设AE 与BC 的夹角为θ，则222224||||cos ===⨯⋅BC AE BC AE θ,θ=4π.由此可知，异面直线BC 与AE 所成的角的大小是4π [解法二］取PB 中点F ,连接EF 、AF ，则EF ∥BC ,从而∠AEF （或其补角)是异面直线 BC 与AE 所成的角在AEF ∆中，由EF =2、AF =2、AE =2 知AEF ∆是等腰直角三角形, 所以∠AEF =4π。

因此异面直线BC 与AE 所成的角的大小是4π1.解(1）1111224ABC S ∆=⨯⨯=,又1CC 为三棱锥1C MBC-的高,11111123346C MBC ABC V S CC -∆∴=⋅=⨯⨯= (2)//CD AB ，所以1C MB ∠或其补角为导面直线CD 与1MC 所成的角.连接1,BC AB ⊥平面11,BCC B AB BC ∴⊥,在1Rt MBC ∆中,11415,2BC MB =+==15tan 2512C MB ∠==,故1arctan 25C MB ∴∠=,即异面直线CD 与1MC 所成的角为arctan 252.解析:(1)证法一 如图，过直线b 上任一点作平面π的垂线n ，设直线,,,a b c n 的方向向量分别是,,,a b c n ，则,,b c n 共面，根据平面向量基本定理，存在实数,λμ使得c b n λμ=+ABCD P EF则()()()a c a b n a b a n λμλμ⋅=⋅+=⋅+⋅ 因为a b ⊥，所以0a b ⋅= 又因为aπ,n π⊥，所以0a n ⋅=故0a c ⋅=，从而a c ⊥证法二 如图,记c b A ⊥=,P 为直线b 上异于点A 的任意一点，过P 作PO π⊥，垂足为O ，则O c ∈ ∵PO π⊥，a π，∴直线PO a ⊥又a b ⊥，b平面PAO ,POb P =∴a ⊥平面PAO ，又c 平面PAO ，∴a c ⊥（2）逆命题:a 是平面π内一条直线，b 是π外的一条直线(b 不垂直于π)，c 是直线b 在π上的投影，若a c ⊥，则a b ⊥. 逆命题为真命题. 3. 解析：（Ⅰ)在等腰梯形ABCD 中,AB∥CD，∠DAB=60°，CB=CD,由余弦定理可知202223)180cos(2CD DAB CB CD CB CD BD =∠-⋅⋅-+=,即AD CD BD 33==，在ABD ∆中,∠DAB=60°,AD BD 3=,则ABD ∆为直角三角形,且DB AD ⊥.又AE⊥BD,⊂AD 平面AED ，⊂AE 平面AED ，且A AE AD = ，故BD⊥平面AED ； (Ⅱ)由(Ⅰ)可知CB AC ⊥,设1=CB ,则3==BD CA ，建立如图所示的空间直角坐标系，)0,21,23(),0,1,0(),01,0(-D B F ，向量)1,0,0(=n 为平面BDC 的一个法向量.设向量),,(z y x m =为平面BDF 的法向量,则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00FB m BD m ，即⎪⎩⎪⎨⎧=-=-002323z y y x , 取1=y ，则1,3==z x ,则)1,1,3(=m 为平面BDF 的一个法向量.zx y5551,cos ==⋅>=<nm n m n m ，而二面角F —BD —C 的平面角为锐角，则 二面角F-BD-C 的余弦值为55. 解法二:取BD 的中点G ，连接1,CG FG ，由于CB CD =，因此CG BD ⊥， 又FC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ,所以FC BD ⊥ 由于,,FC CG C FC CG ⋂=⊂平面FCG ,所以BD ⊥平面FCG故BD FG ⊥，所以FGC ∠为二面角F BD C --的平面角.在等腰三角形BCD 中，由于120BCD ∠=︒，因为12CG CB=,又CB CF=，所以225GF CG CF CG =+=，故5cos 5FGC ∠=，因此二面角F BD C --的余弦值为55。

立体几何 专题测试一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

)1．(2011年某某)如下图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则该几何体的俯视图可以是( )解析：解法一：∵体积为12，而高为1，故底面积为12，选C.解法二：选项A 得到的几何体为正方体，其体积为1，故排除A ；而选项B 、D 所得几何体的体积都与π有关，排除B 、D ；易知选项C 符合．答案：C2．(2011年某某某某模拟)已知水平放置的△ABC 的直观图△A ′B ′C ′(斜二测画法)是边长为2a 的正三角形，则原△ABC 的面积为( )A.2a 2B.32a 2C.62a 2D.6a 2 解析：斜二测画法中原图面积与直观图面积之比为1∶24，则易知24S ＝34(2a )2，∴S ＝6a 2.故选D.答案：D3．(2011年金考卷原创)一个正方体表面展开图中，五个正方形位置如图中阴影部分所示，第六个正方形在编号1到5的某个位置上，则第六个正方形所有可能位置的编号是( )A ．②③B ．②④C ．①③D ．③⑤解析：分别假设第6个正方形在各个位置上，再分别进行还原，可知在②或③位置上时可还原为正方体，在其他位置上时不能还原为正方体，故选A.答案：A4．(2011年某某某某市高三教学质检)某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的体积为( )A ．43B ．8 3C ．123D ．24 3解析：该几何体的高h ＝42－22＝12＝23， ∴V ＝13×12×6×2×23＝4 3.故选A.答案：A5．(2011年东北三校联考)如图为一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图为正三角形，尺寸如图，则该几何体的全面积为( )A ．143B ．6＋ 3C ．12＋23D ．16＋2 3解析：解此图形为正三棱柱，底面边长为2，高为2，S 全＝S 侧＋2S 底＝3×2×2＋2×12×2×2×32＝12＋23，故选C. 答案：C6．(2011年某某二诊)已知三棱锥P －ABC 的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，且AB ＝2，PA ＝PB ＝PC ＝2，则该三棱锥的外接球的表面积为( )A.32π3B.16π3 C.8π3D.4π3解析：因为PA ＝PB ＝PC ＝2，所以该三棱锥外接球的球心落在PD 上，D 为AB 的中点，设球心为O ，则O 为△PAB 的外心∴R 2－(3－R )2＝1，R 2－3－R 2＋23R ＝1 23R ＝4，R ＝23 S 表＝4πR 2＝4π·43＝16π3，故选B. 答案：B7．(2011年某某八市3月调考)已知直线l 、m ，平面α、β，且l ⊥α，m ⊂β，给出下列四个命题①若α∥β，则l ⊥m ②若l ⊥m ，则α∥β ③若α∥β，则l ∥m ④若l ∥m ，则α⊥β 其中正确的命题个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：因为l ⊥α，α∥β，所以l ⊥β ∵m ⊂β，∴l ⊥m 所以①正确，③错误． 因为l ⊥α，l ∥m ，所以m ⊥α ∵m ⊂β，∴α⊥β，所以④正确． 若m ⊂α，l ⊥α，∴l ⊥β，m ⊂β 则α与β相交而不平行，故②错． 答案：B8．一个正方体的展开图如图所示，B ，C ，D 为原正方体的顶点，A 为原正方体一条棱的中点．在原来的正方体中，CD 与AB 所成角的余弦值为( )A.510B.105C.55D.1010解析：还原正方体如图所示，设AD ＝1，则AB ＝5，AF ＝1，BE ＝EF ＝22，AE ＝3，因为CD ∥BE ，所以CD 与AB 所成的角等于BE 与AB 所成的角，即为∠ABE ，在△ABE 中，由余弦定理得cos ∠ABE ＝5＋8－92×5×22＝1010，选D.答案：D9．已知三棱锥P －ABC 的四个顶点均在半径为3的球面上，且满足PA →·PB →＝0，PB →·PC →＝0，PC →·PA →＝0，则三棱锥P －ABC 的侧面积的最大值为( )A ．9B ．18C ．36D ．72解析：依题意PA 、PB 、PC 两两垂直，以PA 、PB 、PC 为棱构造长方体，则长方体的体对角线即为球的直径，∴PA 2＋PB 2＋PC 2＝4R 2＝36，S 侧＝12(PA ·PB ＋PB ·PC ＋PC ·PA )≤12(PA 2＋PB22＋PB 2＋PC 22＋PC 2＋PA 22)＝18.答案：B11．(2011年黄冈3月质检)已知平面α⊥平面β，α∩β＝l ，点A ∈α，A ∉l ，直线AB ∥l ，直线AC ⊥l ，直线m ∥α，m ∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )A ．AB ∥m B ．AC ⊥m C ．AB ∥βD ．AC ⊥β解析：AB ∥l ，AB ⊄β，∴AB ∥β，C 成立 ∵m ∥α，m ∥β，∴m 平行于α与β的交线l ∴AB ∥m 成立，AC ⊥m 成立 ∵AC 未必在α内，∴AC ⊥β不一定成立，故选D. 答案：D11．(2011年某某省某某市高三模拟)设m ，n 是平面α内的两条不同直线，l 1，l 2是平面β内两条相交直线，则α⊥β的一个充分不必要条件是( )A ．l 1⊥m ，l 2⊥nB ．m ⊥l 1，m ⊥l 2C ．m ⊥l 1，n ⊥l 2D ．m ∥n ，l 1⊥n解析：由m ⊥l 1，m ⊥l 2，l 1与l 2相交知α⊥β，但α⊥β时不一定有m ⊥l 1，m ⊥l 2.答案：B12．(2011年某某省潍坊市模拟)设m ，n 是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列四个命题：①若α∥β，m ⊂α，则m ∥β ②若m ∥α，n ⊂α，则m ∥n ③若α⊥β，m ∥α，则m ⊥β ④若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β 其中正确的是( ) A ．①③B ．②③ C ．①④D ．②④解析：由面面平行的性质可知①正确，由面面垂直的判定知④正确． 答案：C二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．把答案填在题中横线上．) 13．(2012年某某质检)四棱锥P －ABCD 的顶点P 在底面ABCD 中的投影恰好是A ，其三视图如下图所示，根据图中的信息，在四棱锥P －ABCD 的任两个顶点的连线中，互相垂直的异面直线对数为________．解析：互相垂直的异面直线有：PA 与BC ，PA 与CD ，AB 与PD ，AD 与PB ，BD 与PC ，BD 与PA ，共6对．答案：614．已知正三棱锥P －ABC 的底面是边长为1的正三角形，其三条侧棱与底面所成角相等且都等于45°，则这个正三棱锥的体积为________．解析：由于三条侧棱与底面所成角相等，且△ABC 是正三角形，所以点P 在△ABC 上的射影点O 是△ABC 的中心．如图，连接CO ，PO ，则PO ＝OC ＝23×32×1＝33，所以正三棱锥的体积为13×S △ABC ×PO ＝13×34×33＝112.答案：11215．(2011年某某省某某市高三模拟)如图是某几何体的三视图，其中正视图、侧视图的长均为4，宽分别为2与3，俯视图是等腰三角形，则该几何体的体积是________．解析：由三视图可知该几何体为三棱柱，V ＝12×3×2×4＝12.答案：1216．(2011年某某省“金太阳”百校大联考)关于直线m ，n 与平面α，β，有以下四个命题：①若m ∥α，n ∥β且α∥β，则m ∥n ②若m ⊥α，n ⊥β且α⊥β，则m ⊥n ； ③若m ⊥α，n ∥β且α∥β，则m ⊥n ； ④若m ∥α，n ⊥β且α⊥β，则m ∥n ； 其中真命题的序号是________． 解析：②③是真命题． 答案：②③三、解答题(本大题共6小题，共70分，17题11分，18～22题，每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 为AB 的中点．(1)求证：AC ⊥平面BDD 1；(2)求异面直线BD 1与CE 所成角的余弦值；(3)求点B 到平面A 1EC 的距离．解：(1)证明：由已知有D 1D ⊥平面ABCD ，得AC ⊥D 1D ，又由ABCD 是正方形，得AC ⊥BD ， ∵D 1D 与BD 相交于点D ，∴AC ⊥平面BDD 1. (2)延长DC 至G ，使CG ＝EB ，连接BG 、D 1G ， ∵CG 綊EB ，∴四边形EBGC 是平行四边形． ∴BG ∥EC .∴∠D 1BG 就是异面直线BD 1与CE 所成角． 在△D 1BG 中，D 1B ＝23，BG ＝5，D 1G ＝22＋32＝13. ∴cos ∠D 1BG ＝D 1B 2＋BG 2－D 1G 22D 1B ·BG＝12＋5－132×23×5＝1515， 异面直线BD 1与CE 所成角的余弦值是1515. (3)∵△A 1AE ≌△CBE ，∴A 1E ＝CE ＝ 5.又∵A 1C ＝23，∴点E 到A 1C 的距离d ＝5－3＝ 2.∴S △A 1EC ＝12A 1C ·d ＝6，S △A 1EB ＝12EB ·A 1A ＝1.