【K12教育学习资料】高三数学专题复习 中档题满分练(2)理

中档大题满分练2.三角函数与解三角形(B组)中档大题集训练,练就慧眼和规范,筑牢高考满分根基!1.已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且asin A+csin C-bsin B =asin C.(1)求角B的大小.(2)设向量m=(cos A,cos 2A),n=(12,-5),边长a=4,当m·n取最大值时,求b的长.【解析】(1)由题意,asin A+csin C-bsin B=asin C,所以a2+c2-b2=ac,所以cos B===,B∈(0,π),所以B=.(2)因为m·n=12cos A-5cos 2A=-10+,所以当cos A=时,m·n取最大值, 此时,sin A=. 由正弦定理得,b=a·= .2.如图,在平面四边形ABCD中,∠ABC=π,AB⊥AD,AB=1.世纪金榜导学号(1)若AC=,求△ABC的面积.(2)若∠ADC=,CD=4,求sin∠CAD. 【解析】(1)在△ABC中,由余弦定理得, AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC, 即5=1+BC2+BC,解得BC=或-2(舍去),所以△ABC的面积S△ABC=AB·BC·sin∠ABC=×1××=.(2)设∠CAD=θ,在△ACD中,由正弦定理得,=,即=,所以AC=.在△ABC中,∠BAC=-θ,∠BCA=θ-,则=,即=,即4=sin θ,整理得sin θ=2cos θ.又因为sin2θ+cos2θ=1,解得sin θ=,即sin∠CAD=.关闭Word文档返回原板块。

中档题规范练二1.(2016·甘肃兰州诊断)在公差不为零的等差数列{a n}中,a1=1,a2,a4,a8成等比数列.(1)求数列{a n}的通项公式a n;(2)若数列{a n}的前n项和为S n,设b n=,T n=b1+b2+…+b n,求T n.2.(2016·广西桂林、北海、崇左调研)在如图所示的多面体ABCDE中,AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,AB=CD=1,AC=,AD=DE=2.(1)在线段CE上取一点F,作BF∥平面ACD(只需指出F的位置,不需证明);(2)对(1)中的点F,求三棱锥B FCD的体积.3.(2016山东潍坊二模)为使政府部门与群众的沟通日常化,某城市社区组织“网络在线问政”活动.2015年,该社区每月通过问卷形式进行一次网上问政.2016年初,社区随机抽取了60名居民,对居民上网参政议政意愿进行调查.已知上网参与问政次数与参与人数的频数分参与调查[0,2) [2,4) [4,6) [6,8) [8,10) [10,12] 问卷次数参与调查8 14 8 14 10 6问卷人数(1)若将参与调查问卷不低于4次的居民称为“积极上网参政居民”,请你根据频数分布表,完成2×2列联表,据此调查是否有99%的把握认为在此社区内“上网参政议政与性别有关”;男女合计积极上网参政居民8不积极上网参政居民合计40求选出的3人为2男1女的概率.4.(2016·安徽安庆二模)在平面直角坐标系中,以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,并在两坐标系中取相同的单位长度.已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cos θ,直线l的参数方程为(t为参数,α为直线的倾斜角).(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;(2)若直线l与曲线C有唯一的公共点,求角α的大小.5.(2016·甘肃河西五市部分普通高中联考)已知不等式|x+2|+|x-2|<18的解集为A.(1)求集合A;(2)若∀a,b∈A,x∈(0,+∞),不等式a+b<x++m恒成立,求实数m的取值范围.中档题规范练二1.解:(1)设等差数列{a n}的公差为d,则依题意有解得d=1或d=0(舍去),所以a n=a1+(n-1)d=n.(2)由(1)得S n=,所以b n==2(-),所以T n=2[(1-)+(-)+(-)+…+(-)]=2(1-)=.2.解:(1)取CE的中点F,连接BF,BF∥平面ACD(如图).(2)因为AD2=AC2+CD2,所以∠ACD=90°.所以AC⊥CD.因为DE⊥平面ACD,所以AC⊥DE.因为DE∩CD=D,所以AC⊥平面CDE.因为DE⊥平面ACD,AB⊥平面ACD,所以AB∥DE.因为AB⊄平面CED,DE⊂平面CED,所以AB∥平面CED.所以B到平面FCD的距离为AC.又S△FCD=S△ECD=××1×2=,所以=AC·S△FCD=.3.解:(1)由题意知,积极上网参政的有8+14+10+6=38人,不积极上网参政的有8+14=22人,男女合计积极上网参政居民30 8 38不积极上网参政居民10 12 22合计40 20 60所以K2=≈,因为>,所以有99%的把握认为在此社区内“上网参政议政与性别有关”.(2)选取男居民人数为6×=4人,选取女居民人数为6×=2人,记4个男居民分别为A,B,C,D,2个女居民分别为甲、乙,则基本事件有(ABC),(ABD),(AB甲),(AB乙),(ACD),(AC甲),(AC乙),(AD甲),(AD乙),(A甲乙),(BCD),(BC甲),(BC乙),(BD甲),(BD乙),(B甲乙),(CD甲),(CD乙),(C甲乙),(D甲乙),共20种,满足条件的基本事件有12种,所以所求概率为P==.4.解:(1)当α=时,直线l的普通方程为x=-1;当α≠时,直线l的普通方程为y=tan α·(x+1).由ρ=2cos θ,得ρ2=2ρcos θ,所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2x.(2)把x=-1+tcos α,y=tsin α代入x2+y2=2x,整理得t2-4tcos α+3=0.由Δ=16cos2α-12=0,得cos2α=,所以cos α=或cos α=-,故直线l的倾斜角α为或.5.解:(1)若|x+2|+|x-2|<18,则或或解得-9<x<9,所以A=(-9,9).(2)因为∀a,b∈A即∀a,b∈(-9,9), 所以a+b∈(-18,18),因为x++m≥2+m,所以(x++m)min=m+4,由题可知,m+4≥18,所以m≥14,所以m的取值范围为[14,+∞).。

高三数学复习 中档题训练21．设a 、b 是两个不共线的非零向量（t ∈R ）①若a 与b 起点相同，t 为何值时，a ，t b ，31（a +b ）三向量的终点在一直线上？ ②若|a |=|b |且a 与b 夹角为60°，那末t 为何值时|a －t b |的值最小？解：①设a －t b =m[a －31(a +b )](m ∈R) 化简得 )132(-m a =)3(t m -b ∵a 与b 不共线 ∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒=-0321230132t m t m m ∴t=21时，a 、t b 、31(a +b )终点在一直线上 ②|a －t b |2=（a －t b ）2=|a |2+t 2|b |－2t ，|a | |b |cos 60°=（1+t 2－t ）|a |2, ∴t=21时，|a －t b |有最小值||23a2．已知曲线轴与y d cx bx ax y L +++=23:相交于点A ，以其上一动点P （x 0,y 0）为切点的直线l 与y 轴相交于Q 点.（Ⅰ）求直线l 的方程，并用x 0表示Q 点的坐标；（Ⅱ）求.sin sin lim 0AQPAPQ x ∠∠+∞→ Ⅰ）解：c bx ax k c bx ax y d A ++=++='020223,23),,0(0002000200))(23(0),)(23(y x c bx ax y x x x c bx ax y y Q +-++==-++=-∴得令 )))(23(,0(00020y x c bx ax Q +-++∴（Ⅱ）由正弦定理得：2|||2|)(|2|lim sin sin lim )(|2|)(|23|sin sin 2020302020302020*********020*******==++++=∠∠∴+++--=-+-+---==∠∠+∞→+∞→a a cx bx ax x bx ax AQP APQ cx bx ax x bx ax d y x d y cx bx ax AP AQ AQP APQ x x 3．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，底面是以ABC ∠为直角的等腰三角形，12,3,AC a BB a D ==是11A C 的中点，E 是1B C 的中点。

