第25讲 均值不等式学案 理

3．2 均值不等式学案【预习达标】⒈正数a、b的算术平均数为；几何平均数为．⒉均值不等式是。

其中前者是，后者是．如何给出几何解释？⒊在均值不等式中a、b既可以表示数，又可以表示代数式，但都必须保证；另外等号成立的条件是．⒋试根据均值不等式写出下列变形形式，并注明所需条件）（1）a2+b2 ( ) （2）（）（3）＋（）（4）x＋ (x>0)（5）x＋ (x<0) （6）ab≤（）⒌在用均值不等式求最大值和最小值时，必须注意a+b或ab是否为值，并且还需要注意等号是否成立．6．⑴函数f(x)=x(2－x)的最大值是；此时x的值为___________________；．⑵函数f(x)=2x(2－x)的最大值是；此时x的值为___________________；⑶函数f(x)=x(2－2x)的最大值是；此时x的值为___________________；⑷函数f(x)=x(2＋x)的最小值是；此时x的值为___________________。

【典例解析】例⒈已知a、b、c∈（0，＋∞），且a+b+c=1，求证 ++≥9．例⒉（1）已知x<，求函数y=4x－2+的最大值．（2）已知x>0，y>0，且＝1，求x＋y的最小值。

（3）已知a、b为常数，求函数y=(x-a)2+(x-b)2的最小值。

【达标练习】一．选择题：⒈下列命题正确的是（）Ａ．a2+1>2a Ｂ．│x+│≥2 Ｃ．≤2 Ｄ．sinx+最小值为4．⒉以下各命题(1)x2+的最小值是1；（2）最小值是2；(3)若a>0,b>0,a+b=1则（a+）(b+)的最小值是4，其中正确的个数是（）Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3⒊设a>0,b>0则不成立的不等式为（）Ａ．＋≥2 Ｂ．a2+b2≥2abＣ．＋≥a＋b Ｄ．2+⒋设a、bR＋，若a+b=2，则的最小值等于（）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4⒌已知ab>0，下列不等式错误的是（）Ａ．a2+b2≥2ab Ｂ．Ｃ．Ｄ．二．填空题：⒍若a、b为正数且a+b=4，则ab的最大值是________．⒎已知x>1.5，则函数y＝2x+的最小值是_________．⒏已知a、b为常数且0<x<1，则的最小值是_________________________．三．解答题：⒐（1）设a=，b=，c=且x≠0，试判断a、b、c的大小。

均值不等式应用1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x+≥ (当且仅当1x =时取“=”） 若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a b b a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 5.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）『ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』 应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解题技巧技巧一：凑项例 已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

