高考数学大二轮复习层级二专题七系列4选考第2讲不等式选讲教学案(选修45)

第二讲 不等式选讲(选修4－5)[考情分析]不等式选讲是高考的选考内容之一，考查的重点是不等式的证明、绝对值不等式的解法以及数学归纳法在不等式中的应用等，命题的热点是绝对值不等式的解法，以及绝对值不等式与函数的综合问题的求解．本部分命题形式单一、稳定，是三道选考题目中最易得分的，所以可重点突破.[真题自检]1．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，求a 的取值范围．解析：(1)当a ＝1时，不等式f (x )≥g (x )等价于x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0. ① 当x <－1时，①式化为x 2－3x －4≤0，无解；当－1≤x ≤1时，①式化为x 2－x －2≤0，从而－1≤x ≤1；当x >1时，①式化为x 2＋x －4≤0，从而1<x ≤－1＋172.所以f (x )≥g (x )的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |－1≤x ≤－1＋172. (2)当x ∈[－1,1]时，g (x )＝2.所以f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，等价于当x ∈[－1,1]时f (x )≥2.又f (x )在[－1,1]的最小值必为f (－1)与f (1)之一，所以f (－1)≥2且f (1)≥2，得－1≤a ≤1. 所以a 的取值范围为[－1,1]．2．(2016·高考全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，M 为不等式f (x )＜2的解集．(1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |＜|1＋ab |.解析：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－12，1，－12＜x ＜12，2x ，x ≥12.当x ≤－12时，由f (x )＜2得－2x ＜2，解得－1＜x ≤－12；当－12＜x ＜12时，f (x )＜2恒成立；当x ≥12时，由f (x )＜2得2x ＜2，解得12≤x ＜1.所以f (x )＜2的解集M ＝{x |－1＜x ＜1}．(2)证明：由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1＜a ＜1，－1＜b ＜1，从而(a ＋b )2－(1＋ab )2＝a 2＋b 2－a 2b 2－1＝(a 2－1)(1－b 2)＜0.因此|a ＋b |＜|1＋ab |.3．(2015·高考全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a ＞0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )＞1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围． 解析：(1)当a ＝1时，f (x )＞1化为|x ＋1|－2|x －1|－1＞0. 当x ≤－1时，不等式化为x －4＞0，无解；当－1＜x ＜1时，不等式化为3x －2＞0，解得23＜x ＜1；当x ≥1时，不等式化为－x ＋2＞0，解得1≤x ＜2.所以f (x )＞1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪23＜x ＜2. (2)由题设可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1－2a ，x ＜－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x ＞a .所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，0，B (2a ＋1,0)，C (a ，a＋1)，△ABC 的面积为23(a ＋1)2.由题设得23(a ＋1)2＞6，故a ＞2.所以a 的取值范围为(2，＋∞)．含绝对值不等式的解法[方法结论]1．|ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c 型不等式的解法：(1)若c ＞0，则|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ，|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c ， 然后根据a ，b 的取值求解即可；(2)若c ＜0，则|ax ＋b |≤c 的解集为∅，|ax ＋b |≥c 的解集为R . 2．|x －a |＋|x －b |≥c ，|x －a |＋|x －b |≤c (c ＞0)型不等式的解法： (1)令每个绝对值符号里的一次式为0，求出相应的根； (2)把这些根由小到大排序，它们把数轴分为若干个区间；(3)在所分区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符号，讨论所得的不等式在这个区间上的解集； (4)这些解集的并集就是原不等式的解集．[题组突破]1．设函数f (x )＝|x ＋2|－|x －1|. (1)求不等式f (x )＞1的解集；(2)若关于x 的不等式f (x )＋4≥|1－2m |有解，求实数m 的取值范围． 解析：(1)函数f (x )可化为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤－2，2x ＋1，－2＜x ＜1，3，x ≥1，当x ≤－2时，f (x )＝－3＜0，不合题意；当－2＜x ＜1时，f (x )＝2x ＋1＞1，得x ＞0，即0 ＜x ＜1； 当x ≥1时，f (x )＝3＞1，即x ≥1.综上，不等式f (x )＞1的解集为(0，＋∞)．(2)关于x 的不等式f (x )＋4≥|1－2m |有解等价于(f (x )＋4)max ≥|1－2m |，由(1)可知f (x )max ＝3(也可由|f (x )|＝||x ＋2|－|x －1||≤|(x ＋2)－(x －1)|＝3，得f (x )max ＝3)， 即|1－2m |≤7，解得－3≤m ≤4. 故实数m 的取值范围为[－3,4]．2．(2017·广州模拟)设函数f (x )＝|kx －1|(k ∈R )．(1)若不等式f (x )≤2的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－13≤x ≤1，求k 的值； (2)若f (1)＋f (2)＜5，求k 的取值范围． 解析：(1)由|kx －1|≤2，得－2≤kx －1≤2， ∴－1≤kx ≤3，∴－13≤k3x ≤1.由已知，得k3＝1，∴k ＝3.(2)由已知，得|k －1|＋|2k －1|＜5.当k ≤12时，－(k －1)－(2k －1)＜5，得k ＞－1，此时－1＜k ≤12；当12＜k ≤1时，－(k －1)＋(2k －1)＜5，得k ＜5，此时12＜k ≤1； 当k ＞1时，(k －1)＋(2k －1)＜5，得k ＜73，此时1＜k ＜73.综上，k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，73. [误区警示]利用零点分段讨论法，解绝对值不等式时易遗漏区间的端点值．不等式的证明[方法结论]证明不等式的5个基本方法 (1)比较法：作差或作商比较．(2)综合法：根据已知条件、不等式的性质、基本不等式，通过逻辑推理导出结论． (3)分析法：执果索因的证明方法． (4)反证法：反设结论，导出矛盾．(5)放缩法：通过把不等式中的部分值放大或缩小的证明方法．[题组突破]1．已知实数a ，b ，c 满足a ＞0，b ＞0，c ＞0，且abc ＝1. (1)证明：(1＋a )(1＋b )(1＋c )≥8； (2)证明：a ＋b ＋c ≤1a ＋1b ＋1c.证明：(1)∵1＋a ≥2a ，1＋b ≥2b ，1＋c ≥2c ， ∴(1＋a )(1＋b )(1＋c )≥2a ·2b ·2c ＝8abc ， ∵abc ＝1，∴(1＋a )(1＋b )(1＋c )≥8. (2)∵ab ＋bc ≥2ab 2c ＝2b ，ab ＋ac ≥2a 2bc ＝2a ， bc ＋ac ≥2abc 2＝2c ，上面三式相加得，2ab ＋2bc ＋2ca ≥2a ＋2b ＋2c ， 即ab ＋bc ＋ca ≥a ＋b ＋c . 又1a ＋1b ＋1c＝ab ＋bc ＋ac ，∴a ＋b ＋c ≤1a ＋1b ＋1c.2．(2017·武汉调研)设函数f (x )＝|x －2|＋2x －3，记f (x )≤－1的解集为M . (1)求M ；(2)当x ∈M 时，证明：x [f (x )]2－x 2f (x )≤0.解析：(1)由已知，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≤23x －5，x ＞2.当x ≤2时，由f (x )＝x －1≤－1，解得x ≤0， 此时x ≤0；当x ＞2时，由f (x )＝3x －5≤－1，解得x ≤43，显然不成立．故f (x )≤－1的解集为M ＝{x |x ≤0}． (2)证明：当x ∈M 时，f (x )＝x －1，于是x [f (x )]2－x 2f (x )＝x (x －1)2－x 2(x －1)＝－x 2＋x ＝－(x －12)2＋14.令g (x )＝－(x －12)2＋14，则函数g (x )在(－∞，0]上是增函数，∴g (x )≤g (0)＝0. 故x [f (x )]2－x 2f (x )≤0.3．设a >0，b >0，且a ＋b ＝1a ＋1b.证明：(1)a ＋b ≥2；(2)a 2＋a <2与b 2＋b <2不可能同时成立．证明：由a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋bab，a >0，b >0，得ab ＝1.(1)由基本不等式及ab ＝1，有a ＋b ≥2ab ＝2，即a ＋b ≥2.(2)假设a 2＋a <2与b 2＋b <2同时成立，则由a 2＋a <2及a >0得0<a <1；同理，0<b <1，从而ab <1， 这与ab ＝1矛盾．故a 2＋a <2与b 2＋b <2不可能同时成立． 4．已知a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac ＜3a . 证明：要证 b 2－ac <3a ，只需证b 2－ac <3a 2. ∵a ＋b ＋c ＝0，只需证b 2＋a (a ＋b )<3a 2.只需证2a 2－ab －b 2>0， 只需证(a －b )(2a ＋b )>0， 只需证(a －b )(a －c )>0. ∵a >b >c ，∴a －b >0，a －c >0，∴(a －b )(a －c )>0显然成立，故原不等式成立． [类题通法]不等式证明的常用方法有比较法、分析法、综合法、反证法等．(1)如果已知条件与待证结论直接联系不明显，可考虑用分析法；(2)如果待证命题是否定性命题、唯一性命题或以“至少”“至多”等方式给出的，则考虑用反证法；(3)如果待证不等式与自然数有关，则考虑用数学归纳法．在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明．含绝对值不等式的恒成立问题[方法结论]绝对值不等式(1)定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立．(2)定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立．[典例] (2017·惠州模拟)已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围． 解析：(1)由f (x )≤3，得|x －a |≤3，解得a －3≤x ≤a ＋3. 又已知不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a －3＝－1a ＋3＝5，解得a ＝2.(2)当a ＝2时，f (x )＝|x －2|.设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)＝|x －2|＋|x ＋3|.因为|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5(当且仅当－3≤x ≤2时等号成立)， 所以g (x )的最小值为5.因此，若g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)≥m 对x ∈R 恒成立， 则实数m 的取值范围是(－∞，5]． [类题通法]1．绝对值不等式中蕴含最佳思想，即可利用|||a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |去求形如f (x )＝|x －a |＋|x －b |或f (x )＝|x －a |－|x －b |的最值．2．不等式恒成立问题关键在于利用转化思想，常见的有：f (x )＞a 恒成立⇔f (x )min ＞a ；f (x )＜a 恒成立⇔f (x )max ＜a ；f (x )＞a 有解⇔f (x )max ＞a ；f (x )＜a有解⇔f (x )min ＜a ；f (x )＞a 无解⇔f (x )max ≤a ；f (x )＜a 无解⇔f (x )min ≥a .[演练冲关]1．(2017·合肥模拟)已知函数f (x )＝|x －m |－|x ＋3m |(m ＞0)． (1)当m ＝1时，求不等式f (x )≥1的解集；(2)对于任意实数x ，t ，不等式f (x )＜|2＋t |＋|t －1|恒成立，求m 的取值范围． 解析：(1)f (x )＝|x －m |－|x ＋3m |＝⎩⎪⎨⎪⎧－4m ，x ≥m －2x －2m ，－3m ＜x ＜m .4m ，x ≤－3m当m ＝1时，由⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2≥1－3＜x ＜1，或x ≤－3，得x ≤－32，∴不等式f (x )≥1的解集为{x |x ≤－32}．(2)不等式f (x )＜|2＋t |＋|t －1|对任意的实数t ，x 恒成立，等价于对任意的实数x ，f (x )＜(|2＋t |＋|t －1|)min 恒成立，即[f (x )]max ＜(|2＋t |＋|t －1|)min ， ∵f (x )＝|x －m |－|x ＋3m |≤|(x －m )－(x ＋3m )|＝4m ， |2＋t |＋|t －1|≥|(2＋t )－(t －1)|＝3， ∴4m ＜3，又m ＞0，∴0＜m ＜34.2．(2017·高考全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|. (1)求不等式f (x )≥1的解集；(2)若不等式f (x )≥x 2－x ＋m 的解集非空，求m 的取值范围． 解析：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x <－1，2x －1，－1≤x ≤2，3，x >2.当x <－1时，f (x )≥1无解；当－1≤x ≤2时，由f (x )≥1得，2x －1≥1，解得1≤x ≤2； 当x >2时，由f (x )≥1解得x >2. 所以f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}．(2)由f (x )≥x 2－x ＋m ，得m ≤|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x .而|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ≤|x |＋1＋|x |－2－x 2＋|x |＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |－322＋54≤54，且当x ＝32时，|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ＝54.故m 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，54.。