又由VB －A 1EC ＝VC －A 1EB ，设点B 到平面A 1EC 的距离为h ， 则13S △A 1EC ·h ＝13S △A 1EB ·CB ， ∴6·h ＝2，h ＝63. ∴点B 到平面A 1EC 的距离为63. 18．(2011年广雅中学、某某一中、某某金中联考)如图，已知三棱锥A －BPC 中，AP ⊥PC ，AC ⊥BC ，M 为AB 中点，D 为PB 中点，且△PMB 为正三角形．(1)求证：DM ∥平面APC ；(2)求证：平面ABC ⊥平面APC ；(3)若BC ＝4，AB ＝20，求三棱锥D －BCM 的体积． 解：(1)由已知得，MD 是△ABP 的中位线 ∴MD ∥AP ∵MD ⊄面APC ，AP ⊂面APC ∴MD ∥面APC(2)∵△PMB 为正三角形，D 为PB 的中点， ∴MD ⊥PB ，∴AP ⊥PB 又∵AP ⊥PC ，PB ∩PC ＝P ∴AP ⊥面PBC .∵BC ⊂面PBC ∴AP ⊥BC .又∵BC ⊥AC ，AC ∩AP ＝A ，∴BC ⊥面APC ∵BC ⊂面ABC ，∴平面ABC ⊥平面APC(3)∵MD ⊥面PBC ，∴MD 是三棱锥M －DBC 的高，且MD ＝5 3 又在直角三角形PCB 中，由PB ＝11，BC ＝4，可得PC ＝221于是S △BCD ＝12S △BCP ＝221，∴V D －BCM ＝V M －DBC ＝13Sh ＝117.19．(2011年某某省苏北四市模拟)如图①，E ，F 分别是直角三角形ABC 边AB 和AC 的中点，∠B ＝90°，沿EF 将三角形ABC 折成如图②所示的锐二面角A 1－EF －B ，若M 为线段A 1C 中点，求证：(1)直线FM ∥平面A 1EB ； (2)平面A 1FC ⊥平面A 1BC .证明：(1)取A 1B 中点N ，连接NE ，NM ， 则MN 綊12BC ，EF 綊12BC ，所以MN 綊FE ，所以四边形MNEF 为平行四边形，所以FM ∥EN ， 又因为FM ⊄平面A 1EB ，EN ⊂平面A 1EB ， 所以直线FM ∥平面A 1EB .(2)因为E ，F 分别是AB 和AC 的中点，所以A 1F ＝FC ，所以FM ⊥A 1C . 同理，EN ⊥A 1B .由(1)知，FM ∥EN ，所以FM ⊥A 1B . 又因为A 1C ∩A 1B ＝A 1，所以FM ⊥平面A 1BC . 又因为FM ⊂平面A 1FC ，所以平面A 1FC ⊥平面A 1BC .20．(2011年某某某某第一次调研)如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，AB ＝BC ＝2，BB 1＝3，D 为A 1C 1的中点，F 在线段AA 1上．(1)AF 为何值时，CF ⊥平面B 1DF?(2)设AF ＝1，求平面B 1CF 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值． 解：(1)因为直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BB 1⊥面ABC ，∠ABC ＝π2，以B 点为原点，BA 、BC 、BB 1分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系． 因为AC ＝2，∠ABC ＝90°，所以AB ＝BC ＝ 2.从而B (0,0,0)，A (2，0,0)，C (0，2，0)，B 1(0,0,3)，A 1(2，0,3)，C 1(0，2，3)，D (22，22，3)， 所以CA 1→＝(2，－2，3)． 设AF ＝x ，则F (2，0，x )， CF →＝(2，－2，x )，B 1F →＝(2，0，x －3)，B 1D →＝(22，22，0)， CF →·B 1D →＝2·22＋(－2)·22＋x ·0＝0， 所以CF →⊥B 1D →.要使CF →⊥平面B 1DF ，只需CF ⊥B 1F .由CF →·B 1F →＝2＋x (x －3)＝0，得x ＝1或x ＝2， 故当AF ＝1或2时，CF ⊥平面B 1DF .(2)由(1)知平面ABC 的法向量为n 1＝(0,0,1)． 设平面B 1CF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则由⎩⎪⎨⎪⎧n ·CF →＝0，n ·B 1F →＝0，得⎩⎨⎧2x －2y ＋z ＝0，2x －2z ＝0，令z ＝1得n ＝(2，322，1)． 所以平面B 1CF 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值cos 〈n ，n 1〉＝11×2＋92＋1＝3015.21．如图所示，四边形ABCD 为矩形，AD ⊥平面ABE ，AE ＝EB ＝BC ＝2，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE .(1)求证：AE ⊥BE ；(2)求三棱锥D －AEC 的体积；(3)设M 在线段AB 上，且满足AM ＝2MB ，试在线段CE 上确定一点N ，使得MN ∥平面DAE .解：(1)证明：∵AD ⊥平面ABE ，AD ∥BC ， ∴BC ⊥平面ABE ，则AE ⊥BC . ∵BF ⊥平面ACE ，则AE ⊥BF . ∵BC ∩BF ＝B ，且BC 、BF ⊂平面BCE ， ∴AE ⊥平面BCE ，又BE ⊂平面BCE ，∴AE ⊥BE .(2)∵AE ⊥BE ，∴AB ＝AE 2＋BE 2＝22，S △ADC ＝12×AD ×DC ＝12×BC ×AB ＝12×2×22＝22，V D －AEC ＝V E －ADC ＝13×22×2＝43.(3)在三角形ABE 中过M 点作MG ∥AE 交BE 于G 点，在三角形BEC 中过G 点作GN ∥BC 交EC 于N 点，连MN ，则由比例关系易得＝13CE .∵MG ∥AE ，MG ⊄平面ADE ，AE ⊂平面ADE ，∴MG ∥平面ADE ，同理，GN ∥平面ADE ，∴平面word - 11 - / 11 MGN ∥平面ADE .又MN ⊂平面MGN ，∴MN ∥平面ADE .∴N 点为线段CE 上靠近C 点的一个三等分点．22．(2011年某某四校联考)如图，AB 为圆O 的直径，点E 、F 在圆O 上，AB ∥EF ，矩形ABCD 所在的平面和圆O 所在的平面互相垂直，且AB ＝2，AD ＝EF ＝1.(1)求证：AF ⊥平面CBF ；(2)设FC 的中点为M ，求证：OM ∥平面DAF ；(3)设平面CBF 将几何体EFABCD 分成的两个锥体的体积分别为V F －ABCD ，V F －CBE ，求V F －ABCD ∶V F －CBE .解：(1)证明：∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，CB ⊥AB ，平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ， ∴CB ⊥平面ABEF ，∵AF ⊂平面ABEF ，∴AF ⊥CB ，又∵AB 为圆O 的直径，∴AF ⊥BF ，∴AF ⊥平面CBF .(2)设DF 的中点为N ，则MN 綊12CD ，又AO 綊12CD ， 则MN 綊AO ，MNAO 为平行四边形，∴OM ∥AN ，又AN ⊂平面DAF ，OM ⊄平面DAF ，∴OM ∥平面DAF . (3)过点F 作FG ⊥AB 于G ，∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，∴FG ⊥平面ABCD ，∴V F －ABCD ＝13S ABCD ·FG ＝23FG ， ∵CB ⊥平面ABEF ，∴V F －CBE ＝V C －BFE ＝13S △BFE ·CB ＝13·12EF ·FG ·CB ＝16FG ， ∴V F －ABCD ∶V F －CBE ＝4∶1.。

专题11 立体几何 【2021年】 1．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11B D 的中点，则直线PB 与1AD 所成的角为（ ）A ．π2B ．π3C ．π4D ．π62．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m ），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A ，B ，C 三点，且A ，B ，C 在同一水平面上的投影,,A B C '''满足45AC B ∠'''=︒，60A B C ''∠'=︒．由C 点测得B 点的仰角为15︒，BB '与CC '的差为100；由B 点测得A 点的仰角为45︒，则A ，C 两点到水平面A B C '''的高度差AA CC ''-约为（3 1.732≈）（ ）A ．346B ．373C ．446D ．4733．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已如A ，B ，C 是半径为1的球O 的球面上的三个点，且,1AC BC AC BC ⊥==，则三棱锥O ABC -的体积为（ ）A ．212B ．312C ．24D ．344．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）A ．2B ．22C ．4D ．42二、填空题5．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π则该圆锥的侧面积为________.三、解答题6．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，M 为BC 的中点，且PB AM ⊥．（1）证明：平面PAM ⊥平面PBD ；（2）若1PD DC ==，求四棱锥P ABCD -的体积．8．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）已知直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为正方形，2AB BC ==，E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，11BF A B ⊥.（1）求三棱锥F EBC -的体积；（2）已知D 为棱11A B 上的点，证明：BF DE ⊥.10．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD =，O 为BD 的中点.（1）证明：OA CD ⊥；（2）若OCD 是边长为1的等边三角形，点E 在棱AD 上，2DE EA =，且二面角E BC D --的大小为45︒，求三棱锥A BCD -的体积.【2012年——2020年】1．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）A ．514-B ．512-C ．514+ D ．512+ 2．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，Ⅰ1O 为ABC 的外接圆，若Ⅰ1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为（ ）A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π3．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知ⅠABC 是面积为934的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（ ）A ．3B ．32C ．1D ．324．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，ⅠABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，AB 的中点，ⅠCEF =90°，则球O 的体积为 A ．86π B ．46π C ．26π D ．6π5．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））设α，β为两个平面，则αⅠβ的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行B ．α内有两条相交直线与β平行C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一平面6．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））如图，点N 为正方形ABCD 的中心，ECD ∆为正三角形，平面ECD ⊥平面,ABCD M 是线段ED 的中点，则A ．BM EN =，且直线,BM EN 是相交直线B ．BM EN ≠，且直线,BM EN 是相交直线C ．BM EN =，且直线,BM EN 是异面直线D ．BM EN ≠，且直线,BM EN 是异面直线7．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I 卷））已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为A ．122πB ．12πC ．82πD ．10π8．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I 卷））在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30，则该长方体的体积为A ．