基础巩固练(二)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2019·高考)已知复数z＝2＋i，则z·z＝( )A. 3B. 5 C．3 D．5答案 D解析解法一：∵z＝2＋i，∴z＝2－i，∴z·z＝(2＋i)(2－i)＝5.故选D.解法二：∵z＝2＋i，∴z·z＝|z|2＝5.故选D.2．(2019·某某高考)已知全集U＝{－1,0,1,2,3}，集合A＝{0，1,2}，B＝{－1,0,1}，则(∁U A)∩B＝( )A．{－1} B．{0,1}C．{－1,2,3} D．{－1,0,1,3}答案 A解析∵U＝{－1,0,1,2,3}，A＝{0,1,2}，∴∁U A＝{－1，3}．又∵B＝{－1,0,1}，∴(∁U A)∩B＝{－1}．故选A.3．(2019·某某二模)某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )答案 B解析由正视图排除A，C；由侧视图排除D，故B正确．4．(2019·某某呼和浩特市高三3月第一次质量普查)在等比数列{a n}中，a2－a1＝2，且2a2为3a1和a3的等差中项，则a4为 ( )A ．9B ．27C ．54D ．81 答案 B解析 根据题意，设等比数列{a n }的公比为q ，若2a 2为3a 1和a 3的等差中项，则有2×2a 2＝3a 1＋a 3，变形可得4a 1q ＝3a 1＋a 1q 2，即q 2－4q ＋3＝0，解得q ＝1或3；又a 2－a 1＝2，即a 1(q －1)＝2，则q ＝3，a 1＝1，则a n ＝3n －1，则有a 4＝33＝27.故选B.5．(2019·某某市适应性试卷)函数f (x )＝(x 3－x )ln |x |的图象是( )答案 C解析 因为函数f (x )的定义域关于原点对称，且f (－x )＝－(x 3－x )ln |x |＝－f (x )，∴函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B ，函数的定义域为{x |x ≠0}，由f (x )＝0，得(x 3－x )ln |x |＝0，即(x 2－1)ln |x |＝0，即x ＝±1，即函数f (x )有两个零点，排除D ，f (2)＝6ln 2>0，排除A.故选C.6．(2019·某某省内江二模)如果执行下面的程序框图，输出的S ＝110，则判断框处为( )A ．k <10?B ．k ≥11? C．k ≤10? D．k >11? 答案 C解析 由程序框图可知，该程序是计算S ＝2＋4＋…＋2k ＝k (2＋2k )2＝k (k ＋1)，由S ＝k (k ＋1)＝110，得k ＝10，则当k ＝10时，k ＝k ＋1＝10＋1＝11不满足条件，所以条件为“k ≤10？”．故选C.7．(2019·某某二模)勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛(1829～1905)首先发现，所以以他的名字命名，其作法为：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，现在勒洛三角形内部随机取一点，则此点取自等边三角形内部的概率为( )A.2π－332(π－3)B.32(π－3)C.32(π＋3)D.2π－332(π＋3)答案 B解析 如题图，设BC ＝2，以B 为圆心的扇形的面积为π×226＝2π3，又∵△ABC 的面积为12×32×2×2＝3，∴勒洛三角形的面积为3个扇形面积减去2个正三角形的面积，即为2π3×3－23＝2π－23，故在勒洛三角形中随机取一点，此点取自等边三角形的概率为32π－23＝32(π－3)，故选B.8．(2019·某某一模)已知M (－4,0)，N (0,4)，点P (x ，y )的坐标x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，3x －4y ＋12≥0，则MP →·NP →的最小值为( )A.25B.425 C ．－19625 D ．－ 5 答案 C解析 由点P (x ，y )的坐标x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，3x －4y ＋12≥0，作出可行域如图中阴影部分，则MP →·NP →＝(x ＋2)2＋(y －2)2－8的最小值为点A (－2,2)到直线3x －4y ＋12＝0的距离的平方再减8，由d ＝|3×(－2)－4×2＋12|5＝25，可得(x ＋2)2＋(y －2)2－8的最小值为－19625.故选C.9．(2019·某某一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝3，c ＝23，b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6，则b ＝( )A ．1 B. 2 C. 3 D. 5 答案 C解析 在△ABC 中，由正弦定理得asin A＝bsin B，得b sin A ＝a sin B ，又b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6，∴a sin B ＝a cos ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6，即sin B ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6＝cos B cos π6－sin B sin π6＝32cos B －12sin B ，∴tan B ＝33，又B ∈(0，π)，∴B ＝π6.∵在△ABC 中，a ＝3，c ＝23，由余弦定理得b ＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝9＋12－2×3×23×32＝ 3.故选C. 10．(2019·某某某某高三3月模拟)若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)在[0，π]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则ω的最小值为( )A.23B.34C.43D.32 答案 A解析 ∵0≤x ≤π，∴－π6≤ωx －π6≤ωπ－π6，而f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，发现f (0)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，∴π2≤ωπ－π6≤7π6，整理得23≤ω≤43.则ω的最小值为23.故选A.11．(2019·某某模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 为双曲线右支上一点，线段AF 1交左支于点B ，若AF 2⊥BF 2，且|BF 1|＝13|AF 2|，则该双曲线的离心率为( )A. 2B.655C.355D ．3 答案 B解析 因|BF 1|＝13|AF 2|，设|AF 2|＝3t ，则|BF 1|＝t ，t >0，由双曲线的定义可得|BF 2|＝|BF 1|＋2a ＝t ＋2a ，|AF 1|＝|AF 2|＋2a ＝3t ＋2a ， 则|AB |＝|AF 1|－|BF 1|＝2t ＋2a ，由AF 2⊥BF 2，可得(2a ＋2t )2＝(3t )2＋(t ＋2a )2，解得t ＝23a ，则在直角三角形ABF 2中，cos A ＝3t 2t ＋2a ＝2a 103a ＝35，在△AF 1F 2中，可得cos A ＝(3t )2＋(3t ＋2a )2－(2c )22·3t ·(3t ＋2a )＝4a 2＋16a 2－4c 216a 2＝35，化为c 2＝135a 2，则e ＝c a＝135＝655.故选B. 12．(2019·高考)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：x 2＋y 2＝1＋|x |y 就是其中之一(如图)．给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)； ②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过2； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3. 其中，所有正确结论的序号是( )A ．①B ．②C ．①②D ．①②③ 答案 C解析 由x 2＋y 2＝1＋|x |y ，当x ＝0时，y ＝±1；当y ＝0时，x ＝±1；当y ＝1时，x ＝0，±1.故曲线C 恰好经过6个整点：A (0,1)，B (0，－1)，C (1,0)，D (1,1)，E (－1,0)，F (－1,1)，所以①正确．由基本不等式，当y >0时，x 2＋y 2＝1＋|x |y ＝1＋|xy |≤1＋x 2＋y 22，所以x 2＋y 2≤2，所以x 2＋y 2≤2，故②正确．如图，由①知长方形CDFE 面积为2，三角形BCE 面积为1，所以曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于3，故③错误．故选C.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．(2019·某某一模)已知(a －x )(2＋x )5的展开式中x 3的系数为40，则实数a 的值为________．答案 3解析 ∵(a －x )(2＋x )5＝(a －x )(32＋80x ＋80x 2＋40x 3＋10x 4＋x 5)的展开式中x 3的系数为40a －80＝40，∴a ＝3.14．(2019·揭阳一模)在曲线f (x )＝sin x －cos x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2的所有切线中，斜率为1的切线方程为________．答案 x －y －1＝0解析 由f (x )＝sin x －cos x ，得f ′(x )＝cos x ＋sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，由2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝22，∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴x ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，3π4，∴x ＋π4＝π4，即x ＝0.∴切点为(0，－1)，切线方程为y ＋1＝x ，即x －y －1＝0.15．(2019·某某一模)在四面体ABCD 中，AB ＝BC ＝1，AC ＝2，且AD ⊥CD ，该四面体外接球的表面积为________．答案 2π解析 如图，∵AB ＝BC ＝1，AC ＝2，∴AB ⊥BC ，又AD ⊥CD ，∴AC 的中点即为外接球的球心，外接球的半径为22，∴S 球＝4π×12＝2π.16．(2019·某某省十所名校高三尖子生第二次联考)若函数y ＝f (x )的图象存在经过原点的对称轴，则称y ＝f (x )为“旋转对称函数”，下列函数中是“旋转对称函数”的有________．(填写所有正确结论的序号)①y ＝⎩⎪⎨⎪⎧e x(x ≤0)，ln x (0<x ≤1)；②y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1＋x 1－x ；③y ＝ln (e3x＋1)．