2016-2017年浙江省台州市高三上学期数学期末试卷与解析PDF

2020届浙江省台州市2017级高三上学期期末考试数学试卷★祝考试顺利★(解析版)1.已知集合{}0,1,2A =,{}0,1,3B =,若全集U A B =⋃,则()U A B =（ ） A. {}2,3B. {}0,1C. {}0,1,2,3D. ∅ 【答案】A【解析】先求出{0,1,2,3},{0,1}U A B =⋂=,再结合补集的运算,即可求解．【详解】由题意,集合{}0,1,2A =,{}0,1,3B =,则全集{0,1,2,3},{0,1}U A B =⋂=,所以()U A B ={}2,3． 故选：A ．2.已知2log 48a =,223b =,则a b +=（ ） A. 4 B. 5C. 6D. 7 【答案】B【解析】根据指数式与对数的互化,求得232log b =,再利用对数的运算性质,即可求解．【详解】由题意,因为2log 48a =,223b=,所以232log b =, 所以2322222log 48log log (48)log 3253a b +⨯==+==． 故选：B ．3.已知实数x ,y 满足23600x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩,则z x y =+的最大值为（ ）A. 4B. 3C.145D. 2【答案】B【解析】作出不等式组对应的平面区域,利用z的几何意义,结合图象确定目标函数的最优解,代入即可求解．【详解】由题意,作出不等式组236x yxy+≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩对应的平面区域,如图所示,目标函数z x y=+,可化为y x z=-+,平移直线y x z=-+,由图象可知当直线y x z=-+过点B时,此时直线y x z=-+的截距最大,目标函数取得最大值,又由236x yx+=⎧⎨=⎩,解得(3,0)B,所以目标函数的最大值为303z=+=．故选：B．4.二项式()912x-的展开式中6x的系数为（）A. 69C B. 69C- C. 669C2⋅ D. 6296C C-⋅【答案】C【解析】求得二项展开式的通项,令6r=,即可求解．【详解】由二项式()912x-的展开式的通项为199(2)(2)r r r r rrT C x C x+=⋅-=-⋅,令6r=,可得666792T C x=⋅,所以展开式中6x的系数为6692C⋅．。

台州市2017学年第一学期高三年级期末评估数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}11M x x =-≤≤，{}124xN x =<<，则M N = （ ）22.若复数2()1i z i=-（i 为虚数单位），则z =（ ） A.2B.1C.12D.23.已知α为锐角，且3tan 4α=，则sin 2α=（ ） A.35B.45C.1225D.24254.已知a R ∈，则“1a ≤”是“112a a ++-=”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件 5.已知数列{}n a 满足*111,2()n n a a a n N +=-≥∈，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则（ ） A.21n a n ≥+ B.12n n a -≥ C.2n S n ≥ D.12n n S -≥6.有3位男生，3位女生和1位老师站成一排照相，要求老师必须站在中间，与老师相邻的不能同时为男生或女生，则这样的排法种数是（ ）A.144B.216C.288D.4327.已知实数,x y 满足不等式组02030x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则22(1)(2)x y -++的取值范围是（ ）A.[]1,5B.⎤⎦C.[]5,25D.[]5,268.已知函数21,0()3,0x x f x xx x ⎧+>⎪=⎨⎪-+≤⎩，若函数()()(1)g x f x k x =-+在(],1-∞上恰有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是（ ）A.[)1,3B.(]1,3C.[)2,3D.()3,+∞9.已知1m = ，23m n += ，则m n n ++的最大值为（ ）4D.510.当[]1,4x ∈时，不等式322044ax bx a x ≤++≤恒成立，则a b +的取值范围是（ ）A.[]4,8-B.[]2,8-C.[]0,6D.[]4,12二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分.11.双曲线22143x y -=的离心率是，渐近线方程为. 12.已知随机变量X 的分布列为：则m =，()D X =.13. 某四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积为，表面积为.14.若2(23)n x x --的展开式中所有项的系数和为256，则n =，含2x项的系数是.（用数字作答） 15.当0x >时，(0)1ax a x +>+的最小值为3，则实数a 的为. 16.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，点P 是其外接圆O 上的任意一点，若a bc===则222PA PB PC ++ 的最大值为.17.如图，在棱长为2的正四面体S ABC -中，动点P 在侧面SAB 内，PQ ⊥底面ABC ，垂足为Q ，若PS PQ =，则PC 长度的最小值为.三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.（本小题满分14分）已知函数22()sin cos (cos sin )(,,)f x a x x b x x x R a b =--∈为常数，且1()().24124f f ππ==- （1）求()f x 的单调递增区间； （2）若[,]44x ππ∈-时，求函数()f x 的值域.19. （本小题满分15分）如图，正方形ABCD 的边长为4，点,E F 分别为,AB BC 的中点，将,ADE DCF ∆∆分别沿,DE DF 折起，使,A C 两点重合于点'A ，连接'.A B（1）求证：EF ⊥平面'A BD ；（2）求直线'A D 与平面BEDF 所成角的正弦值.20.（本小题满分15分）设函数2()(1).xf x x x e -=-+⋅ （1）求函数()f x 的单调区间；（2）当[0,2]x ∈时，2()2f x x x m ≥-++恒成立，求实数m 的取值范围.20. （本小题满分15分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，左顶点为A，点P 在椭圆C 上，且12PF F ∆的面积为（1）求椭圆C 的方程；（2）过原点O 且与x 轴不重合的直线交椭圆C 于,E F 两点，直线,AE AF 分别与y 轴交于点,.M N 求证：以MN 为直径的圆恒过焦点12,F F ，并求出1F MN ∆面积的取值范围.（本小题满分15分）数列{}n a ，{}n b 中，n S 为数列{}n a 的前n 项和，且满足：111,3(2)n n a b S n a ===+，*1(,2).n n na b n N n a -=∈≥ （1）求数列{}n a ，{}n b 中的通项公式； （2）求证：2482111112n a a a a ++++< ； （3）令123ln ,n n n n c b T c c c c ==++++，求证：2*).n T n N ≥∈。

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2016-2017学年浙江省台州市高一(上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分,共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U=｛1，2，3,4，5}，A={1，3}，B=｛2，4｝，则∁U(A∪B）=（) A．5 B．｛5} C．∅ D．{1，2，3，4｝2．已知平面向量=（1,2），=（x，﹣2），若与共线，则x的值为（)A．﹣4 B．4 C．﹣1 D．13．的值为( )A．B．C．D．4．已知函数f（x）=|x﹣1|﹣1（x∈{0,1，2，3｝）,则其值域为( ）A．{0，1，2,3｝B．{﹣1，0，1｝C．{y｜﹣1≤y≤1} D．｛y｜0≤y≤2｝5．若,，，则a，b，c的大小关系是（)A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．b＞a＞c6．若x0是函数f（x）=﹣x3﹣3x+5的零点，则x0所在的一个区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3,4）7．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0,|φ｜＜）的部分图象如图所示,则（)A．ω=2， B．,C．ω=2， D．,8．已知函数f(x)=log a（x﹣+1）+2(a＞0，a≠1）的图象经过定点P,且点P在幂函数g（x）的图象上，则g(x)的表达式为( ）A．g(x）=x2B．C．g（x）=x3D．9．已知函数f（x）=x2﹣2x在区间［﹣1，t］上的最大值为3，则实数t的取值范围是（)A．（1，3］B．[1，3］C．［﹣1,3] D．（﹣1,3]10．若存在实数α∈R,，使得实数t同时满足,α≤t ≤α﹣2cosβ，则t的取值范围是( )A．B．C．D．[2，4]二、填空题：本大题共6小题，单空题每小题3分，多空题每小题3分，共20分．11．集合｛1，2｝的子集个数为．12．已知函数f（x）=的值为．13．已知函数f(x）=2cos（2x+），函数g（x）的图象由函数f(x)的图象向右平移个单位而得到，则当x∈[﹣，]时，g（x）的单调递增区间是．14．已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上是减函数，且f（2)=0，若f（lnx）＞0,则x的取值范围是．15．已知函数y=sinx（x∈[m,n］）,值域为，则n﹣m的最大值为，最小值为．16．在等腰△ABC中,AD是底边BC上的中线，若•=m，AD=λBC，则当m=2时,实数λ的值是，当λ∈（,)时，实数m的取值范围为．三、解答题：本大题共5小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知函数．（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性,并加以证明；（Ⅱ）求方程的实数解．18．已知=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ)，＜α＜β＜．（Ⅰ)若，求；(Ⅱ)设=（1，0），若,求α，β的值．19．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B=｛x｜2a﹣1＜x＜a+1}，a∈R．（Ⅰ）若B⊆A，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设函数,若实数x0满足f（x0)∈A，求实数x0取值的集合．20．已知A为锐角△ABC的内角，且 sinA﹣2cosA=a（a∈R)．（Ⅰ)若a=﹣1,求tanA的值;（Ⅱ）若a＜0，且函数f(x）=（sinA）•x2﹣（2cosA）•x+1在区间［1，2]上是增函数，求sin2A﹣sinA•cosA的取值范围．21．已知函数f（x）=|x2﹣2x﹣3|，g(x）=x+a．（Ⅰ）求函数y=f（x）的单调递增区间;(只需写出结论即可)(Ⅱ）设函数h(x）=f（x）﹣g（x），若h（x)在区间(﹣1，3）上有两个不同的零点，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若存在实数m∈［2，5]，使得对于任意的x1∈［0,2]，x2∈[﹣2，﹣1],都有f（x1）﹣m≥g（2）﹣5成立,求实数a的最大值．2016—2017学年浙江省台州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U={1，2，3，4，5}，A=｛1，3},B=｛2，4},则∁U（A∪B）=( ）A．5 B．｛5｝C．∅ D．{1，2，3，4}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据并集与补集的定义,写出运算结果即可．【解答】解：全集U={1，2，3,4，5｝，A={1，3}，B=｛2，4｝,∴A∪B={1,2，3，4｝；∴∁U(A∪B）=｛5｝．故选：B．2．已知平面向量=（1,2），=（x，﹣2），若与共线，则x的值为（）A．﹣4 B．4 C．﹣1 D．1【考点】平行向量与共线向量．【分析】根据平面向量共线定理的坐标表示，列出方程求x的值．【解答】解：平面向量=(1,2），=（x，﹣2),若与共线,则2x﹣1×（﹣2）=0，解得x=﹣1．故选：C．3．的值为( )A．B．C．D．【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用诱导公式化简即可计算出答案．【解答】解:sin=sin（4）=sin(﹣）=﹣sin=．故选A4．已知函数f（x）=|x﹣1｜﹣1（x∈｛0，1，2，3}），则其值域为（) A．{0，1，2，3｝B．{﹣1，0，1} C．｛y|﹣1≤y≤1} D．｛y｜0≤y≤2｝【考点】函数的值域．【分析】根据题意依次求出函数值,可得函数的值域．【解答】解:∵函数f（x）=|x﹣1｜﹣1（x∈｛0,1，2，3｝），∴f（x）分别是0、﹣1、0、1，则函数f（x）的值域是{﹣1，0，1｝，故选：B．5．若，，，则a，b，c的大小关系是（）A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．b＞a＞c【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵0＜＜，＜0，∴b＞a＞c．故选:D．6．若x0是函数f（x)=﹣x3﹣3x+5的零点,则x0所在的一个区间是（）A．(0，1）B．（1，2) C．（2，3）D．（3，4）【考点】函数零点的判定定理．【分析】判断函数的连续性，利用零点判定定理求解即可．【解答】解：函数f（x)=﹣x3﹣3x+5是连续函数，因为f（1)=1＞0，f(2)=﹣8﹣6+5＜0,可知f（1)f（2）＜0,由零点判定定理可知,函数的零点x0所在的一个区间是（1，2)．故选：B．7．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，｜φ｜＜）的部分图象如图所示,则（)A．ω=2， B．,C．ω=2， D．,【考点】由y=Asin（ωx+φ)的部分图象确定其解析式．【分析】根据三角函数图象确定函数的周期以及函数过定点坐标，代入进行求解即可．【解答】解：函数的周期T=﹣=π，即=π，则ω=2，当x=时,f（）=sin（2×+φ）=，即sin(+φ）=，∵｜φ｜＜，∴﹣＜φ＜,则﹣＜+φ＜，可得： +φ=,解得:φ=，故选:A．8．已知函数f(x）=log a（x﹣+1)+2（a＞0，a≠1）的图象经过定点P，且点P 在幂函数g（x）的图象上，则g（x）的表达式为（）A．g（x）=x2B．C．g（x）=x3D．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】由题意求得定点P的坐标，根据点P在幂函数f（x）的图象上，设g（x）=x n，求得n的值，可得 g（x）的解析式即可．【解答】解:函数y=log a（x﹣+1)+2（a＞0，a≠1)的图象过定点P（，2)，∵点P在幂函数f（x）的图象上，设g（x)=x n，则2=n，∴n=3，g(x）=x3，故选：C．9．已知函数f（x）=x2﹣2x在区间［﹣1，t］上的最大值为3，则实数t的取值范围是( )A．（1,3］B．[1，3] C．[﹣1，3] D．(﹣1，3]【考点】二次函数的性质．【分析】求出函数的对称轴，判断开口方向，然后通过函数值求解即可．【解答】解：函数f（x）=x2﹣2x的对称轴为:x=1，开口向上，而且f(﹣1）=3，函数f（x）=x2﹣2x在区间[﹣1,t］上的最大值为3，又f（3）=9﹣6=3，则实数t的取值范围是：（﹣1，3]．故选：D．10．若存在实数α∈R，，使得实数t同时满足，α≤t≤α﹣2cosβ,则t的取值范围是( ）A．B．C．D．［2，4]【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】根据题意求出t≥，设f（t)=，求出f（t)的最小值；再根据题意求出t≤，设g(t）==2f（t)，求出g（t)的最大值,从而求出实数t的取值范围．