8B ．62C ．82D ．839．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II ））在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，13AA =1AD 与1DB 所成角的余弦值为A ．15B ．56C 5D ．2210．（2018年全国卷Ⅰ理数高考试题）设A B C D ，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC 为等边三角形且其面积为3D ABC -体积的最大值为A ．123B ．183C ．243D ．311．（2017年全国普通高等学校招生统一考试）如图，在下列四个正方体中，A 、B 为正方体的两个顶点，M 、N 、Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面 MNQ 不平行的是（ ） A ． B ． C ． D ． 12．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷））已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为A ．πB ．3π4C ．π2D ．π413．（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1））平面α过正方体ABCD—A 1B 1C 1D 1的顶点A ，,ABCD m α⋂=平面，11ABB A n α⋂=平面，则m ，n 所成角的正弦值为 A ．32 B ．22 C ．33 D ．1314．（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（全国2卷））体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为A ．12πB ．323πC ．8πD ．4π15．（2016年全国普通高等学校招生统一考试）在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球，若AB BC ⊥，6AB =，8BC =，13AA =，则该球体积V 的最大值是A ．4πB ．92πC ．6πD ．323π 16．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ带解析））(2015新课标全国I 理科)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛17．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为A ．5003πcm 3B ．8663πcm 3C ．13723πcm 3D ．10003πcm 3 18．（2013年全国普通高等学校招生统一考试））已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =，则此棱锥的体积为A ．26 B 3 C ．23 D ．22二、填空题19．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））如图，在三棱锥P –ABC 的平面展开图中，AC =1，3AB AD ==，AB ⅠAC ，AB ⅠAD ，ⅠCAE =30°，则cosⅠFCB =______________.20．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.p 4：若直线l ⊂平面α，直线m Ⅰ平面α，则m Ⅰl .则下述命题中所有真命题的序号是__________.Ⅰ14p p ∧Ⅰ12p p ∧Ⅰ23p p ⌝∨Ⅰ34p p ⌝∨⌝21．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知ⅠACB=90°，P 为平面ABC 外一点，PC =2，点P 到ⅠACB 两边AC ，BC 的距离均为3，那么P 到平面ABC 的距离为___________．22．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体1111ABCD A B C D -挖去四棱锥O EFGH -后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，,,,E F G H 分别为所在棱的中点，16cm 4cm AB =BC =, AA =，3D 打印所用原料密度为30.9/g cm ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g .23．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文数（全国卷II））已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30，若SAB的面积为8，则该圆锥的体积为__________．24．（2018年全国普通高等学校招生统一考试）已知三棱锥S ABC-的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径.若平面SCA⊥平面SCB，SA AC=，SB BC=，三棱锥S ABC-的体积为9，则球O的表面积为______．25．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，ⅠDBC，ⅠECA，ⅠF AB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起ⅠDBC，ⅠECA，ⅠF AB，使得D，E，F重合，得到三棱锥．当ⅠABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为______．26．（2017年全国普通高等学校招生统一考试）长方体的长，宽，高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为__________.27．（2016年全国普通高等学校招生统一考试）a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：Ⅰ当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；Ⅰ当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；Ⅰ直线AB与a所成角的最小值为45°；Ⅰ直线AB与a所成角的最大值为60°.其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号）28．（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷带解析））已知H是球O的直径AB上一点, :1:2AH HB=,AB⊥平面α,H为垂足, α截球O所得截面的面积为π,则球O的表面积为_______.三、双空题29．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．四、解答题30．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，ⅠAPC=90°．（1）证明：平面P ABⅠ平面P AC；（2）设DO23π，求三棱锥P−ABC的体积.32．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））如图，已知三棱柱ABC –A 1B 1C 1的底面是正三角形，侧面BB 1C 1C 是矩形，M ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点，P 为AM 上一点．过B 1C 1和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F ．（1）证明：AA 1//MN ，且平面A 1AMN Ⅰ平面EB 1C 1F ；（2）设O 为ⅠA 1B 1C 1的中心，若AO =AB =6，AO //平面EB 1C 1F ，且ⅠMPN =π3，求四棱锥B –EB 1C 1F 的体积．34．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别在棱1DD ，1BB 上，且12DE ED =，12BF FB =．证明：（1）当AB BC =时，EF AC ⊥；（2）点1C 在平面AEF 内．36．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））如图，直四棱柱ABCD–A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，ⅠBAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点.（1）证明：MN Ⅰ平面C 1DE ；（2）求点C 到平面C 1DE 的距离．38．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））如图，长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⅠEC 1.（1）证明：BE Ⅰ平面EB 1C 1；（2）若AE =A 1E ，AB =3，求四棱锥11E BB C C -的体积．40．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））图1是由矩形,ADEB Rt ABC ∆和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中1,2AB BE BF ===， 60FBC ∠=，将其沿,AB BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG ，如图2.（1）证明图2中的,,,A C G D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ；（2）求图2中的四边形ACGD 的面积.42．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I 卷））如图，在平行四边形ABCM 中，3AB AC ==，90ACM ∠=︒，以AC 为折痕将ⅠACM 折起，使点M 到达点D 的位置，且AB DA ⊥． （1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；（2）Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且23BP DQ DA ==，求三棱锥Q ABP -的体积．44．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文数（全国卷II ））如图，在三棱锥P ABC -中，22AB BC ==4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．（1）证明：PO ⊥平面ABC ；（2）若点M 在棱BC 上，且2MC MB =，求点C 到平面POM 的距离．46．（2018年全国卷Ⅰ文数高考试题）如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的点．（1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ；（2）在线段AM 上是否存在点P ，使得MC ∥平面PBD ？说明理由．49．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷））四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ,01,90.2AB BC AD BAD ABC ==∠=∠= （1）证明：直线//BC 平面PAD ; （2）若ⅠPCD 面积为7，求四棱锥P ABCD -的体积.51．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3））如图，四面体ABCD 中，ⅠABC 是正三角形，AD =CD ．（1）证明：AC ⅠBD ；（2）已知ⅠACD 是直角三角形，AB =BD ．若E 为棱BD 上与D 不重合的点，且AE ⅠEC ，求四面体ABCE与四面体ACDE 的体积比．53．（2016年全国普通高等学校招生统一考试）如图，已知正三棱锥P -ABC 的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D ，D 在平面PAB 内的正投影为点E ，连结PE 并延长交AB 于点G.（Ⅰ）证明：G 是AB 的中点；（Ⅰ）在图中作出点E 在平面PAC 内的正投影F （说明作法及理由），并求四面体PDEF 的体积．55．