高三数学一轮学案模块1函数与导数第13讲指数函数新人教A版

课时规范练(A)课时规范练1集合的概念与运算课时规范练3命题及其关系、充要条件课时规范练5函数及其表示课时规范练7函数的奇偶性与周期性课时规范练9指数与指数函数课时规范练11函数的图象课时规范练13函数模型及其应用课时规范练15利用导数研究函数的单调性课时规范练17定积分与微积分基本定理课时规范练19同角三角函数基本关系式及诱导公式课时规范练21简单的三角恒等变换课时规范练23函数y=A sin(ωx+φ)的图象及三角函数的应用课时规范练25平面向量的概念及线性运算课时规范练27平面向量的数量积及其应用课时规范练29数列的概念课时规范练31等比数列课时规范练33二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课时规范练35合情推理与演绎推理课时规范练37数学归纳法课时规范练39空间几何体的表面积与体积课时规范练41空间直线、平面的平行关系课时规范练43空间向量及其运算课时规范练45直线的倾斜角、斜率与直线的方程课时规范练47圆的方程课时规范练49椭圆课时规范练51抛物线课时规范练53算法初步课时规范练55用样本估计总体课时规范练57分类加法计数原理与分步乘法计数原理课时规范练59二项式定理课时规范练61古典概型与几何概型课时规范练63二项分布与正态分布课时规范练65极坐标方程与参数方程课时规范练67绝对值不等式课时规范练(B)课时规范练2简单不等式的解法课时规范练4简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词课时规范练6函数的单调性与最大(小)值课时规范练8幂函数与二次函数课时规范练10对数与对数函数课时规范练12函数与方程课时规范练14导数的概念及运算课时规范练16利用导数研究函数的极值、最大(小)值课时规范练18任意角、弧度制及任意角的三角函数课时规范练20两角和与差的正弦、余弦与正切公式及二倍角公式课时规范练22三角函数的图象与性质课时规范练24余弦定理、正弦定理及应用举例课时规范练26平面向量基本定理及向量坐标运算课时规范练28复数课时规范练30等差数列课时规范练32数列求和课时规范练34基本不等式及其应用课时规范练36直接证明与间接证明课时规范练38空间几何体的结构及其三视图、直观图课时规范练40空间点、直线、平面之间的位置关系课时规范练42空间直线、平面的垂直关系课时规范练44空间几何中的向量方法课时规范练46点与直线、两条直线的位置关系课时规范练48直线与圆、圆与圆的位置关系课时规范练50双曲线课时规范练52直线与圆锥曲线的位置关系课时规范练54随机抽样课时规范练56变量间的相关关系、统计案例课时规范练58排列与组合课时规范练60随机事件的概率课时规范练62离散型随机变量及其分布列课时规范练64离散型随机变量的均值与方差课时规范练66极坐标方程与参数方程的应用课时规范练68不等式的证明解答题专项解答题专项一函数与导数的综合问题第1课时利用导数证明不等式第2课时利用导数研究不等式恒(能)成立问题第3课时利用导数研究函数的零点解答题专项二三角函数与解三角形解答题专项三数列解答题专项四立体几何中的综合问题解答题专项五直线与圆锥曲线第1课时圆锥曲线中的最值(或范围)问题第2课时圆锥曲线中的定点(或定值)问题第3课时圆锥曲线中的存在性(或证明)问题解答题专项六概率与统计单元质检卷单元质检卷一集合与常用逻辑用语单元质检卷二函数单元质检卷三导数及其应用单元质检卷四三角函数、解三角形单元质检卷五平面向量、数系的扩充与复数的引入单元质检卷六数列单元质检卷七不等式、推理与证明单元质检卷八立体几何单元质检卷九解析几何单元质检卷十算法初步、统计与统计案例单元质检卷十一计数原理单元质检卷十二概率。

一、知识梳理指数函数的图象及性质函数y＝a x（a>0，且a≠１）图象0<a<１a>１图象特征在x轴上方，过定点（0，１）当x逐渐增大时，图象逐渐下降当x逐渐增大时，图象逐渐上升性质定义域R值域（0，＋∞）单调性减增函数值变化规律当x＝0时，y＝１当x<0时，y>１；当x>0时，0<y<１当x<0时，0<y<１；当x>0时，y>１１．指数函数图象的画法画指数函数y＝a x（a>0，且a≠１）的图象，应抓住三个关键点：（１，a），（0，１），错误!.２．指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数１y＝a x，２y＝b x，３y＝c x，４y＝d x的图象，底数a，b，c，d与１之间的大小关系为c>d>１>a>b>0．由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝a x（a>0，a≠１）的图象越高，底数越大．二、习题改编１．（必修１P５6例6改编）若函数f（x）＝a x（a>0，且a≠１）的图象经过点P错误!，则f（—１）＝．答案：错误!２．（必修１P５9A组T7改编）已知a＝错误!错误!，b＝错误!错误!，c＝错误!错误!，则a，b，c的大小关系是．解析：因为y＝错误!错误!是减函数，所以错误!错误!>错误!错误!>错误!错误!，即a>b>１，又c ＝错误!错误!<错误!错误!＝１，所以c<b<a.答案：c<b<a一、思考辨析判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）函数y＝a—x是R上的增函数．（）（２）函数y＝a x２＋１（a>１）的值域是（0，＋∞）．（）（３）函数y＝２x—１是指数函数．（）（４）若a m<a n（a>0，且a≠１），则m<n.（）答案：（１）×（２）×（３）×（４）×二、易错纠偏错误!（１）不理解指数函数概念出错；（２）忽视底数a的范围出错．１．函数y＝（a２—５a＋５）a x是指数函数，则a的值为．解析：因为函数y＝（a２—５a＋５）a x是指数函数，所以a２—５a＋５＝１，解得a＝１或a＝４．又因为指数函数y＝a x的底数a需满足a>0且a≠１，所以a＝４．答案：４２．若函数y＝（a２—１）x在（—∞，＋∞）上为减函数，则实数a的取值范围是．解析：由题意知0<a２—１<１，即１<a２<２，得—错误!<a<—１或１<a<错误!.答案：（—错误!，—１）∪（１，错误!）指数函数的图象及应用（典例迁移）（１）函数f（x）＝a x—b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是（）Ａ．a>１，b<0Ｂ．a>１，b>0Ｃ．0<a<１，b>0Ｄ．0<a<１，b<0（２）若方程|３x—１|＝k有一解，则k的取值范围为．【解析】（１）由f（x）＝a x—b的图象可以观察出函数f（x）＝a x—b在定义域上单调递减，所以0<a<１．函数f（x）＝a x—b的图象是在f（x）＝a x的基础上向左平移得到的，所以b<0．（２）函数y＝|３x—１|的图象是由函数y＝３x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．当k＝0或k≥１时，直线y＝k与函数y＝|３x—１|的图象有唯一的交点，即方程有一解．