期末复习江苏高中数学高一数学必修一复习资料及例题

高一上学期期末总复习第一章集合与命题1．集合的概念、运算(1)集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性，是判断某些对象能否构成一个集合或判断两集合是否相等的依据．(2)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．(3)集合间的关系：子集、真子集、空集、集合相等，在集合间的运算中要注意空集的情形．(4)重要结论A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔B⊆A.2．命题(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)含有量词的命题的否定：“∀”的否定是“∃”，“∃”的否定是“∀”;“≥”的否定是“＜”，“＞的否定是“≤”；“＜”的否定是“≥”，“≤”的否定是“＞”；“=”的否定是“≠”，“≠”的否定是“＝”；“至多有一个（x≤1）”的否定是“至少有两个（x＞1）”；“至少有一个”的否定是“没有一个”；“全都是”的否定是“不全都是”；3．充要条件A BB A练一练：1. 甲：x≠2或y≠3；乙：x＋y≠5，则( B )A．甲是乙的充分不必要条件B．甲是乙的必要不充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件2. 已知集合A ＝{x |x 2＋x －2＝0}，B ＝{x |ax ＝1}，若A ∩B ＝B ，则a 等于( D )A ．－12或1B ．2或－1C ．－2或1或0D ．－12或1或03. 设集合M ＝{y |y －m ≤0}，N ＝{y |y ＝2x －1，x ∈R }，若M ∩N ≠∅，则实数m 的取值范围是 m >－1 ．4. 已知a ∈R ，b ∈R ，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 019＋b 2 019＝ -15. 设全集U={不大于20的质数}，A ∩ CuB = { 3，5 }，CuA ∩ B = { 7，19 }， CuA ∩ CuB = { 2，17 } ，则A= {3，5，11，13} ，B= {7，11，13，19}6. (1)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．(2)设U ＝R ，集合A ＝{x |x 2＋3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0}．若(∁U A )∩B ＝∅，求m 的值．解：(1)当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2.当B ≠∅时，若B ⊆A ，．则⎩⎨⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1<2m －1，解得2<m ≤4. 综上，m 的取值范围是(－∞，4]．(2)A ＝{－2，－1}，由(∁U A )∩B ＝∅，得B ⊆A ，∵方程x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0的判别式Δ＝(m ＋1)2－4m ＝(m －1)2≥0，∴B ≠∅. ∴B ＝{－1}或B ＝{－2}或B ＝{－1，－2}． ①若B ＝{－1}，则m ＝1；②若B ＝{－2}，则应有－(m ＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m ＝(－2)·(－2)＝4，这两式不能同时成立，∴B ≠{－2}；③若B ＝{－1，－2}，则应有－(m ＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m ＝(－1)·(－2)＝2， 由这两式得m ＝2.经检验知m ＝1和m ＝2符合条件．∴m ＝1或2.第二章 不等式1． 不等式的基本性质(1)对称性：a >b ⇔b <a . (2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c . (3)加法法则：a >b ⇔a ＋c >b ＋c . (4)乘法法则：a >b ，c >0⇒ac >bc .a >b ，c <0⇒ac <bc .(5)同向不等式可加性：a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d . (6)同向同正可乘性：a >b >0，c >d >0⇒ac >bd . (7)乘方法则：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥1)． (8)开方法则：a >b >0⇒na >nb (n ∈N ，n ≥2)．2． 一元二次不等式的解法解一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)或ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)，可利用一元二次方程，一元二次不等式和二次函数间的关系．一元二次不等式的解集如下表所示：判别式Δ＝b 2－4acΔ>0 Δ＝0 Δ<0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的根有两相异实根x 1，x 2(x 1<x 2) 有两相等实根x 1＝x 2＝－b2a没有实数根不等式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)的解集 {x |x >x 2或x <x 1}{x |x ∈R且x≠－b 2a}R不等式ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集 {x |x 1< x <x 2}∅∅3． 基本不等式：a ＋b2≥ab (a >0，b >0)利用基本不等式求最值要注意“一正二定三相等”．一正：A 、B 都必须是正数二定： 1.在A+B 为定值时，便可以知道A·B 的最大值；2.在A·B 为定值时，便可以知道A+B 的最小值．三相等：当且仅当A 、B 相等时，等式成立；即①A=B ↔ A+B=2√AB； ② A≠B ↔ A+B>2√AB．练一练：1. 不等式 x －12x ＋1 ≤0的解集为 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，12. 已知全集为R ，集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12x ≤1，B ＝{}x |x 2－6x ＋8≤0，则A ∩∁R B 等于 ( C ) A ．{x |x ≤0} B ．{x |2≤x ≤4} C ．{x |0≤x <2或x >4} D ．{x |0<x ≤2或x ≥4}3. 不等式|x －8|－|x －4|＞2的解集为__ {x |x ＜5}__．4. 已知13,24a b a b -<+<<-<，求23a b +的取值范围 答案：（- ，）5. 设x 、y ∈R + 且yx 91+=1,则x y +的最小值为___16___. 6. 不等式226128x x +-≤的解集为 [-1 , 3 ] ． 第三章 函数的基本性质1．函数的三要素：定义域、值域、对应关系两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一个函数，定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数． 2．函数的单调性(1)单调性的定义的等价形式：设x 1，x 2∈[a ，b ]，那么(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0⇔f x 1－f x 2x 1－x 2>0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0⇔f x 1－f x 2x 1－x 2<0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．(2)若函数f (x )和g (x )都是减函数，则在公共定义域内，f (x )＋g (x )是减函数；若函数f (x )和g (x )都是增函数，则在公共定义域内，f (x )＋g (x )也是增函数；根据同增异减判断复合函数y ＝f [g (x )]的单调性． 3．函数的奇偶性(1)f (x )为奇函数⇔f (－x )＝－f (x )⇔f (－x )＋f (x )＝0；f (x )为偶函数⇔f (x )＝f (－x )＝f (|x |)⇔f (x )－f (－x )＝0.只有当定义域关于原点对称时，这个函数才能具有奇偶性．(2)f (x )是偶函数⇔f (x )的图象关于y 轴对称；f (x )是奇函数⇔f (x )的图象关于原点对称． (3)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性．(4)若f (x ＋a )为奇函数⇒f (x )的图象关于点(a,0)中心对称；若f (x ＋a )为偶函数⇒f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．(5)在f (x )，g (x )的公共定义域上：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶， 奇×偶＝奇． 4．函数的图像对于函数的图象要会作图、识图、用图．作函数图象有两种基本方法：一是描点法，二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．重要结论：(1)若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，即f (x )＝f (2a －x )，则f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．(2)若f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称．(3)若函数y ＝f (x )满足f (x )＝2b －f (2a －x )，则该函数图象关于点(a ，b )成中心对称． 5．二次函数(1)求二次函数在某段区间上的最值时，要利用好数形结合，特别是含参数的两种类型：“定轴动区间，定区间动轴”的问题，抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指的是对称轴． (2)注意三个“二次”的相互转化解题(3)二次方程实根分布问题，抓住四点：“开口方向、判别式Δ、对称轴位置、区间端点函数值正负．”6．函数与方程 (1)函数的零点对于函数f (x )，我们把使f (x )＝0的实数x 叫做函数f (x )的零点． (2)零点存在性定理如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f (a )·f (b )<0，那么函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )使得f (c )＝0. 注意以下两点：①满足条件的零点可能不唯一； ②不满足条件时，也可能有零点． 练一练：1. 如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( D )A ．a >－14B ．a ≥－14C ．－14≤a <0D ．－14≤a ≤02. 求函数的解析式(1)若f(2x-1)=x 2，求f(x)；（2）已知3()2()3f x f x x +-=+，求()f x . 解：(1) ∵f(2x-1)=x 2，∴令t=2x-1，则12t x +=2211()(),()()22t x f t f x ++∴=∴= （2）因为3()2()3f x f x x +-=+，①x 用x -代替得3()2()3f x f x x -+=-+，②由①②消去()f x -，得3()5f x x =+. 3. 在下列区间中，函数f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为( C )A ．(－14，0)B ．(0，14)C ．(14，12)D ．(12，34)4. 已知f(x)=x 5+ax 3-bx-8，且f(-2)=10，则f(2) = -265． 已知函数f (x )＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上的最大值为3，最小值为2，则m 的取值范围为多少？解：∵f (x )＝(x －1)2＋2，其对称轴为x ＝1当x ＝1时，f (x )min ＝2，故m ≥1=又∵f (0)＝3，f (2)＝3，∴m ≤2.综上可知1≤m ≤2.6. 已知：函数1()f x x x=+（1）作出f （x ）的图像；（2）若x ＞1，证明f （x ）的单调性（2） 设x 1，x 2是定义域上的任意实数，且1 < x 1< x 2，则12121211f (x )f (x )x (x )x x -=+-+121211()(x -x +-)x x =211212x x (x x )x x -=-+12121212121(x x )(1)x x x x 1(x x )()x x =---=-7. 作出下列函数的图像并判断单调区间(1)y=x 2-3|x|+2； (2)2|1|(-2)y x x =-+（1）f(x)在3--2⎛⎤∞ ⎥⎝⎦，上递减，在33[-,0][0,]22上递增，在上递减，在3+2⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭，上递增. （2）f(x)在(][)-12+∞∞，上递减，在，上递增.8. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．解 (1)∵函数f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )．当x >0时，－x <0，有(－x )2－mx ＝－(－x 2＋2x )， 即x 2－mx ＝x 2－2x . ∴m ＝2.(2)由(1)知f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋2x ，x <0，当x >0时，f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1， 当x ∈(0,1]时，f (x )单调递增． 当x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1， 当x ∈[－1,0)时，f (x )单调递增．综上知：函数f (x )在[－1,1]上单调递增．又函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增．∴⎩⎨⎧a －2>－1，a －2≤1，解之得1<a ≤3.故实数a 的取值范围是(1,3]．9.（1）已知偶函数()f x 的定义域是R ，当0x ≤时2()31f x x x =--，求()f x 的解析式.（2）已知奇函数()g x 的定义域是R ，当0x >时2()21g x x x =+-，求()g x 的解析式.答案：（1）2231(0)()31(0)x x x f x x x x ⎧+->⎪=⎨--≤⎪⎩；（2）2221(0)()0021(0)x x x g x x x x x ⎧+->⎪==⎨⎪-++<⎩ （）第四章 幂函数、指数函数、和对数函数1. 幂函数（1）幂函数概念形如()y x R αα=∈的函数，叫做幂函数，其中α为常数.（2）幂函数的图象及性质作出下列函数的图象：(1)x y =；(2)21x y =；(3)2x y =；(4)1-=x y ；(5)3x y =．幂函数的共同性质：(1)所有的幂函数在(0，+∞)都有定义，并且图象都过点(1，1)；(2)0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地，当1>α时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸；(3)0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．（3）幂函数值大小的比较比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法．比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小．常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小． 2. 指数函数（1）指数函数的概念：函数y=a x (a>0且a≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，a 为常数，函数定义域为R.（2）指数函数的图象及性质：（3）指数式大小比较方法(1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较.(2)中间量法 (3)分类讨论法 (4)比较法比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：①若0A B A B ->⇔>；0A B A B -<⇔<；0A B A B -=⇔=； ②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断1A B >，或1AB<即可 3. 对数函数（1）对数的定义1若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a叫做底数，N 叫做真数．2负数和零没有对数．3对数式与指数式的互化：log (0,1,0)xa x N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a aM M N N-= ③数乘：log log ()na a n M M n R =∈ ④log a NaN =⑤log log (0,)b na a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且（5）对数函数定义一般地，函数()log 0,1a y x a a =>≠且叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域()0,+∞．（6）对数函数性质：4. 反函数（1）反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x fy -=，习惯上改写成1()y f x -=．（2）反函数的性质1 原函数()y f x =与反函数1()y fx -=的图象关于直线y x =对称．2 函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y fx -=的值域、定义域．3 若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y fx -=的图象上．4 一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数． 练一练： 1. 计算（1） 2221log log 12log 422-；原式=122221log 12log log 22-⎛⎫===- （2）33lg 2lg 53lg 2lg 5++；原式=()()22lg 2lg5lg 2lg 2lg5lg 53lg 2lg5+-++=()2lg10lg 5lg 23lg 2lg 53lg 2lg 5⎡⎤⋅+-+⎣⎦=1-3lg 2lg5+3lg 2lg5=1（3）222lg5lg8lg5lg 20lg 23+++；原式=()22lg52lg2lg51lg2lg 2++++ =()2lg5lg2lg5lg2(lg2lg5)++++ =2+lg5lg 2+=3； （4）lg0.7lg20172⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭令x =lg0.7lg20172⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭，两边取常用对数得lg0.7lg 201lg lg 72x ⎡⎤⎛⎫=⋅⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=()1lg2lg7(lg71)(lg2)++--=lg7lg 2lg7lg 2lg7lg 2+-+ =lg1414,x ∴=即lg0.7lg20172⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭=14．2. 已知18log 9,185ba ==，求36log 45．解法一：181818183618181818log 45log (95)log 9log 5log 4518log 36log (182)1log 221log 9a b a ba ⨯+++=====⨯+-+．解法二：18log 9,185ba ==，lg9lg18,lg5lg18ab ∴==，362lg 45lg(95)lg9lg5lg18lg18log 4518lg362lg18lg92lg18lg182lg 9a b a ba a ⨯+++∴=====---． 3. 下列函数中，没有反函数的是 （ D ）A. y = -1 (x ＜ - )B. y = + 1 ( x ∈ R )C. y = ( x ∈R ，x ≠1 )D. y= | x | ( x ∈ R )4. 已知函数f （x ）= （x ＜-1），那么（2）= -25. 对任意不等于1的正数a ，函数f （x ）= 的反函数的图像都经过点P ，则P 的坐标是 （ 0，-2） .6. （1）已知函数2lg(2)y x x a =++的定义域为R ，求实数a 的取值范围；（2）已知函数2lg(2)y x x a =++的值域为R ，求实数a 的取值范围；（3）22()log (log )a a f x x x =-+的定义域为1(0,)2，求实数a 的取值范围．（1）2lg(2)y x x a =++的定义域为R ，∴220x x a ++>恒成立，∴440a ∆=-<，∴1a >．（2）2lg(2)y x x a =++的值域为R ， ∴22x x a ++取遍一切正数，∴440a ∆=-≥，∴1a ≤．（3）由题意，问题可等价转化为不等式22log 0a x x -<的解集为10,2⎛⎫⎪⎝⎭，记2122:,:log ,a C y x C y x ==作图形12C C 与，如图所示，只需2C 过点1124⎛⎫⎪⎝⎭，，∴021a <<，即满足102a <<，且2211log ()22a =即可，解得132a =．所以由图象可以看出若12C C <，则211log 24a ≥，即()14122a ≥，得：132a ≥，所以11,322a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭。

江苏高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.已知集合，，则．2.幂函数的图象过点，则．3.函数的最小正周期为．4.已知扇形的圆心角为，半径为，则该扇形的面积为_________．5.已知点在线段上，且，设，则实数．6.函数的定义域为．7.求值：．8.角的终边经过点，且，则．9.方程的解为．10.若，且，则向量与的夹角为．11.若关于的方程在内有解，则实数的取值范围是．12.下列说法中，所有正确说法的序号是．①终边落在轴上的角的集合是；②函数图象的一个对称中心是；③函数在第一象限是增函数；④为了得到函数)的图象，只需把函数的图象向右平移个单位长度.13.若函数且有最大值，则实数的取值范围是．14.已知，若对任意的有恒成立，则实数的取值范围是．二、解答题1.已知集合，．⑴若，求；⑵若，求实数的取值范围．2.如图，在矩形中，点是边上的中点，点在边上．⑴若点是上靠近的三等分点，设，求的值；⑵若，当时，求的长．3.已知向量，其中．⑴若//，求的值；⑵若，求的值．4.已知函数的部分图象如图所示．⑴求和的值；⑵求函数在的单调增区间；⑶若函数在区间上恰有个零点，求的最大值．5.扬州瘦西湖隧道长米，设汽车通过隧道的速度为米/秒．根据安全和车流的需要，当时，相邻两车之间的安全距离为米；当时，相邻两车之间的安全距离为米（其中是常数）．当时，，当时，．⑴求的值；⑵一列由辆汽车组成的车队匀速通过该隧道（第一辆汽车车身长为米，其余汽车车身长为米，每辆汽车速度均相同）．记从第一辆汽车车头进入隧道，至第辆汽车车尾离开隧道所用的时间为秒．①将表示为的函数；②要使车队通过隧道的时间不超过秒，求汽车速度的范围．6.已知，．⑴求的解析式；⑵求时，的值域；⑶设，若对任意的，总有恒成立，求实数的取值范围.江苏高一高中数学期末考试答案及解析一、填空题1.已知集合，，则．【答案】【解析】由题：，，【考点】集合的并集运算.2.幂函数的图象过点，则．【答案】；【解析】由题为幂函数，可设：，代入点，得：即：，所以：【考点】幂函数的概念及待定系数法求函数解析式.3.函数的最小正周期为．【答案】；【解析】由题得：【考点】正切函数的周期.4.已知扇形的圆心角为，半径为，则该扇形的面积为_________．【答案】；【解析】由题圆心角为，半径为；则：【考点】弧度制下的扇形面积算法.5.已知点在线段上，且，设，则实数．【答案】；【解析】由题：，即；,则【考点】共线向量的几何意义.6.函数的定义域为．【答案】且；【解析】由题：得：，解得定义域为：且【考点】常见函数定义域的算法.7.求值：．【答案】；【解析】【考点】对数的运算性质.8.角的终边经过点，且，则．【答案】4；【解析】由题：因为：，【考点】三角函数的定义.9.方程的解为．【答案】；【解析】由题，，，得：【考点】指数方程的解法即换元法.10.若，且，则向量与的夹角为．【答案】；【解析】由题：得：【考点】向量垂直的性质及向量乘法的定义.11.若关于的方程在内有解，则实数的取值范围是．【答案】；【解析】由题得：对称轴为：，在有解，由零点判定定理得：【考点】换元法及函数思想.12.下列说法中，所有正确说法的序号是．①终边落在轴上的角的集合是；②函数图象的一个对称中心是；③函数在第一象限是增函数；④为了得到函数)的图象，只需把函数的图象向右平移个单位长度.【答案】②④；【解析】由题①终边落在轴上的角的集合应是；③反例为：，单调性为给定区间上的性质.②④正确.【考点】三角函数的性质.13.若函数且有最大值，则实数的取值范围是．【答案】；【解析】由题令：，则抛物线开口向下，∴函数t有最大值，在定义域上单调，且t＞0∴要使函数有最大值，则在定义域上单调递增，则＞1，又，则由t＞0得，，解得：或，又因为，则即实数的取值范围是（2，+∞）．【考点】对数型复合函数的单调性与最值.14.已知，若对任意的有恒成立，则实数的取值范围是．【答案】；【解析】由对任意的有恒成立，若得：因为恒成立，不可能.则当因为，得则代入，得：，恒成立，令。