【解答】解：∵β∈[,π］,∴﹣1≤cosβ≤0；∵α≤t，∴≥cos2β+cosβ，即t≥；令f(t）=，则f′（t）==；令f′（t）=0，解得sinβ=0或cosβ=0;当sinβ=0时，cosβ=﹣1，此时f(t）==,当cosβ=0时，f（t）=0为最小值；又t≤α﹣2cosβ，∴α≥t+2cosβ，∴t≤cos2β+•cosβ，即t≤；令g（t）==2f(t）,则g′(t）=2f′（t）=2•；令g′（t）=0，解得sinβ=0或cosβ=0；当sinβ=0时，cosβ=﹣1，此时g（t）=2×=为最大值，当cosβ=0时，g(t)=0；综上,实数t的取值范围是[0,]．故选:B．二、填空题：本大题共6小题,单空题每小题3分,多空题每小题3分，共20分．11．集合｛1,2}的子集个数为 4 ．【考点】子集与真子集．【分析】写出集合{1，2｝的所有子集，从而得出该集合的子集个数．【解答】解：{1，2}的子集为：∅，｛1｝，{2｝，{1，2｝，共四个．故答案为:4．12．已知函数f(x）=的值为．【考点】对数的运算性质．【分析】首先求出f（)=﹣2，再求出f（﹣2）的值即可．【解答】解:∵＞0∴f（)=log3=﹣2∵﹣2＜0∴f(﹣2）=2﹣2=故答案为．13．已知函数f（x）=2cos（2x+），函数g（x）的图象由函数f（x）的图象向右平移个单位而得到,则当x∈［﹣，］时，g（x）的单调递增区间是［﹣，］．【考点】函数y=Asin（ωx+φ)的图象变换．【分析】利用y=Asin(ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的单调性，得出结论．【解答】解:把函数f(x）=2cos（2x+)的图象向右平移个单位,得到g（x)=2cos[2(x﹣）+]=2cos（2x﹣)的图象，令2kπ﹣π≤2x﹣≤2kπ，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数g（x)的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．结合x∈[﹣,]时，可得g(x）的增区间为［﹣，],故答案为：[﹣，]．14．已知定义在R上的偶函数f（x）在［0，+∞）上是减函数，且f(2）=0，若f （lnx）＞0,则x的取值范围是．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据题意、偶函数的单调性等价转化不等式，由对数函数的单调性求出解集．【解答】解：∵f（2）=0，f(lnx）＞0,∴f（lnx）＞f（2),∵定义在R上的偶函数f（x)在[0,+∞)上是减函数，∴f（lnx）＞f（2）等价于|lnx|＜2，则﹣2＜lnx＜2，即lne﹣2＜lnx＜lne2，解得，∴不等式的解集是，故答案为：．15．已知函数y=sinx（x∈［m，n］），值域为,则n﹣m的最大值为，最小值为．【考点】三角函数的最值．【分析】根据题意，利用正弦函数的图象与性质，即可得出结论．【解答】解:∵函数y=sinx的定义域为［m，n]，值域为，结合正弦函数y=sinx的图象与性质,不妨取m=﹣，n=，此时n﹣m取得最大值为．取m=﹣，n=，n﹣m取得最小值为,故答案为，．16．在等腰△ABC中，AD是底边BC上的中线，若•=m，AD=λBC，则当m=2时，实数λ的值是±，当λ∈（,）时,实数m的取值范围为（，2）．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】以D为原点，以BC边所在的直线为x轴，以中线AD所在的直线为y轴，根据向量的数量积公式得到m=（4m﹣4）λ2，代值计算即可求出λ的值,再得到得m==1+，根据函数的单调性即可求出m的范围．【解答】解：以D为原点，以BC边所在的直线为x轴，以中线AD所在的直线为y 轴建立直角坐标系，不妨设B（a,0）,C（﹣a，0）,a＞0∵AD=λBC=2λa∴A（0，2λa），∴=（a，﹣2λa），=(0，﹣2λa），=（﹣a,﹣2λa)，∴•=4λ2a2，=﹣a2+4λ2a2,∵•=m，∴4λ2a2=﹣ma2+4mλ2a2，即m=(4m﹣4）λ2，当m=2时，λ2=，解得λ=±，由m=（4m﹣4)λ2,得m==1+∵m=1+在（,)上递减,∴m∈（，2）故答案为：±．，（，2）三、解答题：本大题共5小题，共50分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．17．已知函数．(Ⅰ）判断f（x)的奇偶性，并加以证明；（Ⅱ）求方程的实数解．【考点】函数的零点与方程根的关系；函数奇偶性的判断．【分析】(Ⅰ)利用奇函数的定义，即可得出结论;（Ⅱ)由，得2x=3,x=log23，即可得出结论．【解答】解：(Ⅰ）因为函数f(x)的定义域为R，且，所以f（x）是定义在R上的奇函数；…（Ⅱ)∵，∴2x=3，x=log23．所以方程的实数解为x=log23．…18．已知=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ)，＜α＜β＜．（Ⅰ）若，求；（Ⅱ)设=（1,0），若，求α，β的值．【考点】平面向量数量积的运算；向量的模．【分析】（Ⅰ）根据便可得到，从而可求得,这样即可得出的值；（Ⅱ）根据即可得出，平方后即可求出cosα，cosβ的值，从而求出α，β的值．【解答】解：(Ⅰ）∵；∴；∴；∴，；(Ⅱ）∵；∴,即；解得,;∵；∴,．19．已知集合A={x｜x2﹣2x﹣3＜0｝,B=｛x｜2a﹣1＜x＜a+1}，a∈R．(Ⅰ）若B⊆A，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设函数，若实数x0满足f（x0)∈A，求实数x0取值的集合．【考点】三角函数的最值；集合的包含关系判断及应用．【分析】（Ⅰ)若B⊆A，分类讨论,即可求实数a的取值范围；（Ⅱ)由题意，，即可求实数x0取值的集合．【解答】解：（Ⅰ）A=｛x|﹣1＜x＜3｝，若B=∅，则2a﹣1≥a+1，解得a≥2,满足B⊆A，若B≠∅，则a＜2，要使B⊆A，只要解得0≤a＜2，综上，实数a的取值范围是［0，+∞);…（Ⅱ)由题意，，即,∴，或，k∈Z,∴,或，k∈Z．则实数x0取值的集合是,或，k∈Z}．…20．已知A为锐角△ABC的内角,且 sinA﹣2cosA=a（a∈R）．（Ⅰ）若a=﹣1，求tanA的值;（Ⅱ）若a＜0，且函数f（x）=（sinA）•x2﹣(2cosA)•x+1在区间[1，2]上是增函数,求sin2A﹣sinA•cosA的取值范围．【考点】正弦函数的单调性；三角形中的几何计算．【分析】（Ⅰ）利用同角三角函数的基本关系，求得sinA和cosA的值,可得tanA的值．（2)由题意可得1≤tanA＜2，化简要求式子为﹣，再利用函数的单调性求得它的范围．【解答】解:(Ⅰ）锐角△ABC中，a=﹣1，由题意可得，求得，或（舍去），∴．(Ⅱ）若a＜0，由题意可得sinA﹣2cosA＜0,得tanA＜2，又，tanA≥1，∴1≤tanA＜2，∴=，令t=tanA+1，2≤t＜3，∴,∵y=在[2，3)上递增,∴,∴．即sin2A﹣sinA•cosA的取值范围为．21．已知函数f（x）=|x2﹣2x﹣3｜，g（x）=x+a．(Ⅰ）求函数y=f（x）的单调递增区间；（只需写出结论即可）（Ⅱ)设函数h（x）=f（x）﹣g（x)，若h(x）在区间（﹣1，3)上有两个不同的零点，求实数a的取值范围；（Ⅲ)若存在实数m∈［2，5]，使得对于任意的x1∈[0,2]，x2∈[﹣2,﹣1]，都有f （x1)﹣m≥g（2)﹣5成立，求实数a的最大值．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ)根据二次函数的性质求出函数的递增区间即可;(Ⅱ)求出h（x）的解析式，根据函数的零点得到关于a的不等式组,解出即可;（Ⅲ）设函数F(x）=f（x）﹣m，G（x）=g（2x）﹣5,分别求出F(x)的最小值和G(x）的最大值，求出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）函数y=f（x）的单调递增区间为[﹣1，1］，［3，+∞）；（不要求写出具体过程）…（Ⅱ)∵﹣1＜x＜3,∴h（x)=f（x）﹣g（x）=｜x2﹣2x﹣3|﹣x﹣a=﹣x2+x+3﹣a，由题意知，即得；…（Ⅲ)设函数F(x）=f(x）﹣m,G（x）=g（2x）﹣5，由题意，F（x）在[0，2］上的最小值不小于G(x）在［﹣2,﹣1］上的最大值，F（x）=|x2﹣2x﹣3|﹣m=﹣x2+2x+3﹣m=﹣（x﹣1）2+4﹣m(0≤x≤2），当x=0，或x=2时，F（x)min=3﹣m，G（x）=g(2x）﹣5=2x+a﹣5在区间[﹣2,﹣1］单调递增，当x=﹣1时，,∴存在m∈［2，5］，使得成立,即，∴．∴a的最大值为．…2017年3月17日。

台州市2017学年第一学期高三年级期末评估一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1.设集合{}11M x x =-≤≤，{}124xN x =<<，则M N = （）A.{}10x x -≤<B.{}01x x <≤C.{}12x x ≤<D.{}12x x -≤< 2.若复数2()1i z i=-（i 为虚数单位），则z =（） A.2B.1C.123.已知α为锐角，且3tan 4α=，则sin 2α=（） A.35B.45C.1225D.24254.已知a R ∈，则“1a ≤”是“112a a ++-=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件 5.已知数列{}n a 满足*111,2()n n a a a n N +=-≥∈，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则（） A.21n a n ≥+ B.12n n a -≥ C.2n S n ≥ D.12n n S -≥6.有3位男生，3位女生和1位老师站成一排照相，要求老师必须站在中间，与老师相邻的不能同时为男生或女生，则这样的排法种数是（） A.144 B.216 C.288 D.4327.已知实数,x y 满足不等式组02030x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则22(1)(2)x y -++的取值范围是（）A.[]1,5B.⎤⎦C.[]5,25D.[]5,268.已知函数21,0()3,0x x f x xx x ⎧+>⎪=⎨⎪-+≤⎩，若函数()()(1)g x f x k x =-+在(],1-∞上恰有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是（） A.[)1,3B.(]1,3C.[)2,3 D.()3,+∞9.已知1m = ，23m n += ，则m n n ++的最大值为（）4D.510.当[]1,4x ∈时，不等式322044ax bx a x ≤++≤恒成立，则a b +的取值范围是（） A.[]4,8- B.[]2,8- C.[]0,6D.[]4,12二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分.11.双曲线22143x y -=的离心率是，渐近线方程为. 12.已知随机变量X 的分布列为：则m =13. 某四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积为，表面积为.14.若2(23)nx x --的展开式中所有项的系数和为256，则n =，含2x 项的系数是. 15.当0x >时，(0)1ax a x +>+的最小值为3，则实数a 的为. 16.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，点P 是其外接圆O 上的任意一点，若a b c ===222PA PB PC ++ 的最大值为.17.如图，在棱长为2的正四面体S ABC -中，动点P 在侧面SAB 内，PQ ⊥底面ABC ，垂足为Q ，若4PS PQ =，则PC 长度的最小值为.三、解答题：本大题共5小题，共74分18.（本小题满分14分）已知函数22()sin cos (cos sin )(,,)f x a x x b x x x R a b =--∈为常数，且1()().2124f f ππ==- （1）求()f x 的单调递增区间；（2）若[,]44x ππ∈-时，求函数()f x 的值域.19. （本小题满分15分）如图，正方形ABCD 的边长为4，点,E F 分别为,AB BC 的中点，将,ADE DCF ∆∆分别沿,DE DF 折起，使,A C 两点重合于点'A ，连接'.A B（1）求证：EF ⊥平面'A BD ；（2）求直线'A D 与平面BEDF 所成角的正弦值.20.（本小题满分15分）设函数2()(1).x f x x x e -=-+⋅ （1）求函数()f x 的单调区间；（2）当[0,2]x ∈时，2()2f x x x m ≥-++恒成立，求实数m 的取值范围.21．（本小题满分15分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，左顶点为A，点P 在椭圆C 上，且12PF F ∆的面积为 （1）求椭圆C 的方程；（2）过原点O 且与x 轴不重合的直线交椭圆C 于,E F 两点，直线,AE AF 分别与y 轴交于点,.M N 求证：以MN 为直径的圆恒过焦点12,F F ，并求出1F MN ∆面积的取值范围.22．（本小题满分15分）数列{}n a ，{}n b 中，n S 为数列{}n a 的前n 项和，且满足：111,3(2)n n a b S n a ===+，*1(,2).n n na b n N n a -=∈≥ （1）求数列{}n a ，{}n b 中的通项公式； （2）求证：2482111112n a a a a ++++< ； （3）令123ln ,n n n n c b T c c c c ==++++，求证：2*).n T n N ≥∈台州市2017学年第一学期高三年级期末质量评估试题数学参考答案及评分标准2018.01一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分。

2016-2017学年浙江省台州市高三（上）期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则（∁U P）∩Q=（）A．{1}B．{2，4}C．{2，4，6}D．{1，2，4，6} 2．（4分）已知复数z=（a∈R）的虚部为1，则a=（）A．1B．﹣1C．﹣2D．23．（4分）已知随机变量ξ～B（3，），则E（ξ）=（）A．3B．2C．D．4．（4分）已知cosα=1，则sin（α﹣）=（）A．B．C．﹣D．﹣5．（4分）已知实数x，y满足，则x+y的取值范围为（）A．[2，5]B．[2，]C．[，5]D．[5，+∞）6．（4分）已知m，n∈R，则“mn＜0”是“抛物线mx2+ny=0的焦点在y轴正半轴上”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（4分）已知函数f（x）=ax3+ax2+x（a∈R），下列选项中不可能是函数f （x）图象的是（）A．B．C．D．8．（4分）袋子里装有编号分别为“1、2、2、3、4、5”的6个大小、质量相同的小球，某人从袋子中一次任取3个球，若每个球被取到的机会均等，则取出的3个球编号之和大于7的概率为（）A．B．C．D．9．（4分）已知函数f（x）=|lnx|，g（x）=，则方程|f（x）﹣g（x）=2的实根个数为（）A．1B．2C．3D．410．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，四边形AEFG为边长为2的正方形，现将矩形ABCD沿过点的动直线l翻折的点C在平面AEFG上的射影C1落在直线AB上，若点C在直线l上的射影为C2，则的最小值为（）A．6﹣13B．﹣2C．D．二、填空题（共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，满分36分）11．（6分）已知函数f（x）=，则f（0）=，f（f（0））=．12．（6分）以坐标原点O为圆心，且与直线x+y+2=0相切的圆方程是，圆O与圆x2+y2﹣2y﹣3=0的位置关系是．13．（6分）已知公差不为0的等差数列{a n}，若a2+a4=10，且a1、a2、a5成等比数列，则a1=，a n=．14．（6分）某空间几何体的三视图如图所示，其中正视图是长方形，侧视图是一个等腰梯形，则该几何体的体积是，表面积是．15．（4分）已知在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且b=a，cosB=cosA，c=+1，则△ABC的面积为．16．（4分）已知不共线的平面向量，满足||=3，||=2，若向量=λ+μ（λ，μ∈R）．且λ+μ=1，=，则λ=．17．