技巧二：凑系数例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。

解变式：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。

技巧三： 分离 例3. 求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。

均值不等式教案教学设计3．2 均值不等式整体设计教学分析均值不等式也称基本不等式．本节主要目标是使学生了解均值不等式的代数意义，几何的直观解释以及均值不等式的证明和应用．本节教材上一开始就开门见山地给出均值不等式及证明，在思考与讨论过渡下，给出均值不等式的一个几何直观解释，以加深学生对均值不等式的理解．教材用作差配方法证明均值不等式．作差配方法是证明不等式的基本方法，在整个不等式的教学中都要贯彻这一重要方法．在解题中要让学生注意使用均值不等式的条件，并掌握基本技能．一般说来，“见和想积，拆低次，凑积为定值，则和有最小值；见积想和，拆高次，凑和为定值，则积有最大值”．本节的《新课标》要求是：探索并了解均值不等式的证明过程；会用均值不等式解决简单的最大(小)问题．从历年的高考来看，均值不等式是重点考查的内容之一，它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，且常考常新，大多是大小判断、求最值、求取值范围等．不等式的证明是将来进入大学不可缺少的技能，同时也是高中数学的一个难点，题型广泛，涉及面广，证法灵活，备受命题者的青睐，因而成为历届高考中的热点．几乎所有地区的高考题都能觅到它的踪影．书中练习A、B和习题都是基本题，要求全做．鉴于均值不等式的特殊作用，因此本节设计为2课时完成，但仅限于基本方法和基本技能的掌握，不涉及高难度的技巧．第一课时重在均值不等式的探究，第二课时重在均值不等式的灵活运用．且在教学中，将本节教材中的思考与讨论一起拿到课堂上来，让学生通过思考与讨论建立均值不等式与不等式a2＋b2≥2ab的联系．三维目标1．通过本节探究，使学生学会推导并掌握均值不等式，理解这个均值不等式的几何意义，掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等．2．通过对均值不等式的不同形式应用的研究，渗透“转化”的数学思想，提高学生运算能力和逻辑推理能力．引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德．3．通过本节学习，使学生体会数学来源于生活，帮助学生养成良好的学习习惯，形成积极探索的态度，逐步养成严谨的科学态度及良好的思维习惯．重点难点教学重点：用数形结合的思想理解均值不等式，并从不同角度探索不等式a＋b2≥ab的证明过程；用不等式求某些函数的最值及解决一些简单的实际问题．教学难点：用均值不等式求最大值和最小值，均值不等式a＋b2≥ab等号成立条件的运用，应用均值不等式解决实际问题．课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路 1.(直接引入)像教材那样，直接给出均值定理，然后引导学生利用上节课的基本性质来探究它的证明方法．因为有了上两节的不等式的探究学习，因此这样引入虽然直白却也是顺其自然．思路2.(情境导入)教师自制风车，让学生把教师自制的风车转起来，这是学生小时候玩过的得意玩具；手持风车把手，来了一个360°的旋转，不但风车转得漂亮，课堂气氛也活跃，学生在紧张的课堂氛围中马上变得自然和谐，情境引入达到高潮，此时教师再提出问题．推进新课新知探究提出问题&#61480;1&#61481;均值定理的内容是什么？怎样进行证明？&#61480;2&#61481;你能证明a2＋b2≥2ab吗？&#61480;3&#61481;你能尝试给出均值不等式的一个几何直观解释吗？&#61480;4&#61481;均值不等式有哪些变形式？活动：教师引导学生阅读均值定理的内容，或直接用多媒体给出．点拨学生利用上两节课所学知识进行证明，这点学生会很容易做到，只需作差配方即可．接着让学生明确，这个结论就是均值不等式，也叫基本不等式．其中，任意两个正实数a、b的a＋b2叫做数a、b的算术平均值，数ab叫做a、b的几何平均值．均值定理可以表述为：两个正数的算术平均值大于或等于它的几何平均值．强调这个结论的重要性，在证明不等式、求函数的最大值最小值时有着广泛的应用，是高考的一个热点．可以通过反例或特例让学生进一步认识这个结论成立的条件，a、b必须是正数，等号成立当且仅当a＝b，以加深学生对此结论的理解，为后面求最值时的“一正二定三相等”打下基础．利用不等式的性质对均值不等式两边平方，则很容易得到a2＋b2≥2ab.这是一个很重要的结论．一般地，如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”)也可让学生重新证明这个结论：∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2，当a≠b时，有(a－b)2＞0.当a＝b时，有(a－b)2＝0，所以(a－b)2≥0，即a2＋b2≥2ab.这个不等式对任意实数a，b恒成立，是一个很重要的不等式，应用非常广泛．请同学们注意公式的结构形式，成立的条件是a、b为实数，等号成立的条件是当且仅当a＝b时成立．“当且仅当”即指充要条件．下面我们对均值不等式的几何意义作进一步探究．如图1，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC＝a，BC＝b.过点C作垂直于AB的弦DD′，连结AD、BD.你能利用这个图形得出均值不等式的几何解释吗？图1(本节课开展到这里，学生从均值不等式的证明过程中已体会到证明不等式的常用方法，对均值不等式也已经很熟悉，这就具备了探究这个问题的知识与情感基础) 这个图形是我们在初中非常熟悉的一个重要图形．容易证明△ACD∽△DCB.所以可得CD＝ab.或由射影定理也可得到CD＝ab.从图中我们可直观地看到ab表示的是半弦长，a＋b2表示的是半径长．由于半弦长不大于半径，即CD小于或等于圆的半径，用不等式表示为： a＋b2≥ab.显然，上述不等式当且仅当点C与圆心重合，即当a ＝b时，等号成立．还应让学生熟悉均值不等式的其他变形式．如若a、b∈R＋，则ab≤a＋b2，当且仅当a＝b时，式中等号成立．好多书上就把它称为基本不等式．在同样条件下还可写成：a＋b≥2ab或2ab≤a＋b等．讨论结果：(1)(2)略．(3)均值不等式的几何解释是：半径不小于半弦长．(4)若a、b∈R＋，则ab≤a＋b2，当且仅当a＝b时，式中等号成立；若a、b∈R＋，则a＋b≥2ab，当且仅当a＝b时，式中等号成立；若a、b∈R，则a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，式中等号成立．应用示例例1(教材本节例1)活动：本例是均值不等式的简单应用，教师点拨学生证明时注意式中成立的条件，本例中的ba和ab相当于均值不等式中的a、b.因此必须有ba，ab∈R＋点评：初用均值不等式，学生往往容易忽视不等式成立的条件，点拨学生注意，只要使用均值定理，马上先想到条件，养成良好的解题习惯.变式训练已知a、b、c都是正实数，求证：(a＋b)(b＋c)(c ＋a)≥8abc.证明：∵a＞0，b＞0，c＞0，∴a＋b≥2ab＞0，b＋c≥2bc＞0，c＋a≥2ca＞0.∴(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥2ab2bc2ac＝8abc，即(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc.例2已知(a＋b)(x＋ y)＞2(ay＋bx)，求证：x－ya－b ＋a－bx－y≥2.活动：教师引导学生探究题目中的条件与结论．本题结论中，注意x－ya－b与a－bx－y互为倒数，它们的积为1，故此题应从已知条件出发，经过变形，说明x－ya－b与a－bx－y为正数开始证题．证明：∵(a＋b)(x＋y)＞2(ay＋bx)，∴ax＋ay＋bx＋by＞2ay＋2bx.∴ax－ay＋by－bx＞0.∴(ax－bx)－(ay－by)＞0.∴(a－b)(x－y)＞0，即a－b与x－y同号．∴x－ya－b与a－bx－y均为正数．∴x－ya－b＋a－bx－y≥2x－ya－ba－bx－y＝2(当且仅当x－ya－b＝a－bx－y时取“＝”)．∴x－ya－b＋a－bx－y≥2.点评：本题通过对已知条件变形，恰当地因式分解，从讨论因式乘积的符号来判断x－ya－b与a－bx－y是正还是负，是我们今后解题中常用的方法．例3若a＞b＞1，P＝lgalgb，Q＝12(lga＋lgb)，R＝lga＋b2，则( )A．R＜P＜Q B．P＜Q＜RC．Q＜P＜R D．P＜R＜Q活动：这是均值不等式及其变形式的典型应用．根据P、Q、R三个式子的结构特点，应考虑利用均值不等式，再运用函数y＝lgx的单调性．答案：B解析：∵a＞b＞1，∴lga＞lgb＞0.∴12(lga＋lgb)＞122lgalgb，即Q＞P.又∵a＋b2＞ab，∴lga＋b2＞lgab＝12(lga＋lgb)．∴R＞Q.故P＜Q＜R.点评：应准确理解均值不等式成立的条件，创造性地应用均值不等式．例4(教材本节例2)活动：这是一个实际问题．教师引导学生分析，根据题意在(1)中，矩形的长与宽的积是一个常数，求长与宽的和的两倍的最小值；在(2)中，矩形的长与宽的和的两倍是一个常数，求长与宽的积的最大值．联想到均值不等式的两边恰是两个正数的和与积，因此建立均值不等式的数学模型．点评：本例也可用函数模型解决，课后可让学生试一试．这里用均值不等式来解，一是说明利用均值不等式求最值的方法，二是说明这种方法的快捷．解完本例后，让学生领悟到：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．简单地说就是：在应用这个结论求最值时应把握“一正、二定、三相等”．正是正数，定是定值，相等是能取到等号．知能训练1．“a＝18”是“对任意的正数x,2x＋ax≥1”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件2．若正数a、b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________．答案：1．A 解析：一方面，当a＝18时，对任意的正数x，有2x＋ax＝2x＋18x≥1；另一方面，对任意正数x，都有2x＋ax≥1，只要2x＋ax≥22a≥1，即得a≥2．[9，＋∞)解法一：令ab＝t(t＞0)，由ab＝a＋b＋3≥2ab＋3，得t2≥2t＋3，解得t≥3，即ab≥3，故ab≥9.解法二：由已知得ab－b＝a＋3，b(a－1)＝a＋3，∴b＝a＋3a－1(a＞1)．∴ab＝aa＋3a－1＝[(a－1)＋1]a＋3a－1＝a＋3＋a ＋3a－1＝a－1＋4＋a－1＋4a－1＝a－1＋4a－1＋5≥2&#61480;a－1&#61481;4a－1＋5＝9.当且仅当a－1＝4a－1时取等号，即a＝b＝3时，ab 的最小值为9.∴ab的取值范围是[9，＋∞)．点评：此题较全面地考查了均值不等式的应用及不等式的解法与运算能力．通过思考a＋b与ab的关系联想到均值不等式，或建立在函数思想上，求函数的值域．由于视角的不同，有多种方法，以上仅是其中的两种解法．课堂小结1．由学生自己理顺整合本节都学到了哪些知识方法？有哪些收获？2．教师强调，本节课，我们学习了重要不等式a2＋b2≥2ab；两正数a、b的算术平均数(a＋b2)，几何平均数(ab)及它们的关系(a＋b2≥ab)．两关系式成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数．它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具．作业习题3—2A组，4,5,6.习题3—2B组，1,2.设计感想1．本节设计突出重点．均值不等式的功能在于求最值，这是本节的重点，要牢牢地抓住．但使用均值不等式求函数最值时要注意：①x，y都是正数；②积xy(或和x＋y)为定值；③x与y必须能够相等．2．本节课我们探究了均值不等式，拓展了我们的视野；证明不等式是高中数学的重点，也是难点，在设计中加强了证明不等式的题量，但难度并不大，重在让学生体会方法．将解题思路转化为解题过程，往往不是一帆风顺的，谈思路可能头头是道，具体求解却可能会处处碰壁，消除思路与求解的差异，要靠探究，在探究中不断更新，在探究中逐步完善．(设计者：郑吉星)第2课时导入新课思路1.(复习导入)让学生回忆上节课我们探究的重要结果：一是如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”)；二是均值不等式：如果a，b是正数，那么a＋b2≥ab(当且仅当a＝b时取“＝”)．在这个不等式中，a＋b2为a，b的算术平均数，ab为a，b 的几何平均数，这样均值不等式就有了几何意义：半弦长不大于半径．a2＋b2≥2ab与a＋b2≥ab成立的条件是不同的，前者只要求a，b都是实数，而后者要求a，b 都是正数．本节课我们进一步探究均值不等式的应用．由此展开新课．思路2.(直接导入)通过上节课a2＋b2≥2ab(a、b∈R)与a＋b2≥ab(a＞0，b＞0)的探究证明，我们熟悉了不等式的一些证明方法．本节课我们进一步领悟不等式的证明思路、方法，进一步熟悉利用均值不等式解决函数的最值问题的思路．教师打开多媒体课件，从而展开新课．推进新课新知探究提出问题&#61480;1&#61481;回忆上节课探究的均值不等式，怎样理解均值不等式的意义？都有哪些变形？&#61480;2&#61481;均值不等式都有哪些方面的应用？&#61480;3&#61481;在应用均值不等式求最值时，应注意什么问题？