答案 ①②解析 对于①，y ＝e x(x ≤0)的反函数为y ＝ln x (0<x ≤1)，所以函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧e x(x ≤0)，ln x (0<x ≤1)关于直线y ＝x 对称，故①是“旋转对称函数”．对于②，令y ＝f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1＋x 1－x ，则f (－x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1－x 1＋x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－ln 1＋x 1－x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1＋x 1－x ＝f (x )，所以函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1＋x 1－x 是偶函数，它的图象关于y 轴对称，故②是“旋转对称函数”．对于③，y ＝ln (e 3x＋1)>ln e 3x＝3x ，当x →＋∞时，y →3x ，则函数y ＝ln(e3x＋1)的图象只可能关于直线y ＝3x 对称，又y ＝ln (e3x＋1)>ln 1＝0，当x →－∞时，y →0，这与函数y ＝ln (e 3x＋1)的图象关于直线y ＝3x 对称矛盾，故③不是“旋转对称函数”．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：60分．17．(本小题满分12分)(2019·某某某某高三第二次统考)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n－a n －1＝2n －1(n ∈N *，n ≥2)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝14a n －1，求数列{b n }的通项公式及其前n 项和T n .解 (1)当n ≥2时，由于a n －a n －1＝2n －1，a 1＝1，所以a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝1＋3＋…＋(2n －1)＝n 2， 又a 1＝1满足上式，故a n ＝n 2(n ∈N *)． (2)b n ＝14a n －1＝14n 2－1＝1(2n ＋1)(2n －1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1.所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1. 18．(本小题满分12分)(2019·某某质量检测)如图，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1，侧面ABB 1A 1为菱形，A 1C ＝BC .(1)求证：A 1B ⊥平面AB 1C ；(2)若∠ABB 1＝60°，∠CBA ＝∠CBB 1，AC ⊥B 1C ，求二面角B －AC －A 1的余弦值． 解 (1)证明：因为侧面ABB 1A 1为菱形， 所以A 1B ⊥AB 1，记A 1B ∩AB 1＝O ，连接CO ， 因为A 1C ＝BC ，BO ＝A 1O ， 所以A 1B ⊥CO ，又AB 1∩CO ＝O ， 所以A 1B ⊥平面AB 1C .(2)解法一：因为∠CBA ＝∠CBB 1，AB ＝BB 1，BC ＝BC ，所以△CBA ≌△CBB 1，所以AC ＝B 1C . 又O 是AB 1的中点，所以CO ⊥AB 1， 又A 1B ⊥CO ，A 1B ∩AB 1＝O ， 所以CO ⊥平面ABB 1A 1.令BB 1＝2，因为∠ABB 1＝60°，侧面ABB 1A 1为菱形，AC ⊥B 1C ，O 为AB 1的中点， 所以CO ＝1.如图，以O 为坐标原点，OB 所在的直线为x 轴，OB 1所在的直线为y 轴，OC 所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系．则O (0,0,0)，A (0，－1,0)，B (3，0,0)，C (0,0,1)，A 1(－3，0,0)， 所以AB →＝(3，1,0)，AC →＝(0,1,1)，AA 1→＝(－3，1,0)，A 1C →＝(3，0,1)． 设平面ABC 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AB →＝0，n 1·AC →＝0，即⎩⎨⎧3x ＋y ＝0，y ＋z ＝0，令x ＝1，则n 1＝(1，－3，3)，同理可得平面A 1AC 的一个法向量为n 2＝(1，3，－3)，cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－57，由图知二面角B －AC －A 1为钝角， 所以二面角B －AC －A 1的余弦值为－57.解法二：因为∠CBA ＝∠CBB 1，AB ＝BB 1，BC ＝BC ， 所以△CBA ≌△CBB 1， 所以AC ＝B 1C .设AB ＝2，因为∠ABB 1＝60°，侧面ABB 1A 1为菱形，所以AA 1＝AB 1＝2，OA ＝OB 1＝1，OB ＝OA 1＝ 3.又AC ⊥B 1C ，所以CO ＝1，AB ＝B 1C ＝2，又A 1C ＝BC ，O 为A 1B 的中点，所以BC ＝A 1C ＝2，所以△ABC 为等腰三角形，△A 1AC 为等腰三角形．如图，取AC 的中点M ，连接BM ，A 1M ，则∠BMA 1为二面角B －AC －A 1的平面角．在△BMA 1中，可得BM ＝A 1M ＝142，A 1B ＝23， 所以cos ∠BMA 1＝BM 2＋A 1M 2－A 1B 22BM ·A 1M ＝－57，所以二面角B －AC －A 1的余弦值为－57.19．(本小题满分12分)(2019·某某一模)已知F 为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点，点P (2，2)在C 上，且PF ⊥x 轴．(1)求C 的方程；(2)过F 的直线l 交C 于A ，B 两点，交直线x ＝4于点M .证明：直线PA ，PM ，PB 的斜率成等差数列．解 (1)因为点P (2，2)在C 上，且PF ⊥x 轴，所以c ＝2，设椭圆C 的左焦点为E ，连接EP ，则|EF |＝2c ＝4，|PF |＝2，在Rt △EFP 中，|PE |2＝|PF |2＋|EF |2＝18，所以|PE |＝3 2.所以2a ＝|PE |＋|PF |＝42，a ＝22， 又b 2＝a 2－c 2＝4，故椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)证明：由题意可设直线l 的方程为y ＝k (x －2)， 令x ＝4，得M 的坐标为(4,2k )，由⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1，y ＝k (x －2)得(2k 2＋1)x 2－8k 2x ＋8(k 2－1)＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝8k 22k 2＋1，x 1x 2＝8(k 2－1)2k 2＋1. ①记直线PA ，PB ，PM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3， 从而k 1＝y 1－2x 1－2，k 2＝y 2－2x 2－2，k 3＝2k －24－2＝k －22. 因为直线l 的方程为y ＝k (x －2)，所以y 1＝k (x 1－2)，y 2＝k (x 2－2)， 所以k 1＋k 2＝y 1－2x 1－2＋y 2－2x 2－2＝y1x1－2＋y2x2－2－2⎝⎛⎭⎪⎫1x1－2＋1x2－2＝2k－2·x1＋x2－4x1x2－2(x1＋x2)＋4. ②①代入②，得k1＋k2＝2k－2·8k22k2＋1－48(k2－1)2k2＋1－16k22k2＋1＋4＝2k－2，又k3＝k－22，所以k1＋k2＝2k3，故直线PA，PM，PB的斜率成等差数列．20．(本小题满分12分)(2019·某某一模)十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康．经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民收入也逐年增加．为了更好地制定2019年关于加快提升农民年收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2018年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：(1)根据频率分布直方图估计50位农民的年平均收入x(单位：千元)(同一组数据用该组数据区间的中点值表示)；(2)由频率分布直方图可以认为该贫困地区农民年收入X服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为年平均收入x，σ2近似为样本方差s2，经计算得s2＝6.92，利用该正态分布，求：(ⅰ)在2019年脱贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？(ⅱ)为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民．若每个农民的年收入相互独立，问：这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少？附：参考数据与公式 6.92≈2.63，若X～N(μ，σ2)，则①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6827；②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.9545；③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.9973.