（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷））如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，点,E F 分别在,AD CD 上，,AE CF EF =交BD 于点H ，将DEF ∆沿EF 折起到D EF ∆'的位置.（Ⅰ）证明：AC HD ⊥'；（Ⅰ)若55,6,,224AB AC AE OD ==='=D ABCFE '-的体积.57．（2016年全国普通高等学校招生统一考试数学）如图，四棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，3AB AD AC ===，4PABC ，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点．（I ）证明MN ∥平面PAB ；（II ）求四面体N BCM -的体积.59．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ）如图四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 交点，BE ABCD ⊥平面，（I ）证明：平面AEC ⊥平面BED ； （II ）若120ABC ∠=，,AE EC ⊥ 三棱锥E ACD -6，求该三棱锥的侧面积.61．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））如图，长方体1111ABCD A B C D -中,116,10,8AB BC AA ===，点,E F 分别在1111,A B D C 上，114A E D F ==，过点,E F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）；（2）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．63．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））如图，三棱柱中，侧面为菱形，的中点为，且平面.（1）证明：（2）若,求三棱柱的高.65．（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））如图，三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，1AB AA =，160BAA ∠=．（1）证明：； （2）若，，求三棱柱111ABC A B C -的体积．68．（2012年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（课标卷））如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直底面，ⅠACB=90°，AC=BC=12AA 1，D 是棱AA 1的中点．(Ｉ) 证明：平面BDC Ⅰ平面1BDC（Ⅰ）平面1BDC 分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.。

三、解答题28.【2012高考新课标理19】（本小题满分12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，112A CBC A A ==，D 是棱1AA 的中点，BD DC ⊥1（1）证明：BC DC ⊥1（2）求二面角11C BD A --的大小. 【答案】（1）在R t D A C ∆中，AD AC = 得：45ADC ︒∠=同理：1114590A D C C D C ︒︒∠=⇒∠=得：111,DC DC DC BD DC ⊥⊥⇒⊥面1BCD DC BC ⇒⊥ （2）11,DC BC CC BC BC ⊥⊥⇒⊥面11ACC A BC AC ⇒⊥取11A B 的中点O ，过点O 作O H BD ⊥于点H ，连接11,C O C H 111111A CBC C O A B =⇒⊥，面111A B C ⊥面1A BD 1C O ⇒⊥面1A B D 1O H B D C H B D ⊥⇒⊥得：点H 与点D 重合且1C D O ∠是二面角11C BD A --的平面角设A C a =，则12C O =，111230CD C O C DO ︒==⇒∠=既二面角11C BD A --的大小为30︒29.【2012高考江苏16】（14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111A B A C =，D E ，分别是棱1BC CC ，上的点（点D 不同于点C ），且AD DE F ⊥，为11B C 的中点． 求证：（1）平面AD E ⊥平面11BCC B ； （2）直线1//A F 平面ADE ．【答案】证明：（1）∵111ABC A B C -是直三棱柱，∴1CC ⊥平面A B C 。

又∵AD ⊂平面A B C ，∴1CC AD ⊥。

又∵1AD DE CC DE ⊥⊂，，平面111BCC B CC DE E = ，，∴AD ⊥平面11BCC B 。

又∵AD ⊂平面ADE ，∴平面AD E ⊥平面11BCC B 。

1. 如图，直三棱柱///ABC A B C -，90BAC ∠=，/,AB AC AA λ==点M ，N 分别为/A B 和//B C 的中点。

(Ⅰ)证明：MN ∥平面//A ACC ;(Ⅱ)若二面角/A MN C --为直二面角，求λ的值。

【答案】-2 -2. 如图1，45ACB ∠=，3BC =，过动点A 作AD BC ⊥，垂足D 在线段BC 上且异于点B ，连接AB ，沿AD 将△ABD 折起，使90BDC ∠=（如图2所示）． （Ⅰ）当BD 的长为多少时，三棱锥A BCD -的体积最大；（Ⅱ）当三棱锥A BCD -的体积最大时，设点E ，M 分别为棱BC ，AC 的中点，试在 棱CD 上确定一点N ，使得EN ⊥BM ，并求EN 与平面BMN 所成角的大小．第19题图【答案】（Ⅰ）同解法1，得321111(3)(3)(69)3326A BCD BCD V AD S x x x x x x -∆=⋅=-⋅-=-+． 令321()(69)6f x x x x =-+，由1()(1)(3)02f x x x '=--=，且03x <<，解得1x =．当(0,1)x ∈时，()0f x '>；当(1,3)x ∈时，()0f x '<．所以当1x =时，()f x 取得最大值．故当1BD =时, 三棱锥A BCD -的体积最大． （Ⅱ）解法1：以D 为原点，建立如图a 所示的空间直角坐标系D xyz -．由（Ⅰ）知，当三棱锥A BCD -的体积最大时，1BD =，2AD CD ==． 于是可得(0,0,0)D ，(1,0,0)B ，(0,2,0)C ，(0,0,2)A ，(0,1,1)M ，1(,1,0)2E ，且(1,1,1)BM =-．设(0,,0)N λ，则1(,1,0)2EN λ=--. 因为EN BM ⊥等价于0EN BM ⋅=，即11(,1,0)(1,1,1)1022λλ--⋅-=+-=，故12λ=，1(0,,0)2N . 所以当12DN =（即N 是CD 的靠近点D 的一个四等分点）时，EN BM ⊥．DABCACDB图2图1 M E. ·设平面BMN 的一个法向量为(,,)x y z =n ，由,,BN BM ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩n n 及1(1,,0)2BN =-，得2,.y x z x =⎧⎨=-⎩ 可取(1,2,1)=-n ． 设EN 与平面BMN 所成角的大小为θ，则由11(,,0)22EN =--，(1,2,1)=-n ，可得|sin cos(90)||||EN EN θθ-⋅=-===⋅n n 60θ=．故EN 与平面BMN 所成角的大小为60.3. 如图，在三棱锥P ABC -中，90APB ∠=，60PAB ∠=，AB BC CA ==，平面PAB ⊥平面ABC 。

2012高考文科试题解析分类汇编：立体几何 一、选择题1.【2012高考新课标文7】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）()A 6 ()B 9 ()C 12 ()D 182.【2012高考新课标文8】平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为（A ）6π （B ）43π （C ）46π （D ）63π3.【2012高考全国文8】已知正四棱柱1111ABCD A BC D -中 ，2AB =，122CC =，E 为1CC 的中点，则直线1AC 与平面BED 的距离为（A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ）14.【2012高考陕西文8】将正方形（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为 （ ）5.【2012高考江西文7】若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为A ．112 B.5 C.4 D. 926.【2012高考湖南文4】某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可．．能．是7.【2012高考广东文7】某几何体的三视图如图1所示，它的体积为A. 72πB. 48πC. 30πD. 24π8.【2102高考福建文4】一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是A 球B 三棱锥C 正方体D 圆柱图1正视图俯视图侧视图5 5635 5 639.【2012高考重庆文9】设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，2和a且长为a的棱与长为2的棱异面，则a的取值范围是（A）(0,2)（B）(0,3)（C）(1,2)（D）(1,3)10.【2012高考浙江文3】已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该三棱锥的体积是A.1cm3B.2cm3C.3cm3D.6cm311.【2012高考浙江文5】设l是直线，a，β是两个不同的平面A. 若l∥a，l∥β，则a∥βB. 若l∥a，l⊥β，则a⊥βC. 若a⊥β，l⊥a，则l⊥βD. 若a⊥β, l∥a，则l⊥β12.【2012高考四川文6】下列命题正确的是（）A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行13.【2102高考北京文7】某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（A）28+65（B）30+65（C）56+125（D）60+125二、填空题14.【2012高考四川文14】如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，M 、N 分别是CD 、1CC 的中点，则异面直线1A M 与DN 所成的角的大小是____________。

G 立体几何G1 空间几何体的结构9．G1[2012·重庆卷] 设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，2和a，且长为a的棱与长为2的棱异面，则a的取值范围为( )A．(0，2) B．(0，3)C．(1，2) D．(1，3)9．A [解析] 如图1－2所示，设AB＝a，CD＝2，BC＝BD＝AC＝AD＝1，则∠ACD＝∠BCD＝45°，要构造一个四面体，则△ACD与共面BCD不能重合，当△BCD与△ACD重合时，a＝0；当A、B、C、D四点共面，且A、B两点在DC的两侧时，在△ABC中，∠ACB＝∠ACD ＋∠BCD＝45°＋45°＝90°，AB＝AC2＋BC2＝2，所以a的取值范围是(0，2)．8．G1、G2[2012·陕西卷] 将正方体(如图1－3①所示)截去两个三棱锥，得到图②所示的几何体，则该几何体的左视图为( )图1－3图1－48．B [解析] 分析题目中截几何体所得的新的几何体的形状，结合三视图实线和虚线的不同表示可知对应的左视图应该为B.15．G1、G12[2012·安徽卷] 若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即AB＝CD，AC＝BD，AD＝BC，则________(写出所有正确结论的编号)．①四面体ABCD每组对棱相互垂直；②四面体ABCD每个面的面积相等；③从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180°；④连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分；⑤从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长．15．②④⑤[解析] 如图，把四面体ABCD放入长方体中，由长方体中相对面中相互异面的两条面对角线不一定相互垂直可知①错误；由长方体中△ABC≌△ABD≌△DCB≌△DCA，可知四面体ABCD每个面的面积相等，同时四面体ABCD中过同一顶点的三个角之和为一个三角形的三个内角之和，即为180°，故②正确，③错误；长方体中相对面中相互异面的两条面对角线中点的连线相互垂直，故④正确；从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱可以移到一个三角形中，作为一个三角形的三条边，故⑤正确．