【答案】（１）D （２）{0}∪[１，＋∞）【迁移探究１】（变条件）若本例（２）的条件变为：方程３|x|—１＝k有两解，则k的取值范围为．解析：作出函数y＝３|x|—１与y＝k的图象如图所示，数形结合可得k>0．答案：（0，＋∞）【迁移探究２】（变条件）若本例（２）的条件变为：函数y＝|３x—１|＋k的图象不经过第二象限，则实数k的取值范围是．解析：作出函数y＝|３x—１|＋k的图象如图所示．由图象知k≤—１，即k∈（—∞，—１]．答案：（—∞，—１]【迁移探究３】（变条件）若本例（２）的条件变为：函数y＝|３x—１|在（—∞，k]上单调递减，则k的取值范围如何？解：由本例（２）作出的函数y＝|３x—１|的图象知其在（—∞，0]上单调递减，所以k∈（—∞，0]．错误!指数函数图象的画法及应用（１）画指数函数y＝a x（a>0，且a≠１）的图象，应抓住关键点．（２）已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断所给的图象是否过这些点，若不满足则排除．（３）对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与１的大小关系不确定时应注意分类讨论．１．已知函数f（x）＝a x—２＋２（a>0且a≠１）的图象恒过定点A，则A的坐标为（）Ａ．（0，１）Ｂ．（２，３）Ｃ．（３，２）Ｄ．（２，２）解析：选B.令x—２＝0，则x＝２，f（２）＝３，即A的坐标为（２，３）．２．（２0２0·河北武邑中学调研）函数y＝e—|x—１|的大致图象是（）解析：选Ｂ．因为—|x—１|≤0，所以0<e—|x—１|≤e0，即0<y＝e—|x—１|≤１，故选Ｂ．３．若直线y＝２a与函数y＝|a x—１|（a>0且a≠１）的图象有两个公共点，则a的取值范围是．解析：（１）当0<a<１时，y＝|a x—１|的图象如图１．因为y＝２a与y＝|a x—１|的图象有两个交点，所以0<２a<１，所以0<a<错误!.（２）当a>１时，y＝|a x—１|的图象如图２，而y＝２a>１不可能与y＝|a x—１|有两个交点．综上，0<a<错误!.答案：错误!指数函数的性质及应用（多维探究）角度一比较指数幂的大小已知a＝错误!错误!，b＝２错误!，c＝错误!错误!，则下列关系式中正确的是（）Ａ．c<a<bＢ．b<a<cＣ．a<c<bＤ．a<b<c【解析】把b化简为b＝错误!错误!，而函数y＝错误!错误!在R上为减函数，又错误!>错误!>错误!，所以错误!错误!<错误!错误!<错误!错误!，即b<a<c.【答案】B错误!比较指数幂大小的常用方法一是单调性法，不同底的指数函数化同底后就可以应用指数函数的单调性比较大小，所以能够化同底的尽可能化同底．二是取中间值法，不同底、不同指数的指数函数比较大小时，先与中间值（特别是0，１）比较大小，然后得出大小关系．三是图解法，根据指数函数的特征，在同一平面直角坐标系中作出它们的函数图象，借助图象比较大小．角度二解简单的指数方程或不等式不等式错误!错误!<错误!错误!恒成立，则a的取值范围是．【解析】由题意，y＝错误!错误!是减函数，因为错误!错误!<错误!错误!恒成立，所以x２＋ax>２x＋a—２恒成立，所以x２＋（a—２）x—a＋２>0恒成立，所以Δ＝（a—２）２—４（—a＋２）<0，即（a—２）（a—２＋４）<0，即（a—２）（a＋２）<0，解得—２<a<２，即a的取值范围是（—２，２）．【答案】（—２，２）错误!解简单的指数方程或不等式问题时，应利用指数函数的单调性转化为一般方程或不等式求解．要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．角度三研究指数型函数的性质（１）函数f（x）＝错误!错误!的单调递减区间为．（２）已知函数f（x）＝２|２x—m|（m为常数），若f（x）在区间[２，＋∞）上是增函数，则m的取值范围是．【解析】（１）设u＝—x２＋２x＋１，因为y＝错误!错误!在R上为减函数，所以函数f（x）＝错误!错误!的减区间即为函数u＝—x２＋２x＋１的增区间．又u＝—x２＋２x＋１的增区间为（—∞，１]，所以函数f（x）的减区间为（—∞，１]．（２）令t＝|２x—m|，则t＝|２x—m|在区间错误!上单调递增，在区间错误!上单调递减．而y＝２t为R上的增函数，所以要使函数f（x）＝２|２x—m|在[２，＋∞）上单调递增，则有错误!≤２，即m≤４，所以m的取值范围是（—∞，４]．【答案】（１）（—∞，１] （２）（—∞，４]错误!求指数型复合函数的单调区间和值域的方法（１）形如y＝a f（x）（a>0，且a≠１）的函数求值域时，要借助换元法：令u＝f（x），先求出u＝f （x）的值域，再利用y＝a u的单调性求出y＝a f（x）的值域．（２）形如y＝a f（x）（a>0，且a≠１）的函数单调性的判断，首先确定定义域D，再分两种情况讨论：当a>１时，若f（x）在区间（m，n）上（其中（m，n）⊆D）具有单调性，则函数y＝a f（x）在区间（m，n）上的单调性与f（x）在区间（m，n）上的单调性相同；当0<a<１时，若f（x）在区间（m，n）上（其中（m，n）⊆D）具有单调性，则函数y＝a f（x）在区间（m，n）上的单调性与f（x）在区间（m，n）上的单调性相反．１．函数y＝错误!错误!的值域是（）Ａ．（—∞，４）Ｂ．（0，＋∞）Ｃ．（0，４] Ｄ．[４，＋∞）解析：选Ｃ．设t＝x２＋２x—１，则y＝错误!错误!.因为0<错误!<１，所以y＝错误!错误!为关于t的减函数．因为t＝（x＋１）２—２≥—２，所以0<y＝错误!错误!≤错误!错误!＝４，故所求函数的值域为（0，４]．２．已知a，b∈（0，１）∪（１，＋∞），当x>0时，１<b x<a x，则（）Ａ．0<b<a<１Ｂ．0<a<b<１Ｃ．１<b<aＤ．１<a<b解析：选Ｃ．因为x>0时，１<b x，所以b>１．因为x>0时，b x<a x，所以x>0时，错误!错误!>１．所以错误!>１，所以a>b.所以１<b<a.故选Ｃ．思想方法系列３换元法求解指数型函数的有关问题已知函数f（x）＝４x＋m·２x—２在区间[—２，２]上单调递增，求m的取值范围．【解】设t＝２x，则f（x）＝４x＋m·２x—２＝t２＋mt—２．因为x∈[—２，２]，所以t∈错误!.又函数f（x）＝４x＋m·２x—２在区间[—２，２]上单调递增，即f（x）＝t２＋mt—２在区间错误!上单调递增，故有—错误!≤错误!，解得m≥—错误!.所以m的取值范围为错误!.错误!（１）此例题利用了换元法，把函数f（x）转化为y＝t２＋mt—２，其中t∈错误!，将问题转化为求二次函数在闭区间上的单调性问题，从而减少了运算量．（２）对于同时含有a x与a２x（a>0且a≠１）的函数、方程、不等式问题，通常令t＝a x进行换元巧解，但一定要注意新元的范围；对数型函数的类似问题，也要用换元法．已知函数f（x）＝错误!错误!，a为常数，且函数的图象过点（—１，２）．（１）求a的值；（２）若g（x）＝４—x—２，且g（x）＝f（x），求满足条件的x的值．解：（１）由已知得错误!错误!＝２．解得a＝１．（２）由（１）知f（x）＝错误!错误!，又g（x）＝f（x），则４—x—２＝错误!错误!