解 (1)x ＝12×0.04＋14×0.12＋16×0.28＋18×0.36＋20×0.10＋22×0.06＋24×0.04＝17.40.(2)由题意，X ～N (17.40,6.92)．(ⅰ)∵P (x ＞μ－σ)＝12＋0.68272≈0.8414，∴μ－σ＝17.40－2.63＝14.77时，满足题意， 即最低年收入大约为14.77千元．(ⅱ)由P (X ≥12.14)＝P (X ≥μ－2σ)＝0.5＋0.95452≈0.9773，得每个农民年收入不少于12.14千元的概率为0.9773，记1000个农民年收入不少于12.14千元的人数为ξ，则ξ～B (1000，p )，其中p ＝0.9773.于是恰好有k 个农民的年收入不少于12.14千元的概率是P (ξ＝k )＝C k1000p k(1－p )1000－k，从而由P (ξ＝k )P (ξ＝k －1)＝(1001－k )×pk (1－p )＞1，得k ＜1001p ，而1001p ＝978.233，∴当0≤k ≤978时，P (ξ＝k －1)＜P (ξ＝k )， 当979≤k ≤1000时，P (ξ＝k －1)＞P (ξ＝k )．由此可知，在走访的1000位农民中，年收入不少于12.14千元的人数最有可能是978. 21．(本小题满分12分)(2019·某某三模)已知a ∈R ，函数f (x )＝2x＋a ln x .(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若x ＝2是f (x )的极值点，且曲线y ＝f (x )在两点P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))(x 1<x 2<6)处切线平行，在y 轴上的截距分别为b 1，b 2，求b 1－b 2的取值X 围．解 (1)f ′(x )＝－2x 2＋a x ＝ax －2x2，①当a ≤0时，f ′(x )<0在x ∈(0，＋∞)上恒成立， ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减；②当a >0时，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2a 时，f ′(x )<0，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫2a ，＋∞时，f ′(x )>0，即f (x )在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a 上单调递减，在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫2a，＋∞上单调递增．(2)∵x ＝2是f (x )的极值点， ∴由(1)可知2a＝2，∴a ＝1.设在P (x 1，f (x 1))处的切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1＋ln x 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 21＋1x 1(x －x 1)，在Q (x 2，f (x 2))处的切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2＋ln x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 22＋1x 2(x －x 2)，∵这两条切线互相平行， ∴－2x 21＋1x 1＝－2x 22＋1x 2，∴1x 1＋1x 2＝12. ∵1x 2＝12－1x 1，且0<x 1<x 2<6， ∴16<12－1x 1<1x 1，∴14<1x 1<13，∴x 1∈(3,4)． 令x ＝0，则b 1＝4x 1＋ln x 1－1，同理，b 2＝4x 2＋ln x 2－1.解法一：∵1x 2＝12－1x 1，∴b 1－b 2＝4⎝⎛⎭⎪⎫1x 1－1x 2＋ln x 1－ln x 2＝4⎝⎛⎭⎪⎫2x 1－12－ln 1x 1＋ln ⎝⎛⎭⎪⎫12－1x1.设g (x )＝8x －2－ln x ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫14，13，∴g ′(x )＝8－1x －112－x ＝16x 2－8x ＋12x 2－x ＝(4x －1)22x 2－x<0， ∴g (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫14，13上单调递减， ∴g (x )∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23－ln 2，0， 即b 1－b 2的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫23－ln 2，0.解法二：∵x 2＝2x 1x 1－2， ∴b 1－b 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1x 2＋ln x 1－ln x 2＝8x 1－2＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12－1. 令g (x )＝8x ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1－2，其中x ∈(3,4)，∴g ′(x )＝－8x 2＋1x －2＝x 2－8x ＋16x 2(x －2)＝(x －4)2x 2(x －2)>0，∴函数g (x )在区间(3,4)上单调递增，∴g (x )∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23－ln 2，0， ∴b 1－b 2的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫23－ln 2，0.解法三：∵x 1x 2＝2(x 1＋x 2)，∴b 1－b 2＝4x 1－4x 2＋ln x 1－ln x 2＝4(x 2－x 1)x 1x 2＋ln x 1x 2＝2(x 2－x 1)x 1＋x 2＋ln x 1x 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1x 21＋x 1x 2＋ln x 1x 2.设g (x )＝2(1－x )1＋x ＋ln x ，则g ′(x )＝－4(1＋x )2＋1x ＝(1－x )2x (1＋x )2.∵x 1x 2＝x 12－1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，∴g ′(x )>0， ∴函数g (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递增，∴g (x )∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23－ln 2，0， ∴b 1－b 2的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫23－ln 2，0.(二)选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程] (2019·某某模拟)已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θsin 2θ，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数，0≤α<π)．(1)把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C 的形状； (2)若直线l 经过点(1,0)，求直线l 被曲线C 截得的线段AB 的长．解 (1)将曲线C 的极坐标方程ρ＝4cos θsin 2θ化为ρ2sin 2θ＝4ρcos θ，得到曲线C 的直角坐标方程为y 2＝4x ，故曲线C 是顶点为O (0,0)，焦点为F (1,0)的抛物线．(2)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数，0≤α<π)．若直线l 经过点(1,0)，则α＝3π4，∴直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos 3π4＝－22t ，y ＝1＋t sin 3π4＝1＋22t (t 为参数)．将其代入y 2＝4x ，得t 2＋62t ＋2＝0.设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－62，t 1t 2＝2.|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝(－62)2－4×2＝8.23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲] (2019·某某模拟)已知函数f (x )＝ |x ＋1|＋|x －3|－m 的定义域为R . (1)某某数m 的取值X 围；(2)若m 的最大值为n ，当正数a ，b 满足23a ＋b ＋1a ＋2b ＝n 时，求7a ＋4b 的最小值．解 (1)∵函数的定义域为R ， ∴|x ＋1|＋|x －3|－m ≥0恒成立，设函数g (x )＝|x ＋1|＋|x －3|，则m 不大于函数g (x )的最小值， 又|x ＋1|＋|x －3|≥|(x ＋1)－(x －3)|＝4， 即函数g (x )的最小值为4，∴m ≤4. (2)由(1)知n ＝4，∴7a ＋4b ＝14(6a ＋2b ＋a ＋2b )⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ＋b ＋1a ＋2b ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2(3a ＋b )a ＋2b ＋2(a ＋2b )3a ＋b ≥ 14⎝⎛⎭⎪⎫5＋2×23a ＋b a ＋2b ·a ＋2b 3a ＋b ＝94， 当且仅当a ＋2b ＝3a ＋b ，即b ＝2a ＝310时取等号．∴7a ＋4b 的最小值为94.。