答案为②④⑤.5．G1[2012·上海卷] 一个高为2π，该圆柱的表面积为________． 5．6π [解析] 考查圆柱的表面积，利用圆的周长求得圆柱的底面半径． 由圆柱的底面周长可得底面圆的半径，2πr ＝2π，∴r ＝1，得圆柱的表面积S ＝2πr 2＋2πh ＝2π＋4π＝6π.19．G1、G11[2012·上海卷] 如图1－1，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥底面ABC ，D 是PC的中点，已知∠BAC ＝π2，AB ＝2，AC ＝23，PA ＝2，求：(1)三棱锥P －ABC 的体积；(2)异面直线BC 与AD 所成的角的大小(结果用反三角函数值表示)．19．解：(1)S △ABC ＝12×2×23＝23，三棱锥P －ABC 的体积为 V ＝13S △ABC ×PA ＝13×23×2＝433. (2)取PB 的中点E ，连接DE 、AE ，则ED ∥BC ，所以∠ADE (或其补角)是异面直线BC 与AD 所成的角．在△ADE 中，DE ＝2，AE ＝2，AD ＝2，cos ∠ADE ＝22＋22－22×2×2＝34，所以∠ADE ＝arccos 34.因此，异面直线BC 与AD 所成的角的大小是arccos 34.G2 空间几何体的三视图和直观图10．G2[2012·天津卷] 一个几何体的三视图如图1－2所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.1－210．30 [解析] 由三视图可得该几何体为两个直四棱柱的组合体，其体积V ＝3×4×2＋12(1＋2)×1×4＝30. 13．G2[2012·辽宁卷] 一个几何体的三视图如图1－3所示，则该几何体的体积为________．图1－313．12＋π [解析] 本小题主要考查三视图和体积公式．解题的突破口为通过观察分析三视图，得出几何体的形状，是解决问题的根本．由三视图可知， 几何体是一个长方体与一个圆柱构成的组合体，所以该几何体的体积为V ＝V 长方体＋V 圆柱＝4×3×1＋π×12×1＝12＋π.7．G2[2012·课标全国卷] 如图1－2，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为( )图1－3A ．6B ．9C ．12D ．187．B [解析] 根据三视图可知该几何体是三棱锥，其底面是斜边长为6的等腰直角三角形(斜边上的高为3)，有一条长为3的侧棱垂直于底面，所以该几何体的体积是V ＝13×12×6×3×3＝9，故选B.3. G2、G7[2012·浙江卷] 已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图1－1所示，则该三棱锥的体积是( )A ．1 cm 3B ．2 cm 3C ．3 cm 3D ．6 cm 33．A [解析] 本题考查三棱锥的三视图与体积计算公式，考查学生对数据的运算能力和空间想象能力．由三视图可知，该几何体为一个正三棱锥，则V ＝13Sh ＝13×12×1×2×3＝1.8．G1、G2[2012·陕西卷] 将正方体(如图1－3①所示)截去两个三棱锥，得到图②所示的几何体，则该几何体的左视图为( )图1－3图1－48．B [解析] 分析题目中截几何体所得的新的几何体的形状，结合三视图实线和虚线的不同表示可知对应的左视图应该为B.15.G2[2012·湖北卷] 已知某几何体的三视图如图1－4所示，则该几何体的体积为________．图1－41－515．[答案] 12 π[解析] 由三视图可知，该几何体是由左右两个相同的圆柱(底面圆半径为2，高为1)与中间一个圆柱(底面圆半径为1，高为4)组合而成，故该几何体的体积是V ＝π×22×1×2＋π×12×4＝12π.7．G2[2012·广东卷] 某几何体的三视图如图1－1所示，它的体积为( )图1－1A ．72πB ．48πC ．30πD ．24π7．C [解析] 根据三观图知该几何体是由半球与圆锥构成，球的半径R ＝3，圆锥半径R ＝3，高为4，所以V 组合体＝V 半球＋V 圆锥＝12×43π×33＋13π×32×4＝30π，所以选择C.4．G2[2012·福建卷] 一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是( )A ．球B ．三棱锥C ．正方体D ．圆柱4．D [解析] 球的三视图大小、形状相同，三棱锥的三视图也可能相同，正方体三种视图也相同，只有D 不同．12．G2、G7[2012·安徽卷] 某几何体的三视图如图1－2所示，则该几何体的体积等于________．1－212．56 [解析] 如图，根据三视图还原的实物图为底面是直角梯形的直四棱柱，其体积为V ＝Sh ＝12()2＋5×4×4＝56.7．G2、G7[2012·北京卷] 1－4所示，该三棱锥的表面积是( )－4A ．28＋6 5B ．30＋6 5C ．56＋12 5D ．60＋12 57．B [解析] 本题考查三棱锥的三视图与表面积公式．由三视图可知，几何体为一个侧面和底面垂直的三棱锥，如图所示，可知S 底面＝12×5×4＝10，S 后＝12×5×4＝10，S 左＝12×6×25＝65，S 右＝12×4×5＝10，所以S 表＝10×3＋65＝30＋6 5.4．G2[2012·湖南卷] 某几何体的正视图和侧视图均如图1－1所示，则该几何体的俯视图不可能．．．是( )图 14．C [解析] 本题考查三视图，意在考查考生三视图的辨析，以及对三视图的理解和掌握．选项A, B, D ，都有可能，选项C 的正视图应该有看不见的虚线，故C 是不可能的．[易错点] 本题由于对三视图的不了解，易错选D，三视图中看不见的棱应该用虚线标出．7．G2[2012·江西卷] 若一个几何体的三视图如图1－2所示，则此几何体的体积为( )A.11 2B．5C.9 2D．427．D [解析] 该几何体是直六棱柱，由左视图知其高为1，由主视图和俯视图知其底面面积S＝(1＋3)×1＝4，因此其体积为4，故选D.G3 平面的基本性质、空间两条直线G4 空间中的平行关系19．G4、G5[2012·山东卷] 如图1－6，几何体E－ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.(1)求证：BE＝DE；(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.19．证明：(1)取BD的中点O，连接CO，EO.由于CB＝CD，所以CO⊥BD，又EC⊥BD，EC∩CO＝C，CO，EC⊂平面EOC，所以BD⊥平面EOC，因此BD⊥EO，又O为BD的中点，所以BE＝DE.(2)证法一：取AB的中点N，连接DM，DN，MN，因为M是AE的中点，所以MN∥BE.又MN ⊄平面BEC ，BE ⊂平面BEC ， 所以MN ∥平面BEC ，又因为△ABD 为正三角形， 所以∠BDN ＝30°，又CB ＝CD ，∠BCD ＝120°， 因此∠CBD ＝30°， 所以DN ∥BC ，又DN ⊄平面BEC ，BC ⊂平面BEC ，所以DN ∥平面BEC ， 又MN ∩DN ＝N ，故平面DMN ∥平面BEC ， 又DM ⊂平面DMN ， 所以DM ∥平面BEC . 证法二：延长AD ，BC 交于点F ，连接EF . 因为CB ＝CD ，∠BCD ＝120°. 所以∠CBD ＝30°.因为△ABD 为正三角形．所以∠BAD ＝60°，∠ABC ＝90°， 因此∠AFB ＝30°，所以AB ＝12AF .又AB ＝AD ，所以D 为线段AF 的中点．连接DM ，由点M 是线段AE 的中点， 因此DM ∥EF .又DM ⊄平面BEC ，EF ⊂平面BEC ， 所以DM ∥平面BEC .18．G4、G7[2012·辽宁卷] 如图1－5，直三棱柱ABC －A ′B ′C ′，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，AA ′＝1，点M ，N 分别为A ′B 和B ′C ′的中点．(1)证明：MN ∥平面A ′ACC ′； (2)求三棱锥A ′－MNC 的体积．(锥体体积公式V ＝13Sh ，其中S 为底面面积，h 为高)18．解：(1)(证法一)连结AB ′，AC ′，由已知∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，三棱柱ABC －A ′B ′C ′为直三棱柱， 所以M 为AB ′中点，又因为N 为B ′C ′的中点，所以MN ∥AC ′. 又MN ⊄平面A ′ACC ′， AC ′⊂平面A ′ACC ′， 因此MN ∥平面A ′ACC ′. (证法二)取A ′B ′中点P ，连结MP ，NP ， M 、N 分别为AB ′与B ′C ′的中点， 所以MP ∥AA ′，PN ∥A ′C ′，所以MP ∥平面A ′ACC ′，PN ∥平面A ′ACC ′， 又MP ∩NP ＝P ，因此平面MPN ∥平面A ′ACC ′，而MN ⊂平面MPN . 因此MN ∥平面A ′ACC ′. (2)(解法一)连结BN ，由题意A ′N ⊥B ′C ′，平面A ′B ′C ′∩平面B ′BCC ′＝B ′C ′， 所以A ′N ⊥平面NBC .又A ′N ＝12B ′C ′＝1，故V A ′－MNC ＝V N －A ′MC ＝12V N －A ′BC ＝12V A ′－NBC ＝16.(解法二)V A ′－MNC ＝V A ′－NBC －V M －NBC ＝12V A ′－NBC ＝16.16．G4、G5、G7[2012·北京卷] 如图1－9(1)，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，点F 为线段CD 上的一点，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1F ⊥CD ，如图1－9(2)．(1)求证：DE ∥平面A 1CB ； (2)求证：A 1F ⊥BE ；(3)线段A 1B 上是否存在点1DEQ ？说明理由．1－916．解：(1)证明：因为D ，E 分别为AC ，AB 的中点， 所以DE ∥BC .又因为DE ⊄平面A 1CB ， 所以DE ∥平面A 1CB .(2)证明：由已知得AC ⊥BC 且DE ∥BC ， 所以DE ⊥AC .所以DE ⊥A 1D ，DE ⊥CD ， 所以DE ⊥平面A 1DC .而A1F⊂平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，所以A1F⊥平面BCDE，所以A1F⊥BE.(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如下图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.又因为DE∥BC，所以DE∥PQ.所以平面DEQ即为平面DEP，由(2)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1C⊥DP.所以A1C⊥平面DEP.从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.16．G4、G5[2012·江苏卷] 如图1－4，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E 分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)直线A1F∥平面ADE.16．证明：(1)因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，又AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD.又因为AD⊥DE，CC1，DE⊂平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，所以AD⊥平面BCC1B1.又AD⊂平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，所以A1F⊥B1C1.因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1B1C1，所以CC1⊥A1F.又因为CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，所以A1F⊥平面BCC1B1.由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD.又AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE，所以A1F∥平面ADE.5．G4、G5[2012·浙江卷] 设l 是直线，α，β是两个不同的平面( ) A ．若l ∥α，l ∥β，则α∥β B ．若l ∥α，l ⊥β，则α⊥β C ．若α⊥β，l ⊥α，则l ⊥β D ．若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β5．B [解析] 本题考查了线面、面面平行，线面、面面垂直等简单的立体几何知识，考查学生对书本知识的掌握情况以及空间想象、推理能力．