，所以错误!错误!—错误!错误!—２＝0，令错误!错误!＝t，则t>0，t２—t—２＝0，即（t—２）（t＋１）＝0，又t>0，故t＝２，即错误!错误!＝２．解得x＝—１，故满足条件的x的值为—１．[基础题组练]１．若函数f（x）＝（２a—５）·a x是指数函数，则f（x）在定义域内（）Ａ．为增函数Ｂ．为减函数Ｃ．先增后减Ｄ．先减后增解析：选Ａ．由指数函数的定义知２a—５＝１，解得a＝３，所以f（x）＝３x，所以f（x）在定义域内为增函数．２．设函数f（x）＝x２—a与g（x）＝a x（a>１且a≠２）在区间（0，＋∞）上具有不同的单调性，则M＝（a—１）0．２与N＝错误!错误!的大小关系是（）Ａ．M＝NＢ．M≤NＣ．M<NＤ．M>N解析：选Ｄ．因为f（x）＝x２—a与g（x）＝a x（a>１且a≠２）在区间（0，＋∞）上具有不同的单调性，所以a>２，所以M＝（a—１）0．２>１，N＝错误!错误!<１，所以M>N，故选Ｄ．３．已知f（x）＝３x—b（２≤x≤４，b为常数）的图象经过点（２，１），则f（x）的值域为（）Ａ．[9，8１] Ｂ．[３，9]Ｃ．[１，9] Ｄ．[１，＋∞）解析：选Ｃ．由f（x）过定点（２，１）可知b＝２，所以f（x）＝３x—２且在[２，４]上是增函数，f（x）min＝f（２）＝１，f（x）max＝f（４）＝9．４．已知函数y＝kx＋a的图象如图所示，则函数y＝a x＋k的图象可能是（）解析：选Ｂ．由函数y＝kx＋a的图象可得k<0，0<a<１．因为函数y＝kx＋a的图象与x轴交点的横坐标大于１，所以k>—１，所以—１<k<0．函数y＝a x＋k的图象可以看成把y＝a x的图象向右平移—k 个单位长度得到的，且函数y＝a x＋k是减函数，故此函数与y轴交点的纵坐标大于１，结合所给的选项，选Ｂ．５．已知函数f（x）＝错误!则函数f（x）是（）A．偶函数，在[0，＋∞）内单调递增Ｂ．偶函数，在[0，＋∞）内单调递减Ｃ．奇函数，且单调递增Ｄ．奇函数，且单调递减解析：选Ｃ．易知f（0）＝0，当x>0时，f（x）＝１—２—x，—f（x）＝２—x—１，此时—x<0，则f（—x）＝２—x—１＝—f（x）；当x<0时，f（x）＝２x—１，—f（x）＝１—２x，此时—x>0，则f （—x）＝１—２—（—x）＝１—２x＝—f（x）．即函数f（x）是奇函数，且单调递增，故选Ｃ．6．不等式２—x２＋２x>错误!错误!的解集为．解析：不等式２—x２＋２x >错误!错误!可化为错误!错误!>错误!错误!，等价于x２—２x<x＋４，即x ２—３x—４<0，解得—１<x<４．答案：{x|—１<x<４}7．若函数f（x）＝a|２x—４|（a>0，a≠１）满足f（１）＝错误!，则f（x）的单调递减区间是．解析：由f（１）＝错误!得a２＝错误!.又a>0，所以a＝错误!，因此f（x）＝错误!错误!.因为g（x）＝|２x—４|在[２，＋∞）上单调递增，所以f（x）的单调递减区间是[２，＋∞）．答案：[２，＋∞）8．设偶函数g（x）＝a|x＋b|在（0，＋∞）上单调递增，则g（a）与g（b—１）的大小关系是．解析：由于g（x）＝a|x＋b|是偶函数，知b＝0，又g（x）＝a|x|在（0，＋∞）上单调递增，得a>１．则g（b—１）＝g（—１）＝g（１），故g（a）>g（１）＝g（b—１）．答案：g（a）>g（b—１）9．已知函数f（x）＝错误!错误!.（１）求f（x）的单调区间；（２）若f（x）的最大值等于错误!，求a的值．解：（１）令t＝|x|—a，则f（x）＝错误!错误!，不论a取何值，t在（—∞，0]上单调递减，在（0，＋∞）上单调递增，又y＝错误!错误!是单调递减的，因此f（x）的单调递增区间是（—∞，0]，单调递减区间是（0，＋∞）．（２）由于f（x）的最大值是错误!，且错误!＝错误!错误!，所以函数g（x）＝|x|—a应该有最小值—２，从而a＝２．１0．（２0２0·福建养正中学模拟）已知函数f（x）＝２x，g（x）＝x２＋２ax（—３≤x≤３）．（１）若g（x）在[—３，３]上是单调函数，求a的取值范围；（２）当a＝—１时，求函数y＝f（g（x））的值域．解：（１）g（x）＝（x＋a）２—a２图象的对称轴为直线x＝—a，因为g（x）在[—３，３]上是单调函数，所以—a≥３或—a≤—３，即a≤—３或a≥３．故a的取值范围为（—∞，—３]∪[３，＋∞）．（２）当a＝—１时，f（g（x））＝２错误!（—３≤x≤３）．令u＝x２—２x，y＝２u.因为x∈[—３，３]，所以u＝x２—２x＝（x—１）２—１∈[—１，１５]．而y＝２u是增函数，所以错误!≤y≤２１５，所以函数y＝f（g（x））的值域是错误!.[综合题组练]１．（２0２0·辽宁大连第一次（３月）双基测试）函数y＝错误!（x∈R）的值域为（）Ａ．（0，＋∞）Ｂ．（0，１）Ｃ．（１，＋∞）Ｄ．错误!解析：选Ｂ．y＝错误!＝错误!＝１—错误!，因为２x>0，所以１＋２x>１，所以0<错误!<１，—１<—错误!<0，0<１—错误!<１，即0<y<１，所以函数y的值域为（0，１），故选Ｂ．２．已知函数f（x）＝a x（a>0，a≠１）在区间[—１，２]上的最大值为8，最小值为m.若函数g（x）＝（３—１0m）错误!是单调递增函数，则a＝．解析：根据题意，得３—１0m>0，解得m<错误!；当a>１时，函数f（x）＝a x在区间[—１，２]上单调递增，最大值为a２＝8，解得a＝２错误!，最小值为m＝a—１＝错误!＝错误!>错误!，不合题意，舍去；当0<a<１时，函数f（x）＝a x在区间[—１，２]上单调递减，最大值为a—１＝8，解得a＝错误!，最小值为m＝a２＝错误!<错误!，满足题意．综上，a＝错误!.答案：错误!３．已知定义域为R的函数f（x）＝错误!是奇函数．（１）求a，b的值；（２）解关于t的不等式f（t２—２t）＋f（２t２—１）<0．解：（１）因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）＝0，即错误!＝0，解得b＝１，所以f（x）＝错误!.又由f（１）＝—f（—１）知错误!＝—错误!，解得a＝２．（２）由（１）知f（x）＝错误!＝—错误!＋错误!.由上式易知f（x）在（—∞，＋∞）上为减函数（此处可用定义或导数法证明函数f（x）在R上是减函数）．又因为f（x）是奇函数，所以不等式f（t２—２t）＋f（２t２—１）<0等价于f（t２—２t）<—f（２t２—１）＝f（—２t２＋１）．所以t２—２t>—２t２＋１即３t２—２t—１>0．解得t>１或t<—错误!，所以该不等式的解集为错误!.。

2019-2020年高三数学一轮复习讲义指数与指数函数教案新人教A版高考要求：（1）通过具体实例（如细胞的分裂，考古中所用的14C的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景；（2）理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。

（3）理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点；（4）在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型。