（4分）已知函数f（x）=|x+﹣ax﹣b|（a，b∈R），当x∈[，2]时，设f （x）的最大值为M（a，b），则M（a，b）的最小值为．三、解答题（共5小题，满分74分）18．（14分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）的最小正周期为π，且x=为f（x）图象的一条对称轴．（1）求ω和φ的值；（2）设函数g（x）=f（x）+f（x﹣），求g（x）的单调递减区间．19．（15分）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，O为AC的中点，点P为平面ABCD外一点，且平面PAC⊥平面ABCD，PO=1，PA=2．（1）求证：PO⊥平面ABCD；（2）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值．20．（15分）已知函数f（x）=x3+|x﹣a|（a∈R）．（1）当a=1时，求f（x）在（0，f（0））处的切线方程；（2）当a∈（0，1）时，求f（x）在区间[﹣1，1]上的最小值（用a表示）．21．（15分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）．（1）若椭圆的两个焦点与一个短轴顶点构成边长为2的正三角形，求椭圆的标准方程；（2）过右焦点（c，0）的直线l与椭圆C交于A、B两点，过点F作l的垂线，交直线x=于P点，若的最小值为，试求椭圆C率心率e的取值范围．22．（15分）已知数列{a n}满足：a1=，a n+1=+a n（n∈N*）．＞a n；（1）求证：a n+1（2）求证：a2017＜1；（3）若a k＞1，求正整数k的最小值．2016-2017学年浙江省台州市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则（∁U P）∩Q=（）A．{1}B．{2，4}C．{2，4，6}D．{1，2，4，6}【分析】根据补集与交集的定义写出运算结果即可．【解答】解：全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则∁U P={2，4，6}，所以（∁U P）∩Q={2，4}．故选：B．2．（4分）已知复数z=（a∈R）的虚部为1，则a=（）A．1B．﹣1C．﹣2D．2【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．【解答】解：复数z===+i（a∈R）的虚部为1，∴=1，解得a=1．故选：A．3．（4分）已知随机变量ξ～B（3，），则E（ξ）=（）A．3B．2C．D．【分析】利用二项分布列的性质即可得出．【解答】解：∵随机变量ξ～B（3，），则E（ξ）=3×=．故选：C．4．（4分）已知cosα=1，则sin（α﹣）=（）A．B．C．﹣D．﹣【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinα，进而利用两角差的正弦函数公式，特殊角的三角函数值即可计算得解．【解答】解：∵cosα=1，可得：sinα=0，∴sin（α﹣）=sinαcos﹣cosαsin=﹣1×=﹣．故选：C．5．（4分）已知实数x，y满足，则x+y的取值范围为（）A．[2，5]B．[2，]C．[，5]D．[5，+∞）【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线z=x+y过点A或B点时，z的最值即可．【解答】解：先根据约束条件，画出可行域，由图知，当直线z=x+y过点A（1，1）时，z最小值为：2．当直线z=x+y过点B（1，4）时，z最大值为：5．则x+y的取值范围为：[2，5]．故选：A．6．（4分）已知m，n∈R，则“mn＜0”是“抛物线mx2+ny=0的焦点在y轴正半轴上”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】抛物线mx2+ny=0的焦点在y轴正半轴上⇔＞0，即可判断出结论．【解答】解：抛物线mx2+ny=0的焦点在y轴正半轴上⇔＞0，即mn＜0，∴“mn＜0”是“抛物线mx2+ny=0的焦点在y轴正半轴上”的充要条件．故选：C．7．（4分）已知函数f（x）=ax3+ax2+x（a∈R），下列选项中不可能是函数f （x）图象的是（）A．B．C．D．【分析】求出函数f（x）的导数，通过讨论a的范围，判断函数的单调性，从而求出答案即可．【解答】解：f（x）=ax3+ax2+x（a∈R），f′（x）=ax2+ax+1，△=a2﹣4a，当0＜a＜4时，f′（x）无实数根，f′（x）＞0，f（x）递增，故A可能，当a＞4或a＜0时，f′（x）有2个实数根，f（x）先递减再递增或f（x）先递增再递减，故B、C可能，故选：D．8．（4分）袋子里装有编号分别为“1、2、2、3、4、5”的6个大小、质量相同的小球，某人从袋子中一次任取3个球，若每个球被取到的机会均等，则取出的3个球编号之和大于7的概率为（）A．B．C．D．【分析】基本事件总数n==20，利用列举法求出取出的3个球编号之和不大于7的基本事件个数，由此能求出取出的3个球编号之和大于7的概率．【解答】解：袋子里装有编号分别为“1、2、3、4、5”的6个大小、质量相同的小球，某人从袋子中一次任取3个球，每个球被取到的机会均等，基本事件总数n==20，取出的3个球编号之和不大于7的基本事件有：122，123，123，124，124，223，共有6个，∴取出的3个球编号之和大于7的概率为：p=1﹣=．故选：B．9．（4分）已知函数f（x）=|lnx|，g（x）=，则方程|f（x）﹣g（x）=2的实根个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】在同一个坐标系在画出两个函数的图象，观察有【解答】解：设F（x）=f（x）﹣2，F（x）与g（x）在同一个坐标系在的图象如图：观察得到两个函数图象交点个数是1个，所以f（x）﹣g（x）=2的实根个数为1；故选：A．10．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，四边形AEFG为边长为2的正方形，现将矩形ABCD沿过点的动直线l翻折的点C在平面AEFG上的射影C1落在直线AB上，若点C在直线l上的射影为C2，则的最小值为（）A．6﹣13B．﹣2C．D．【分析】由题意，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立坐标系，表示出，利用基本不等式求最小值．【解答】解：由题意，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立坐标系，则直线l的方程：y=kx﹣2k+2，CC2=．直线CC2的方程为y=﹣x++6，∴C1（4+6k，0），∴CC1=6，∴C1C2=CC2﹣CC1=6﹣．∴=﹣1．令|k﹣2|=t，∴k=t+2或2﹣t．①k=t+2，=3（t++4）﹣1≥6+11，t=时，取等号；②k=2﹣t，=3（t+﹣4）﹣1≥6﹣13，t=时，取等号；综上所述，的最小值为6﹣13，故选：A．二、填空题（共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，满分36分）11．（6分）已知函数f（x）=，则f（0）=1，f（f（0））=0．【分析】由0＜1，得f（0）=20=1，从而f（f（0））=f（1），由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（0）=20=1，f（f（0））=f（1）=log31=0．故答案为：1，0．12．（6分）以坐标原点O为圆心，且与直线x+y+2=0相切的圆方程是x2+y2=2，圆O与圆x2+y2﹣2y﹣3=0的位置关系是相交．【分析】由坐标原点为所求圆的圆心，且所求圆与已知直线垂直，利用点到直线的距离公式求出原点到已知直线的距离d，根据直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到所求圆的半径r，根据圆心和半径写出所求圆的方程即可；由两圆的圆心距为1，介于半径差与和之间，可得两圆相交．【解答】解：∵原点为所求圆的圆心，且所求圆与直线x+y+2=0相切，∴所求圆的半径r=d==，则所求圆的方程为x2+y2=2．x2+y2﹣2y﹣3=0的圆心为（0，1），半径为2，两圆的圆心距为1，介于半径差与和之间，两圆相交．故答案为：x2+y2=2；相交．13．（6分）已知公差不为0的等差数列{a n}，若a2+a4=10，且a1、a2、a5成等比数列，则a1=1，a n=2n﹣1．【分析】设等差数列{a n}的公差为d≠0，由a2+a4=10，且a1、a2、a5成等比数列，可得a22=a1a5，即（a1+d）2=a1（a1+4d），解得a1，d即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d≠0，∵a2+a4=10，且a1、a2、a5成等比数列，则2a1+4d=10，a22=a1a5，即（a1+d）2=a1（a1+4d），解得a1=1，d=2．∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．故答案为：1，a n=2n﹣1．14．（6分）某空间几何体的三视图如图所示，其中正视图是长方形，侧视图是一个等腰梯形，则该几何体的体积是6，表面积是15+4．【分析】由题意，直观图是以侧视图为底面，高为4的直棱柱，即可求出几何体的体积、表面积．【解答】解：由题意，直观图是以侧视图为底面，高为4的直棱柱，∴该几何体的体积是=6，表面积是2×+（1+2+2×）×4=15+4，故答案为6，15+4．15．（4分）已知在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且b=a，cosB=cosA，c=+1，则△ABC的面积为．【分析】由已知可求sinB=sinA，cosB=cosA，利用同角三角函数基本关系式可求cosA，cosB，进而可求A，B，C的值，由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，可得a，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：∵由b=a，可得：sinB=sinA，由cosB=cosA，可得：cosB=cosA，∴（sinA）2+（cosA）2=1，解得：sin2A+cos2A=，∴结合sin2A+cos2A=1，可得：cosA=，cosB=，∴A=，B=，可得：C=π﹣A﹣B=，∴由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，可得：（）2=a2+（）2﹣2α×a×cos，∴解得：a=，∴S=acsinB=（）×=．△ABC故答案为：．16．（4分）已知不共线的平面向量，满足||=3，||=2，若向量=λ+μ（λ，μ∈R）．且λ+μ=1，=，则λ=．【分析】根据题意，利用λ+μ=1得出=λ+μ=λ+（1﹣λ），再由=，代入化简，得出关于λ的方程组，从而求出λ的值．【解答】解：向量，满足||=3，||=2，∵λ+μ=1，∴=λ+μ=λ+（1﹣λ），又=，∴=，即=，∴=，即•+2﹣2λ=3λ+•，∴，解得λ=．故答案为：．17．（4分）已知函数f（x）=|x+﹣ax﹣b|（a，b∈R），当x∈[，2]时，设f（x）的最大值为M（a，b），则M（a，b）的最小值为．【分析】考虑x=，1，2的函数值的范围，运用绝对值不等式的性质，即可得到所求最小值．【解答】解：函数f（x）=|x+﹣ax﹣b|（a，b∈R），当x∈[，2]时，设f（x）的最大值为M（a，b），可得M（a，b）≥|2+﹣2a﹣b|，M（a，b）≥|2+﹣a﹣b|，M（a，b）≥|2﹣a﹣b|，可得M（a，b）+M（a，b）+M（a，b）≥|﹣a﹣b|+|﹣a﹣b|+|2﹣a﹣b|≥|﹣a﹣b+﹣a﹣b﹣2+a+b|=，即2M（a，b）≥，即有M（a，b）≥，则M（a，b）的最小值为，故答案为：．三、解答题（共5小题，满分74分）18．（14分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）的最小正周期为π，且x=为f（x）图象的一条对称轴．（1）求ω和φ的值；（2）设函数g（x）=f（x）+f（x﹣），求g（x）的单调递减区间．【分析】（1）根据函数f（x）的最小正周期求出ω的值，再根据f（x）图象的对称轴求出φ的值；（2）根据f（x）的解析式写出g（x），利用三角恒等变换化g（x）为正弦型函数，再求出它的单调递减区间．【解答】解：（1）函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）的最小正周期为π，∴T==π，∴ω=2；又x=为f（x）图象的一条对称轴，∴2x+φ=kπ+，k∈Z，∴f（x）图象的对称轴是x=+﹣，k∈Z；由=+﹣，解得φ=kπ+，又|φ|≤，∴φ=；（2）∵f（x）=sin（2x+），∴g（x）=f（x）+f（x﹣）=sin（2x+）+sin2x=sin2x+cos2x+sin2x=sin（2x+），令+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，解得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，∴g（x）的单调递减区间是[+kπ，+kπ]，k∈Z．19．（15分）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，O为AC的中点，点P为平面ABCD外一点，且平面PAC⊥平面ABCD，PO=1，PA=2．（1）求证：PO⊥平面ABCD；（2）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值．【分析】（1）推导出AO⊥PO，由此能证明PO⊥平面ABCD．（2）以O为原点，OB，OC，OP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线PA与平面PBC所成角的正弦值．【解答】证明：（1）在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，AO=，又∵PO=1，PA=2，∴PO2+AO2=PA2，∴AO⊥PO，∵平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC，PO⊂平面PAC，∴PO⊥平面ABCD．解：（2）以O为原点，OB，OC，OP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，﹣，0），B（1，0，0），C（0，，0），P（0，0，1），=（1，0，﹣1），=（﹣1，，0），=（0，，1），设平面PBC的法向量=（x，y，z），则，取x=，得=（），设直线PA与平面PBC所成角为θ，则sinθ===．∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为．20．（15分）已知函数f（x）=x3+|x﹣a|（a∈R）．（1）当a=1时，求f（x）在（0，f（0））处的切线方程；（2）当a∈（0，1）时，求f（x）在区间[﹣1，1]上的最小值（用a表示）．【分析】（1）求出函数的导数，计算f（0），f′（0）的值，求出切线方程即可；（2）求出f（x）的分段函数的形式，根据a的范围，求出函数的单调区间，从而求出f（x）的最小值即可．【解答】解：（1）a=1，x＜1时，f（x）=x3+1﹣x，f′（x）=3x2﹣1，故f（0）=1，f′（0）=﹣1，故切线方程是y=﹣x+1；（2）a∈（0，1）时，由已知得f（x）=，a＜x＜1时，由f′（x）＞0，得f（x）在（a，1）递增，﹣1＜x＜a时，由f′（x）=3x2﹣1，①a∈（，1）时，f（x）在（﹣1，﹣）递增，在（﹣，）递减，在（，1）递增，∴f（x）min=min{f（﹣1），f（）}=min{a，a﹣}=a﹣，②a∈（0，]时，f（x）在（﹣1，﹣）递增，在（﹣，a）递减，在（a，1）递增，∴f（x）min=min{f（﹣1），f（a）}=min{a，a3}=a3；综上，f（x）min=．21．（15分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）．（1）若椭圆的两个焦点与一个短轴顶点构成边长为2的正三角形，求椭圆的标准方程；（2）过右焦点（c，0）的直线l与椭圆C交于A、B两点，过点F作l的垂线，交直线x=于P点，若的最小值为，试求椭圆C率心率e的取值范围．【分析】（1）由已知可得：2c=2，2a=4，b2=a2﹣c2，解得a，b即可．（2）设直线l的方程，A，B，P坐标，|PF|=．联立，化为：（b2m2+a2）y2+2mcb2y﹣b4=0．|AB|==．=≥．即可求得椭圆C率心率e的取值范围【解答】解：（1）由已知可得：2c=2，2a=4，b2=a2﹣c2，解得a=2，c=1，b2=3．∴椭圆的标准方程为=1．（2）设直线l的方程为：x=my+c，A（x1，y1），B（x2，y2）．P（）|PF|=．联立，化为：（b2m2+a2）y2+2mcb2y﹣b4=0．∴y1+y2=﹣，y1•y2=，∴|AB|==．∴=≥．令，⇒b2t2﹣2cbt+c2≥0，上式在t≥1时恒成立，∴椭圆C率心率e的取值范围为（0，1）22．（15分）已知数列{a n}满足：a1=，a n+1=+a n（n∈N*）．＞a n；（1）求证：a n+1（2）求证：a2017＜1；（3）若a k＞1，求正整数k的最小值．【分析】（1）a n﹣a n=≥0，可得a n+1≥a n．a1=，可得a n．可得a n+1+1﹣a n=＞0，即可证明．（II）由已知==，=﹣，利用累加求和可得：=++…+，当k=2017时，由（I）可得：=a1＜a2＜…＜a2016．可得﹣=++…+＜＜1，即可证明．（III）由（II）可得：可得：=a1＜a2＜…＜a2016＜a2017＜1．可得﹣= ++…+＞2017×=1，即可得出．﹣a n=≥0，可得a n+1≥a n．【解答】（1）证明：a n+1∵a1=，∴a n．﹣a n=＞0，∴a n+1＞a n．∴a n+1（II）证明：由已知==，∴=﹣，由=，=，…，=，累加求和可得：=++…+，当k=2017时，由（I）可得：=a1＜a2＜…＜a2016．∴﹣=++…+＜＜1，∴a2017＜1．（III）解：由（II）可得：可得：=a1＜a2＜…＜a2016＜a2017＜1．∴﹣=++…+＞2017×=1，∴a2017＜1＜a2018，又∵a n＞a n．∴k的最小值为2018．+1。