必修一复习题姓名 学号一．填空题1．设集合A ＝{x │3x ＜35}，B ＝{ x │x 2－4x ＋3≥0}，则集合P ＝{x │x ∈A 且x ∉A ∩B }＝ ．(1，3) 2．集合{ x │x 2＋x －2≤0，x ∈Z }中所有元素的乘积为 ．03．已知偶函数f (x )在[1，4]上是单调增函数，则f (－π) f (log 218)．（填“＞”或“＜” 或“＝”）4．方程log 3(x 2－10)＝1＋log 3x 的解为 ． 55．已知定义域为R 的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x ＋4)，当x ＞2时，f (x )单调递增．如果 x 1＋x 2＜4且(x 1－2)(x 2－2)＜0，则f (x 1)＋f (x 2) 0．6．已知方程x 3－2x －5＝0在区间(2，3)上恰有一个解．现用二分法求该方程在区间(2，3)上的近似解，取区间中点x 0＝2.5，那么下一个有解区间为 ．(2，2.5)7．若函数f (x )＝212x xk k -+⋅（k 为常数）在定义域上为奇函数，则k ＝ ．±18．设f (x )是定义在R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，f (13)＝0，则不等式f (log 0.125x )＞0的解集为 ． 9．已知f (x )＝1230430x x x x x -⎧≥⎪⎨++<⎪⎩， ，，，则方程f (x )＝2的实数根的个数是 ． 310．已知f (x )＝(31)4(1)log (1)a a x a x xx -+<⎧⎨≥⎩是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是 ．[71，31)11．在以下三个函数：①y ＝－x 2，②y ＝x ，③y ＝2x 中，能使其定义域内任意两个相异的自变量的值x 1，x 2，均有122x x f +⎛⎫⎪⎝⎭＜12()()2f x f x +成立的函数是 ．（把你认为正确的函数序号都填上）③ 12．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x 2和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得最大利润为 ． 解：依题意可设甲销售x 辆，则乙销售(15－x )辆，∴总利润S ＝5.06x －0.15x 2＋2(15－x )＝－0.15x 2＋3.06x ＋30(x ≥0)．∴当x ＝10时，S max ＝45.6(万元)．13．对于区间[a ，b ]上有定义的两个函数f (x )和g (x )，若对于x ∈[a ，b ]，均有│f (x )－g (x )│≤1，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是接近的．已知函数f (x )＝log 2(tx ＋1)和g (x )＝log 2x 在区间[1，2]上是接近的，那么t 的取值范围是 ．[0，1]14．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒，已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为y ＝(116)t －a (a 为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的函数关系为 ；（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室．解：(1)设y ＝kt ，由图象知y ＝kx 过点(0.1，1)，则1＝k ×0.1，k ＝10，∴y ＝10t (0≤t ≤0.1)；由y ＝(116)t －a 过点(0.1，1)得1＝(116)0.1－a ，a ＝0.1，∴y ＝(116)t －0.1(t ＞0．1)．(2)由(116)t －0.1≤0.25＝14得t ≥0.6，故至少需经过0.6小时．答案：(1)y ＝0.110, 00.11, 16>0.1t t t t -≤≤⎧⎪⎨⎪⎩()， (2)0.6．二．解答题15．设a ＜b ，c ＜d ，按a ，b ，c ，d 的各种大小关系，[a ，b ]∩[c ，d ]有不同的答案． （1）下列答案：①∅；②[c ，b ]；③[a ，b ]分别对应于什么条件？ （2）写出其他所有可能的答案（只写答案）． 解：（1）①当b ＜c 或d ＜a 时，[a ，b ]∩[c ，d ]＝∅；②当a ≤c ＜b ≤d 时，[a ，b ]∩[c ，d ]＝[c ，b ]； ③当c ≤a ＜b ≤d 时，[a ，b ]∩[c ，d ]＝[a ，b ]．（2）[a ，b ]∩[c ，d ]其他所有可能的答案有：[a ，d ]；{a }（或{d }）；{b }（或{c }）；[c ，d ]． (说明：第（1）小题中条件无等号的，各扣1分；第（2）小题少一个答案，扣2分；若答成“{}{}x a x d x c x d ≤≤≤≤；”，不扣分) 16．对于函数f (x )＝log 0．5(x 2－2ax ＋3)，解答下列问题: （1）若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围； （2）若f (x )的值域为R ，求实数a 的取值范围；（3）若函数f (x )在[－1，＋∞) 内有意义，求实数a 的取值范围； （4）若函数f (x )的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)，求实数a 的值； （5）若函数f (x )的值域为(－∞，－1]，求实数a 的值； （6）若函数f (x )在(－∞，1]内为增函数，求实数a 的取值范围．17．已知函数f (x )＝2121x x -+，（1）判断函数f (x )的奇偶性；（2）求证：f (x )在R 为增函数；（3）求证：方程f (x )－ln x ＝0至少有一根在区间(1，3)内．18．已知函数f (x )＝x ＋a x ，g (x )＝x －ax，a ＜22 －3．（1）求证：函数f (x )在(0，1]上单调递增；（2）函数g (x )在（0，1]上单调递减，求a 的取值范围．解：设0＜x 1＜x 2≤1，（1）∵a ＜0，∴f (x 1)－ f (x 2)＝( x 1－x 2)(1－ax 1x 2)＜0，∴f (x )在(0，1)上递增．（2）∵g (x 1)－ g (x 2)＝( x 1－x 2)(1－a x 1x 2 )＞0，∴1＋ax 1x 2＜0，a ＜－x 1x 1，而－x 1x 1→－1，∴ a ≤－1．19．某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为了鼓励销售商订购，决定每一次订购量超过100个时，每多订购一个，多订购的全部零件的出厂单价就降0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．（1）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？（2）设一次订购量为x 个，零件的实际出厂单价为P 元，写出函数P ＝f (x )的表达式．（3）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？解：(1)设每个零件的实际出厂价格恰好降为51元时，一次订购量为x 0个，则x 0＝100＋60－510.02＝550．因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元．(2)当0＜x ≤100时，P ＝60；当100＜x ＜550时，P ＝60－0．02(x －100)＝62－x50；当x ≥550时，P ＝51．所以P ＝f (x )＝60(0 100),62(100550),().5051(550),x x x x N x <≤⎧⎪⎪-<<∈⎨⎪⎪≥⎩(3)设销售商的一次订购量为x 个时，工厂获得的利润为L 元，则 L ＝(P －40)x ＝220(0 100),22(100550),().5011(550),xx x x x x N xx <≤⎧⎪⎪-<<∈⎨⎪⎪≥⎩当x ＝500时，L ＝6000；当x ＝1000时，L ＝11000．因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元；如果订购1000个，利润是11000元．20．设函数f (x )＝ax －3，g (x )＝2b c x x+(a ，b ∈R )满足f (0)＋g (1)－g (－12)＝0．（1）求g (－1)的值； （2）若b ＝1，且函数F (x )＝ f (x )＋g (x )在[12，＋∞)上是单调增函数，求a 的取值范围． 解：（1）因为()1(0)(1)02f g g +--=，所以3()(24)0b c b c -++--+=，即10b c --=．所以(1) 1.g b c -=-+=-（2）若b ＝1，则c ＝0，于是1()g x x =．所以1()()()3F x f x g x ax x=+=+-．若0a ≤，则1()3F x ax x =+-在)12⎡+∞⎢⎣，上是单调减函数，所以0.a >下证函数1()3F x ax x =+-在0⎛ ⎝是单调减函数，在⎫+∞⎪⎭上是单调增函数: 121212121212()(1)11()()33x x ax x F x F x ax ax x x x x --⎛⎫⎛⎫-=+--+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．当120x x <<时，有1212100x x x x a -<<<，，所以12121212()(1)()()0x x ax x F x F x x x ---=>；12x x <时，有121210x x x x a -<>，，所以12121212()(1)()()0x x ax x F x F x x x ---=<．因为函数()F x 在)12⎡+∞⎢⎣，上是单调增函数，所以)12⎫⎡+∞⊂+∞⎪⎢⎣⎭，，12，解得4a ≥．故a 的取值范围是[)4+∞，．。

高中数学必修一专题复习--详细整理附带
习题【人教版】
本文档是针对高中数学必修一的专题复，详细整理了各个知识点，并附带了相应的题。

以下是各个专题的内容概要：
1. 函数
- 函数及其表示方法
- 常用函数的性质和图像
- 函数的运算与初等函数的复合
- 函数的单调性和奇偶性
- 函数的解析式及其应用
2. 三角函数
- 三角函数的概念和基本性质
- 三角函数的图像和性质
- 三角函数的和差化积公式
- 三角函数的倍角公式和半角公式
- 三角函数的解析式及其应用
3. 数列与数学归纳法
- 等差数列和等差数列的前n项和
- 等比数列和等比数列的前n项和
- 数学归纳法的基本原理和应用
4. 平面向量
- 平面向量的定义和运算
- 平面向量的数量积和向量积
- 平面向量的坐标表示和平面向量的夹角
- 平面向量的共线与垂直
5. 解析几何基础
- 直线和线段的表示和性质
- 平面和面积的表示和性质
- 二次曲线和椭圆、双曲线的表示和性质
为了帮助同学们更好地复习，本文档附带了大量的习题。

复习时，可以先阅读相关知识点的介绍，然后尝试做相应的习题巩固所学内容。

希望本文档能对同学们的高中数学必修一复习有所帮助！。

高一第一学期期末复习（一）（集合）【知识梳理】1．集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、Venn图．思考：A＝{x|y＝x2＋1}；B＝{y|y＝x2＋1}；C＝{(x，y)|y＝x2＋1}．问：(1)它们是不是相同的集合？(2)它们各自的含义是什么？(4)常见数集的记法2.集合间的基本关系（1）A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔B⊆A ；A∩B＝A∪B ⇔ A＝B（2）若一个集合A有n个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集，2n－2个非空真子集．【考点突破】一、集合的含义与表示1.下列各组集合中表示同一集合的是()A．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)} B．M＝{2,3}，N＝{3,2}C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1} D．M＝{2,3}，N＝{(2,3)}答案 B2.设集合A中含有三个元素2x－5，x2－4x,12，若－3∈A，则x的值为________．答案 3解析∵－3∈A，∴－3＝2x－5或－3＝x2－4x.①当－3＝2x－5时，解得x＝1，此时2x－5＝x2－4x＝－3，不符合元素的互异性，故x≠1；②当－3＝x2－4x时，解得x＝1或x＝3，由①知x≠1，且x＝3时满足元素的互异性．综上可知x＝3.3.设A＝{1,4，x}，B＝{1，x2}，且A∩B＝B，则x的可能取值组成的集合为________．答案{0,2，－2}解析∵A∩B＝B，∴B⊆A，∴x2＝4或x2＝x，解得x＝－2,0,1,2，当x＝1时，A，B均不符合互异性，∴x≠1，故x＝±2,0.4.已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{(x，y)|x≥y，x∈A，y∈A}中元素的个数是．答案 6解析 当x ＝0时，y ＝0；当x ＝1时，y ＝0或y ＝1；当x ＝2时，y ＝0,1,2.5.给出下列四个命题，其中正确的命题是________．(填序号)①{(x ，y )|x ＝1或y ＝2}＝{1,2}； ②{x |x ＝3k ＋1，k ∈Z }＝{x |x ＝3k －2，k ∈Z }；③由英文单词“apple ”中的所有字母组成的集合有15个真子集；④设2 021∈{x ，x 2，x 2}，则满足条件的所有x 组成的集合的真子集的个数为3.答案 ②③④解析 ①中左边集合表示横坐标为1，或纵坐标为2的所有点组成的集合，即x ＝1和y ＝2两直线上所有点的集合，右边集合表示有两个元素1和2，左、右两集合的元素属性不同．②中3k ＋1,3k －2(k ∈Z )都表示被3除余1的数，易错点在于认为3k ＋1与3k －2中的k 为同一个值，对集合的属性理解错误．③中集合有4个元素，其真子集的个数为24－1＝15(个)．④中x ＝－2 021或x ＝－ 2 021，满足条件的所有x 组成的集合为{－2 021，－ 2 021}，其真子集有22－1＝3个．所以②③④正确．二、集合间的关系解答与集合有关的问题时，应首先认清集合中的元素是数集还是点集，再进行相关的运算．分清集合中的两种隶属关系，即元素与集合、集合与集合的关系．1.集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝n 2＋1，n ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝m ＋12，m ∈Z ，则两集合M ，N 的关系为( ) A ．M ∩N ＝∅ B ．M ＝N C ．M ⊆ND ．N ⊆M答案 D 解析 由题意，对于集合M ，当n 为偶数时，设n ＝2k (k ∈Z )，则x ＝k ＋1(k ∈Z )，当n 为奇数时，设n＝2k ＋1(k ∈Z )，则x ＝k ＋1＋12(k ∈Z )，∴N ⊆M ，故选D. 2.已知集合A ＝{x ∈R |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x ∈N |0<x <5}，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为____． 答案 4解析 由题意可得，A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3,4}．又∵A ⊆C ⊆B ，∴C ＝{1,2}或{1,2,3}或{1,2,4}或{1,2,3,4}，∴有4个．3．已知集合A ＝{x ∈N *|x 2－3x －4<0}，则集合A 的真子集有 个．答案 7解析 ∵集合A ＝{x ∈N *|x 2－3x －4<0}＝{x ∈N *|－1<x <4}＝{1,2,3}，∴集合A 中共有3个元素，∴真子集有23－1＝7(个)．三、集合的运算1．集合的运算有交、并、补这三种常见的运算，它是集合这一单元的核心内容之一．在进行集合的交集、并集、补集运算时，利用数轴分析(或Venn 图)能将复杂问题直观化．在具体应用时要注意检验端点值是否适合题意，以免增解或漏解．1.已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |x <2}，则A ∩B = ．答案 [－1,2)解析 因为A ＝{x |x 2－2x －3≤0}＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |x <2}，所以A ∩B ＝[－1,2)．2.设集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝2}，B ＝{(x ，y )|y ＝x 2}，则A ∩B = ．答案 {(1,1)，(－2,4)}解析 首先注意到集合A 与集合B 均为点集，联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，y ＝x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝4.从而集合A ∩B ＝{(1,1)，(－2,4)}．3.设集合M ＝{y |y ＝2cos x ，x ∈[0,π]}，N ＝{x |y ＝log 2(x －1)}，则M ∩N ＝________.答案 {x |1<x ≤2}解析 ∵M ＝{y |y ＝2cos x ，x ∈[0, π]}＝{y |－2≤y ≤2}，N ＝{x |y ＝log 2(x －1)}＝{x |x >1}，∴M ∩N ＝{y |－2≤y ≤2}∩{x |x >1}＝{x |1<x ≤2}．4.(多选)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，B ＝{x |2<2x ≤8}，则下列判断不正确的是( )A ．A ∪B ＝B B ．(∁R B )∪A ＝RC ．A ∩B ＝{x |1<x ≤2}D ．(∁R B )∪(∁R A )＝R 答案 ABD解析 因为x 2－3x ＋2≤0，所以1≤x ≤2，所以A ＝{x |1≤x ≤2}；因为2<2x ≤8，所以1<x ≤3，所以B ＝{x |1<x ≤3}．所以A ∪B ＝{x |1≤x ≤3}，A ∩B ＝{x |1<x ≤2}． (∁R B )∪A ＝{x |x ≤2或x >3}，(∁R B )∪(∁R A )＝{x |x ≤1或x >2}．四、利用集合的运算求参数1.设集合A ＝{－1,1,2}，B ＝{a ＋1，a 2－2}，若A ∩B ＝{－1,2}，则a 的值为________．答案 －2或1解析 ∵集合A ＝{－1,1,2}，B ＝{a ＋1，a 2－2}，A ∩B ＝{－1,2}，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1＝－1，a 2－2＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1＝2，a 2－2＝－1，解得a ＝－2或a ＝1.经检验，a ＝－2和a ＝1均满足题意．2.设集合A ＝{x |－1≤x <2}，B ＝{x |x <a }，若A ∩B ≠∅，则a 的取值范围是 ．答案a >－1解析 在数轴上画出集合A ，B (如图)，观察可知a >－1.3.已知集合A ＝{x |x 2－2 021x ＋2 020<0}，B ＝{x |x <a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是_____________．答案 [2 020，＋∞)解析 由x 2－2 021x ＋2 020<0，解得1<x <2 020，故A ＝{x |1<x <2 020}．又B ＝{x |x <a }，A ⊆B ，如图所示，可得a ≥2 020.4．设常数a ∈R ，集合A ＝{x |(x －1)(x －a )≥0}，B ＝{x |x ≥a －1}，若A ∪B ＝R ，则a 的取值范围为________． 答案 (－∞，2]解析 当a >1时，A ＝(－∞，1]∪[a ，＋∞)，B ＝[a －1，＋∞)，当且仅当a －1≤1时，A ∪B ＝R ，故1<a ≤2；当a ＝1时，A ＝R ，B ＝{x |x ≥0}，A ∪B ＝R ，满足题意；当a <1时，A ＝(－∞，a ]∪[1，＋∞)，B ＝[a －1，＋∞)，又∵a －1<a ，∴A ∪B ＝R ，故a <1满足题意，综上知a ∈(－∞，2]．5.已知集合A ＝{x |x 2－3x <0}，B ＝{1，a }，且A ∩B 有4个子集，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．(0,1)∪(1,3)C ．(0,1)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)答案 B解析 因为A ∩B 有4个子集，所以A ∩B 中有2个不同的元素，所以a ∈A ，所以a 2－3a <0，解得0<a <3.又a ≠1，所以实数a 的取值范围是(0,1)∪(1,3)，故选B.【重点突破】1.已知集合A ＝{x |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x |ax －1＝0}，若B ⊆A ，则实数a 的值为 . 解：由题意知，A ＝{2，－3}．当a ＝0时，B ＝∅，满足B ⊆A ；当a ≠0时，ax －1＝0的解为x ＝1a ，由B ⊆A ，可得1a ＝－3或1a ＝2，∴a ＝－13或a ＝12. 综上可知，a 的值为－13或12或0. 2. 设A 是由方程ax 2－3x ＋2＝0(a ∈R )的根组成的集合．(1)若A 是单元素集合，求a 的取值范围；(2)若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围；(3)若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围．解 (1)若A 是单元素集合，则方程ax 2－3x ＋2＝0有一个实数根，当a ＝0时，原方程为－3x ＋2＝0，解得x ＝23，满足题意．当a ≠0时，由题意知方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实数根，所以Δ＝(－3)2－4×a ×2＝0，解得a ＝98.所以a 的值为0或98.(2)当A 中恰有一个元素时，由(1)知，a ＝0或98.当A 中有两个元素时，则a ≠0，且Δ＝9－8a >0，解得a <98，且a ≠0，此时关于x 的方程ax 2－3x ＋2＝0有两个不相等的实数根．综上，a ≤98时，A 中至少有一个元素． (3)当A 中没有元素时，则a ≠0，Δ＝9－8a <0，解得a >98，此时关于x 的方程ax 2－3x ＋2＝0没有实数根． 当A 中恰有一个元素时，由(1)知，a ＝0或a ＝98. 综上，a ＝0或a ≥98时，A 中至多有一个元素．3．设集合A ＝{1,3，a }，B ＝{1，a 2－a ＋1}，且A ⊇B ，求a 的值．解 ∵A ⊇B ，而a 2－a ＋1∈B ，∴a 2－a ＋1∈A . ∴a 2－a ＋1＝3或a 2－a ＋1＝a .当a 2－a ＋1＝3时，a ＝2或a ＝－1.(1)a ＝2时，A ＝{1,3,2}，B ＝{1,3}，这时满足条件A ⊇B ；(2)a ＝－1时，A ＝{1,3，－1}，B ＝{1,3}，这时也满足条件A ⊇B .当a 2－a ＋1＝a 时，a ＝1，此时A ＝{1,3,1}，B ＝{1,1}，根据集合中元素的互异性，故舍去a ＝1. ∴a 的值为2或－1.4.已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}．(1)若B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}，A ⊆B ，求实数m 的取值范围；(2)若B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，B ⊆A ，求实数m 的取值范围．解：由A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，得A ＝{x |－2≤x ≤5}．(1)若A ⊆B ，则⎩⎪⎨⎪⎧2m －1＞m －6，m －6≤－2，2m －1≥5，解得3≤m ≤4.所以m 的取值范围为[3，4]．(2)若B ⊆A ，则①当B ＝∅，有m ＋1＞2m －1，即m ＜2，此时满足B ⊆A ；②当B ≠∅，有⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，解得2≤m ≤3.由①②得，m 的取值范围是(－∞，3]．5.设集合A ＝{0，－4}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，x ∈R }．若A ∩B ＝B ，求实数a 的取值范围． 解： 因为A ＝{0，－4}，所以B ⊆A 分以下三种情况：①当B ＝A 时，B ＝{0，－4}，由此可知，0和－4是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两个根，由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)>0，－2(a ＋1)＝－4，a 2－1＝0，解得a ＝1；②当B ≠∅且B A 时，B ＝{0}或B ＝{－4}，并且Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0，解得a ＝－1，此时B ＝{0}满足题意；③当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0，解得a <－1.综上所述，所求实数a 的取值范围是(－∞，－1]∪{1}．6.设集合A ＝{x |a ≤x ≤a ＋4}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞5}，若A ∩B ≠∅，求实数a 的取值范围．解 当A ∩B ＝∅时，如图所示，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－1，a ＋4≤5，解得－1≤a ≤1. 即A ∩B ＝∅时，实数a 的取值范围为M ＝{a |－1≤a ≤1}．而A ∩B ≠∅时，实数a 的取值范围显然是集合M 在R 中的补集，故实数a 的取值范围为{a |a ＜－1或a ＞1}．【基本规律】1．首先要弄清构成集合的元素是什么，如是数集还是点集，要明了集合{x |y ＝f (x )}，{y |y ＝f (x )}，{(x ，y )|y ＝f (x )}三者是不同的．2．集合中的元素具有三性——确定性、互异性、无序性，特别是互异性，在判断集合中元素的个数以及在含参的集合运算中，常因忽视互异性，疏于检验而出错．3．数形结合常使集合间的运算更简捷、直观．对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助韦恩(Venn)图实施；对连续的数集间的运算，常利用数轴进行；对点集间的运算，则往往通过坐标平面内的图形求解．这在本质上是数形结合思想的体现和运用．4．空集是不含任何元素的集合，在未明确说明一个集合非空的情况下，要考虑集合为空集的可能．另外，不可忽视空集是任何元素的子集．5．五个关系式A ⊆B ，A ∩B ＝A ，A ∪B ＝B ，∁U B ⊆∁U A 以及A ∩(∁U B )＝∅是两两等价的．对这五个式子的等价转换，常使较复杂的集合运算变得简单．6．正难则反原则对于一些比较复杂，比较抽象，条件和结论不明确，难以从正面入手的涉及集合的数学问题，在解题时要调整思路，考虑问题的反面，探求已知与未知的关系，化难为易，化隐为显，从而解决问题． 例如：已知A ＝{x |x 2＋x ＋a ≤0}，B ＝{x |x 2－x ＋2a －1＜0}，C ＝{x |a ≤x ≤4a －9}，且A ，B ，C 中至少有一个不是空集，求a 的取值范围．这个问题的反面即是三个集合全为空集，即⎩⎪⎨⎪⎧1－4a ＜0，1－4（2a －1）≤0，a ＞4a －9，解得58≤a ＜3，从而所求a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a ＜58或a ≥3.。