对于选项A ，若l ∥α，l ∥β，则α∥β或平面α与β相交；对于选项B ，若l ∥α，l ⊥β，则α⊥β；对于选项C ，若α⊥β，l ⊥α，则l ∥β或l 在平面β内；对于选项D ，若α⊥β，l ∥α，则l 与β平行、相交或l 在平面β内．G5 空间中的垂直关系19．G5[2012·江西卷] 如图1－7，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E ，F 是线段AB 上的两点，且DE ⊥AB ，CF ⊥AB ，AB ＝12，AD ＝5，BC ＝42，DE ＝4，现将△ADE ，△CFB 分别沿DE ，CF 折起，使A ，B 两点重合于点G ，得到多面体CDEFG .(1)求证：平面DEG ⊥平面CFG ； (2)求多面体CDEFG 的体积．图1－719．解：(1)证明：因为DE ⊥EF ，CF ⊥EF ，所以四边形CDEF 为矩形，由GD ＝5，DE ＝4，得GE ＝GD 2－DE 2＝3.由GC ＝42，CF ＝4，得FG ＝GC 2－CF 2＝4，所以EF ＝5.在△EFG 中，有EF 2＝GE 2＋FG 2，所以EG ⊥GF ， 又因为CF ⊥EF ，CF ⊥FG ，得，CF ⊥平面EFG ，所以CF ⊥EG ，所以EG ⊥平面CFG ，即平面DEG ⊥平面CFG .(2)如图，在平面EGF 中，过点G 作GH ⊥EF 于点H ，则GH ＝EG ·GF EF ＝125.因为平面CDEF ⊥平面EFG ，得GH V CDEFG ＝13S CDEF ·GH ＝16.14．G5[2012·四川卷] 如图1－4，在正方体ABCD －A 1CD 、CC 1的中点，则异面直线A 1M 与DN 所成的角的大小是图1－414．90° [解析] 因为ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，故A 1在平面CDD 1C 1上的射影为D 1， 即A 1M 在平面CDD 1C 1上的射影为D 1M ，而在正方形CDD 1C 1中，由tan ∠DD 1M ＝tan ∠CDN ＝12，可知D 1M ⊥DN ，由三垂线定理可知，A 1M ⊥DN .20．G5、G6、G10、G11[2012·重庆卷] 已知在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝4，AC ＝BC ＝3，D 为AB 的中点．(1)求异面直线CC 1和AB 的距离；(2)若AB 1⊥A 1C ，求二面角A 1－－1的平面角的余弦值．20．解：(1)因AC ＝BC ，D 为AB 的中点，故CD ⊥AB .又直三棱柱中，CC 1⊥面ABC ，故CC 1⊥CD ，所以异面直线CC 1和AB 的距离为CD ＝BC 2－BD 2＝ 5.(2)解法一：由CD ⊥AB ，CD ⊥BB 1，故CD ⊥面A 1ABB 1，从而CD ⊥DA 1，CD ⊥DB 1，故∠A 1DB 1为所求的二面角A 1－CD －B 1的平面角．因A 1D 是A 1C 在面A 1ABB 1上的射影，又已知AB 1⊥A 1C ，由三垂线定理的逆定理得AB 1⊥A 1D ，从而∠A 1AB 1，∠A 1DA 都与∠B 1AB 互余，因此∠A 1AB 1＝∠A 1DA ，所以Rt △A 1AD ∽Rt △B 1A 1A ，因此AA 1AD ＝A 1B 1AA 1，得AA 21＝AD ·A 1B 1＝8. 从而A 1D ＝AA 21＋AD 2＝23，B 1D ＝A 1D ＝23， 所以在△A 1DB 1中，由余弦定理得cos ∠A 1DB 1＝A 1D 2＋DB 21－A 1B 212·A 1D ·DB 1＝13.解法二：如下图，过D 作DD 1∥AA 1交A 1B 1于D 1，在直三棱柱中，由(1)知DB ，DC ，DD 1两两垂直，以D 为原点，射线DB ，DC ，DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立空间直角坐标系D －xyz .设直三棱柱的高为h ，则A (－2,0,0)，A 1(－2,0，h )，B 1(2,0，h )，C (0，5，0)，从而AB 1→＝(4,0，h )，A 1C →＝(2，5，－h )．由AB 1→⊥A 1C →得AB 1→·A 1C →＝0，即8－故DA 1→＝(－2,0,22)，DB 1→＝(2,0,22)，DC →＝(0，5，0)．设平面A 1CD 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，则m ⊥DC →，m ⊥DA 1→，即⎩⎨⎧5y 1＝0，－2x 1＋22z 1＝0，取z 1＝1，得m ＝(2，0,1)．设平面B 1CD 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，则n ⊥DC →，n ⊥DB 1→，即⎩⎨⎧5y 2＝0，2x 2＋22z 2＝0，取z 2＝－1，得n ＝(2，0，－1)，所以cos 〈m ，n 〉＝m·n |m |·|n |＝2－12＋1·2＋1＝13.所以二面角A 1－CD －B 1的平面角的余弦值为13.5．G4、G5[2012·浙江卷] 设l 是直线，α，β是两个不同的平面( ) A ．若l ∥α，l ∥β，则α∥β B ．若l ∥α，l ⊥β，则α⊥β C ．若α⊥β，l ⊥α，则l ⊥β D ．若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β5．B [解析] 本题考查了线面、面面平行，线面、面面垂直等简单的立体几何知识，考查学生对书本知识的掌握情况以及空间想象、推理能力．对于选项A ，若l ∥α，l ∥β，则α∥β或平面α与β相交；对于选项B ，若l ∥α，l ⊥β，则α⊥β；对于选项C ，若α⊥β，l ⊥α，则l ∥β或l 在平面β内；对于选项D ，若α⊥β，l ∥α，则l 与β平行、相交或l 在平面β内．20．G4、G5、G11[2012·浙江卷] 如图1－5，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ∥BC ，AD ⊥AB ，AB ＝2，AD ＝2，BC ＝4，AA 1＝2，E 是DD 1的中点，F 是平面B 1C 1E 与直线AA 1的交点．(1)证明：(i)EF ∥A 1D 1； (ii)BA 1⊥平面B 1C 1EF ；(2)求BC 1与平面B 1C 1EF 所成的角的正弦值．20．解：(1)证明：(ⅰ)因为C 1B 1∥A 1D 1，C 1B 1⊄平面A 1D 1DA ，所以C 1B 1∥平面A 1D 1DA ， 又因为平面B 1C 1EF ∩平面A 1D 1DA ＝EF ， 所以C 1B 1∥EF ， 所以A 1D 1∥EF .(ⅱ)因为BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1， 所以BB 1⊥B 1C 1. 又因为B 1C 1⊥B 1A 1，所以B 1C 1⊥平面ABB 1A 1， 所以B 1C 1⊥BA 1.在矩形ABB 1A 1中，F 是AA 1的中点，tan ∠A 1B 1F ＝tan ∠AA 1B ＝22，即∠A 1B 1F ＝∠AA 1B ， 故BA 1⊥B 1F ，所以BA 1⊥平面B 1C 1EF .(2)设BA 1与B 1F 交点为H ，连结C 1H .由(1)知BA 1⊥平面B 1C 1EF ，所以∠1111EF 所成的角．在矩形AA 1B 1B 中，AB ＝2，AA 1＝2，得BH ＝46.在直角△BHC 1中，BC 1＝25，BH ＝46，得sin ∠BC 1H ＝BH BC 1＝3015， 所以BC 1与平面B 1C 1EF 所成角的正弦值是3015.17．G5、G11[2012·天津卷] 如图1－4，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，AD ⊥PD ，BC ＝1，PC ＝23，PD ＝CD ＝2.(1)求异面直线PA 与BC 所成角的正切值； (2)证明平面PDC ⊥平面ABCD ；(3)求直线PB 与平面ABCD 所成角的正弦值．17．解：(1)如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，因为底面ABCD 是矩形，所以AD ＝BC 且AD ∥BC ，又因为AD ⊥PD ，故∠PAD 为异面直线PA 与BC 所成的角．在Rt △PDA 中，tan ∠PAD ＝PDAD＝2. 所成角的正切值为2.是矩形，故AD ⊥CD ，又由于AD ⊥PD ，CD ∩PD ＝D ，因此AD ⊥平面PDC ，而AD ⊂平面ABCD ，所以平面PDC ⊥平面ABCD .(3)在平面PDC 内，过点P 作PE ⊥CD 交直线CD 于点E ，连接EB . 由于平面PDC ⊥平面ABCD ，而直线CD 是平面PDC 与平面ABCD 的交线，故PE ⊥平面ABCD .由此得∠PBE 为直线PB 与平面ABCD 所成的角．在△PDC 中，由于PD ＝CD ＝2，PC ＝23，可得∠PCD ＝30°. 在Rt △PEC 中，PE ＝PC sin30°＝ 3.由AD ∥BC ，AD ⊥平面PDC ，得BC ⊥平面PDC ，因此BC ⊥PC .在Rt △PCB 中，PB ＝PC 2＋BC 2＝13.在Rt △PEB 中，sin ∠PBE ＝PE PB ＝3913.所以直线PB 与平面ABCD 所成角的正弦值为3913.18．G5、G7[2012·陕西卷] 直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AA 1，∠CAB ＝π2.(1)证明：CB 1⊥BA 1；(2)已知AB ＝2，BC ＝5，求三棱锥C 1－ABA 1的体积．18．解：(1)证明：如图，连结AB 1，∵ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，∠CAB ＝2，∴AC ⊥平面ABB 1A 1，故AC ⊥BA 1.又∵AB ＝AA 1，∴四边形ABB 1A 1是正方形， ∴BA 1⊥AB 1，又CA ∩AB 1＝A . ∴BA 1⊥平面CAB 1，故CB 1⊥BA 1.(2)∵AB ＝AA 1＝2，BC ＝5，∴AC ＝A 1C 1＝1， 由(1)知，A 1C 1⊥平面ABA 1，∴VC 1－ABA 1＝13S △ABA 1·A 1C 1＝13×2×1＝23.19．G5、G7[2012·课标全国卷] 如图1－4，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝12AA 1，D 是棱AA 1的中点．(1)证明：平面BDC 1⊥平面BDC ；(2)平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．19．解：(1)证明：由题设知BC ⊥CC 1，BC ⊥AC ，CC 1∩AC ＝C ，所以BC ⊥平面ACC 1A 1. 又DC 1⊂平面ACC 1A 1，所以DC 1⊥BC .由题设知∠A 1DC 1＝∠ADC ＝45°，所以∠CDC 1＝90°，即DC 1⊥DC .又DC ∩BC ＝C ，所以DC 1⊥平面BDC .又DC 1⊂平面BDC 1，故平面BDC 1⊥平面BDC .(2)设棱锥B －DACC 1的体积为V 1，AC ＝1.由题意得V 1＝13×1＋22×1×1＝12.又三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积V ＝1， 所以(V －V 1)∶V 1＝1∶1.故平面BDC 1分此棱柱所得两部分体积的比为1∶1.19．G4、G5[2012·山东卷] 如图1－6，几何体E －ABCD 是四棱锥，△ABD 为正三角形，CB ＝CD ，EC ⊥BD .(1)求证：BE＝DE；(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC. 19．证明：(1)取BD的中点O，连接CO，EO.由于CB＝CD，所以CO⊥BD，又EC⊥BD，EC∩CO＝C，CO，EC⊂平面EOC，所以BD⊥平面EOC，因此BD⊥EO，又O为BD的中点，所以BE＝DE.(2)证法一：取AB的中点N，连接DM，DN，MN，因为M是AE的中点，所以MN∥BE.又MN⊄平面BEC，BE⊂平面BEC，所以MN∥平面BEC，又因为△ABD为正三角形，所以∠BDN＝30°，又CB＝CD，∠BCD＝120°，因此∠CBD＝30°，所以DN∥BC，又DN⊄平面BEC，BC⊂平面BEC，所以DN∥平面BEC，又MN∩DN＝N，故平面DMN∥平面BEC，又DM⊂平面DMN，所以DM∥平面BEC.证法二：延长AD，BC交于点F，连接EF.因为CB＝CD，∠BCD＝120°.所以∠CBD＝30°.因为△ABD为正三角形．所以∠BAD＝60°，∠ABC＝90°，因此∠AFB ＝30°，所以AB ＝12AF .又AB ＝AD ，所以D 为线段AF 的中点．连接DM ，由点M 是线段AE 的中点， 因此DM ∥EF .又DM ⊄平面BEC ，EF ⊂平面BEC ， 所以DM ∥平面BEC .19．G5、G7[2012·湖南卷] 如图1－7，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是等腰梯形，AD ∥BC ，AC ⊥BD .(1)证明：BD ⊥PC ；(2)若AD ＝4，BC ＝2，直线PD 与平面PAC 所成的角为30°，求四棱锥P －ABCD 的体积． 19．