活动：教师引导学生回忆上节课我们共同探究的均值不等式，以及均值不等式与a2＋b2≥2ab的联系．给出了均值不等式的一个几何直观解释．均值不等式与a2＋b2≥2ab都有着广泛的应用．对这两个重要不等式，要明确它们成立的条件是不同的．后者成立的条件是a与b都为实数，并且a与b都为实数是不等式成立的充分必要条件；而前者成立的条件是a与b都为正实数，并且a与b都为正数是不等式成立的充分不必要条件，如a＝0，b＝0，仍然能使a＋b2≥ab成立．两个不等式中等号成立的条件都是a＝b，故a＝b是不等式中等号成立的充要条件．在使用“和为常数，积有最大值”和“积为常数，和有最小值”这两个结论时，应把握“一正、二定、三相等”．当条件不完全具备时，应创造条件．本节课我们将进一步探究均值不等式的应用．讨论结果：(1)(2)略．(3)应注意不等式成立的条件，即把握好“一正，二定，三相等”．应用示例例1(教材本节例3)活动：本例是求函数的最值．教师引导学生将f(x)变形，注意观察代数式中可否出现和或积的定值．本例可放手让学生自己探究，教师给予适当点拨．点评：解完本例后，让学生反思并领悟在求函数最值时，如何使用均值不等式的条件，并掌握基本技能.变式训练函数y＝loga(x＋3)－1(a＞0且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn＞0，则1m＋2n的最小值为________．答案：8解析：∵y＝loga(x＋3)－1恒过点(－2，－1)，∴A(－2，－1)．又∵A在直线上，∴－2m－n＋1＝0，即2m＋n＝1.又∵mn＞0，∴m＞0，n＞0.而1m＋2n＝2m＋nm＋4m＋2nn＝2＋nm＋2＋4mn≥4＋2×2＝8，当n＝12，m＝14时取“＝”．∴1m＋2n的最小值为例2(1)已知x＜54，求函数y ＝4x－2＋14x－5的最大值；(2)已知a、b为实数，求函数y＝(x－a)2＋(x－b)2的最小值．活动：(1)因为4x－5＜0，所以首先要“调整”符号．又(4x－2)14x－5不是常数，所以应对4x－2进行拆(添)项“配凑”．(2)从函数解析式的特点看，本题可化为关于x的二次函数，再通过配方法求其最小值．但若注意到(x－a)＋(b－x)为定值，则用变形不等式m2＋n22≥(m＋n2)2更简捷．解：(1)∵x＜54，∴5－4x＞0.∴y＝4x－2＋14x－5＝－(5－4x＋15－4x)＋3 ≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x＝15－4x，即x＝1时，上式等号成立．∴当x＝1时，ymax＝1.(2)∵y＝(x－a)2＋(x－b)2＝(x－a)2＋(b－x)2≥2[&#61480;x－a&#61481;＋&#61480;b－x&#61481;2]2＝&#61480;a－b&#61481;22，当且仅当x－a＝b－x，即x＝a＋b2时，上式等号成立．∴当x＝a＋b2时，ymin＝&#61480;a－b&#61481;22.点评：若x、y∈R＋，x＋y＝s，xy＝p.若p为定值，则当且仅当x＝y时，s的值最小；如果s为定值，则当且仅当x＝y时，p的值最大．简称“和定积最大，积定和最小”．从本例的解答可以看出，求最值时往往需要拆(添)项，其目的是创设应用均值不等式的情境和使等号成立的条件，即满足“一正，二定，三相等”的要求.变式训练已知在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，P是AB上的点，则点P到AC、BC的距离乘积的最大值是__________．答案：3解析：方法一：以CA、CB所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，则直线AB方程为x4＋y3＝1，设P(a，b)，则a4＋b3＝1(a＞0，b＞0)．∴ab＝12a4b3≤12(a4＋b32)2＝3，当且仅当“a＝4b3”时等号成立．方法二：设P到BC的距离为a，到AC的距离为b.由相似三角形易得a4＝PB5，b3＝PA5，∴a4＋b3＝PB＋PA5＝1.以下解法同一．例3当x＞－1时，求函数f(x)＝x2－3x＋1x＋1的值域．活动：教师引导学生观察函数f(x)的分子、分母特点，可作如下变形：f(x)＝x2－3x＋1x＋1＝&#61480;x＋1&#61481;2－5&#61480;x＋1&#61481;＋5x＋1＝x＋1＋5x＋1－5.这样就可以应用均值不等式了．解：∵x＞－1，∴x＋1＞0.∴f(x)＝x2－3x＋1x＋1＝&#61480;x＋1&#61481;2－5&#61480;x＋1&#61481;＋5x＋1＝x＋1＋5x＋1－5≥2&#61480;x＋1&#61481;&#61480;5x＋1&#61481;－5＝25－5，当且仅当(x＋1)2＝5时，即x＝5－1时取“＝”．另一解x＝－5－1＜－1(舍去)，故函数值域为[25－5，＋∞)．点评：本题解法具有典型性，解后教师引导学生领悟反思．这种求值域的题目，在“函数”一章中我们接触较多，其常用方法有单调性、图象法，还有判别式法．利用判别式法不仅计算量大，而且极易因忽视某些条件而出错．本例给出了用均值不等式法求值域的方法，既简单又不易出错．但提醒学生一定要注意必须满足的三个条件：①各项均为正数；②和或积有一个为定值；③等号一定取到，这三个条件缺一不可.变式训练已知x1x2x3…x2 006＝1，且x1、x2、x3、…、x2 006都是正数，则(1＋x1)(1＋x2)…(1＋x2 006)的最小值是__________．答案：22 006解析：∵x1＞0，则1＋x1≥2x1，同理，1＋x2≥2x2，……1＋x2 006≥2x2 006，各式相乘，得(1＋x1)(1＋x2)...(1＋x2 006)≥22 006x1x2x3 (x2)006＝22 006.取“＝”的条件为x1＝x2＝x3＝…＝x2 006＝1，∴所求最小值为22 006.例4设0＜x＜2，求函数f(x)＝3x&#61480;8－3x&#61481;的最大值，并求相应的x值．试问0＜x＜43时，原函数f(x)有没有最大值？0＜x≤1时，f(x)有没有最大值？若有，请你求出来；若没有，请你说明理由．活动：对本例中的函数可变形为f(x)＝24x－9x2，根号内是我们熟悉的二次函数，完全可以用二次函数的知识方法解决，这种方法学生很熟悉．教师可引导学生利用均值不等式求解，让学生自己探究，教师可适时地点拨．解：∵0＜x＜2，∴8－3x＞0.∴f(x)＝3x&#61480;8－3x&#61481;≤&#61480;3x＋8－3x2&#61481;2＝4，当且仅当3x＝8－3x，即x＝43时取“＝”．∴函数f(x)的最大值为4，此时x＝又f(x)＝－9x2＋24x＝－&#61480;3x－4&#61481;2＋16，∴当0＜x＜43时，f(x)递增；当x＞43时，f(x)递减．∴当0＜x＜43时，原函数f(x)没有最大值．当0＜x≤1时，有最大值f(1)，即f(1)＝点评：通过本例再次加深对均值不等式条件的理解．体会不等式的功能在于“和与积”的互化，构造均值不等式，解题的技巧是拆(添)项或配凑因式．知能训练1．函数f(x)＝xx＋1的最大值为( )A.25B.12C.22 D．12．求函数y＝x＋1x(x＞0)的最小值，以及此时x的值．3．已知x、y∈R＋，且2x＋8y－xy＝0，求x＋y的最小值．答案：1．B 解析：当x＝0时，f(x)＝0；当x＞0时，f(x)＝xx＋1＝1x＋1x≤12，当且仅当x＝1x，即x＝1时取等号．2．解：∵x＞0，∴x＋1x≥2x1x＝2，当且仅当x＝1x，即x＝1时取等号．∴当x＝1时，x＋1x的值最小，最小值是2.3．解：由2x＋8y－xy＝0得y(x－8)＝2x.∵x＞0，y＞0，∴x－8＞0.∴x＋y＝2xx－8＋x＝x－8＋16x－8＋10≥2&#61480;x－8&#61481;16x－8＋10＝18，当且仅当x－8＝16x－8，即x＝12时，x＋y取最小值堂小结1．由学生归纳整合本节课所用到的知识、思想方法，回顾本节课解决了哪些问题？应注意些什么？2．教师点拨，本节课我们用均值不等式解决了函数的一些最值问题，在用均值不等式求函数的最值时，应注意考查下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值．即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正、二定、三相等．在利用均值不等式证明一些不等式时，也应注意均值不等式成立的条件及构建均值不等式结构．作业习题3—2A组2、3、7、8、9；习题3—2B组3、4.设计感想1．本节设计意在体现均值不等式的应用，因此用不等式求解函数的最值与证明不等式是穿插进行的，且强调一题多解的训练．2．本节设计关注了教学进程的和谐发展．整个设计给人自然流畅的感觉，没有教师过分自我展示的味道，能使学生的思维得到充分的锻炼，能力得到很大的提高． 3．本节设计重视了学生的主体地位，从例题到变式训练，从新课导入到课堂小结，都注意了学生的主动思维活动，充分让学生占据思维的时空，这是提高学生思维能力的有效良方．备课资料一、算术平均数不小于几何平均数的一种证明方法(局部调整法)(1)设a1，a2，a3，…，an为正实数，这n个数的算术平均值记为A，几何平均值记为G，即A＝a1＋a2＋…＋ ann，G＝na1a2…an，即A≥G ，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，A＝G.特别地，当n＝2时，a＋b2≥ab；当n＝3时，a＋b＋c3≥3abc.(2)用局部调整法证明均值不等式A≥G.设这n个正数不全相等．不失一般性，设0＜a1≤a2≤…≤an，易证a1＜A＜an，且a1＜G＜an.在这n个数中去掉一个最小数a1，将a1换成A，再去掉一个最大数an，将an换成a1＋an－A，其余各数不变，于是得到第二组正数：A，a2，a3，…，an－1，a1＋an－A.这一代换具有下列性质：①两组数的算术平均值不变，设第二组数的算术平均值为A1，那么A1＝A＋a2＋a3＋…＋an－1＋a1＋an－An＝A，②第二组数的几何平均值最大．设第二组数的几何平均值为G1，则G1＝nAa2a3…an－1&#61480;a1＋an－A&#61481;，∵A(a1＋an－A)－a1an＝(A－a1)(an－A)，由a1＜A＜an，得(A－a1)(an－A)＞0，则A(a1＋an－A)＞a1an.∴Aa2a3…an－1(a1＋an－A)＞a1a2…an－1an，即G1＞G.二、备用习题1．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则( )A．ab≤12 B．ab≥12 C．a2＋b2≥2 D．a2＋b2≤3 2．若a、b、c、d、x、y是正实数，且P＝ab＋cd，Q＝ax＋cybx＋dy，则( )A．P＝Q B．P＜Q C．P≤Q D．P≥Q3．若函数y＝f(x)的值域是[12，3]，则函数F(x)＝f(x)＋1f&#61480;x&#61481;的值域是( )A．[12，3] B．[2，103]C．[52，103] D．[3，103]4．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝__________吨．5．直线l过点M(2,1)且分别交x轴，y轴正半轴于点A，B，O为坐标原点，求△AOB面积最小时l的方程． 6．经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路汽车的车流量y(千辆/时)与汽车的平均速度v(千米/时)之间的函数关系为y＝920vv2＋3v＋1 600(v＞0)． (1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(精确到0.1千辆/时) (2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？参考答案：1．C 解析：对于选项C：a2＋b2＝a2＋b2＋a2＋b22≥a2＋b2＋2ab2＝&#61480;a＋b&#61481;22＝2.故C 正确．2．C 解析：∵a、b、c、d、x、y是正实数，∴Q＝ax＋cybx＋dy＝ab＋cd＋adxy＋bcyx≥ab＋cd＋2abcd＝ab＋cd＝P.3．B 解析：令t＝f(x )，则t∈[12，3]．∴F(x)＝G(t)＝t＋1t.该函数在t＝1处取得最小值2，在t＝3处取得最大值103.故选B.4．20 解析：设一年总费用为y万元，则y＝4400x ＋4x＝1 600x＋4x≥21 600x4x＝160，当且仅当1 600x ＝4x，即x＝20时，等号成立．5．解：设直线l的方程为y－1＝k(x－2)，即y＝kx ＋1－2k(k＜0)．令x＝0，得y＝1－2k；令y＝0，得x＝2k－1k＝2－∴S△AOB＝12(1－2k)(2－1k)＝2＋1－2k＋(－2k)．∵k＜0，∴－2k＞0.∴S△AOB≥2＋2＝4，当且仅当－12k＝－2k，即k ＝－12时取等号．此时l的方程为y＝－12x＋2.6．解： (1)依题意，得y＝9203＋&#61480;v＋1 600v&#61481;≤9203＋21 600＝92083，当且仅当v＝1 600v，即v＝40时，上式等号成立，所以ymax＝92083≈11.1(千辆/时)．(2)由条件得920vv2＋3v＋1 600＞10，整理，得v2－89v＋1 600＜0，即(v－25)(v－64)＜0，解得25＜v＜答：当v＝40千米/时时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/时．如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于25千米/时且小于64千米/时．。