浙江省2016-2017学年高三上学期期末模拟联考数学（文）试题考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷密封区内填写班级、学号和姓名；座位号写在指定位置； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题卷。

一、选择题（本题共有8小题，每小题5分，共40分）1已知集合2{|}M x x x =≥，{|2,}x N y y x R ==∈，则M N = （ ） A.(0,1] B.(0,1) C.[0,1) D.[0,1] 【答案】A考点：集合的运算 2.设a = 30. 5, b = log 32, c=cos2，则( )A.c<b <aB. c <a<bC. a <b <cD. b<c<a 【答案】A考点：比较大小3.已知条件：x ya a <（01a <<）则它的充要条件的是( )A.221111x y >++ B.22ln(1)ln(1)x y +>+ C.sin sin x y > D.3x >3y 【答案】D 【解析】试题分析：y x a a a yx>⇔<<<)10(，选项A221111x y >++22y x <⇔ ，选项B 22ln(1)ln(1)x y +>+22y x <⇔，选项C 只能说y x ≠，选项D 正确，利用3)(x x f =单调性知3x >3yy x >⇔.考点：充分条件、必要条件4．已知1F ,2F 是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P ，使得12PF PF ⊥,则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A. ⎫⎪⎪⎣⎭B. ⎫⎪⎪⎣⎭C. ⎛ ⎝⎦D. ⎛⎝⎦【答案】B考点：椭圆离心率5.设()f x 是定义在R 上的周期为3的函数，当[)2,1x ∈-时，()2422001x x f x xx ⎧--≤≤=⎨<<⎩，则))421((f f =（ ）A ．-41 B ．43 C ． 41D ．0 【答案】C考点：分段函数求值6.已知数列{a n }满足21n n n a a a ++=+，若151,8a a ==，则3a =( )A.1B. 2C. 3D.72【答案】C 【解析】试题分析：因21n n n a a a ++=+，则 n n n a a a =-++12，1123==-a a a ①，234a a a =-②，345a a a =-③，由①②③得3a =3 考点：数列的项7.已知平面向量,m n 的夹角为6π，且2m n == ，在ABC ∆中，22,26AB m n AC m n =+=- ，D为BC 的中点，则||AD =（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8 【答案】A考点：向量数量积、向量的模8．已知定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （4－x ）=f （x ），且当x ∈(]1,3-时，f （x ）=⎩⎪⎨⎪⎧1＋cos πx 2，1＜x ≤3，x 2 ，－1＜x ≤1，则g （x ）= f （x ）－|1g x |的零点个数是( )A ．7B ．8C ．9D ．10 【答案】D考点：函数零点二、填空题（本题共有7小题，其中第9题每空2分,第10、11、12题每空3分，第13、14、15题每空4分，共36分）9.已知直线01:1=-+y ax l ，直线03:2=--y x l ，若直线1l 的倾斜角为4π，则a = ；若21l l ⊥，则a = ；若21//l l ，则两平行直线间的距离为 。

2015-2016学年浙江省台州市高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．设全体实数集为R，M={1，2}，N={1，2，3，4}，则（∁R M）∩N等于（）A．{4} B．{3，4} C．{2，3，4} D．{1，2，3，4}2．“a＞4”是“a2＞16”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知α∈（，π），sin（π+α）=﹣，则tan（α﹣）等于（）A．﹣7 B．﹣C．7 D．4．函数f（x）=x2﹣ln|x|的大致图象为（）A．B．C．D．5．已知直线ax+by=1（其中a，b为非零实数）与圆x2+y2=1相交于A，B两点，O为坐标原点，且△AOB为直角三角形，则+的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．56．函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若其图象向右平移个单位，得到的函数为偶函数，则函数f（x）的图象（）A．关于直线x=对称B．关于点（，0）对称C．关于点（，0）对称D．关于直线x=对称7．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是锐角三角形，则存在过点A的平面（）A．与直线BC和直线A1B1都平行B．与直线BC和直线A1B1都垂直C．与直线BC平行且直线A1B1垂直D．与直线BC和直线A1B1所成角相等8．如图，等边△ABC的边长为2，△ADE也是等边三角形且边长为1，M为DE的中心，在△ABC所在平面内，△ADE绕A逆时针旋转一周，•的最大值为（）A．B．+C．D．+2二、填空题：本大题共7个小题，多空提每题6分，单空题每题4分，共36分.9．[（﹣2）6]﹣（﹣1）0=.3=．10．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为6的正方形，俯视图是腰长为5，底边长为6的等腰三角形，则该几何体的体积是，表面积是．11．设直线l1：x+my+6=0和l2：（m﹣2）x+3y+2m=0，当m=时，l1∥l2，当m=时，l1⊥l2．12．已知等比数列{a n}各项都是正数，且a4﹣2a2=4，a3=4．则a n=，S10=．13．已知实数x，y满足约束条件，则u=的取值范围为．14．设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于．15．若函数f（x）=，则不等式f（x2﹣3）＞f（x）的解集为．三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．已知函数f（x）=4cosxsin（x+）﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在钝角△ABC，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（B）=1，若b=，c=4，求a的值．17．已知数列{a n}各项都是正数，且+++…+=n2+3n（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，n∈N*，求{b n}的前n项和S n．18．四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，PA⊥底面ABCD，PA=AD=2，BC=AB=1，E为PD的中点．（Ⅰ）求证：CE∥平面PAB；（Ⅱ）求PA与平面ACE所成角的正弦值．19．已知抛物线C1：y2=2px（p＞0）上一点Q（1，a）到焦点的距离为3，．（1）求a，p的值；（Ⅱ）设P为直线x=﹣1上除（﹣1，﹣），（﹣1，）两点外的任意一点，过P作圆C2：（x﹣2）2+y2=3的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D，试判断A，B，C，D四点纵坐标之积是否为定值？若是，求该定值；若不是，请说明理由．20．已知a＞0，b∈R，函数f（x）=4ax2﹣2bx﹣a+b的定义域为[0，1]．（Ⅰ）当a=1时，函数f（x）在定义域内有两个不同的零点，求b的取值范围；（Ⅱ）记f（x）的最大值为M，证明：f（x）+M＞0．2015-2016学年浙江省台州市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．设全体实数集为R，M={1，2}，N={1，2，3，4}，则（∁R M）∩N等于（）A．{4} B．{3，4} C．{2，3，4} D．{1，2，3，4}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】根据全集R，求出M的补集，找出M补集与N的交集即可．【解答】解：∵全体实数集为R，M={1，2}，N={1，2，3，4}，∴∁R M={x|x≠1且x≠2}，则（∁R M）∩N={3，4}．故选：B．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．“a＞4”是“a2＞16”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由a2＞16得a＞4或a＜﹣4，则“a＞4”是“a2＞16”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．3．已知α∈（，π），sin（π+α）=﹣，则tan（α﹣）等于（）A．﹣7 B．﹣C．7 D．【考点】两角和与差的正切函数．【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值．【分析】由已知利用诱导公式可求sinα，结合α的范围，利用同角三角函数基本关系式可求cosα，tanα的值，利用两角差的正切函数公式即可计算求值．【解答】解：∵sin（π+α）=﹣sinα=﹣，∴可得：sin，∵α∈（，π），∴cosα=﹣=﹣，tan==﹣，∴tan（α﹣）===﹣7．故选：A．【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式，两角差的正切函数公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．4．函数f（x）=x2﹣ln|x|的大致图象为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】计算题；作图题；数形结合；函数的性质及应用．【分析】由函数的表达式确定函数的性质，从而利用数形结合确定函数的图象的形状．【解答】解：∵f（x）=x2﹣ln|x|=f（﹣x），∴函数f（x）是偶函数，∴f（x）的图象关于y轴对称，故排除A，又∵f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），∴排除C，又∵f（x）→+∞，故排除B，故选：D．【点评】本题考查了函数的性质的判断与数形结合的思想应用，同时考查了排除法的应用．5．已知直线ax+by=1（其中a，b为非零实数）与圆x2+y2=1相交于A，B两点，O为坐标原点，且△AOB为直角三角形，则+的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】直线与圆的位置关系；直线的截距式方程．【专题】综合题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】由直线ax+by=1（其中a，b为非零实数）与圆x2+y2=1相交于A，B两点，且△AOB为直角三角形，可得|AB|=．圆心O（0，0）到直线ax+by=1的距离d=，可得2a2+b2=2．再利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵直线ax+by=1（其中a，b为非零实数）与圆x2+y2=1相交于A，B两点，且△AOB为直角三角形，∴|AB|=r=．∴圆心O（0，0）到直线ax+by=1的距离d==，化为2a2+b2=2．∴+=（+）（2a2+b2）=（2+2++）≥（4+2）=4，当且仅当b2=2a2=1取等号．∴+的最小值为4．故选：C．【点评】本题考查了直线与圆相交问题弦长问题、点到直线的距离公式、基本不等式的性质，属于中档题．6．函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若其图象向右平移个单位，得到的函数为偶函数，则函数f（x）的图象（）A．关于直线x=对称B．关于点（，0）对称C．关于点（，0）对称D．关于直线x=对称【考点】正弦函数的图象．【专题】函数思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由已知求出满足条件的ω，φ值，求出函数的解析式，进而分析出函数f（x）的对称性，可得答案．【解答】解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，∴ω=2，则f（x）=sin（2x+φ），将其图象向右平移个单位后得到的函数g（x）=sin[2（x﹣）+φ]=sin（2x+φ﹣）的图象，若得到的函数为偶函数，则φ﹣=kπ+，k∈Z，即φ=kπ+，k∈Z，∵|φ|＜，∴当k=﹣1时，φ=﹣，故f（x）=sin（2x﹣），由2x﹣=+kπ，即x=+，k∈Z时，即函数的对称轴为x=+，k∈Z2x﹣=kπ，即x=+，k∈Z时，即函数的对称中心为（+，0），k∈Z则当k=1时，x=，即函数关于点（，0）对称，故选：B．【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，熟练掌握正弦型函数的图象和性质是解答的关键．考查学生的运算和推理能力．7．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是锐角三角形，则存在过点A的平面（）A．与直线BC和直线A1B1都平行B．与直线BC和直线A1B1都垂直C．与直线BC平行且直线A1B1垂直D．与直线BC和直线A1B1所成角相等【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】对4个选项分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：对于A，过点A与直线A1B1平行的平面经过B，与直线BC相交，不正确；对于B，过点A与直线BC垂直的平面存在，则CB⊥AB，与底面是锐角三角形矛盾，不正确对于C，过点A与直线BC平行且直线A1B1垂直，则CB⊥AB，与底面是锐角三角形矛盾，不正确；对于D，存在过点A与BC中点的平面，与直线BC和直线AB所成角相等，∴与直线BC 和直线A1B1所成角相等，正确．故选：D．【点评】本题考查空间线线、线面位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．8．如图，等边△ABC的边长为2，△ADE也是等边三角形且边长为1，M为DE的中心，在△ABC所在平面内，△ADE绕A逆时针旋转一周，•的最大值为（）A．B．+C．D．+2【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用．【分析】设∠BAD=θ，（0≤θ≤2π），则∠CAE=θ，把•转化为含有θ的三角函数，利用辅助角公式化积后得答案．【解答】解：设∠BAD=θ，（0≤θ≤2π），则∠CAE=θ，则•=（）•（）===﹣cosθ﹣cosθcos+sinθsin=﹣=．∴当时，•的最大值为．故选：B．