解：(1)证明：因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥BD .又AC ⊥BD ，PA ，AC 是平面PAC 内的两条相交直线，所以BD ⊥平面PAC . 而PC ⊂平面PAC ，所以BD ⊥PC .(2)设AC 和BD 相交于点O ，连结PO ，由(1)知，BD ⊥平面PAC ，所以∠DPO 是直线PD 和平面PAC 所成的角．从而∠DPO ＝30°.由BD ⊥平面PAC ，PO ⊂平面PAC 知，BD ⊥PO . 在Rt △POD 中，由∠DPO ＝30°得PD ＝2OD .因为四边形ABCD 为等腰梯形，AC ⊥BD ，所以△AOD ，△BOC 均为等腰直角三角形．从而梯形ABCD 的高为12AD ＋12BC ＝12×(4＋2)＝3，于是梯形ABCD 的面积S ＝12×(4＋2)×3＝9.在等腰直角三角形AOD 中，OD ＝22AD ＝22，所以PD ＝2OD ＝42，PA ＝PD 2－AD 2＝4. 故四棱锥P －ABCD 的体积为 V ＝13×S ×PA ＝13×9×4＝12. 19．G5、G7[2012·湖北卷] 某个实心零部件的形状是如图1－7所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台A 1B 1C 1D 1－ABCD ，上部是一个底面与四A 2B 2C 2D 2.(1)证明：直线B 1D 1⊥平面ACC 2A 2；(2)现需要对该零部件表面进行防腐处理．已知AB ＝10，A 1B 1＝20，AA 2＝30，AA 1＝13(单位：cm)，每平方厘米的加工处理费为0.20元，需加工处理费多少元？19．解：(1)因为四棱柱ABCD －A 2B 2C 2D 2的侧面是全等的矩形，所以AA 2⊥AB ，AA 2⊥AD ，又因为AB ∩AD ＝A ，所以AA 2⊥平面ABCD . 连接BD ，因为BD ⊂平面ABCD ，所以AA 2⊥BD . 因为底面ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD . 根据棱台的定义可知，BD 与B 1D 1共面．又已知平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，且平面BB 1D 1D ∩平面ABCD ＝BD ， 平面BB 1D 1D ∩平面A 1B 1C 1D 1＝B 1D 1，所以B 1D 1∥BD .于是由AA 2⊥BD ，AC ⊥BD ，B 1D 1∥BD ，可得AA 2⊥B 1D 1，AC ⊥B 1D 1， 又因为AA 2∩AC ＝A ，所以B 1D 1⊥平面ACC 2A 2.(2)因为四棱柱ABCD －A 2B 2C 2D 2的底面是正方形，侧面是全等的矩形，所以S 1＝S 四棱柱上底面＋S 四棱柱侧面＝(A 2B 2)2＋4AB ·AA 2＝102＋4×10×30＝1 300(cm 2)．又因为四棱台A 1B 1C 1D 1－ABCD 的上、下底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形． 所以S 2＝S 四棱台下底面＋S 四棱台侧面＝(A 1B 1)2＋4×12(AB ＋A 1B 1)h 等腰梯形的高＝202＋4×12(10＋20)132－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1220－102＝1 120(cm 2)．于是该实心零部件的表面积为S ＝S 1＋S 2＝1 300＋1 120＝2 420(cm 2)， 故所需加工处理费为0.2S ＝0.2×2 420＝484(元)．18．G5、G12[2012·广东卷] 如图1－5所示，在四棱锥P －ABCD 中，AB ⊥平面PAD ，AB ∥CD ，PD ＝AD ，E 是PB 的中点，F 是DC 上的点且DF ＝12AB ，PH 为△PAD 中AD 边上的高．(1)证明：PH ⊥平面ABCD ；(2)若PH ＝1，AD ＝2，FC ＝1，求三棱锥E －BCF 的体积； (3)证明：EF ⊥平面PAB .18．解：(1)由于AB ⊥平面PAD ，PH ⊂平面PAD ， 故AB ⊥PH .又因为PH 为△PAD 中AD 边上的高， 故AD ⊥PH .∵AB ∩AD ＝A ，AB ⊂平面ABCD ， AD ⊂平面ABCD ， ∴PH ⊥平面ABCD .(2)由于PH ⊥平面ABCD ，E 为PB 的中点，PH ＝1，故E 到平面ABCD 的距离h ＝12PH ＝12.又因为AB ∥CD ，AB ⊥AD ，所以AD ⊥CD ，故S △BCF ＝12·FC ·AD ＝12·1·2＝22.因此V E －BCF ＝13S △BCF ·h ＝13·22·12＝212.(3)证明：过E 作EG ∥AB 交PA 于G ，连接DG . 由于E 为PB 的中点，所以G 为PA 的中点． 因为DA ＝DP ，故△DPA 为等腰三角形， 所以DG ⊥PA .∵AB ⊥平面PAD ，DG ⊂平面PAD ， ∴AB ⊥DG .又∵AB ∩PA ＝A ，AB ⊂平面PAB ，PA ⊂平面PAB ， ∴DG ⊥平面PAB .又∵GE 綊12AB ，DF 綊12AB ，∴GE 綊DF .所以四边形DFEG 为平行四边形，故DG ∥EF . 于是EF ⊥平面PAB .19．G5、G11[2012·安徽卷] 如图1－3，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面A 1B 1C 1D 1是正方形，O 是BD 的中点，E 是棱AA 1上任意一点．(1)证明：BD ⊥EC 1；(2)如果AB ＝2，AE ＝2，OE ⊥EC 1，求AA 1的长．19．解：(1)证明：连接AC ，A 1C 1. 由底面是正方形知，BD ⊥AC .因为AA 1⊥平面ABCD ，BD ⊆平面ABCD所以AA 1⊥BD . 又由AA 1∩AC ＝A ， 所以BD ⊥平面AA 1C 1C .再由EC 1⊆平面AA 1C 1C 知， BD ⊥EC 1.(2)设AA 1的长为h ，连接OC 1.在Rt △OAE 中，AE ＝2，AO ＝2，故OE 2＝(2)2＋(2)2＝4.在Rt△EA1C1中，A1E＝h－2，A1C1＝2 2.故EC21＝(h－2)2＋(22)2.在Rt△OCC1中，OC＝2，CC1＝h，OC21＝h2＋(2)2.因为OE⊥EC1，所以OE2＋EC21＝OC21，即4＋(h－2)2＋(22)2＝h2＋(2)2，解得h＝3 2.所以AA1的长为3 2.16．G4、G5、G7[2012·北京卷] 如图1－9(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图1－9(2)．(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点，使1⊥平面DEQ？说明理由．1－916．解：(1)证明：因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DE∥BC.又因为DE⊄平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.(2)证明：由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D，DE⊥CD，所以DE⊥平面A1DC.而A1F⊂平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，所以A1F⊥平面BCDE，所以A1F⊥BE.(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如下图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.又因为DE∥BC，所以DE∥PQ.所以平面DEQ即为平面DEP，由(2)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1C⊥DP.所以A1C⊥平面DEP.从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.16．G4、G5[2012·江苏卷] 如图1－4，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E 分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)直线A1F∥平面ADE.16．证明：(1)因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，又AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD.又因为AD⊥DE，CC1，DE⊂平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，所以AD⊥平面BCC1B1.又AD⊂平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，所以A1F⊥B1C1.因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1B1C1，所以CC1⊥A1F.又因为CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，所以A1F⊥平面BCC1B1.由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD.又AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE，所以A1F∥平面ADE.19．G5、G7、G11[2012·全国卷] 如图1－1，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC＝22，PA＝2，E是PC上的一点，PE＝2EC.(1)证明：PC⊥平面BED；(2)设二面角A－PB－C为图1－119．解：方法一：(1)证明：因为底面ABCD为菱形，所以BD⊥AC，又PA⊥底面ABCD，所以PC⊥BD.设AC ∩BD ＝F ，连结EF .因为AC ＝PA ＝2，PE ＝2EC ，故PC ＝23，EC ＝233，FC ＝2，从而PC FC ＝6，AC EC ＝ 6.因为PC FC ＝ACEC，∠FCE ＝∠PCA ，所以△FCE ∽△PCA ，∠FEC ＝∠PAC ＝90°， 由此知PC ⊥EF .PC 与平面BED 内两条相交直线BD ，EF 都垂直，所以PC ⊥平面BED . (2)在平面PAB 内过点A 作AG ⊥PB ，G 为垂足．因为二面角A －PB －C 为90°，所以平面PAB ⊥平面PBC . 又平面PAB ∩平面PBC ＝PB ， 故AG ⊥平面PBC ，AG ⊥BC .BC 与平面PAB 内两条相交直线PA ，AG 都垂直，故BC ⊥平面PAB ，于是BC ⊥AB ，所以底面ABCD 为正方形，AD ＝2，PD ＝PA 2＋AD 2＝2 2.设D 到平面PBC 的距离为d .因为AD ∥BC ，且AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，故AD ∥平面PBC ，A 、D 两点到平面PBC 的距离相等，即d ＝AG ＝ 2.设PD 与平面PBC 所成的角为α，则sin α＝d PD ＝12.所以PD 与平面PBC 所成的角为30°.方法二：(1)以A 为坐标原点，射线AC 为x 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz .设C (22，0,0)，D (2，b,0)，其中b >0，则P (0,0,2)，E ⎝⎛⎭⎪⎫423，0，23，B (2，－b,0)． 于是PC →＝(22，0，－2)，BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，b ，23，DE →＝⎝⎛⎭⎪⎫23，－b ，23，从而PC →·BE →＝0， PC →·DE →＝0，故PC ⊥BE ，PC ⊥DE . 又BE ∩DE ＝E ，所以PC ⊥平面BDE . (2)AP →＝(0,0,2)，AB →＝(2，－b,0)．设m ＝(x ，y ，z )为平面PAB 的法向量，则m ·AP →＝0，m ·AB →＝0， 即2z ＝0且2x －by ＝0，令x ＝b ，则m ＝(b ，2，0)．设n ＝(p ，q ，r )为平面PBC 的法向量，则 n ·PC →＝0，n ·BE →＝0，即22p －2r ＝0且2p 3＋bq ＋23r ＝0，令p ＝1，则r ＝2，q ＝－2b，n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－2b，2.因为面PAB ⊥面PBC ，故m ·n ＝0，即b －2b＝0，故b ＝2，于是n ＝(1，－1，2)，DP→＝(－2，－2，2)，cos 〈n ，DP →〉＝n ·DP →|n ||DP →|＝12，〈n ，DP →〉＝60°.因为PD 与平面PBC 所成的角和〈n ，DP →〉互余， 故PD 与平面PBC 所成的角为30°.G6 三垂线定理20．G5、G6、G10、G11[2012·重庆卷] 已知在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝4，AC ＝BC ＝3，D 为AB 的中点．