选修45《不等式选讲》全册教案教案题目：不等式选讲一、教学内容：本教学内容为45《不等式选讲》，包含了不等式的基本概念及性质、不等式的解集表示法、一元一次不等式、一元二次不等式、绝对值不等式和不等式的应用等主要内容。

二、教学目标：1.了解不等式的基本概念及性质；2.掌握不等式的解集表示法；3.掌握一元一次不等式的解法及简单应用；4.掌握一元二次不等式的解法及简单应用；5.掌握绝对值不等式的解法及简单应用；6.能够运用不等式解决实际问题。

三、教学重点和难点：教学重点：不等式的基本概念及性质、不等式的解集表示法、一元一次不等式和一元二次不等式的解法。

教学难点：绝对值不等式的解法及应用。

四、教学方法：1.经典讲解法：通过教师讲解不等式的概念、性质和解法，引导学生理解并掌握相关知识点。

2.讨论交流法：通过引导学生进行讨论和交流，培养学生合作解决问题的能力。

3.实践操作法：通过实际问题的解决，让学生应用所学知识解决实际问题，提高学生的综合应用能力。

五、教学过程：1.针对不等式的基本概念及性质，教师通过举例和讲解，引导学生了解不等式的含义和不等式的常见性质。

2.针对不等式的解集表示法，教师通过讲解和练习题，帮助学生掌握不等式解集表示法的方法和技巧。

3.针对一元一次不等式，教师通过讲解和例题，引导学生掌握一元一次不等式的解法和简单应用。

4.针对一元二次不等式，教师通过讲解和例题，引导学生掌握一元二次不等式的解法和简单应用。

5.针对绝对值不等式，教师通过讲解和例题，引导学生掌握绝对值不等式的解法和简单应用。

6.针对不等式的应用，教师通过实际问题的讲解和解决，引导学生运用所学知识解决实际问题。

七、教学评价：通过小组合作解题、课堂讨论、平时作业和期末考试等方式进行综合评价，评估学生对不等式相关知识的掌握情况和能力提升情况。

八、教学资源：1.教材：《不等式选讲》教材；2.多媒体教学设备；3.相关练习题和考试题。

九、教学反思：本次教案设计以教材为基础，以培养学生的综合应用能力为目标，通过不同的教学方法和教学环节，使学生掌握不等式的基本概念及性质、不等式的解集表示法、一元一次不等式、一元二次不等式、绝对值不等式和不等式的应用等主要内容。