均值不等式学习目标：1、了解基本不等式的证明过程；2、会用基本不等式解决简单的最值问题；3、认识到数学是从实际中来，体会探索与发现的过程.重点：理解均值不等式.难点：均值不等式的应用.一、 引入新知：均值不等式思考1、已知长宽为,a b 的矩形，分别做与其等周长和等面积的两个正方形， 哪个正方形用料最省？边长: 边长:比较过程：两个正数,a b 的算术平均数： 几何平均数： 均值定理：若 则2a b +≥， 时，等号成立. 二、 合作探究：均值不等式的几何解释AB 为直径,D 为AB 上一点, ,AD a BD b ==,过D 做垂直于AB 的半弦BC,O 为圆心， 连接AC,BC,OC 利用图形探究几何解释几何解释：三、 精讲点拨、展示分享：由例2求解过程总结利用均值不等式求最值的条件：12x x +≥=例1、下列说法是否正确(1)0,b a ab a b >+≥(2)若则222244sin 4sin 4sin sin x x x x+≥∴+(3)的最小值为22100,m 例、(1)用篱笆围成面积为 的矩形菜园矩形长、宽各为多少时所用篱笆最短? 最短是多少？36,m (2)一段长为 的篱笆围成矩形菜园矩形长、宽各为多少时菜园面积最大？ 最大面积是多少?四、 变式训练五、 归纳总结本节课所学主要知识：六、 作业：A 班：课本习题3-2A(T 1-5)，校本均值不等式第一课时巩固提升T1-T 10.B 班：课本习题3-2A(T 1-5)，校本均值不等式第一课时巩固提升T1-T 7.,3,a b ab a b ab a b =+++思考：正数 满足求 和 的取值范围36,m 一长为 的篱笆围成一边靠墙的矩形菜园墙长20米,矩形长、宽各为多少时菜园面积最大？最大面积是多少?。