【点评】本题考查平面向量的数量积的定义，考查三角函数的化简和求最值，考查运算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共7个小题，多空提每题6分，单空题每题4分，共36分.9．[（﹣2）6]﹣（﹣1）0=3.3=2．【考点】有理数指数幂的化简求值；根式与分数指数幂的互化及其化简运算．【专题】计算题；规律型；函数的性质及应用．【分析】直接利用有理指数幂的运算法则以及对数运算法则化简求解即可．【解答】解：[（﹣2）6]﹣（﹣1）0=4﹣1=3．3==2．故答案为：3；2．【点评】本题考查有理指数幂以及对数运算法则的应用，考查计算能力．10．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为6的正方形，俯视图是腰长为5，底边长为6的等腰三角形，则该几何体的体积是 72 ，表面积是 120 ．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；规律型；数形结合法；立体几何．【分析】由三视图可知几何体是一个三棱柱，此三棱柱的高为6，底面正三角形的高为4，利用表面积公式和体积公式得到结果．【解答】解：由三视图图可知此三棱柱的高为6，底面正三角形的高为4，可求得底面面积为：=12．∴V=S •h=6×12=72S 表面=2S 底+S 侧面=2×12+6×（6+5+5）=120【点评】本题考查有三视图求几何体的体积和表面积，解题时要注意看清各个位置的长度，不要在数字运算上出错．11．设直线l 1：x+my+6=0和l 2：（m ﹣2）x+3y+2m=0，当m= ﹣1 时，l 1∥l 2，当m=时，l 1⊥l 2．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系． 【专题】方程思想；综合法；直线与圆． 【分析】利用直线平行、垂直的性质求解．【解答】解：∵直线l 1：x+my+6=0和l 2：（m ﹣2）x+3y+2m=0， l 1∥l 2，∴=≠，解得m=﹣1；∵直线l 1：x+my+6=0和l 2：（m ﹣2）x+3y+2m=0， l 1⊥l 2，∴1×（m ﹣2）+3m=0，解得m=；故答案为：﹣1，．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线的位置关系的合理运用．12．已知等比数列{a n}各项都是正数，且a4﹣2a2=4，a3=4．则a n=2n﹣1，S10=1023．【考点】等比数列的通项公式．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】设等比数列{a n}的公比为q＞0，由a4﹣2a2=4，a3=4．可得，解出再利用等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q＞0，∵a4﹣2a2=4，a3=4．∴，解得，则a n=2n﹣1，S10==1023．故答案分别为：2n﹣1；1023．【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．已知实数x，y满足约束条件，则u=的取值范围为≤u≤．【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；转化思想；构造法；不等式．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据分式的性质利用分子常数化，利用换元法结合直线斜率的性质进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：则x＞0，u====3﹣，设k=，则k的几何意义是区域内的点到原点的斜率，由图象知，AO的斜率最小，BO的斜率最大，由得，即B（2，4），由得，即A（3，2），则AO的斜率k=，BO的斜率k=2，即≤k≤2，则u=3﹣=3﹣在≤k≤2上为增函数，则当k=时，函数取得最小值，u=，当k=2时，函数取得最大值，u=，即≤u≤，故答案为：≤u≤【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用分式的性质以及换元法是解决本题的关键．注意数形结合．14．设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于．【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据条件分别求出A，B，D的坐标，利用AD⊥F1B，建立方程关系即可得到结论．【解答】解：连接AF1，∵OD∥AB，O为F1F2的中点，∴D为BF1的中点，又AD⊥BF1，∴|AF1|=|AB|．∴|AF1|=2|AF2|．设|AF2|=n，则|AF1|=2n，|F1F2|=n，∴e=====．【点评】本题主要考查椭圆离心率的求解，根据条件求出对应点的坐标，利用直线垂直与斜率之间的关系是解决本题的关键，运算量较大．为了方便，可以先确定一个参数的值．15．若函数f（x）=，则不等式f（x2﹣3）＞f（x）的解集为（﹣∞，﹣）．【考点】分段函数的应用；其他不等式的解法．【专题】数形结合；分类讨论；不等式的解法及应用．【分析】根据分段函数的表达式判断函数的单调性，讨论变量的取值范围进行比较即可．【解答】解：若x≥1，即x≥2时，x2﹣3≥1，此时函数f（x）在[1，+∞）为减函数，则由f（x2﹣3）＞f（x）得x2﹣3＜x，即2x2﹣x﹣6＜0，得﹣＜x＜2，此时x无解．若x＜1，即x＜2时，若x2﹣3＜1，即﹣2＜x＜2，时，函数f（x）在（﹣∞，1]上是增函数，则由f（x2﹣3）＞f（x）得x2﹣3＞x，即2x2﹣x﹣6＞0，得x＜﹣或x＞2（舍），此时﹣2＜x＜﹣．若x≤﹣2，则x≤﹣1，此时f（x）＜0，而x2﹣3≥1，则f（x2﹣3）＞0，此时不等式f（x2﹣3）＞f（x）恒成立，综上不等式的解集为（﹣∞，﹣），故答案为：（﹣∞，﹣）．【点评】本题主要考查分段函数的应用，根据函分段函数的表达式判断函数的单调性，利用函数的单调性是解决本题的关键．三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．已知函数f（x）=4cosxsin（x+）﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在钝角△ABC，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（B）=1，若b=，c=4，求a的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；余弦定理．【专题】计算题；转化思想；数形结合法；解三角形．【分析】（Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=2sin（2x+），由2k≤2x+≤2k，k∈Z，即可解得函数f（x）的单调递增区间．（Ⅱ）由f（B）=2sin（2B+）=1，结合范围0＜B＜π，可得＜2B+＜，从而解得B=，利用余弦定理可得a2﹣4a+3=0，解得a=1或3．由△ABC为钝角三角形，C为钝角，可得a=1满足题意，即可得解．【解答】（本题满分为14分）解：（Ⅰ）∵f（x）=4cosxsin（x+）﹣1=4cosx（）﹣1=2sinxcosx+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=2sin（2x+），…4分∴由2k≤2x+≤2k，k∈Z，解得函数f（x）的单调递增区间为：[k，k]，k∈Z…7分（Ⅱ）∵f（B）=2sin（2B+）=1，∵0＜B＜π，∴＜2B+＜，∴2B+=，解得B=，…9分∵b2=a2+c2﹣2accosB，即13=a2+16﹣4a，整理可得：a2﹣4a+3=0，∴解得：a=1或3…12分∵△ABC为钝角三角形，∴C为钝角，经检验：a=1满足题意…14分【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想，解题时要注意一定要验根，属于中档题．17．已知数列{a n}各项都是正数，且+++…+=n2+3n（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，n∈N*，求{b n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】计算题；整体思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）当n≥2时利用+++…+=n2+3n与+++…+=（n﹣1）2+3（n﹣1）作差、整理可知a n=4（n+1）2（n≥2），进而计算可得结论；（Ⅱ）通过（I）可知b n=，n∈N*，进而利用错位相减法计算即得结论．【解答】解：（Ⅰ）当n≥2时，+++…+=n2+3n，+++…+=（n﹣1）2+3（n﹣1），两式相减得：=（n2+3n）﹣[（n﹣1）2+3（n﹣1）]=2n+2，∴a n=4（n+1）2（n≥2），又∵=4即a1=16满足上式，∴a n=4（n+1）2；（Ⅱ）由（I）可知b n==，n∈N*，∴S n=4[2•+3•+…+（n+1）•]，S n =4[2•+3•+…+n •+（n+1）•]，两式相减得： S n =4[1+++…+﹣（n+1）•]=4[1+﹣（n+1）•]=6﹣（n+3）•，于是S n =12﹣（n+3）•．【点评】本题考查数列的通项及前n 项和，考查运算求解能力，考查错位相减法，注意解题方法的积累，属于中档题．18．四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 是直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，PA ⊥底面ABCD ，PA=AD=2，BC=AB=1，E 为PD 的中点． （Ⅰ）求证：CE ∥平面PAB ；（Ⅱ）求PA 与平面ACE 所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定． 【专题】转化思想；分析法；空间位置关系与距离；空间角． 【分析】（1）要证CE ∥平面PAB ，只要证明CE 平行于平面PAB 内的一条直线即可，由E 为PD 的中点，可联想找PA 的中点F ，连结EF 、BF 后，证明BCEF 是平行四边形即可证得答案；（Ⅱ）取AD 的中点G ，连接EG ，则EG ∥AP ，问题转化为求EG 与平面ACE 所成的角的正弦．连接BG 交AC 于O ，连接OE ，证得平面ACE ⊥平面OEG ，交于直线OE ，过G 作GH ⊥OE ，交OE 于H ，可得∠GEH 为EG 与平面ACE 所成的角，即∠GEO ，运用解直角三角形，即可得到所求值． 【解答】解：（Ⅰ）证明：如图，取PA 的中点F ，连结FE 、FB ， 则FE ∥BC ，且FE=AD=BC ，∴BCEF 是平行四边形，∴CE ∥BF ，而BF ⊂平面PAB ，∴CE ∥平面PAB ； （Ⅱ）取AD 的中点G ，连接EG ，则EG ∥AP ， 问题转化为求EG 与平面ACE 所成的角的正弦． 连接BG 交AC 于O ，连接OE ，由AC ⊥EG ，AC ⊥BG ，可得AC ⊥平面OEG ，即有：平面ACE⊥平面OEG，交于直线OE，过G作GH⊥OE，交OE于H，可得∠GEH为EG与平面ACE所成的角，即∠GEO，由EG=1，GO=，可得EO=，可得sin∠GEO==，则PA与平面ACE所成角的正弦值为．【点评】本题考查了直线与平面平行的判定，考查了求线面角的方法，解答的关键是通过线面垂直求得线面角，属中档题．19．已知抛物线C1：y2=2px（p＞0）上一点Q（1，a）到焦点的距离为3，．（1）求a，p的值；（Ⅱ）设P为直线x=﹣1上除（﹣1，﹣），（﹣1，）两点外的任意一点，过P作圆C2：（x﹣2）2+y2=3的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D，试判断A，B，C，D四点纵坐标之积是否为定值？若是，求该定值；若不是，请说明理由．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）根据抛物线的定义即可得到，求出p=4，从而焦点坐标为（2，0），这便得到，从而可求出a的值；（Ⅱ）可设过点P的直线l方程为：y﹣y0=k（x+1），联立抛物线方程消去x便可得到ky2﹣8y+8y0+8k=0，可设直线AB，CD的斜率分别为k1，k2，A，B，C，D四点的纵坐标分别为y1，y2，y3，y4，从而可以得到．可以求圆心C2到切线l的距离，从而可以得到关于k的一元二次方程，由韦达定理得到k1+k2=﹣y0，这样即可求得y1y2y3y4=64，即得出A，B，C，D四点纵坐标之积为定值．【解答】解：（Ⅰ）根据抛物线的定义，Q（1，a）到准线x=的距离为3；∴；∴p=4；∴抛物线的焦点坐标为（2，0）；∴；∴；（Ⅱ）设P（﹣1，y0），过点P的直线方程设为l：y﹣y0=k（x+1）；由得，ky2﹣8y+8y0+8k=0；若直线AB，CD的斜率分别为k1，k2，设A，B，C，D的纵坐标分别为y1，y2，y3，y4；∴；∵C2到l的距离d=；∴；∴；∴=；∴A，B，C，D四点纵坐标之积为定值，且定值为64．【点评】考查抛物线的定义，抛物线的标准方程，抛物线的焦点及准线方程，两点间距离公式，直线的点斜式方程，以及韦达定理，圆心到切线距离和圆半径的关系，点到直线的距离公式．20．已知a＞0，b∈R，函数f（x）=4ax2﹣2bx﹣a+b的定义域为[0，1]．（Ⅰ）当a=1时，函数f（x）在定义域内有两个不同的零点，求b的取值范围；（Ⅱ）记f（x）的最大值为M，证明：f（x）+M＞0．【考点】二次函数的性质．【专题】综合题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）由题意可得f（0）≥0，f（1）≥0，△＞0，0＜＜1，解不等式即可得到所求范围；（2）求出对称轴，讨论对称轴和区间[0，1]的关系，可得最值，即可证明f（x）+M＞0．【解答】解：（1）由题意可得f（x）=4x2﹣2bx﹣1+b在[0，1]内有两个不同的零点，即有，解得1≤b＜2或2＜b≤3；（2）记f（x）的最大值为M，证明：f（x）+M＞0．+M＞0即可，设f（x）的最小值是m，只需证明f（x）最小值问题转化为证明M+m＞0，证明如下：f（x）的对称轴为x=，当＞1时，区间[0，1]为减区间，可得M=f（0）=b﹣a，m=f（1）=3a﹣b，则M+m=2a＞0；当＜0时，区间[0，1]为增区间，可得m=f（0）=b﹣a，M=f（1）=3a﹣b，则M+m=2a＞0；当0≤≤1时，区间[0，]为减区间，[，1]为增区间，可得m=f（）=，若f（0）≤f（1），即b≤2a，可得M=f（1）=3a﹣b，M+m=≥=a＞0；若f（0）＞f（1），即2a＜b≤4a，可得M=f（0）=b﹣a，M+m==，由于2a＜b≤4a，可得M+m∈（a，2a]，即为M+m＞0．综上可得：f（x）max+f（x）min＞0恒成立，即f（x）+M＞0．【点评】本题考查函数的零点问题的解法，注意运用二次函数的图象，考查函数的最值的求法，注意讨论对称轴和区间的关系，考查运算能力，属于中档题．2016年3月13日。