第2讲不等式选讲年份卷别考查内容及考题位置命题分析2018卷Ⅰ绝对值不等式的解法、不等式的恒成立问题·T231.不等式选讲是高考的选考内容之一,考查的重点是不等式的证明、绝对值不等式的解法等,命题的热点是绝对值不等式的求解,以及绝对值不等式与函数的综合问题的求解．2．此部分命题形式单一、稳定,难度中等,备考本部分内容时应注意分类讨论思想的应用.卷Ⅱ绝对值不等式的解法、不等式的恒成立问题·T23卷Ⅲ含绝对值函数图象的画法、不等式的恒成立问题·T232017卷Ⅰ含绝对值不等式的解法、求参数的取值范围·T23卷Ⅱ基本不等式的应用、一些常用的变形及证明不等式的方法·T23卷Ⅲ含绝对值不等式的解法、函数最值的求解·T232016卷Ⅰ含绝对值函数图象的画法、含绝对值不等式的解法·T24卷Ⅱ含绝对值不等式的解法、比较法证明不等式·T24卷Ⅲ含绝对值不等式的解法、绝对值不等式的性质·T24绝对值不等式的解法(综合型)含有绝对值的不等式的解法(1)|f(x)|>a(a>0)⇔f(x)>a或f(x)<－a；(2)|f (x )|<a (a >0)⇔－a <f (x )<a ；(3)对形如|x －a |＋|x －b |≤c ,|x －a |＋|x －b |≥c 的不等式,可利用绝对值不等式的几何意义求解．[典型例题](2018·太原模拟)已知函数f (x )＝|x ＋m |＋|2x －1|. (1)当m ＝－1时,求不等式f (x )≤2的解集；(2)若f (x )≤|2x ＋1|的解集包含⎣⎡⎦⎤34，2,求m 的取值范围． 【解】 (1)当m ＝－1时,f (x )＝|x －1|＋|2x －1|, 当x ≥1时,f (x )＝3x －2≤2,所以1≤x ≤43；当12<x <1时,f (x )＝x ≤2,所以12<x <1； 当x ≤12时,f (x )＝2－3x ≤2,所以0≤x ≤12,综上可得原不等式f (x )≤2的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0≤x ≤43.(2)由题意可知f (x )≤|2x ＋1|在⎣⎡⎦⎤34，2上恒成立,当x ∈⎣⎡⎦⎤34，2时,f (x )＝|x ＋m |＋|2x －1|＝|x ＋m |＋2x －1≤|2x ＋1|＝2x ＋1,所以|x ＋m |≤2,即－2≤x ＋m ≤2,则－2－x ≤m ≤2－x ,且(－2－x )max ＝－114,(2－x )min ＝0,因此m 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－114，0.|x －a |＋|x －b |≥c (或≤c )(c >0),|x －a |－|x －b |≥c (或≤c )(c >0)型不等式的解法 可通过零点分区间法或利用绝对值的几何意义进行求解． (1)零点分区间法的一般步骤①令每个绝对值符号的代数式为零,并求出相应的根． ②将这些根按从小到大排列,把实数集分为若干个区间．③由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式,解这些不等式,求出解集． ④取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集． (2)利用绝对值的几何意义由于|x －a |＋|x －b |与|x －a |－|x －b |分别表示数轴上与x 对应的点到a ,b 对应的点的距离之和与距离之差,因此对形如|x －a |＋|x －b |≥c (或≤c )(c >0)或|x －a |－|x －b |≥c (或≤c )(c >0)的不等式,利用绝对值的几何意义求解更直观．[对点训练](2018·合肥第一次质量检测)已知函数f (x )＝|2x －1|. (1)解关于x 的不等式f (x )－f (x ＋1)≤1；(2)若关于x 的不等式f (x )<m －f (x ＋1)的解集不是空集,求m 的取值范围． 解:(1)f (x )－f (x ＋1)≤1⇔|2x －1|－|2x ＋1|≤1,则⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，2x －1－2x －1≤1或⎩⎪⎨⎪⎧－12<x <12，1－2x －2x －1≤1 或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－12，1－2x ＋2x ＋1≤1， 解得x ≥12或－14≤x <12,即x ≥－14,所以原不等式的解集为⎣⎡⎭⎫－14，＋∞. (2)由条件知,不等式|2x －1|＋|2x ＋1|<m 有解, 则m >(|2x －1|＋|2x ＋1|)min 即可．由于|2x －1|＋|2x ＋1|＝|1－2x |＋|2x ＋1|≥|1－2x ＋2x ＋1|＝2, 当且仅当(1－2x )(2x ＋1)≥0,即x ∈⎣⎡⎦⎤－12，12时等号成立,故m >2. 所以m 的取值范围是(2,＋∞)．不等式的证明(综合型)含有绝对值的不等式的性质 |a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |. 算术—几何平均不等式定理1:设a ,b ∈R ,则a 2＋b 2≥2ab ,当且仅当a ＝b 时,等号成立． 定理2:如果a ,b 为正数,则a ＋b2≥ab ,当且仅当a ＝b 时,等号成立．定理3:如果a ,b ,c 为正数,则a ＋b ＋c 3≥3abc ,当且仅当a ＝b ＝c 时,等号成立． 定理4:(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a 1,a 2,…,a n 为n 个正数,则a 1＋a 2＋…＋a n n ≥na 1a 2…a n ,当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时,等号成立．[典型例题](2018·长春质量检测(一))设不等式||x ＋1|－|x －1||<2的解集为A . (1)求集合A ； (2)若a ,b ,c ∈A ,求证:⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－abc ab －c >1.【解】 (1)由已知,令f (x )＝|x ＋1|－|x －1| ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x ≥1，2x ，－1<x <1，－2，x ≤－1，由|f (x )|<2得－1<x <1,即A ＝{x |－1<x <1}． (2)证明:要证⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－abc ab －c >1,只需证|1－abc |>|ab －c |, 只需证1＋a 2b 2c 2>a 2b 2＋c 2,只需证1－a 2b 2>c 2(1－a 2b 2), 只需证(1－a 2b 2)(1－c 2)>0,由a ,b ,c ∈A ,得a 2b 2<1,c 2<1,所以(1－a 2b 2)(1－c 2)>0恒成立． 综上,⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－abc ab －c >1.证明不等式的方法和技巧(1)如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显,可考虑用分析法；如果待证的命题以“至少”“至多”等方式给出或是否定性命题、唯一性命题,则考虑用反证法．(2)在必要的情况下,可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明．尤其是对含绝对值不等式的解法或证明,其简化的基本思路是化去绝对值符号,转化为常见的不等式(组)求解．多以绝对值的几何意义或“找零点、分区间、逐个解、并起来”为简化策略,而绝对值三角不等式,往往作为不等式放缩的依据．[对点训练](2018·陕西教学质量检测(一))已知函数f (x )＝|2x －1|＋|x ＋1|. (1)解不等式f (x )≤3；(2)记函数g (x )＝f (x )＋|x ＋1|的值域为M ,若t ∈M ,证明t 2＋1≥3t＋3t .