中档题专练建议用时：30分钟1．[2021·皖北协作区联考(二)]设△ABC 的三内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且b (cos A －3cos C )＝(3c －a )cos B .(1)求sin Asin C 的值；(2)若cos B ＝16，且△ABC 的周长为14，求b 的值． 解 (1)由正弦定理得，(cos A －3cos C )sin B ＝(3sin C －sin A )cos B ，化简可得sin(A ＋B )＝3sin(B ＋C )．又A ＋B ＋C ＝π， 所以sin C ＝3sin A ，因此sin A sin C ＝13.(2)由sin A sin C ＝13得c ＝3a ，由余弦定理及cos B ＝16得 b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋9a 2－6a 2×16＝9a 2.所以b ＝3a .又a ＋b ＋c ＝14，从而a ＝2，因此b ＝6.2．[2021·济宁模拟]如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠ADC ＝60°，侧面PDC 是正三角形，平面PDC ⊥平面ABCD ，CD ＝2，M 为PB 的中点．(1)求证：P A ⊥平面CDM ； (2)求二面角D －MC －B 的余弦值．解 (1)证法一：取P A 中点N ，连接MN ，DN ，又M 为PB 的中点，所以MN ∥AB ，又菱形ABCD 中AB ∥CD ，所以MN ∥CD ， 所以C 、D 、M 、N 四点共面． 取DC 的中点为O ，连接PO .由于侧面PDC 是正三角形，平面PDC ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥底面ABCD ， 由于底面ABCD 为菱形且∠ADC ＝60°，DC ＝2，DO ＝1，有OA ⊥DC ， 由于PO ∩AO ＝O ，所以DC ⊥平面POA ，所以DC ⊥P A ， 在△P AD 中，PD ＝AD ＝2，N 为P A 的中点，所以DN ⊥P A ， 又DN ∩DC ＝D ，DN ⊂平面CDNM ，DC ⊂平面CDNM ， 所以P A ⊥平面CDNM ，即P A ⊥平面CDM . 证法二：取DC 的中点为O ，连接PO .由于侧面PDC 是正三角形，平面PDC ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥底面ABCD ， 由于底面ABCD 为菱形且∠ADC ＝60°，DC ＝2，DO ＝1，有OA ⊥DC ，以O 为原点，分别以OA 、OC 、OP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A (3，0,0)、P (0,0，3)、B (3，2,0)、C (0,1,0)、D (0，－1，0)．∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1，32，∴DM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，32，P A →＝(3，0，－3)，DC→＝(0,2,0)， ∴P A →·DM →＝3×32＋0×2＋(－3)×32＝0， ∴P A →·DC →＝3×0＋0×2＋(－3)×0＝0， ∴P A →⊥DM →，P A →⊥DC→，∴P A ⊥平面DMC . (2)CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，32，CB →＝(3，1,0)． 设平面BMC 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )， n ·CM →＝0，得x ＋z ＝0，n ·CB →＝0，得3x －y ＝0， 取x ＝－1，则y ＝－3，z ＝1， ∴法向量n ＝(－1，－3，1)，由(1)知平面CDM 的法向量可取P A →＝(3，0，－3)， ∴cos 〈n ，P A →〉＝n ·P A →|n |·|P A →|＝－235·6＝－105，观看可知二面角D －MC －B 为钝角， 所以所求二面角的余弦值是－105.3．[2021·贵州七校联考(一)]交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念．记交通指数为T ，其范围为[0,10]，分别有5个级别：T ∈[0,2)畅通；T ∈[2,4)基本畅通；T ∈[4,6)轻度拥堵；T ∈[6,8)中度拥堵；T ∈[8,10]严峻拥堵．早高峰时段(T ≥3)，从贵阳市交通指挥中心随机选取了二环以内50个交通路段，依据交通指数数据绘制的直方图如图所示：(1)据此直方图估算交通指数T ∈[4,8)时的中位数和平均数；(2)据此直方图求出早高峰二环以内的3个路段至少有2个严峻拥堵的概率是多少？(3)某人上班路上所用时间若畅通时为20分钟，基本畅通为30分钟，轻度拥堵为35分钟，中度拥堵为45分钟，严峻拥堵为60分钟，求此人所用时间的数学期望．解 (1)由直方图知：T ∈[4,8)时交通指数的中位数为5＋1×0.20.24＝356. T ∈[4,8)时交通指数的平均数为4.5×0.2＋5.5×0.24＋6.5×0.2＋7.5×0.16＝4.72.(2)设大事A 为“1条路段严峻拥堵”，则P (A )＝0.1， 则3条路段中至少有2条路段严峻拥堵的概率为： P ＝C 23×⎝⎛⎭⎪⎫1102×⎝⎛⎭⎪⎫1－110＋C 33×⎝⎛⎭⎪⎫1103＝7250，所以3条路段中至少有2条路段严峻拥堵的概率为7250. (3)由题意，所用时间X 的分布列如下表：X30354560P 0.1 0.44 0.36 0.1则E (X )＝30×0.1＋35×0.44＋45×0.36＋60×0.1＝40.6， 所以此人上班路上所用时间的数学期望是40.6分钟．中档题专练(二)建议用时：30分钟1．若数列{x n }满足：1x n ＋1－1x n＝d (d 为常数，n ∈N *)，则称{x n }为调和数列．已知数列{a n }为调和数列，且a 1＝1，1a 1＋1a 2＋1a 3＋1a 4＋1a 5＝15.(1)求数列{a n }的通项a n ；(2)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2n a n 的前n 项和为S n ，是否存在正整数n ，使得S n ≥2021？若存在，求出n 的取值集合；若不存在，请说明理由．解 (1)依题意⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列，由1a 1＋1a 2＋1a 3＋1a 4＋1a 5＝15得5a 3＝15，即1a 3＝3，∴公差d ＝1a 3－1a 12＝1，故1a n＝n 即a n ＝1n .(2)S n ＝1×21＋2×22＋…＋n ×2n ① 2S n ＝1×22＋…＋(n －1)2n ＋n ×2n ＋1② ②－①得S n ＝n ×2n ＋1－(2＋22＋…＋2n )＝(n －1)2n ＋1＋2.由于S n 是递增的，当n ＝7时S 7＝6×28＋2<2021； 当n ＝8时S 8＝7×29＋2>211>2021.所以存在正整数n ，使得S n ≥2021，n 的取值集合为{n |n ≥8，n ∈N *} 2．[2021·广州综合测试(一)]袋子中装有大小相同的白球和红球共7个，从袋子中任取2个球都是白球的概率为17，每个球被取到的机会均等．现从袋子中每次取1个球，假如取出的是白球则不再放回，设在取得红球之前已取出的白球个数为X .(1)求袋子中白球的个数； (2)求X 的分布列和数学期望．解 (1)设袋子中有n (n ∈N *)个白球，依题意得，C 2nC 27＝17，即n (n －1)27×62＝17，化简得，n 2－n －6＝0，解得，n ＝3或n ＝－2(舍去)． ∴袋子中有3个白球．(2)由(1)得，袋子中有4个红球，3个白球． X 的可能取值为0,1,2,3， P (X ＝0)＝47，P (X ＝1)＝37×46＝27，P (X ＝2)＝37×26×45＝435，P (X ＝3)＝37×26×15×44＝135. ∴X 的分布列为： ∴E (X )＝0×47＋1×27＋2×435＋3×135＝35.3．在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝6，BC ＝8，EF ∥AB ，CE ∶EB ＝5∶3，将三角形△EFC 折起，使C 在面ABC 的射影落在B 点上．(1)若M 是BC 的中点，在线段AC 上找一点H ，使MH ∥面ABEF ，试确定H 点的位置．(2)求点B 到面AEC 的距离．(3)若BM→＝λBC →(0<λ<1)，是否存在λ，使得平面MAE 与平面CEF 所成的锐二面角的余弦值为1415？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．解 (1)取AC 中点H ，连接MH ，则MH ∥AB ，由于AB ⊂ABEF ，MH ⊄面ABEF ，所以MH ∥面ABEF ，即H 为AC 中点．(2)△EFC ∽△BAC ，∴EF BA ＝EC BC ＝58＝EF 6，∴EF ＝154，CB ＝52－32＝4.以B 为原点，直线BE 为x 轴，BA 直线为y 轴，BC 直线为z 轴建立空间直角坐标系，E (3,0,0)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，154，0，C (0,0,4)，B (0,0,0)，A (0,6,0)，CE→＝(3,0，－4)，AC→＝(0，－6,4)，BC →＝(0,0,4)，设平面AEC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有n ⊥CE →，n ⊥AC →，⎩⎨⎧3x －4z ＝0，－6y ＋4z ＝0.