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2016-2017学年浙江省台州市高二(上）期末数学试卷一、选择题(共10小题，每小题3分,满分30分)1．（3分）过点A（0，1）与直线y=x﹣1平行的直线方程是（）A．x+y﹣1=0 B．x﹣y﹣1=0 C．x+y+1=0 D．x﹣y+1=02．(3分）若一个球的半径为1，则它的表面积是( ）A．4πB．2πC．π D．3．（3分）已知圆C：x2+y2+2x﹣4y=0，则圆C的圆心坐标为（）A．（1,﹣2） B．(﹣1，2）C．(1,2）D．(﹣1,﹣2）4．（3分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CC1所成角的大小为（）A．60°B．30°C．90°D．45°5．（3分)设直线l的方向向量为（1,﹣1，1），平面α的一个法向量为（﹣1,1，﹣1），则直线l与平面α的位置关系是( ）A．l⊂α B．l∥α C．l⊥α D．不确定6．（3分）已知直线l在平面α内，则“l⊥β”是“α⊥β”的（)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．(3分)在平面直角坐标系中，方程+=1所表示的曲线是( )A．椭圆B．三角形C．菱形D．两条平行线8．（3分）已知抛物线y2=4x上一动点M（x，y），定点N(0,1)，则x+|MN｜的最小值是（）A． B． C．﹣1 D．﹣19．（3分)已知F1和F2分别是椭圆C:+y2=1的左焦点和右焦点，点P（x0，y0）是椭圆C上一点,切满足∠F1PF2≥60°，则x0的取值范围是（）A．［﹣1,1］ B．[﹣，］ C．[1,] D．［，]10．（3分）如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F，E1，F1分别为棱AB，AC，AA1,CC1的中点，点G，H分别为四边形ABB1A1，BCC1B1对角线的交点，点I为△A1B1C1的外心，P，Q分别在直线EF，E1F1上运动，则在G，H,I，这三个点中，动直线PQ（）A．只可能经过点I B．只可能经过点G，HC．可能经过点G，H，I D．不可能经过点G，H，I二、填空题(本大题共有6小题，多空题每小题4分，单空题每小题4分，共20分) 11．(4分）直线x﹣y﹣3=0的斜率为，倾斜角为．12．（4分）在空间直角坐标系中,点A（2，1，2)到原点O的距离为，点A 关于原点O对称的点的坐标为．13．（3分)如图，某三棱锥的三视图,则该三棱锥的体积为．14．(3分)已知双曲线﹣=1的一条渐近线方程为y=x，则双曲线的离心率为．15．（3分)在直线l1：ax﹣y﹣a+2=0（a∈R），过原点O的直线l2与l1垂直，垂足为M，则｜OM|的最大值为．16．(3分）已知A(2，2），B（a，b）,对于圆x2+y2=4，上的任意一点P都有=,则点B的坐标为．三、解答题（本大题共有5小题，共50分）17．(8分）设p：“方程x2+y2=4﹣a表示圆”，q：“方程﹣=1表示焦点在x 轴上的双曲线"，如果p和q都正确,求实数a的取值范围．18．（10分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,点E，F分别为BB1，B1C1的中点．（Ⅰ）求证：直线EF∥面ACD1；（Ⅱ）求二面角D1﹣AC﹣D的平面角的余弦值．19．（10分）已知抛物线C顶点在原点，关于x轴对称,且经过P（1,2)．(Ⅰ)求抛物线C的标准方程及准线方程;（Ⅱ）已知不过点P且斜率为1的直线l与抛物线C交于A，B两点,若AB为直径的圆经过点P，试求直线l的方程．20．（10分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为4的正三角形，侧棱AA1垂直于底面ABC，AA 1=2，D为BC中点．（Ⅰ）若E为棱CC1的中点，求证:A1C⊥DE；（Ⅱ）若点E在棱CC1上，直线CE与平面ADE所成角为α，当si nα=时，求CE 的长．21．（12分）已知椭圆C:+=1（a＞b＞0）的右焦点为(1,0），且右焦点到上顶点的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；(Ⅱ）过点P（2，2）的动直线交椭圆C于A，B两点，（i)若｜PA|｜PB｜=，求直线AB的斜率；（ii）点Q在线段AB上，且满足+=,求点Q的轨迹方程．2016-2017学年浙江省台州市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(共10小题,每小题3分，满分30分）1．（3分）过点A（0，1）与直线y=x﹣1平行的直线方程是( )A．x+y﹣1=0 B．x﹣y﹣1=0 C．x+y+1=0 D．x﹣y+1=0【分析】设过点A（0，1）与直线y=x﹣1平行的直线方程是x﹣y+c=0，把点（0，1）代入,能得到所求直线方程．【解答】解:过点A（0，1）与直线y=x﹣1平行的直线方程是x﹣y+c=0，把点（0，1）代入,得0﹣1+c=0，解得c=1．∴所求直线方程为：x﹣y+1=0．故选：D．【点评】本题考查直线的一般式方程与直线的平行关系的应用,是基础题．解题时要认真审题，仔细解答2．(3分)若一个球的半径为1，则它的表面积是（）A．4πB．2πC．π D．【分析】直接利用球的表面积公式,即可得出结论．【解答】解：由题意，半径为1的球的表面积是4π•12=4π．故选：A．【点评】本题考查球的表面积公式，考查学生的计算能力，比较基础．3．（3分）已知圆C：x2+y2+2x﹣4y=0，则圆C的圆心坐标为( ）A．（1，﹣2）B．（﹣1，2) C．（1,2）D．(﹣1，﹣2）【分析】把圆的一般方程化为标准方程,求出圆心和半径．【解答】解：圆x2+y2+2x﹣4y=0 即（x+1）2+(y﹣2）2=5，故圆心为（﹣1，2)，故选:B．【点评】本题主要考查把圆的一般方程化为标准方程的方法，根据圆的标准方程求圆心，属于基础题．4．(3分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CC1所成角的大小为( ）A．60°B．30°C．90°D．45°【分析】将CC1平移到B1B，从而∠A1BB1为直线BA1与CC1所成角，在三角形A1BB1中求出此角即可．【解答】解:∵CC1∥B1B，∴∠A1BB1为直线BA1与CC1所成角，因为是在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,所以∠A1BB1=45°．故选:D．【点评】本题主要考查了异面直线及其所成的角,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．5．（3分）设直线l的方向向量为（1，﹣1，1），平面α的一个法向量为(﹣1，1，﹣1）,则直线l与平面α的位置关系是（）A．l⊂α B．l∥α C．l⊥α D．不确定【分析】观察到的直线l的方向向量与平面α的法向量共线,得到位置关系是垂直．【解答】解:因为直线l的方向向量为（1，﹣1，1）,平面α的一个法向量为（﹣1，1，﹣1）,显然它们共线，所以直线l与平面α的位置关系是垂直即l⊥α;故选：C．【点评】本题考查了利用直线的方向向量和平面的法向量的关系，判定线面关系；体现了向量的工具性；属于基础题．6．（3分）已知直线l在平面α内，则“l⊥β”是“α⊥β”的( ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】根据线面垂直和面面垂直的定义和性质，结合充分条件和必要条件的定义即可的结论．【解答】解：根据面面垂直的判定定理可得，若l⊂α,l⊥β，则α⊥β成立，即充分性成立,若α⊥β，则l⊥β不一定成立,即必要性不成立．故“l⊥β”是“α⊥β”充分不必要条件，故选:A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判定，利用线面垂直和面面垂直的关系是解决本题的关键．7．（3分）在平面直角坐标系中,方程+=1所表示的曲线是( )A．椭圆B．三角形C．菱形D．两条平行线【分析】去掉绝对值，可得方程+=1的曲线围成的封闭图形．【解答】解：x≥0,y≥0方程为+=1；x≥0，y≤0方程为﹣=1;x≤0，y≥0方程为﹣+=1；x≤0,y≤0方程为﹣﹣=1，∴方程+=1的曲线围成的封闭图形是一个以（0，4），（2，0），（0，﹣4），(﹣2，0）为顶点的菱形，故选：C．【点评】本题考查的知识点是曲线与方程，分析出几何体的形状是解答的关键，难度中档．8．（3分）已知抛物线y2=4x上一动点M（x，y）,定点N（0，1)，则x+｜MN|的最小值是（）A． B． C．﹣1 D．﹣1【分析】抛物线的焦点坐标为（1，0)，M到准线的距离为d，则x+｜MN｜=d+|MN|﹣1=|MF|+｜MN|﹣1≥｜NF|﹣1=﹣1，即可得出结论．【解答】解：抛物线的焦点坐标为（1，0)，M到准线的距离为d,则x+｜MN｜=d+｜MN|﹣1=|MF｜+|MN｜﹣1≥|NF|﹣1=﹣1,∴x+｜MN|的最小值是﹣1．故选:D．【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查抛物线定义的运用，属于中档题．9．（3分）已知F1和F2分别是椭圆C：+y2=1的左焦点和右焦点，点P(x0,y0)是椭圆C上一点，切满足∠F1PF2≥60°,则x0的取值范围是（）A．［﹣1,1］ B．［﹣,] C．[1，] D．[，]【分析】设当点P在第一象限时,求出∠F1PF2=60°时，PF2的大小，由焦半径公式的PF2=a﹣ex0解得x0,根据对称性，则x0的取值范围【解答】解：∵a=，b=1，∴c=1．设当点P在第一象限时,|PF1｜=t1，|PF2｜=t2，则由椭圆的定义可得:t1+t2=2…①在△F1PF2中，当∠F1PF2=60°，所以t12+t22﹣2t1t2•cos60°=4…②，由①﹣②得t2=，由焦半径公式的a﹣ex0=，解得x0=,当点P向y轴靠近时，∠F1PF2增大，根据对称性，则x0的取值范围是：[﹣，］故选：B．【点评】本题考查了椭圆的性质及焦点三角形的特征，属于中档题．10．(3分）如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F，E1,F1分别为棱AB，AC，AA1，CC1的中点,点G，H分别为四边形ABB1A1,BCC1B1对角线的交点，点I为△A1B1C1的外心，P,Q分别在直线EF，E1F1上运动，则在G，H,I,这三个点中,动直线PQ（）A．只可能经过点I B．只可能经过点G，HC．可能经过点G,H，I D．不可能经过点G，H，I【分析】根据题意，得出PQ与GH是异面直线，PQ不过点G，且不过点H；当A1B1⊥B1C1时，外接圆的圆心I为斜边A1C1的中点,P与F重合，Q是E1F1的中点，PQ过点I．【解答】解:如图所示；三棱柱ABC﹣A1B1C1中，连接GH,则GH∥E1F1，∴G、H、F1、E1四点共面与平面GHF1E1；又点P∉平面GHF1E1,Q∈E1F1，∴Q∈平面GHF1E1,且Q∉GH，∴PQ与GH是异面直线，即PQ不过点G,且不过点H;又点I为△A1B1C1的外心，当A1B1⊥B1C1时，I为A1C1的中点，若P与F重合,Q是E1F1的中点，此时PQ过点I．故选：A．【点评】本题考查了空间中的两条直线位置关系,也考查了直线过某一点的应用问题，是综合性题目．二、填空题（本大题共有6小题，多空题每小题4分，单空题每小题4分，共20分）11．（4分）直线x﹣y﹣3=0的斜率为 1 ，倾斜角为45°．【分析】直接化直线方程为斜截式得答案．【解答】解：由x﹣y﹣3=0，得y=x﹣3，∴直线x﹣y=﹣30的斜率是1，倾斜角为45°．故答案为1,45°．【点评】本题考查直线的斜率，考查直线方程的斜截式，是基础的计算题．12．（4分）在空间直角坐标系中，点A(2，1，2)到原点O的距离为 3 ，点A关于原点O对称的点的坐标为（﹣2，﹣1，﹣2) ．【分析】利用两点间矩离公式、对称的性质直接求解．【解答】解：点A（2，1，2)到原点O的距离d==3，点A（2，1，2）关于原点O对称的点的坐标为（﹣2，﹣1，﹣2）．故答案为:3，（﹣2,﹣1，﹣2）．【点评】本题考查点的坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式、对称性质的合理运用．13．（3分）如图，某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为 2 ．【分析】由三视图可知该三棱锥的底面为等腰直角三角形,高为3．从而解得．【解答】解：该三棱锥的底面为等腰直角三角形,高为3．则其体积V==2，故答案为2．【点评】本题考查了学生的空间想象力,属于基础题．14．（3分）已知双曲线﹣=1的一条渐近线方程为y=x,则双曲线的离心率为2 ．【分析】利用双曲线的渐近线方程，推出a，b的关系,然后求解双曲线的离心率即可．【解答】解：双曲线﹣=1的一条渐近线方程为y=x,可得=,即，解得e=2．故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．15．（3分)在直线l1：ax﹣y﹣a+2=0（a∈R），过原点O的直线l2与l1垂直，垂足为M，则|OM|的最大值为．【分析】分a=0或a≠0两种情况讨论，设y=，根据判别式求出y的范围，即可得到|OM|的最大值【解答】解：直线l1：ax﹣y﹣a+2=0(a∈R），化为y=ax﹣a+2，则直线l1的斜率为a，当a=0时，11:y=2，∵过原点O的直线l2与l1垂直，∴直线l2的方程为x=0，∴M（0.2），∴|OM|=2,当a≠0时,则直线l2的斜率为﹣，则直线l2的方程为y=﹣x，由，解得x=，y=，∴M（，），则|OM｜==，设y=，则（1﹣y）a2﹣4a+4﹣y=0，∴△=16﹣4（1﹣y）(4﹣y）≥0,解得0≤y≤5，∴|OM｜的最大值为，综上所述:|OM｜的最大值为，故答案为：【点评】本题考查了直线方程的垂直的关系和直线与直线的交点和函数的最值得问题，属于中档题16．（3分）已知A（2,2）,B（a，b），对于圆x2+y2=4，上的任意一点P都有=,则点B的坐标为（1，1）．【分析】设P（x，y），则（x﹣2)2+（y﹣2）2=2（x﹣a)2+2(y﹣b）2，化简可得（2﹣2a）x+(2﹣2b）y+a2+b2﹣2=0，由此可求点B的坐标．【解答】解：设P（x，y），则（x﹣2）2+（y﹣2)2=2(x﹣a）2+2（y﹣b）2，化简可得(2﹣2a）x+(2﹣2b）y+a2+b2﹣2=0,a=1,b=1时，方程恒成立,∴点B的坐标为（1，1），故答案为（1,1)．【点评】本题考查点与圆的位置关系，考查恒成立问题，正确转化是关键．三、解答题（本大题共有5小题,共50分）17．（8分）设p：“方程x2+y2=4﹣a表示圆”，q:“方程﹣=1表示焦点在x 轴上的双曲线”,如果p和q都正确，求实数a的取值范围．【分析】先求出命题p真、命题q真时a的范围,由 p和q都正确，得⇒实数a的取值范围．【解答】解：若命题p真：方程x2+y2=4﹣a表示圆,4﹣a＞0，即a＜4,若命题q真：则a+1＞0，得a＞﹣1，∵p和q都正确，所以⇒﹣1＜a＜4，实数a的取值范围：（﹣1，4）【点评】本题考查了复合命题的判断，考查圆和双曲线的性质，是一道基础题18．（10分）如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,点E，F分别为BB1,B1C1的中点．（Ⅰ）求证:直线EF∥面ACD1；（Ⅱ)求二面角D1﹣AC﹣D的平面角的余弦值．【分析】(Ⅰ）连结BC1,则EF∥BC1,从而EF∥AD1，由此能证明直线EF∥面ACD1．（Ⅱ）连结BD，交AC于点O，连结OD1，则OD⊥AC，OD⊥AC，∠DOD1是二面角D1﹣AC﹣D的平面角，由此能求出二面角D1﹣AC﹣D的平面角的余弦值．【解答】证明：(Ⅰ）连结BC1，则EF∥BC1，∵BC1∥AD1，∴EF∥AD1，∵EF⊄面ACD1，AD1⊂面ACD1，∴直线EF∥面ACD1．解：（Ⅱ）连结BD，交AC于点O,连结OD1,则OD⊥AC，OD⊥AC，∴∠DOD1是二面角D1﹣AC﹣D的平面角,设正方体棱长为2,在Rt△D 1DO中,OD=，OD1=，∴cos∠DOD1===，∴二面角D1﹣AC﹣D的平面角的余弦值为．【点评】本题考查线面垂直的判定与性质，考查利用二面角的余弦值的求法；考查逻辑推理与空间想象能力,运算求解能力；考查数形结合、化归转化思想．19．（10分)已知抛物线C顶点在原点，关于x轴对称，且经过P(1，2）．（Ⅰ）求抛物线C的标准方程及准线方程；(Ⅱ）已知不过点P且斜率为1的直线l与抛物线C交于A，B两点，若AB为直径的圆经过点P,试求直线l的方程．【分析】(I）由题意可设抛物线的标准方程为：y2=2px（p＞0），把点P（1，2）代入解得p．可得抛物线C的标准方程及其准线方程．（II)时直线l的方程为：y=x+b，代入抛物线方程可得：y2﹣4y+4b=0,设A（x1，y1）,B(x2，y2）．由题意可得:=0，可得（x1﹣1）(x2﹣1)+（y1﹣2)（y2﹣2）=x1•x2﹣(x1+x2）+1+y1•y2﹣2（y1+y2+4=0,把根与系数的关系代入即可得出．【解答】解：（I）由题意可设抛物线的标准方程为：y2=2px（p＞0），把点P（1,2）代入可得：22=2p×1，解得p=2．∴抛物线C的标准方程为:y2=4x，准线方程为x=﹣1．（II）时直线l的方程为：y=x+b,代入抛物线方程可得：y2﹣4y+4b=0,△=16﹣16b ＞0，解得b＜1．设A（x1,y1），B（x2，y2），∴y1+y2=4,y1•y2=4b，∴x1+x2=y1+y2﹣2b，x1x2==b2．由题意可得：=0，∴（x1﹣1）（x2﹣1）+（y1﹣2)（y2﹣2）=x1•x2﹣（x1+x2）+1+y1•y2﹣2（y1+y2+4=0，∴b2﹣（4﹣2b)+1+4b﹣8+4=0,即b2+6b﹣7=0,解得b=﹣7，或b=1(舍去）．∴直线l的方程为：x﹣y﹣7=0．【点评】本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题、圆的性质、一元二次方程的根与系数的关系、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．（10分)已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为4的正三角形,侧棱AA1垂直于底面ABC,AA1=2，D为BC中点．（Ⅰ）若E为棱CC1的中点，求证:A1C⊥DE;（Ⅱ）若点E在棱CC1上,直线CE与平面ADE所成角为α，当sinα=时，求CE 的长．【分析】(Ⅰ）建立空间直角坐标系,利用向量法能证明DE⊥A1C．（Ⅱ）求出平面ADE的法向量,由CE与平面ADE所成角α满足sinα=，利用向量法能求出CE．【解答】（Ⅰ）证明：建立如图所示空间直角坐标系,A 1（2，0，2)，D（0，0，0)，E(0，﹣2，）,C（0，﹣2，0)，=（0，﹣2,)，=（﹣2，﹣2，﹣2），∴•=0+4﹣4=0，∴DE⊥A1C；（Ⅱ）解：CE=a（0)，则E（0，﹣2，a）,A（2,0,0），=（2，0，0），=（0，﹣2,a）设平面ADE的法向量=（x,y，z)，则，取=(0，a,2），设CE与平面ADE所成角为α，满足sinα==，∴a=1，即CE=1．【点评】本题考查线线垂直的证明，考查满足条件的线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．21．（12分)已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为（1，0），且右焦点到上顶点的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点P(2,2）的动直线交椭圆C于A,B两点，（i）若｜PA||PB|=，求直线AB的斜率；（ii)点Q在线段AB上，且满足+=，求点Q的轨迹方程．【分析】（Ⅰ）根据题意求出a,c的值，从而求出b的值，求出椭圆的方程即可；（Ⅱ）（i）设出直线方程,和椭圆联立方程组，根据根与系数的关系求出直线斜率k 的值即可；（ii）设出Q的坐标，根据+=，得+=，求出k的值，带入直线方程，整理即可．【解答】解：(Ⅰ）由题意得：c=1，a=,∴b2=a2﹣c2=1,∴+y2=1;（Ⅱ）（i）设直线AB:y=k（x﹣2）+2，点A（x1，y1)，B（x2,y2)，由，得:（1+2k2）x2+4k（2﹣2k)x+2(2﹣2k）2﹣2=0（＊），∴x1+x2=﹣，x1x2=，|PA｜｜PB｜=｜2﹣x1｜•｜2﹣x2|=（1+k2)[4﹣2（x1+x2）+x1x2］==,解得：k2=1，即k=1或﹣1，经检验，k=1；（ii）设点Q(x0,y0)，由点Q在直线AB上,得y0=k（x0﹣2）+2，(＊*)，又+=，得+=，∵+=，∴2﹣x0=2×=2×（2+）=，∴k=,把它带入（＊*）式，得y0=k（x0﹣2）+2=（x0﹣2)+2=﹣x0+，即点Q的轨迹方程是：x+2y﹣1=0，(＜x＜）．【点评】本题考查了直线和椭圆的位置关系，考查考查椭圆的性质以及直线的斜率问题，是一道综合题．。