(1)求异面直线CC 1和AB 的距离；(2)若AB 1⊥A 1C ，求二面角A 1－20．解：(1)因AC ＝BC ，D 为AB 的中点，故CD ⊥AB .又直三棱柱中，CC 1⊥面ABC ，故CC 1⊥CD ，所以异面直线CC 1和AB 的距离为CD ＝BC 2－BD 2＝ 5.(2)解法一：由CD ⊥AB ，CD ⊥BB 1，故CD ⊥面A 1ABB 1，从而CD ⊥DA 1，CD ⊥DB 1，故∠A 1DB 1为所求的二面角A 1－CD －B 1的平面角．因A 1D 是A 1C 在面A 1ABB 1上的射影，又已知AB 1⊥A 1C ，由三垂线定理的逆定理得AB 1⊥A 1D ，从而∠A 1AB 1，∠A 1DA 都与∠B 1AB 互余，因此∠A 1AB 1＝∠A 1DA ，所以Rt △A 1AD ∽Rt △B 1A 1A ，因此AA 1AD ＝A 1B 1AA 1，得AA 21＝AD ·A 1B 1＝8. 从而A 1D ＝AA 21＋AD 2＝23，B 1D ＝A 1D ＝23， 所以在△A 1DB 1中，由余弦定理得cos ∠A 1DB 1＝A 1D 2＋DB 21－A 1B 212·A 1D ·DB 1＝13.解法二：如下图，过D 作DD 1∥AA 1交A 1B 1于D 1，在直三棱柱中，由(1)知DB ，DC ，DD 1两两垂直，以D 为原点，射线DB ，DC ，DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立空间直角坐标系D －xyz .设直三棱柱的高为h ，则A (－2,0,0)，A 1(－2,0，h )，B 1(2,0，h )，C (0，5，0)，从而AB 1→＝(4,0，h )，A 1C →＝(2，5，－h )．由AB 1→⊥A 1C →得AB 1→·A 1C →＝0，即8－h 2＝0，因此h ＝2 2.故DA 1→＝(－2,0,22)，DB 1→＝(2,0,22)，DC →＝(0，5，0)．设平面A 1CD 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，则m ⊥DC →，m ⊥DA 1→，即⎩⎨⎧5y 1＝0，－2x 1＋22z 1＝0，取z 1＝1，得m ＝(2，0,1)．设平面B 1CD 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，则n ⊥DC →，n ⊥DB 1→，即⎩⎨⎧5y 2＝0，2x 2＋22z 2＝0，取z 2＝－1，得n ＝(2，0，－1)，所以cos 〈m ，n 〉＝m·n |m |·|n |＝2－12＋1·2＋1＝13.所以二面角A 1－CD －B 1的平面角的余弦值为13.G7 棱柱与棱锥13．G7[2012·山东卷] 如图1－3所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 为线段B 1C 上的一点，则三棱锥A －DED 1的体积为________．13.16[解析] 本题考查棱锥的体积公式，考查空间想象力与转化能力，容易题． VA －DED 1＝VE －DD 1A ＝13×12×1×1×1＝16.7．G7[2012·江苏卷] 如图1－2，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝3 cm ，AA 1＝2 cm ，则四棱锥A －BB 1D 1D 的体积为37．6 [解析] 本题考查四棱锥体积的求解以及对长方体性质的运用． 解题突破口为寻找四棱锥的高．连AC 交BD 于点O ，因四边形ABCD 为正方形，故AO 为四棱锥A －BB 1D 1D 的高，从而V＝13×2×32×322＝6. 3. G2、G7[2012·浙江卷] 已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图1－1所示，则该三棱锥的体积是( )A ．1 cm 3B ．2 cm 3C ．3 cm 3D ．6 cm 33．A [解析] 本题考查三棱锥的三视图与体积计算公式，考查学生对数据的运算能力和空间想象能力．由三视图可知，该几何体为一个正三棱锥，则V ＝13Sh ＝13×12×1×2×3＝1.18．G5、G7[2012·陕西卷] 直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AA 1，∠CAB ＝π2.(1)证明：CB 1⊥BA 1；(2)已知AB ＝2，BC ＝5，求三棱锥C 1－ABA 1的体积．18．解：(1)证明：如图，连结AB 1，∵ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，∠CAB ＝2，∴AC ⊥平面ABB 1A 1，故AC ⊥BA 1.又∵AB ＝AA 1，∴四边形ABB 1A 1是正方形， ∴BA 1⊥AB 1，又CA ∩AB 1＝A . ∴BA 1⊥平面CAB 1，故CB 1⊥BA 1.(2)∵AB ＝AA 1＝2，BC ＝5，∴AC ＝A 1C 1＝1， 由(1)知，A 1C 1⊥平面ABA 1，∴VC 1－ABA 1＝13S △ABA 1·A 1C 1＝13×2×1＝23.19．G5、G7[2012·湖南卷] 如图1－7，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是等腰梯形，AD ∥BC ，AC ⊥BD .(1)证明：BD ⊥PC ；(2)若AD ＝4，BC ＝2，直线PD 与平面PAC 所成的角为30°，求四棱锥P －ABCD 的体积． 19．解：(1)证明：因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥BD .又AC ⊥BD ，PA ，AC 是平面PAC 内的两条相交直线，所以BD ⊥平面PAC . 而PC ⊂平面PAC ，所以BD ⊥PC .(2)设AC 和BD 相交于点O ，连结PO ，由(1)知，BD ⊥平面PAC ，所以∠DPO 是直线PD 和平面PAC 所成的角．从而∠DPO ＝30°.由BD ⊥平面PAC ，PO ⊂平面PAC 知，BD ⊥PO . 在Rt △POD 中，由∠DPO ＝30°得PD ＝2OD .因为四边形ABCD 为等腰梯形，AC ⊥BD ，所以△AOD ，△BOC 均为等腰直角三角形．从而梯形ABCD 的高为12AD ＋12BC ＝12×(4＋2)＝3，于是梯形ABCD 的面积S ＝12×(4＋2)×3＝9.在等腰直角三角形AOD 中，OD ＝22AD ＝22，所以PD ＝2OD ＝42，PA ＝PD 2－AD 2＝4. 故四棱锥P －ABCD 的体积为 V ＝13×S ×PA ＝13×9×4＝12. 19．G5、G7[2012·湖北卷] 某个实心零部件的形状是如图1－7所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台A 1B 1C 1D 1－ABCD ，上部是一个底面与四A 2B 2C 2D 2.(1)证明：直线B 1D 1⊥平面ACC 2A 2；(2)现需要对该零部件表面进行防腐处理．已知AB ＝10，A 1B 1＝20，AA 2＝30，AA 1＝13(单位：cm)，每平方厘米的加工处理费为0.20元，需加工处理费多少元？19．解：(1)因为四棱柱ABCD －A 2B 2C 2D 2的侧面是全等的矩形， 所以AA 2⊥AB ，AA 2⊥AD ，又因为AB ∩AD ＝A ，所以AA 2⊥平面ABCD . 连接BD ，因为BD ⊂平面ABCD ，所以AA 2⊥BD . 因为底面ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD . 根据棱台的定义可知，BD 与B 1D 1共面．又已知平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，且平面BB 1D 1D ∩平面ABCD ＝BD ， 平面BB 1D 1D ∩平面A 1B 1C 1D 1＝B 1D 1，所以B 1D 1∥BD .于是由AA 2⊥BD ，AC ⊥BD ，B 1D 1∥BD ，可得AA 2⊥B 1D 1，AC ⊥B 1D 1， 又因为AA 2∩AC ＝A ，所以B 1D 1⊥平面ACC 2A 2.(2)因为四棱柱ABCD －A 2B 2C 2D 2的底面是正方形，侧面是全等的矩形，所以S 1＝S 四棱柱上底面＋S 四棱柱侧面＝(A 2B 2)2＋4AB ·AA 2＝102＋4×10×30＝1 300(cm 2)．又因为四棱台A 1B 1C 1D 1－ABCD 的上、下底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形． 所以S 2＝S 四棱台下底面＋S 四棱台侧面＝(A 1B 1)2＋4×12(AB ＋A 1B 1)h 等腰梯形的高＝202＋4×12(10＋20)132－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1220－102＝1 120(cm 2)．于是该实心零部件的表面积为S ＝S 1＋S 2＝1 300＋1 120＝2 420(cm 2)， 故所需加工处理费为0.2S ＝0.2×2 420＝484(元)．19．G7、G12[2012·福建卷] 如图1－3所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，M 为棱DD 1上的一点．(1)求三棱锥A －MCC 1的体积；(2)当A 1M ＋MC 取得最小值时，求证：B 1M ⊥平面MAC .19．解：(1)由长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1知， AD ⊥平面CDD 1C 1，∴点A 到平面CDD 1C 1的距离等于AD ＝1，又S △MCC 1＝12CC 1×CD ＝12×2×1＝1，∴VA －MCC 1＝13AD ·S △MCC 1＝13.(2)将侧面CDD 1C 1绕DD 1逆时针转90°展开，与侧面ADD 1A 1共面(如图)，当A 1，M ，C 共线时，A 1M ＋MC 由AD ＝CD ＝1，AA 1＝2，得M 为DD 1中点．连接C 1M ，在△C 1MC 中，MC 1＝2，MC ＝2，CC 1＝2.∴CC 21＝MC 21＋MC 2，得∠CMC 1＝90°，即CM ⊥MC 1.又由长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1知，B 1C 1⊥平面CDD 1C 1，∴B 1C 1⊥CM . 又B 1C 1∩C 1M ＝C 1，∴CM ⊥平面B 1C 1M ，得CM ⊥B 1M ； 同理可证，B 1M ⊥AM ，又AM ∩MC ＝M ，∴B 1M ⊥平面MAC .16．G4、G5、G7[2012·北京卷] 如图1－9(1)，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，点F 为线段CD 上的一点，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1F ⊥CD ，如图1－9(2)．(1)求证：DE ∥平面A 1CB ； (2)求证：A 1F ⊥BE ；(3)线段A 1B 上是否存在点Q ，使A 1C ⊥平面DEQ ？说明理由．图1－916．解：(1)证明：因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DE∥BC.又因为DE⊄平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.(2)证明：由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D，DE⊥CD，所以DE⊥平面A1DC.而A1F⊂平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，所以A1F⊥平面BCDE，所以A1F⊥BE.(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如下图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.又因为DE∥BC，所以DE∥PQ.所以平面DEQ即为平面DEP，由(2)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1C⊥DP.所以A1C⊥平面DEP.从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.7．G2、G7[2012·北京卷] 某三棱锥的三视图如图1－4所示，该三棱锥的表面积是( )－4A ．28＋6 5B ．30＋6 5C ．56＋12 5D ．60＋12 57．B [解析] 本题考查三棱锥的三视图与表面积公式．由三视图可知，几何体为一个侧面和底面垂直的三棱锥，如图所示，可知S 底面＝12×5×4＝10，S 后＝12×5×4＝10，S 左＝12×6×25＝65，S 右＝12×4×5＝10，所以S 表＝10×3＋65＝30＋6 5.12．G2、G7[2012·安徽卷] 某几何体的三视图如图1－2所示，则该几何体的体积等于________．212．56 [解析] 如图，根据三视图还原的实物图为底面是直角梯形的直四棱柱，其体积为V ＝Sh ＝12()2＋5×4×4＝56.。