3.2均值不等式教学目标（一）知识与技能：明确均值不等式及其使用条件，能用均值不等式解决简单的最值问题. （二）过程与方法：通过对问题主动探究,实现定理的发现，体验知识与规律的形成过程. （三）情感态度与价值观：通过问题的解决以及自身的探索研究领略获取新知的喜悦.教学重点：均值不等式的推导与证明，均值不等式的应用.教学难点：均值不等式的应用教学过程讨论 :(1)CD OC(2)文字叙述（几何意义）：(3)试用含a、b的表达式来表示上述关系注意：（1）当时，(2)a、b的取值范围探求新知：均值不等式的内容及证明均值定理：证明：（比较作差法）变形应用：（1）（2）讨论释疑：牛刀小试：=+xxx1,0则已知例1、已知0ab，求证：2≥+baab并推导出式中等号成立的条件例2、求函数)0(32)(2xxxxxf+-=的最值，以及此时x的值精炼巩固：点拨提高：总结本节课的你的收获。

值为有最则满足已知正数abbaba,1,.2=+的值此时的最小值为则函数设ttttft414)(,0.12+-=>课堂小测：4)1)(1(,.3≥++∈+bb a a R b a 求证：、已知课堂小测：4)1)(1(,.3≥++∈+bb a a R b a 求证：、已知课堂小测：4)1)(1(,.3≥++∈+bb a a R b a 求证：、已知课堂小测：4)1)(1(,.3≥++∈+bb a a R b a 求证：、已知。