台州市2017学年第⼀学期⾼三年级期末评估数学试卷及答案台州市2017学年第⼀学期⾼三年级期末评估⼀、选择题：本⼤题共10⼩题，每⼩题4分，共40分.1.设集合{}11M x x =-≤≤，{}124x N x =<<，则M N = （） A.{}10x x -≤< B.{}01x x <≤ C.{}12x x ≤< D.{}12x x -≤<2.若复数2()1i z i=-（i 为虚数单位），则z =（） A.2B.1C.123.已知α为锐⾓，且3tan 4α=，则sin 2α=（） A.35B.45C.1225D.24254.已知a R ∈，则“1a ≤”是“112a a ++-=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分⼜不必要条件5.已知数列{}n a 满⾜*111,2()n n a a a n N +=-≥∈，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则（）A.21n a n ≥+B.12n n a -≥C.2n S n ≥D.12n n S -≥6.有3位男⽣，3位⼥⽣和1位⽼师站成⼀排照相，要求⽼师必须站在中间，与⽼师相邻的不能同时为男⽣或⼥⽣，则这样的排法种数是（）A.144B.216C.288D.4327.已知实数,x y 满⾜不等式组02030x x y x y ≥??-≤??+-≤?，则22(1)(2)x y -++的取值范围是（）A.[]1,5B.??C.[]5,25D.[]5,26 8.已知函数21,0()3,0x x f x xx x ?+>?=??-+≤?，若函数()()(1)g x f x k x =-+在(],1-∞上恰有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是（）A.[)1,3B.(]1,3C.[)2,3D.()3,+∞9.已知1m = ，23m n += ，则m n n ++ 的最⼤值为（）4D.510.当[]1,4x ∈时，不等式322044ax bx a x ≤++≤恒成⽴，则a b +的取值范围是（）A.[]4,8-B.[]2,8-C.[]0,6D.[]4,12⼆、填空题：本⼤题共7⼩题，多空题每⼩题6分，单空题每⼩题4分，共36分.11.双曲线22143x y -=的离⼼率是，渐近线⽅程为. 12.已知随机变量X 的分布列为：则m =13. 某四⾯体的三视图如图所⽰，则该四⾯体的体积为，表⾯积为.14.若2(23)n x x --的展开式中所有项的系数和为256，则n =，含2x 项的系数是.15.当0x >时，(0)1a x a x +>+的最⼩值为3，则实数a 的为. 16.在ABC ?中，内⾓,,A B C 所对的边分别为,,a bc ，点P 是其外接圆O 上的任意⼀点，若a b c ===222PA PB PC ++ 的最⼤值为.17.如图，在棱长为2的正四⾯体S ABC -中，动点P 在侧⾯SAB 内，PQ ⊥底⾯ABC ，垂⾜为Q ，若4PS PQ =，则PC 长度的最⼩值为. 三、解答题：本⼤题共5⼩题，共74分18.（本⼩题满分14分）已知函数22()sin cos (cos sin )(,,)f x a x x b x x x R a b =--∈为常数，且1()().2124f f ππ==- （1）求()f x 的单调递增区间；（2）若[,]44x ππ∈-时，求函数()f x 的值域. 19. （本⼩题满分15分）如图，正⽅形ABCD 的边长为4，点,E F 分别为,AB BC 的中点，将,ADE DCF ??分别沿,DE DF 折起，使,A C 两点重合于点'A ，连接'.A B（1）求证：EF ⊥平⾯'A BD ；（2）求直线'A D 与平⾯BEDF 所成⾓的正弦值.20.（本⼩题满分15分）设函数2()(1).x f x x x e -=-+?（1）求函数()f x 的单调区间；（2）当[0,2]x ∈时，2()2f x x x m ≥-++恒成⽴，求实数m 的取值范围.21．（本⼩题满分15分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，左顶点为A，点P 在椭圆C 上，且12PF F ?的⾯积为（1）求椭圆C 的⽅程；（2）过原点O 且与x 轴不重合的直线交椭圆C 于,E F 两点，直线,AE AF 分别与y 轴交于点,.M N 求证：以MN 为直径的圆恒过焦点12,F F ，并求出1F MN ?⾯积的取值范围.22．（本⼩题满分15分）数列{}n a ，{}n b 中，n S 为数列{}n a 的前n 项和，且满⾜：111,3(2)n n a b S n a ===+，*1(,2).n n na b n N n a -=∈≥ （1）求数列{}n a ，{}n b 中的通项公式；（2）求证：2482111112n a a a a ++++< ；（3）令123ln ,n n n n c b T c c c c ==++++，求证：2*).n T n N ≥∈台州市2017学年第⼀学期⾼三年级期末质量评估试题数学参考答案及评分标准2018.01⼀、选择题:本⼤题共10⼩题,每⼩题4分,共40分。

2015-2016学年浙江省台州市高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．设全体实数集为R，M={1，2}，N={1，2，3，4}，则（∁R M）∩N等于（）A．{4} B．{3，4} C．{2，3，4} D．{1，2，3，4}2．“a＞4”是“a2＞16”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知α∈（，π），sin（π+α）=﹣，则tan（α﹣）等于（）A．﹣7 B．﹣C．7 D．4．函数f（x）=x2﹣ln|x|的大致图象为（）A．B．C．D．5．已知直线ax+by=1（其中a，b为非零实数）与圆x2+y2=1相交于A，B两点，O为坐标原点，且△AOB为直角三角形，则+的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．56．函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若其图象向右平移个单位，得到的函数为偶函数，则函数f（x）的图象（）A．关于直线x=对称B．关于点（，0）对称C．关于点（，0）对称D．关于直线x=对称7．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是锐角三角形，则存在过点A的平面（）A．与直线BC和直线A1B1都平行B．与直线BC和直线A1B1都垂直C．与直线BC平行且直线A1B1垂直D．与直线BC和直线A1B1所成角相等8．如图，等边△ABC的边长为2，△ADE也是等边三角形且边长为1，M为DE的中心，在△ABC 所在平面内，△ADE绕A逆时针旋转一周，•的最大值为（）A．B． +C．D． +2二、填空题：本大题共7个小题，多空提每题6分，单空题每题4分，共36分.9．[（﹣2）6]﹣（﹣1）0= .3= ．10．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为6的正方形，俯视图是腰长为5，底边长为6的等腰三角形，则该几何体的体积是，表面积是．11．设直线l1：x+my+6=0和l2：（m﹣2）x+3y+2m=0，当m= 时，l1∥l2，当m= 时，l1⊥l2．12．已知等比数列{a n}各项都是正数，且a4﹣2a2=4，a3=4．则a n= ，S10= ．13．已知实数x，y满足约束条件，则u=的取值范围为．14．设椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于．15．若函数f（x）=，则不等式f（x2﹣3）＞f（x）的解集为．三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．已知函数f（x）=4cosxsin（x+）﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在钝角△ABC，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（B）=1，若b=，c=4，求a的值．17．已知数列{a n}各项都是正数，且+++…+=n2+3n（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，n∈N*，求{b n}的前n项和S n．18．四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，PA⊥底面ABCD，PA=AD=2，BC=AB=1，E为PD的中点．（Ⅰ）求证：CE∥平面PAB；（Ⅱ）求PA与平面ACE所成角的正弦值．19．已知抛物线C1：y2=2px（p＞0）上一点Q（1，a）到焦点的距离为3，．（1）求a，p的值；（Ⅱ）设P为直线x=﹣1上除（﹣1，﹣），（﹣1，）两点外的任意一点，过P作圆C2：（x﹣2）2+y2=3的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D，试判断A，B，C，D 四点纵坐标之积是否为定值？若是，求该定值；若不是，请说明理由．20．已知a＞0，b∈R，函数f（x）=4ax2﹣2bx﹣a+b的定义域为[0，1]．（Ⅰ）当a=1时，函数f（x）在定义域内有两个不同的零点，求b的取值范围；（Ⅱ）记f（x）的最大值为M，证明：f（x）+M＞0．2015-2016学年浙江省台州市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．设全体实数集为R，M={1，2}，N={1，2，3，4}，则（∁R M）∩N等于（）A．{4} B．{3，4} C．{2，3，4} D．{1，2，3，4}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】根据全集R，求出M的补集，找出M补集与N的交集即可．【解答】解：∵全体实数集为R，M={1，2}，N={1，2，3，4}，∴∁R M={x|x≠1且x≠2}，则（∁R M）∩N={3，4}．故选：B．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．“a＞4”是“a2＞16”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由a2＞16得a＞4或a＜﹣4，则“a＞4”是“a2＞16”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．3．已知α∈（，π），sin（π+α）=﹣，则tan（α﹣）等于（）A．﹣7 B．﹣C．7 D．【考点】两角和与差的正切函数．【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值．【分析】由已知利用诱导公式可求sinα，结合α的范围，利用同角三角函数基本关系式可求cosα，tanα的值，利用两角差的正切函数公式即可计算求值．【解答】解：∵sin（π+α）=﹣sinα=﹣，∴可得：sin，∵α∈（，π），∴cosα=﹣=﹣，tan==﹣，∴tan（α﹣）===﹣7．故选：A．【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式，两角差的正切函数公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．4．函数f（x）=x2﹣ln|x|的大致图象为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】计算题；作图题；数形结合；函数的性质及应用．【分析】由函数的表达式确定函数的性质，从而利用数形结合确定函数的图象的形状．【解答】解：∵f（x）=x2﹣ln|x|=f（﹣x），∴函数f（x）是偶函数，∴f（x）的图象关于y轴对称，故排除A，又∵f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），∴排除C，又∵f（x）→+∞，故排除B，故选：D．【点评】本题考查了函数的性质的判断与数形结合的思想应用，同时考查了排除法的应用．5．已知直线ax+by=1（其中a，b为非零实数）与圆x2+y2=1相交于A，B两点，O为坐标原点，且△AOB为直角三角形，则+的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】直线与圆的位置关系；直线的截距式方程．【专题】综合题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】由直线ax+by=1（其中a，b为非零实数）与圆x2+y2=1相交于A，B两点，且△AOB 为直角三角形，可得|AB|=．圆心O（0，0）到直线ax+by=1的距离d=，可得2a2+b2=2．再利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵直线ax+by=1（其中a，b为非零实数）与圆x2+y2=1相交于A，B两点，且△AOB为直角三角形，∴|AB|=r=．∴圆心O（0，0）到直线ax+by=1的距离d==，化为2a2+b2=2．∴+=（+）（2a2+b2）=（2+2++）≥（4+2）=4，当且仅当b2=2a2=1取等号．∴+的最小值为 4．故选：C．【点评】本题考查了直线与圆相交问题弦长问题、点到直线的距离公式、基本不等式的性质，属于中档题．6．函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若其图象向右平移个单位，得到的函数为偶函数，则函数f（x）的图象（）A．关于直线x=对称B．关于点（，0）对称C．关于点（，0）对称D．关于直线x=对称【考点】正弦函数的图象．【专题】函数思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由已知求出满足条件的ω，φ值，求出函数的解析式，进而分析出函数f（x）的对称性，可得答案．【解答】解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，∴ω=2，则f（x）=sin（2x+φ），将其图象向右平移个单位后得到的函数g（x）=sin[2（x﹣）+φ]=sin（2x+φ﹣）的图象，若得到的函数为偶函数，则φ﹣=kπ+，k∈Z，即φ=kπ+，k∈Z，∵|φ|＜，∴当k=﹣1时，φ=﹣，故f（x）=sin（2x﹣），由2x﹣=+kπ，即x=+，k∈Z时，即函数的对称轴为x=+，k∈Z2x﹣=kπ，即x=+，k∈Z时，即函数的对称中心为（+，0），k∈Z则当k=1时，x=，即函数关于点（，0）对称，故选：B．