函数重要知识点及题型一．函数的定义域问题：1.三个基本问题①分式的分母不等于0；②偶次开方问题，被开方数大于等于0；③对数函数x y a log =中，0,10>≠>x a a 且.2.解题程序根据题意列不等式（组）——解不等式（组）——结论（写成集合或区间形式）. 题组1.函数定义域的求解 1.xx x f -++=211)(的定义域是____________________. 2.()32log )(22-+=-x x x f x 的定义域是________________.3.复合函数定义域问题解题策略：①函数的定义域是指自变量x 的取值集合；②所有括号中的取值范围相同.题组2.复合函数定义域的求解1. 已知函数)(x f 的定义域是[]b a ,，其中.,0b a b a ><<则函数)()()(x f x f x g -+=的定义域是___________________.2. 已知)1(2-x f 的定义域是[]3,3-，则)1(-x f 的定义域是________.4.定义域的逆向问题已知函数定义域，求解析式中字母参数的取值（范围）.题组3.定义域的逆向问题1.已知函数3)(-=ax x f 的定义域是[)∞+，3，则.________=a2.已知函数11)(2++=ax ax x f 的定义域是R ，则实数a 的取值集合是________. 二．函数解析式问题常用解法：（1）换元法；（2）配凑法；（3）待定系数法；（4）函数方程法. 题组4.求解函数解析式的常见题型1.已知()x x x f 21+=+，则____________)(=x f ； 2.已知x x x f 24)12(2-=+，则____________)(=x f ；3.已知一次函数)(x f 满足()()12-=x x f f ，则____________)(=x f ；4.已知)(x f 是二次函数，且1)()1(,2)0(-=-+=x x f x f f ，则____________)(=x f ；5.已知3212)(+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x f x f ，则____________)(=x f . 三．函数的值域/求值问题1.值域问题的常用解法：直接法，配方法（二次函数问题），单调性法，换元法，数形结合法题组5.求下列函数值域：（1）(){}3,2,1,0,1,11)(2-∈+-=x x x f ； （2）x x x f 312)(-+=；（3）22++-=x x y2.探究性函数求值问题，一般从函数本身或结论特征入手，注意分析待求结论式中的数据特征，寻找函数内在联系来求解.题组6.探究性函数求值1.设x x f +=11)(，则._____101)10(31)3(21)2()1(=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++f f f f f f f 2. 设1223)(--=x x x f ，则.________1110112111=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛f f f 四．函数图像的作法及应用1.描点法是函数作图的基本方法（列表—描点—连线）；2.变换作图法①平移变换⎩⎨⎧+=→=+=→=.)()(:)()(b x f y x f y y a x f y x f y x 而言针对—上加下减；而言：针对—左加右减②对称变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=−−−−→−=-=−−−−→−=-=−−−−→−=).()();()();()(x f y x f y x f y x f y x f y x f y y x 关于原点对称轴对称关于轴对称关于③绝对值变换()⎪⎩⎪⎨⎧=→==→=.)(;)()(x f y x f y x f y x f y 局部绝对值变换：整体绝对值变换： 注：局部绝对值函数为偶函数.题组5.函数图像的变换及其简单应用1.设10≠>a a 且，则函数1)2(log )(+-=x x f a 恒过定点_____________；2.将函数12)(+=x x f 的图像向右平移_______个单位,再将每一点的横坐标变为原来的_________倍，可得函数x y =的图像.3.直线1=y 与曲线a x x y +-=2有四个交点，则a 的取值范围是_________.五．函数的单调性1.定义：2.单调性的判定/证明方法：（1）数形结合（图像法）——只能用于判断；解题程序：函数解析式——函数图像——单调区间题组7.图像法求解函数的单调区间及其简单应用 1.x x x f 2)(2-=的单调增区间是_________________.2.若a x x f +=2)(的单调递增区间是[)+∞,3，则._____=a3.函数1)(2++=ax x x f 有4个单调区间，则实数a 的取值范围是_____.4.设⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥+=0,2,0,2)(22x x x x x x x f ，则()1_______432++⎪⎭⎫ ⎝⎛a a f f （比较大小）. （2）定义法——目前证明函数单调性的唯一方法.利用定义证明函数单调性的程序：取值——作差——变形——定号——结论（变形的结果必须能明确)()(21x f x f -的正负符号）题组8.利用单调性定义证明函数单调性1.求证函数1)(+=x x f 在区间[)∞+，0上单调递增.2.求证函数[)∞++=，在11)(xx x f 上单调递增.3.掌握常见函数的单调性：（1）)0()(≠+=k b kx x f ；（2）)0()(≠=k xk x f ； （3）()0)(2≠++=a c bx ax x f4.复合函数单调性判定定理：同增异减.5.三个需要注意的问题：（1）函数的单调区间是其定义域的子集；（2）函数的单调区间之间不能用“⋃”连接；（3）注意区分“)(x f 在区间()b a ,上单调”与“)(x f 的单调区间是()b a ,”. 题组9.“)(x f 在区间()b a ,上单调”与“)(x f 的单调区间是()b a ,”的理解1.设5)3(42)(2+-+=x a ax x f 的单调减区间是()3,∞-，则.______=a2.设5)3(42)(2+-+=x a ax x f 在()3,∞-上是减函数，则a 的取值范围是_______.题组10.复合函数单调区间的求解 1.21)(x x f -=的单调递增区间是_____________.2.()32ln )(2--=x x x f 的单调增区间是_______________.6.函数型不等式的求解策略：（1）根据函数的单调性“脱f ”；（2）注意函数定义域的限制.题组11.函数型不等式的求解1.已知)(x f 是定义在R 上的减函数，则满足)1(1f x f >⎪⎭⎫ ⎝⎛的实数x 的取值范围是________________.2.定义在[]1,4上的函数()f x 为减函数，则满足不等式()()21240f a f a --->的a 的值的集合是______________.3.已知函数()224,04,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩，若()()22f a f a ->，则实数a 的取值范围是 .4.已知函数⎩⎨⎧≤>+=0,10,1)(2x x x x f ，若)3()2(2-<x f x f ，则实数x 的取值范围是 .5.已知,,11)(R x x x x f ∈++=则不等式)43()2(2-<-x f x x f 的解集是_______. 6.已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞上单调递增，则()1213f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭的x 的取值范围是 .8.分段函数单调性问题：函数⎩⎨⎧>≤=a x x f a x x f x f ),(,),()(21在R 上单调递增，则)(x f 满足两个条件： （1） )(1x f 在],(a -∞上单调递增，)(2x f 在),(+∞a 上单调递增；（2） ).()(21a f a f ≤题组12.分段函数单调性的应用1.函数()⎩⎨⎧≥+-<--=1,4)3(,1,1)(2x a x a x x x f 满足对于任意的实数x 都有0)()(2121>--x x x f x f 成立，则a 的取值范围是________________.2.已知⎩⎨⎧≥<+-=1,log ,1,4)13()(x x x a x a x f a 是),(+∞-∞上的减函数，则a 的取值范围是________.3.设⎩⎨⎧>-≤+-=,1,1,1,)(2x ax x ax x x f 若存在2121,,x x R x x ≠∈，使得)()(21x f x f =成立，则a 的取值范围是________________.10.抽象函数单调性问题（1）证明抽象函数单调性，只能依据单调性的定义，同时应注意已知条件的应用；（2）解函数型不等式或比较函数值的大小，应依据函数单调性.题组13.抽象函数单调性的证明及其简单应用1.已知函数)(x f ，对任意的R b a ∈,，都有1)()()(-+=+b f a f b a f ，且当0>x 时，.1)(>x f（1）求证：)(x f 是R 上的增函数；（2）若5)4(=f ，解不等式.3)23(2<--m m f2.已知函数)(x f 的定义域是),0(+∞，当1>x 时，0)(>x f ，且).()()(y f x f xy f +=（1）求)1(f 的值；（2）求证：)(x f 是其定义域上的增函数；（3）解不等式.021<⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x f3.已知定义在R 上的函数,0)0(),(≠=f x f y 当0>x 时，1)(>x f ，且对任意的R b a ∈,，有).()()(b f a f b a f ⋅=+（1）求证：1)0(=f ；（2）求证：对任意的0)(,>∈x f R x ；（3）求证：)(x f 是R 上的增函数；（4）解不等式.1)2()(2>-⋅x x f x f六．函数的奇偶性1. 函数奇偶性定义2. 图像特征奇函数图像关于_________对称，偶函数图像关于____________对称.3.函数奇偶性的判定方法：Step1.求函数定义域，看其是否关于原点对称（函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）；Step2.验证)(x f -与)(x f 的关系.注：根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数.4. 函数奇偶性的性质：（1）对多项式函数而言，奇函数不含偶次项，偶函数不含奇次项；（2）奇函数()y f x =若在0x =处有定义，则______________；（3）偶函数在原点两侧单调性_______，奇函数在原点两侧单调性_______；（4）两个偶函数的和、差、积、商（分母不为0）仍为偶函数；两个奇函数的和、差为奇函数，积、商（分母不为0）为偶函数； 一个奇函数与一个偶函数的积、商（分母不为0）为奇函数.题组14.根据函数奇偶性求值或求解析式问题：1.已知函数[]3,1,)2)(2++∈-+++=a a x a b x b a ax x f （是偶函数，则.____)2(=f2.已知)(x f 是奇函数，且0>x 时，xx x f 1)(2+=，则.____)1(=-f 3.设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且0≥x 时，b x x f x ++=22)(，则.____)1(=-f4.若)(x f 是偶函数，则._________211)21(=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+f f 5.设1)(3++=bx ax x f ，若5)2(=-f ，则._______)2(=f6.设⎩⎨⎧<>-+-=0),(,0,32)(2x x g x x x x f . （1）若)(x f 是奇函数，则______________)(=x g ；（2）若)(x f 是偶函数，则______________)(=x g .7.设)(x f 是偶函数，)(x g 是奇函数，它们的定义域均为{}1,±≠∈x R x x ，且11)()(-=+x x g x f ，则.________________)(____,__________)(==x g x f 8.设函数()()a x x x x f -+=12)(是奇函数，则._________=a 9.设函数()()R x ae e x x f x x ∈+=-)(是偶函数，则._________=a 题组15.函数奇偶性的综合应用1.定义在R 上的偶函数在[)∞+，0上单调递增，且0)3(=f ，则0)(<x xf 的解集是___________________.2.若奇函数()1,1)(-在x f 上单调递减，且0)1(2<-m f ，则实数m 的取值范围是__________________.3.若奇函数()1,1)(-在x f 上单调递减，且()09)3(2<-+-a f a f ，则实数a 的取值范围是__________________.4.已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0>x 时x x x f 4)(2-=，则不等式x x f >)(的解集是_______________.基本初等函数一．根式与分数指数幂1.根式的化简问题：()⎪⎩⎪⎨⎧==.,,,为偶数为奇数，n a n a a a a n n n n题1.（1）().___________42=-π（2）.______________347625=-+-（3）若a a a -=+-1122，则实数a 的取值范围是______________. 2.根式与分数指数幂的互化：.1,nm n mn m n m a a a a ==-3.分数指数幂的运算性质：设10≠>a a 且，则().__________________,_______,===⋅n m n mn m a a a a a题2.（1）._________=a a（2）_____________981423=⨯.（3）设410,310==y x ，则__________1022=-yx .4.分数指数幂与方程题3.解下列方程：（1）1623-=x ；（2）12242+-=⨯x x ；（3）151243=-x ；（4）018931=-++x x .二．指数函数)10(≠>=a a a y x 且1.指数函数的单调性：⎩⎨⎧><<._____________1;__________10时单调时单调a a题4.（1）如果指数函数x a x f )1()(-=是R 上的单调减函数，则实数a 的取值范围是_______________.(2)已知215-=a ，函数x a x f =)(，若实数n m ,满足)()(n f m f >，则n m ,的大小关系为______________.（3）函数32231)(--⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x x f 的递减区间是_______________.（4）已知函数)1,0()(≠>=a a a x f x 在区间[]2.2-上恒有2)(<x f ，则实数a 的取值范围是_______________.2.指数方程问题（1）指数方程的可解类型：①)()()10()()(x g x f a a a a x g x f =⇒≠>=且；②形如02=+⋅+c a b a x x 的方程，利用换元法求解.题5.解下列方程：（1）2291381+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯x x ； （2）0123222=-⨯++x x .（2）含参数的指数方程解的存在性问题求解策略：①分离参数法转化为函数的值域问题；②数形结合思想.题6.（1）若方程032)1(=++-a a x 有解，则实数a 的取值范围是_________.（2）若函数013=+-k x 有两个实根，则实数k 的取值范围是__________.3.指数不等式：⎩⎨⎧<<<>>⇒≠>>.10),()(,1),()()10()()(a x g x f a x g x f a a a a x g x f 且题7.解下列不等式：（1）812>x； （2）3931>⎪⎭⎫⎝⎛x； （3）x x 73>.三．对数1.指数式与对数式的互相转化：____________________________________.2.常用结论：（1）_______;log _________,log ________,1log ===b a a a a a （2）对数恒等式：._________log =N a a 题8.（1）已知216log =x ，则________=x .（2）设5log ,10log 33==b a ，则.___________32=+b a （3）.____________)32(log 32=-+ （4）________75log 17=-.（5）若()[]0log log log 237=x ，则.____________21=x 3.对数的运算性质：设,,0,0,10R n N M a a ∈>>≠>且则._______log ,__________log __,__________)(log ==⎪⎭⎫⎝⎛=n a a a M N M MN4.两个常用结论：.____________log _________;5lg 2lg ==+m a b n5.对于同底的对数式的化简的常用方法：（1）“收”，将同底的两对数的和（差）收成积（商）的对数； （2）“拆”，将积（商）的对数拆成对数的和（差）. 题9.（1）().__________3log 1log 941log 3log 3525.023=-++（2）._________8lg 3136.0lg 2113lg 2lg 2=+++（3）()._________2lg 20lg 5lg 8lg 325lg 22=+⋅++（4）设b a ==3lg ,2lg ，则.______6.3lg _____,15lg ______,12lg ===（结果用b a ,表示） 6.换底公式(1)公式内容：____________log =b a(2)两个结论：；_________log log =⋅c b b a ._________log log =⋅a b b a 题10.（1）已知b a ==7lg ,2lg ，那么用b a ,表示._________98log 8= （2）设a =8log 24，则用a 表示.______12log 4= （3）.________16log 5log 4log 3log 15432=⋅⋅⋅⋅⋅ （4）().___________32log 8log 9log 934=+（5）()().___________8log 4log 2log 5log 25log 125log 125255842=++++（6）已知c b a ==53，且211=+ba ，则._______=c四．对数函数)10(log ≠>=a a x y a 且1.对数函数的定义域问题：底数大于0且不等于1，真数大于0. 题11.（1）()12log )(-=x x f a 的定义域是________________. （2）()32log )(212++-=-x x x f x 的定义域是________________. （3）若函数()1log )(-=ax x f a 的定义域是[)+∞,2，则._________=a2.对数函数的单调性：⎩⎨⎧><<._____________1;__________10时单调时单调a a题12.（1）若函数x x f a log )(=在区间[]a a 2,上的最大值是最小值的3倍，则.________=a(2)已知215-=a ，函数x x f a log )(=，若实数n m ,满足0)()(<<n f m f ，则10,，，n m 这4个数的的大小关系为______________.（3）已知函数⎩⎨⎧≥<+-=1,log ,1,4)13()(x x x a x a x f a 是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是_______________.（4）函数()32ln )(2--=x x x f 的递减区间是_______________.（5）如果对数函数)2(log )(ax x f a -=是[]10，上的单调减函数，则实数a 的取值范围是_______________.2.对数函数过定点问题：)10(log )(≠>=a a x x f a 且恒过定点______________. 题13.（1）)10(1)1log )(≠>++=a a x x f a 且（恒过定点______________. （2）)10(1)32log )(≠>--=a a x x f a 且（恒过定点______________.3.对数函数的值域/最值问题解题时注意换元法（新元的取值范围是什么）的应用题14.（1）已知41≤≤x ，则函数2log 4log )(22xx x f ⨯=的值域是__________. （2）函数)32(log )(221++-=x x x f 的值域是____________.（3）若函数)1,0(log )(≠>=a a x x f a 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡241，上的最大值为1，最小值为m ，且函数2)1()(x m x g +=在区间[)∞+，0上单调递增，则.________=a4.对数函数奇偶性问题题15.（1）判断下列函数的奇偶性： ①xxx f +-=11lg)(； ②)1ln((2++=x x x f ）.（2）已知().______2lg 1)2(lg ,1391ln )(2=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-+=f f x x x f 则5.对数不等式：⎩⎨⎧<<<<>>>⇒≠>>.10),()(0,1,0)()()10)((log )(log a x g x f a x g x f a a x g x f a a 且题15.（1）函数()1log )(221-=x x f 的定义域为_________________.（2）已知指数函数()+∞∈⎪⎭⎫⎝⎛=,0,1)(x a x f x当时，有1>y ，则关于x 的不等式()()6log 1log 2-+≤-x x x a a 的解集是__________________.（3）已知定义在R 上的偶函数)(x f 在[)+∞,0上单调递增，且021=⎪⎭⎫⎝⎛f ，则不等式()0log 4>x f 的解集是_____________________.(4)已知定义在R 上的偶函数)(x f 在[)+∞,0上单调递增，若实数a 满足)1(2log )(log 212f a f a f ≤⎪⎪⎭⎫⎝⎛+，则a 的取值范围是_____________________.五．幂函数1.幂函数的定义：形如__________________的函数叫幂函数.题16.（1）已知幂函数)(x f 的图像过点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛222，，则.________)4(=f （2）设()1222)(-+⋅+=m mx m m x f 是幂函数，则._________=m2.幂函数的图像（第一象限）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<<=>时是双曲线（一支）（一半）时是开口向右的抛物线时是直线（一半）时是开口向上的抛物线0,10,1,1a a a a3.定点问题：恒过定点______________,0>a 时还过定点_____________.4.奇偶性问题：设)0,()(≠∈=n Z n m x x f n m且，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⇒⇒⇒⇒.偶偶偶偶，偶奇非奇非偶，偶奇奇，奇奇f n m f n m f n m f n m5.单调性问题（依据2，4先画出函数图像，由图像确定）题17.（1）设⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈3,21,1,1a ，则使函数a x x f =)(的定义域为R 且为奇函数的所有a 的值为____________. (2)已知函数142)(--=a a xx f 是偶函数，且在()∞+，0上是减函数，则整数.______=a（3）已知()()2121231a a ->+，则实数a 的取值范围是______________. （4）已知()()22231--->+a a ，则实数a 的取值范围是____________.（5）已知幂函数)()(*322N m x x f m m ∈=--的图像关于y 轴对称，且它在()∞+，0上单调递减，则满足()()33231mm a a ---<+的实数a 的取值范围是____________.六．二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 1.系数c b a ,,与图像（抛物线）的关系：a 决定抛物线的开口方向，对称轴为abx 2-=，c 叫抛物线在y 轴上的截距，抛物线的顶点坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a b ac a b 44,22.2.解析式：)0())(()()()()(2122≠⎪⎩⎪⎨⎧--=+-=++=a x x x x a x f k h x a x f c bx ax x f 交点式顶点式一般式题18.(1)已知二次函数()f x 满足(2)1,(1)1,f f =--=-且()f x 的最大值是8，试确定()f x 的解析式.(2)已知二次函数2()(,,)f x ax bx c a b c R =++∈满足条件：①图像过原点；②(5)(3)f x f x -+=-；③方程()f x x =有等根.试求()f x 的解析式.3.一元二次函数的零点问题：⎪⎩⎪⎨⎧⇒>∆⇒=∆⇒<∆-=∆.20,100042个零点个零点个零点，ac b4.一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：aacb b x 2422,1-±-=5.一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 根与系数关系：a x x a c x x ab x x ∆=-⇒=-=+212121,6.一元二次方程根的分步问题解题策略：根据题意画出一元二次方程对应的一元二次函数的图像，然后将“图形语言”翻译成“代数语言”——用不等式（组）表示，最后计算.有些方程问题从表面上看是根的分步问题，但通过变形可以转化为二次函数或其他函数，再求其值域.一般地，把方程()0f x =中的参数a 提出来，解出()a g x =，再求此函数的值域.题19. （1）已知关于x 的方程22210x mx m +++=.①若该方程有两实根，一根比1大，一根比1小，求实数m 的范围； ②若该方程有两实数根，其中一根在(1,0)-内，另一根在(1,2)内，求实数m 的范围；③若该方程两根都在(0,1)内，求实数m 范围.（2）方程2302x x k --=在(1,1)-内有实根，求实数k 的取值范围.7.闭区间上二次函数的最值问题“二次函数2()(0)f x ax bx c a =++>在区间[,]m n 上的最值问题”的解题策略（分类讨论与数形结合思想——分类讨论的要点是“对称轴的横坐标在闭区间的内还是外，闭区间的两个端点到对称轴距离的大小关系”）： Step1:画出函数()f x 的“草图”；Step2:讨论函数图像的对称轴与所给区间的关系； Step3:借助函数单调性求解.题20.（1）求函数2()41f x x x =--在下列区间上的最值： ①[]4,1∈x ； ②[]5,4∈x ； ③[]1,1-∈x（2）求函数[]2()41,1,f x x x x a =--∈的最值.（3）求函数[]2()41,1,4f x ax x x =--∈的最值.（4）已知函数[]2()41,1,f x x x x a =--∈的最小（最大）值为函数()f a ,求a 的取值范围.七．函数与方程问题1.函数零点的概念：函数)(x f y =的零点即为函数对应方程0)(=x f 的根，也是函数图像与x 轴交点的横坐标.2.函数零点的个数问题：（1）一元二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的零点个数由根的判别式ac b 42-=∆决定；题21.（1）二次函数2y ax bx c =++中，0a c ⋅<，则函数零的个数是_________. （2）如果函数2(3)y x mx m =+++至多有一个零点，则m 的取值范围是________.（3）无论k 取何值时，方程254()x x k x a -+=-总有2个相异实根，则a 的取值范围是____________.（2）一般函数的零点个数问题可以转化为两个函数图像交点的个数问题加以解决（数形结合思想）.题22.（1）函数2ln )(+-=x x x f 有______个零点. （2）讨论函数m x x y ---=322的零点个数. （3）设函数f(x)＝⎩⎨⎧4x －4，x≤1，x 2－4x ＋3，x ＞1，则函数x x f x g 4log )()(-=的零点个数为________．（4）若定义在R 上的函数f(x)满足f(x ＋2)＝f(x)，且x ∈[－1,1]时，21)(x x f -=，函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-=>=,0,1,0,0,0,lg )(x x x x x x g 则函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5,5]内的零点的个数是________．（5）已知函数2lg(1),0,()2,0.x x f x x x x +>⎧=⎨--≤⎩若函数()()g x f x m =-恰有3个零点，求实数m 的取值范围.（6）已知函数124)(+⋅+=x x m x f 仅有一个零点，求m 的取值范围3.函数零点所属区间问题（区间根存在原理）若函数()y f x =在(,)a b 内的图像是一条连续的曲线，且()()0f a f b ⋅<，则函数()y f x =在(,)a b 内有零点，即存在(,)c a b ∈，使得()0f c =.题23.（1）函数2()ln f x x x=-的零点所在的区间是))(1,(*N n n n ∈+，则.____=n （2）设方程42=+x x 的根为0x ，若⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∈21,210k k x ，则整数._______=k（3）设函数)0(12)(≠++=a a ax x f 在区间[]1,1-上存在一个零点，则实数a 的取值范围是________________.（4）设函数)(),(x g x f 是定义在同一区间()b a ,上的两个函数，若函数)()(x g x f y -=在),(b a 上有两个不同的零点，则称函数)(),(x g x f 在),(b a 上是“交织函数”，区间),(b a 称为“交织区间”.若m x x g x x x f +=+-=2)(43)(2与在()∞+，0上是“交织函数”，则实数m 的取值范围是______________.（5）若直角坐标平面内两点Q P ,满足条件：①Q P ,都在函数)(x f y =的图像上；②Q P ,关于原点对称，则称()Q P ,是一个“伙伴点组”（),(,P Q Q P ）与（看成同一个“伙伴点组”）.已知函数⎩⎨⎧≥+<+=0,1,0),1()(2x x x x k x f 有两个“伙伴点组”，则实数k 的取值范围是______________.。