令y ＝2，则n ＝(4,2,3)，则d ＝BC →·n |n |＝1229＝122929.(3)设M (0,0，m )，∵BM→＝λBC →，∴m ＝4λ，AM →＝(0，－6，m )，AE →＝(3，－6,0)，设平面AEM 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则n 1⊥AM →，n 1⊥AE →，则⎩⎨⎧－6y 1＋mz 1＝0，3x 1－6y 1＝0，令y 1＝1，则n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1，6m ，CE →＝(3,0，－4)，EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，154，0，设平面CEF 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则n 2⊥CE →，n 2⊥EF →，则⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－4z 2＝0，154y 2＝0，令z 2＝3，则n 2＝(4,0,3)，cos θ＝2×4＋18m22＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6m 2·42＋32＝1415，解得m ＝3，∴λ＝34，∴存在λ使得平面MAE 与平面CEF 所成的锐二面角的余弦值为1415.中档题专练(三)建议用时：30分钟1．已知在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且tan A ＝3cbc 2＋b 2－a 2.(1)求角A 的大小；(2)当a ＝3时，求c 2＋b 2的最大值，并推断此时△ABC 的外形． 解 (1)由已知及余弦定理，得sin A cos A ＝3cb 2cb cos A ，sin A ＝32， 由于A 为锐角，所以A ＝60°.(2)解法一：由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝332＝2，所以b ＝2sin B ，c ＝2sin C ＝2sin(120°－B )． c 2＋b 2＝4[sin 2B ＋sin 2(120°－B )]＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos2B 2＋1－cos (240°－2B )2 ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－12cos2B －12⎝ ⎛⎭⎪⎫－12cos2B －32sin2B＝4－cos2B ＋3sin2B ＝4＋2sin(2B －30°)．由⎩⎪⎨⎪⎧0°<B <90°，0°<120°－B <90°，得30°<B <90°，所以30°<2B －30°<150°， 当sin(2B －30°)＝1，即B ＝60°时，(c 2＋b 2)max ＝6， 此时C ＝60°，△ABC 为等边三角形．解法二：由余弦定理得(3)2＝b 2＋c 2－2bc cos60°＝b 2＋c 2－bc ＝3. 而bc ≤b 2＋c 22(当且仅当b ＝c 时取等号)，则3≥b 2＋c 22，即b 2＋c 2≤6(当且仅当b ＝c 时取等号)． 故c 2＋b 2的最大值为6，此时△ABC 为等边三角形．2．[2021·漳州八校联考(三)]我国政府对PM2.5接受如下标准：PM2.5日均值m (微克/立方米) 空气质量等级 m <35 一级 35≤m ≤75 二级 m >75超标某市环保局从180天的市区PM2.5监测数据中，随机抽取10天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示(十位为茎，个位为叶)．(1)求这10天数据的中位数；(2)从这10天的数据中任取3天的数据，记ξ表示空气质量达到一级的天数，求ξ的分布列；(3)以这10天的PM2.5日均值来估量这180天的空气质量状况，其中大约有多少天的空气质量达到一级．解 (1)10天的中位数为(38＋44)/2＝41(微克/立方米) (2)由N ＝10，M ＝4，n ＝3，ξ的可能值为0,1,2,3利用P (ξ＝k )＝C k 4·C 3－k 6C 310(k ＝0,1,2,3)即得分布列：ξ 01 2 3 P16 12 310 130(3)一年中每天空气质量达到一级的概率为25，由η～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫180，25，得到E (η)＝180×25＝72(天)，一年中空气质量达到一级的天数为72天．3．[2021·广州综合测试(一)]如图1，在边长为4的菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，点E ，F 分别是边CD ，CB 的中点，AC ∩EF ＝O ，沿EF 将△CEF 翻折到△PEF ，连接P A ，PB ，PD ，得到如下图2的五棱锥P －ABFED ，且PB ＝10.(1)求证：BD ⊥平面POA ； (2)求二面角B －AP －O 的正切值．解 (1)证明：∵点E ，F 分别是边CD ，CB 的中点，∴BD ∥EF .∵菱形ABCD 的对角线相互垂直，∴BD ⊥AC .。

..Word 资料.高三数学中档题训练1班级 姓名1．集合A=｛1，3，a ｝，B=｛1，a 2｝，问是否存在这样的实数a ，使得B ⊆A ， 且A ∩B=｛1，a ｝？若存在，求出实数a 的值；若不存在，说明理由．2、在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对应的三边，已知222b c a bc +=+。

（Ⅰ）求角A 的大小： （Ⅱ）若222sin 2sin 122B C+=，判断ABC ∆的形状。

3. 设椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上,离心率23=e .已知点)23,0(P 到这个椭圆上的点的最远距离为7,求这个椭圆方程.4.数列{}n a 为等差数列，n a 为正整数，其前n 项和为n S ，数列{}n b 为等比数列，且113,1a b ==，数列{}n a b 是公比为64的等比数列，2264b S =.（1）求,n n a b ；（2）求证1211134n S S S +++<L .高三数学中档题训练2班级 姓名1.已知函数()116-+=x x f 的定义域为集合A ，函数()()m x x x g ++-=2lg 2的定义域为集合 B. ⑴当m=3时，求()B C A R I ；⑵若{}41<<-=x x B A I ，求实数m 的值.2、设向量(cos ,sin )m θθ=u r ，(22sin ,22cos )n θθ=+-r ，),23(ππθ--∈，若1m n •=u r r ，求：（1）)4sin(πθ+的值； （2）)127cos(πθ+的值．3.在几何体ABCDE 中，∠BAC=2π，DC ⊥平面ABC ，EB ⊥平面ABC ，F 是BC 的中点，AB=AC=BE=2，CD=1（Ⅰ）求证：DC ∥平面ABE ；（Ⅱ）求证：AF ⊥平面BCDE ；（Ⅲ）求证：平面AFD ⊥平面AFE ．4. 已知ΔOFQ 的面积为2 6 ,且OF FQ m ⋅=u u u r u u u r.(1)设 6 ＜m ＜4 6 ,求向量OF FQ u u u r u u u r与的夹角θ正切值的取值范围；(2)设以O 为中心，F 为焦点的双曲线经过点Q （如图),OF c =u u u r ,m=( 6 4-1)c 2,当OQ u u u r 取得最小值时，求此双曲线的方程.ABCDEF..Word 资料.高三数学中档题训练3班级 姓名1. 已知向量a ＝（3sin α，cos α），b ＝(2sin α, 5sin α－4cos α)，α∈（3π2π2，）， 且a ⊥b ． （1）求tan α的值； （2）求cos(π23α+)的值．2、某隧道长2150m ，通过隧道的车速不能超过20m/s 。

中档题满分练(三)1．已知向量a ＝(2sin x ，－cos x )，b ＝(3cos x ，2cos x )，f (x )＝a·b ＋1.(1)求函数f (x )的最小正周期，并求当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，2π3 时f (x )的取值范围；(2)将函数f (x )的图象向左平移π3个单位，得到函数g (x )的图象，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若g ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝1，a ＝2，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积．2.如图，在底面是菱形的四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝60°，PA ＝AC ＝1，PB ＝PD ＝2，点E 在PD 上，且PE ＝2ED .(1)求二面角P －AC －E 的大小；(2)试在棱PC 上确定一点F ，使得BF ∥平面AEC .3．(2015·杭州模拟)已知函数f (x )＝x 2－(a ＋1)x －4(a ＋5)，g (x )＝ax 2－x ＋5，其中a ∈R .(1)若函数f (x )，g (x )存在相同的零点，求a 的值．(2)若存在两个正整数m ，n ，当x 0∈(m ，n )时，有f (x 0)<0与g (x 0)<0同时成立，求n 的最大值及n 取最大值时a 的取值范围．4．(2015·无锡质检)各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，已知点(a n －1，a n )(n ∈N *，n ≥2)在函数y ＝3x 的图象上，且S 4＝80.