值为有最则满足已知正数b a b a b a 11,1,.1+=⋅的值此时的最小值为则函数设x x x x f x 32)3()(,3.2-+-=>。

值为有最则满足已知正数b a b a b a 11,1,.1+=⋅的值此时的最小值为则函数设x x x x f x 32)3()(,3.2-+-=>。

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均值不等式教案0 均值不等式【核心知识】1.如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab ba 2.基本不等式2a bab +≤几何意义是“半径不小于半弦”.3.两个重要的不等式链(1)),,(22222时等号成立当且仅当b a R b a ab b a b a =∈≥??+≥+. (2) ),0,0(1122222时等号成立当且仅当b a b a ba ab b a ba =>>+≥≥+≥+.例一:已知函数)0(sin 2sin π<<+=x xx y ，求值域. 解：假设]1,0(,sin ∈=x t 则函数转化为]1,0(,2)(∈+=t tt t h ，由对号函数的性质可知：t t t h 2)(+=在]1,0(内单调递减，所以3)1()(min ==h t h ，即tt t h 2)(+=的值域是),3[+∞ 考点一：利用基本不等式求范围例:(原创题)若正数a ，b 满足ab=a+b+3，则ab 的取值范围是_______ ．解法一: 由a 、b ∈R +，由重要不等式得a+b ≥2ab ，则ab=a+b+3≥2ab +3，即32--ab ab ≥)1)(3(0+-?ab ab ≥ab ?0≥3，∴ ab ≥9 ．变式训练: (原创题)若1->x ，则x =_____时,11++x x 有最小值，最小值为_____. 解析: 合理拆添项或配凑因式是常用的解题技巧,而拆与凑的前提在于使等号能够成立. 解∵1->x , ∴01>+x , ∴011>+x ,∴11++x x =1111x x ++-+12(1)11x x ≥+?-+ 211=-=，当且仅当111+=+x x 即0=x 时1)11(min =++x x . 答案:0,1考点二：利用基本不等式证明不等式例: (原创题)已知,,a b c R ∈,求证:222a b c ab bc ca ++≥++.解: 2222222,2,2a b ab b c bc a c ac +≥+≥+≥, 相加整理得222a b c ab bc ca ++≥++. 当且仅当a b c ==时等号成立.变式训练: (原创题)已知a ，b 为正数，求证：ab ba +≥b a +．解析:解法一：∵ a>0，b>0，∴b ba +≥aa 22=?，a ab +≥b a ab 22=?，两式相加，得a ab b ba +++≥b a 22+，∴ab ba +≥b a +．考点三: 基本不等式的应用例: (原创题)已知0,0x y >>且满足281x y+=,求x y +的最小值. 解析:利用281x y+=，构造均值不等式形式. 利用基本不等式求最值要注意“一正二定三相等”即（1)要求各数均为正数；(2)要求“和”或“积”为定值；(3)要注意是否具备等号成立的条件．解∵2828()1()()28y x x y x y x y xy x y+=+?=+?+=+++,0,0x y >>, ∴280,0y x x y >>1021618x y +≥+=,当且仅当28y x x y=时等号成立,即224y x =, ∴2y x =,又28+=, ∴6,12x y == ∴当6,12x y ==时,x y +有最小值18.变式训练: (原创题)已知x>0，y>0，且3x+4y=12，求lgx+lgy 的最大值及此时x 、y 的值．解析:这是条件最值问题，但目标式与已知条件的联系较隐蔽，不易发现.应将lgx+lgy 转化成lg(xy)考虑．解:∵x>0，y>0，3x+4y=12，∴ y x xy 43121??=≤32431212=??+y x ，∴lgx+lgy=lg(xy)≤lg3 ．由??==+>>y x y x y x 4312430,0 解得==232y x∴当x=2，y=23时，lgx+lgy 取得最大值lg3 ．【课堂巩固，夯实基础】1. (原创题)若实数a 、b 满足a+b ＝2,则3a +3b的最小值是( )A.18B.6C.32D.432 解析:充分考虑基本不等式的应用条件，和定积最大.解:由均值不等式,得3a+3b≥632332==?+b a b a ，当且仅当a ＝b ＝1时取等号，所以3a +3b的最小值是6. 答案:B3. (原创题)已知M 是△ABC 内的一点，且AB →·AC →＝23，∠BAC＝30°，若△MBC，△MCA 和△MAB 的面积分别为12，x ，y ，则1x ＋4y的最小值是( )B ．18C ．16D ．9解析：经分析x ＋y ＝12，则122=+y x ,利用1的代换.解:由已知得AB →·AC →＝bccos∠BAC＝23?bc ＝4，故S △ABC ＝x ＋y ＋12＝12bcsinA ＝1?x ＋y ＝12，而1x ＋4y ＝2(1x ＋4y )×(x＋y) ＝2(5＋y x ＋4xy)≥2(5＋2y x ×4xy)＝18. 答案:B5. (2011届年天津和平月考)设a>0，b>0，若3是3a 与3b的等比中项，则1a ＋1b的最小值为( )A ．8B ．4C ．1 D.14解析：充分发挥1的代换,将1换成字母表达式,使待求的式子中出现倒数的形式.解:由题意知3a ·3b即3a ＋b＝3，所以a ＋b ＝1. 因为a>0，b>0，所以1a ＋1b ＝(1a ＋1b )(a ＋b)＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·a b＝4，当且仅当a ＝b 时，等号成立．答案:B6. (改编题)已知x<12，则函数y ＝2x ＋12x －1的最大值是( )A ．2B ．1C ．－1D ．－2解析：凑配成y ＝－[(1－2x)＋11－2x]＋1，是利用基本不等式的关键,要注意1－2x 符号. 解:y ＝2x ＋12x －1＝－[(1－2x)＋11－2x]＋1，由x<12可得1－2x>0，根据基本不等式可得(1－2x)＋11－2x≥2，当且仅当1－2x ＝1即x ＝0时取等号，则y max ＝－1. 答案:C7. (原创题)已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a>0，b>0)对称，则4a＋1b的最小值是( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．9解析：圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a>0，b>0)对称，是指圆心在直线上,也是取得a,b 等量关系的唯一依据,为求最值作准备.解: 由圆的对称性可得，直线2ax －by ＋2＝0必过圆心(－1,2)，所以a ＋b ＝1.所以4a ＋1b＝4(a ＋b)a ＋a ＋bb ＝4b a ＋a b ＋5≥24b a ·a b ＋5＝9，当且仅当4b a ＝a b ，即a ＝2b 时取等号. 答案:D8. (原创题)若a,b 都是正实数,π是圆周率,e 是自然对数的底数,则下列各式中可能大于a 2+b 2的是( )A.2(a+b-1)B.(2b a +)2+abC.2e(a+b) D.2πab 解析:作差比较,逐个排除.解:对于A,因为a 2+b 2-2(a+b-1)＝(a-1)2+(b-1)2≥0,因此a 2+b 2≥2(a+b-1);对于B,a 2+b 2-［(2b a +)2+ab ］＝46ab -3b 3a 22+＝4b)-3(a 2≥0,因此a 2+b 2≥(2b a +)2+ab;对于D,因为a 2+b 2≥2ab ＞2πab,所以a 2+b 2＞2πab. 综上,可知只有C 满足条件.答案:C 二.填空题10. (原创题) 已知,0,0>>y x 且191=+yx 则y x +的最小值为 . 解析:利用1的代换或换元法消x 或y. 解:169210910)91)((=+≥++=++=+yx x y y x y x y x 当且仅当4,12==x y 时等号成立. 或解：由191=+y x 得9-=y y x ,则1699919≥-+-+=+-=+y y y y y y x . 答案:1611. (原创题) 已知y x m y x y x +=+=+4,lg lg )lg(则m 的取值范围是 . 解析:利用对数的运算性质,得到x,y 的关系. 解:由题意xy y x y x =+>>,0,0,故111=+y x ,945)11)(4(4≥++=++=+yx x y y x y x y x , 当且仅当3,23==y x 时等号成立,9≥m . 答案: 9≥m12. (2010华附)已知,*41x y R x y ∈+=,且,则11x y+的最小值为解析:1的逆用,倒数的出现正迎合了基本不等式的使用条件. 解:∵9454411*,,≥++=+++=+∴∈yxx y y y x x y x y x R y x ，当且仅当61,31==y x 时取等号. 答案:9 三.解答题13.(2010河南焦作一中月考)已知函数c bx ax x x f +++=23)(在点))1(,1(f P 的切线方程为13+=x y ,若函数在)1,2(-上单调递增,求b 的取值范围. 解析:此题是方法比较灵活的题目,可以用基本不等式,也可用导数法.解:由b ax x x f ++='23)(2及3)1(='f 得到b a -=2,则b bx x x f +-='23)(. 由题设可得032≥+-b bx x 对∈x )1,2(-恒成立.即23)1(x b x -≥-对∈x )1,2(-恒成立xx b --≥132 对∈x )1,2(-恒成立.只需x x b --≥132在)1,2(-上的最大值.对于这个最大值的计算方法可以是平均值定理法,也可以是导数法,下面选择其中一种.06613)1(3613)1((3132=-≤----=--+=--xx x x x x (当0=x 时等号成立)故0≥b .。