函数重要知识点及题型一．函数的定义域问题：1 .三个根本问题句分式的分母不等于O;＠偶次开方问题，被开方数大于等于O;＠对数函数y= lo g a X中，a>O且a*l,x >0.2. 解题程序根据题意列不等式（组）一解不等式（组）一结论（写成集合或区间形式）．题组1.函数定义域的求解1. f(x) =五言＋1 2-x 的定义域是2. f (x) =I og x_2伈+2x—3)的定义域是3. 复合函数定义域问题解题策略：句函数的定义域是指自变量x的取值集合；＠所有括号中的取值范围相同题组2复合函数定义域的求解1. 函数f(x)的定义域是[a,b],其中a<O<b,la>b那么函数g(x)= f (x) +f(—x)的定义域是2. 卢-1)的定义域是l—占又寸，那么f(x-l)的定义域是．4. 定义域的逆向问题函数定义域，求解析式中字毋参数的取值（范围）．题组3.定义域的逆向问题1. 函数f(x)=✓l五飞的定义域是[3,+ 00)'那么a=.12. 函数f(x)= 的定义域是R,那么实数a的取值集合是a x2 +ax+l二．函数解析式问题常用解法：(1 J换元法；(2J配凑法；(3J待定系数法；(4J函数方程法．题组4.求解函数解析式的常见题型1. f伈+1)=x+2✓x,那么f(x)=2. f(2x+l) =4x2 -2x, 那么f(x)=3. 一次函数f(x)满足J(J(x))=2x-l, 那么f(x)=4. f(x)是二次函数，且f(O)= 2, f(x+ 1)—f(x) =X—1, 那么f(x)=5. /(x)+2/(�J�2x+3, 那么/(x)=＿．函数的值域／求值问题1 .值域问题的常用解法：直接法，配方法［二次函数问题］，单调性法，换元法，数形结合法题组5.求以下函数值域：(1 J/(x)=(x-1)2+1,xE{-1,0,1,2,3};(2 J f (X) = 2x +三；(3J y =✓-X2 + X+ 22. 探究性函数求值问题，一般从函数本身或结论特征入手，注意分析待求结论式中的数据特征，寻找函数内在联系来求解．题组6.探究性函数求值l设f(x)= l �x, 那么f(Il+/(2)+ I(½J 勹(3)+ I m 叮(!O J+I(点J=.2 设f(x)��:�—�. 那么1(炒忙)+···+1(罚）＝—四．函数图像的作法及应用1 . 描点法是函数作图的根本方法［列表—描点—连线）；2. 变换作图法句平移变换｛左加右减—针对x 而言：y= f (x)今y=f(x+a ); 上加下减—针对y 而言：Y = f (x)今y= f (x)+b. Y = f (x )关于x轴对称） y=八-x);＠对称变换�y = f (x) 关于y 轴对称汀=-f(x);Y = f(x)关于原点对称Y = -f(-x).＠绝对值变换｛整体绝对值变换：y�f(x)今y�lf<xi 卜局部绝对值变换：y =f (x )今y= f �x ) 注：局部绝对值函数为偶函数．题组5.函数图像的变换及其简单应用1. 设a >O 且a-=1:-l ,那么函数f(x) = log a (x -2) + 1恒过定点的2. 将函数f(x)= 2x+l 的图像向右平移个单位，再将每一点的横坐标变为原来倍，可得函数y=x 的图像．3直线y =l 与曲线y=x 2-I 习+a 有四个交点，那么a 的取值范围是五．函数的单调性1 . 定义：2. 单调性的判定／证明方法：(1)数形结合（图像法）一只能用于判断；解题程序：函数解析式函数图像单调区间题组7.图像法求解函数的单调区间及其简单应用1. tc x) = I亡2x l的单调增区间是2. 假设f(x)=l2x+a l的单调递增区间是[3,+oo)'那么a=3. 函数f(x)= x2 +a x+l有4个单调区间，那么实数a的取值范围是4.设f(x)={x2+2x,x::>O,, 那么{�-x2 +2x,x< 04) 二扁+a+l)(比拟大小］．(2)定义法一目前证明函数单调性的唯一方法．利用定义证明函数单调性的程序：取值作差变形定号结论（变形的结果必须能明确J仄）-f(x2)的正负符号）题组8.利用单调性定义证明函数单调性L求证函数f(x)= -Jx +l在区间[O,+oo)上单调递增．12. 求证函数f(x)= x+—在[1,+oo)上单调递增3. 掌握常见函数的单调性：(1 J f(x)=k x+b(k-=f:-0);k(2J f(x)=-(k-=1=-0);(3J f(x)=a x2+b x+c(a-=1:-0)4. 复合函数单调性判定定理：同增异减．5. 三个需要注意的问题：(1 J函数的单调区间是其定义域的子集；(2J函数的单调区间之间不能用"u"连接；(3J注意区分"f(x)在区间(a,b)上单调”与"f(x)的单调区间是(a,b)".题组9."f (x)在区间(a,b)上单调”与"f(x)的单调区间是(a,b)"的理解1. 设f(x)= 2a x2 +4(a-3)x+5的单调减区间是(—oo,3),那么a=2. 设f(x)= 2a x2 +4(a-3)x+5在(-oo,3)上是减函数，那么a的取值范围是题组10.复合函数单调区间的求解1. /(x)=� 的单调递增区间是2. f (x) = 1n(x2 -2x-3)的单调增区间是6. 函数型不等式的求解策略：(1 J根据函数的单调性“脱f";(2J注意函数定义域的限制．题组11.函数型不等式的求解11. f(x)是定义在R上的减函数，那么满足f勹）订(1)的实数x的取值范围是2. 定义在[1,4]上的函数f(x)为减函数，那么满足不等式f(l—2a)—f(4-a2)>0的a 的值的集合是3.函数f(x)={x 2 +4x,x�0，假设f2—矿>f a'那么实数a的取值范围4x-x2 ,x < 0()()是x2 +l,x >04.函数f(x)= { , 假设f(2x)<卢-3)'那么实数x的取值范围1, x:S O是x+l5. f(x)= ,x E R, 那么不等式f(x2-2x) <f(3x-4)的解集是冈+16. 偶函数f(x)在区间[O,+ro)上单调递增，那么f(2x-l)<t(½J的x的取值范围是8.分段函数单调性问题：函数f(x) ={ f,(x),x,;a,在R上单调递增，那么f(x)满足两个条件：f2(x),x > a(1 J Ji (x)在(-oo,a]上单调递增，八(x)在(a,+oo)上单调递增；(2 J fJa)� 八(a).题组12分段函数单调性的应用1函数f(x) = {-(x-1)2 ,x <I, 满足对千任意的实数x都有见）-f(x,) >0成立，那(3-a)x+ 4a,x 21 x1 -x2么a的取值范围是2./(x)={ (3a -l)x + 4a, x<1＇是(—oo,+oo)上的减函数，那么a的取值范围是lo g a x, X之l3设f(x)={气+a x,x$I,假设存在x1,x2ER,x, 气，使得f(x,)= f(x,)成立，么a的a x-I, x > I,取值范围是10. 抽象函数单调性问题(1 J证明抽象函数单调性，只能依据单调性的定义，同时应注意条件的应用；(2J解函数型不等式或比拟函数值的大小，应依据函数单调性．题组13.抽象函数单调性的证明及其简单应用1. 函数f(x),对任意的a,bER, 都有f(a+b)= f(a)+ f(b)—1, 且当x>O时，f(x)> 1.(1)求证：f(x)是R上的增函数；(2)假设f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2) < 3.2. 函数f(x)的定义域是(O,+oo),当x>l时，f(x)> 0, 且f(xy) = f (x) + f (y).(1)求/(1)的值；(2)求证：f(x)是其定义域上的增函数；(3)解不等式［卢;)]<0.3定义在R上的函数Y= f (x),f (0) * 0, 当x>O时，f(x)>L且对任意的a,bER, 有f(a+b) =f(a)·f(b).(1)求证：/(0) =1;(2)求证：对任意的xER,f(x)>O;(3)求证：f(x)是R上的增函数；(4)解不等式f(x)·f(2x-x2)> 1.六．函数的奇偶性1 .函数奇偶性定义2. 图像特征对称．奇函数图像关于对称，偶函数图像关于3. 函数奇偶性的判定方法：Step 1. 求函数定义域，看其是否关于原点对称［函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称］；Step2. 验证f(-x)与f(x)的关系注：根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数4. 函数奇偶性的性质：(1 J对多项式函数而言，奇函数不含偶次项，偶函数不含奇次项；(2J奇函数y= f(x)假设在x=O处有定义，那么(3J偶函数在原点两侧单调性，奇函数在原点两侧单调性；(4J两个偶函数的和、差、积、商（分毋不为OJ仍为偶函数；两个奇函数的和、差为奇函数，积、商（分母不为OJ为偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积、商（分母不为OJ为奇函数．题组14.根据函数奇偶性求值或求解析式问题：1. 函数f(x)= a x2 +C a+ 2b)x+b-a,x E[a+ l,a+3]是偶函数，那么f(2)=_.12. f(x)是奇函数，且x>O时，f(x)= x2 +—，那么f(-1)=_.3. 设f(x)是定义在R上的奇函数，且x习0时，f(x)= 2x + 2x+b, 那么f(-1)= .4. 假设f(x)是偶函数，那么f(I+.fi)—t(i_�J�5. 设f(x)= a x3 +bx+l, 假设八-2)= 5, 那么/(2)=6. 设f(x)�{-x2+ 2x-3,x > 0, _g(x),x <0(1)假设f(x)是奇函数，那么g(x)=(2)假设f(x)是偶函数，那么g(x)=7. 设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，它们的定义域均为｛斗x ER,x-=t=-士1}'且1f (x) +g(x) = , 那么f(x)=x-l8. 设函数f(X)= I 2x+I)(x-a ,g(x) =＼是奇函数，那么a=9. 设函数f(x)= x(矿+ae-x Xx ER)是偶函数，那么a=题组15.函数奇偶性的综合应用1.定义在R上的偶函数在[o,+ oo)上单调递增，且f(3)=0,那么寸(x)<0的解集是2. 假设奇函数f(x)在(—1,1)上单调递减，且2/(1-m)< 0, 那么实数m的取值范围是3. 假设奇函数f(x)在(-1,1)上单调递减，且f(a-3)+J(9-a2)<0, 那么实数a的取值范围是4. f(x)是定义在R上的奇函数，当x>O时f(x)= x2 -4x, 那么不等式f(x)> X的解集是根本初等函数一．根式与分数指数幕1 . 根式的化简问题：（心r=a, 正＝｛题1.(1) -K,;"五了＝(2)二十二＝a,n为奇数，回，n为偶数(3)假设也f—2a+l=1—a, 那么实数a的取值范围是m2. 根式与分数指数幕的互化：a-;;=忒尸，a勹＝—－．1 堕an 3. 分数指数幕的运算性质：设a>O且a-=1:-l,那么a·a = a m ma) =m nn ,(题2.(1) fc;Ta=(2) u=(3)设lo x=3,lO Y =4, 那么10 2 =2x-y4. 分数指数幕与方程题3.解以下方程：(1) 2x3 = -16 ;(2) 2 X 4 x-2 = 2x+l ;(3) 2x4-l=l5;(4)3x+l + 9x -18 = 0 ,二．指数函数y= a x(a >0且a=f:. l)1 . 指数函数的单调性：｛O<a<l时单调a>l时单调题4.(1)如果指数函数f(x)= (a-厅是R上的单调减函数，那么实数a的取值范围是✓5-1(2) a=, 函数f(x)=矿，假设实数m,n满足f(m)> f(n), 那么m,n的大小关系2为1 x2-2x-3[ 3)函数f(x)=(3J的递减区间是(4)函数f(x)= a x(a >O,a -=t:-1)在区间[-2.2]上恒有f(x)< 2, 那么实数a的取值范围是2. 指数方程问题(1 J指数方程的可解类型：G) a f(x) = a g(x) (a> 0且a-=t:-1)⇒ f(x) =g(x);＠形如a2x+b· 矿+c=O的方程，利用换元法求解．题5.解以下方程：1 x+2(1) 81x32"�(9) ; (2)22x+Z + 3 X 2x -1 = 0.(2)含参数的指数方程解的存在性问题求解策略：也别离参数法转化为函数的值域问题；＠数形结合思想题6.(1)假设方程(a—1)2勹a+3=0有解，那么实数a的取值范围是(2)假设函数住-ll+k=0有两个实根，那么实数K的取值范围是3. 指数不等式：a f (x ) > a ''"'(a > 0且a *I)⇒{ f (x ) > g(x),a > 1,f(x) < g(x),0 <a < 1. 题7.解以下不等式：．＇ 1-8 ＞ x 2 、，l ，｀ (2) (½ 厂1/9;(3) 3x > 7x .三．对数1 . 指数式与对数式的互相转化：2. 常用结论：(1 J log a l = ,log a a = b , l og a a = ;(2 J 对数恒等式：a lo ga N =题8.(1) log x 16 = 2 , 那么X=.(2)设a=log 310,b = log 3 5, 那么32a+b = (3) log 2+,/3 (2—占）＝(4) 71-l o g 75 =(5)假设log 7 [log 3 (log 2 x)] = 0, 那么x z = 3. 对数的运算性质：设a>O且a -=t:-1, M > 0, N > 0, n E R , 那么lo g a (M N ) = ,lo g 片）＝log a M n = .4. 两个常用结论：l g2+lg5=;l og a,, 矿＝5. 对于同底的对数式的化简的常用方法：(1) "收＂，将同底的两对数的和［差］收成积［商］的对数；(2) "拆＂，将积［商］的对数拆成对数的和［差］．题9.(1) (1og 3✓3) + l og 。