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)在a n 与a n ＋1之间插入n 个数，使这n ＋2个数组成公差为d n 的等差数列，设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1d n 的前n 项和为P n .①求P n ；②若16P n ＋6n 3n ≤40027成立，求n 的最大正整数值．中档题满分练(三)1．解 (1)f (x )＝a·b ＋1＝23sin x cos x －2cos 2x ＋1 ＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6 ∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，2π3时，－π3≤2x －π6≤76π，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1， 因此f (x )的取值范围是[－3，2]．(2)依题意，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x . 由g ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝1，得2cos A ＝1，∴cos A ＝12， ∵0＜A ＜π，∴A ＝π3， 在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ，∴4＝42－3bc ，则bc ＝4，故S △ABC ＝12bc sin A ＝12×4×sin π3＝ 3. 2．解 (1)∵底面ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°，∴AB ＝AD ＝AC ＝1，在△PAB 中，由PA 2＋AB 2＝2＝PB 2，知PA ⊥AB .同理，PA ⊥AD ，且AB ∩AD ＝A ，∴PA ⊥平面ABCD .建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A (0，0，0)，B ⎝⎛⎭⎪⎫32，－12，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0，P (0，0，1)，D (0，1，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23，13. ∴AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23，13. 设平面ACE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧32x ＋12y ＝0，23y ＋13z ＝0. 取y ＝－3，则n ＝(1，－3，23)．同理，平面ACP 的一个法向量为m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32，0， ∴cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝1×32＋3×324×3＝12， ∴〈n ，m 〉＝60°.故二面角P －AC －E 的大小为60°.(2)设PF →＝λPC →(0＜λ＜1)，∵PC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，－1，BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，1， ∴BF →＝BP →＋PF →＝BP →＋λPC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32λ，12λ，－λ ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32（λ－1），12（λ＋1），1－λ， 由BF ∥平面AEC ，知BF →⊥n ，∴32(λ－1)×1＋12(λ＋1)×(－3)＋(1－λ)×23＝0， 解得λ＝12. ∴当点F 是棱PC 的中点时，BF ∥平面AEC .3．解 (1)解方程x 2－(a ＋1)x －4(a ＋5)＝0得：x ＝－4，或x ＝a ＋5，由函数f (x )，g (x )存在相同的零点，则－4，或a ＋5为方程ax 2－x ＋5＝0的根，将－4代入ax 2－x ＋5＝0：得16a ＋9＝0，解得：a ＝－916， 将a ＋5代入ax 2－x ＋5＝0得：a 3＋10a 2＋24a ＝0，解得：a ＝－6，或a ＝－4，或a ＝0，综上a 的值为－916，或－6，或－4，或0. (2)令f (x )<0，则－4<x <a ＋5，∵正整数m ，n ，∴a ＋5>0，即a >－5，即N ＝(0，a ＋5)，令g (x )<0，即ax 2－x ＋5<0的解集为M ，则由题意得区间(m ，n )⊂M ∩N .①当a <0时，因为g (0)＝5>0，故只能g (a ＋5)＝a [(a ＋5)2－1]<0，即a >－4，或a <－6，又因为a >－5，所以－4<a <0，此时n ≤a ＋5<5.∵正整数m ，n ，∴m <n ≤4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧－4<a <0，4≤a ＋5<5，g （3）＝9a ＋2≤0，即－1≤a ≤－29时，n 的最大值为4. ②当a ＝0时，M ∩N ＝∅，不合题意，③当a >0时，因为g (0)＝5>0，所以g (a ＋5)＝a [(a ＋5)2－1]>0，故⎩⎪⎨⎪⎧0<12a <a ＋5，Δ＝1－20a >0无解，综上，n 的最大值为4，a 的取值范围是－1≤a ≤－29. 4．解 (1)依题意，a n ＝3a n －1(n ∈N *，n ≥2)， ∴数列{a n }为等比数列，且公比q ＝3.又S 4＝a 1（1－34）1－3＝80，∴a 1＝2.因此数列{a n }的通项公式a n ＝2·3n －1. (2)①由(1)知，a n ＋1＝2·3n ，依题意，d n ＝2·3n －2·3n －1n ＋1＝4·3n －1n ＋1，1d n ＝n ＋14·3n －1. ∴P n ＝24×1＋34×3＋44×32＋…＋n ＋14×3n －1，(*) 则13P n ＝24×3＋34×32＋…＋n 4×3n －1＋n ＋14·3n ，(**) (*)－(**)，23P n ＝12＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋132＋…＋13n －1－n ＋14·3n ＝12＋14·13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n －11－13－n ＋14·3n ＝58－2n ＋58·3n . ∴P n ＝1516－2n ＋516·3n －1. ②16P n ＋6n 3n ＝15－2n ＋53n －1＋6n 3n ＝15－153n ， 解不等式15－153n ≤40027，3n ≤81，则n ≤4. 所以n 的最大正整数为4.。

高三数学中档题训练(一)1、已知向量OA=3i-4j，OB=6i-3j，OC=(5-m)I-(3+m)j，其中i、j分别是直角坐标系内x轴与y轴正方向上的单位向量.①若A、B、C能构成三角形，求实数m应满足的条件；②若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，求实数m的值.2、已知数列{a n}的前n项之和为S n，且S n=a(a n-1)(a≠0，a≠1，n∈N n)(1)求数列{a n}的通项公式；(2)数列{b n}=2n+b(b是常数)，且a1=b1，a2>b2，求a的取值范围.3、如图，在三棱锥P-ABC 中，PA ⊥底面ABC ，△ABC 为正三角形，D 、E 分别是BC 、CA 的中点.(1)证明：平面PBE ⊥平面PAC ； (2)如何在BC 上找一点F ，使AD//平面PEF ？并说明理由； (3)若PA=AB=2，对于(2)中的点F ，求三棱锥B-PEF 的体积.4、某种细菌两小时分裂一次，(每一个细菌分裂成两个，分裂所需的时间忽略不计)，研究开始时有两个细菌，在研究过程中不断进行分裂，细菌总数y 是研究时间t 的函数，记作y=f(t)(1)写出函数y=f(t)的定义域和值域；(2)在所给坐标系中画出y=f(t)；(0≤t<6)的图象；(3)写出研究进行到n 小时(n ≤0，n ∈Z)时细菌的总数有多少个(用关于n 的式子表示).答案在第9页A B D CFP高三数学中档题训练(二)1、求函数x x x f 4131)(3-=的单调区间，并求f(sinx)的最大值.2、数列{a n }共有k 项(k 为定值)，它的前n 项和S n =2n 2+n(1≤n ≤k ，n ∈N)，现从k 项中抽取一项(不抽首项、末项)，余下的k-1项的平均值是79.(1)求数列{a n }的通项.(2)求出k 的值并指出抽取的第几项.3、若一个三棱锥的三个侧面中有两个是等腰直角三角形，另一个是边长为1的正三角形，试求所有的满足上述条件的三棱锥的体积.4、某服装公司生产的衬衫，若每件定价80元，则在某市年销售量为8万件. 若该服装公司在该市设立代理商来销售该衬衫，代理商要收取代销费，代销费是销售额的p%(即每销售100元时收取p 元). 为此，该衬衫每件的价格要提高到%180p 元，而每年销售量将减少0.62p 万件.(1)设该衬衫每年销售额为y 元，试写y 与p 的函数关系式，并指出这个函数的定义域； (2)若代理商对衬衫每年收取的代理费不小于16万元，求p 的取值范围.高三数学中档题训练(三)1、已知：A 、B 是△ABC 的两个内角，j BA i b A m 2sin 252cos ++-=，其中i 、j 为互相垂地的单位向量. 若|m |=423，试求tanA ·tanB 的值.2、如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB=AC=4,∠BAC=90°，侧面ABB 1A 1为正方形，D 为正方形ABB 1A 1的中心，E 为BC 的中点.