重点难点：对分数指数幂含义的理解，学会根式与分数指数幂的互化掌握有理指数幂的运算性质；指数函数的性质的理解与应用，能将讨论复杂函数的单调性、奇偶性问题转化为讨论比较简单的函数的有关问题．知识梳理1．根式的概念(1)根式如果一个数的n次方等于a ( n>1且n∈N*)，那么这个数叫做a的n次方根．也就是，若x n＝a，则x叫做__a的n次方根___，其中n>1且n∈N*.式子na叫做__根式__，这里n叫做_根指数__，a叫做__被开方数______．(2)根式的性质①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a 的n次方根用符号________表示．②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正的n次方根用符号________表示，负的n次方根用符号________表示．正负两个n次方根可以合写成________(a>0)．负数没有偶次方根______(_____(0)||(_____(0)naa na⎧⎪=≥⎧⎨=⎨⎪<⎩⎩为奇数）为偶数）;__________（须使有意义）.④零的任何次方根都是零．2.有理数指数幂(1)幂的有关概念①正整数指数幂：N*).n个②零指数幂：③负整数指数幂： Q a≠0，).④正分数指数幂：a=（a＞0，m、n都是正整数，n＞1）.⑤负分数指数幂：=（a＞0，m、n都是正整数，n＞1）⑥0的正分数指数幂等于______，0的负分数指数幂___无意义_____.(2)有理指数幂的运算性质①a r a s＝________(a>0，r，s∈Q)．②(a r)s＝________(a>0，r，s∈Q)．③(ab)r＝________(a>0，b>0，r∈Q)．（注）上述性质对r、R均适用。

优质资料---欢迎下载指数函数及其性质（导学案）一、学习目标1. 了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系2. 理解指数函数的概念和意义3. 能画出具体指数函数的图象，掌握指数函数的性质（重点单调性）教学重点：指数函数的概念的产生过程教学难点：用数形结合的方法，从具体到一般地探索概括指数函数性质过程与方法：理解指数函数，能利用指数函数图像和性质比较两个值的大小，利用指数函数的图象，清晰地分析题目，培养数型结合与分类讨论的数学思想.情感态度与价值观：在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型二、教学过程：（一）引入1、单位长为1的木棍，每次截取一半，截取x次后，得到的木棍长度y与次数x之间的函数关系是。

2、某种细胞分裂时,第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分裂成8个，······如此下去，如果第x次分裂得到y个细胞，那么细胞个数y与分裂次数x的函数关系是。

思考：上面两个函数关系式有什么共同特征？（二）指数函数的定义：一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（说明：a是底数，自变量x在幂指数的位置且是单个x）探究1：为什么要规定a>0,且a≠1呢？①若a<0，②若a=0③若a=1为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a≠1在规定以后，对于任何x∈R，xa都有意义，且x a>0. 因此指数函数的定义域是R，值域是(0,+∞).探究2：函数x a y ⋅=2，1+=x a y ,1+=x a y 是指数函数吗？ (1)指数函数的解析式y=x a 中，x a 的系数是 (2)自变量x 必须在（三）尝试练习（你一定能完成好！） 1.判断下列函数哪些是指数函数xx xxx x x x x y y a a a y x y y y y y x y y 224)10(2)9();121()12()8(;)7(;4)6(;)5(;)4()4(;4)3(;)2(;4)1(2ππ==≠>-====-=-===且2.若函数2(33)xy a a a =-+是指数函数，求a 的值例题示范：已知指数函数()x f x a =（a>0且1a ≠）的图象经过点（3,π）求(0)f ，(1)f ，(3)f -的值（四）指数函数x y a =（a>0且1a ≠）的图象和性质1. 用列表法在坐标系中分别作出函数y=x2，y=x⎪⎭⎫ ⎝⎛21的图象.y= x2 y=x⎪⎭⎫ ⎝⎛212、指数函数x y a=（a>0且1a ≠）的图象和性质：1a >01a <<图 象定义域值域定点 单调性函数值的范围3、达标练习：指数函数单调性应用（相信你有能力完成好！）当x ＞0时， y当x ＜0时， y当x ＞0时， y当x ＜0时， y1.（P 56例7）比较下列各题中的个值的大小（1）1.72.5 与1.73 （2）0.10.8-与0.20.8-（3）1.70.3 与0.93.1 43)5.0(2)4(-与的取值范围求已知x a a a x x ),1(.275>>+-的取值范围求且：已知变式x a a a a x x),10(175≠>>+-的取值范围为常数，求其中已知变式x a a a a a x x 7252)2()2(.2+-++>++思考题：讨论函数的单调性xx y 22)31(-=（六）总结：（自我总结，你一定会有很大的提高）本节课收获了哪些?（七）作业：P59习题2.1 A组第5、7、8题课后记：。

第5节 指数与指数函数考试要求 1.了解指数函数模型的实际背景；2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，3，10，12，13的指数函数的图象；4.体会指数函数是一类重要的函数模型.知 识 梳 理1.根式的概念及性质(1)概念：式子na 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数.(2)性质：(n a )n ＝a (a 使n a 有意义)；当n 为奇数时，n a n ＝a ，当n 为偶数时，na n ＝|a |＝⎩⎨⎧a ，a ≥0，－a ，a <0.2.分数指数幂规定：正数的正分数指数幂的意义是a mn ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；正数的负分数指数幂的意义是a －mn ＝1na m(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义. 3.指数幂的运算性质实数指数幂的运算性质：a r a s ＝a r ＋s ；(a r )s ＝a rs ；(ab )r ＝a r b r ，其中a >0，b >0，r ，s ∈R. 4.指数函数及其性质(1)概念：函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，函数的定义域是R ，a 是底数. (2)指数函数的图象与性质a >10<a <1图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数[常用结论与微点提醒]1.