一、选择题1．关于x 的方程x x a a -=有三个不同的实根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(0,4)B ．(4,0)-C ．(4,4)-D ．(,4)(4,)-∞-⋃+∞2．已知偶函数()f x 在[0,)+∞上为增函数，若关于x 的方程()()21xf b f =-有且只有一个实根，则实数b 的取值范围是（ ） A ．2b ≥B ．0b ≥C ．1b ≤-或0b =D ．1b ≥或1b ≤-或0b =3．我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢”，翻译过来就是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大、小鼠第一天都进一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠减半，则在第几天两鼠相遇.这个问题体现了古代对数列问题的研究，现将墙的厚度改为130尺，则在第几天墙才能被打穿（ ） A ．6B ．7C ．8D ．94．已知函数2()log x f x =，在[116，m ]上的值域为[0，4]，2m f ⎛⎫⎪⎝⎭的取值范围是（ ） A ．[1,2]B ．[0,2]C ．[1,3]D ．[0,3]5．已知函数)()lnf x x =，则120212020a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，20201log 2021b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()2021log 2020c f =的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>6．若1a b >>，P ，1(lg lg )2Q a b =+，lg()2a bR +=，则（ ） A ．R P Q <<B ．P Q R <<C ．Q P R <<D ．P R Q <<7．已知函数223,()11,x x x af x ax x a⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩，对于任意两个不相等的实数1x ，2x R ∈，都有不等式()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦成立，则实数a 取值范围是（ ） A ．[)3,+∞B ．[]0,3C ．[]3,4D ．[]2,48．若函数22,2()13,22x ax x f x a x x⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩是R 上的单调减函数，则实数a 的取值范围为（ ）A ．115,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．4,215⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．41,152⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．152,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦9．若函数32()21f x ax x x =+++在(1,2)上有最大值无最小值，则实数a 的取值范围为（ ） A ．34a >-B ．53a <-C ．5334a -<<- D ．5334a -≤≤- 10．已知{}22(,)1,,A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，{}(,)3,3,,B x y x y x Z y Z =≤≤∈∈.定义集合{}12121122(,)(,),(,),A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕的元素个数n 满足（ ） A ．77n =B ．49n ≤C ．64n =D ．81n ≥11．已知集合{}11A x x =-≤≤，{}220B x x x =-≤，则AB =（ ）A ．{}12x x -≤≤B ．{}10x x -≤≤C ．{}12x x ≤≤D ．{}01x x ≤≤12．已知集合{}{}21239A B x x ==<，，，，则A B =（ ）A ．{}210123--，，，，，B ．{}21012--，，，，C ．{}123，，D ．{}12， 二、填空题13．已知函数()()21,043,0x e x f x x x x +⎧≤⎪=⎨+->⎪⎩，函数()y f x a =-有四个不同的零点，从小到大依次为1x ，2x ，3x ，4x ，则1234x x x x -++的取值范围为 _________14．设函数212,2()1,2xx f x x x lnx x ⎧⎪⎪=⎨⎪-->⎪⎩，若函数()()F x f x a =+恰有2个零点，则实数a的取值范围是__. 15．已知函数()4sin 22xx f x π=++，则122019101010101010f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭______.16．对于函数()f x 定义域中任意的1x 、()212x x x ≠，有如下结论： ①()()()1212f x x f x f x +=⋅；②()()()1212f x x f x f x ⋅=+；③()()()12120x x f x f x -⋅-<⎡⎤⎣⎦；④()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭． 当()2xf x =时；上述结论正确的是__________．（写出所有正确的序号） 17．若()22f x x ax =-+与()ag x x=在区间[]1,2上都是减函数，则a 的取值范围是______．18．已知函数()2()10f x x ax a =++>，若“()f x 的值域为[)0,+∞”为真命题，则()3f =________.19．已知全集{}1,2,3,4,5,6U =，①A U ⊆；②若x A ∈，则2x A ∉；③若Ux A ∈，则2Ux A ∉，则同时满足条件①②③的集合A 的个数为______20．已知集合{1,2,3},{1,2}A B ==，则满足A C B C ⋂=⋃的集合C 有_______个.三、解答题21．已知函数()11f x x=-，实数a 、b 满足a b <． （1）在下面平面直角坐标系中画出函数()f x 的图象；（2）若函数在区间[],a b 上的值域为1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求+a b 的值；（3）若函数()f x 的定义域是[],a b ，值域是[](),0ma mb m >，求实数m 的取值范围． 22．经研究发现，学生的注意力与老师的授课时间有关，开始授课时，学生的注意力逐渐集中，到达理想的状态后保持一段时间，随后开始逐渐分散，用()f x 表示学生的注意力，x 表示授课时间（单位：分），实验结果表明()f x 与x 有如下的关系：()59,01059,10163107,1630x x f x x x x +<<⎧⎪=≤≤⎨⎪-+<≤⎩.（1）开始授课后多少分钟，学生的注意力最集中？能维持多长时间？（2）若讲解某一道数学题需要55的注意力以及10分钟的时间，老师能否及时在学生一直达到所需注意力的状态下讲完这道题？23．设()log (1)log (3)(0,1)a a f x x x a a =++->≠，且(1)2f =. （1）求a 的值及()f x 的定义域； （2）求()f x 在区间302⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值.24．若函数()()()331xf x k a b a =++->是指数函数（1）求k ，b 的值；（2）求解不等式()()2743f x f x ->- 25．已知函数2()2(1)4f x x k x =+-+．（Ⅰ）若函数()f x 在区间[2,4]上具有单调性，求实数k 的取值范围； （Ⅱ）若()0f x >对任意的[1,2]x ∈恒成立，求实数k 的取值范围．26．已知集合{121}A xa x a =-<<+∣，{}03B x x =<≤，U =R . （1）若12a =，求A B ；()U A B ⋂. （2）若A B =∅，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】画出函数()22,(),()x ax x a f x x x a x ax x a ⎧-≥=-=⎨-+<⎩与y a =图象可得【详解】数形结合法：画出函数()22,(),()x ax x a f x x x a x ax x a ⎧-≥=-=⎨-+<⎩与y a =图象可得由图可得：204a a <<解得4a > 或204a a >>-解得4a故选：D 【点睛】数形结合法：画出相应的函数图象，通过观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断，或者转化为两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断.2．D解析：D 【分析】由题意有|21|xb =±-，令20x t =>，即可得22210t t b -+-=有且只有一个实根，22()21f t t t b =-+-问题转化为()f t 在(0,)t ∈+∞上有且仅有一个零点，结合二次函数零点分布即可求b 的取值范围.【详解】由()f x 是偶函数且在[0,)+∞上为增函数知：|21|xb =±-，∴22(21)x b =-，令20x t =>，则22210t t b -+-=，令22()21f t t t b =-+-，即()f t 在(0,)t ∈+∞上有且仅有一个零点，而2244(1)4b b ∆=--=且对称轴为直线1t =，∴当0∆=，0b =时，在(0,)t ∈+∞上有且仅有一个零点；当0∆>时，22(0)10b f b ⎧>⎨=-≤⎩，解得1b ≤-或1b ≥，在(0,)t ∈+∞上有且仅有一个零点；∴综上，有1b ≤-或1b ≥或0b =， 故选：D. 【点睛】本题考查函数与方程，将方程的根的个数问题转化为对应函数零点个数问题，注意换元法的应用、定义域范围，属于中档题.3．C解析：C 【分析】由题意结合等比数列的前n 项和列不等式，然后构造函数2()21292xxf x =--，(1)x ．结合函数零点的判定得答案． 【详解】解：设需要n 天时间才能打穿，则11()21213012112nn--+--， 化为：2212902nn--， 令2()21292nn f n =--，则()7727212902f =--<． ()8828212902f =-->． 令2()21292xx f x =--，(1)x ． ()f x ∴在(7,8)内存在一个零点．又函数()f x 在1x 时单调递增，因此()f x 在(7,8)内存在唯一一个零点．∴需要8天时间才能打穿．故选：C ． 【点睛】本题考查了等比数列的求和公式、函数零点存在判定定理、不等式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．D解析：D 【分析】由对数函数的单调性可得[]1,16m ∈，再结合对数函数的性质即可得解. 【详解】由题意，函数2()log x f x =在(]0,1上单调递减，在[)1,+∞上单调递增，且()116416f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()10f =， 结合该函数在1,16m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[0,4]可得[]1,16m ∈， 所以1,822m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，[]2lo 2g 0,32m m f ⎛⎫= ⎪⎝∈⎭.故选：D. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是由对数函数的图象变换及单调性确定[]1,16m ∈，即可得解.5．D解析：D 【分析】先判断出()f x 在R 上单调递减，再利用指数对数函数的单调性求出120212020，20201log 2021， 2021log 2020的范围，即可根据单调性比较大小.【详解】210x x +->恒成立，()f x ∴定义域为R ，))()lnlnf x x x ===-，其中y x 单调递增，则()f x 单调递减，102021202020120>=，202020201log log 102021<=，2021202120210log 1log 2020log 20211=<<=，b c a ∴>>. 故选：D. 【点睛】关键点睛：本题考查利用函数的单调性比较大小，解题的关键是判断出()2()ln 1f x x x =+-在R 上单调递减，进而可利用单调性比较.6．B解析：B 【分析】利用对数函数lg y x =，结合基本不等式即可确定P 、Q 、R 的大小关系 【详解】由于函数lg y x =在(0,)+∞上是增函数1a b >>，则lg lg 0a b >>由基本不等式可得11lg lg (lg lg )lg()lg lg 222a bP a b a b ab ab R +=⋅<+==<=因此，P Q R <<故选：B 【点睛】本题考查了利用对数函数的单调性比较大小，应用函数思想构造对数函数，并利用其单调性和基本不等式比较大小7．C解析：C 【分析】根据题意，可得()f x 在R 上为单调递增函数，若x a ≥时为增函数，则3a ≥，若x a <时为增函数，则0a >，比较x=a 处两函数值的大小，即可求得答案， 【详解】因为()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦，所以()f x 在R 上为单调递增函数， 当x a ≥时，2()23f x x x =--的图象如图所示：因为()f x 在R 上为单调递增函数，所以3a ≥， 当x a <时，()11f x ax =-为增函数，所以0a >，且在x=a 处222311a a a --≥-，解得4a ≤， 综上34a ≤≤， 故选：C. 【点睛】解题的关键是熟悉分段函数单调性的求法，根据单调性，先分析分段点两侧单调性，再比较分段点处函数值的大小即可，考查推理分析，化简计算的能力，属中档题.8．D解析：D 【分析】若函数()f x 在R 上递减，则必须满足当(],2x ∈-∞时，函数22y x ax =-递减，且()2,x ∈+∞时132y a x=-也递减，且端点处的函数值必须满足条件． 【详解】 易知函数132y a x=-在(2,)+∞上单调递减，要使函数()f x 在R 上单调递减， 则函数22y x ax =-在(,2]-∞上单调递减，所以2a ≥， 当2x =时，2244x ax a -=-，113324a a x -=-，要使()f x 在R 上单调递减， 还必须14434a a -≥-，即154a ≤，所以1524a ≤≤.故选：D ． 【点睛】解答本题时，首先要保证原函数在每一段上都递减，另外，解答时容易忽略掉端点的函数值的大小关系.9．C解析：C 【详解】分析：函数()3221f x ax x x =+++在()1,2上有最大值无最小值，则极大值在()1,2之间，一阶导函数有根在()1,2，且左侧函数值小于0，右侧函数值大于0，列不等式求解 详解：f ′（x ）＝3ax 2+4x +1，x ∈（1，2）．a ＝0时，f ′（x ）＝4x +1＞0，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去． a ≠0时，△＝16﹣12a ． 由△≤0，解得43a ≥，此时f ′（x ）≥0，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去．由△＞0，解得a 43＜（a ≠0），由f ′（x ）＝0，解得x 123a--=，x 223a-+=．当403a ＜＜时，x 1＜0，x 2＜0，因此f ′（x ）≥0，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去．当a ＜0时，x 1＞0，x 2＜0，∵函数f （x ）＝ax 3+2x 2+x +1在（1，2）上有最大值无最小值，∴必然有f ′（x 1）＝0，∴123a-＜2，a ＜0．解得：53-＜a 34-＜． 综上可得：53-＜a 34-＜． 故选：C ．点睛：极值转化为最值的性质：若()[]f x x a,b ∈在上有唯一的极小值，且无极大值，那么极小值为()f x 的最小值；若()[]f x x a,b ∈在上有唯一的极大值，且无极小值，那么极大值为()f x 的最大值；10．A解析：A 【分析】先理解题意，然后分①当11x =±,10y =时,②当10x =,11y =±时, ③当10x =,10y =时,三种情况讨论即可. 【详解】解:由{}22(,)1,,A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，{}(,)3,3,,B x y x y x Z y Z =≤≤∈∈, ①当11x =±,10y =时, 124,3,2,1,0,1,2,3,4x x +=----,123,2,1,0,1,2,3y y +=---,此时A B ⊕的元素个数为9763⨯=个,②当10x =,11y =±时, 123,2,1,0,1,2,3x x +=---,124,3,2,1,0,1,2,3,4y y +=----,这种情况和第①种情况除124,4y y +=-外均相同,故新增7214⨯=个, ③当10x =,10y =时, 123,2,1,0,1,2,3x x +=---,123,2,1,0,1,2,3y y +=---,这种情况与前面重复,新增0个,综合①②③可得:A B ⊕的元素个数为6314077++=个, 故选:A. 【点睛】本题考查了元素与集合关系的判断，重点考查了计数原理的应用，属中档题.11．D解析：D 【解析】B ={x ∣x 2−2x ⩽0}={x |0⩽x ⩽2}， 则A ∩B ={x |0⩽x ⩽1}， 本题选择D 选项.12．D解析：D 【解析】 【分析】先求出集合B ，然后与集合A 取交集即可. 【详解】由题意，{}{}2933B x x x x =<=-<<，则{}1,2A B =.故答案为D. 【点睛】本题考查了集合的交集，考查了不等式的解法，考查了学生的计算能力，属于基础题.二、填空题13．【分析】先将函数有四个不同的零点转化为函数有四个不同的交点利用数形结合得到a 的范围再根据为方程的两根为方程的两根利用韦达定理建立的函数再利用函数的单调性求解【详解】因为函数有四个不同的零点所以函数有 解析：(]3,3e +【分析】先将函数()y f x a =-有四个不同的零点，转化为函数(),y f x y a ==有四个不同的交点，利用数形结合得到a 的范围，再根据1x ，2x 为方程()21x e a +=的两根，3x ，4x 为方程43x a x+-=的两根，利用韦达定理建立1234x x x x -++的函数，再利用函数的单调性求解.【详解】因为函数()y f x a =-有四个不同的零点， 所以函数(),y f x y a ==有四个不同的交点， 如图所示：由图知：1a e <≤，设1x ，2x 为方程()21x e a +=的两根，即221ln 0x x a ++-=的两根， 所以121ln =-x x a ， 设3x ，4x 为方程43x a x+-=的两根，即()2340x a x -++=的两根， 所以343x x a +=+，所以1234ln 13ln 2x x x x a a a a -++=-++=++， 因为ln ,2y a y a ==+在()0,∞+上递增， 所以ln 2y a a =++在()0,∞+上递增， 所以1234(3,3]x x x x e ∈-+++， 故答案为：(]3,3e + 【点睛】关键点点睛：本题关键是利用利用数形结合法确定a 的范围，进而利用函数法求解.14．【分析】令求出函数的导数判断函数的单调性结合函数的图象推出结果即可【详解】解：令则令得或（舍去）当时；当时所以在上是减函数在上是增函数又（1）而在上是增函数且作出函数的图象如图由得所以当即时函数与的解析：[2-，12]4ln -. 【分析】令2()g x x x lnx =--，12x >，求出函数的导数，判断函数的单调性，结合函数的图象，推出结果即可. 【详解】解：令2()g x x x lnx =--，12x >，则2121(21)(1)()21x x x x g x x x x x--+-'=--==， 令()0g x '=，得1x =或12x =-（舍去）当112x <<时，()0g x '<；当1x >时，()0g x '>， 所以()g x 在1(,1)2上是减函数，在(1,)+∞上是增函数，又11()224g ln =-+，g （1）0=，而2xy =在1(,)2-∞上是增函数，且022x<，作出函数()f x 的图象如图，由()0F x =得()f x a =-，所以当1224ln a-+-即1224aln --时，函数()y f x =与y a =-的图象有两个交点.故答案为：1[2,2]4ln --.【点睛】本题考查函数的零点与方程的根的关系，函数的导数的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题.15．2019【分析】观察的特点探究得再利用倒序相加法求解【详解】因为所以故答案为：2019【点睛】本题主要考查了函数求值中的倒序相加法还考查了抽象概括的能力属于中档题解析：2019 【分析】 观察122019101010101010⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭f f f 的特点，探究得()(2)2+-=f x f x ，再利用倒序相加法求解. 【详解】因为()()()2442sin sin 222222x xf x f x x x πππ-+-=+++-=++ 所以1220192[]101010101010⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭f f f12019120191010101010101010f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22019=⨯1220192019101010101010f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为：2019.【点睛】本题主要考查了函数求值中的倒序相加法，还考查了抽象概括的能力，属于中档题.16．①④【分析】根据指数幂的运算法则判断①；采用举例子的方法判断②；根据指数函数的单调性判断③；利用指数幂的运算并采用作差法判断④【详解】对于①：因为所以故①正确；对于②：取所以所以不恒成立故②错误；对解析：①④ 【分析】根据指数幂的运算法则判断①；采用举例子的方法判断②；根据指数函数的单调性判断③；利用指数幂的运算并采用作差法判断④. 【详解】对于①：因为()()()12121212122,222x x x x x x f x x f x f x +++=⋅=⋅=，所以()()()1212f x x f x f x +=⋅，故①正确；对于②：取121,2x x ==，所以()()()()121224,246f x x f f x f x ⋅==+=+=，所以()()()1212f x x f x f x ⋅=+不恒成立，故②错误；对于③：因为()2xf x =是R 上的增函数，所以()()()12120x x f x f x -⋅->⎡⎤⎣⎦，故③错误；对于④：因为()()121212122222,=222x x x x f x f x x x f ++++⎛⎫= ⎪⎝⎭，且12121212121222222222222422220242x x x x x x x x x x x x ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅-⋅--==> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭，故④正确， 所以正确的有：①④， 故答案为：①④. 【点睛】结论点睛：可直接判断函数单调性的几种变形形式： （1）已知12,x x D ∀∈（D 为函数定义域），且12x x ≠，都有()()()()12120x x f x f x -->或()()12120f x f x x x ->- 成立，则()f x 为单调递增函数；（2）已知12,x x D ∀∈（D 为函数定义域），且12x x ≠，都有()()()()12120x x f x f x --<或()()12120f x f x x x -<- 成立，则()f x 为单调递增函数.17．【分析】根据二次函数和分式函数的单调性求解即可【详解】根据与在区间上都是减函数又的对称轴为所以又在区间上是减函数所以所以即的取值范围为故答案为：【点睛】本题考查了已知函数的单调性求参数问题考查了数学解析：(]01， 【分析】根据二次函数和分式函数的单调性求解即可. 【详解】根据2()2f x x ax =-+与()ag x x=在区间[1，2]上都是减函数， 又()f x 的对称轴为x a =，所以1a ≤， 又()ag x x=在区间[1，2]上是减函数，所以0a > 所以01a <≤，即a 的取值范围为(]01，． 故答案为：(]01，【点睛】本题考查了已知函数的单调性求参数问题，考查了数学运算能力.属于中档题.18．16【分析】二次函数的值域为得到求得值得解【详解】因为的值域为所以则又所以故答案为：16【点睛】二次函数的值域为得到是解题关键解析：16 【分析】二次函数()f x 的值域为[)0,+∞得到240a ∆=-=求得a 值得解 【详解】因为()2()10f x x ax a =++>的值域为[0,)+∞，所以240a ∆=-=，则2a =±.又0a >，所以2,a =.22()21,(3)323116f x x x f ∴=++∴=+⨯+=故答案为：16 【点睛】二次函数()f x 的值域为[)0,+∞得到0∆=是解题关键.19．8【分析】由条件可得：当则即则即但元素3与集合的关系不确定3属于时6属于的补集；3属于的补集时6属于；而元素5没有限制【详解】由①；②若则；③若则当则即则即但元素3与集合的关系不确定3属于时6属于的解析：8 【分析】由条件可得：当1A ∈，则2A ∉，即2UA ∈，则4UA ∉，即4A ∈，但元素3与集合A的关系不确定，3属于A 时，6属于A 的补集；3属于A 的补集时，6属于A ；而元素5没有限制． 【详解】由①A U ⊆；②若x A ∈，则2x A ∉；③若Ux A ∈，则2Ux A ∉．当1A ∈，则2A ∉，即2UA ∈，则4UA ∉，即4A ∈，但元素3与集合A 的关系不确定，3属于A 时，6属于A 的补集；3属于A 的补集时，6属于A ； 而元素5没有限制．{1,4,6},{2,3,5},{2,3},{1,4,5,6},{1,3,4},{2,4,5},{2,A ∴=6},{1,3,4,5}，同时满足条件①②③的集合A 的个数为8个． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了集合的运算性质、元素与集合的关系，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于中档题．20．2【分析】由题意首先确定集合ABC 的关系然后结合子集个数公式即可确定集合C 的个数【详解】由条件可知：则符合条件的集合C 的个数即为集合{3}的子集的个数共个事实上满足题意的集合C 为：或故答案为2【点睛解析：2 【分析】由题意首先确定集合ABC 的关系，然后结合子集个数公式即可确定集合C 的个数. 【详解】由条件A C B C ⋂=⋃可知：()()()()B B C A C C B C A C A ⊆⋃=⋂⊆⊆⋃=⋂⊆，则符合条件的集合C 的个数即为集合{3}的子集的个数，共122=个. 事实上，满足题意的集合C 为：{}1,2C =或{}1,2,3C =. 故答案为2． 【点睛】本题主要考查集合的包含关系，子集个数公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题21．（1）图象见解析；（2）1；（3）10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭．【分析】（1）化简函数()f x 的解析式，进而可作出函数()f x 的图象； （2）分别解方程()13f x=和()3f x =，结合图象可得出a 、b 的值，进而可求得结果； （3）由题意可知函数()f x 在区间[],a b 上单调递增，分析得出方程210mx x -+=在[)1,+∞上有两个不等的实根，利用二次函数的零点分布可得出关于实数m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围. 【详解】（1）由题意可得()(]()()11,0,11111,,01,x xf x x x x⎧-∈⎪⎪=-=⎨⎪-∈-∞⋃+∞⎪⎩，则由图形变换可画出函数图象，如图：（2）当()13f x =时，此时1113x -=，解得32x =或34x =；当()3f x =时，此时113x -=，解得12x =-或14x =.由（1）中的图象可知，若使得函数()f x 在区间[],a b 上的值域为1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则[](),0,a b ⊆+∞，由图象可得1344a b ==，，所以1a b +=； （3）因为函数()f x 的定义域是[],a b ，值域是[](),0ma mb m >，分以下几种情况讨论：①若0a b <<，则0ma mb <<，由图象可知，函数()f x 在[],a b 上单调递增，函数()f x 在[],a b 上的值域为()(),f a f b ⎡⎤⎣⎦，由图象可知()()00f a f b ⎧>⎪⎨>⎪⎩，不合乎题意；②若01a b <<<，则函数()f x 在[],a b 上单调递减，所以函数()11f x x =-在[],a b 上的值域为()(),f b f a ⎡⎤⎣⎦，则()()1111f b ma bf a mba ⎧=-=⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩， 上述两个等式相减得1m ab =，将1m ab =代入11ma b-=可得10，矛盾； ③若01a b <<≤，则[]0,ma mb ∈，而0ma >，0mb >，矛盾； ④若1b a >≥，函数()f x 在[],a b 上单调递增，又函数()f x 在[)1,+∞上单调递增，所以()()fa ma fb mb ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即1111ma a mbb⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，则a 、b 为方程11mx x-=的两个根，即210mx x -+=在[)1,+∞上有两个不等实根， 可设()21g x mx x =-+，则有()14010112m g m m⎧⎪∆=->⎪=≥⎨⎪⎪>⎩，解得104m <<，所以实数m 的取值范围为10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【点睛】方法点睛：本题考查利用二次函数的零点分布求参数，一般要分析以下几个要素： （1）二次项系数的符号； （2）判别式； （3）对称轴的位置； （4）区间端点函数值的符号. 结合图象得出关于参数的不等式组求解.22．（1）开始授课后10分钟，学生的注意力最集中，能维持6分钟；（2）不能在学生一直达到所需注意力的状态下讲完这道题 【分析】（1）根据函数()f x 的解析式，判断其单调性，可求出答案；（2）分010x <<，1016x ≤≤和1630x <≤三种情况，分别解不等式()55f x ≥，进而可求出集中注意力的时间总和，然后和10分钟比较大小，可得出答案.【详解】（1）由题意，当010x <<时，()59f x x =+，此时函数单调递增； 当1016x ≤≤时，函数()f x 取得最大值，此时()59f x =； 当1630x <≤时，()3107f x x =-+，此时函数单调递减. 所以，开始授课后10分钟，学生的注意力最集中，能维持6分钟.（2）当010x <<时，令()55f x ≥，即5955x +≥，解得9.210x ≤<，集中注意力时间共109.20.8-=分钟；当1016x ≤≤时，()5955f x =≥，集中注意力时间共6分钟； 当1630x <≤时，令()55f x ≥，即310755x -+≥，解得52163x <≤，则集中注意力时间共5241633-=分钟， 因为41220.8610315++=<，所以不能在学生一直达到所需注意力的状态下讲完这道题. 【点睛】关键点点睛：本题考查分段函数的应用，解题关键是利用函数的解析式，判断函数在各个分段上的单调性，及解不等式()55f x ≥.考查学生的逻辑推理能力，计算求解能力，属于中档题.23．（1）2a =；(1,3)-；（2）2. 【分析】（1）由函数值求得a ，由对数的真数大于0可得定义域；（2）函数式变形为22()log (1)4f x x ⎡⎤=--+⎣⎦，由复合函数的单调性得出单调区间后可得最大值． 【详解】 解：（1）(1)2f =，log (11)log (31)log 42a a a ∴++-==，解得2(0,1)a a a =>≠，由1030x x +>⎧⎨->⎩，得(1,3)x ∈-.∴函数()f x 的定义域为()13-，.（2）22222()log (1)log (3)log (1)(3)log (1)4f x x x x x x ⎡⎤=++-=+-=--+⎣⎦∴当[0,1]x ∈时，()f x 是增函数；当3[1,]2x ∈时，()f x 是减函数.所以函数()f x 在3[0,]2上的最大值是2(1)log 42f ==. 【点睛】本题考查对数函数的性质，掌握复合函数的单调性解题关键：（前提条件：在函数定义域内）24．（1）2,3k b =-=；（2）{}2x x <-. 【分析】（1）根据指数函数的定义列出方程，求解即可； （2）根据指数函数的单调性解不等式即可； 【详解】解：（1）∵函数()()()331xf x k a b a =++->是指数函数∴31,30k b +=-= ∴2,3k b =-= （2）由（1）得()()1xf x aa =>，则函数()f x 在R 上单调递增()()2743f x f x ->-2743x x ∴->-，解得2x <- 即不等式解集为{}2x x <-； 【点睛】本题主要考查了根据函数为指数函数求参数的值以及根据指数函数的单调性解不等式，属于中档题.25．（1）(,3][1,)-∞-⋃-+∞（2）()1,-+∞ 【分析】（1）根据二次函数对称轴与区间关系，即可求解； （2）分离参数可得42(1)4k x ->--，求出44y x =--的最大值即可求解. 【详解】（1）由函数2()2(1)4f x x k x =+-+知，函数()f x 图象的对称轴为1x k =-. 因为函数()f x 在区间[]2,4上具有单调性， 所以12k -≤或14k -≥，解得3k ≤-或1k ≥-，所以实数k 的取值范围为(,3][1,)-∞-⋃-+∞.（2） 因为()0f x >对任意的[1,2]x ∈恒成立， 所以可得42(1)k x x ->--对任意的[1,2]x ∈恒成立，因为44()44y x x x =--=-+≤-=-，当且仅当2x =时等号成立， 即max 4y =-，所以只需2(1)4k ->-，解得1k -<，所以实数k 的取值范围为()1,-+∞.【点睛】关键点睛：不等式在某区间上恒成立求参数的取值范围，一般需要分离参数，转化为求最值问题，往往可以利用函数单调性或均值不等式求最值，即可求出答案，本题中利用了均值不等式，特别注意等号是否能取到，否则不能用均值不等式求最值.26．（1）1|32x x ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭，1|02x x ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭；（2）{1|2a a ≤-或}4a ≥. 【分析】（1）化简集合，利用集合的交并补运算求解即可；（2）讨论A =∅，A ≠∅两种情况，列出相应的不等式，求解即可得出答案.【详解】（1）若12a =时，12,{03}2A x x B x x ⎧⎫=-<<=<≤⎨⎬⎩⎭∣∣ ∴1|32A B x x ⎧⎫⋃=-<≤⎨⎬⎩⎭，由{|0U B x x =≤或3}x > 所以()1|02U A B x x ⎧⎫⋂=-<≤⎨⎬⎩⎭（2）由A B =∅知当A =∅时，121,2a a a -≥+∴≤-当A ≠∅时，21113a a a +>-⎧⎨-≥⎩或211210a a a +>-⎧⎨+≤⎩4a ∴≥或122a -<≤- 综上：a 的取值范围是{1|2a a ≤-或}4a ≥. 【点睛】本题主要考查了集合的交并补混合运算以及根据交集的结果求参数的范围，属于中档题.。