均值不等式教材说明人教B版普通高中课程标准实验教科书（必修五）课题 3.2 均值不等式课型新授课课时2课时学情分析（一）从学生知识层面看：学生对不等式的概念和性质有了感性的认识，在探究学习和应用实习的过程中，会解决最简单的关于不等式的问题. （二）从学生素质层面看：所任班级的学生已经具有较好的逻辑思维能力，因此他们希望能够自己探索、发现问题和解决问题，增强数学应用意识，提高分析问题、解决问题的能力.他们更需要充满活力与创造发现的课堂.教学内容分析本节课《均值不等式》是《数学必修五（人教B版）》第三章第二节的内容，主要内容是通过现实问题进行数学实验猜想，构造数学模型，得到均值不等式；并通过在学习算术平均数与几何平均数的定义基础上，理解均值不等式的几何解释；与此同时在推导论证的基础上进行公式的推广并学会应用.均值不等式是这一章的核心，对于不等式的证明及利用均值不等式求最值等应用问题都起到了工具性作用。

有利于学生对后面不等式的证明及前面函数的一些最值、值域进一步拓展与研究，起到承前启后的作用.教学目标依据新课程标准和学生的知识结构与认知水平，确定本节课的教学目标位：（一）知识与技能：通过“从生活中发现问题，实验中分析问题，设计中解决问题、总结问题，论证后延拓问题”五个环节使学生深刻理解均值不等式，明确均值不等式的使用条件，能用均值不等式解决简单的最值问题. （二）过程与方法：通过情境设置提出问题、揭示课题，培养学生主动探究新知的习惯；引导学生通过问题设计，模型转化，类比猜想实现定理的发现，体验知识与规律的形成过程；通过模型对比，多个角度、多种方法求解，拓宽学生的思路，优化学生的思维方式，提高学生综合创新与创造能力. （三）情感态度与价值观：通过问题的设置与解决使学生理解生活问题数学化，并注重运用数学解决生活中的实际问题，有利于数学生活化、大众化；同时通过学生自身的探索研究领略获取新知的喜悦.教学重点依据新课程标准和教材知识内容的特点，确定均值不等式的推导与证明，均值不等式的使用条件为教学重点.教学难点由于学生对知识的迁移应用能力一般，因此应用均值定理求最值作为本节的教学难点.教学策略选择与设计本节课主要采用启发引导式的教学策略.通过设计问题引出课题，通过启发引导解决问题、总结问题、论证问题、延拓问题等环节让学生领悟科学的探究方法，增强学生的探究能力.在教学中指导学生展开联想，大胆探索，以训练和培养学生的思维能力.教学资源与手段学案、教科书.以学案提纲代替多媒体课件，创设问题情境，激发学习兴趣，提高课堂效率.小组讨论，培养团队合作精神.教学过程设计求函数求函数：求函数的最大值的最小值，。

均值不等式一．考纲要求基本不等式：,0)2a b a b +≥≥1、了解基本不等式的证明过程。

2、会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。

二．命题规律常以选择题、填空题的形式出现，难度通常为中低档。

由于应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，所以经常与其他内容综合出题。

在高考中不外乎大小判断、求最值、求取值范围等，难度一般不会太高。

三．知识梳理 1.基本不等式2a b +≥① ；②当且仅当，2a b +≥2. 利用基本不等式求最大（小）值问题时，要注意以下三点：①2a b+≥中 ，即各项均为正数。