画指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，⎝⎛⎭⎪⎫－1，1a.2.指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a>1与0<a<1来研究.3.在第一象限内，指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大.诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)4（－4）4＝－4.()(2)分数指数幂amn可以理解为mn个a相乘.()(3)函数y＝2x－1是指数函数.()(4)函数y＝a x2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞).()解析(1)由于4（－4）4＝444＝4，故(1)错.(2)当mn<1时，不可以，故(2)错.(3)由于指数函数解析式为y＝a x(a＞0，且a≠1)，故y＝2x－1不是指数函数，故(3)错.(4)由于x2＋1≥1，又a＞1，∴ax2＋1≥a.故y＝ax2＋1(a＞1)的值域是[a，＋∞)，(4)错.答案(1)×(2)×(3)×(4)×2.(老教材必修1P56例6改编)若函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)的图象经过⎝ ⎛⎭⎪⎫2，13，则f (－1)＝( ) A.1B.2C. 3D.3解析 依题意可知a 2＝13，解得a ＝33， 所以f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33x，所以f (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33－1＝ 3.答案 C3.(新教材必修第一册P119习题4.2T6改编)设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a <b <c B.a <c <b C.b <a <cD.b <c <a解析 根据指数函数y ＝0.6x 在R 上单调递减可得0.61.5<0.60.6<0.60＝1，而c ＝1.50.6>1，∴b <a <c . 答案 C4.(2017·北京卷)已知函数f (x )＝3x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，则f (x )( )A.是偶函数，且在R 上是增函数B.是奇函数，且在R 上是增函数C.是偶函数，且在R 上是减函数D.是奇函数，且在R 上是减函数 解析 函数f (x )的定义域为R ， f (－x )＝3－x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－3x ＝－f (x )，∴函数f (x )是奇函数.又y ＝3x 在R 上是增函数，函数y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上是增函数，∴函数f (x )＝3x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上是增函数.答案 B5.(2020·河南名校联盟调研)函数f (x )＝a x －2 020＋2 020(a >0且a ≠1)的图象过定点A ，则点A 的坐标为______.解析 令x －2 020＝0，得x ＝2 020，则y ＝2 021， 故点A 的坐标为(2 020，2 021). 答案 (2 020，2 021)6.(2020·菏泽一中月考)计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫32－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－760＋814×42－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2323＝________. 解析 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2313×1＋234×214－⎝ ⎛⎭⎪⎫2313＝2.答案 2考点一 指数幂的运算 【例1】 化简下列各式：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－278－23＋0.002－12－10(5－2)－1＋π0＝______. (2)a 3b 23ab 2（a 14b 12）4a －13b 13(a >0，b >0)＝________.解析 (1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－2＋50012－10（5＋2）（5－2）（5＋2）＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679.(2)原式＝(a 3b 2a 13b 23)12ab 2a －13b 13＝a 32＋16－1＋13b 1＋13－2－13＝ab .答案 (1)－1679 (2)a b规律方法 1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序. 2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 【训练1】 化简下列各式：(1)[(0.06415)－2.5]23－3338－π0；(2)56a 13·b －2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a －12b －1÷⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 23·b －312. 解 (1)原式＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫641 00015－5223－⎝ ⎛⎭⎪⎫27813－1 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫410315×⎝⎛⎭⎪⎪⎫－52×23－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32313－1＝52－32－1＝0.(2)原式＝－52a －16b －3÷⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 23·b －312＝－54a －16b －3÷(a 13b －32)＝－54a －12·b －32 ＝－54·1ab3＝－5ab 4ab 2.