解:(1)依题意,得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x ≤－1，2－x ，－1<x <12，3x ，x ≥12， 所以f (x )≤3⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，－3x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <12，2－x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，3x ≤3，解得－1≤x ≤1,即不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤1}．(2)证明:g (x )＝f (x )＋|x ＋1|＝|2x －1|＋|2x ＋2|≥|2x －1－2x －2|＝3, 当且仅当(2x －1)(2x ＋2)≤0时取等号, 所以M ＝[3,＋∞)． t 2＋1－3t －3t ＝t 3－3t 2＋t －3t ＝（t －3）（t 2＋1）t, 因为t ∈M ,所以t －3≥0,t 2＋1>0,所以（t－3）（t2＋1）t≥0,所以t2＋1≥3t＋3t.含绝对值不等式的恒成立问题(综合型)[典型例题](2018·郑州第一次质量预测)设函数f(x)＝|x＋3|,g(x)＝|2x－1|.(1)解不等式f(x)<g(x)；(2)若2f(x)＋g(x)>ax＋4对任意的实数x恒成立,求a的取值范围．【解】(1)由已知,可得|x＋3|<|2x－1|,即|x＋3|2<|2x－1|2,所以3x2－10x－8>0,解得x<－23或x>4.故所求不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－23∪(4,＋∞)．(2)由已知,设h(x)＝2f(x)＋g(x)＝2|x＋3|＋|2x－1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x－5，x≤－3，7，－3<x<12，4x＋5，x≥12.当x≤－3时,只需－4x－5>ax＋4恒成立,即ax<－4x－9恒成立,因为x≤－3<0,所以a>－4x－9x＝－4－9x恒成立,所以a>⎝⎛⎭⎫－4－9x max,所以a>－1；当－3<x<12时,只需7>ax＋4恒成立,即ax－3<0恒成立,只需⎩⎪⎨⎪⎧－3a－3≤0，12a－3≤0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a≥－1，a≤6，所以－1≤a≤6；当x≥12时,只需4x＋5>ax＋4恒成立,即ax<4x＋1恒成立．因为x≥12>0,所以a<4x＋1x＝4＋1x恒成立．因为4＋1x>4,且x→＋∞时,4＋1x→4,所以a≤4.综上,a的取值范围是(－1,4]．绝对值不等式的成立问题的求解模型(1)分离参数:根据不等式将参数分离化为a ≥f (x )或a ≤f (x )形式．(2)转化最值:f (x )>a 恒成立⇔f (x )min >a ；f (x )<a 恒成立⇔f (x )max <a ；f (x )>a 有解⇔f (x )max >a ；f (x )<a 有解⇔f (x )min <a ；f (x )>a 无解⇔f (x )max ≤a ；f (x )<a 无解⇔f (x )min ≥a .(3)求最值:利用基本不等式或绝对值不等式求最值． (4)得结论．[对点训练]1．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知f (x )＝|x ＋1|－|ax －1|. (1)当a ＝1时,求不等式f (x )＞1的解集；(2)若x ∈(0,1)时不等式f (x )＞x 成立,求a 的取值范围．解:(1)当a ＝1时,f (x )＝|x ＋1|－|x －1|,即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，x ≤－1，2x ，－1<x <1，2，x ≥1.故不等式f (x )>1的解集为{x |x >12}．(2)当x ∈(0,1)时|x ＋1|－|ax －1|>x 成立等价于当x ∈(0,1)时|ax －1|<1成立． 若a ≤0,则当x ∈(0,1)时|ax －1|≥1；若a >0,|ax －1|<1的解集为0<x <2a ,所以2a ≥1,故0<a ≤2.综上,a 的取值范围为(0,2]．2．(2018·洛阳第一次联考)已知函数f (x )＝|x ＋1－2a |＋|x －a 2|,a ∈R ,g (x )＝x 2－2x －4＋4（x －1）2.(1)若f (2a 2－1)>4|a －1|,求实数a 的取值范围；(2)若存在实数x ,y ,使f (x )＋g (y )≤0,求实数a 的取值范围． 解:(1)因为f (2a 2－1)>4|a －1|, 所以|2a 2－2a |＋|a 2－1|>4|a －1|, 所以|a －1|(2|a |＋|a ＋1|－4)>0, 所以|2a |＋|a ＋1|>4且a ≠1.①若a ≤－1,则－2a －a －1>4,所以a <－53；②若－1<a <0,则－2a ＋a ＋1>4,所以a <－3,此时无解； ③若a ≥0且a ≠1,则2a ＋a ＋1>4,所以a >1. 综上所述,a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－53∪(1,＋∞)． (2)因为g (x )＝(x －1)2＋4（x －1）2－5≥2（x －1）2·4（x －1）2－5＝－1,显然可取等号,所以g (x )min ＝－1.于是,若存在实数x ,y ,使f (x )＋g (y )≤0,只需f (x )min ≤1.又f (x )＝|x ＋1－2a |＋|x －a 2|≥|(x ＋1－2a )－(x －a 2)|＝(a －1)2, 所以(a －1)2≤1,所以－1≤a －1≤1,所以0≤a ≤2,即a ∈[0,2]．1．(2018·高考全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝5－|x ＋a |－|x －2|. (1)当a ＝1时,求不等式f (x )≥0的解集； (2)若f (x )≤1,求a 的取值范围． 解:(1)当a ＝1时, f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4，x ≤－1，2，－1＜x ≤2，－2x ＋6，x ＞2.可得f (x )≥0的解集为{x |－2≤x ≤3}． (2)f (x )≤1等价于|x ＋a |＋|x －2|≥4.而|x ＋a |＋|x －2|≥|a ＋2|,且当x ＝2时等号成立．故f (x )≤1等价于|a ＋2|≥4. 由|a ＋2|≥4可得a ≤－6或a ≥2.所以a 的取值范围是(－∞,－6]∪[2,＋∞)． 2．(2018·开封模拟)已知函数f (x )＝|x －m |,m <0. (1)当m ＝－1时,求解不等式f (x )＋f (－x )≥2－x ； (2)若不等式f (x )＋f (2x )<1的解集非空,求m 的取值范围． 解:(1)设F (x )＝|x －1|＋|x ＋1| ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x <－1，2，－1≤x <1，G （x ）＝2－x ，2x ，x ≥1. 由F (x )≥G (x )解得{x |x ≤－2或x ≥0}． (2)f (x )＋f (2x )＝|x －m |＋|2x －m |,m <0.设g (x )＝f (x )＋f (2x ),当x ≤m 时,g (x )＝m －x ＋m －2x ＝2m －3x ,则g (x )≥－m ； 当m <x <m 2时,g (x )＝x －m ＋m －2x ＝－x ,则－m2<g (x )<－m ；当x ≥m 2时,g (x )＝x －m ＋2x －m ＝3x －2m ,则g (x )≥－m2.则g (x )的值域为⎣⎡⎭⎫－m2，＋∞, 不等式f (x )＋f (2x )<1的解集非空,即1>－m2,解得m >－2,由于m <0,则m 的取值范围是(－2,0)．3．(2018·石家庄质量检测(一))已知函数f (x )＝|ax －1|－(a －2)x . (1)当a ＝3时,求不等式f (x )>0的解集；(2)若函数f (x )的图象与x 轴没有交点,求实数a 的取值范围． 