(1)求证：平面DB 1E ⊥平面BCC 1B 1； (2)求异面直线A 1B 与B 1E 所成的角.1A 1C BA C D1B E3、某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与利率的平方成正比，比例系数为K(K>0)，货款的利率为4.8%，又银行吸收的存款能全部放货出去.(1)若存款的利率为x ，x ∈(0，0.048)，试写出存款量g(x)及银行应支付给储户的利息(x)；(2)存款利率定为多少时，银行可获得最大收益？4、已知函数f(x)=nxx a x a a n 2210a …++++(n ∈N n)，且y=f(x)的图象经过点(1，n 2)，数列{a n }(n ∈N +)为等差数列.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)当n 为奇函数时，设g(x)=)]()([21x f x f --,是否存在自然数m 和M ，使不等式m<g(21)<M 恒成立，若存在，求出M-m 的最小值；若不存在，说明理由.高三数学中档题训练(四)1、已知函数)R (2sin 3cos 2)(2∈++=a a x x x f ．（1）若x ∈R ，求f （x ）的单调递增区间；（2）若x ∈[0，2π]时，f （x ）的最大值为4，求a 的值，并指出这时x 的值．2、设两个向量1e 、2e ，满足|1e |＝2，|2e |＝1，1e 、2e 的夹角为60°，若向量2172e te +与向量21te e +的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．3、如图，平面VAD ⊥平面ABCD ，△VAD 是等边三角形，ABCD 是矩形，AB ∶AD ＝2∶1，F 是AB 的中点．（1）求VC 与平面ABCD 所成的角；（2）求二面角V -FC -B 的度数；（3）当V 到平面ABCD 的距离是3时，求B 到平面VFC 的距离．4、已知数列{n a }中531=a ，112--=n n a a （n ≥2，+∈N n ），数列}{n b ，满足11-=n n a b（1）求证数列{n b }是等差数列；（2）求数列{n a }中的最大项与最小项，并说明理由； （3）记++=21b b S n …n b +，求1)1(+-n nS b n高三数学中档题训练(一)答案1、①当m ≠21时，A 、B 、C 三点能构成三角形； ②当m=47时，三角形ABC 为直角三角形，且∠A=90°.2、(1)n n a a a )1(-= (2))2,1()1,21(⋃3、(1) ∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥BE又∵△ABC 是正三角形，且E 为AC 的中点，∴BE ⊥CA又PA A CA =⋂，∴BE ⊥平面PAC ∵BE ⊂平面PBE ，∴平面PBE ⊥平面PAC. (2)取CD 的中点F ，则点F 即为所求. ∵E 、F 分别为CA 、CD 的中点，∴EF//AD 又EF ⊂平面PEF ，AD ⊄平面PEF ，∴AD//平面PEF. (3)43 4、 (1)函数y=f(t)的定义域为[0，+∞)；值域为{y|y=2n，n ∈N *} (2)(3)y=⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅-为奇数时当为偶数当n n n,22n ,22212 高三数学中档题训练(二)答案1、f(sinx)有最大值121. 2、(1)a n =4n-1(1≤n ≤k) (2)抽取的是第20项. 3、1 2 3 4 5 6x12 3 4 5 6 78y4、解：(1))31400p (0 )62.08(%180<<--=p p y(2)16100)6.08(%180≥⨯--pp p 10311000100411.32≤≤∴≤+-∴p p p高三数学中档题训练(二)答案1、91 2、(1)证明：延长B 1D 至A ，连结AE∵三棱柱为直三棱柱，∴平面BCC 1B 1⊥平面ABC 又△ABC 中AB=AC ，E 为AB 中点 ∴AE ⊥BC ∴AE ⊥平面BCC 1B 1又∵AC ⊂平面B 1DE ∴平面B 1DE ⊥平面BCC 1B 1 (2)63 3、(1)由题意，存款量g(x)=Kx 2，银行应支付的利息h(x)=x ·g(x)=Kx 36(2)存款利率为3.2%时，银行可获得最大利益4、(1)据题意：f(1)=n 2 即a 0+a 1+a 2+……+a n =n 2令n=1 则a 0+a 1=1，a 1=1-a 0 令n=2 则a 0+a 1+a 2=22，a 2=4-(a 0+a 1)=4-1=3令n=3 则a 0+a 1+a 2+a 3=32，a 3=9-(a 0+a 1+a 2)=9-4=5 ∵{a n }为等差数列 ∴d=a 3-a 2=5-3=2 a 1=3-2=1 a 0=0 a n =1+(n-1)·2=2n-1(2)由(1)f(x)=a 1x 1+a 2x 2+a 3x 3+…+a n x nn 为奇数时，f(-x)=-a 1x 1+a 2x 2-a 3x 3+…+a n-1x n-1-a n x ng(x)=n n n n x a x a x a x a x a x f x f +++++=----22553311)]()([21n n n n g )21)(12()21)(52()21(9)21(5211)21(253-+-++⋅+⋅+⋅=-2753)21)(12()21)(52()21(9)21(5)21(1)21(41+-+-++⋅+⋅+⋅=n n n n g相减得 253)21)(12(])21()21()21[(4211)21(43+--++++⋅=n n n g∴n n n g )21(32)21(913914)21(+-= 令n n n C )21(32= ∵*1N n ,021)21(32∈≤-⋅⋅=-+n C C n n n ∴C n+1≤C n ，C n 随n 增大而减小 又n )21(913⋅随n 增大而减小 ∴g(21)为n 的增函数，当n=1时，g(21)=21 而914)21(32)21(913914<-⋅-n n n 914)21(21<≤∴g ∴使m<g(21)<M 恒成立的自然m 的最大值为0，M 最小值为2. M-m 的最小值为2.高三数学中档题训练(三)答案解析：1、（1）a x a x x x f +++=+++=1)6π2sin(212cos 2sin 3)(． 解不等式2ππ26π22ππ2+≤+≤-k x k ． 得)Z (6ππ3ππ∈+≤≤-k k x k∴ f （x ）的单调增区间为3ππ[-k ，)Z ](6ππ∈+k k ．（2）∵ 0[∈x ，2π]， ∴ 6π76π26π≤+≤x ．∴ 当2π6π2=+x 即6π=x 时，a x f +=3)(max ． ∵ 3＋a ＝4，∴ a ＝1，此时6π=x ． 2、解析：由已知得421=e ，122=e ，160cos 1221=⨯⨯=⋅ e e ．∴ 71527)72(2)()72(222212212121++=+++=++⋅t t te e e t te te e e te ． 欲使夹角为钝角，需071522<++t t ． 得 217-<<-t ． 设)0)((722121<+=+λte e i e te ． ∴ ⎩⎨⎧==λλt t 72，∴ 722=t ．∴ 214-=t ，此时14-=λ． 即214-=t 时，向量2172e te +与21te e +的夹角为π ． ∴ 夹角为钝角时，t 的取值范围是（-7，214-） （214-，21-）． 3、解析：（甲）取AD 的中点G ，连结VG ，CG ．（1）∵ △ADV 为正三角形，∴ VG ⊥AD ．又平面VAD ⊥平面ABCD ．AD 为交线，∴ VG ⊥平面ABCD ，则∠VCG 为CV 与平面ABCD所成的角．设AD ＝a ，则a VG 23=，a DC 2=． 在Rt △GDC 中， a a a GD DC GC 23422222=+=+=． 在Rt △VGC 中，33tan ==∠GC VG VCG ． ∴ 30=∠VCG ． 即VC 与平面ABCD 成30°．（2）连结GF ，则a AF AG GF 2322=+=． 而 a BC FB FC 2622=+=． 在△GFC 中，222FC GF GC +=． ∴ GF ⊥FC ．连结VF ，由VG ⊥平面ABCD 知VF ⊥FC ，则∠VFG 即为二面角V -FC -D 的平面角． 在Rt △VFG 中，a GF VG 23==． ∴ ∠VFG ＝45°． 二面角V -FC -B 的度数为135°．（3）设B 到平面VFC 的距离为h ，当V 到平面ABCD 的距离是3时，即VG ＝3． 此时32==BC AD ，6=FB ，23=FC ，23=VF ． ∴ 921==⋅∆FC VF S VFC ， 2321==⋅∆BC FB S BFC ． ∵ VCF B FCB V V V --=， ∴ VFC FBC S h S VG ∆∆⋅⋅⋅⋅=3131． ∴ 93123331⋅⋅=⨯⨯h ． ∴ 2=h 即B 到面VCF 的距离为2解析：（1）4、4、 4、1112111111-=--=-=---n n n n n a a a a b ， 而 1111-=--n n a b ， ∴ 11111111=-=-=-----n n n n n a a a b b ．)(+∈N n ∴ {n b }是首项为251111-=-=a b ，公差为1的等差数列． （2）依题意有n n b a 11=-，而5.31)1(25-=-+-=⋅n n b n ， ∴ 5.311-=-n a n ． 对于函数5.31-=x y ，在x ＞3.5时，y ＞0，0<y'，在（3.5，∞+）上为减函数． 故当n ＝4时，5.311-+=n a n 取最大值3 而函数5.31-=x y 在x ＜3.5时，y ＜0，0)5.3(12<--=x y'，在（∞-，3.5）上也为减函数．故当n ＝3时，取最小值，3a ＝-1． （3）2)5)(1(2)25225)(1(1-+=-+-+=+n n n n S n ，5.3-=n b n ，∴ ∞→+∞→=-+--=-n n n n n n n n S b n 2)5)(1()5.3)(1(2lim )1(lim 1．。