考点二 指数函数的图象及应用【例2】 (1)已知实数a ，b 满足等式2 020a ＝2 021b ，下列五个关系式： ①0<b <a ；②a <b <0；③0<a <b ；④b <a <0；⑤a ＝b . 其中不可能成立的关系式有( ) A.1个B.2个C.3个D.4个(2)若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________. 解析 (1)如图，观察易知a ，b 的关系为a <b <0或0<b <a 或a ＝b ＝0.(2)在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示.∴当0<b<2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点. ∴b的取值范围是(0，2).答案(1)B(2)(0，2)规律方法 1.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.2.有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解.【训练2】(1)函数f(x)＝a x－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()A.a>1，b<0B.a>1，b>0C.0<a<1，b>0D.0<a<1，b<0(2)如果函数y＝|3x－1|＋m的图象不经过第二象限，则实数m的取值范围是________.解析(1)由f(x)＝a x－b的图象可以观察出，函数f(x)＝a x－b在定义域上单调递减，所以0<a<1.函数f(x)＝a x－b的图象是在f(x)＝a x的基础上向左平移得到的，所以b<0.(2)在同一平面直角坐标系中画出y＝|3x－1|与y＝－m的图象，如图所示.由函数y＝|3x －1|＋m 的图象不经过第二象限，则y ＝|3x －1|与y ＝－m 在第二象限没有交点，由图象知m ≤－1.答案 (1)D (2)(－∞，－1]考点三 解决与指数函数性质有关的问题多维探究角度1 比较指数式的大小【例3－1】 下列各式比较大小正确的是( ) A.1.72.5>1.73B.0.6－1>0.62C.0.8－0.1>1.250.2D.1.70.3<0.93.1解析 A 中，∵函数y ＝1.7x 在R 上是增函数，2.5<3， ∴1.72.5<1.73，错误；B 中，∵y ＝0.6x 在R 上是减函数，－1<2， ∴0.6－1>0.62，正确；C 中，∵(0.8)－1＝1.25，∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小. ∵y ＝1.25x 在R 上是增函数，0.1<0.2， ∴1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2，错误； D 中，∵1.70.3>1, 0<0.93.1<1， ∴1.70.3>0.93.1，错误. 答案 B规律方法 比较指数式的大小的方法是：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小. 角度2 解简单的指数方程或不等式【例3－2】 (1)(2020·包头模拟)已知实数a ≠1，函数f (x )＝⎩⎨⎧4x ，x ≥0，2a －x ，x <0，若f (1－a )＝f (a －1)，则a 的值为______.(2)设函数f (x )＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是________.解析 (1)当a <1时，41－a＝21，解得a ＝12；当a >1时，代入不成立.故a 的值为12.(2)当a <0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a－7<1，则2－a <8，解得a >－3，所以－3<a <0. 当a ≥0时，则a <1，0≤a <1. 综上，实数a 的取值范围是(－3，1). 答案 (1)12 (2)(－3，1)规律方法 (1)a f (x )＝a g (x )(a >0且a ≠1)⇔f (x )＝g (x ).(2)a f (x )>a g (x )，当a >1时，等价于f (x )>g (x )；当0<a <1时，等价于f (x )<g (x ).(3)有些含参数的指数不等式，需要分离变量，转化为求有关函数的最值问题. 角度3 指数函数性质的综合应用【例3－3】 (1)若存在正数x 使2x (x －a )<1成立，则a 的取值范围是( ) A.(－∞，＋∞) B.(－2，＋∞) C.(0，＋∞)D.(－1，＋∞)(2)如果函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0，且a ≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，则a 的值为________.解析 (1)不等式2x (x －a )<1可变形为x －a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，如图在同一平面直角坐标系中作出直线y ＝x －a 与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象，由题意知，在(0，＋∞)内，直线有一部分在y＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x图象的下方，由图可知，－a <1，所以a >－1.(2)令a x ＝t ，则y ＝a 2x ＋2a x －1＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2.当a >1时，因为x ∈[－1，1]，所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a ，又函数y ＝(t ＋1)2－2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a 上单调递增，所以y max ＝(a ＋1)2－2＝14，解得a ＝3(负值舍去).当0<a <1时，因为x ∈[－1，1]，所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a ，又函数y ＝(t ＋1)2－2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a 上单调递增，则y max ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12－2＝14，解得a ＝13(负值舍去).综上，a ＝3或a ＝13. 答案 (1)D (2)3或13规律方法 求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.易错警示 在研究指数型函数的单调性时，当底数a 与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论.