解:(1)当a ＝3时,不等式可化为|3x －1|－x >0,即|3x －1|>x ,所以3x －1<－x 或3x －1>x ,即x <14或x >12,所以不等式f (x )>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <14或x >12.(2)当a >0时,f (x )＝⎩⎨⎧2x －1，x ≥1a，2（1－a ）x ＋1，x <1a ，要使函数f (x )的图象与x 轴无交点, 只需⎩⎪⎨⎪⎧2a －1>0，2（1－a ）≤0，即1≤a <2；当a ＝0时,f (x )＝2x ＋1,函数f (x )的图象与x 轴有交点,不合题意；当a <0时,f (x )＝⎩⎨⎧2x －1，x ≤1a，2（1－a ）x ＋1，x >1a ，要使函数f (x )的图象与x 轴无交点, 只需⎩⎪⎨⎪⎧2a －1<0，2（1－a ）≤0，此时无解．综上可知,若函数f (x )的图象与x 轴无交点,则实数a 的取值范围为[1,2)． 4．(2018·高考全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －1|. (1)画出y ＝f (x )的图象；(2)当x ∈[0,＋∞)时,f (x )≤ax ＋b ,求a ＋b 的最小值．解:(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x ＜－12，x ＋2，－12≤x ＜1，3x ，x ≥1.y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由(1)知,y ＝f (x )的图象与y 轴交点的纵坐标为2,且各部分所在直线斜率的最大值为3,故当且仅当a ≥3且b ≥2时,f (x )≤ax ＋b 在[0,＋∞)成立,因此a ＋b 的最小值为5.5．(2018·石家庄质量检测(二))已知函数f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋1|. (1)当a ＝1时,求f (x )≤2的解集；(2)若g (x )＝4x 2＋ax －3.当a >－1且x ∈⎣⎡⎦⎤－12，a2时,f (x )≥g (x ),求实数a 的取值范围． 解:(1)当a ＝1时,f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x ，x <－122，－12≤x ≤124x ，x >12.当x <－12时,f (x )≤2无解；当－12≤x ≤12时,f (x )≤2的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12≤x ≤12；当x >12时,f (x )≤2无解．综上所述,f (x )≤2的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12≤x ≤12.(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－12，a2时,f (x )＝(a －2x )＋(2x ＋1)＝a ＋1,所以f (x )≥g (x )可化为a ＋1≥g (x )． 又g (x )＝4x 2＋ax －3在⎣⎡⎦⎤－12，a 2上的最大值必为g ⎝⎛⎭⎫－12、g ⎝⎛⎭⎫a 2之一,则⎩⎨⎧a ＋1≥g ⎝⎛⎭⎫－12a ＋1≥g ⎝⎛⎭⎫a 2, 即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－2－43≤a ≤2,即－43≤a ≤2.又a >－1,所以－1<a ≤2,所以a 的取值范围为(－1,2]． 6．(2018·南昌模拟)已知函数f (x )＝|2x ＋3a 2|. (1)当a ＝0时,求不等式f (x )＋|x －2|≥3的解集；(2)若对于任意函数x ,不等式|2x ＋1|－f (x )<2a 恒成立,求实数a 的取值范围． 解:(1)当a ＝0时,不等式可化为|2x |＋|x －2|≥3,得⎩⎪⎨⎪⎧x <0－2x ＋2－x ≥3或⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤22x ＋2－x ≥3或⎩⎪⎨⎪⎧x >22x ＋x －2≥3,解得x ≤－13或x ≥1,所以当a ＝0时,不等式f (x )＋|x －2|≥3的解集为⎝⎛⎦⎤－∞，－13∪[1,＋∞)． (2)对于任意实数x ,不等式|2x ＋1|－f (x )<2a 恒成立,即|2x ＋1|－|2x ＋3a 2|<2a 恒成立． 因为|2x ＋1|－|2x ＋3a 2|≤|2x ＋1－2x －3a 2|＝|3a 2－1|, 所以要使原不等式恒成立,只需|3a 2－1|<2a . 当a <0时,无解；当0≤a ≤33时,1－3a 2<2a ,解得13<a ≤33； 当a >33时,3a 2－1<2a ,解得33<a <1. 所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫13，1.7．(2018·福州模拟)已知函数f (x )＝x 2－|x |＋1. (1)求不等式f (x )≥2x 的解集；(2)若关于x 的不等式f (x )≥⎪⎪⎪⎪x 2＋a 在[0,＋∞)上恒成立,求实数a 的取值范围． 解:(1)不等式f (x )≥2x 等价于x 2－|x |－2x ＋1≥0,① 当x ≥0时,①式化为x 2－3x ＋1≥0, 解得x ≥3＋52或0≤x ≤3－52；当x <0时,①式化为x 2－x ＋1≥0,解得x <0,综上所述,不等式f (x )≥2x 的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤3－52或x ≥3＋52. (2)不等式f (x )≥⎪⎪⎪⎪x 2＋a 在[0,＋∞)上恒成立, 等价于－f (x )≤x2＋a ≤f (x )在[0,＋∞)上恒成立,等价于－x 2＋x －1≤x2＋a ≤x 2－x ＋1在[0,＋∞)上恒成立,等价于－x 2＋12x －1≤a ≤x 2－32x ＋1在[0,＋∞)上恒成立,由－x 2＋12x －1＝－⎝⎛⎭⎫x －142－1516≤－1516(当且仅当x ＝14时取等号), x 2－32x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －342＋716≥716(当且仅当x ＝34时取等号),所以－1516≤a ≤716,综上所述,实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1516，716.8．(2018·武汉调研)已知函数f (x )＝x 2＋2,g (x )＝|x －a |－|x －1|,a ∈R .(1)若a ＝4,求不等式f (x )>g (x )的解集；(2)若对任意x 1,x 2∈R ,不等式f (x 1)≥g (x 2)恒成立,求实数a 的取值范围． 解:(1)当a ＝4时,不等式f (x )>g (x )为x 2＋2>|x －4|－|x －1|,g (x )＝|x －4|－|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≥4，－2x ＋5，1<x <4，3，x ≤1.①当x ≥4时,x 2＋2>－3恒成立,所以x ≥4.②当1<x <4时,x 2＋2>－2x ＋5,即x 2＋2x －3>0,得x >1或x <－3, 所以1<x <4.③当x ≤1时,x 2＋2>3,则x >1或x <－1,所以x <－1.由①②③可知不等式f (x )>g (x )的解集为{x |x <－1或x >1}．(2)当a ≥1时,g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－a ，x ≥a ，a ＋1－2x ，1<x <a ，a －1，x ≤1，所以g (x )的最大值为a －1.要使f (x 1)≥g (x 2),只需2≥a －1,则a ≤3,所以1≤a ≤3.当a <1时,g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋1，x ≥1，2x －a －1，a <x <1，a －1，x ≤a所以g (x )的最大值为1－a .要使f (x 1)≥g (x 2),只需2≥1－a ,则a ≥－1,所以－1≤a <1. 综上,实数a 的取值范围是[－1,3].。

亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……学 习 资 料 专 题第2讲 不等式选讲[考情考向分析] 本部分主要考查绝对值不等式的解法．求含绝对值的函数的值域及求含参数的绝对值不等式中参数的取值范围、不等式的证明等，结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式、绝对值不等式的应用成为命题的热点，主要考查基本运算能力与推理论证能力及数形结合思想、分类讨论思想．热点一 含绝对值不等式的解法 含有绝对值的不等式的解法(1)|f (x )|>a (a >0)⇔f (x )>a 或f (x )<－a . (2)|f (x )|<a (a >0)⇔－a <f (x )<a .(3)对形如|x －a |＋|x －b |≤c ，|x －a |＋|x －b |≥c 的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．例1 (2018·湖南省长郡中学模拟)已知函数f (x )＝|x －a |，其中a >1. (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4－|x －4|的解集；(2)已知关于x 的不等式|f (2x ＋a )－2f (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，求a 的值． 解 (1)当a ＝2时，f (x )＋|x －4|＝|x －2|＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋6，x ≤2，2，2<x <4，2x －6，x ≥4，当x ≤2时，由f (x )≥4－|x －4|， 得－2x ＋6≥4，解得x ≤1；当2<x <4时，由f (x )≥4－|x －4|，无解； 当x ≥4时，由f (x )≥4－|x －4|， 得2x －6≥4，解得x ≥5.故不等式的解集为{x |x ≤1或x ≥5}． (2)令h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a ，x ≤0，4x －2a ，0<x <a ，2a ，x ≥a ，由|h (x )|≤2，当x ≤0或x ≥a 时，显然不成立． 当0<x <a 时，由|4x －2a |≤2， 解得a －12≤x ≤a ＋12.又知|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －12＝1，a ＋12＝2，于是a ＝3.思维升华 (1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤①求零点；②划区间、去绝对值符号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．(2)用图象法、数形结合法可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．跟踪演练1 (2018·河北省衡水金卷模拟)已知函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －1|. (1)解不等式f (x )≤3；(2)若函数g (x )＝||2x －2 018－a ＋||2x －2 019，若对于任意的x 1∈R ，都存在x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，求实数a 的取值范围．解 (1)依题意，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x ≤－12，x ＋2，－12<x <1，3x ，x ≥1.由f (x )≤3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－12，－3x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧－12<x <1，x ＋2≤3或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，3x ≤3，解得－1≤x ≤1.即不等式f (x )≤3的解集为{}x |－1≤x ≤1.(2)由(1)知，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝32，g (x )＝||2x －2 018－a ＋||2x －2 019≥||2x －2 018－a －2x ＋2 019＝|a －1|， 则|a －1|≤32，解得－12≤a ≤52，即实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，52.热点二 绝对值不等式恒成立(存在)问题定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立． 定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立．例2 设函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －a |(a >0)． (1)当a ＝2时，求不等式f (x )>8的解集；(2)若∃x ∈R ，使得f (x )≤32成立，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝2时，由f (x )>8， 得|2x ＋1|＋|x －2|>8，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，3x －1>8或⎩⎪⎨⎪⎧－12<x <2，x ＋3>8或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－12，－3x ＋1>8，得x >3或x ∈∅或x <－73，所以x >3或x <－73，所以原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－73∪(3，＋∞)． (2)因为∃x ∈R ，使得f (x )≤32成立，所以f (x )min ≤32.因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1－a ，x ≥a ，x ＋a ＋1，－12<x <a ，－3x －1＋a ，x ≤－12，所以f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞上单调递增， 所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝12＋a ，所以12＋a ≤32，所以a ≤1.又a >0，所以实数a 的取值范围是(]0，1. 思维升华 绝对值不等式的成立问题的求解策略(1)分离参数：根据不等式将参数分离化为a ≥f (x )或a ≤f (x )的形式．(2)转化最值：f (x )>a 恒成立⇔f (x )min >a ；f (x )<a 恒成立⇔f (x )max <a ；f (x )>a 有解⇔f (x )max >a ；f (x )<a 有解⇔f (x )min <a ；f (x )>a 无解⇔f (x )max ≤a ；f (x )<a 无解⇔f (x )min ≥a .(3)求最值：利用基本不等式或绝对值不等式求最值． (4)得结论．跟踪演练2 (2018·东北三省三校模拟)已知函数f (x )＝||2x ＋b ＋||2x －b . (1)若b ＝1，解不等式f (x )>4；(2)若不等式f (a )>||b ＋1对任意的实数a 恒成立，求b 的取值范围． 解 (1)当b ＝1时，f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －1|>4， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，4x >4⇒x >1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－12，－4x >4⇒x <－1或⎩⎪⎨⎪⎧－12<x <12，2>4⇒x ∈∅，所以不等式的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．(2)f (a )＝|2a ＋b |＋|2a －b |＝|2a ＋b |＋|b －2a |≥|(2a ＋b )＋(b －2a )|＝|2b |， 当且仅当(2a ＋b )(b －2a )≥0时，f (a )min ＝|2b |， 所以|2b |>|b ＋1|，所以(2b )2>(b ＋1)2， 即(3b ＋1)(b －1)>0，所以b 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪(1，＋∞)．热点三 不等式的证明 1．含有绝对值的不等式的性质 ||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |. 2．算术—几何平均不等式定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理2：如果a ，b 为正数，那么a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理3：如果a ，b ，c 为正数，那么a ＋b ＋c3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a nn≥na 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立． 