高一数学必修一复习试题（二） 一、填空题 1、已知集合A={x ∣x=2n+1,n ∈Z},B ={x ∣x=n+1,n ∈Z}，则集合A 、B 的关系是2、已知A ={x |y =x ,x ∈R },B ={y |y =x 2,x ∈R },则A ∩B 等于3、函数f (x )=x 2+2(a －1)x +2在区间(-∞,4］上递减,则a 的取值范围是4、已知函数f (x )=12++mx mx 的定义域是一切实数,则m 的取值范围是5、某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：(1)如果不超过200元，则不给予优惠；(2)如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠；(3)如果超过500元，其500元内的按第(2)条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠. 某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他一次性购买上述两次同样的商品，则应付款是6、已知函数f (n )=⎩⎨⎧<+≥-),10)](5([),10(3n n f f n n 其中n ∈N ，则f (8)等于 7、集合M={a|a -56∈N,且a ∈Z},用列举法表示集合M=_______ ___. 8、函数)23(log 32-=x y 的定义域为______________9、函数y =⎪⎩⎪⎨⎧>+≤<+≤+1)( 5-1),(030),( 32x x x x x x 的最大值是_______. 10、构造一个满足下面三个条件的函数实例，①函数在)1,(--∞上递减；②函数具有奇偶性；③函数有最小值为； .二、解答题11、已知全集U={x|1<x<7},A={x|2≤x<5},B={ x|3x-7≥8-2x},求A ∩B 及C U A.12、计算；(1) 12 log 2（748 ）+log 212 - 12log 2422 x 在区间［2,6］上的最大值和最小值.13、（本小题满分12分）求函数y=1。