【训练3】 (1)(角度1)已知a ＝20.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.6，则( ) A.a >b >c B.a >c >b C.c >a >bD.b >c >a(2)(角度2)(2020·安徽江南名校联考)若e a ＋πb ≥e －b ＋π－a ，则有( ) A.a ＋b ≤0 B.a －b ≥0 C.a －b ≤0D.a ＋b ≥0(3)(角度3)当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x <0恒成立，则实数m 的取值范围是________.(4)(角度3)已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常量，且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1，6)，B (3，24).若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b x－m ≥0在x ∈(－∞，1]上恒成立，则实数m 的最大值为________.解析 (1)因为a ＝20.2>1，b ＝0.40.2<1，c ＝0.40.6<1，所以a >b ，a >c .又y ＝0.4x 是以0.4为底的指数函数，且在R 上单调递减，所以0.40.2>0.40.6，即b >c ，所以a >b >c . (2)令f (x )＝e x －π－x ，则f (x )在R 上是增函数， 由e a ＋πb ≥e －b ＋π－a ，得e a －π－a ≥e －b －πb ， 则f (a )≥f (－b )，所以a ≥－b ，则a ＋b ≥0. (3)原不等式变形为m 2－m <⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在(－∞，－1]上是减函数，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2.当x ∈(－∞，－1]时，m 2－m <⎝ ⎛⎭⎪⎫12x恒成立等价于m 2－m <2，解得－1<m <2.(4)把A (1，6)，B (3，24)代入f (x )＝b ·a x ，得⎩⎨⎧6＝ab ，24＝b ·a 3，结合a >0，且a ≠1，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3，所以f (x )＝3·2x .要使⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x≥m 在区间(－∞，1]上恒成立，只需保证函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在区间(－∞，1]上的最小值不小于m 即可.因为函数y＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在区间(－∞，1]上为减函数，所以当x ＝1时，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x有最小值56.所以只需m ≤56即可.所以m 的最大值为56. 答案 (1)A (2)D (3)(－1，2) (4)56A 级 基础巩固一、选择题1.(2019·永州模拟)下列函数中，与函数y ＝2x －2－x 的定义域、单调性与奇偶性均一致的是( ) A.y ＝sin x B.y ＝x 3 C.y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD.y ＝log 2x解析 y ＝2x －2－x 是定义域为R 的单调递增函数，且是奇函数.y ＝sin x 不是单调递增函数，不符合题意；y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x是非奇非偶函数，不符合题意； y ＝log 2x 的定义域是(0，＋∞)，不符合题意；y ＝x 3是定义域为R 的单调递增函数，且是奇函数，符合题意. 答案 B2.函数f (x )＝a x －1(a >0，a ≠1)的图象恒过点A ，下列函数中图象不经过点A 的是( ) A.y ＝1－x B.y ＝|x －2| C.y ＝2x －1D.y ＝log 2(2x )解析 f (x )过定点A (1，1)，将点A (1，1)代入四个选项，y ＝1－x 的图象不过点A (1，1). 答案 A3.(2020·西安调研)已知0<b <a <1，则a b ，b a ，a a ，b b 中最大的是( ) A.b aB.a aC.a bD.b b解析 ∵0<b <a <1，∴y ＝a x 与y ＝b x 均为减函数， ∴a b >a a ，b a <b b .又y ＝x b 在(0，＋∞)上递增，∴a b >b b . 综上，a b 最大. 答案 C4.在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10.4%，专家预测经过x 年可能增长到原来的y 倍，则函数y ＝f (x )的图象大致为( )解析 设原有荒漠化土地面积为b ，经过x 年后荒漠化面积为z ，则z ＝b (1＋10.4%)x ，故y ＝zb ＝(1＋10.4%)x ，其是底数大于1的指数函数.其图象应为选项D. 答案 D5.若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( ) A.(－∞，2] B.[2，＋∞) C.[－2，＋∞)D.(－∞，－2]解析 由f (1)＝19，得a 2＝19，所以a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增，所以f (x )在(－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减. 答案 B 二、填空题6.化简（a 23·b －1）－12·a －12·b 136a ·b 5＝________.解析 原式＝a －13b 12·a －12b 13a 16b 56＝a－13－12－16·b 12＋13－56＝1a .答案 1a 7.若函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3有最大值3，则a ＝________.解析 令h (x )＝ax 2－4x ＋3，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13h (x )，由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，12a －164a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值为1. 答案 18.设偶函数g (x )＝a |x ＋b |在(0，＋∞)上单调递增，则g (a )与g (b －1)的大小关系是________.