②只有和a+b 为 时，积ab 才 有最 值；只有积ab 为定值时，和a+b 才有最 值。

③只有时，2a b +≥a=b 时，2a b +才能取得最小值a=b2a b +。

以上三条可以总结为一 二 三3．利用均值不等式可以证明不等式，求最值、取值范围，比较大小等。

此外还要掌握如下常用不等式 （1）、2,0,0a R a a ∈≥≥; （2）222()22a b a b ++≥，（3）、222a b c ab bc ac ++≥++（4）、 若a>b>0,m>0,则 b b m aa m+<+；（5）、若a,b 同号且a>b 则11a b<；（6）、不等式链：20,0112a b a b a b+>>≥≥≥+，a=b 时取“=” 四．基础巩固1．函数y ＝x ＋1x(x ＞0)的值域为( )A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)2．已知m >0，n >0，且mn ＝81，则m ＋n 的最小值为( ) A ．18B ．36C ．81D ．2433．已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( ) A.13B.12C.34D.234．若x >1，则x ＋4x －1的最小值为________．5．已知x ＞0，y ＞0，lg x ＋lg y ＝1，则z ＝2x ＋5y 的最小值为________．五．考点突破考点一：利用均值不等式求最值[例1] (1)已知x ＜0，则f (x )＝2＋4x ＋x 的最大值为________．(2)设x,y R +∈,且满足440x y +=，lg lg x y +的最大值是 (3)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1y的最小值为________；(4)(2012·浙江高考)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A.245 B.285 C ．5 D ．6变式训练1．(1)当x ＞0时，则f (x )＝2xx 2＋1的最大值为________． (2)(2011·天津高考)已知log 2a ＋log 2b ≥1，则3a ＋9b 的最小值为________．（3）已知2()log (2)f x x =-，若实数,m n 满足()(2)3f m f n +=，则m n + 的最小值是 .（4）函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋2n的最小值为________．考点二 解决恒成立问题例2.（1）若对任意x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．（2）已知x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，若xy ≥m －2恒成立，则实数m 的最大值是________． 变式训练2、（1）若+∈R y x a ,,，且y x a y x +≤+恒成立，则a 的最小值是( )(A)22 (B)2 (C)2 (D)1（2）、已知不等式1()()9ax y x y ++≥对任意正实数x ,y 恒成立,则正实数a 的最小值为( )A.2B.4C.6D.8考点三 由等式求取值范围问题 例3.已知正数x y 、满足3xy x y =++，试求xy 、x y +的范围。

第四届学生教学技能竞赛教学设计学院：数学与计算机科学学院班级：数计（1）班课程名称：均值不等式参赛组别：高中理科组参赛组员：刘恺孟天碧张明雪李红简浩淼贵州师范大学教务处制2013年5月18 日目录1.教案………………………………………………….1~5页2.学案………………………………………………….6~8页3.选用教材封面复印件……………………………..9页教材分析教学内容地位与作用《均值不等式》教材：《普通高中课程标准实验教科书》（人教A版）数学必修（5）第三章第四节）的内容，教学大纲安排本节内容授课时间为两课时，本节课作为第一课时，重在研究公式的推导过程及公式的简单应用。

本节课《均值不等式》是《数学必修五（人B教版）》第三章第二节的内容。

均值不等式是高中数学的重要内容，是不等式的补充，是我们进一步学习数学和其他学科的基础和根据。

就应用价值来看均值不等式在求最值问题中起到了工具性作用,是研究数量大小关系的必备知识。

就内容的人文价值上来看，均值不等式探究与推导需要学生观察、分析、归纳、猜想，有助于培养学生的创新思维和探索精神,是培养学生应用意识和数学能力的良好载体，是学生以后学习工作中必备的数学素养。

学情分析1.认知方面：学生已掌握不等式的定义及运用，在此基础上学习均值不等式，学生就容易掌握均值等不等式。

2认知水平与能力：高二学生已经初步具有解决问题和合作探究的能力，能在教师的引导下独立和合作地解决一些问题，但在对知识的思维严密性和整合能力还需要加强。

3.情感方面：通过对公式的推导和探索，激发学的求知欲，带来自信和成就感，建立学生对数学学习的信心，并感受公式的简洁美和严谨美。

通过均值不等式的情景引入增加了学生的学科综合的能力。

<<均值不等式>>教案（教材：《普通高中课程标准实验教科书》（人教A版）数学必修（5）第三章第四节）教 学 目 标1、知识与技能：学会推导并掌握均值不等式，理解它的几何意义，并掌握定理使用的限制和等号取到的条件。

§3.2均值不等式（1）学习目标：1、理解均值不等式，并能运用均值不等式解决一些较为简单的问题；2、认识到数学是从实际中来的，体会思考与发现的过程。

重点难点：重点：理解均值不等式;难点：均值不等式的应用。

一、探求新知如何用代数法证明均值定理：如果a,b e R+，那么a^b>-jab。

当且仅当a=b时，等号成立。

二、深度研究：（1）均值定理内容：.对任意两个正实数a,b，数a+b叫做a,b的；数abb叫做a,b的均值定理的文字表述：均值不等式中等号成立条件是：.（2）均值不等式与不等式a2+b2>2ab的关系如何？（3）均值定理的几何解释：做线段AD=a，延长AD至点B,使DB=b（a,b>0）以AB为直径做半圆O,过D点做CD工AB于D,交半圆于点C,连接AC,BC,OC。

当点D在线段AB（端点除外）上运动时，试探讨OC与CD的大小关系。

三、学以致用：探究一、均值不等式在不等式证明中的应用：ba例1：已知ab>0,求证：一+->2,并推导出式中等号成立的条件.ab跟踪练习1：(1)求函数y=x+1(x>0)的值域。

x(2)已知a,b G R+,求证：(a+1)(b+1)>4.ab探究二、利用均值不等式求最值：例2：(1)一个矩形的面积为100m2，问这个矩形的长和宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？(2)已知矩形的周长为36m，问这个矩形的长和宽各为多少时，它的面积最大？最大面积是多少？由例2的求解过程，可以总结出以下规律：【结论】跟踪练习2：(1)把49写成两个正数的积，当这两个正数各取何值时，它们的和最小？(2)把36写成两个正数的和，当这两个正数各取何值时，它们的积最大？精品文档跟踪练习3：一段长为l米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜地，矩形的长、宽各为多少时，菜地的面积最大？求出这个最大值。

四、总结反思（本节课我们学到了哪些知识？）五、讨论研究课题（1）你还能用什么方法证明均值不等式？（2）均值不等式还有哪些变形形式？§3.2均值不等式（1）当堂检测班级：姓名：限时：5分钟分数：必做题（每题5分）1、（5分）设0<X<1,则函数y =X （1-x ）的最大值是（）12、（5分）已知X ,y 均为正数， 11且x +y =1,则U+-的最小值是（XyA3+2V 2B<2 C2+2<2D43、（5分）已知点P （x ,y ）在直线2x +y -4=0上运动，求它的横、纵坐标之积的最大值，以及此时点P 的坐标。