一、集合1. 已知全集R =U ，设函数()12lg -=x y 的定义域为集合M ，集合{}2≥=x x N ，则)(N C M U 等于.A ]221[， .B )221[， .C ]221(， .D )221(， 2. 定义集合运算：{|(),,}A B z z xy x y x A y B ⊗==+∈∈.已知集合{1,2},{2,3}A B ==，则集合A B ⊗的所有元素之和为________.二、函数概念1.函数概念(1)下列各组中的两个函数是同一函数的为 ①1)5)(1(+-+=x x x y ，5-=x y ②x y =，33x y =③x y =，2x y = ④()()21log 2--=x x y ,()1log2-=x y +()2log 2-x .A ①② .B ③④ .C ② .D ②③2.函数定义域（1）函数22()log (43)f x x x =-+的定义域为___________________(D) [)1,0 3.数()()2l o g 2f x x =+在定义域A 上的值域]，则实数m 的取值范围是 . 4.(1)已知1(1)232f x x -=+，()6f m =，则m 等于（ ） A ．14 B ．32- C ．32 D ．14-（2）三、函数性质1.函数的单调性2.函数的最值(3)若函数2lg(1)y x =+的定义域为[a ，b ]，值域为[0，1]，则a + b 的最大值为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．103.函数的奇偶性（1）已知4)(57-+=bx ax x f ，其中b a ,为常数，若4)3(=-f ，则)3(f 的值等于.A 8- .B 10- .C 12- .D 4- (2)设函数)(x f 为定义在R 上的偶函数，当0>x 时，x x f ln )(=，则0)(>x f 的解集为( )A) D 、),1()1,(+∞--∞4.（)()g x +为R 上的奇函数．（12+①判断并证明函数()f x 的奇偶性；②求函数()f x 的值域.（3）设函数11()221x f x =-+，(Ⅰ)证明函数()f x 是奇函数； (Ⅱ)证明函数()f x 在(,)-∞+∞内是增函数； (Ⅲ)求函数()f x 在[1,2]上的值域。

2 0 1 5年 底 数 学 必 修 一 复 习 详 细 资 料 及 例题第一章 集合及其运算一．集合的概念、分类： 二．集合的特征：⑴ 确定性 ⑵ 无序性 ⑶ 互异性 三．表示方法：⑴ 列举法 ⑵ 描述法 ⑶ 图示法⑷ 区间法四．两种关系：从属关系：对象 、 集合；包含关系：集合 、五．三种运算：A IB {x | x A 且x B } 交集：A UB {x | x A 或x B }并集：ð A {x | x U 且x A }U补集：六．运算性质：Ü集合⑴A UA ， A I．⑵ 空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集．⑶ 若 A B，则A IB A ， A U BB．⑷⑸A I （ð A ）A U （ð A ） 痧（ A ）U，U， U U．（痧A ）I （ B ）ð（A U B ） （痧A ）U （ B ）ð（A I B ） UU U，U U U．⑹ 集合{a , a , a , ,a }123n的所有子集的个数为 2 n ，所有真子集的个数为 2n 1，所有非空真子集的个数为 2n2，所有二元子集（含有两个元素的子集）的个数为 C2 n ．第二章 函数 指数与对数运算一．分数指数幂与根式：如果，则称 是 的 次方根， 的 次方根为 0，若，则当 为奇数时，a的 次方根有 1 个，记做n a；当 为偶数时，负数没有 次方根，正数 的 次方根有 2UAx n a x a n0 n a 0nn nna n个，其中正的 次方根记做 ．负的 次方根记做 ． 1．负数没有偶次方根；2．两个关系式：；na na n 为奇数 | a | n 为偶数3、正数的正分数指数幂的意义：m an n a m；正数的负分数指数幂的意义：m ann 1am．4、分数指数幂的运算性质：⑴a m a n a m n； ⑵a ma na m n；⑶；⑷；⑸ ，其中 、 均为有理数， ， 均为正整数 二．对数及其运算1．定义：若 abN (a 0，且 ，，则 a ．2．两个对数：⑴ 常用对数： ，b log N lg N 10； ⑵ 自然对数：a e 2.71828，b log N ln N e．3．三条性质：⑴ 1 的对数是 0，即log 1 0a；⑵ 底数的对数是 1，即log a 1a；⑶ 负数和零没有对数． 4．四条运算法则：⑴log ( M N ) log M log N a a a； ⑵Mlog log M log N N；⑶log M nn log Maa；⑷loganM1nlog M a ．5．其他运算性质：nna nna( n a ) n a(a m ) n a m n(a b)ma mb ma 01m n a ba 1 N 0)b log N a 10aa a⑴ 对数恒等式： alog bb；⑵ 换底公式：log balog ac log b c；⑶log b log c log c log b l o g a 1 a ba；a b；⑷log ba mnnlog b m．函数的概念一．映射：设 A 、B 两个集合，如果按照某中对应法则f，对于集合 A 中的任意一个元素，在集合 B 中都有唯一的一个元素与之对应，这样的对应就称为从集合 A 到集合 B 的映射．二．函数：在某种变化过程中的两个变量 、 ，对于 在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，则称 是 的函数，记做y f ( x )，其中 称为自变量， 变化的范围叫做函数的定义域，和 对应的y的值叫做函数值，函数值y的变化范围叫做函数的值域．三．函数y f ( x )是由非空数集 A 到非空数集 B 的映射．四．函数的三要素：解析式；定义域；值域． 函数的解析式一．根据对应法则的意义求函数的解析式；例如：已知f ( x 1) x 2 x，求函数f ( x )的解析式．二．已知函数的解析式一般形式，求函数的解析式；例如：已知f ( x )是一次函数，且f [ f ( x )] 4 x 3，函数f ( x )的解析式．三．由函数f ( x )的图像受制约的条件，进而求f ( x )的解析式．函数的定义域一．根据给出函数的解析式求定义域：⑴ 整式：xR⑵ 分式：分母不等于 0⑶ 偶次根式：被开方数大于或等于 0a a x y xyxx xx⑷含0次幂、负指数幂：底数不等于0 ⑸对数：底数大于0，且不等于1，真数大于0二．根据对应法则的意义求函数的定义域：例如：已知y f(x)定义域为[2,5]，求y f(3x 2)定义域；已知y f(3x 2)定义域为[2,5]，求y f(x)定义域；三．实际问题中，根据自变量的实际意义决定的定义域．函数的值域一．基本函数的值域问题：名称一次函数解析式y kx b值域Ra 0时，[4ac b4a2,)二次函数y ax2bx ca 0时，(,4ac b4a2]反比例函数y kx{y|y R，且y 0}指数函数y a x{y|y 0}对数函数三角函数y log xay sin xy cos xy tan xR{y |1y 1}R二．求函数值域（最值）的常用方法：函数的值域决定于函数的解析式和定义域，因此求函数值域的方法往往取决于函数解析式的结构特征，常用解法有：观察法、配方法、换元法（代数换元与三角换元）、常数分离法、单调性法、不等式法、*反函数法、*判别式法、*几何构造法和*导数法等．反函数一．反函数：设函数y f(x) (x A)的值域是，根据这个函数中，y的关系，用y把表示出，得到x (y)．若对于中的每一y值，通过x (y)，都有唯一的一个xC xx C与之对应，那么，x(y ) 就表示 y 是自变量， 是自变量 的函数，这样的函数x(y )( y C )叫做函数y f ( x ) ( x A )的反函数，记作x f 1( y ),习惯上改写成y f 1( x )．二．函数f ( x )存在反函数的条件是： 、y一一对应． 三．求函数f ( x )的反函数的方法：⑴ 求原函数的值域，即反函数的定义域⑵ 反解，用y表示，得x f 1( y )⑶ 交换 、y y f 1( x )⑷ 结论，表明定义域四．函数y f ( x )与其反函数y f 1( x )的关系：⑴ 函数y f ( x )与y f 1( x )的定义域与值域互换．⑵ 若y f ( x )图像上存在点(a , b )，则y f 1( x )的图像上必有点(b , a )，即若f (a ) b，则 f 1(b ) a．⑶ 函数y f ( x )与y f 1( x )的图像关于直线y x对称．函数的奇偶性：一．定义：对于函数f ( x )定义域中的任意一个 ，如果满足f (x )f ( x )，则称函数f ( x )为奇函数；如果满足f (x ) f ( x )，则称函数f ( x )为偶函数．二．判断函数f ( x )奇偶性的步骤：1．判断函数f ( x )的定义域是否关于原点对称，如果对称可进一步验证，如果不对称；2 ． 验 证f ( x )与f (x )的 关 系 ， 若 满 足f (x )f ( x )， 则 为 奇 函 数 ， 若 满 足f (x ) f ( x )，则为偶函数，否则既不是奇函数，也不是偶函数．二．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称．x y xx x，得 x三．已知f(x)、g(x)分别是定义在区间M 、N(M I N )上的奇（偶）函数，分别根据条件判断下列函数的奇偶性．f(x)g(x)f(x)1f (x)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)奇奇奇奇偶奇奇偶偶奇奇奇偶偶偶偶偶偶五．若奇函数f(x)的定义域包含，则f (0)0．六．一次函数y kx b (k 0)是奇函数的充要条件是；二次函数y ax bx c (a 0)是偶函数的充要条件是．函数的周期性：一．定义：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x T)f(x)，则f(x)为周期函数，T为这个函数的一个周期．2．如果函数f(x)所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的T最小正周期．如果函数f(x)的最小正周期为，则函数f(a x)的最小正周期为|a|．函数的单调性一．定义：一般的，对于给定区间上的函数f(x)，如果对于属于此区间上的任意两个自变量的值x1，x x x2，当12时满足：⑴⑵f(x)f(x )12f(x)f(x)12，则称函数，则称函数f(x)f(x)在该区间上是增函数；在该区间上是减函数．二．判断函数单调性的常用方法：0b 02b 0T1．定义法：⑴取值；⑵作差、变形；⑶判断：⑷定论：*2．导数法：⑴求函数f(x)的导数f '(x)；⑵解不等式⑶解不等式f '(x)0f '(x)0，所得x的范围就是递增区间；，所得x的范围就是递减区间．3．复合函数的单调性：对于复合函数y f[g(x)]，设u g(x)，则y f(u)，可根据它们的单调性确定复合函数y f[g(x)]，具体判断如下表：y f(u)增增减减u g(x)y f[g(x)]增增减减增减减增4．奇函数在对称区间上的单调性相反；偶函数在对称区间上的单调性相同．函数的图像一．基本函数的图像．二．图像变换：y f(x)y f(x)k将y f(x)图像上每一点向上(k 0)或向下(k 0)平移|k|个单位，可得y f(x)k的图像y f(x)y f(x h)将y f(x)图像上每一点向左(h 0)或向右(h 0)平移|h|个单位，可得y f(x h)的图像y f(x)y af(x)将y f ( x )图像上的每一点横坐标保持不变，纵坐标拉伸 (a 1)或压缩(0 a 1)为原来的 a倍，可得y af ( x )的图像y f ( x )y f (a x )将y f ( x )图像上的每一点纵横坐标保持不变，横坐标压缩(a 1)或拉伸1(0 a 1) 为原来的 ，可得 y f (a x ) 的图像y f ( x )y f (x )关于 y轴对称y f ( x )y f ( x )关于 轴对称y f ( x )y f (| x |)将y f ( x )位于 y轴左侧的图像去掉，再将y轴右侧的图像沿y轴对称到左侧，可得y f (| x |)的图像y f ( x )y | f ( x ) |将y f ( x )位于 轴下方的部分沿 轴对称到上方，可得y | f ( x ) |的图像三．函数图像自身的对称关系图像特征f ( x ) f (x )关于y轴对称f ( x ) f (x )关于原点对称a xx xf (a x ) f ( x a )关于 y轴对称f (a x ) f (a x )关于直线 对称f ( x ) f (a x )关于直线xa 2 轴对称f (a x ) f (b x )关于直线xa b 2 对称f ( x ) f ( x a )四．两个函数图像的对称关系周期函数，周期为图像特征ay f ( x )与y f (x )关于y轴对称y f ( x )y f ( x )与与yf ( x )yf (x )关于轴对称关于原点对称y f ( x )与y f 1( x )关于直线yx对称y f ( x a )与y f (a x )关于直线 对称y f (a x )与f (a x )关于 y轴对称第 1 章集 合§1.1 集合的含义及其表示重难点：集合的含义与表示方法，用集合语言表达数学对象或数学内容；区别元素与集合等概念及其符号表示；用集合语言（描述法）表达数学对象或数学内容；集合表示法的恰当选择．xa x xa考纲要求：①了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系；②能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题．经典例题：若x∈R，则｛3，x，x2－2x｝中的元素x应满足什么条件?当堂练习：1．下面给出的四类对象中，构成集合的是（）A．某班个子较高的同学B．长寿的人C． 2．下面四个命题正确的是（）2的近似值D．倒数等于它本身的数A．10以内的质数集合是{0，3，5，7}B．由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1} C．方程x22x 10的解集是{1，1}D．0与{0}表示同一个集合3．下面四个命题：（1）集合N中最小的数是1；（2）若 -a Z，则a Z；（3）所有的正实数组成集合R+；（4）由很小的数可组成集合A；其中正确的命题有（）个A．1 B．2 C．3 D．44．下面四个命题：（1）零属于空集；（2）方程x2-3x+5=0的解集是空集；（3）方程x2-6x+9=0的解集是单元集；（4）不等式2 x-6>0的解集是无限集；其中正确的命题有（）个A．1 B．2 C．3D．45．平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合是( )A． {x,y且x 0,y 0} B． {(x,y)x 0,y 0}C. {(x,y)x 0,y 0}D. {x,y且x 0,y 0}6．用符号或填空：0__________{0}，a__________{a}，__________Q，12__________Z，－1__________R，0__________N，0．7．由所有偶数组成的集合可表示为{x x }．8．用列举法表示集合D={(x,y)y x28,x N, y N}为．9．当a满足时, 集合A＝{x3x a 0,x N}表示单元集．10．对于集合A＝{2，4，6}，若a A，则6－a A，那么a的值是__________．11．数集{0，1，x2－x}中的x不能取哪些数值？12．已知集合A＝{x N|126－xN }，试用列举法表示集合A．13.已知集合A={x ax22x 10,a R,x R}.(1)若A中只有一个元素,求a的值;(2)若A中至多有一个元素,求a的取值范围.14.由实数构成的集合A满足条件:若a A,a 1,则1A,证明：1a（1）若2A，则集合A必还有另外两个元素，并求出这两个元素；（2）非空集合A中至少有三个不同的元素。