【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，熟练掌握正弦型函数的图象和性质是解答的关键．考查学生的运算和推理能力．7．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是锐角三角形，则存在过点A的平面（）A．与直线BC和直线A1B1都平行B．与直线BC和直线A1B1都垂直C．与直线BC平行且直线A1B1垂直D．与直线BC和直线A1B1所成角相等【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】对4个选项分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：对于A，过点A与直线A1B1平行的平面经过B，与直线BC相交，不正确；对于B，过点A与直线BC垂直的平面存在，则CB⊥AB，与底面是锐角三角形矛盾，不正确对于C，过点A与直线BC平行且直线A1B1垂直，则CB⊥AB，与底面是锐角三角形矛盾，不正确；对于D，存在过点A与BC中点的平面，与直线BC和直线AB所成角相等，∴与直线BC和直线A1B1所成角相等，正确．故选：D．【点评】本题考查空间线线、线面位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．8．如图，等边△ABC的边长为2，△ADE也是等边三角形且边长为1，M为DE的中心，在△ABC 所在平面内，△ADE绕A逆时针旋转一周，•的最大值为（）A．B． +C．D． +2【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用．【分析】设∠BAD=θ，（0≤θ≤2π），则∠CAE=θ，把•转化为含有θ的三角函数，利用辅助角公式化积后得答案．【解答】解：设∠BAD=θ，（0≤θ≤2π），则∠CAE=θ，则•=（）•（）===﹣cosθ﹣cosθcos+sinθsin=﹣=．∴当时，•的最大值为．故选：B．【点评】本题考查平面向量的数量积的定义，考查三角函数的化简和求最值，考查运算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共7个小题，多空提每题6分，单空题每题4分，共36分.9．[（﹣2）6]﹣（﹣1）0= 3 .3= 2 ．【考点】有理数指数幂的化简求值；根式与分数指数幂的互化及其化简运算．【专题】计算题；规律型；函数的性质及应用．【分析】直接利用有理指数幂的运算法则以及对数运算法则化简求解即可．【解答】解：[（﹣2）6]﹣（﹣1）0=4﹣1=3．3==2．故答案为：3；2．【点评】本题考查有理指数幂以及对数运算法则的应用，考查计算能力．10．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为6的正方形，俯视图是腰长为5，底边长为6的等腰三角形，则该几何体的体积是72 ，表面积是120 ．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；规律型；数形结合法；立体几何．【分析】由三视图可知几何体是一个三棱柱，此三棱柱的高为6，底面正三角形的高为4，利用表面积公式和体积公式得到结果．【解答】解：由三视图图可知此三棱柱的高为6，底面正三角形的高为4，可求得底面面积为： =12．∴V=S•h=6×12=72S表面=2S底+S侧面=2×12+6×（6+5+5）=120【点评】本题考查有三视图求几何体的体积和表面积，解题时要注意看清各个位置的长度，不要在数字运算上出错．11．设直线l1：x+my+6=0和l2：（m﹣2）x+3y+2m=0，当m= ﹣1 时，l1∥l2，当m= 时，l1⊥l2．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】方程思想；综合法；直线与圆．【分析】利用直线平行、垂直的性质求解．【解答】解：∵直线l1：x+my+6=0和l2：（m﹣2）x+3y+2m=0，l1∥l2，∴=≠，解得m=﹣1；∵直线l1：x+my+6=0和l2：（m﹣2）x+3y+2m=0，l1⊥l2，∴1×（m﹣2）+3m=0，解得m=；故答案为：﹣1，．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线的位置关系的合理运用．12．已知等比数列{a n}各项都是正数，且a4﹣2a2=4，a3=4．则a n= 2n﹣1，S10= 1023 ．【考点】等比数列的通项公式．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】设等比数列{a n}的公比为q＞0，由a4﹣2a2=4，a3=4．可得，解出再利用等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q＞0，∵a4﹣2a2=4，a3=4．∴，解得，则a n=2n﹣1，S10==1023．故答案分别为：2n﹣1；1023．【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．已知实数x，y满足约束条件，则u=的取值范围为≤u≤．【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；转化思想；构造法；不等式．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据分式的性质利用分子常数化，利用换元法结合直线斜率的性质进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：则x＞0，u====3﹣，设k=，则k的几何意义是区域内的点到原点的斜率，由图象知，AO的斜率最小，BO的斜率最大，由得，即B（2，4），由得，即A（3，2），则AO的斜率k=，BO的斜率k=2，即≤k≤2，则u=3﹣=3﹣在≤k≤2上为增函数，则当k=时，函数取得最小值，u=，当k=2时，函数取得最大值，u=，即≤u≤，故答案为：≤u≤【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用分式的性质以及换元法是解决本题的关键．注意数形结合．14．设椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于．【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据条件分别求出A，B，D的坐标，利用AD⊥F1B，建立方程关系即可得到结论．【解答】解：连接AF1，∵OD∥AB，O为F1F2的中点，∴D为BF1的中点，又AD⊥BF1，∴|AF1|=|AB|．∴|AF1|=2|AF2|．设|AF2|=n，则|AF1|=2n，|F1F2|=n，∴e=====．【点评】本题主要考查椭圆离心率的求解，根据条件求出对应点的坐标，利用直线垂直与斜率之间的关系是解决本题的关键，运算量较大．为了方便，可以先确定一个参数的值．15．若函数f（x）=，则不等式f（x2﹣3）＞f（x）的解集为（﹣∞，﹣）．【考点】分段函数的应用；其他不等式的解法．【专题】数形结合；分类讨论；不等式的解法及应用．【分析】根据分段函数的表达式判断函数的单调性，讨论变量的取值范围进行比较即可．【解答】解：若x≥1，即x≥2时，x2﹣3≥1，此时函数f（x）在[1，+∞）为减函数，则由f（x2﹣3）＞f（x）得x2﹣3＜x，即2x2﹣x﹣6＜0，得﹣＜x＜2，此时x无解．若x＜1，即x＜2时，若x2﹣3＜1，即﹣2＜x＜2，时，函数f（x）在（﹣∞，1]上是增函数，则由f（x2﹣3）＞f（x）得x2﹣3＞x，即2x2﹣x﹣6＞0，得x＜﹣或x＞2（舍），此时﹣2＜x＜﹣．若x≤﹣2，则x≤﹣1，此时f（x）＜0，而x2﹣3≥1，则f（x2﹣3）＞0，此时不等式f（x2﹣3）＞f（x）恒成立，综上不等式的解集为（﹣∞，﹣），故答案为：（﹣∞，﹣）．【点评】本题主要考查分段函数的应用，根据函分段函数的表达式判断函数的单调性，利用函数的单调性是解决本题的关键．三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．已知函数f（x）=4cosxsin（x+）﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在钝角△ABC，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（B）=1，若b=，c=4，求a的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；余弦定理．【专题】计算题；转化思想；数形结合法；解三角形．【分析】（Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=2sin（2x+），由2k≤2x+≤2k，k∈Z，即可解得函数f（x）的单调递增区间．（Ⅱ）由f（B）=2sin（2B+）=1，结合范围0＜B＜π，可得＜2B+＜，从而解得B=，利用余弦定理可得a2﹣4a+3=0，解得a=1或3．由△ABC为钝角三角形，C为钝角，可得a=1满足题意，即可得解．【解答】（本题满分为14分）解：（Ⅰ）∵f（x）=4cosxsin（x+）﹣1=4cosx（）﹣1=2sinxcosx+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=2sin（2x+），…4分∴由2k≤2x+≤2k，k∈Z，解得函数f（x）的单调递增区间为：[k，k]，k∈Z…7分（Ⅱ）∵f（B）=2sin（2B+）=1，∵0＜B＜π，∴＜2B+＜，∴2B+=，解得B=，…9分∵b2=a2+c2﹣2accosB，即13=a2+16﹣4a，整理可得：a2﹣4a+3=0，∴解得：a=1或3…12分∵△ABC为钝角三角形，∴C为钝角，经检验：a=1满足题意…14分【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想，解题时要注意一定要验根，属于中档题．17．已知数列{a n}各项都是正数，且+++…+=n2+3n（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，n∈N*，求{b n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】计算题；整体思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）当n≥2时利用+++…+=n2+3n与+++…+=（n﹣1）2+3（n﹣1）作差、整理可知a n=4（n+1）2（n≥2），进而计算可得结论；（Ⅱ）通过（I）可知b n=，n∈N*，进而利用错位相减法计算即得结论．【解答】解：（Ⅰ）当n≥2时， +++…+=n2+3n，+++…+=（n﹣1）2+3（n﹣1），两式相减得： =（n2+3n）﹣[（n﹣1）2+3（n﹣1）]=2n+2，∴a n=4（n+1）2（n≥2），又∵=4即a1=16满足上式，∴a n=4（n+1）2；（Ⅱ）由（I）可知b n==，n∈N*，∴S n=4[2•+3•+…+（n+1）•]，S n=4[2•+3•+…+n•+（n+1）•]，两式相减得： S n=4[1+++…+﹣（n+1）•]=4[1+﹣（n+1）•]=6﹣（n+3）•，于是S n=12﹣（n+3）•．【点评】本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，考查错位相减法，注意解题方法的积累，属于中档题．18．四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，PA⊥底面ABCD，PA=AD=2，BC=AB=1，E为PD的中点．（Ⅰ）求证：CE∥平面PAB；（Ⅱ）求PA与平面ACE所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【专题】转化思想；分析法；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）要证CE∥平面PAB，只要证明CE平行于平面PAB内的一条直线即可，由E为PD的中点，可联想找PA的中点F，连结EF、BF后，证明BCEF是平行四边形即可证得答案；（Ⅱ）取AD的中点G，连接EG，则EG∥AP，问题转化为求EG与平面ACE所成的角的正弦．连接BG交AC于O，连接OE，证得平面ACE⊥平面OEG，交于直线OE，过G作GH⊥OE，交OE 于H，可得∠GEH为EG与平面ACE所成的角，即∠GEO，运用解直角三角形，即可得到所求值．【解答】解：（Ⅰ）证明：如图，取PA的中点F，连结FE、FB，则FE∥BC，且FE=AD=BC，∴BCEF是平行四边形，∴CE∥BF，而BF⊂平面PAB，∴CE∥平面PAB；（Ⅱ）取AD的中点G，连接EG，则EG∥AP，问题转化为求EG与平面ACE所成的角的正弦．连接BG交AC于O，连接OE，由AC⊥EG，AC⊥BG，可得AC⊥平面OEG，即有：平面ACE⊥平面OEG，交于直线OE，过G作GH⊥OE，交OE于H，可得∠GEH为EG与平面ACE所成的角，即∠GEO，由EG=1，GO=，可得EO=，可得sin∠GEO==，则PA与平面ACE所成角的正弦值为．【点评】本题考查了直线与平面平行的判定，考查了求线面角的方法，解答的关键是通过线面垂直求得线面角，属中档题．19．已知抛物线C1：y2=2px（p＞0）上一点Q（1，a）到焦点的距离为3，．（1）求a，p的值；（Ⅱ）设P为直线x=﹣1上除（﹣1，﹣），（﹣1，）两点外的任意一点，过P作圆C2：（x﹣2）2+y2=3的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D，试判断A，B，C，D 四点纵坐标之积是否为定值？若是，求该定值；若不是，请说明理由．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）根据抛物线的定义即可得到，求出p=4，从而焦点坐标为（2，0），这便得到，从而可求出a的值；（Ⅱ）可设过点P的直线l方程为：y﹣y0=k（x+1），联立抛物线方程消去x便可得到ky2﹣8y+8y0+8k=0，可设直线AB，CD的斜率分别为k1，k2，A，B，C，D四点的纵坐标分别为y1，y2，y3，y4，从而可以得到．可以求圆心C2到切线l的距离，从而可以得到关于k的一元二次方程，由韦达定理得到k1+k2=﹣y0，这样即可求得y1y2y3y4=64，即得出A，B，C，D四点纵坐标之积为定值．【解答】解：（Ⅰ）根据抛物线的定义，Q（1，a）到准线x=的距离为3；∴；∴p=4；∴抛物线的焦点坐标为（2，0）；∴；∴；（Ⅱ）设P（﹣1，y0），过点P的直线方程设为l：y﹣y0=k（x+1）；由得，ky2﹣8y+8y0+8k=0；若直线AB，CD的斜率分别为k1，k2，设A，B，C，D的纵坐标分别为y1，y2，y3，y4；∴；∵C2到l的距离d=；∴；∴；∴=；∴A，B，C，D四点纵坐标之积为定值，且定值为64．【点评】考查抛物线的定义，抛物线的标准方程，抛物线的焦点及准线方程，两点间距离公式，直线的点斜式方程，以及韦达定理，圆心到切线距离和圆半径的关系，点到直线的距离公式．20．已知a＞0，b∈R，函数f（x）=4ax2﹣2bx﹣a+b的定义域为[0，1]．（Ⅰ）当a=1时，函数f（x）在定义域内有两个不同的零点，求b的取值范围；（Ⅱ）记f（x）的最大值为M，证明：f（x）+M＞0．【考点】二次函数的性质．【专题】综合题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）由题意可得f（0）≥0，f（1）≥0，△＞0，0＜＜1，解不等式即可得到所求范围；（2）求出对称轴，讨论对称轴和区间[0，1]的关系，可得最值，即可证明f（x）+M＞0．【解答】解：（1）由题意可得f（x）=4x2﹣2bx﹣1+b在[0，1]内有两个不同的零点，即有，解得1≤b＜2或2＜b≤3；（2）记f（x）的最大值为M，证明：f（x）+M＞0．只需证明f（x）最小值+M＞0即可，设f（x）的最小值是m，问题转化为证明M+m＞0，证明如下：f（x）的对称轴为x=，当＞1时，区间[0，1]为减区间，可得M=f（0）=b﹣a，m=f（1）=3a﹣b，则M+m=2a＞0；当＜0时，区间[0，1]为增区间，可得m=f（0）=b﹣a，M=f（1）=3a﹣b，则M+m=2a＞0；当0≤≤1时，区间[0，]为减区间，[，1]为增区间，可得m=f（）=，若f（0）≤f（1），即b≤2a，可得M=f（1）=3a﹣b，M+m=≥=a＞0；若f（0）＞f（1），即2a＜b≤4a，可得M=f（0）=b﹣a，M+m==，由于2a＜b≤4a，可得M+m∈（a，2a]，即为M+m＞0．综上可得：f（x）max+f（x）min＞0恒成立，即f（x）+M＞0．【点评】本题考查函数的零点问题的解法，注意运用二次函数的图象，考查函数的最值的求法，注意讨论对称轴和区间的关系，考查运算能力，属于中档题．。