例3 (2018·合肥模拟)已知函数f (x )＝|x －1|＋||x －3. (1)解不等式f (x )≤x ＋1；(2)设函数f (x )的最小值为c ，实数a ，b 满足a >0，b >0，a ＋b ＝c ，求证：a 2a ＋1＋b 2b ＋1≥1.(1)解 f (x )≤x ＋1，即|x －1|＋||x －3≤x ＋1. ①当x <1时，不等式可化为4－2x ≤x ＋1，解得x ≥1. 又∵x <1，∴x ∈∅；②当1≤x ≤3时，不等式可化为2≤x ＋1，解得x ≥1. 又∵1≤x ≤3，∴1≤x ≤3；③当x >3时，不等式可化为2x －4≤x ＋1，解得x ≤5. 又∵x >3，∴3<x ≤5.综上所得，1≤x ≤3或3<x ≤5，即1≤x ≤5. ∴原不等式的解集为[]1，5. (2)证明 由绝对值不等式的性质，得|x －1|＋||x －3≥||(1－x )＋()x －3＝2，当且仅当(x －1)(x －3)≤0，即1≤x ≤3时，等号成立， ∴c ＝2，即a ＋b ＝2.令a ＋1＝m ，b ＋1＝n ，则m >1，n >1，a ＝m －1，b ＝n －1，m ＋n ＝4， a 2a ＋1＋b 2b ＋1＝()m －12m＋(n －1)2n＝m ＋n ＋1m ＋1n－4＝4mn ≥4⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝1，当且仅当m ＝n ＝2时，等号成立，∴原不等式得证．思维升华 (1)作差法是证明不等式的常用方法．作差法证明不等式的一般步骤：①作差；②分解因式；③与0比较；④结论．关键是代数式的变形能力． (2)在不等式的证明中，适当“放”“缩”是常用的推证技巧．跟踪演练3 (2018·石家庄模拟)已知函数f (x )＝|3x ＋1|＋|3x －1|，M 为不等式f (x )<6的解集．(1)求集合M ；(2)若a ，b ∈M ，求证：|ab ＋1|>|a ＋b |. (1)解 f (x )＝|3x ＋1|＋|3x －1|<6. 当x <－13时，f (x )＝－3x －1－3x ＋1＝－6x ，由－6x <6，解得x >－1，∴－1<x <－13；当－13≤x ≤13时，f (x )＝3x ＋1－3x ＋1＝2，又2<6恒成立， ∴－13≤x ≤13；当x >13时，f (x )＝3x ＋1＋3x －1＝6x ，由6x <6，解得x <1，∴13<x <1.综上，f (x )<6的解集M ＝{x |－1<x <1}． (2)证明()ab ＋12－(a ＋b )2＝a 2b 2＋2ab ＋1－(a 2＋b 2＋2ab )＝a 2b 2－a 2－b 2＋1＝(a 2－1)(b 2－1)． 由a ，b ∈M ，得|a |<1，|b |<1， ∴a 2－1<0，b 2－1<0， ∴(a 2－1)(b 2－1)>0， ∴||ab ＋1>|a ＋b |.真题体验1．(2017·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，求实数a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，不等式f (x )≥g (x )等价于x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0.①当x <－1时，①式化为x 2－3x －4≤0，无解； 当－1≤x ≤1时，①式化为x 2－x －2≤0， 从而－1≤x ≤1；当x >1时，①式化为x 2＋x －4≤0，从而1<x ≤－1＋172.所以f (x )≥g (x )的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤－1＋172. (2)当x ∈[－1,1]时，g (x )＝2，所以f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]等价于 当x ∈[－1,1]时，f (x )≥2.又f (x )在[－1,1]上的最小值必为f (－1)与f (1)之一， 所以f (－1)≥2且f (1)≥2，得－1≤a ≤1. 所以a 的取值范围为[－1,1]．2．(2017·全国Ⅱ)已知a >0，b >0，a 3＋b 3＝2，证明： (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4； (2)a ＋b ≤2.证明 (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4＋b 4) ＝4＋ab (a 4＋b 4－2a 2b 2) ＝4＋ab (a 2－b 2)2≥4.(2)因为(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3＝2＋3ab (a ＋b ) ≤2＋3(a ＋b )24(a ＋b )＝2＋3(a ＋b )34，所以(a ＋b )3≤8，(当且仅当a ＝b 时，等号成立) 因此a ＋b ≤2. 押题预测1．已知函数f (x )＝|x －2|＋|2x ＋a |，a ∈R . (1)当a ＝1时，解不等式f (x )≥4；(2)若∃x 0，使f (x 0)＋|x 0－2|<3成立，求a 的取值范围．押题依据 不等式选讲问题中，联系绝对值，关联参数、体现不等式恒成立是考题的“亮点”所在，存在问题、恒成立问题是高考的热点，备受命题者青睐． 解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|x －2|＋|2x ＋1|. 由f (x )≥4，得|x －2|＋|2x ＋1|≥4. 当x ≥2时，不等式等价于x －2＋2x ＋1≥4， 解得x ≥53，所以x ≥2；当－12<x <2时，不等式等价于2－x ＋2x ＋1≥4，解得x ≥1，所以1≤x <2；当x ≤－12时，不等式等价于2－x －2x －1≥4，解得x ≤－1，所以x ≤－1.所以原不等式的解集为{x |x ≤－1或x ≥1}． (2)应用绝对值不等式，可得f (x )＋|x －2|＝2|x －2|＋|2x ＋a |＝|2x －4|＋|2x ＋a |≥|2x ＋a －(2x －4)|＝|a ＋4|.(当且仅当(2x －4)(2x ＋a )≤0时等号成立) 因为∃x 0，使f (x 0)＋|x 0－2|<3成立， 所以(f (x )＋|x －2|)min <3， 所以|a ＋4|<3，解得－7<a <－1， 故实数a 的取值范围为(－7，－1)． 2．已知x ，y ∈R ＋，x ＋y ＝4.(1)要使不等式1x ＋1y≥|a ＋2|－|a －1|恒成立，求实数a 的取值范围；(2)求证：x 2＋2y 2≥323，并指出等号成立的条件．押题依据 不等式选讲涉及绝对值不等式的解法，包含参数是命题的显著特点．本题将二元函数最值、解绝对值不等式、不等式证明综合为一体，意在检测考生理解题意、分析问题、解决问题的能力，具有一定的训练价值． 解 (1)因为x ，y ∈R ＋，x ＋y ＝4， 所以x 4＋y4＝1.由基本不等式，得 1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋y 4 ＝12＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋x y ≥12＋12y x ·xy＝1， 当且仅当x ＝y ＝2时取等号．要使不等式1x ＋1y≥|a ＋2|－|a －1|恒成立，只需不等式|a ＋2|－|a －1|≤1成立即可． 构造函数f (a )＝|a ＋2|－|a －1|， 则等价于解不等式f (a )≤1. 因为f (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，a ≤－2，2a ＋1，－2<a <1，3，a ≥1，所以解不等式f (a )≤1，得a ≤0. 所以实数a 的取值范围为(－∞，0]． (2)因为x ，y ∈R ＋，x ＋y ＝4， 所以y ＝4－x (0<x <4)，于是x 2＋2y 2＝x 2＋2(4－x )2＝3x 2－16x ＋32＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －832＋323≥323，当x ＝83，y ＝43时等号成立．A 组 专题通关1．(2018·全国Ⅲ)设函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －1|. (1)画出y ＝f (x )的图象；(2)当x ∈[0，＋∞)时，f (x )≤ax ＋b 恒成立，求a ＋b 的最小值．解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x <－12，x ＋2，－12≤x <1，3x ，x ≥1.y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由(1)知，y ＝f (x )的图象与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a ≥3且b ≥2时，f (x )≤ax ＋b 在[0，＋∞)上恒成立，因此a ＋b 的最小值为5. 2．(2018·全国Ⅱ)设函数f (x )＝5－|x ＋a |－|x －2|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集； (2)若f (x )≤1，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋4，x ≤－1，2，－1<x ≤2，－2x ＋6，x >2.