江苏省高一数学期末复习2（必修1）命题、校对一、填空题(每小题5分,共70分)1. 设{0,1,2,3}U =，2{|0}A x U x mx =∈+=，若C{1,2}UA =，则实数m =______；2. 若集合121log 2A x x ⎧⎫⎪⎪=≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则A =______；3. 下列各组函数中，是同一函数的有_________；（填序号）①y x y x x =+=++214412与；②f x x g x x ()||()==与2；③yx xxy x =-=-21与； ④yx x u v v =++=++32132122与；⑤11111x y y x x x -==++-与 ； 4. 函数1)52(log +-=x y a 恒过定点_______；5. 向高为H 的水瓶中注水，若注满为止，注水量V 与水深h 的函数关系图象如图所示， 那么水瓶的形状是______；6. 函数y x x =-||()1增增区间为________；7. 若函数f x x x m ()=-+24在区间[]03，上的最大值是6，则实数m=_____。

8. 关于x 的方程||x a 2430-+-=有三个不相等的实数根，则实数a 的值是____； 9. 若f x x x 11-+⎛⎝⎫⎭⎪=，则满足fx M f x ()()--=-2的M 的值是_______； 10. 已知函数[)f x b b x x()l g ()()=-⊂+∞21为常数，若，时，f x ()≥0恒成立，b 范围是____；11.已知1()lg4(1xf x a a b R x+=+∈-，，且，不全为零a b )，若()[]f lg 235+=， 则[]f lg ()23-的值是_______； 12. 若不等式2430x x p ++-=，[]0,4有解，则实数x 的取值范围是_________；O H h13. 函数21()2x x a f x a+=-为奇函数，则实数a 的值为_______；14. 二次函数2()42(2)1f x x p x p =---+在[]-11，内至少存在一个实数c ，使f c ()>0， 则实数p 的取值范围是________； 二、解答题15.已知集合{}|14A x x =≤≤，集合{}|2B x m x m =≤≤+，{}|14,C x x x N =≤≤∈， ⑴若A B A =，求实数m 的取值范围；⑵若C B 中有两个元素，求实数m 的取值范围；16.已知函数()f x 满足2(1)31f x x +=+（[]1,3x ∈-）， ⑴求函数()f x 的单调增区间；⑵若方程()2f x mx =+只有一个实根，求m 的取值范围。

江苏高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.已知全集，则 .2.函数的最小正周期为 .3.幂函数的定义域为 .4.平面直角坐标系中，角的终边上有一点P，则实数的值为 .5.已知，把按从小到大的顺序用“”连接起来： .6.半径为，圆心角为的扇形面积为.7.函数（且）的图象必经过定点P，则点P的坐标为 .8.已知，，若的夹角为，则 .9.已知函数的一个零点大于1，另一个零点小于1，则实数的取值范围为 .10.如图，平行四边形中，是边上一点，为与的交点，且，若，，则用表示 .11.若，不等式恒成立，则实数的取值范围为 .12.将函数的图象先向右平移个单位，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若，则函数的值域为 .13.已知中，边上的中线AO长为2，若动点满足，则的最小值是 .14.已知定义在上的函数为单调函数，且，则 .二、解答题1.已知，且是第一象限角．（1）求的值；（2）求的值.2.已知，，当为何值时，（1）与垂直？（2）与平行？平行时它们是同向还是反向？3.已知函数（其中）的部分图象如图所示．（1）求函数的解析式；（2）求函数的单调增区间；（3）求方程的解集．4.已知函数且的图象经过点．（1）求函数的解析式；（2）设，用函数单调性的定义证明：函数在区间上单调递减；（3）解不等式：．5.我国加入WTO后，根据达成的协议，若干年内某产品关税与市场供应量的关系允许近似的满足：（其中为关税的税率，且，为市场价格，、为正常数），当时的市场供应量曲线如图：（1）根据图象求、的值；（2）若市场需求量为，它近似满足．当时的市场价格称为市场平衡价格．为使市场平衡价格控制在不低于9元，求税率的最小值．6.已知函数，．（1）若，判断函数的奇偶性，并加以证明；（2）若函数在上是增函数，求实数的取值范围；（3）若存在实数使得关于的方程有三个不相等的实数根，求实数的取值范围．江苏高一高中数学期末考试答案及解析一、填空题1.已知全集，则 .【答案】【解析】求就是求补集，也就是在全集中去掉原集合中的元素的集合，去掉剩下所以，解这类问题，一需明确全集范围，二是将结果写成集合形式.【考点】补集.2.函数的最小正周期为 .【答案】【解析】由三角函数的最小正周期得.解决这类问题，须将函数化为形式，在代时，必须注意取的绝对值，因为是求最小正周期.【考点】三角函数的周期计算.3.幂函数的定义域为 .【答案】【解析】因为所以定义域为.求函数定义域、值域，及解不等式时，需明确最后结果应是解集的形式.列不等式时要分清是否含有等号,这是解题的易错点. 幂函数的定义域，不仅看值的正负，而且看的奇偶.【考点】幂函数的定义域.4.平面直角坐标系中，角的终边上有一点P，则实数的值为 .【答案】1【解析】由三角函数定义知，若角的终边过异于原点的点则因此.由三角函数定义求三角函数值是一种本质方法，在高考解答题中也时有出现.本题易错点在于要由确定点在第一象限，所以【考点】三角函数定义.5.已知，把按从小到大的顺序用“”连接起来： .【答案】【解析】多个数比较大小，一般先进行分类.因为，所以最小，只需比较大小即可. 是两种不同形式，一个是对数值，另一个是三角函数值，比较它们大小需借助第三量进行传递，第三量选择为数1，即【考点】比较大小.6.半径为，圆心角为的扇形面积为.【答案】【解析】因为扇形面积为，所以本题在运用公式求面积时需将圆心角化为弧度，这是与初中的扇形面积公式的区别.【考点】扇形面积.7.函数（且）的图象必经过定点P，则点P的坐标为 .【答案】（2,0）【解析】求函数过定点问题可有两个思路，一是几何方法，从函数图像出发，找出定点，因为对数函数过定点，所以过定点（2,0），这是因为函数向右平移一个单位就得到，二是代数方法，从函数解析式出发，研究什么点的取值与无关，由知当取1，即取2时，恒等于0，即点（2,0）恒在函数上.【考点】函数过定点问题，函数图像变换.8.已知，，若的夹角为，则 .【答案】【解析】因为，，的夹角为，所以而求向量的模，一般先求其平方.【考点】向量数量积.9.已知函数的一个零点大于1，另一个零点小于1，则实数的取值范围为 .【答案】【解析】令，则由得实数的取值范围为，本题可结合二次函数图像理解，也可从零点存在定理理解.二次函数在有一个根，在有另一根，而时，恒大于零，所以【考点】实根分布，二次函数图像，零点存在定理.10.如图，平行四边形中，是边上一点，为与的交点，且，若，，则用表示 .【答案】【解析】若,这就是向量定比分点公式.由向量定比分点公式得【考点】向量定比分点公式，向量三角形法则.11.若，不等式恒成立，则实数的取值范围为 .【答案】【解析】不等式恒成立通常用分离变量法.由不等式得，而当时，所以.用分离变量法解不等式恒成立问题时，一要注意方向，是取最大值，还是最小值；二是注意等号是否取到.【考点】不等式恒成立.12.将函数的图象先向右平移个单位，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若，则函数的值域为 .【答案】【解析】由知，.由得，所以函数的值域为.求值域时需结合三角函数图像取最大与最小.【考点】三角函数图像与性质13.已知中，边上的中线AO长为2，若动点满足，则的最小值是 .【答案】【解析】若三点共线，则,反之也成立.由得三点共线且. 等于【考点】向量共线，基本不等式.14.已知定义在上的函数为单调函数，且，则 .【答案】【解析】设，令，则由题意得：，即；再令，则由题意得：，即，，∵函数为上的单调函数，解得：，即.【考点】函数值域，不等式恒成立，等比数列前n项和.二、解答题1.已知，且是第一象限角．（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）利用同角三角函数关系中平方关系：得再由是第一象限角，舍去负值，得（2）先根据诱导公式将式子统一成一个角：，再利用同角三角函数关系解出值.试题解析：（1）∵ α是第一象限角∴∵∴cosα＝＝ 5分（2）∵ 7分∴＝tanα＋ 14分【考点】诱导公式，同角三角函数关系.2.已知，，当为何值时，（1）与垂直？（2）与平行？平行时它们是同向还是反向？【答案】（1）；（2）,方向相反.【解析】（1）向量，则；（2）向量，则.向量方向决定于系数正负.试题解析：， 4分（1）由，得：，解得：． 8分（2）由，得，解得：， 12分此时，所以它们方向相反． 14分【考点】向量平行与垂直关系.3.已知函数（其中）的部分图象如图所示．（1）求函数的解析式；（2）求函数的单调增区间；（3）求方程的解集．【答案】(1) ,(2),(3)或.【解析】（1）由图求三角函数解析式，关键从图中找出有效信息.从最值可得振幅A，从平衡点(或零点)到最值可求周期，要注意是四分之一周期，代最值点可求初相，注意初相取值范围，（2）根据所求解析式求单调增区间，也可直接从图像写出增区间，如从最小到最大就为一个增区间，(3) 根据所求解析式求零点，也可直接从图像写出根，如就为一个根，为下一个根.试题解析：（1）由图知，， 1分周期， 3分又，，，． 6分（2） 8分∴函数的单调增区间为： 11分（3）∵∴， 13分∴，∴方程的解集为． 15分或观察图象并结合三角函数的周期性写出解集为：或，也得分．结果不以集合形式表达扣1分．【考点】根据图像求三角函数解析式，求三角函数增区间，求三角函数零点.4.已知函数且的图象经过点．（1）求函数的解析式；（2）设，用函数单调性的定义证明：函数在区间上单调递减；（3）解不等式：．【答案】（1），（2）详见解析，（3）或.【解析】（1）求函数的解析式,只需确定的值即可，由函数且的图象经过点，得，再由得，（2）用函数单调性的定义证明单调性，一设上的任意两个值，二作差，三因式分解确定符号，（3）解不等式，一可代入解析式，转化为解对数不等式，需注意不等号方向及真数大于零隐含条件，二利用函数单调性，去“”，注意定义域.试题解析：（1），解得：∵且∴； 3分（2）设、为上的任意两个值，且，则6分，在区间上单调递减． 8分（3）方法（一）：由，解得：，即函数的定义域为； 10分先研究函数在上的单调性．可运用函数单调性的定义证明函数在区间上单调递减，证明过程略．或设、为上的任意两个值，且，由（2）得：，即在区间上单调递减． 12分再利用函数的单调性解不等式：且在上为单调减函数．， 13分即，解得：． 15分方法（二）： 10分由得：或；由得：，13分． 15分【考点】函数解析式，函数单调性定义，解不等式.5.我国加入WTO后，根据达成的协议，若干年内某产品关税与市场供应量的关系允许近似的满足：（其中为关税的税率，且，为市场价格，、为正常数），当时的市场供应量曲线如图：（1）根据图象求、的值；（2）若市场需求量为，它近似满足．当时的市场价格称为市场平衡价格．为使市场平衡价格控制在不低于9元，求税率的最小值．【答案】（1），（2）.【解析】（1）求、的值，需列两个独立条件，利用图象过两点：，得方程组，注意隐含条件可避开讨论，（2）由“市场平衡价格”含义得出与的函数关系式，这是一个二次函数，结合定义域可求出的最小值.试题解析：（1）由图象知函数图象过：，，， 2分得， 4分解得：； 6分（2）当时，，即， 8分化简得： 10分令，，设，对称轴为，所以，当时，取到最大值：，即，解得：，即税率的最小值为． 15分答：税率的最小值为． 16分【考点】函数解析式，函数最值.6.已知函数，．（1）若，判断函数的奇偶性，并加以证明；（2）若函数在上是增函数，求实数的取值范围；（3）若存在实数使得关于的方程有三个不相等的实数根，求实数的取值范围．【答案】（1）奇函数，（2），(3)【解析】（1）函数奇偶性的判定，一要判定定义域是否关于原点对称，二要判定与是否相等或相反，（2）函数是分段函数，每一段都是二次函数的一部分，因此研究单调性，必须研究它们的对称轴，从图像可观察得到实数满足的条件：，(3)研究方程根的个数，通常从图像上研究，结合（2）可研究出函数图像.分三种情况研究，一是上单调增函数，二是先在上单调增，后在上单调减，再在上单调增，三是先在上单调增，后在上单调减，再在上单调增.试题解析：（1）函数为奇函数．[来当时，，，∴∴函数为奇函数； 3分（2），当时，的对称轴为：；当时，的对称轴为：；∴当时，在R上是增函数，即时，函数在上是增函数； 7分（3）方程的解即为方程的解．①当时，函数在上是增函数，∴关于的方程不可能有三个不相等的实数根； 9分②当时，即，∴在上单调增，在上单调减，在上单调增，∴当时，关于的方程有三个不相等的实数根；即，∵∴．设，∵存在使得关于的方程有三个不相等的实数根，∴，又可证在上单调增∴∴； 12分③当时，即，∴在上单调增，在上单调减，在上单调增，∴当时，关于的方程有三个不相等的实数根；即，∵∴，设∵存在使得关于的方程有三个不相等的实数根，∴，又可证在上单调减∴∴； 15分综上：． 16分【考点】函数奇偶性，函数单调性，函数与方程.。

江苏高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.直线与的位置关系为▲．2.在等差数列中, 前9项和▲．3.过点且垂直于直线的直线方程是▲ .(直线方程写为一般式)4.如图，正方体中，、分别是棱与的中点，则直线与直线所成角的大小是▲．5.以点为圆心，且与轴相切的圆的方程为▲．6.设直线过点且与圆相切，则的斜率为▲ .7.．过点且倾斜角是直线的倾斜角的两倍的直线方程是▲．(直线方程写为一般式)8.已知是两条不同直线，是两个不同平面，有下列4个命题：①若，则m∥；②若，则；③若，则；④若是异面直线，，则.其中正确的命题序号是▲．9.设公比为的等比数列的前项和为，若，，成等差数列，则▲．10.若对于一切正实数不等式恒成立，则实数的取值范围是▲．11.在正项等比数列中，公比设则与的大小关系是▲12.记数列的前项和为若是公差为的等差数列，则为等差数列时▲ .13.若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围为▲．14.若实数满足则的最小值为▲二、解答题1.已知圆过点、,且圆心在直线上.（Ⅰ）求圆的方程;（Ⅱ）求圆过点的最短弦所在的直线方程.2.如图四边形是菱形，平面，为的中点.求证：（Ⅰ）∥平面；（Ⅱ）平面平面3.某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为x(≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560+48（单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用＝平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用＝）4.设等差数列的前项和为，等比数列的前项和为已知数列的公比为（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）求5.已知不等式的解集是.（Ⅰ）求集合；（Ⅱ）函数的定义域为集合,若求的取值范围;（Ⅲ）不等式且的解集为，若求的取值范围.6..已知圆以为圆心,为半径,过点作直线与圆交于不同两点（Ⅰ）若求直线的方程;（Ⅱ）当直线的斜率为时,过直线上一点作圆的切线为切点使求点的坐标；（Ⅲ）设的中点为试在平面上找一点,使的长为定值.江苏高一高中数学期末考试答案及解析一、填空题1.直线与的位置关系为▲．【答案】平行【解析】略2.在等差数列中, 前9项和▲．【答案】810【解析】略3.过点且垂直于直线的直线方程是▲ .(直线方程写为一般式)【答案】【解析】略4.如图，正方体中，、分别是棱与的中点，则直线与直线所成角的大小是▲．【答案】【解析】略5.以点为圆心，且与轴相切的圆的方程为▲．【答案】【解析】略6.设直线过点且与圆相切，则的斜率为▲ .【答案】【解析】略7.．过点且倾斜角是直线的倾斜角的两倍的直线方程是▲．(直线方程写为一般式)【答案】【解析】略8.已知是两条不同直线，是两个不同平面，有下列4个命题：①若，则m∥；②若，则；③若，则；④若是异面直线，，则.其中正确的命题序号是▲．【答案】②③【解析】略9.设公比为的等比数列的前项和为，若，，成等差数列，则▲．【答案】【解析】略10.若对于一切正实数不等式恒成立，则实数的取值范围是▲．【答案】【解析】略11.在正项等比数列中，公比设则与的大小关系是▲【答案】【解析】略12.记数列的前项和为若是公差为的等差数列，则为等差数列时▲ .【答案】或【解析】略13.若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围为▲．【答案】【解析】略14.若实数满足则的最小值为▲【答案】【解析】略二、解答题1.已知圆过点、,且圆心在直线上.（Ⅰ）求圆的方程;（Ⅱ）求圆过点的最短弦所在的直线方程.【答案】（Ⅰ）；……6分（Ⅱ）. ……6分【解析】略2.如图四边形是菱形，平面，为的中点.求证：（Ⅰ）∥平面；（Ⅱ）平面平面【答案】（Ⅰ）平面平面平面……6分（Ⅱ）证：平面平面平面平面. ……6分【解析】略3.某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为x(≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560+48（单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用＝平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用＝）【答案】本试题是考察运用导数的思想来解决实际中的最值问题的运用。