解析 由于g (x )＝a |x ＋b |是偶函数，知b ＝0， 又g (x )＝a |x |在(0，＋∞)上单调递增，得a >1. 则g (b －1)＝g (－1)＝g (1)，故g (a )>g (1)＝g (b －1). 答案 g (a )>g (b －1) 三、解答题9.已知函数f (x )＝3x ＋a3x ＋1为奇函数.(1)求a 的值；(2)判断函数f (x )的单调性，并加以证明.解 (1)因为函数f (x )是奇函数，且f (x )的定义域为R ；所以f (0)＝1＋a1＋1＝0，所以a ＝－1(经检验，a ＝－1时f (x )为奇函数，满足题意).(2)由(1)知f (x )＝3x －13x ＋1＝1－23x ＋1，函数f (x )在定义域R 上单调递增.证明如下：设x 1<x 2∈R ，则f (x 1)－f (x 2)＝2（3x 1－3x 2）（3x 1＋1）（3x 2＋1）.因为x 1<x 2，所以3x 1<3x 2，所以3x 1－3x 2<0，所以f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在定义域R 上单调递增. 10.已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，a ≠1)，其中a ，b 均为实数. (1)若函数f (x )的图象经过点A (0，2)，B (1，3)，求函数y ＝1f （x ）的值域； (2)如果函数f (x )的定义域和值域都是[－1，0]，求a ＋b 的值. 解 (1)因为函数f (x )的图象经过点A (0，2)，B (1，3)， ∴⎩⎨⎧1＋b ＝2，a ＋b ＝3，∴⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1， ∴函数f (x )＝2x ＋1>1，函数y ＝1f （x ）＝12x ＋1<1. 又1f （x ）＝12x ＋1>0，故函数y ＝1f （x ）的值域为(0，1). (2)如果函数f (x )的定义域和值域都是[－1，0]，若a >1，则函数f (x )＝a x ＋b 为增函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1a ＋b ＝－1，1＋b ＝0，无解. 若0<a <1，则函数f (x )＝a x ＋b 为减函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1a ＋b ＝0，1＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2， ∴a ＋b ＝－32.B 级 能力提升11.设函数f (x )＝x 2－a 与g (x )＝a x (a >1且a ≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，则M ＝(a －1)0.2与N ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 0.1的大小关系是( )A.M ＝NB.M ≤NC.M <ND.M >N解析 因为f (x )＝x 2－a 与g (x )＝a x (a >1且a ≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，所以a >2，所以M ＝(a －1)0.2>1，N ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 0.1<1，所以M >N .答案 D12.(2020·衡水中学检测)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23|x |－x 23且满足f (2a －1)>f (3)，则a 的取值范围为( ) A.a >2 B.a <2C.－1<a <2D.a <－1或a >2解析 易知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23|x |－x 23是R 上的偶函数，又当x >0时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x－x 23单调递减.由f (2a －1)>f (3)⇔f (|2a －1|)>f (3)， ∴|2a －1|<3，解得－1<a <2.答案 C13.(2018·上海卷)已知常数a >0，函数f (x )＝2x 2x ＋ax 的图象经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫p ，65，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫q ，－15.若2p ＋q ＝36pq ，则a ＝________.解析 因为f (x )＝2x 2x ＋ax＝11＋ax 2x ，且其图象经过点P ，Q ， 则f (p )＝11＋ap 2p＝65，即ap 2p ＝－16，①f (q )＝11＋aq 2q＝－15，即aq2q ＝－6，② ①×②得a 2pq2p ＋q ＝1，则2p ＋q ＝a 2pq ＝36pq ，所以a 2＝36，解得a ＝±6，因为a >0，所以a ＝6. 答案 614.已知定义在R 上的函数f (x )＝2x －12|x |. (1)若f (x )＝32，求x 的值；(2)若2t f (2t )＋mf (t )≥0对任意t ∈[1，2]恒成立，求实数m 的取值范围. 解 (1)当x <0时，f (x )＝0，故f (x )＝32无解；当x ≥0时，f (x )＝2x －12x ，由2x －12x ＝32，得2·22x －3·2x －2＝0， 将上式看成关于2x 的一元二次方程， 解得2x ＝2或2x ＝－12，因为2x >0，所以2x ＝2，所以x ＝1.(2)当t ∈[1，2]时，2t ⎝ ⎛⎭⎪⎫22t －122t ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t －12t ≥0，即m (22t －1)≥－(24t －1)，因为22t －1>0， 所以m ≥－(22t ＋1)，又y ＝－22t －1，t ∈[1，2]为减函数， ∴y max ＝－22－1＝－5，故m ≥－5.C级创新猜想15.(多填题)已知函数f(x)＝2x1＋a·2x的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫0，12对称，则a＝________，f(x)的值域为________.解析依题设f(x)＋f(－x)＝1，则2x1＋a·2x＋2－x1＋a·2－x＝1，整理得(a－1)[4x＋(a－1)·2x＋1]＝0. 所以a－1＝0，则a＝1.因此f(x)＝2x1＋2x＝1－11＋2x.由于1＋2x>1，∴0<11＋2x<1，∴0<f(x)<1.故f(x)的值域为(0，1).答案1(0，1)莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。