可得f (x )≥0的解集为{x |－2≤x ≤3}．(2)f (x )≤1等价于|x ＋a |＋|x －2|≥4. 而|x ＋a |＋|x －2|≥|a ＋2|，当且仅当x ＋a 与2－x 同号时等号成立．故f (x )≤1等价于|a ＋2|≥4.由|a ＋2|≥4可得a ≤－6或a ≥2.所以a 的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．3．(2018·江西省景德镇市第一中学模拟)已知函数f (x )＝|2x －4|＋|x ＋1|，x ∈R .(1)解不等式f (x )≤9；(2)若方程f (x )＝－x 2＋a 在区间[0,2]上有解，求实数a 的取值范围．解 (1)f (x )≤9，即|2x －4|＋|x ＋1|≤9，即⎩⎪⎨⎪⎧ x >2，3x －3≤9或⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x ≤2，5－x ≤9或⎩⎪⎨⎪⎧ x <－1，－3x ＋3≤9，解得2<x ≤4或－1≤x ≤2或－2≤x <－1.∴不等式的解集为[－2,4]．(2)当x ∈[0,2]时，f (x )＝5－x .由题意知，f (x )＝－x 2＋a ，即a ＝x 2－x ＋5，x ∈[0,2]，故方程f (x )＝－x 2＋a 在区间[0,2]上有解，即函数y ＝a 和函数y ＝x 2－x ＋5的图象在区间[0,2]上有交点， ∵当x ∈[0,2]时，y ＝x 2－x ＋5∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤194，7， ∴a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤194，7. 4．(2018·百校联盟TOP20联考)已知f (x )＝|2x ＋a |－|x －2|.(1)当a ＝－2时，求不等式f (x )≤4的解集；(2)若关于x 的不等式f (x )≥3a 2－3|2－x |恒成立，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝－2时，由f (x )≤4，得2|x －1|－|x －2|≤4，当x ≤1时，由2(1－x )－(2－x )≤4，得－4≤x ≤1；当1<x <2时，由2(x －1)－(2－x )≤4，得1<x <2；当x ≥2时，由2(x －1)－(x －2)≤4，得2≤x ≤4.综上所述，f (x )≤4的解集为[－4,4]．(2)由不等式f (x )≥3a 2－3|2－x |，得|2x ＋a |－|x －2|＋3|x －2|≥3a 2，即为|2x ＋a |＋|4－2x |≥3a 2，即关于x 的不等式|2x ＋a |＋|2x －4|≥3a 2恒成立，而|2x ＋a |＋|2x －4|≥|(2x ＋a )－(2x －4)|＝|a ＋4|，当且仅当(2x ＋a )(2x －4)≤0时等号成立，所以|a ＋4|≥3a 2，解得a ＋4≥3a 2或a ＋4≤－3a 2，解得－1≤a ≤43或a ∈∅. 所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，43. 5．(2018·上饶模拟)已知函数f (x )＝|2x ＋1|.(1)求不等式f (x )≤8－|x －3|的解集；(2)若正数m ，n 满足m ＋3n ＝mn ，求证：f (m )＋f (－3n )≥24.(1)解 此不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x <－12，－2x －1＋(3－x )≤8或⎩⎪⎨⎪⎧ －12≤x ≤3，2x ＋1＋(3－x )≤8或⎩⎪⎨⎪⎧ x >3，2x ＋1＋x －3≤8，即不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，103. (2)证明 ∵m >0，n >0，m ＋3n ＝mn ，∴m ＋3n ＝13(m ·3n )≤13×(m ＋3n )24， 即m ＋3n ≥12，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝3n ，m ＋3n ＝mn ， 即⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝6，n ＝2时取等号，∴f (m )＋f (－3n )＝|2m ＋1|＋|－6n ＋1|≥|2m ＋6n |，当且仅当(2m ＋1)(－6n ＋1)≤0，即n ≥16时取等号，又|2m ＋6n |≥24，当且仅当m ＝6，n ＝2时，取等号，∴f (m )＋f (－3n )≥24.B 组 能力提高6．(2018·榆林模拟)已知函数f (x )＝|3x －1|－|2x ＋1|＋a .(1)求不等式f (x )>a 的解集；(2)若恰好存在4个不同的整数n ，使得f (n )<0，求a 的取值范围．解 (1)由f (x )>a ，得|3x －1|>|2x ＋1|，不等式两边同时平方，得9x 2－6x ＋1>4x 2＋4x ＋1，即5x 2>10x ，解得x <0或x >2.所以不等式f (x )>a 的解集为(－∞，0)∪(2，＋∞)．(2)设g (x )＝|3x －1|－|2x ＋1| ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2－x ，x ≤－12，－5x ，－12<x <13，x －2，x ≥13，作出函数g (x )的图象，如图所示，因为g (0)＝g (2)＝0，g (3)<g (4)＝2<g (－1)＝3，又恰好存在4个不同的整数n ，使得f (n )<0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f (3)<0，f (4)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋a <0，2＋a ≥0，故a 的取值范围为[)－2，－1.7．(2018·百校联盟TOP20联考)已知函数f (x )＝x 2＋|x －2|.(1)解不等式f (x )>2|x |；(2)若f (x )≥a 2＋2b 2＋3c 2(a >0，b >0，c >0)对任意x ∈R 恒成立，求证：ab ·c <7232. (1)解 由f (x )>2|x |，得x 2＋|x －2|>2|x |，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2，x 2＋x －2>2x 或⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x <2，x 2＋2－x >2x或⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，x 2＋2－x >－2x ，解得x >2或0<x <1或x ≤0，即x >2或x <1.所以不等式f (x )>2|x |的解集为(－∞，1)∪(2，＋∞)．(2)证明 当x ≥2时，f (x )＝x 2＋x －2≥22＋2－2＝4； 当x <2时，f (x )＝x 2－x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋74≥74， 所以f (x )的最小值为74. 因为f (x )≥a 2＋2b 2＋3c 2对任意x ∈R 恒成立，所以a 2＋2b 2＋3c 2≤74. 又a 2＋2b 2＋3c 2＝a 2＋c 2＋2(b 2＋c 2)≥2ac ＋4bc ≥42abc 2，且等号不能同时成立，所以42abc 2<74，即ab ·c <7232. 8．设函数f (x )＝|x ＋a |－|x －1－a |.(1)当a ＝1时，解不等式f (x )≥12； (2)若对任意a ∈[0,1]，不等式f (x )≥b 的解集不为空集，求实数b 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，不等式f (x )≥12等价于 |x ＋1|－|x |≥12. ①当x ≤－1时，不等式化为－x －1＋x ≥12，无解； ②当－1<x <0时，不等式化为x ＋1＋x ≥12， 解得－14≤x <0； ③当x ≥0时，不等式化为x ＋1－x ≥12， 解得x ≥0.综上所述，不等式f (x )≥12的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞. (2)∵不等式f (x )≥b 的解集不为空集，∴b ≤f (x )max ，∵a ∈[0,1]，∴f (x )＝|x ＋a |－|x －1－a |≤|x ＋a －x ＋1－a |＝|a ＋1－a |＝a ＋1－a ，∴f (x )max ＝a ＋1－a .对任意a ∈[0,1]，不等式f (x )≥b 的解集不为空集，∴b ≤[a ＋1－a ]min ，令g (a )＝a ＋1－a ，∴g 2(a )＝1＋2a ·1－a ＝1＋2a (1－a )＝1＋2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14. ∴当a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12时，g (a )单调递增，当a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1时，g (a )单调递减，当且仅当a ＝0或a ＝1时，g (a )min ＝1，∴b 的取值范围为(－∞，1]．。